АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

Б. Ф. РУБИЛОВ

АНАЛИТИКО-СИНТЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук А. С. ПЧЕЛКО

Москва 1952

При решении задач аналитико-синтетический процесс мышления играет решающую роль. Вопрос об использовании анализа и синтеза при обучении решению задач служил предметом внимания и изучения на протяжении более столетия; по этому вопросу существует богатая литература.

Однако и до настоящего времени этот вопрос не получил достаточно отчетливого теоретического разрешения, в нем много противоречий, неясностей и прямых ошибок. Анализ и синтез в методике арифметики имеют различные толкования.

Важность вопроса, с одной стороны, и его недостаточная разработанность, — с другой, послужили основанием для того, чтобы заняться разработкой темы: „Аналитико-синтетический метод решения арифметических задач в начальной школе".

В задачу исследования входит:

1. Раскрыть содержание аналитико-синтетического метода решения арифметических задач в начальной школе, исходя из учения классиков марксизма-ленинизма об анализе и синтезе.

2. Выявить наиболее доступные и эффективные формы применения аналитико-синтетического метода при обучении решению задач в зависимости от возрастных особенностей детей.

Основным содержанием и методом исследования было:

1. Изучение высказываний об анализе и синтезе основоположников марксизма-ленинизма.

2. Критическое изучение дореволюционной методической литературы по вопросу об использовании анализа и синтеза при обучении решению задач.

3. Изучение по данному вопросу советской методической литературы.

4. Изучение современного опыта передовых советских учителей: а) по литературным источникам и б) при помощи живого и непосредственного наблюдения работы учителей в школах.

5. Проведение эксперимента в начальной школе по применению аналитико-синтетического метода при обучении детей решению арифметических задач.

Кроме того, при разработке темы диссертации автор опирался на опыт своей многолетней педагогической работы.

Результат исследования оформлен в виде диссертации, состоящей из введения, дающего обоснование выбранной теме, четырех глав и выводов, подводящих итоги исследования.

I глава

История вопроса о применении анализа и синтеза при решении арифметических задач в начальной школе

В первой главе дается краткое изложение взглядов дореволюционных русских методистов по вопросу о применении анализа и синтеза при обучении решению задач. Рассматриваются высказывания классиков-методистов: П. С. Гурьева, В. А, Евтушевского, B. А. Латышева, А. И. Гольденберга, Ф. И. Егорова, C. И. Шохор-Троцкого, Б. К. Беллюстина, К. П. Арженикова и др.

Основоположник русской методики П. С. Гурьев придавал решению задач очень большое значение. Он считал, что задачи должны возбуждать у детей интерес к арифметике и развивать их мышление. „Если при решении некоторых задач,—говорит автор,—дети будут затрудняться, то долг учителя раздроблять такие задачи, делая при том частные вопросы, которые поясняют дело"1. „Раздроблять" в пониманиии П. С Гурьева это значит — из составной задачи выделить все простые задачи, на которые она распадается.

1 Руководство к преподаванию арифметики малолетним детям. Составлено Петром Гурьевым, СПБ., 1839 г., стр. 37.

Основой обучения решению задач П. С. Гурьев считал понимание учащимися функциональных связей между данными и искомой величиной. Он указывал, что „всегда надобно иметь в виду то число, которое отыскивается, и вникать в условия и отношения, какими оно связано с данными числами"1.

Решение арифметических задач П. С. Гурьев тесно связывал с рассуждениями аналитического характера, но он не дифференцировал отдельных этапов решения задачи. Разбор задачи сливался у него с составлением плана и производством действий.

В. А. Евтушевский впервые наметил отдельные этапы в решении задачи: 1) чтение и усвоение условия, 2) разбор задачи, 3) составление плана решения и 4) вычисления. В. А. Евтушевский ввел синтетический и аналитический методы разбора задач. Эти виды разбора он рассматривал и применял как отдельные, обособленные приемы рассуждений, не связанные между собой.

В. А. Латышев разбор задачи считал центральным моментом при отыскании путей решения. Этот разбор у него носил форму объяснительной беседы. Задача рассматривалась им как статья, содержание которой нужно объяснить детям, обратив их внимание на наиболее существенную часть статьи. Объяснительная беседа в понимании Латышева содержит много аналитических моментов, но анализ как логическая схема рассуждений занимает у В. А. Латышева скромное место.

А. И. Гольденберг утверждал, что анализ и синтез всегда сопровождают решение каждой задачи. Анализ он понимал как рассуждение, приводящее к составлению плана, а синтезом считал самый план решения.

