АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт психологии

На правах рукописи

Ю. В. РУСОВ.

Психологический анализ процессов решения геометрических задач на построение

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ

на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии).

Москва—Горький 1955

ТЕМА, ЗАДАЧИ И МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Настоящая работа посвящена изучению процесса решения геометрических задач на построение, учащимися 6—8 классов средней школы. Необходимость изучения данного вопроса вытекает из следующих обстоятельств:

а) Задачи на построение1 имеют специфическое образовательное и воспитательное значение. Они способствуют развитию пространственного воображения и дедуктивного мышления, содействуют развитию у молодежи конструктивных способностей и изобретательности, поднятию графической культуры и уменья читать чертежи, что важно в деле политехнического обучения и дальнейшего развития массового движения изобретателей и рационализаторов в области технического усовершенствования производства.

б) В обширной методической литературе, посвященной задачам на построение, остается неразработанным целый ряд важнейших вопросов, особенно тех, которые касаются принципов и способов проведения первого и ведущего этапа решения—отыскания плана построения фигуры2.

1 Задачей на построение называется требование начертить с помощью циркуля и линейки фигуру, удовлетворяющую условию задачи. Полное решение задачи на построение включает в себя отыскание плана построения искомой фигуры (этап, называемый „анализом"), выполнение построения, доказательство того, что построенная фигура есть искомая и, наконец, исследование задачи, то есть выяснение возможности и числа решений при различных соотношениях и взаиморасположении данных. Отыскание плана построения связано с предварительным выполнением эскиза (чертежа-наброска) искомой фигуры по словесной формулировке задачи и, нередко, с дальнейшим преобразованием этого чертежа (проведение так называемых вспомогательных линий).

2 За последние годы советские методисты (Е. М, Семенов, Г. М. Олифер, Г. П. Сенников) выдвинули некоторые общие принципы отыскания решения в задачах на построение, но их идеи еще не получили широкой проверки и применения в практике школьного обучения.

в) Уровень обучения геометрическим построениям все еще остается недостаточно высоким, что отмечают сами учителя и методисты.

г) В практике школ, особенно сельских, наблюдается недооценка задач на построение.

В советской психологической литературе имеется лишь очень небольшое число работ по психологии усвоения геометрических-знаний1, среди этих работ нет ни одной, специально посвященной задачам на построение.

Процесс решения задач учащимися мы рассматриваем как сложную форму ориентировочно-исследовательской деятельности, обусловленную конкретными педагогическими воздействиями. При этом мы используем в качестве центральных понятий понятия анализа и синтеза. Процессы анализа и синтеза, согласно ученью И. П. Павлова, являются двумя основными, ведущими сторонами мыслительной деятельности.

В исследованиях процессов решения задач, проведенных советскими психологами, установлены различные виды, приемы и уровни анализа. З. И. Калмыкова в кандидатской диссертации «Процессы анализа при решении арифметических задач» (1949 г.) различает отдельные виды анализа в зависимости от того, на что направлен анализ: анализ данных, анализ зависимостей, анализ рассуждений и ошибок и т. д. Н. А. Менчинская в книге «Психология обучения арифметике» (1955 г.) устанавливает три уровня анализа в процессах решения задач, зависящие от степени подготовки учащегося и сложности задачи: 1) «Элементный» анализ—выделение отдельных элементов условия задачи; 2) «Комплексный» анализ— выделение совокупности элементов .условия задачи с соотнесением их друг с другом для определения предстоящего действия. Высшей формой комплексного анализа является «предвосхищающий» анализ—выделение и соотнесение элементов условия, определяющих, не только очередное, но и последующие действия.

Опираясь на характеристику анализа, содержащуюся в указанных исследованиях,, мы считаем необходимым при изучении процессов анализа выделить еще и новую сторону. Особенности анализа в мыслительной деятель-

1 Наиболее важные из них: работы Е. М. Меллер, В. И. Зыковой, кандидатские диссертации Н. Ф. Талызиной, А. В. Степанова, Г. В. Воробьева, Л. Н. Ланда

ности при решении задач на построение проявляются в отыскании объектов (фигур или элементов фигур) по их определяющим признакам, при этом сложность анализа непосредственно зависит от характера признаков. В одних случаях признаки, по которым отыскивается объект, могут быть доступны непосредственному восприятию, в в других же—они выводятся опосредованным путем.

