ТАРТУСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

О. ПРИНИТС

О ПРЕПОДАВАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

ТАРТУ 1959

Диссертация выполнена при кафедре теоретической механики Тартуского Государственного Университета.

Научный руководитель: проф. Г. Ряго.

Защита назначена Ученым Советом естественно-математического факультета ТГУ на 12 VI 1959 года.

Дата отправления автореферата . . . . . 1959 года

Ученый секретарь:

В ноябре 1958 года опубликованы тезисы Центрального Комитета КПСС и Совета Министров СССР «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в стране». На основе этих тезисов Верховный Совет СССР принял в декабре 1958 года закон, положивший основу для коренного переустройства действующей системы народного образования. В этих тезисах и законе выдвинуто требование, чтобы с определенного возраста вся молодежь включалась в общественно полезный труд и ее обучение основам наук связывалось бы с производительным трудом в промышленности или сельском хозяйстве. В связи с этим необходимо и приближение преподаваемого в школе к проблемам практической жизни.

Еще до обнародования вышеназванных тезисов и закона как в кругу школьных деятелей, так и в кругу профессоров высших учебных заведений широко обсуждался вопрос о введении элементов высшей математики в программу средней школы.

Настоящая диссертация ставит себе задачей осветить роль и значение элементов высшей математики в эстонской средней школе за последние сорок лет и выяснить основные методические проблемы, связанные с введением понятий функциональной зависимости предела, производной и интеграла в будущую среднюю трудовую политехническую школу.

Ознакомление с богатейшей по этому вопросу литературой позволило автору использовать опыт, накопленный по этому вопросу в течение около полустолетия как у нас, так и за рубежом.

Диссертация состоит из введения и шестнадцати глав. По своему основному содержанию она делится на две части. В первой части, охватывающей главы с первой по седьмую, дается обзор развития вопроса изучения элементов высшей математики в школах Советского Союза, дореволюционной России, буржуазной Эстонии и ряда иностранных государств с начала текущего столетия до 1957 года. Вторая часть посвящена проблемам методики преподавания элементов высшей математики в нашей средней школе ближайшего будущего. В

этом разделе автор дает и свой проект программы математики в новой трудовой политехнической средней школе. Во второй части диссертации представляется разбор учебно-методического опыта, проведенного автором в 1-ой средней школе города Тарту. Заключительная глава посвящена итогам и предложениям.

* * *

В первой части введения обосновывается необходимость изучения элементов высшей математики в средней школе, исходя из положений, выдвинутых в контрольных цифрах развития народного хозяйства на 1959—1965 годы.

Здесь приводятся и высказывания выдающихся советских математиков Л. Н. Колмогорова, А. Я. Хинчина и А. И. Маркушевича, в которых очень ярко обосновывается необходимость изучения элементов высшей математики в средней школе.

Далее автор останавливается на изменениях в программах математики средних школ РСФСР за последние годы. Новые веяния в вопросах преподавания математики нашли здесь свое отражение во введении понятия производной. В эстонской школе эти веяния отразились введением в программу, выработанную в 1957 году, понятий производной и интеграла.

Во второй части введения автор останавливается на вопросе приоритета. В некоторых диссертациях, защищенных в Академии Педагогических Наук РСФСР, а также в некоторых статьях журнала «Математика в школе» идет спор о том, кто впервые высказал мысль о преподавании элементов высшей математики в средней школе. Один присвоивает этот приоритет Шереметевскому, другой Шохор-Троцкому, третий Сердобинскому и четвертый Шкляревичу. В диссертации указывается, что приоритет по данному вопросу может быть признан и за другими именами. В качестве яркого исторического примера автор приводит профессора Тартуского университета А. Эттингена. Свою речь на торжествах по случаю 70-летия Тартуского университета в 1872 году он озаглавил «О преподавании математики в школе». В своей речи А. Эттинген выставил требование: «Включить в школьную программу:

1) зависимость между переменными величинами, или, короче говоря, понятие функции;

2) тесно с этим связанные аналитическую геометрию и элементы дифференциального исчисления»1).