А. И. Гольденберг с большей четкостью, чем его предшественники, сформулировал основные этапы решения задачи:

1) анализ задачи, то-есть то рассуждение, которое должно предшествовать установлению плана решения; 2) синтез задачи, то-есть установле-

1 Практическая арифметика. Составлена Петром Гурьевым, СПб., 1870 г., стр. 112.

кие содержания и порядка тех простых задач, на которые должна быть разложена данная сложная задача; 3) определение действия для каждой простой задачи и 4) вычисление (выполнение арифметических действий).

Однако взаимосвязь анализа и синтеза понималась им внешне как отношение простой последовательности (сначала анализ, потом синтез).

Ф. И. Егоров углубил мысль Гольденберга о разборе задач, считая анализ и синтез процессами, связанными между собой. В то же время он утверждал, что существуют чистые формы анализа, которые могут применяться при изложении хода решения задач. Анализ и синтез он понимал как приемы решения задач: аналитический прием решения задач, синтетический прием решения задач.

С. И. Шохор-Троцкий считал, что учащимся надо предлагать задачи только простые, незамысловатые, с которыми они могут справляться самостоятельно. Отсюда вытекало его убеждение в том, что нет необходимости глубоко разрабатывать методику обучения детей решению задач, в частности вопрос об анализе и синтезе. Он считал, что введенная им „Метода целесообразных задач", состоящая в системе постепенно нарастающих по трудности последовательных заданий, создает все условия для успешного обучения решению задач.

В. К. Беллюстин в своих методических работах пришел к выводу, что при решении задач находит место совместное применение анализ и синтез.

В. К. Беллюстин писал, что „ни синтез отдельно, ни тем более анализ отдельно не могут считаться приемами решения, задачи должны решаться совместным применением анализа и синтеза"1. Но считая при решении задач процесс мышления единым, В. К. Беллюстин тем не менее на практике разделял его на два самостоятельных и обособленных процесса. „Приучая к анализу, мы тем более должны приучать к синтезу"2. В. К. Беллюстин ввел новые термины: синтетическая и аналитическая проработка условия задачи.

1 В. К. Беллюстин, Методика арифметики, т. III, Москва, 1906, стр. 55.

2 Там же.

К. П. Аржеников, рассматривая вопрос об анализе и синтезе в теоретическом плане, утверждал совместное их применение, но при практическом обучении решению задач он к анализу относился отрицательно и преобладающим приемом разбора задач считал синтез. К. П. Аржеников понимал анализ только как логическую схему рассуждений, а так как длинная цепь логических рассуждений для детей в возрасте начальной школы непосильна, то он отрицал применение анализа детьми данного возраста.

В числе последних методических работ дореволюционного периода были „Очерки по методике арифметики" Ф. А. Эрна.

Ф. А. Эрн считал, что при решении задач мыслительный процесс заключается в движении от данных к искомому и от искомого к данным.

Но аналитический и синтетический приемы разложения составных задач он рассматривал как самостоятельные виды рассуждений. Ф. А. Эрн утверждал, что „следует сначала научить детей пользоваться синтетическим приемом, как наиболее простым"1.

Таким образом, русские методисты постепенно, в результате долгих исканий, пришли к убеждению, что при обучении решению задач необходимо применять и анализ и синтез. К такому выводу их наталкивала как наблюдавшаяся ими широкая практика, так и непосредственная педагогическая работа в школе. Но так как идеалистическая философия того времени считала анализ и синтез обособленными, самостоятельными процессами мышления, то эта порочная теоретическая база не могла не сказаться и на принципиальных взглядах в вопросе применения анализа и синтеза при решении задач. В своих выводах методисты указывали, что при обучении детей решению задач надо отдельно научить применять синтез и отдельно применять анализ.

Из нечеткого, во многих случаях ошибочного решения сущности анализа и синтеза вытекала и сбивчивая, путаная, неопределенная терминология, связанная с применением анализа и синтеза.

1 Ф. А. Эрн, Очерки по методике арифметики, Рига, 1915, стр. 98.

Последним придавали самое разнообразное значение и название: синтетический и аналитический методы разбора (Евтушевский); объяснительная беседа (Латышев), синтетический и аналитический приемы решения (Егоров), синтетический и аналитический способы решения задач (Шохор-Троцкий), синтетическяя и аналитическая проработка условия (Беллюстин), аналитико-синтетический способ решения (Мукалов) и др.