Исходя из всего вышесказанного перед нашим исследованием были поставлены следующие цели:

1. Исследовать процесс решения задач на построение различной сложности, включая задачи с применением вспомогательных линий; при этом: а) раскрыть типичные затруднения при решении задач, б) установить различные виды анализа и синтеза в процессах решения задач и дать их характеристику.

2. Изыскать некоторые пути к улучшению методики обучения задачам на построение.

Чтобы исследовать процесс решения с самого начала его протекания, мы изучали особенности выполнения чертежа-наброска по словесной формулировке задачи, а также особенности усвоения простейших построений, входящих составными частями в более или менее сложные задачи.

В исследовании были использованы методы констатирующего и обучающего эксперимента. Констатирующий эксперимент заключался в проведении пяти экспериментальных серий. В первой серии экспериментов исследовался процесс решения «основных»1 и простых2 задач учащимися 6-го класса (10 человек), а во второй и третьей — процесс решения сложных3 задач, в которых выделение простой задачи требовало использования элементов, непосредственно данных по условию. Вторая серия экспериментов была направлена на изучение общей структуры процесса решения, поэтому учащиеся (20 человек из 7 и 8 класса) решали задачи (5 задач) обычным порядком.

1 Основными задачами называются первые задачи на построение элементов фигур, изучаемые в 6 классе: построить перпендикуляр к прямой, построить угол, равный данному, разделить данный угол или отрезок пополам и т. п.

2 Простыми задачами мы условно называем задачи на построение треугольников по углам и сторонам.

3 Сложной задачей мы называем построение, которое включает в себя простую задачу, как свою составную часть.

В третьей серии экспериментов ставилась цель выяснить, в какой мере учащиеся 7 и 8 класса при решении сложной задачи опираются на вычленение простых задач, входящих в нее, и как протекает процесс вычленения простой задачи. Учащимся (18 человек) предлагались для решения вначале простые задачи, входящие в состав сложной, а затем и сама сложная задача (каждый учащийся решал по 2 сложных задачи). Такая методика эксперимента1 позволяла сопоставить процесс решения простой задачи в изолированном виде и в составе сложной задачи.

В четвертой серии экспериментов учащиеся решали сложные задачи, в которых вычленение простой задачи требовало использования элементов, не указанных прямо в условии задачи. Это обстоятельство ставило учащихся в более трудные условия, так как возникала необходимость в процессе решения использовать «скрытые» соотношения между элементами чертежа. Раскрытие указанных соотношений требует различного количества операций с данными задачами. Количество этих операций в значительной мере определяет сложность задачи. В этой серии были использованы 4 задачи, различные по сложности.

В пятой серии экспериментов исследовался процесс решения сложных задач, требующих проведения вспомогательных линий. При решении многих задач на построение решающий должен образовать на чертеже новые фигуры (треугольники и другие), используя уже имеющиеся и проведя дополнительные линии. В подобранных нами задачах сложность образования новой фигуры варьировалась. Исследовалось решение 4-х задач 20-ю учащимися 7 и 8 класса.

Эксперименты проводились в индивидуальном порядке с учащимися средних школ № 8 и 23 гор. Горького в период с октября 1951 г. по август 1953 года2.

ВЫПОЛНЕНИЕ ЧЕРТЕЖА НАБРОСКА

Выполнение чертежа-наброска требует уменья изобразить искомую фигуру в наиболее общем виде и разместить на ней заданные элементы в соотношениях, указан-

1 Данную методику мы заимствовали из исследования В. И. Зыковой.

