АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

Ф. Ф. ПРИТУЛО

О МЕТОДИКЕ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ, ПРЕДСТАВЛЕННОЙ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Научный руководитель — старший научный сотрудник ИМО АПН РСФСР, кандидат педагогических наук А. И. ФЕТИСОВ

МОСКВА — 1955

ВВЕДЕНИЕ

Содержание методических писем Министерства просвещения РСФСР и многих статей в журнале «Математика в школе», материалы обследования работы школ и личные наблюдения автора диссертации — заставляют констатировать явно неудовлетворительное состояние знаний геометрических доказательств у многих учащихся нашей средней школы. Так, например, в одном из последних официальных документов говорится:

«Еще нередки случаи, когда учащиеся неясно представляют себе сущность дедуктивного процесса в геометрии — в частности — смысл доказательства и способы его отыскания... Учащиеся часто не понимают, зачем нужно доказательство, и не чувствуют в нем потребности; логическая сущность доказательства от них ускользает. В результате многие учащиеся просто механически заучивают доказательства».

(Материалы к проведению августовских учительских совещаний в 1952 г. Математика. Управление школ МП РСФСР, 1952).

К настоящему времени положение не улучшилось и ясно, что во всех таких случаях учащиеся не могут усвоить геометрию как определенную систему знаний, они не в состоянии оценить доказательство как одно из важных и необходимых средств познания действительности и приобрести уменье применять это средство самостоятельно; широкие же возможности для развития мышления и речи учащихся, заложенные в самом процессе изучения доказательств, остаются нераскрытыми и неиспользованными.

Опыт лучших учителей математики позволяет утверждать, что основную причину создавшегося положения вещей нужно видеть в недостатках приемов и способов преподавания.

Цель настоящей диссертации — содействовать коренному улучшению качества знаний доказательств учащимися путем выявления и устранения недостатков в методике их изучения.

Среди диссертаций прямое отношение к нашей теме имеет работа П. А. Немытова — «Методика геометрических доказательств в семилетней школе» (1947). Настоящая диссертация отличается от работы П. А. Немытова и кругом рассматриваемых вопросов, и их освещением. Так, например, нам представляются весьма спорными утверждения П. А. Немытова о целесообразности построения курса геометрии в соответствии с запросами учащихся, об изложении доказательств аналитическим методом и др.

Наиболее близкими из смежных диссертаций являются диссертации о задачах на доказательство (В. Е. Гмурмана, 3. П. Чиркиной и В. Г. Соболевой).

В предлагаемой диссертации все внимание сосредоточивается на методике преподавания доказательств обязательных теорем курса, т. е. теорем, помещенных в учебнике и программе. Значит, она отличается от диссертаций о задачах на доказательство самим объектом исследования, целями педагогического процесса и связанными с ними специальными вопросами: усвоением текста учебника, запоминанием доказательства и т. д.

Учитывая, что сама возможность заняться в классной обстановке решением задач на доказательство обусловлена, в значительной мере, сознательным усвоением и глубоким пониманием учащимися обязательных доказательств, нельзя не признать проблему улучшения методики преподавания обязательных доказательств первоочередной и главной. После того как эта проблема будет решена, методика решения задач на доказательство сведется, в основном, к подбору и группировке задач, к систематическим упражнениям в их решении.

В поисках правильного решения поставленной проблемы автор исходит из убеждения в том, что успех в преподавании доказательств, как и в процессе обучения вообще, достигается не применением и использованием того или иного метода, способа или приема, а системой преподавания в целом. Это и есть главная, основная мысль диссертации, определяющая ее направление, круг рассматриваемых вопросов и порядок изложения.

Основная часть работы содержит четыре главы:

1. Сущность и структура доказательства.

2. Воспитание потребности в доказательстве.

3. Цели изучения доказательств.

4. Процесс доказательства.

Основные положения диссертации и содержащиеся в ней методические рекомендации опираются на изучение соответствующей литературы, на 23-летний опыт работы автора в средних учебных заведениях (рабфак, средняя школа, техникум), на его наблюдения в течение 8 лет за работой многих учителей (в процессе руководства педагогической практикой), на эксперимент, описанный в приложении № 1, и отчасти на экспериментальные уроки, содержание которых изложено в приложении № 2.