II глава

Вопрос об анализе и синтезе в современной логике и психологии

Во второй главе разбираются следующие вопросы: 1) задача мышления в процессе познания объективной действительности, 2) понимание анализа и синтеза в логике и психологии, 3) роль анализа и синтеза при решении задач.

Раскрытие связей между предметами составляет задачу мышления, которая заключается в том, чтобы выявить существенные связи, отделив их от случайных, и сделать обобщение.

Мышление является предметом изучения логики и психологии. Каждая из этих дисциплин имеет отличительные особенности своего исследования. Логика-наука о законах правильного мышления. Психология изучает, как протекает мыслительный процесс. Отличаясь друг от друга, психология и логика мышления взаимно связаны.

Анализ и синтез относятся к операциям мыслительной деятельности, вскрывающим внутренние связи, закономерности и свойства познаваемых предметов и явлений.

Анализ, расчленяя целое, дает нам знание об отдельных элементах. Синтез восстанавливает целое, вскрывая связи и отношения выделенных анализом элементов.

Анализ расчленяет проблему, синтез объединяет данные для ее решения.

Анализ и синтез в течении мыслительного процесса являются неразрывными. Энгельс по этому вопросу

говорит: „Мышление состоит столько же в разложении объектов сознания на их элементы, сколько в соединении родственных между собой элементов в единстве. Без анализа нет синтеза"1.

В. И, Ленин указывал на „соединение анализа и синтеза", как на один из существенных элементов материалистической диалектики"2.

Каждая арифметическая задача состоит из трех составных элементов: 1) условия, 2) числовых значений и 3) вопроса задачи.

Если анализ, согласно учению логики, расчленяет проблему, то анализ арифметической задачи заключается в расчленении и выделении составных элементов задачи.

При анализе составных элементов задачи: 1) выделяются отдельные звенья условия задачи, 2) вскрывается зависимость между данными величинами, 3) устанавливается связь между искомой величиной и данными на основании условия задачи. Нахождение связи между искомой величиной и данными является центральным моментом при отыскании путей решения задачи.

Анализ и синтез в школьных условиях ставят ученика перед необходимостью раскрывать существенные связи между величинами, выражать их точно и последовательно при помощи слов.

„Слово для человека, — говорил И. П. Павлов, — есть такой же реальный условный раздражитель, как и все остальные, общие у него с животными, но вместе с тем и такой многообъемлющий, как никакие другие, не идущие в этом отношении ни в какое количественное и качественное сравнение с условными раздражителями животных"3.

Эта идея И. П. Павлова о роли слова приобретает особое значение в свете гениальных трудов И. В. Сталина по вопросам языкознания, где указывается, что „будучи непосредственно связан с мышлением, язык регистрирует и закрепляет в словах и в

1 Ф. Энгельс, Анти-Дюринг, М., 1933, стр. 29.

2 В. И. Ленин, Философские тетради, 1938, стр. 212.

3 Журнал высшей нервной деятельности имени И. П. Павлова, т. 1, вып. 6, М., 1951, стр. 800.

соединении слов в предложениях результаты работы мышления" (И. Сталин, Относительно марксизма в языкознании, 1951, стр. 21).

При решении и составлении задач приходится обращать внимание учащихся на связь между искомой и данными величинами и учить выражать эти связи сжатой и точной речью. Язык и мышление школьника развиваются в активном взаимодействии.

Выводы

1. При решении арифметических задач в начальной школе анализ и синтез необходимо рассматривать как две стороны одного мыслительного процесса и применять необходимо их во взаимной связи.

2. Взаимное проникновение анализа и синтеза состоит в гибкой, подвижной связи между ними, когда на некоторых этапах мышления усиливается анализ, а на других синтез, незаметно, как бы неуловимо переходя и сменяя друг друга.

3. Логический процесс мышления имеет своей основой физиологический процесс, протекающий в коре головного мозга, обусловленный законами высшей нервной деятельности.

4. Аналитическая работа над задачей: а) подводит учащихся к отысканию путей решения данной задачи; б) способствует развитию логического мышления и развитию точной математической речи учащихся.

III глава

Состояние вопроса об аналитико-синтетическом методе решения арифметических задач в советской методике арифметики

В третьей главе раскрываются взгляды на анализ и синтез при обучении детей решению задач советских методистов, и анализируется опыт учителей по обучению детей решению арифметических задач.

До постановления ЦК ВКП(б) от 5 сентября 1931 г. „О начальной и средней школе", в период господства комплексных программ арифметика не являлась само-

стоятельным учебным предметом. В работах, посвященных методике арифметики, можно заметить лишь робкие шаги в постановке и разработке вопроса о применении анализа и синтеза при решении задач.