2 Методика обучающею эксперимента описана в последней части настоящего реферата,

ных условием задачи1. Анализ процесса решения показал, что учащиеся испытывают потребность при решении опереться или на представление искомой фигуры или на ее восприятие. Решение задачи без чертежа-наброска затрудняло учащихся: из 200 случаев решения задач (2 и 5 серии) лишь в 6 случаях учащиеся могли наметить план построения без чертежа-наброска. В 170 случаях из 194 учащиеся правильно выполнили чертеж-набросок, а в 24 случаях допустили ошибки или в изображении самой фигуры, или в размещении ее элементов. Как выяснилось, ошибки вызывались следующими причинами: а) скованностью геометрических представлений у учащихся что проявлялось в неумении быстро заменить фигуру одного вида другой, в неумении разместить данные на чертеже в тех случаях, когда их изображение выходит за пределы фигуры (например, разместить заданную сумму сторон треугольника); б) недостатками в усвоении геометрических понятий (вместо ромба изображался параллелограм, вместо прилежащего к стороне угла отмечался противолежащий угол и т. п.); в) неуменьем выбрать целесообразный способ размещения данных на чертеже. (Необходимо отметить, что правильное размещение данных требует заглядывания вперед, предусмотрения путей решения); г) прямым незнанием некоторых правил, которые необходимо соблюдать при выполнении чертежа-наброска, например, изображать фигуру в наиболее общем виде, наносить на чертеж все заданные по условию элементы. Подобные правила в школах обычно не формулируются.

НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ УСВОЕНИЯ ОСНОВНЫХ И ПРОСТЫХ ЗАДАЧ

Уменье решать сложные задачи предполагает усвоение основных и простых задач. В школе учащимся обычно показываются способы построения элементов и фигур, но обоснование способов построения их не проводится. В методической литературе распространено мнение о нецелесообразности проводить обоснование порядка построения в задачах, решение которых очевидно и непосредственно усматривается, хотя нужно отметить, что объективных критериев для определения очевидности решения нет. В ре-

1 Заметим, что в методических руководствах приемы обучения выполнению чертежа-наброска совершенно не рассматриваются.

зультате этого в процессе обучения нарушается принцип сознательности обучения и принцип перехода от простого к сложному (совершенствование процесса анализа должно идти от простых задач к сложным). И, естественно, что учащиеся не могут обосновать необходимость и последовательность выполняемых действий. Так, при выполнении основных построений в наших опытах ни один из учащихся 6, 7 и 8 класса не мог объяснить, как вытекает то или иное действие из условия задачи. При забывании способа построения учащиеся не могли восстановить порядок действий.

Практика лучших учителей г. Горького1 показывает, что обоснование решения в указанных задачах доступно учащимся 6 класса. Указания на необходимость в простейших построениях «объяснять учащимся целесообразность выбранного способа построения, а не ограничиваться простым показом приема» имеются в методике математики под редакцией С. Е. Ляпина2, опубликованной в последние годы.

ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ, НЕ ТРЕБУЮЩИХ ПРОВЕДЕНИЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ

Сложная задача может быть по-разному расчленена на составляющие ее частные задачи. Испытуемые, намечая план построения в сложных задачах (2 и 3 серии опытов), шли или Г) путем последовательного выделения отдельных элементов—отрезков, углов и т. д. (в 30 решениях, из них 11 правильных) или 2) путем вычленения целостного комплекса элементов—треугольника (в 106 решениях, из них 86 правильных). Первый способ решения, основанный на «элементном» анализе, оказался менее продуктивным по сравнению со вторым способом, основанным на «комплексном» анализе. Хорошо и средне^ успевающие учащиеся решали сложные задачи, как правило, вторым путем.

Процесс вычленения частной задачи характеризовался а) постановкой (возникновением) вопроса, направленного на выделение в составе чертежа элемента или фигу-

1 Например, многолетний опыт работы методиста и учителя В. В. Репьева.

2 „Методика преподавания математики" под общей редакцией С. Е. Ляпина, Л —М, 1952, стр.427.

ры, обладающих определенными признаками. Например; какие углы фигуры известны по условию, какой элемент или фигуру из имеющихся на чертеже можно построить, какие точки определяют положение фигуры и т. п.;

б) последующим отысканием соответствующего объекта по его признакам.