ГЛАВА I

СУЩНОСТЬ И СТРУКТУРА ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Цель главы — раскрыть смысл доказательства и его роль в процессе познания, рассмотреть различные виды доказательств, употребляемых в геометрии и требования, к ним предъявляемые.

§ 1. Значение доказательств в науке

Здесь рассматривается роль доказательства в научном познании действительности и приводятся два определения доказательства — как способа обоснования данного суждения и как средства выяснения его истинности или ложности. Устанавливается затем связь между этими определениями.

Указываются две цели доказательств в геометрии:

1. Оправдание истинности теоремы.

2. Выяснение на основании логических связей положения данной теоремы среди других предложений геометрии.

§ 2. Состав и структура доказательства

Здесь рассматриваются составные части доказательства: тезис, аргументы и демонстрация. После предварительного логического анализа доказательства теоремы о трех перпендикулярах приводится определение доказательства как системы умозаключений.

§ 3. Виды доказательств

Указываются два основных вида доказательства — прямое и косвенное. Особое внимание уделено аналитической и синтетической формам изложения доказательств. Подробно рассматривается анализ Евклида и анализ Паппа. Выясняется неправомерность анализа Евклида как формы доказательства. В связи с этим отмечается, что в методической литературе термин «аналитическое доказательство» употребляется иногда неправильно и неточно. Так, например, в «Методике преподавания математики» Н. Т. Зерчанинова (Учпедгиз, 1948) и в статье А. Н. Левина «О развитии логического мышления на уроках математики в средней школе» (Алма-Атинский пединститут, 1953) — анализ Евклида трактуется как законная форма доказательства; в «Методике преподавания математики» под ред. С. Е. Ляпина (Учпедгиз, 1952) аналитическая форма смешивается с синтетической и не выясняется должным образом достаточность условий в процессе анализа.

Приводится затем схема косвенного доказательства и выясняется его связь с законами противоречия и исключенного третьего. Отмечается, что косвенное доказательство может принимать форму разделительно-категорического силлогизма.

§ 4. Ошибки в доказательствах

Они могут быть трех видов.

1. Ошибки относительно доказываемого тезиса.

2. Ошибки в аргументах.

3. Ошибки в демонстрации.

В работе рассмотрены все эти виды ошибок, выяснены причины, их порождающие, приведены конкретные примеры самих оши-

бок и приемов их исправления, разъяснения и предупреждения. Особое внимание уделено ошибкам, порождаемым наглядными представлениями, и ошибками, состоящим в нарушении правил силлогизма.

ГЛАВА II

ВОСПИТАНИЕ ПОТРЕБНОСТИ В ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ

Нормальный ход учебного процесса предполагает убежденность учащихся в ценности знаний, устойчивый интерес к знаниям, растущую потребность в приобретении новых знаний.

Доказательства трудны для учащихся и, вместе с тем, цели, назначение и необходимость доказательства им неясны, далеко не очевидны. Чтобы создать нормальные условия для успешного изучения доказательств, учитель должен оправдать перед учащимися необходимость их введения, убедить учащихся в ценности доказательств.

Мысль, что сознательное усвоение доказательств обусловлено пониманием их целей и назначения, возбуждением и укреплением у учащихся потребности в доказательстве — находит все более широкое признание в методической литературе и в указаниях Министерства просвещения РСФСР.

Мы обращаем внимание и на то, что воспитание такой потребности необходимо и в других целях — в целях успешного усвоения самой геометрии и всех других наук, для убеждения учащихся в истинности приобретаемых ими знаний вообще.

С полной определенностью можно поэтому утверждать, что воспитание у учащихся потребности в доказательстве является одной из важнейших проблем методики геометрии. Тем не менее эта проблема остается почти не затронутой в нашей методической литературе.

В попытке ее решения автор исходит из следующих основных положений.

1. Возбуждение и последующее развитие потребности в доказательстве должно опираться: с одной стороны — на постепенное осознание учащимися ограниченности, неточности и недостаточности знаний, основанных на изучении отдельных частных случаев, на данных опыта, наблюдения и измерения; с другой — на понимание общности, точности и объективности доказательства как тех его ценных качеств, благодаря которым оно становится средством более точного, более глубокого познания действительности, средством, помогающим приобрести уверенность в общности и истинности знаний.