После постановления ЦК ВКП(б) о школе, указавшего пути и средства к осуществлению основных задач школы, первые методические руководства по арифметике в вопросе обучения решению задач использовали все то лучшее и ценное, что было отражено в работах дореволюционных методистов: Гольденберга, Егорова, Беллюстина и др.

Параллельно с этим развивалась работа о применении анализа и синтеза к решению задач на основе марксистско-ленинского учения об единстве анализа и синтеза. В методических руководствах стал применяться термин „аналитико-синтетический процесс мышления" при решении задач.

Ряд методистов признают единство анализа и синтеза в теории, но на практике они разрывают эти понятия, считая анализ и синтез самостоятельными методами разбора задачи. С одной стороны, они указывают на неразрывность анализа и синтеза, а с другой—основой обучения решению задач считают только синтез, который лишь „контролируется данными анализа".

„Разбор задачи для составления плана ее решения собственно и можно проводить либо синтетически, либо аналитически" — говорят эти методисты.

Таким образом, практика использования аналитико-синтетического метода у них расходится с теорией.

Другие советские методисты, соглашаясь с тем, что анализ и синтез неразрывно связаны между собой, тем не менее эту связь понимают чисто внешне, как отношение простой последовательности. Они утверждают, что анализ применяется при разборе задачи, а синтез используется на дальнейших этапах решения задачи. Анализ и синтез рассматриваются ими как два процесса, следующие один за другим. „Мы говорим об аналитико-синтетическом разборе, потому что за анализом задачи следует синтетическое ее решение".

Таким образом, эти методисты применяют анализ

и синтез без взаимопроникновения их в процессе мышления.

Среди методистов и учителей распространен также взгляд на анализ как на расчленение задачи, начиная с ее вопроса, и на синтез как на расчленение задачи, начиная с выбора данных.

В таких случаях анализ сводится к составлению логической схемы и приурочивается только ко второму этапу — разбору задачи. Тем самым обедняется содержание аналитической работы; анализ принимает слишком сложную форму и исключает применение учащимися других средств отыскания путей решения задачи.

„Место анализа в IV классе", — утверждают эти методисты.

У ряда советских методистов, полностью признающих единство анализа и синтеза, мы находим попытку использовать их во взаимной связи, начиная с решения простых задач.

„Понять задачу в одно действие — это значит прежде всего найти связь между вопросом задачи и её данными. Но для того, чтобы ребёнок мог связать данные и вопрос, он должен сначала их расчленить, он должен уметь различать условие задачи и вопрос задачи".

Аналитическая работа проводится этими методистами в связи с записью условия задачи в виде схемы, в связи с расчленением задачи на условия и вопрос, с конкретизацией данных величин и т. д. Центральное место отводится разбору задачи, который считается аналитико-синтетическим процессом.

Аналитико-синтетический процесс рассматривается ими, главным образом, при решении простых и составных задач, решаемых двумя действиями.

Однако при дальнейшем разборе усложнённых задач у них проявляется тенденция к усилению анализа за счёт синтеза. Анализ становится как бы самостоятельным. Он проводится по традиционной, сложной для детей логической схеме, начиная с вопроса задачи. Взаимная связь анализа и синтеза на протяжении всего хода решения задачи выражена недостаточно ярко и последовательно.

Таким образом, практика применения аналитико-

синтетического метода у данных методистов отстаёт от теории.

Широкое распространение получает аналитическая работа и в практике обучения решению задач в школе.

Творческая мысль учителей направляется на поиски способов и приёмов, усиливающих применение элементов анализа.

Учителя проводят в соответствии с указаниями Методики подготовительные упражнения для обучения детей анализу и синтезу. Для анализа условия задачи используют наглядные пособия, конкретизируя данные в задаче величины и количественные отношения между ними; запись условия задач проводят в виде схемы, чертежа.

Итак, при всех своих достижениях в вопросе об единстве анализа и синтеза и применении их во взаимном проникновении, современная методика арифметики ещё не решила с достаточной определённостью вопроса о взаимосвязи анализа и синтеза при обучении решению задач, а также и о сущности аналитико-синтетического метода решения задач.

IV глава

Аналитико-синтетический метод решения задач по данным эксперимента

Четвёртая глава содержит в себе описание эксперимента по применению аналитико-синтетического метода в обучении решению задач, проведённого в четырёх классах начальной школы, и анализ его результатов.

В ней вскрыто содержание аналитико-синтетического метода решения арифметических задач и намечена система применения анализа и синтеза по классам в засисимости от возрастных способностей детей.