Изучение процессов отыскания элементов и фигур на чертеже позволило выделить следующие уровни анализа по сложности отыскания объекта:

1. Первый уровень анализа—отыскание объекта по таким признакам, которые воспринимаются наглядно и усматриваются непосредственно. Например, по наименованиям элементов в условии задачи («нижнее основание» «угол при вершине» и т. п.) учащийся отыскивает элементы на чертеже. Особенностью данного уровня анализа является то, что для отыскания объекта достаточно выделить его на чертеже из окружающих элементов и фигур, при этом объект непосредственно подводится под соответствующее понятие.

2. Второй уровень анализа—отыскание объекта по таким признакам, из которых одни наглядно воспринимаемы, а другие наглядно не воспринимаемы, но могут быть вскрыты через наглядное выражение соотношений на чертеже-наброске. Примером данного уровня анализа может служить отыскание на чертеже треугольника, который можно было бы построить по данным в условии элементам. В таком случае наглядно воспринимаемыми признаками являются: а) родовые признаки треугольника— замкнутая ломаная линия, состоящая из трех отрезков, б) признаки известности или неизвестности его элементов (известные элементы отмечены соответствующими знаками). Наглядно не воспринимаемым признаком является признак построимости треугольника по известным элементам. Нельзя непосредственно увидеть, можно ли построить треугольник или нет. Но об этом можно заключить по наглядно воспринимаемым признакам.

Данный уровень анализа включает в себя выделение объекта, обладающего наглядными признаками отыскиваемого и последующее установление наличия или отсутствия у выделенного объекта необходимых, наглядно не воспринимаемых признаков. Второй момент является основным в процессе анализа, требует дополнительной дифференциации видимых признаков и протекает в форме

соотнесения элементов чертежа и мысленно-графических действий над ними. Процесс вскрытия наглядно не воспринимаемых признаков у выделенного объекта значительно сокращается, если учащиеся уже осуществляли отыскание данного объекта множество раз.

3. Третий уровень анализа—отыскание объекта по таким признакам, которые вскрываются лишь через использование наглядно не воспринимаемых соотношений1 на чертеже. Примером данного уровня анализа является отыскание на чертеже построимого треугольника, не содержащего в наличии всех данных элементов, необходимых для его построения. Установление наличия или отсутствия необходимых признаков у выделенного объекта является сложным процессом и достигается путем всестороннего исследования чертежа с использованием наглядно не воспринимаемых свойств фигур.

Как нам представляется, намеченные уровни сложности анализа могут послужить одним из оснований для классификации задач в процессе обучения и для психологической характеристики процессов выделения искомых объектов в зрительно воспринимаемом материале.

Выделяемые на чертеже элементы и фигуры в процессе решения оцениваются прежде всего с точки зрения возможности их построения. Необходимость всестороннего учета соотношений, определяющих возможность или невозможность жесткого2 построения того или иного элемента, вызывает затруднения и ошибки, заключающиеся в неправомерной «произвольности» построений. Планируя или выполняя построение, учащиеся неправомерно придают какому-либо элементу фигуры не однозначно-определенные размеры, положение или направление. В 284-х случаях решения сложных задач всех видов учащиеся допустили 60 ошибок указанного характера, из них 43 ошибки допущены 16-ю учащимися 7 класса и 17 ошибок— 9-ю учащимися 8 класса.

Неоправданная условием задачи «произвольность» в действиях в какой-то мере обусловлена особенностями

1 Таковыми могут быть свойства фигур, выраженные в теоремах (сумма углов треугольника равна двум прямым углам, диагонали параллелограмма делятся пополам и т. п.), а также соотношения, косвенно вытекающие из условия задачи.

2 Жесткостью построения мы называем однозначную определенность размеров, положения и направления каждого элемента конкретной фигуры.

самих геометрических построений. Каждое геометрическое построение выполняется действиями однозначно-определенными и действиями правомерно произвольными. Например, первый элемент фигуры строится (во многих задачах) в произвольном положении на плоскости и в ходе дальнейшего построения допустимы произвольные действия, если они не нарушают жесткости элементов искомой фигуры. В процессе обучения эти действия не дифференцируются, допустимость того или иного произвольного действия не объясняется. Поэтому не все учащиеся осознают, в каких случаях произвольность действия допустима и в каких нет, у них возникает недооценка определенности соотношений между элементами фигуры. В большинстве случаев (51 из 60) ошибочные произвольные действия были направлены на построение известного элемента фигуры. Это объясняется тем, что признак возможности построения учащиеся связывали прежде всего с известными по своим размерам элементами (отрезками, углами и т. д.). Однако, известный элемент в одних условиях может быть жестко построен, а в других—нет, в зависимости от его соотношений с другими элементами фигуры в ходе ее построения. Учащиеся недостаточно различали эти случаи, указанная связь оказывалась мало дифференцированной. Актуализация этой связи и вела к выполнению неправомерно произвольного действия или к называнию этого действия.