2. Первоначально перед учащимися должны быть поставлены две цели доказательств: задача убеждения в справедливости теоремы и задача ее обоснования (объяснения). В старших классах эти цели становятся неразличимыми.

3. Постепенное выяснение роли доказательств в дедуктивном построении геометрии начинается, примерно, во втором полугодии курса 6-го класса и должно быть закончено при переходе к изучению стереометрии (9-й класс). Этим и завершается работа учителя по воспитанию у учащихся потребности в доказательстве.

Обоснованию, развитию и конкретизации этих основных положений и посвящено все содержание данной главы.

Общность геометрического доказательства в том, что доказанная теорема справедлива всегда, для всех частных случаев, допускаемых ее условием. Исследование и рассмотрение частных случаев не может дать знания о всех случаях; знание, распространяющееся на все частные случаи, дает только логическое доказательство и потому именно, что оно обладает общностью.

Для понимания учащимися общности доказательства необходимо обращать особое внимание на выяснение роли чертежа в геометрическом доказательстве. Пользуясь в процессе доказательства данным единичным чертежом, можно сохранить общность рассуждений только в том случае, если рассматривать изображенную на нем фигуру как представительницу определенного класса фигур и опираться в процессе рассуждений только на те пространственные соотношения между элементами данной единичной фигуры, которые необходимо принадлежат всем фигурам данного класса — это будет означать, что мы оперируем общими свойствами (признаками) класса предметов (фигур), а поэтому наши выводы обладают общностью, они могут быть распространены на все фигуры данного класса.

Исследование общности доказательства помогает также вскрыть особые случаи доказываемой теоремы, выяснить условия возможности решения и число решений в задачах на построение.

Объективность (строгость) доказательства достигается тем, что оно строится в строгом, в точном соответствии с законами правильного (истинного) мышления. Логические формы, используемые в доказательстве, не зависят от психики человека, от его переживаний, настроения, характера, они не являются классовыми — это общечеловеческие формы мышления, имеющие характер объективных законов. Логические формы объективны и имеют обязательный для всех характер, так как «законы логики суть отражение объективного в субъективном сознании людей» (В. И. Ленин).

Правильность связи мыслей — отражение связи вещей. Поскольку доказательство подчинено объективной закономерности форм логического мышления, оно является объективным, строгим.

Задача убеждения учащихся в справедливости теоремы имеет очень важное образовательное и воспитательное значение, тем не менее, было бы неправильным ставить необходимость доказательства в 6-м и 7-м классах в необходимую, непременную связь с убеждением, с разрешением сомнений.

Уже в самом начале курса нужно разъяснять учащимся, что доказательство необходимо как для объяснения данного факта, так и

для выяснения его логических связей с другими фактами. Только при таком понимании назначения доказательств учащимся не будут казаться ненужными доказательства очевидно наглядных фактов (например, большей проекции соответствует большая наклонная), а учитель не будет ставить себя в ложное положение, пытаясь преждевременно подорвать доверие учащихся к наглядной убедительности факта, не имея возможности должным образом обосновать сомнения в его существовании.

Разъяснение учащимся общности доказательства нужно начинать с выяснения возможности выполнения дополнительных построений и повторения рассуждений для всех случаев, допускаемых условием теоремы. Понимание объективности доказательства — с убеждения учащихся в непреложности следования вывода из данных посылок. Соответствующие конкретные примеры приведены и в основной части диссертации, и в приложении № 2 (см. уроки № 3 и № 4).

ГЛАВА III

ЦЕЛИ ИЗУЧЕНИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

Учитывая, что доказательства имеют свои характерные и только им присущие, специфические особенности и что на каждом уроке геометрии нам так или иначе приходится иметь дело с доказательствами — нельзя не признать настоятельной и насущной необходимости в точном и полном выяснении и установлении целей их изучения в школе.

Рассматривая и сопоставляя все замечания и высказывания по данному вопросу авторов наиболее распространенных методических руководств: «Методики геометрии» Н. М. Бескина, «Методики преподавания математики» В. М. Брадиса и «Методики преподавания математики» под ред. С. Е. Ляпина, — мы констатируем:

1. Вопрос о целях изучения доказательств заслуживает значительно большего внимания чем то, которое уделено ему авторами названных пособий.