Эксперимент проводился: а) на классных занятиях, б) на занятиях с группами и в) с отдельными учащимися. Кроме того, посещались и анализировались уроки учителей в контрольных и других классах массовых школ.

Цель классного эксперимента состояла в том, чтобы исследовать, в какой степени анализ и синтез, проводимые в условиях урока, способствует развитию мышления и речи учащихся, развитию уменья и навыков решать

задачи тех видов и типов, которые указаны в программе начальной школы.

Экспериментатором проводилось обучение решению задач в четвертой четверти и в первой четверти 1951/52 уч. г. дан 61 урок в I — IV классах. Продолжительность классного эксперимента 3,5 месяца.

Аналитико-синтетический процесс при решении задач в экспериментальных классах имел следующие особенности:

1. Анализ и синтез применялись на каждом этапе решения задач: при ознакомлении с условием задачи, при разборе задачи, при составлении плана решения задачи, при вычислениях и в работе, проводимой после решения данной задачи. (В существующей практике учителей анализ приурочивается, главным образом, к разбору задачи, а синтез к составлению плана решения задачи.)

2. Взаимная связь анализа и синтеза была динамичной, гибкой; на некоторых этапах решения задачи усиливался анализ, на других — синтез.

3. В зависимости от структуры задачи аналитико-синтетическая работа имела различное содержание: а) проведение подготовительных упражнений, б) изучение зависимости между величинами (разбор функциональных связей), в) применение разнообразных средств наглядности в виде предметов, иллюстраций, чертежей, инсценировок, г) замена конкретных числовых значений отвлеченными величинами.

4. Опыт, проводившийся в классе, имел отражение и в самостоятельной работе учащихся, которые должны были ответить не только на вопросы: „Что узнал", „Как узнал", но и указать, какое искомое связано с данными, имеются ли все данные для его нахождения.

5. При отыскании путей решения задачи фиксировалось внимание учащихся как на условии, так и на вопросе задачи.

При помощи кратких логических рассуждений учащиеся переходили к составлению плана решения задачи, а потом производили вычисления.

Развернутые логические рассуждения по определенной схеме, построенной от вопроса задачи, не

применялись. Рассуждения охватывали не более двух-трех звеньев в зависимости от класса, от возраста учащихся.

При решении каждой задачи учащиеся должны были указывать недостающие или необходимые компоненты для нахождения искомого числа.

6. Особое внимание обращалось на изучение зависимостей между часто встречающимися величинами, как-то: между ценой, количеством и стоимостью, между скоростью, временем и пройденным расстоянием, между производительностью труда, временем и количеством выработанной продукции и др., что закладывало основу для анализа более сложных арифметических задач, в которых изученная зависимость использовалась.

Результаты классного эксперимента особо яркое выражение находят при сравнении письменных работ. Всего проведено пять контрольных работ. Проанализированы 5742 работы.

Контрольные работы, проведенные во всех четырех классах школ, показали, что все экспериментальные классы дали более высокие показатели, чем контрольные классы. Учащиеся экспериментальных классов дали значительно большее число правильно решенных задач, значительно меньше учащихся не приступали к решению, по сравнению с учащимися в контрольных классах.

Характер ошибок в контрольных работах:

1. Объединение числовых величин, расположенных рядом в условии задачи (70 кустов складывали с 3 рядами).

2. Производство лишних действий, не требующихся для решения вопроса задачи.

3. Механическое комбинирование данных.

4. Неправильная постановка наименований и сомножителей (20 рядов X 3 кус. = 60 кустов).

5. Ошибки в вычислениях.

У учащихся экспериментальных классов отсутствуют ошибки первого и третьего вида и меньшее число ошибок других видов, что говорит о большей их

Сравнительный анализ контрольных работ в экспериментальных и контрольных классах по пятой работе

Число уч-ся

Применение действий

Количество правильных составленных задач

Количество правильно решенных задач

эксп. класс

контр, класс

эксп. класс

контр, класс

эксп. класс

контр, класс

I класс

31 уч.

36 уч.

Сложение Вычитание

100% 70,3 °/о

74,7 %

10%

96.7%

65.8 %

52,6% 8,4%

II

класс

III класс

IV класс

эксп. класс 29 уч.

контр, класс 38 уч.

эксп. класс 34 уч.

контр, класс 38 уч.

эксп. класс 44 уч.

контр, класс 34 уч.