В 9 случаях ошибочные действия были направлены на построение неизвестных элементов в произвольных размерах или положении—это являлось результатом прямого непонимания однозначной определенности всех элементов фигуры.

Другое затруднение, типичное при решении задач на построение, связано с необходимостью отнесения точки к воображаемому геометрическому месту точек. Затруднение состоит в переходе от наглядно воспринимаемого свойства точки к вытекающему из него наглядно не воспринимаемому свойству. Например: искомая точка удалена от данного отрезка на расстояние AB—значит эта точка лежит на воображаемой линии, параллельной данному отрезку и отстоящей от него на расстояние AB. Ограниченное использование метода геометрических мест в построениях многоугольников (при традиционных способах обучения) приводит к тому, что учащиеся привыкают при анализе чертежа рассматривать точку как пересечение

только наличных линий и не ставят цели отыскать построимую воображаемую линию, на которой должна лежать искомая точка.

В процессе решения задач существенным является выделение искомых объектов на чертеже. В силу большой вариативности построений в каждой задаче и на каждом этапе поисков можно ориентироваться на различные элементы или фигуры, как искомые. Анализ процесса решения показал, что уменье решать задачу в значительной мере состоит в умении логически переходить от нахождения одного искомого к нахождению другого, от одной промежуточной цели к другой. Затруднения в поисках решения часто выражались именно в неумении свести одну промежуточную задачу к другим1, например, задачу найти точку—к задаче найти две линии, на которых должна лежать эта точка, задачу построить линию—к задаче найти ее направление и одну точку, лежащую на ней; задачу построить треугольник, в котором известны две стороны— к задаче найти один из углов этого треугольника и т. п. Необходимо специально обучать школьников использовать в поисках решения имеющие место логические переходы (подобные приведенным), вытекающие из природы геометрических построений.

ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ЛИНИЙ

Решение многих задач на построение требует преобразования чертежа-наброска путем проведения вспомогательных линий, что представляет большую трудность для учащихся, так как текст задачи и чертеж не содержат в себе никаких указаний ни на необходимость вспомогательных линий, ни на способ их проведения. Переход к использованию вспомогательных линий осуществляется на основе обобщенного практического положения: если построение не удается, надо использовать вспомогательные линии. В школе учителя обычно сами проводят вспомогательные линии, не раскрывая учащимся принципы их проведения. В стабильных учебниках и на уроках общее понятие о вспомогательных линиях не раскрывается и область их применения не указывается.

1 Такие затруднения имеют место и при решении геометрических задач на доказательство, как это показано в диссертации Н. Ф. Талызиной.

Эксперименты показали, что б указанных педагогических условиях учащиеся запоминают отдельные случаи проведения вспомогательных линий, но недостаточно их обобщают, а поэтому при решении задач не всегда имеют установку на использование вспомогательных линий. Так, в 17 решениях из 80-ти (то есть в 21% решений) испытуемые не делали никаких самостоятельных попыток использования вспомогательных линий.

При самостоятельных попытках применения вспомогательных линий учащиеся в 55 решениях из 63-х проводили эти линии с целью образовать вспомогательную фигуру. Прием «вспомогательных фигур» наиболее распространен в школьном обучении. Сущность его состоит в образовании на чертеже-наброске фигуры (чаще всего треугольника), которую можно построить и которая обеспечивает возможность построения искомой фигуры.