2. Наличие в учебных руководствах разногласий и противоречащих суждений о задаче убеждения является нежелательным.

3. Полное отрицание Н. М. Бескиным задачи убеждения неприемлемо.

4. Нельзя согласиться с В. М. Брадисом в том, что доказательство нужно ставить в непременную связь с сомнениями у учащихся в справедливости теоремы.

5. Авторы не упоминают о каких-либо иных целях, кроме задачи убеждения и приобретения учащимися уменья «самостоятельно строить доказательство» (Н. М. Бескин). Такое понимание представляется нам недостаточным, поскольку существуют более важные и более глубокие, главные цели изучения доказательств в школе.

Ознакомление с положением вопроса в методической литературе

ставит нас перед необходимостью выяснения и формулировки основных, главных целей. Этих целей две.

1. Образовательная цель. Познание пространственных форм материального мира при помощи дедукции, ознакомление учащихся с логическим элементом геометрического метода в частности.

2. Воспитательная цель. Развитие логического мышления и речи учащихся.

В подчиненном отношении к этим основным целям находятся:

1. Задача убеждения.

2. Задача обоснования.

3. Приобретение уменья и навыка в самостоятельном отыскании и построении доказательства.

Неразрывное единство обеих главных целей состоит в том, что познание при помощи дедукции воспитывает и развивает логическое мышление, а развитие логического мышления обеспечивает и расширяет возможности использования дедукции как метода познания действительности.

Задача воспитания логического мышления и речи учащихся не только одна из конечных целей изучения доказательств — она и та ближайшая и обязательная цель, которую должен преследовать учитель при изучении каждого доказательства, которой должны быть пронизаны все этапы работы над доказательствами: объяснение, закрепление и опрос. Только в таком случае можно говорить об идейной направленности и принципиальном значении процесса изучения доказательств, и только в таком случае становится возможным понимание и успешное усвоение самих доказательств.

ГЛАВА IV

ПРОЦЕСС ДОКАЗАТЕЛЬСТВА

Одна из главных причин плохого усвоения доказательств кроется в недооценке многими учителями самого процесса доказательства. Нередки еще случаи, когда учитель видит главную свою цель в получении результата, т. е. в оправдании фразы «что и требовалось доказать», не обращая в то же время должного внимания на тот путь, тот процесс, который привел к результату.

Цели, сформулированные в предыдущей главе, не могут быть достигнуты, возможность понимания доказательств учащимися исключена, и задача воспитания потребности в доказательстве неразрешима, если учитель не будет уделять самого серьезного, достаточного внимания процессу доказательства

Процесс доказательства, как правило, должен расчленяться на две части:

1. Отыскание доказательства.

2. Изложение доказательства.

А так как нельзя что-либо доказывать без ясного понимания доказываемого тезиса, то в эту главу включен и вопрос о методике выяснения формулировки теоремы.

Формулировка теоремы

Стандартного, общего приема разъяснения формулировки теоремы, конечно, не существует, но сама необходимость разъяснения представляется нам совершенно бесспорной.

К сожалению, нередко еще наблюдается формальный подход учителя к теоремам — очередная теорема сообщается учителем догматически, и ее смысл должным образом не раскрывается. Это и вынуждает учащихся заучивать формулировку теоремы, не имея достаточно ясного представления об ее содержании.

В 6-м и 7-м классах наиболее подходящим приемом нужно считать предварительное выполнение чертежа всеми учащимися с помощью инструментов и в точном соответствии с данными теоремы.

Его преимущества в том, что:

1. Все учащиеся включаются в активную работу, чего мы не имеем при пассивном созерцании готового чертежа или модели.

2. «Открытие» теоремы становится доступным каждому ученику. Ученик не только следит за учителем, но и имеет возможность проделать тот же опыт (измерение, сравнение) самостоятельно.

3. Достигается четкое разграничение между условием теоремы и ее заключением (как строили и что обнаружили). Условие и заключение приобретают реальный, осязаемый характер, а поэтому легко отделяются и прочно запоминаются.

4. Становятся возможными попытки учащихся самостоятельно сформулировать теорему. Ценность таких упражнений для развития мышления и речи несомненна.