а) Количество правильно решенных задач

56,9 %

22,4 %

80,9%

21,1 %

70,5 %

51,5 %

б) Количество задач с правильным ходом решения, но с ошибками в вычислениях

12,1 %

3,9%

5,9 %

5,1%

17%

12,1%

в) Количество неправильно решенных задач

31 %

54°/о

13,2 %

64,6 %

10,2%

24,3%

г) Не приступили к решению

19,7 %

9,2 %

2,3%

12,1%

сознательности при решении задач, о более глубоком понимании существенных связей между искомой величиной и данными.

Исследование показало, что применение аналитико-синтетического метода решения во всех четырех экспериментальных классах дало значительно лучшие результаты и по сравнению с классами массовой школы.

Для более успешного проведения классного эксперимента, когда обучение решению задач было

связано с изучением нового материала, в каждом экспериментальном классе были организованы занятия с группами учащихся по 3 — 4 человека в группе, в состав которой входили: слабо успевающий, посредственно успевающий и хорошо или отлично успевающий учащийся. С такой группой заранее изучался тот материал, который был намечен для классного эксперимента. Небольшой состав группы давал возможность выявить, в чем заключаются затруднения учащихся при решении определенного вида и типа задач; какой из применяемых приемов обучения решению задач дает наибольшую эффективность. При групповом занятии с учащимися I класса удалось установить, что они не различают элементы задачи; вопрос задачи сливают с ее условием, опускают вопрос задачи, затрудняются ответить на вопрос „Как узнали?".

В IV классе на первых уроках занятий с группой было выявлено неуменье учащихся составить задачи на различное применение каждого арифметического действия, решить неполную задачу, самостоятельно объяснить решенную задачу. В четырех экспериментальных классах было проведено 53 групповых занятия.

Групповой эксперимент был организован и для неуспевающих учащихся I —IV классов, получивших работу на лето по арифметике. Цель занятий— научить учащихся решать задачи. Занятия продолжались 1,5 месяца. Во всех классах проведены 142 занятия. Каждое занятие длилось свыше часа и проводилось по следующей схеме: а) проверка домашнего задания, б) устный счет, в) коллективное решение задач, г) самостоятельная работа, д) задание на дом.

Наибольшее внимание уделялось коллективному решению задач. Разбор задачи всегда заканчивался составлением плана, после чего план иногда записывался, иногда производились вычисления, но чаще всего вычисления выполнялись учащимися самостоятельно.

С учащимися I класса удалось достигнуть тего, что они научились решать задачи в два действия. При решении задач учащиеся обращали внимание и на условие и на вопрос задачи. При решении задач в два действия могли определить, что данную задачу

одним действием решить нельзя; указывали недостающий компонент, составляли план решения и производили вычисления.

С группой учащихся II класса вначале были пройдены все этапы по обучению решению задач, какие были рассмотрены в I классе. Эта работа заняла десять уроков.

Особое внимание обращалось на следующие моменты: 1) на понимание смысла каждой задачи, 2) на умение рассуждать при выборе соответствующего действия, 3) на умение правильно записать наименование.

Эксперимент показал, что учащиеся с большим трудом овладевают решением задач в три действия. Правильно определив недостающие компоненты для искомой величины, они обрывают составление плана, полностью его не формулируют, а сразу переходят к вычислениям.

С группой III класса были пройдены все этапы по обучению решению задач, какие были проработаны во II классе. Чтобы заложить прочную основу уменья решать задачи, первоначально обращалось особое внимание на решение задач в 2 и 3 действия. При решении отдельных вопросов от учащихся требовалось, чтобы они указывали или один недостающий компонент или оба компонента.

Система занятий, проведенная в III классе, была применена и в IV классе. Четкое усвоение зависимостей между величинами и указание связей между искомой величиной и данными задачи приводили к отысканию путей решения. Кроме того, уделялось значительное время на решение одной задачи различными способами и на оценку выбранного приема решения самими учащимися.

Групповые занятия, проведенные с широким использованием совместного применения анализа и синтеза, привели к положительным результатам. На испытаниях предложенные задачи из девяти человек разных классов решили семь человек. Не решил задачу один из учащихся II класса, пропустивший много занятий, и один из IV, так как летний период для данного учащегося оказался недостаточным по

времени, чтобы в должной мере развить его мышление и тем создать основу для успешного решения задач.

Как при классных занятиях, так и при групповых с отдельными учащимися проводился индивидуальный эксперимент. В каждом классе было выделено 3 — 4 человека с различной успеваемостью по арифметике, от слабо успевающих до отлично успевающих учащихся.