Автор дисертации высказывает мнение, что вопрос о приоритете ставится часто неправильно: к высказыванию новой методической мысли необходимо подойти с одним мерилом, к ее реализации с другим. А. К. Беркович, С. М. Головина, А. С. Шумов и Н. А. Столяров в своих диссертациях, а также Л. В. Ланков и Б. П. Бычков подчеркивают правильно, что известный немецкий математик профессор Феликс Клейн не был первым, кто требовал изучения в школе элементов высшей математики. Утверждение этих авторов не вносит ничего нового, так как уже сам Ф. Клейн говорит: «Хочу подчеркнуть, что мысли, развиваемые мною в моей новой статье, ни в коем случае не являются новыми открытиями. Вы найдете в этой статье многочисленные ссылки на других авторов, поставивших себе ту же самую цель, в особенности же укажу на замечательные новые устремления французов»2).

В третьей части введения дается краткий обзор содержания диссертации и формулируется основная цель диссертации: способствовать поднятию значимости элементов высшей математики в нашей школе ближайшего будущего — средней трудовой политехнической школе Эстонской ССР.

Первая глава посвящена разбору опыта обновления преподавания математики, накопленного в конце XIX и начале XX века в Англии, во Франции, в Германии, в России и в Соединенных Штатах Америки. В диссертации много внимания уделяется основоположным работам Дж. Перри, Э. Бореля, Ф. Клейна, Е. X. Муура, В. П. Шереметевского и др., настойчиво требовавших включения элементов высшей математики в курс средней школы.

Далее автор останавливается на работе Международной комиссии по преподаванию математики, созданной на IV Международном математическом конгрессе в Риме в 1908 году. В 1914 году профессор Будапештского университета М. Беке, выступая на Парижской конференции комиссии, дал обзор состояния преподавания элементов высшей математики в средних школах всего мира. Основываясь на имевшемся в его распоряжении обширном материале опроса, профессор Беке го-

1) А. von Oettingen. Ueber den mathematischen Unterricht in der Schule. Festrede zur Jahresfeier der Stiftung der Universität Dorpat am 12. December 1872, Dorpat, 1873, стр. 13.

2) Klein und Schimmack. Der mathematische Unterricht an den höheren Schulen. Teil I, Leipzig, 1907, стр. 198.

ворил: «Все ответы доказывают, что введение понятия о функции и начал дифференциального и интегрального исчисления в курс средней школы везде встречает сочувствие со стороны преподавателей. Во многих местах, особенно там, где реформа осуществилась по инициативе самих преподавателей, при их активном содействии или даже по их доброй воле, это сочувствие доходит до энтузиазма. Преподаватели считают делом чести хорошо продуманное преподавание новых предметов»1).

Во второй главе изучается вопрос об объеме, в котором преподавались понятия функциональной зависимости, производной и интеграла в школах Германии, Соединенных Штатов Америки, Англии и Советского Союза за время с 1920 до 1940 года.

В диссертации указывается, что в Германии в основном внедрялись принципы, выдвинутые уже в известном Меранском плане 1905 года.

Анализ состояния преподавания математики в школах США показывает, что там все же еще не достигнуты вехи, поставленные профессором Мууром уже в 1902 году. По данным, приведенным в книге «The Reorganization of Mathematics in Secondary Education» (изданной в Америке в 1923 году), выпускники средних школ США отставали от выпускников средних школ Европы почти в объеме двухгодичного курса.

В Англии в этот период боролись за введение новой системы мер взамен старой, отжившей и нерациональной. В частности и там было выдвинуто требование, чтобы учащихся знакомили с элементами высшей математики достаточно рано.

Заглохшая во время Первой мировой войны работа Международной комиссии по преподаванию математики возобновилась только в 1932 году, когда в Цюрихе состоялся очередной международный математический конгресс. Главное место на повестке дня заседаний этой комиссии занимал вопрос о подготовке преподавателей математики. В 1936 году в Осло состоялся очередной математический конгресс, но здесь ярких новых идей по вопросам преподавания математики выдвинуто не было.

В первых программах советской школы нашли отражение и некоторые идеи, выдвинутые реформистским движением. К сожалению, объем включенных в программу вопросов высшей математики оказался слишком большим. В переработанных про-

1) M. Beke. Les résultats obtenus dans l'introduction du calcul différentiel-et integral dans les classes supérieures des établissements secondaires. «L'Enseignement Mathématique», (1914), 245—282, стр. 280.

граммах цикл вопросов высшей математики был сужен, и с 1924 года действовала уже приемлемая программа. Но работа по этой программе длилась недолго, так как школа перешла на несистематическое прохождение предметов. Новая форма работы в школе однако не дала желательных результатов. Постановлением ЦК Всесоюзной Коммунистической партии (большевиков) в 1931 и в 1932 годах была восстановлена попредметная система преподавания. В новой программе математики стояли и вопросы функциональной зависимости и понятая производной и интеграла. Эти вопросы были изъяты из программы в 1934 и в 1938 годах.

В третьей главе автор останавливается на борьбе передовых эстонских математиков за внедрение в школу тогдашней буржуазной Эстонии новых идей преподавания математики. Главным очагом распространения этих идей стала основанная в 1924 году Эстонская комиссия по преподаванию математики. В эту комиссию вошли: профессор Г. Ряго, Ю. Нуут, Ю. Грюнталь, А. Борквель и Й. Куулберг (ныне Й. Каллак). Одной из работ этой комиссии является изданный в 1926 году проект программы по математике для средних школ. Эта программа целиком опирается на ставшие за первые два десятилетия XX века общим достоянием идеи реформы преподавания математики. Особенно ценными в период предстоящего преобразования нашей школы явятся мысли, положенные в основу программы и нашедшие особо яркое выражение в приложенный к ней методической записке (41 страница). Эта программа была введена в школу в 1930 году. Тема функциональной зависимости проходит красной нитью через программы с 7-го до 12-го учебного года. Понятие производной дается здесь в одиннадцатом, понятие интеграла в двенадцатом учебном году. Вопросы аналитической геометрии были запланированы на одиннадцатый учебный год. После школьной реформы в 1934 году от этой программы отказались, и вопросы функциональной зависимости и аналитической геометрии были вклюнены в курс только одиннадцатого и двенадцатого учебного года.

В четвертой главе дается критический разбор приемов, использованных при трактовке понятия функции, предела, производной и интеграла в учебниках математики буржуазного периода Эстонии. Эти учебники можно разделить на три группы, соответственно трем основным направлениям в преподавании математики того времени.

Из учебников первой группы (изданные в 1920—1926 гг.)

заслуживают быть отмеченными учебники профессора Г. Ряго «Элементы аналитической геометрии на плоскости» (1921) и «Элементы математического анализа» (1922), оба на эстонском языке. Особенно интересен в последней книге подход к понятию производной и интеграла. Ценными надо считать методические установки, сформулированные в предисловиях этих книг.

Из книг второй группы (изданные в 1926—1934 гг.) необходимо также в первую очередь назвать учебники того же автора. Эти учебники были написаны в соответствии с программами 1930 года. В них сильно чувствуется влияние идей рабочей школы, имевших тогда широкое хождение. По этому же принципу и в соответствии с программой 1930 года были составлены и учебники по геометрии профессора Ю. Нуута. Новым является в них, например, использование понятия интеграла для выведения формулы объемов пирамиды и круглых тел. Формула площади круга (в курсе восьмого года обучения) выводится, представляя приближенно площадь квадранта суммами прямоугольников.

В третий период (в 1934—1940 гг.) несколько лет пользовались так называемыми рабочими тетрадями. Учащиеся получали эти тетради с готовыми отпечатанными заданиями. В 1938 году были изданы новые стандартные учебники и задачники. В этих учебниках, написанных коллективами, яркие оригинальные методические приемы отсутствуют. В программах 1938 года роль элементов высшей математики была значительно урезана против прежнего, что отразилось и в стандартных учебниках.

Пятая глава трактует о положении преподавания элементов высшей математики в школах США, Англии, Франции, Югославии, Италии и Германской Демократической Республики после Второй мировой войны.

Даже в настоящее время элементы высшей математики еще не включены в программу средней школы США, хотя все громче раздаются голоса, требующие этого. Изданный в 1951 году учебник по методике математики Д. Р. Дейвиса содержит ряд методических указаний по циклу вопросов: производная и интеграл. Все шире и шире в американскую школу проникает так называемый нетрадиционный курс математики. Здесь основное внимание сосредоточено на приложении математики в вопросах практической жизни.

В Англии элементы высшей математики преподаются концентрами. Большинство учащихся средних школ изучает математику только в объеме первого концентра. В частности здесь

знакомятся с дифференцированием и интегрированием степенных функций. Учащиеся, которые впоследствии предполагают изучать естественные науки или технические дисциплины, проходят и второй концентр. Среднюю школу они кончают, приобретя навыки дифференцировать и интегрировать элементарные функции. В третьем концентре изучаются уже даже вопросы существования и единственности. Эти вопросы предусмотрены для учащихся, специально интересующихся математикой.

Во Франции осуществлена бифуркация школ. Благодаря ей некоторые школы имеют возможность преподавать элементы высшей математики в значительном объеме. Сейчас там на повестке дня стоит вопрос о модернизации школьной математики, в частности вопрос о включении в школьный курс элементов современной алгебры.

Аналогичные начинания встречаем и в Югославии. По инициативе профессора Д. Курепа был проведен ряд опытов в этом направлении, давших положительный результат.

В Италии имеются три типа средних школ: лицеи классические, точных наук и педагогические. Больше, чем где бы то ни было в других странах, в итальянских средних школах делается упор на строгость в курсе математики. Элементы высшей математики изучаются там только в лицеях точных наук.

В Германской Демократической Республике действуют параллельно две школьные системы: двенадцатилетняя и десятилетняя. Элементы высшей математики занимают видное место в программах двенадцатилетней школы. В десятилетних школах знакомятся только с элементарными функциями и номографией.

С 1952 года возобновила свою работу Международная комиссия по преподаванию математики. Главной исследовательской проблемой стало преподавание математики молодежи от 16 до 22 лет. В центре дискуссии стоит вопрос об изучении элементов математического анализа и аналитической геометрии, а также и начал современной алгебры. Руководство всей исследовательской работой в указанном направлении лежит в руках югославского профессора Д. Курепа.

Темой шестой главы является положение преподавания математики в школах Советского Союза после Второй мировой войны. Достойно быть отмеченным, что еще в тяжелое военное время, в 1943 году, в Москве была основана Академия педагогических наук РСФСР. Уже вскоре после основания этой академии там был поднят и вопрос о необходимости введения в школьную программу элементов высшей математики. В 1944

и в 1945 годах этот же вопрос был вынесен профессорами Н. А. Глаголевым и В. А. Гончаровым на страницы журнала «Советская педагогика». Тогда же были составлены новые программы, как тогда предполагалось, для одиннадцатилетней средней школы. Были изданы два проекта программы математики. В одном из них значительное место было отведено вопросам функциональной зависимости, включены были и понятия производной и интеграла. Второй проект мало отличался от действовавшей тогда программы. Вопрос о преподавании элементов высшей математики стал одной из тем научно-исследовательской работы научных сотрудников Академии Педагогических Наук РСФСР, им же заинтересовались и передовые учителя. Уже защищено несколько диссертаций на эту тему. Эти диссертации ставят своей задачей нахождение лучших методических приемов трактовки элементов высшей математики в средней школе. Особую значимость элементов высшей математики в программе средней школы видит И. П. Хахамов. Но требования его идут слишком далеко. Нельзя, например, согласиться с его мнением о желательности исследования функции такой сложности, как y=Vx+Vx2 и У=|/ x*+'ï'

Седьмая глава посвящена вопросу о том, какое место занимали элементы высшей математики в школах Эстонской ССР в 1944—1957 гг. В первые послевоенные годы эстонская школа работала по программам 1940 года. Вопросы функциональной зависимости были здесь, как и в предшествовавших программах 1938 года, сконцентрированы в курсе последних классов. Удельный вес вопросов функциональной зависимости возрос только с 1948 года, после перехода на программы средней школы РСФСР. Понятий производной и интеграла в школе не изучали. До 1951/52 учебного года с понятием предела знакомились в геометрии. С начала названного учебного года этот вопрос был перенесен в курс алгебры.

Ценным достижением надо считать проект программы математики, разработанный предметной комиссией по математике при Министерстве просвещения Эстонской ССР. Этот проект значительно отличается от действовавшей тогда программы. В частности в восьмом классе было введено подробное изучение квадратной зависимости типов: у=ах2, у=ах2+Ьх и у=ах2+Ьх+с. В тесной связи с этими функциями изучаются соответствующие три типа квадратных уравнений. Элементы высшей математики занимают в этой программе значительное место в курсе одиннадцатого класса, где из 66 часов, отведен-

ных для алгебры, 42 часа предназначены для изучения понятий функции, предела, непрерывности, производной и интеграла.

Восьмая глава посвящена выяснению вопроса о том, какие цели и задачи преподавание математики должно будет себе поставить в средней трудовой политехнической школе ближайшего будущего.

Новый семилетний план, как программа коммунистического строительства, ставит и перед школой грандиозные задачи. Должен быть поднят общий уровень школьного образования и выполнено основное требование — связать всю школьную работу с общественно полезным трудом. Это позволит уже в юношеском возрасте начать преодоление разрыва между умственным и физическим трудом. Задачей новой школы является воспитание человека, в котором должны гармонически сочетаться духовное богатство, моральная чистота и физическое совершенство.

Благородные цели, поставленные перед новой школой, обязывают отнестись с исключительным вниманием к составлению новых программ. В рассматриваемой главе разбирается действующая пока программа математики с целью выяснения имеющегося в ней лишнего балласта. По мнению автора, без ущерба для дела могли бы быть опущены следующие вопросы программы: деление многочлена на многочлен, алгорифм квадратного корня, показательные и логарифмические уравнения, тригонометрические уравнения, биквадратные и двухчленные уравнения, соединения, бином Ньютона, комплексные числа.

Автор считает также уместным сузить рамки традиционно отводимые вопросам: обыкновенные и алгебраические дроби, степени и корни, тригонометрические преобразования и неметрический раздел из стереометрии. Необходимы были бы и изменения в расположении материала. Так, можно было бы отнести арифметическую прогрессию к теме линейной функции, геометрическую прогрессию — к теме показательной функции, бесконечно убывающую геометрическую прогрессию — к теме предела функции и т. д. Предложенные здесь изменения в программе математики средней школы дадут в общей сумме значительную экономию времени, что могло бы быть использовано для более глубокого изучения вопросов функциональной зависимости и далее понятий производной и интеграла и их приложений. Изучение этих вопросов по мнению автора уместно разбить на три цикла:

1) пропедевтический курс функциональной зависимости;

2) систематический курс функциональной зависимости;

3) предел, производная и интеграл.

Больше, чем в настоящее время, должна быть в будущей школе применена при изучении математики интуиция.

В девятой главе даются некоторые методические установки по вопросам пропедевтического курса функциональной зависимости. Помимо прямо-пропорциональной, обратно-пропорциональной и линейной зависимости, обычно изучаемых в этом курсе, автор считает желательным изучение еще и квадратной зависимости в связи с изучением площадей простейших геометрических фигур.

Одним из важных методических вопросов этого цикла является вопрос о форме определения отдельных типов зависимостей. Эти определения должны строиться на базе материала табличного представления функциональных зависимостей, так как именно в этой форме функциональная зависимость фиксируется во всех протоколах хода явлений.

Определения функциональной зависимости в учебниках Киселева и Барсукова не удовлетворяют, так как первый автор при определении отдельных зависимостей опирается по существу на различные их представления, а второй дает эти определения чисто формально с помощью формул.

В настоящее время в школе с линейной зависимостью знакомятся при изучении систем линейных уравнений. С методической точки зрения было бы правильно рассматривать линейную зависимость до изучения линейных уравнений, и равным образом, квадратную зависимость до изучения квадратных уравнений. Использование графиков функциональных зависимостей при изучении систем уравнений надо считать целесообразным единственно только для выяснения понятия решения систем и числа таких решений, так как аналитический метод дает значения корней более быстро и более точно.

В десятой главе собраны некоторые методические замечания к изучению систематического курса функциональных зависимостей.

И от общего определения функциональной зависимости надо требовать, чтобы оно было доходчиво. Определение функции в учебнике Киселева автор считает недостаточно строгим.

Немецкий математик Ридель рекомендовал в 1956 году определять в школе функцию как соответствие, фактически отождествляя эти два понятия. На самом же деле функциональная зависимость есть только выражение соответствия, а функция, как таковая, есть величина.

Неприемлемым считает автор также исходить в школе при

определении функциональной зависимости из понятия множества, как слишком абстрактного.

Для того, чтобы дать достаточно широкое понятие о зависимости в природе и обществе, было бы полезно привести на уроках математики и ряд примеров стохастических зависимостей.

В систематическом курсе функциональной зависимости должны были бы изучаться функции: линейная, квадратная, кубическая, показательная и логарифмическая.

Включение специальной главы по аналитической геометрии в курс математики средней школы автор не считает необходимым. Немногое необходимое из аналитической геометрии могло бы быть дано в систематическом курсе функциональной зависимости.

В рамках темы «Линейная функция» могли бы быть разобраны следующие вопросы: уравнение прямой с угловым коэффициентом, скорость равномерного изменения, обратная функция и построение ее графика, линейные неравенства, арифметическая прогрессия, уравнение прямой через две точки и линейная интерполяция.

Линейные неравенства можно было бы решать как вопросы положительности или отрицательности линейной функции.

Арифметическая прогрессия могла бы рассматриваться в связи с последовательными значениями линейной функции, если значения аргумента являются последовательными натуральными числами.

В тему «Квадратная функция» должны бы быть включены и следующие вопросы: средняя скорость изменения функции у = ах2, ее обратная функция, ее обобщение на общую квадратную функцию, координаты вершины пораболы, экстремальное значение квадратной функции, исследование трехчлена.

С темой «Показательная функция» было бы желательно соединить и изучение геометрической прогрессии аналогично тому, как это было предложено для изучения арифметической прогрессии в тесной связи с линейной функцией.

Обзор изученных типов функциональных зависимостей позволил бы еще раз остановиться на общем определении функции и дать общепринятое ее обозначение y=f(x). Задача нахождения области ее изменения дала бы богатый материал для повторения алгебраических и тригонометрических преобразований, решения уравнений и применения неравенств.

В главе одиннадцатой узловыми вопросами изучения понятия предела должны были бы быть:

1) неограниченно возрастающая величина;

2) неограниченно убывающая величина;

3) величина, приближающаяся к конечному пределу (^0);

4) предел функции.

Изучение этих вопросов должно проводиться на конкретных примерах. Наибольшие трудности в методическом отношении связаны с задачей развития у учащихся правильного понимания неограниченного возрастания и символа оо. Часто трактовка этого вопроса как в учебнике, так и в классе порождает у учащихся совершенно неправильное представление.

По мнению автора, темы «Длина окружности», «Площадь круга» и «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» должны быть целиком отнесены к этой главе.

В диссертации изучение предела предусмотрено в одиннадцатом учебном году.

Двенадцатая глава диссертации посвящена методическим вопросам, связанным с изучением понятия производной. Это понятие должно выкристаллизоваться в процессе обобщения представлений, связываемых с такими величинами и геометрическими образами, как крутость подъема, касательная к кривой, средняя скорость движения, средняя быстрота хода процесса и мгновенная скорость движения. Задачу введения понятия производной в школьный курс ни в коем случае нельзя видеть в обучении технике дифференцирования. Важно, чтобы учащиеся приобрели ясное и живое представление о производной. Число правил дифференцирования, разбираемых в школе, должно быть сокращено до минимума. Из методов, применяемых при выводе формул для производных, следует отдать предпочтение методам, имеющим общее значение, например, методу математической индукции. Из приложений понятия производной, помимо обычно даваемых: исследование хода кривой, отыскание наибольших и наименьших значений, метод последовательных приближений Ньютона, следовало бы особое внимание уделять формуле вычисления ошибок Ду«Г(х)Дх ввиду ее исключительного значения в практике.

В диссертации изучение понятия производной предусмотрено в одиннадцатом учебном году.

В тринадцатой главе рассматриваются некоторые методические вопросы, касающиеся понятия интеграла. Рекомендуется следующая схема: определение с помощью палетки площади ограниченной замкнутой кривой, вычисление площади криволинейной трапеции, как предела суммы прямоугольников, производная площади криволинейной трапеции, интег-

рирование как действие обратное дифференцированию, формула Ньютона-Лейбница.

Из приложений интеграла помимо формул объемов круглых тел могли бы быть выведены и формулы объема пирамиды и усеченной пирамиды.

Ознакомление с понятием интеграла предусмотрено в одиннадцатом учебном году.

В четырнадцатой главе дается примерная программа курса математики для средних школ, составленная автором на основе данных им ранее методических установок. Основные различия ее, по сравнению с программой, действующей в настоящее время, следующие:

1) С V по VIII класс изучаются пропедевтический курс геометрии и пропедевтический курс функциональной зависимости.

2) Систематический курс функциональной зависимости и систематический курс геометрии, опуская учение о площадях, поверхностях и объемах, изучаются в IX и X учебном году.

3) Раздел «Длина окружности и площадь круга» изучается в одиннадцатом учебном году в связи с понятием, предела функции, и раздел «Измерение площади многоугольников» непосредственно перед понятием интеграла.

4) Курс тригонометрии проходится в X учебном году, кроме раздела «Решение треугольников». Этот раздел объединяется с разделом «Измерение площади многоугольников» в одиннадцатом учебном году.

5) Формулы для объема пирамиды и круглых тел выводятся при помощи интеграла.

Приводим здесь программу для одиннадцатого учебного года, как наиболее разнящуюся от ныне действующей программы.

XI класс

Математика (4 часа в неделю)

1. Исследование функций.

Общее обозначение функции. Области определения и изменения функции.

2. Предел функции.

Бесконечно возрастающие величины. Бесконечно убывающие величины. Величины, приближающиеся к конечному пределу (^0). Предел функции.

3. Производная.

Средняя скорость изменения функции. Мгновенная скорость изменения функции. Производная функции. Геометрическое толкование производной. Производная, как скорость изменений. Производная постоянной. Производная произведения постоянной на функцию. Производная степени. Предел функции, если х->0. Производная функции sin х и cos х.

Исследование изменения функции при помощи производной.

4. Применения производной.

Наибольшие и наименьшие значения функции. Применение производной для приближенного решения уравнений (метод Ньютона).

Формула ошибки функции. Дифференциал функции.

5. Площади.

Равенство многоугольников. Формулы площади прямоугольника, треугольника и трапеции.

Теорема синусов. Теорема косинусов. Тригонометрические формулы для площади треугольника.

Формула для площади правильного многоугольника.

6. Понятие интеграла.

Задача о площади внутри замкнутой кривой. Площадь, как предел. Производная площади криволинейной трапеции. Первообразная данной функции. Неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

7. Объемы и поверхности тел.

Объем призмы и пирамиды. Формула объема тела вращения. Объем цилиндра, конуса и шара. Поверхность призмы, цилиндра и конуса. Поверхность шара. Поверхность и объем усеченной пирамиды и усеченного конуса.

8. Повторение курса математики средней школы.

В пятнадцатой главе собраны результаты учебно-методического опыта, проведенного автором с целью проверить на практике высказанные в диссертации положения. Опыт был проведен в Х1а классе Тартуской 1-ой средней школы. Опыт показал, что для учащихся усвоение элементов высшей математики не труднее усвоения основных школьных предметов (физика, иностранный язык, родной язык).

Из контрольных работ лучшими были работы на темы: производная и интеграл.

В шестнадцатой главе даются итоги и предложения в форме следующих тезисов:

1. Законченное среднее образование гражданина Советско-

го Союза в период построения коммунизма не мыслимо без знаний элементов высшей математики.

2. С переходом к трудовой политехнической средней школе значительно возрастает роль практических применений преподаваемых дисциплин. Во всех приложениях математики наибольшее значение имеют понятия функции, производной и интеграла.

3. Новая система обучения должна обеспечить постепенное повышение общеобразовательного уровня учащихся. В преподавании математики достижение этой цели требует в первую очередь включения в программу средней школы элементов высшей математики.

4. Введение понятий производной и интеграла в программу средней школы выдвигает задачу разработать методику преподавания этих новых разделов математики.

5. При решении этой задачи естественно использовать опыт преподавания элементов высшей математики, имеющийся уже у нас в Советском Союзе и за рубежом. Ценный материал по этому вопросу может быть почерпнут из работ Международной комиссии по преподаванию математики, а для эстонской школы еще и из программ и объяснительных записок к ним Эстонской комиссии по преподаванию математики.

6. С точки зрения поднятия уровня преподавания математики не существен вопрос, кому принадлежит приоритет выставления требования о включении элементов высшей математики в программу средней школы.

7. При выборе материала для курса математики нельзя руководствоваться соображением о «традиционности» некоторых вопросов. В программу должны быть включены только вопросы, служащие общей цели новой школы. Поэтому вопросам функциональной зависимости в новой программе должно быть отведено особенно почетное место.

8. По методическим соображениям было бы рационально тему «Функциональная зависимость» разрабатывать в трех циклах: пропедевтический курс функциональной зависимости, систематический курс функциональной зависимости и понятия предела, производной и интеграла.

9. Подготовка изучения вопросов функциональной зависимости могла бы начаться уже в пятом классе, изучение же отдельных простейших видов функциональных зависимостей может быть проведено только начиная с седьмого класса, когда уже освоены элементы алгебры. К тому же на этом уровне мо-

жет быть использовав уже достаточно широкий конкретный материал для иллюстрации функциональных зависимостей.

10. С точки зрения методики было бы естественно проходить линейную и квадратную зависимость еще до линейных и квадратных уравнений.

11. Требование прохождения тесно связанных друг с другом вопросов по возможности одновременно подсказывает желательность соединения в одно целое таких вопросов, как, например, линейная функция и арифметическая прогрессия, показательная функция и геометрическая прогрессия.

12. Раздел школьной математики, охватывающий понятия функции, предела, производной, интеграла и их приложений, следовало бы озаглавить: начала математического анализа.

13. Во всем курсе школьной математики, особенно же в разделе «начала математического анализа» следовало бы значительно больше, чем в настоящее время, использовать интуицию. Приводимые иногда в школьном курсе «строгие доказательства» являются часто на деле нестрогими.

14. Всем указаниям в направлении улучшения учебного дела, особенно же преподавания математики, должен бы предшествовать опыт, проведенный хотя бы в небольшом масштабе.

15. Поставленный автором учебно-методический опыт показывает, что и в Эстонской ССР имеются предпосылки и возможности для введения в школьный курс производной и интеграла.

* * *

Для удобства читателей в конце диссертации даются следующие четыре приложения:

1) меранская программа математики для гимназии 1905 года,

2) программа математики для эстонских школ 1930 года,

3) проект программы математики для средних школ Эстонской ССР 1957 года,

4) обзор и анализ результатов проведенного автором учебно-методического эксперимента.

* * *

Список использованной литературы и архивных материалов содержит 238 названий на эстонском, русском и шести иностранных языках.

* * *

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих статьях:

1. О. Принитс. Попытки проведения реформы школьной математики в конце XIX и в начале XX веков. «Ныукогуде кооль» («Советская школа») № 4 (1957) 216—222.

2. О. Принитс. Изучение функциональной зависимости в курсе математики средней школы. «Ныукогуде кооль» № 11 (1958) 576—585, № 12 (1958) 741—750, № 1 (1959) 42—51.

«Тарту Коммунист» Тарту, Юликооли 17/19.1404. IV 59. 224. МВ-03526