5. Учащиеся приобретают уменье «видеть» чертеж, подметить закономерность.

Вырезывание, склеивание, изготовление моделей являются, конечно, не менее эффективными средствами разъяснения содержания теоремы, но здесь требуется и больше времени, и наличие материалов, и соответствующее оборудование, а самое важное в том, что любая из таких работ невозможна без предварительного выполнения точного чертежа.

Чтобы заинтересовать учащихся в отыскании теоремы и придать этим поискам целеустремленный характер, желательно поставить предварительно проблему (задачу), для решения которой к требуется новая теорема.

Для теорем, устанавливающих различные метрические соотношения, постановка проблемы не вызывает затруднений. Теоремы, решающие вопросы позиционного и конструктивного характера, удобно связывать с выполнением построений.

Помимо использования чертежа, как основного приема открытия теоремы в 6-м и 7-м классах, заслуживают внимания и все остальные из упомянутых приемов, и, кроме того, желательно использование подвижных моделей.

Сам прием использования чертежа должен быть ограничен случаями открытия таких соотношений, как: перпендикулярность и параллельность прямых, больше, меньше, равно, отношения 1:2, 1:3.

Отыскание доказательства

Возможность понимания доказательства зависит, прежде всего, от понимания тезиса и владения аргументами. В самом же процессе доказательства возникают еще две проблемы:

1. Понимание строения и правильности каждого умозаключения.

2. Понимание последовательности, связи умозаключений.

Непонимание учащимися отдельных умозаключений происходит чаще всего из-за употребления в доказательствах сокращенной формы силлогизма (энтимемы).

В таких случаях необходимо восстановить полную форму силлогизма; желательно, чтобы это делалось при активном участии самих учащихся. В процессе закрепления и в процессе опроса вопрос — почему? — должен ставиться относительно выводного суждения каждого силлогизма, и цели закрепления и опроса нельзя считать достигнутыми, если в каждом случае на этот вопрос не будет дано ясного и исчерпывающего ответа, т. е. если не будут приведены учеником обе посылки силлогизма.

С целью уяснения учащимися строения силлогизма, понимания ими необходимости следования выводов из посылок необходимо время от времени проводить логический анализ отдельных доказательств и задавать иногда такое упражнение на дом.

Итак, чтобы обеспечить понимание отдельных умозаключений (звеньев), необходимо в процессе объяснения выделять, вычленять каждое звено и делать его объектом специального рассмотрения. При этом должны быть установлены, хотя бы бегло, обе посылки и проверена правильность следования вывода. В случае же неясностей, нужно обратиться к полной форме силлогизма.

Но понимать отдельные умозаключения еще не значит понимать доказательство в целом. Необходимо также и понимание связи, последовательности умозаключений. В том случае, когда учащимся сообщается готовое доказательство, возможность понимания целесообразности построений, порядка и связи силлогизмов исключается — уделом ученика остается только запоминание этого порядка и связей.

И. П. Павлов определяет понимание как «пользование знаниями, приобретенными связями». Но ученик, только запомнивший связь и последовательность силлогизмов в данном доказательстве, не может воспользоваться приобретенным знанием в других случаях или для повторения того же доказательства в измененной ситуации (изменение обозначений, другой вариант чертежа). Находясь на этой ступени знания, ученик лишен возможности отличить главное от второстепенного, существенное от несущественного. Решительно все представляется ему существенным, подлежащим по-

этому обязательному запоминанию. Приобретенные связи, оставшиеся неосмысленными и необобщенными, находящиеся в неразрывной связи с несущественными и второстепенными деталями доказательства, не могут быть использованы в другой обстановке. Такое знание нельзя считать пониманием.

Чтобы изучение данного доказательства действительно пригодилось в дальнейшем (в смысле использования самого метода, приема рассуждений), ученик должен осознать целесообразность построения всей системы силлогизмов, видеть и понимать их необходимую связь.

Обладая таким знанием, ученик становится в более свободное отношение к учебнику. Он будет различать здесь главное и второстепенное, он может позволить себе некоторые вариации, отступления. О таком ученике мы скажем, что он владеет доказательством. Овладение доказательством предполагает знание его основной идеи, метода, логической структуры — того, что составляет идейную сущность доказательства. Но такое знание уже не связано непременным и необходимым образом с данным доказательством— это знание имеет и самодовлеющую ценность, оно может быть использовано и в других случаях. Такое знание доказательства и есть его понимание.