Цель проведения индивидуальных экспериментов заключалась в том, чтобы при помощи наблюдения за решением задачи каждым отдельным учеником и при помощи постановки соответствующих вопросов выявить, как он приступает к решению задачи, как он отыскивает пути решения, какие затруднения для него оказываются непреодолимыми и какую помощь надо оказать учащемуся, чтобы добиться от него правильного решения.

В экспериментальных классах было проведено 28 индивидуальных экспериментов, в контрольных классах—22, в других классах и школах — 307.

Во всех случаях, когда для учащихся ход решения предложенной задачи был ясен, связи между данными или между данными и искомыми были понятны, они начинали сразу решать задачи, указывали последовательность вопросов и производили вычисления.

Когда же задача была не ясна учащимся, ход решения сразу наметить было трудно, тогда некоторые из них пытались найти путь решения при помощи неоднократного перечитывания только условия задачи и сравнения данных, а другие, начав с условия, обращали внимание и на вопрос задачи. В последнем случае мысль учащихся перебегала от данных к искомым и от искомых к данным, чтобы найти недостающий компонент.

Третья категория учащихся при отыскании путей решения использовала различные способы: заменяли многозначные числа однозначными, чтобы отчетливей их себе представить; сюжет задачи представляли в виде совершаемого действия, а себя воображали дей-

ствующими лицами, вспоминали тип ранее решенной задачи; применяли различные средства наглядности.

Индивидуальный эксперимент дал возможность установить и типичные недочеты работы учителей, применяющих анализ и синтез без должной взаимосвязи между ними: а) учащиеся чаще отыскивали путь решения, исходя только из данных условий задачи — в 26 случаях из 48; б) учащиеся заканчивали разбор задачи составлением плана в 11 случаях из 38, а у остальных вопросы плана чередовались с действиями; в) учащиеся I и II класса указали один недостающий компонент в 7 случаях из 23, два компонента в 4 случаях из 23. Учащиеся III и IV классов указали два компонента в 9 случаях из 25.

Выводы

На основании проведенного исследования и данных современной методической литературы можно сделать следующие выводы:

1. Аналитико-синтетический метод решения арифметических задач основан на марксистско-ленинском учении об единстве анализа и синтеза в их взаимной связи. Он вытекает и из принципов советской педагогики и дадактики.

2. Аналитико-синтетический метод решения задач надо рассматривать как принцип работы учителя и ученика над задачей. Он указывает направление в работе, дает понять, что работа над задачей должна быть осмысленной, связанной с развитием творческого мышления учащихся, с уменьем расчленить целое на части, с уменьем соединять отдельные элементы по их существенным признакам. Аналитико-синтетический метод не является способом или приемом решения задач; это—основное и главное средство к отысканию путей решения, к отысканию конкретных способов и приемов решения данной задачи. В рамках аналитико-синтетического метода находят свое использование разные и многообразные способы решения задач (способ приведения к единице, способ отношений, способ уравнивания и т. д.).

3. Аналитико-синтетическая работа над задачей находит свое применение не на одном каком-либо этапе решения задачи, как это утверждается в большинстве современных методических руководств, а на всех этапах: при ознакомлении с условием задачи, при ее разборе, при составлении плана решения, при вычислениях и при дополнительной работе над задачей после ее решения.

При ознакомлении с условием задачи аналитико-синтетическая работа находит свое выражение в следующем: при повторении задачи по вопросам учителя выделяются из текста числовые значения, выделяется вопрос задачи и тем самым задача расчленяется на отдельные звенья. При записи данных в виде схемы объединяются величины, находящиеся между собой в функциональной связи. Путем применения различных средств наглядности при усвоении условия данные величины конкретизируются и между ними устанавливаются количественные отношения.

На втором этапе при разборе задачи находит яркое выражение анализ, при помощи которого раскрываются причинно-следственные связи между величинами: почему изменилась данная величина, что повлияло на ее изменение, какой вывод можно сделать из сравнения изменений рассматриваемых величин и тем самым в сознании учащихся подчеркиваются существенные связи между величинами и отбрасываются случайные связи.

Вопрос задачи представляет собой проблему. Подбирая данные для решения вопроса, мы расчленяем эту проблему. Необходимые компоненты ищутся среди данных условия, в объединении данных осуществляется синтез.

Разбор задачи заканчивается рассуждениями по определенной логической схеме, которая в начальной школе не должна превышать двух, трех звеньев.

Третьим этапом, как известно, является составление плана. Если при разборе задачи преобладала аналитическая работа, то на данном этапе преобладает синтез. Но так как для нахождения искомого надо отчетливо представлять связи между отдельными величинами, то эту синтезирующую работу не может не сопровождать анализ.

Четвертый этап — вычисления. При решении каждого вопроса плана из условия задачи выбираются определенные числа (анализ) и над ними производятся соответствующие действия (синтез).

Пятый этап —работа над задачей после ее решения. Цель данного этапа — углубить понимание смысловой стороны задачи, усвоить приемы рассуждений при решении. Работа над задачей после ее решения может принимать различные формы:

а) Повторение решения задачи в целом. При повторении с первого вопроса и действия на первый план выступает синтез. Постановка вопроса „Зачем это нужно было узнать?" вносит в повторение элементы анализа.

б) Проверка решения задачи может быть осуществлена различными способами. Если для проверки найденный результат вводят в условия задачи, а одно из ранее данных делают искомым, то проверка сводится к решению новой задачи, а следовательно, опять будут повторятся все этапы решения, где анализ и синтез взаимно связаны.

в) Поиски новых способов решения одной и той же задачи. В данном случае связь между искомым и данным может быть найдена различными способами. Во всех случаях расчленение вопроса осуществляется анализом, а сравнение необходимых компонентов с данными условия являются синтезом.

4. Аналитико-синтетический метод решения дает наилучшие результаты, если он применяется в определенной системе, начиная с I класса начальной школы. Наше исследование, операющееся на эксперимент и данные современной методической науки, дает возможность наметить следующую систему применения анализа и синтеза.

I этап — усвоение условия задачи

Условие задачи в I классе должно иллюстрироваться при помощи конкретных предметов, картинок, отдельных рисунков, а затем должен быть сделан переход к записи только числовых значений. В последующих классах должна быть введена запись условия задачи при помощи схемы или чертежа,

которые, группируя данные, помогают учащимся понять и выделить взаимосвязанные величины.

При повторении условия задачи необходимо практиковать:

а) расчлененное повторение задачи с выделением каждого данного и вопроса задачи, б) повторение условия в целом, в) повторение условия задачи без указания числовых значений.

II этап — разбор задачи

Исследование показало, что основой обучения решению задач является разбор простых, неполных и составных задач, решаемых двумя-тремя действиями.

В I классе при разборе составных задач необходимо указывать, что данная задача не может быть решена одним действием и почему нельзя ее решить одним действием.

Во II классе при решении задач двумя действиями надо указывать или один недостающий компонент, или два необходимых компонента. При решении задач тремя действиями посильным является указание одного недостающего компонента.

В III классе при разборе задачи должны называться те величины, числовые значения которых даны в тексте задачи, чтобы использовать при решении часто встречающиеся зависимости. Необходимо указывать связь искомой величины с данными.

В IV классе учащиеся должны проводить разбор более или менее самостоятельно. Для учащихся IV класса самостоятельное построение логической схемы является посильным при решении задач в три действия, а при несложной структуре задачи и в четыре действия.

III этап — составление плана решения задачи.

Во всех классах разбор задачи должен заканчиваться составлением устного плана. Составление плана начинается с решения задач в два действия, когда учащиеся I класса указывают, что данную задачу одним действием решить нельзя, а потому намечают, что сначала будут узнавать и что потом узнают.

Учащиеся II класса должны уметь самостоятельно составлять план решения задач в два-три действия.

Работа над составлением устного плана продолжается в III и IV классах. Письменный план должен применяться, начиная с III класса, так как до этого времени грамотность учащихся является недостаточной.

IV этап — вычисления

Выбор данных и действий при вычислении усложняется в зависимости от структуры задачи и от характера связи между величинами, что определяется программой каждого класса.

Постепенно усложняется на данном этапе формулировка и запись плана решения задачи. В I и во II классах должна проводиться только запись действий с указанием наименований, а в III классе проводится запись пояснений получаемого результата каждого действия и запись плана с чередованием вопросов и действий.

В IV классе возможна запись всего плана, а потом производство вычислений.

V этап — работа над задачей после её решения

Исследование потвердило, что в I классе работа над задачей после её решения может выражаться в повторении решения задачи,в составлении задач на каждое решенное действие, в составлении как полных, так и неполных задач, в которых отсутствует вопрос или один из необходимых компонентов.

Во II классе работа над задачей должна углубляться отыскиванием разных способов решения одной задачи, проверкой решения задачи, составлением как полных, так и неполных задач, в которых отсутствует вопрос или оба необходимые компонента.

В III классе работа над задачей должна сопровождаться оценкой решений задачи разными способами.

В IV класс, кроме перечисленных приемов, должно указываться сходство и различие между разными способами решения одной и той же задачи.