МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

А. С. РОБАЧЕВСКИЙ

МЕТОДИКА ЭЛЕМЕНТАРНОГО КУРСА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ,

представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.

МОСКВА - 1952

В методическом руководстве по теории вероятностей нельзя обойти молчанием вопрос о необходимости и случайности. Этот вопрос не мог быть разрешен метафизической философией, ошибки которой были вскрыты еще Энгельсом, и только диалектический материализм внес полную ясность в проблему случайности.

Товарищ Сталин говорит следующее:

«В противоположность метафизике диалектика рассматривает природу не как случайное скопление предметов, явлений, оторванных друг от друга, изолированных друг от друга и независимых друг от друга, а как связное единое целое, где предметы, явления органически связаны друг с другом, зависят друг от друга и обусловливают друг друга». (И. В. Сталин. Вопросы ленинизма, 11 изд., стр. 536).

Следует обратить внимание на то, что товарищ Сталин говорит о взаимной связи, взаимной зависимости и взаимной обусловленности явлений, но не говорит о причинности. Это не случайно. Дело в том, что понятие взаимной связи, взаимной зависимости и обусловленности гораздо шире, чем понятие причинности.

«Каузальность (причинность), обычно нами понимаемая, есть лишь малая частичка всемирной связи, но частичка не суъбективной, а объективно реальной связи». (В. И. Ленин. Философские тетради. 1936 г., стр. 156).

Итак, мы видим, что не следует смешивать понятие взаимосвязи, взаимной обусловленности явлений с одной стороны и понятие причинности — с другой.

Причинные связи многочисленны, многообразны и сложны. Причины могут быть постоянные, временные, главные, второстепенные и т. д. Связи явлений могут иметь характер условий, поводов, могут быть необходимыми, существенными, случайными, неустойчивыми и т. д. Явления могут сопутствовать

одно другому, предшествовать одно другому при отсутствии причинной связи между ними.

Устанавливая причинную связь, мы должны сделать выбор, должны из множества связей в качестве причины выделить самую существенную, определяющую, самую устойчивую, необходимую и прочную связь.

Причинные связи получают свое выражение в законах, которым подчинено данное явление. Ясно, что ни один закон не охватывает всей полноты явления, т. к. не отражает в себе всех связей, обусловливающих данное явление.

«Закон берет спокойное — потому закон, всякий закон узок, неполон, приблизителен». (В. И. Ленин. Философские тетради. Партиздат, 1936 г., стр 148).

Те связи, которые не охватываются законом, мы называем случайностью по отношению к данному процессу. Таким образом, случайность неразрывно связана с закономерностью, является формой проявления необходимости. Так, например: закон полета снаряда устанавливается внешней баллистикой, но этот закон, по выражению В. И. Ленина, «берет спокойное», т. е. предусматривает определенные, неизменные условия.

На самом деле условия постоянно меняются и потому закон полета снаряда проявляется в массе случайных отклонений, как некоторая преобладающая тенденция, как средняя траектория, по выражению артиллеристов.

Эти случайные отклонения необходимы. Если в отдельном случае отклонение снаряда окажется равным нулю, то это будет тоже случайностью, состоящей в том, что отклонения з противоположные стороны, вызываемые неисчислимым множеством случайных причин, взаимно уничтожились.

Однако нет никакой необходимости в том, чтобы отклонение снаряда оказалось равным, например, 2 метрам.

Такое отклонение может быть, но может и не быть. Связь такого отклонения с законом полета снаряда является временной, неустойчивой (не при каждом выстреле).

Мы видим, что случайность в своих конкретных проявлениях является связью таких явлений, которые могут существовать одно без другого. Отличительным признаком случайной связи является временный, неустойчивый характер ее.

Важно подчеркнуть, что необходимость и случайность существуют объективно и связаны друг с другом диалектиче-

ским единством. Случайное необходимо, т. к. оно является формой проявления необходимости. Вместе с тем случайное не необходимо, т. к. оно не вытекает с необходимостью из закономерности развития данного процесса.

При известных условиях случайное может перейти в необходимое и необходимое — в случайное. Это значит, что неустойчивые связи могут стать устойчивыми и наоборот. Многочисленные опыты и наблюдения не оставляют сомнения в том, что случайные явления подчиняются особым законам, но эти законы проявляются только в больших количествах событий, или, как говорят, в массовых явлениях, изучение которых имеет большое значение в различных областях науки и техники.

На основании всего сказанного можно утверждать, что с точки зрения диалектического материализма не возникает вопроса о правомерности теории вероятностей, как науки о массовых, случайных явлениях.

Нет надобности останавливаться на том, что теория вероятностей, как математическая дисциплина, изучает количественные характеристики рассматриваемых явлений, классифицируя их по качественным признакам.

В нашей работе учение диалектического материализма о случайности и необходимости определяет собою трактовку всех основных понятий теории вероятностей.

Фактические успехи теории вероятностей весьма велики.

Благодаря замечательным работам русских и советских математиков: П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, А. М. Ляпунова, С. Н. Бернштейна, А. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина, В. Н. Романовского и многих других, теория вероятностей в наше время становится столь же мощным познавательным средством, как и математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисления).

В России теория вероятностей стала преподаваться в Университетах с 1837 года, а в середине 19-го века элементы теории вероятностей в небольшом объеме включались в программы средних школ. В учебнике алгебры К. Краевича (1864 г.) теории вероятностей посвящалось 10 страниц. На этих 10 страницах излагались следующие вопросы: определения, теорема сложения вероятностей, теорема умножения

вероятностей для зависимых и независимых событий, математическое ожидание, о лотереях, о страховании. Профессор А. В. Васильев в 1915 году писал: «Я могу засвидетельствовать по личному опыту, какой интерес и какую любознательность возбуждали эти десять страниц».

В конце 19-го века теория вероятностей была исключена из школьных программ. В начале 20-го века по вопросу о преподавании теории вероятностей развертывается оживленная полемика, о которой подробно говорится на страницах 8—14 вводной части диссертации.

В общем масштабе, по линии Министерства Народного Просвещения вопрос о теории вероятностей не был разрешен.

В Коммерческих училищах, находившихся в ведении Министерства торговли и промышленности, элементы теории вероятностей были включены в учебный план в 1914 году.

После Октябрьской революции интерес к школьному преподаванию теории вероятностей оживляется в 20-х годах.

В небольшом объеме элементы теории вероятностей преподавались на рабочих факультетах.

В вводной части диссертации дается обзор состояния вопроса о преподавании теории вероятностей в зарубежных школах.

В настоящее время значение теории вероятностей и основанного на ней статистического метода в разных областях науки и техники возрастает с каждым днем, что объясняется не только успехами статистической физики и самой теории вероятностей. Практика планового социалистического строительства в области промышленности, в области сельского хозяйства и во многих других областях выдвигает много задач, для решения которых оказывается необходимым правильное использование теории вероятностей.

В связи с этим вопрос о преподавании теории вероятностей не только в высшей, но и в средней школе, а также в специальных школах различных типов приобретает особую важность. Становится ясным, что вопросам методики теории вероятностей должно быть уделено серьезное внимание.

Как известно, в педагогических институтах теория вероятностей не является обязательным предметом. Поэтому большинство преподавателей математики совершенно не знакомо с теорией вероятностей. Методических руководств по этой дисциплине у нас почти нет. Руководства на иностранных

языках мало доступны для широкого круга читателей и в своей идеологической части для нас совершенно неприемлемы. Так, например, один из виднейших представителей буржуазной науки профессор Мизес открыто стоит на позициях махистской философии, полная несостоятельность которой была доказана В. И. Лениным еще в 1908 году.

При таком положении нам представляется бесспорным, что разработка методики элементарного курса теории вероятностей является одной из очередных задач педагогических наук.

То; обстоятельство, что в настоящее время теория вероятностей не преподается в средней школе, не уменьшает важности этой задачи. Педагогика не должна и не может ограничивать себя рамками школы одного типа.

Еще в 1945 году президент Академии педагогических наук СССР И. А. Каиров писал:

«Одной из очередных задач педагогических наук является дальнейшая работа над дифференциацией отдельных сторон педагогического знания. Имеются все необходимые научные предпосылки для создания педагогики высшей школы, педагогики профсоюзного образования, военной педагогики, школоведения». («Советская педагогика», 1945 г., № 10).

В нашей математической литературе имеются общие руководства по теории вероятностей, но они мало пригодны, как пособия для преподавателя, излагающего элементарный курс этой дисциплины. Имеются у нас руководства, построенные на базе элементарной математики, как, например, «Элементарное введение в теорию вероятностей» Б. В. Гнеденко и А. Я. Хинчина (1947 г.). Однако, эта книга предназначена не для преподавателя математики, а для командиров армии, промышленности, сельского хозяйства, экономики и т. д. Имеются у нас по различным вопросам теории вероятностей и специальные руководства справочного характера.

При всем том у нас нет ни одного руководства по теории вероятностей, которое:

а) было бы предназначено преимущественно для преподавателя математики, излагающего элементарный курс теории вероятностей;

б) имело бы методический характер;

в) достаточно полно охватывало бы основные идеи теории вероятностей;

г) освещало бы вопросы истории развития и преподавания теории вероятностей;

д) давало бы преподавателю материал для классной работы и для работы математических кружков;

е) сочетало бы простоту и ясность элементарного изложения с возможной научной строгостью;

ж) содержало бы в себе анализ специфических трудностей предмета;

з) являлось бы подходящей основой для отбора материала при составлении элементарного учебника по теории вероятностей.

Такое методическое руководство представило бы значительный интерес для всех, преподающих теорию вероятностей в различных специальных учебных заведениях: военно-морских, артиллерийских, плановых, экономических, химических и др., т. к. специфические трудности теории вероятностей одинаковы как в полном, так и в элементарном курсе. Разницу составляет большая или меньшая сложность математического аппарата.

Предлагаемая работа является опытом составления такого методического руководства и имеет целью восполнить весьма существенный пробел в нашей методической литературе.

Что касается нашей средней школы, то следует иметь в виду, что включение элементов теории вероятностей в программу по математике для 10-го класса средней школы не потребовало бы серьезной перестройки учебного плана и могло бы быть осуществлено довольно легко.

Если на раздел алгебры, охватывающий комбинаторику, бином Ньютона и элементы теории вероятностей отвести всего 20 часов, то это позволило бы распределить время следующим образом:

Комбинаторика:

1. Размещения и перестановки......2 часа

2. Сочетания ............2 часа

Бином Ньютона.......... 3 часа

Элементы теории вероятностей:

1. Основные понятия: закономерность, случайность, математическая вероятность. Непосредственный подсчет вероятностей и понятие о геометрических вероятностях . . 4 часа

2. Теорема сложения вероятностей .... 2 часа

3. Зависимые и независимые события, теорема умножения вероятностей............. . 3 часа

4. Биномиальный закон распределения вероятностей 2 часа

5. Понятие о математическом ожидании случайной величины.............2 часа

В школьных математических кружках может быть проработан ряд тем. Например: 1. Теорема гипотез; 2. Наивероятнейшее число повторений события; 3. Свойства математического ожидания; дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины; 5. Лемма П. Л. Чебышева; 6. Неравенство П. Л. Чебышева; 7. Теоремы Пуассона и Бернулли; 8. Экспериментальная проверка биномиального закона; 9. Графики биномиального закона; 10. Функция Лапласа; 11. Основные свойства ошибок измерения; 12. Нормальный закон распределения случайных ошибок и т. д. Включение элементов теории вероятностей в учебный план средней школы автору представляется весьма желательным по многим причинам, о которых подробно говорится в диссертации.

Руководящим началом в построении всей нашей работы является принцип наглядности. Формы и средства наглядности весьма многообразны.

Особое значение нами придается примерам и задачам. Если в других областях математики на примерах и задачах учатся применять теорию, то в теории вероятностей на задачах учатся не только применять, но и понимать теорию.

В нашей работе дается решение и методический анализ 100 задач. По возможности задачи подобраны так, чтобы они освещали теорию с новых точек зрения. Так, например, 4 задачи на страницах 69—72 дают новое освещение понятия полной вероятности.

Из соображений наглядности мы даем некоторое количество задач о шарах. Хотя эти задачи и не имеют практического значения, однако, они дают очень ценный иллюстративный материал, на котором с предельной ясностью выявляются вероятностные схемы. Большая часть задач (85%) взята из различных областей практики.

Схемы и графики нами использованы при выводе теоремы сложения и умножения, в вопросе о функции Лапласа и в некоторых других вопросах,

С точки зрения наглядности важно, как осуществляется связь теории с практикой. В нашей работе эта связь проводится в трех направлениях: 1. Связь определений и основных понятий с практикой; 2. Применение на практике выводов теории; 3. Экспериментальная проверка теории.

В теории вероятностей математик, производя опыты, должен уподобиться физику. С педагогической точки зрения важно, чтобы учащиеся не только слышали о таких опытах, но и сами их производили.

Теория вероятностей больше других дисциплин способствует развитию логического мышления. Вместе с тем, в ней содержатся значительные логические трудности. Поэтому в нашей работе обращено особое внимание на логическую ясность, для достижения которой используются разнообразные приемы.

Иногда выяснение существа дела наилучшим образом достигается введением некоторых изменений (вариаций) в условия вопроса. Указания на такой методический прием можно найти и у великих математиков и у рядовых популяризаторов.

В предисловии к своей «Механике», изданной Русской Академией в 1736 г., Л. Эйлер говорит: «Читатель получает убеждение в справедливости даваемых предложений, но он не получает достаточно точного и отчетливого их познания, так что стоит немного изменить вопрос, и он не будет в состоянии на него ответить».

Известный популяризатор Я. И. Перельман удачно применяет этот прием на стр. 36 своей книги «Занимательная астрономия».

В нашей работе этот прием используется во многих случаях (стр. 69—72, 76, 88—89, 142—143, 182 и др.).

Иногда для достижения логической ясности мы прибегаем к помощи противоположных понятий. Значение равновозможности событий выясняется при помощи понятия неравновозможности (стр. 24—28); смысл и значение несовместимости событий выясняется при помощи противоположного понятия совместимости (стр. 53—54); значение независимости событий также выясняется на примерах зависимых событий (стр. 153—155) и т. д.

Заметим, между прочим, что этот прием также, как предыдущий, используется Я. И. Перельманом в его «Занимательной астрономии» (стр. 75).

С точки зрения логической ясности и, если можно так выразиться, методической прозрачности изложения важно, чтобы сложные и наиболее важные понятия рассматривались с различных точек зрения. Конечно, освещение различных граней сложного понятия следует производить не сразу, а постепенно, в связи с возникающей потребностью в новой точке зрения. Наиболее полно этот принцип применен нами к к важному понятию математического ожидания, которое рассмотрено с четырех точек зрения.

На стр. 135—141 проводится формально-математическая точка зрения. На стр. 150 используются конструктивные свойства математического ожидания, т. е. проводится конструктивная точка зрения. На стр. 159—166 дается трактовка вопроса с точки зрения, которую мы назовем логической, т. к. в данной трактовке свойства математического ожидания рассматриваются как логические следствия, вытекающие из понятия математической вероятности.

Наконец, на стр. 218—219 проводится еще одна точка зрения, которую мы называем комбинаторной, т. к. она основана на комбинаторном анализе (теории соединений).

Существенное значение имеет вопрос об определениях. Мы исходили из того, что логическое содержание понятия должно непосредственно и в явной форме отражать в себе сущность этого понятия. Для пояснения нашей мысли приведем пример. Проф. В. И. Гливенко в книге «Теория вероятностей» (1937 г.), предназначенной для педагогических вузов, определяет дисперсию случайной величины, как разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания этой величины. Если обозначить дисперсию величины х через Д(х), то определение профессора В. И. Гливенко выразится формулой:

Д(х) = М.О.(х2) - [М.О.(х)]2 (1)

Далее, в 16-й теореме доказывается, что дисперсия всегда равна среднему значению квадрата отклонения, т. е. что

Д(х) = М.О.[х - М.О.(х)]2 (2)

И с методической и с методологической точек зрения схема проф. В. И. Гливенко нам представляется неприемлемой.

То, что проф. В. И. Гливенко считает теоремой, мы считаем определением, а то, что проф. В. И. Гливенко принимает за определение, мы доказываем, как теорему.

С точки зрения формальной логики безразлично, какое из двух равенств (1) и (2) считать определением и какое — теоремой. Но дело не только в формальной логике. Методически равенство (1) не следует принимать за определение, т. к. такое определение является искусственным, непонятным, произвольным, неожиданным для учащихся и не связанным с предшествующим материалом. Учащийся должен проштудировать все теоремы о дисперсии, чтобы понять смысл и значение такого определения. С методологической точки зрения такое определение является неприемлемым потому, что оно не отражает в явной и понятной форме существа дела.

Можно, например, окружность определить, как плоскую замкнутую кривую, обладающую тем свойством, что произведение отрезков любой хорды, проходящей через какую-нибудь точку внутри кривой, есть величина постоянная для данной точки.

При таком определении надо доказать теорему о том, что все точки окружности одинаково удалены от некоторой точки, называемой центром окружности.

Никто не станет излагать вопрос об окружности таким образом. Однако в вопросах более сложных формально законные, но методически неудачные определения встречаются. Так, например, иногда определяют момент силы относительно оси, как проекцию на эту ось момента той же силы относительно любой точки, лежащей на этой оси, хотя и методически и методологически это предложение должно быть теоремой, а не определением.

Принципом наглядности определяются в нашей работе выбор последовательности тем, выявление логической и структурной связи между ними, выбор доказательств, дифференциация оттенков смысла родственных понятий, способы выделения основной идеи в тех или других вопросах и многие другие детали, на которых мы останавливаться не будем.

Диссертация состоит из вводной части (51 страница), четырех глав основного текста (277 страниц) и приложений (40 страниц). Изложение ведется на базе элементарной мате-

матики и сопровождается многочисленными методическими комментариями.

Вводная часть посвящена рассмотрению следующих вопросов:

а) значение теории вероятностей и преподавание ее в средней школе;

б) целевая установка и характер работы;

в) общие методические установки;

г) о комбинаторике и биноме Ньютона;

д) некоторые сведения из истории развития теории вероятностей.

Первая глава посвящена выяснению основных понятий и методике непосредственного подсчета вероятностей. Дается понятие о вычислении вероятностей на основе геометрических соображений.

В соответствии с марксистско-ленинским пониманием случайности и необходимости вероятность рассматривается, как понятие, отражающее объективную реальность, существующую вне нас и независимо от нашего сознания. Подчеркивается ошибочность идеалистической трактовки вероятности, как понятия субъективного, как меры нашего незнания (Спиноза, Лаплас).

Вторая глава содержит методическое изложение основных теорем: теоремы сложения вероятностей, теоремы умножения вероятностей для зависимых и независимых событий, теоремы гипотез, биномиального закона распределения вероятностей.

Третья глава посвящена изучению дискретных случайных величин и закону больших чисел. В этой главе даются методические разработки вопросов о математическом ожидании, рассеивании, дисперсии, даются лемма и неравенство П. Л. Чебышева, теорема П. Л. Чебышева, теорема Пуассона, теорема Я. Бернулли, отклонение от наивероятнейшего события, экспериментальная проверка закона больших чисел. Дается понятие о формуле Стирлинга и о функции Лапласа.

В четвертой главе рассматриваются следующие вопросы теории ошибок:

а) свойства ошибок измерения;

б) нормальный закон распределения случайных ошибок;

в) величины, характеризующие точность измерения;

г) точность арифметической середины;

д) вероятнейшие ошибки и экспериментальное определение характеристик точности;

е) практика вычислений вероятностей ошибок в заданных пределах;

ж) обработка результатов измерений и сложение законов Гаусса;

з) закон равной вероятности и сложение закона равной вероятности с законом Гаусса.

В приложениях рассмотрены некоторые вопросы страхования, даны 3 таблицы и перечень использованной литературы..

ГМ535859 Тип. ВМУ им. Фрунзе 10.06.52 Зак. 520