Когда учащимся предлагается готовое доказательство, то возможность осознания его строения появляется только после того, как изложение закончено. Но в обучении важен не только результат, но и тот путь, который привел к результату. Поэтому предварительное выяснение и осознание строения доказательства неизмеримо ценнее последующего; ценнее уже потому, что учащиеся могут принять активное участие в процессе приобретения знаний. Тогда становится ясным, что первоначальное ознакомление учащихся с содержанием доказательства должно начинаться с попыток уяснить себе, как было найдено доказательство, с отыскания доказательства.

Отыскание доказательства в классной обстановке с помощью учителя необходимо и для приобретения навыков и приемов, полезных при самостоятельном решении задач на доказательство.

В процессе отыскания доказательства не следует задавать учащимся много вопросов и тем более по пройденному материалу. Нужно сохранить только те вопросы, которые непосредственно связаны с открытием нового.

Основная логическая форма мышления в процессе поисков есть анализ. Это уже дает известное направление мышлению, но требуются и дополнительные указания, связанные с самим содержанием доказательства. К известным и ценным советам Ж. Адамара следует добавить еще один совет — выявление или сообщение основной идеи доказательства. Знание и понимание основной идеи имеет очень большое значение — оно направляет внимание учащихся на определенный путь, сокращает время поисков, придает

им большую целесообразность, помогает всем, или почти всем, учащимся принять активное участие в поисках.

Возражения некоторых учителей, что на отыскание доказательства нехватает времени, неосновательны. При систематических упражнениях процесс отыскания протекает достаточно быстро, а время, на него затраченное, окупается при изложении и закреплении.

Приемом отыскания доказательства нужно пользоваться систематически в младших классах и для большинства теорем; в старших — для важных и трудных теорем.

Во всех остальных случаях как в младших, так и в старших классах можно ограничиться предварительным выяснением основной идеи и плана доказательства, указанием на целесообразность дополнительных построений, приведением соображений, относящихся к развитию и использованию основной идеи.

Изложение доказательства

Предварительное отыскание доказательства создает благоприятные условия для привлечения учащихся к активному участию в окончательном оформлении (изложении) найденного доказательства. Упражнения в оформлении доказательств помогают лучшему их усвоению и более прочному запоминанию, вводят учащихся в круг требований, предъявляемых к доказательству, вырабатывают уменье изложить его самостоятельно, способствуют развитию речи и мышления, дисциплинируют мысли — воспитывают уменье придать им точную и законченную форму. Ценность приема оформления доказательства, при активном участии учащихся бесспорна, и он должен найти широкое применение к школьной практике.

Остановимся на изложении доказательства в учебнике. Здесь можно предъявить два основных требования:

1. В данных условиях само доказательство должно быть наиболее простым из всех возможных. Под данными условиями нужно подразумевать общие принципы построения курса в данном учебнике.

2. Форма изложения должна быть краткой и в то же время доступной для понимания.

Общепризнано, что учебник А. П. Киселева не отвечает современному состоянию науки и целям политехнического образования. Нового, официально утвержденного, учебника пока еще нет, и, следовательно, было бы преждевременно говорить о выполнении в нем первого требования. Зато вскрытие недостатков стиля изложения в действующих еще учебниках могло бы быть полезным при составлении нового учебника. Существует, таким образом, возможность* и необходимость высказать ряд соображений, направленных на улучшение формы изложения любого доказательства. Их можно свести к следующим.

1. Необходимо ввести в изложение доказательства краткие

разъяснения метода, основной идеи, плана доказательства и целесообразности построений.

2. Выделять узловые моменты доказательства, избегать злоупотреблений энтимемами, добиваться большей четкости и ясности речи.

Если и существовали опасения, что большая доступность изложения повлечет за собой нарушение строгости доказательства и непомерное расширение текста, то, с выходом в свет пробного учебника H. Н. Никитина («Начальный курс геометрии», 1952), беспочвенность подобных опасений стала совершенно очевидной. В этом учебнике убедительно показана полная возможность изложить доказательство в более доступной, чем в учебнике А. П. Киселева, форме, без ущерба для строгости доказательства и без существенного расширения текста.