Изучение попыток образовать вспомогательную фигуру раскрывает сложные формы синтеза, которые специфичны тем, что учащимся известны наглядно не воспринимаемые свойства фигуры (возможность ее построения, целесообразность для дальнейшего решения), но остается неизвестным вид фигуры и состав ее элементов. При этом некоторые из элементов уже имеются на чертеже (какие именно—неизвестно), а другие нужно создать в воображении.

Конструирование фигуры осуществляется на различных уровнях: без предусмотрения ее целесообразности и с предусмотрением (частичным или полным). Осознавание целесообразности образуемой фигуры связано с предвидением последующих звеньев решения. По тому, какую часть плана решения предусматривает учащийся к моменту проведения вспомогательных линий, попытки образовать вспомогательную фигуру (всего 170 попыток в 55 решениях) можно разделить на четыре категории: 1) без предусмотрения возможности построения фигуры и путей дальнейшего решения—150 попыток, из них 30 удачных, 2) с предусмотрением построимости фигуры, но без предусмотрения путей дальнейшего решения—15 попыток, из них 11 удачных, 3) без предусмотрения построимости фигуры, но с предусмотрением путей дальнейшего решения—2 попытки, обе удачные, 4) с осознаванием всего плана решения задачи—3 попытки, все—удачные.

Соотношение числа удачных и неудачных попыток по различным категориям свидетельствует о том, что чем большую часть плана решения задачи предусматривают учащиеся к моменту проведения вспомогательной линии, тем полноценнее оказываются их попытки.

Сопоставление числа удачных попыток при решении задач различной сложности показало, что чем сложнее задача, тем меньшую часть плана решения предусматривают учащиеся.

По своей структуре процессы предвидения путей решения в задачах на построение характеризуются тем, что они осуществляются не только посредством выделения и соотнесения наличных элементов чертежа, а также посредством мысленного построения и перемещения на чертеже видимых и воображаемых элементов и фигур и сопоставления видимых элементов с воображаемыми по их размерам и положению.

Типичной ошибкой при конструировании фигуры с помощью вспомогательных линий является ложная оценка возможности ее построения. Эта ошибка объясняется слабой дифференциацией несущественных и существенных свойств чертежа (например, видимое на чертеже равенство стороны и диагонали ромба принимается за существенное свойство ромба), а также недооценкой однозначной определенности соотношений между элементами фигуры.

Возможности учащихся к успешному синтезированию при конструировании вспомогательных фигур зависят от широты и богатства знаний и опыта в применении конкретных разновидностей приема вспомогательной фигуры в различных задачах.

ПРОЦЕСС РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ С ПРИМЕНЕНИЕМ ОБЩЕЙ ИДЕИ ПОИСКОВ ПУТЕМ РЕАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ПРАВИЛ

Изучив методическую литературу1 и опираясь на результаты констатирующего эксперимента, мы выработали систему правил решения задач на построение, объединенную общей идеей поисков решения и применимую ко всем задачам на построение, изучающимся в

1 Имеются в виду преимущественно работы Ю. Петерсена, Е. М. Семенова, Г. М. Олифера, в которых выдвигаются некоторые общие правила и принципы решения задач на построение.

6—8 классах. Общая идея системы правил состоит в определении пути построения искомой фигуры через отыскание положения узловых точек фигуры по их свойствам, то есть по их отношениям с другими элементами фигуры1. Узловыми точками фигуры мы называем те точки, положение которых устойчиво (жестко) определяет все остальные элементы фигуры на плоскости. У треугольника такими точками являются его вершины, у отрезка—его концы и т. д. Отыскание точек по их свойствам основано На использовании метода геометрических мест.

Для того, чтобы выяснить, в какой мере применение общей идеи поисков содействует повышению уровня аналитико-синтетической деятельности при решении задач, был проведен обучающий эксперимент. Правила, реализующие применение общей идеи были составлены с таким расчетом, чтобы а) предупреждать наиболее распространенные ошибки в выполнении чертежа-наброска, б) содействовать всестороннему анализу чертежа, в) обеспечить четкое направление в переходах от одной промежуточной цели к другой (от одного искомого к другому) путем постановки необходимых вопросов на каждом этапе поисков с ориентировкой на конечное требование задачи, г) приучить испытуемых самостоятельно прибегать к использованию вспомогательных линий.

Приемы параллельного переноса и вспомогательного треугольника включались в систему правил как частные моменты, способствующие реализации основной идеи.

Система правил была следующая:

Чтобы найти план построения фигуры, необходимо:

1. Выполнить чертеж-набросок по условию задачи, выбирая фигуру в наиболее общем виде и нанося на чертеж все данные по условию элементы (если дана сумма или разность отрезков—отложить ее от какой-либо точки на чертеже).

2. Установить, какие «узловые точки» необходимо «знать» для построения всей искомой фигуры (для отрезка надо знать его концы, для треугольника или много-

1 Эта идея заимствована нами из работы Е М. Семенова „К вопросу о проведении анализа в задачах на построение в курсе геометрии VI и VII классов". В сборнике „Материалы 8-й научно-методической конференции математических кафедр педагогических и учительских институтов Урала". Свердловск, 1951.

угольника—его вершины, для окружности—центр и радиус и т. д.)

3. Найти на чертеже все элементы: точки, углы, отрезки и т. п., которые не даны непосредственно (при этом полезно названия элементов сопровождать их различными определениями).

4. Найти такую часть построения (угол, отрезок, дугу, треугольник), которая отвечает следующим условиям:

а) включает в себя некоторые узловые точки искомой фигуры;

б) может быть построена по известным элементам.

в) дает возможность построения искомой фигуры.

При этом надо исследовать все элементы и фигуры, имеющиеся на чертеже.

5. Если такая часть найдена, то выяснить, какие узловые точки искомой фигуры остались неизвестными и отыскать их положение по их свойствам, вытекающим из связей с известными элементами.

Для отыскания каждой точки надо найти две линии, на пересечении которых лежит данная точка (эти линии могут и не быть готовыми на чертеже).

6. Если положение неизвестной узловой точки нельзя определить на основании имеющегося чертежа, то надо этот чертеж преобразовать путем проведения вспомогательных линий, стараясь соединить неизвестную узловую точку с другими элементами на чертеже, которые или есть налицо, или их нет, но можно найти. При этом можно попробовать прием вспомогательного треугольника и параллельного перенесения.

7. Проведя пробную вспомогательную линию, надо проверить, путем применения правил 3, 4 и 5, полезна ли она для решения.

Эти правила выступали для учащихся в форме системы следующих вопросов, логически связанных друг о другом:

1. Какие узловые точки надо найти, чтобы построить всю фигуру?

2. Какие точки, отрезки и углы в условии прямо не даны, но могут быть найдены?

3. Какую часть чертежа (угол, отрезок, треугольник и т. п.), содержащую узловые точки, можно построить по известным элементам?

4. Какие узловые, точки мы находим, если достроим эту часть чертежа?

5. Положение каких узловых точек фигуры остается неизвестным?

6. На пересечении каких линий лежит каждая неизвестная узловая точка? Как найти (построить) эти линии?

7. Если неизвестные точки отыскать не удается, с какой известной точкой можно соединить неизвестную точку, чтобы ее построить? Как образовать вспомогательный треугольник?

Обучение испытуемых проводилось в форме обычных уроков с целым классом (7-б 518-й средней мужской школы г. Москвы; с конца ноября 1952 г. по март месяц 1953 г.). Было проведено 12 уроков, на которых под руководством экспериментатора было решено 15 задач: четыре простых, семь сложных без вспомогательных линий и четыре с вспомогательными линиями. Кроме того, по. заданию экспериментатора учащиеся решили по три задачи с вспомогательными линиями дома.

Система вопросов, заменяющих правила, была записана учащимися в тетрадях после трех уроков, когда класс первично был ознакомлен с общей схемой рассуждения при отыскании решения задачи. После этого занятия велись в форме беседы: вопросы ставились и ответы на них давались самими учащимися (этого добивался экспериментатор).

После обучения были образованы две группы испытуемых: 1) основная группа—10 человек, хорошо и среднеуспевающих по геометрии, проходивших экспериментальное обучение; 2) контрольная группа—10 человек, хорошо и среднеуспевающих из параллельного класса, не проходивших экспериментального обучения.

Испытуемые обеих групп обучались решению задач на построение в классе у одного учителя «традиционным способом»—общей идеи и правил решения не давалось, метод геометрических мест точек при построении треугольников и многоугольников не использовался.

Каждый испытуемый в индивидуальном эксперименте решал по 3 задачи—по одной задаче без вспомогательных линий и по две задачи с вспомогательными линиями.

Результаты экспериментов оказались следующими:

1. Испытуемые основной группы самостоятельно и правильно выполнили чертеж-набросок в 27 из 30 решений, а испытуемые контрольной группы —в 19 из 30 решений.

2. Испытуемые основной группы- -в 28 решениях из 30-ти сразу правильно ставили логически оправданную первую промежуточную цель—выделить узловые точки фигуры. Дальнейшее выделение построимых отрезков или треугольников проводилось уже с целью определения узловых точек.

Испытуемые контрольной группы после выполнения чертежа-наброска начинали поиски решения с выделения знакомой им частной задачи (выделение построимого отрезка или треугольника) без учета того, приведет ли она к возможности дальнейшего построения.

3. Испытуемые основной группы после выделения построимого треугольника на чертеже, четко выделяли последующие искомые—оставшиеся неизвестными узловые точки, каждую из которых отыскивали как пересечение наличных или воображаемых линий, т. е. в соответствии с идеей геометрических мест.

Испытуемые контрольной группы в поисках путей достройки искомой фигуры ориентировались непосредственно на отрезки, из которых состоит фигура, что является нежелательным, так как во многих случаях отрезок можно построить лишь предварительно отыскав его концы.

4. В задачах с вспомогательными линиями испытуемые основной группы в 19 из 20 решений самостоятельно осознавали необходимость применения вспомогательных линий, правильно обобщая этот прием на все задачи, где положение узловых точек нельзя было определить без преобразования чертежа-наброска. В 14 случаях учащиеся преобразовали чертеж правильно. При этом они формулировали, что достигалось преобразованием чертежа: «Мы узнаем положение таких-то вершин», или «осталось найти еще такие-то точки» и т. п., то есть сознательно включали тот или иной прием преобразования чертежа в общую идею поисков.

Испытуемые контрольной группы лишь в 13 из 20-ти решений самостоятельно прибегали к использованию вспомогательных линий, в остальных же случаях заявляли: «не знаю как», «не выходит», или «тут построить нельзя» и т. п. В 9 решениях учащиеся преобразовали чертеж пра-

вильно. Пробы самостоятельного проведения вспомогательных линий свидетельствовали о том, что испытуемые связывали отдельные приемы с внешними признаками задачи: «на трапецию задачи всегда решаются параллельным проведением линий» и т. п.

5. Испытуемые основной группы, отыскивая план построения, проводили рассуждения вслух, намечая и формулируя промежуточные цели: «для построения трапеции надо найти ее вершины», «осталось найти еще одну вершину» и т. п.

Испытуемые контрольной группы не проводили подобных рассуждений, а просто перечисляли действия в построении.

В целом система правил решения оказалась вполне доступной для учащихся 7 класса. Испытуемые усвоили идею отыскания решения задачи путем определения положения узловых точек фигур. Испытуемые основной группы решили задачу самостоятельно в 22 из 30 случаев, а испытуемые контрольной группы—в 17 из 30 случаев.

Основное преимущество процесса решения задач учащимися основной группы выразилось в большей целенаправленности и осознанности поисков решения.

Обучающий эксперимент показал, что средством совершенствования процессов анализа задачи служит вооружение учащихся общей идеей поисков решения, выраженной в системе правил-вопросов, постановка которых обеспечивает логически оправданные переходы от одного искомого к другому. Применение идеи отыскания узловых точек по их свойствам поднимает учащихся на уровень усвоения обобщенных приемов и способов решения геометрических задач на построение.

Ответственный за выпуск Ю.,В. Русов. МЦ 09393 Сдано в набор 271VIII—1955 года Подписано к печати 3|1Х—1955 года Формат бумаги 60x84. 1,1,4 печ. листа Зак. 291« Тираж 100 г. Бор, Горьковской области, ул. Ленина, 112. Типография облполиграфиздата