Реальная, практическая осуществимость внесенных предложений подтверждается также и анализом многих доказательств в учебниках А. П. Киселева и Н. А. Глаголева по остальным классам. Автор настаивает на этих предложениях, будучи глубоко убежденным в том, что значительная часть трудностей в понимании доказательств учащимися вызвана не столько самой структурой доказательств, сколько формой их изложения в действующих учебниках и в том, что она может быть сделана более доступной, легче усвояемой.

ПРИЛОЖЕНИЕ № 1

В основной части работы отмечается, что возможность понимания и сознательного усвоения доказательств учащимися существенным и необходимым образом зависит от их общелогической подготовки, от знания логических основ курса школьной математики.

В чем именно должна состоять такая подготовка?

Каким образом она может быть осуществлена?

На эти вопросы и даются ответы в приложении № 1. Здесь описан личный опыт автора по преподаванию специальной темы «Математические предложения и методы доказательств». Этот опыт проводился в течение пяти лет (1948— 1953 гг.) в старших классах школы № 18 г. Орджоникидзе СО АССР.

Частично он освещен в статье автора «Элементы логики в школьном курсе математики» («Математика в школе» № I, 1953). Эта статья была написана еще в 1951 г., в последующие годы автором были внесены некоторые поправки и дополнения. В таком окончательном виде этот опыт здесь и излагается.

Он представляет собой методическую разработку 16 уроков, охватывающих следующие вопросы: объем и содержание понятия, классификация, определение, аксиома, теорема, признаки достаточные и необходимые, дедукция и индукция, анализ и синтез, математическая индукция. Каждый из этих вопросов излагался на

1 — 2 уроках. Поурочные записи содержат краткое изложение нового материала, контрольные вопросы и упражнения. Опыт подтвердил, что существует полная возможность изложить в доступной и понятной для учащихся форме некоторый минимум логических основ школьной математики и добиться хорошего его усвоения. Ценность же и необходимость такого знания для сознательного усвоения учащимися курса математики вообще и доказательств в частности не может вызвать никаких сомнений.

ПРИЛОЖЕНИЕ № 2

В нем приводятся записи четырех экспериментальных уроков, протоколы их обсуждений и анализы письменных работ учащихся.

Цель уроков — подвергнуть экспериментальной проверке основные положения диссертации по разделам:

1. Отыскание доказательства (уроки № 1 и № 2).

2. Воспитание у учащихся потребности в доказательстве (уроки № 3 и № 4).

Уроки давались в течение марта м-ца 1955 г. в школах № 4 и № 27 г. Орджоникидзе. На них присутствовали и принимали участие в обсуждении: члены математических кафедр СОГПИ, администрация и учителя школ, студенты 3-го и 4-го курсов.

Уроки № 1 и № 3 даны диссертантом, уроки № 2 и № 4—учителями школ по планам, разработанным диссертантом.

Несмотря на ряд отдельных недочетов, вызванных, главным образом, пробелами в знаниях учащихся, новизной форм и приемов классной работы и т. п. — экспериментальные уроки оставили общее хорошее впечатление у слушателей и были ими одобрены. При обсуждении уроков отмечалось, что на каждом из них явственно наметился переход учащихся от пассивного восприятия к активному участию в учебном процессе, проявлен живой интерес к доказательству, достигнуто глубокое усвоение содержания теоремы и понимание ее доказательства подавляющим большинством учащихся.

Эксперимент подтвердил, что рекомендуемые в диссертации (гл. 2 и 4) методические приемы реально осуществимы в самых неблагоприятных условиях, что с их помощью уже на первых уроках достигается более сознательное усвоение теоремы и ее доказательства, чем при сообщении готовой формулировки и готового доказательства.

Подтвердилась и реальная возможность разъяснения учащимся 6-го и 7-го классов необходимости и ценности доказательства. Показано, на конкретных примерах, начало работы по воспитанию потребности доказательства.

Экспериментальные уроки могут поэтому служить одним из оснований для оправдания ценности тех методических приемов, рекомендуемых в диссертации, которые подвергались проверке.

л 55306. Объем 1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 3851.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР.