АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

На правах рукописи

ПРЕОБРАЖЕНСКИЙ М. А.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В СВЯЗИ С РАЗВИТИЕМ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

Научный руководитель — действительный член АПН РСФСР, доктор физико-математических наук, проф. А. И. МАРКУШЕВИЧ

Москва—1951

Школьная математика имеет одной из своих основных задач развитие логического мышления школьников. Об этом с определенностью говорят и об'яснительные записки к учебным программам, и многочисленные документы Министерства просвещения.

Эту задачу выделил в своем выступлении на собрании учащихся средних школ Ленинского района г. Москвы 17/IV— 1941 г. М. И. Калинин.

«Вторым предметом, который я считаю совершенно необходимым для вас,—говорил М. И. Калинин школьникам,—является математика. Почему же я так выдвигаю математику? Почему же я считаю ее такой важной наукой именно в современных условиях и именно для вас, для советской учащейся молодежи?

Во-первых, математика дисциплинирует ум, приучает к логическому мышлению.

Недаром говорят, что математика—это гимнастика ума»1).

Между тем, о недостаточном навыке логического мышления школьников приходится слышать чаще всего тогда, когда речь идет о дефектах их собственно математической подготовки. Отмечается не столько невыполнение общеобразовательной задачи предмета, сколько отставание логической культуры от внутренней потребности в ней школьной математики — непонимание математических фактов из-за неумения достаточно точно думать.

Введенный в старших классах средней школы курс логики не сможет помочь здесь существенно по трем обстоятельствам.

Во-первых, потребности школьной математики в логике предшествуют этому курсу.

Во-вторых, программа курса логики в школе (и учебники по логике) ориентированы на предметы гуманитарного цикла; математические примеры в учебниках логики немногочисленны; поэтому курс логики не сможет обеспечить, как этого требует программа по логике, «обобщения в смысле методологии и

1) М. И Калинин. О коммунистическом воспитании и обучении, стр. 128.

систематики научной мысли» знаний, накопленных при прохождении курса математики в школе (в отличие от курсов гуманитарного цикла).

В-третьих, при обращении к математике в учебниках логики часто допускаются собственно математические ошибки, да и логическая непогрешимость в таких обращениях далеко не всегда имеет место2).

Кроме того, сама задача школьного курса логики «обобщить накопленные при прохождении отдельных дисциплин знания в смысле методологии и систематики научной мысли и подготовить учащихся к более высоким ступеням знаний на основе диалектического материализма»3) может быть выполнена только в том случае, если культура правильного мышления будет приобретена школьниками при прохождении отдельных дисциплин, то-есть, только тогда, когда элементы логики, в форме, быть может, предметно опосредствованной, будут усвоены при прохождении отдельных дисциплин, в частности — математики.

Стремление повысить логическую культуру школьника было одной из причин борьбы передовой части учителей с установившимися шаблонами преподавания, стандартизацией упражнений, системы изложения и проверки знаний учащихся, а также за модернизацию всего преподавания в целом (руководимую требованием его научности), в том числе—школьных программ по математике.

Наряду с этим, в высказываниях педагогов-практиков (в работах, присланных на «Педагогические чтения») настойчиво выдвигалось требование выделения установочного материала для формирования навыков правильного мышления школьников. Конкретно это требование сводилось к введению периодических логических бесед на уроках математики.

В опыте некоторых учителей такие беседы выборочно повторяли материал учебников логики в его традиционном изложении с большим или меньшим числом математических примеров (из пройденного курса) и не содержали в себе математического ядра, которое сделало бы их составной частью математики.

Несостоятельность требования излагать логику на уроках математики очевидна. Однако мы считаем справедливым тре-

2) См. Трайнин. Математика в учебниках логики.—«Ученые записки Новосибирского педагогического института», 1949 г.

3) Программа по логике для средней школы.

бование выделить установочный материал для формирования навыков правильного мышления школьников.

Элементарные фрагменты теории множеств (отношения множеств) могут составить основу этого формирования.

Значительная часть формальной логики (дедукции), та, которую часто называют об'емной логикой4), находит свое доказательное изложение в терминах основных отношений множеств. Понятно, что эта часть не представляет эквивалента всей логики, что подчинение всей науки о правильном мышлении какому бы то ни было математическому алгоритму невозможно, что любая математическая основа может быть только средством при изложении отдельных вопросов логики, что к любому математическому изложению элементов логики необходимо присовокупить те же оговорки, с которыми проходится формальная логика в советской школе и о которых говорил В. И. Ленин.

Первая часть работы представляет опыт элементарного математического изложения теории дедуктивных умозаключений, — той части логики, сознательное усвоение которой больше, чем какая-либо другая учебная дисциплина, может обеспечить математика.

Выделение основных отношений двух множеств (логических классов) предпосылается нами остальной части работы. Это позволяет планомерно использовать методический прием знаменитого русского академика Эйлера—его круги5), причем использовать так, чтобы число отдельных построений, необходимых для доказательного изложения всей теории, было минимальным.

Произвольные два множества А и В находятся между собой в одном и только одном из пяти возможных отношений: в отношении тождеств, AsiB (например, множества чисел, делящихся на три, и чисел с суммой цифр, делящейся на три); в двух отношениях строгого включения одного множества в другое, АсГ! В (например, множества квадратов и четырехугольников), Az? В (например, множества многоугольников и шестиугольников); в отношении частичного пересечения, А д В (например, множества прямоугольников и правильных многоугольников); в отношении исключения, Ау В (напри-

4) Говоря об объемной логике, мы, конечно, не думаем о какой-либо разновидности логики (таких разновидностей нет). Здесь идет речь о той части логики, которая излагается в отношениях объемов понятий.

5) Л. Эйлеp. Lettres a une princesses d'allemagne sur divers sugets de phi#fe»£t de philosophie, tom second.

мер, множества треугольников и четырехугольников). Это положение оправдывается логическим законом исключения третьего.

Каждому понятию в логике сопоставляются два множества — об'ем и содержание понятия. Основные законы логического мышления и аксиома «dictum de omni et de nullo»6) позволяют сформулировать зависимости между об'емами и содержаниями двух понятий.

Нами обосновываются все возможные отношения об'емов в зависимости от отношений содержаний и все возможные отношения содержаний в зависимости от отношений об'емов.

В соответствии с пятью возможными отношениями об'емов понятий мы выделяем четыре отношения понятий (отношение включения не симметрично относительно компонент) и вместе с понятием, противоречащим данному, вводим понятое, противоречащее ему относительно понятия, подчиняющего первое. Последнее выделение не только составляет необходимое условие использования математического аппарата, но и наилучшим образом отвечает проводимому логикой сравнению понятий и материалистическому толкованию смысла отрицания7).

Многозначное соответствие между возможными отношениями об'емов понятий и значениями истинности и ложности категорических суждений, имеющих эти понятия подлежащим и сказуемым, составляет основу предлагаемого обоснования непосредственных и силлогических умозаключений. При этом отношения понятий, соответствующие истинности суждения, называются условиями его истинности, и отношения понятий, при которых суждение ложно, — условиями его ложности.

Непосредственные умозаключения, вопреки частой трактовке их как преобразований суждений, рассматриваются нами как дедуктивные умозаключения, правда меньшей познавательной ценности, чем силлогические8).

В отличие от общепринятого изложения нами дается полный обзор непосредственных умозаключений, обосновывается справедливость каждого из них и невозможность отличных от рассмотренные. Аргументом выводов является ранее введенное отношение противоречия понятий относительно третьего понятия. Математически вывод непосредственных умозаключений

6) Буквальный перевод «Сказанное обо всем и ни об одном».

7) См. Строгович. Логика, стр. 199—209.

8) Книга М. С. Строговича «Логика» трактует их так же (стр. 210).

сводится к решению задачи: по отношению двух множеств найти отношение каждого из множеств к дополнению другого и отношение дополнений между собой, причем дополнения берутся относительно множества, строго содержащего сумму исходных множеств. Решение последней задачи основывается на основных законах логического мышления и свойства транзитивности отношения включения одного множества в другое (математическом эквиваленте 1-й части аксиомы «dictum de omni et de nullo»).

Также в отличие от общепринятых изложений нами проводятся все умозаключения от ложности одного суждения к истинности (ложности) другого. Хотя такие умозаключения имеют небольшое распространение в учебниках математики (в том числе и школьных), живой педагогический процесс насыщен ими всегда достаточно полно.

Мы останавливаемся, наконец, особо на равносильных суждениях, то-есть суждениях взаимно-следующих друг из друга, снова умозаключая и от истинности, и от ложности, и к истинности, и к ложности. Равносильные суждения используются при разборе связи теорем школьного курса.

Вывод силлогических умозаключений (девятнадцати модусов простого категорического силлогизма) основывается непосредственно на аксиоме «dictum de omni» без предварительного вывода правил силлогизма.

Математическое содержание этого вывода составляет решение задачи: по отношениям двух множеств к третьему найти возможные отношения первой пары множеств. Не выходя за пределы этой же математической задачи, мы даем и обоснование правил силлогизма, не отводя, однако, им роли ключа к доказательству модусов.

Часть первая заканчивается доказательством умозаключений замещения снова через решение той же математической задачи. В нашем изложении правила силлогизма, модусы силлогизма и, наконец, умозаключения замещения могут проходиться в любой последовательности вне зависимости друг от друга и в то же время обусловливают друг друга.

В тексте приводятся замечания, относящиеся к деталям предлагаемого изложения дедуктивных умозаключений, в порядке сопоставления с другими изложениями.

Первая часть работы служила для диссертанта школой, предшествующей выполнению второй части. Она включена в диссертацию по соображениям следующего порядка.

Проф. Мордухай-Болтовский образно говорил о необходимости знакомства с логикой каждого преподавателя математики.

«Для меня ясно только то, что учащийся физкультуре может, пожалуй, и не знать анатомии, но хороший учитель физкультуры ее должен знать, хотя бы в общих чертах.

То же, конечно, относится и к учащемуся математике и ческим выводом видеть скелет логического доказательства»9), учителю ее. Последний во всяком случае должен за геометри-

Между тем, по обстоятельствам, трудно уяснимым, вузовская подготовка преподавателей математики, в отличие от подготовки преподавателей иных дисциплин, не предусматривает их знакомства с элементами логики.

Первая часть работы адресуется преподавателю математики. Адресат определяет и некоторые особенности изложения:

1. Математическую основу выводов непосредственных к силлогических умозаключений.

2. Математический характер иллюстративных примеров.

3. Доказательность изложения.

Доказательность предлагаемого изложения при сохранении простоты — его несомненное преимущество перед другими. Эта особенность может быть полезной для составителей общих учебных руководств логики, равно как могут быть полезными математически и логически корректные примеры, приведенные в работе.

Отстаивая корректность изложения, мы не претендуем на его полноту.

В некоторых местах первой части работы мы ссылались на книгу проф. М. С. Строговича «Логика».

Эта книга, которая в отличие от предшествующих учебных руководств правильно выделяет место «объемной» логики в общем курсе логики, во-первых, помогла нам проверить свое понимание предмета, во-вторых, она подтвердила целесообразность предметно-педагогической направленности работы, ее назначение преподавателю математики.

Второй части работы, озаглавленной «Связанные совокупности теорем», предпосылается эпиграфом следующее высказывание действительного члена АПН РСФСР проф. А. Я. Хинчина:

«Учащийся должен учиться только в процессе искания, интеллектуально активного труда, самостоятельного преодоле-

9) Мордухай-Болтовский. Математика и логика в школе. «Математическое просвещение», выпуск 4, 1935 г., стр. 113.

ния трудностей, в этом единственная, но зато абсолютно надежная гарантия того, что знания его не будут только формальными»10).

Естественно, что задача создания соответствующих условий работы школьника должна быть решена методикой.

В нашей диссертации мы прилагаем к тому усилия.

В главе 1 даются критические замечания о логической структуре стабильного учебника по геометрии.

Основные из них следующие:

1. Изложение математических предложений в стабильном учебнике11) (определений, теорем, следствий) имеет вербальную основу. Предложения рассматриваются не как утверждения об отношениях классов математических об'ектов, не как утверждения о зависимости одних свойств математических об'ектов от других, взаимоследований свойств, их независимости и т. д., а как утверждения о зависимости истинности одних суждений от истинности других. При таком последовательно проведенном взгляде на математические предложения выхолащивается взгляд на математику как на предмет, изучающий математические об'екты — пространственные формы и количественные отношения реального мира, упрочняется вредный, идеалистический взгляд на математику как на предмет, изучающий «названия и выражения» и их связь.

2. Неправомерен и логически несостоятелен сформулированный в п. 36 учебника и не исправленный в дальнейшем тексте взгляд на определения как на предложения, «в которых разъясняется, какой смысл придается тому или иному названию или выражению» (определяются ведь математические понятия!).

3. Трактовка теорем как предложений, истинность которых требует доказательства, односторонняя, неполная. В математическом мышлении приходится не только утверждать, но и отрицать, доказывать ложность определенных предложений о математических об'ектах. Теоремой должно называться всякое суждение о математических об'ектах, истинность или ложность которого требует доказательства..

4. Если отказаться от взгляда на теорему, как на предложение о зависимости истинности суждений, то деление состава теоремы на условие и заключение следует признать неполным. Необходимо выделить прежде всего рассматриваемый об'ект,

10) Известия АПН РСФСР, 1946 г. А. Я. Хинчин.

11) Киселев. Том I—Планиметрия.

затем условия, при которых он рассматривается, и заключения, распространяемые на него.

5. Принятые в об'яснении зависимостей теорем и излишне часто используемые в тексте учебника формулировки теорем условными суждениями «если А, то В» способствуют привитию уже отмеченного неправильного взгляда на математические предложения, как на предложения о зависимости истинности суждений.

6. Об'яснение зависимостей теорем: прямой, обратной, противоположной и противоположной обратной при формулировках всех теорем условными суждениями, лаконичности и неполноте изложения, отсутствии необходимого и уже освоенного школьниками иллюстративного материала дано в учебнике несвоевременно. В лучшем случае ученик 6-го класса способен (что подтверждает опыт) на формальное усвоение зависимостей теорем. Эта тема, так же, как и вся тема «Математические предложения», должна быть рассредоточена в курсе и значительно расширена.

7. Разбор теорем в связанных совокупностях игнорируется учебником. По не всегда понятным соображениям одни из теорем, связанных с данной (обратных, противоположных, обратных противоположным), формулируются и доказываются (причем доказывается только истинность), другие даже не формулируются.

Школьникам не прививается привычка прорабатывать теоремы в связанных совокупностях. На методической целесообразности такой проработки мы останавливаемся во 2-й части работы.

8. В задачах на доказательство тема «Математические предложения» не представлена достаточно полно. Игнорирование обратных теорем, характерное для основного текста учебника, нашло место и в подборе задач на доказательство. Он однотипен — во всех задачах доказываются только необходимые свойства математических об'ектов некоторого класса (т.е. свойства, присущие всем об'ектам этого класса).

9. Учебник не стимулирует самостоятельности мышления школьников, не учит их самих формулировать задачи на доказательство и решать их.

В главе II разрабатывается тема «Связанные совокупности теорем». При этом под совокупностью теорем, связанных с данной, подразумевается множество теорем, составленное данной, всеми обратными в ней, всеми противоположными и противоположными обратным (обратными противоположным).

Основой рассмотрения является замена вербальной трактовки предложения о математических об'ектах его теоретико-множественной трактовкой.

За типовую принимается следующая формулировка теоремы: «Об'екты множества M (например, множества треугольников), имеющие свойство а (например, равнобедренные), имеют и свойство в (например, имеют два равных угла).

В типовой формулировке теорема утверждает, таким образом, зависимость свойств математических об'ектов рассматриваемого множества, выполнение одного свойства (в) при выполнении другого (а).

Если заметить, что каждые из свойств а и в в рассматриваемом множестве об'ектов (например, множестве треугольников) выделяются подмножества А и В (например, подмножества равнобедренных треугольников и треугольников с равными углами), то теорему основного типа можно рассматривать как суждение, утверждающее включение одного множества об'ектов в другое (АС В), причем оба множества рассматриваются собственными^ подмножествами третьего (М).

Теорема может быть как истинной, так и ложной, причем и случаю истинности, и случаю ложности отношение рассматриваемых множеств об'ектов соответствует неоднозначно.

Для установления действительного отношения рассматриваемых множеств об'ектов формулируют теорему обратную (или противоположную) исходной и доказывают ее истинность или ложность.

Распределением значений истинности и ложности данной теоремы и теоремы ей обратной (противоположной) определяется отношение рассматриваемых в исходной теореме множеств об'ектов.

Равносильность теорем данной и противоположной обратной, обратной и противоположной при нашей трактовке теорем легко доказывается решением задачи: по отношению двух множеств найти отношение их дополнений относительно третьего, об'емлющего сумму исходных.

Методическую сторону об'яснения значительно облегчают геометрические интерпретации отношений множеств.

В главе II дается также расширение понятия о связанных совокупностях теорем рассмотрением теорем со сложными условиями и заключениями. Мы трактуем такие теоремы как теоремы об отношениях совокупностей свойств математических об'ектов множества, соответственно как предложения, утверждающие включение пересечения одной совокупности подмно-

жеств данного множества в пересечение другой такой совокупности. Естественно, что разбор зависимостей укладывается в схему простейшего случая, так как, вообще говоря, нельзя провести грани между одним и многими свойствами об'екта.

Введением такой грани легко устанавливается представление о множественности теорем обратных и противоположных данной.

Во второй же главе дается классификация отношений свойств математических об'ектов. Каждое свойство по отношению к другому может быть одним из пяти:

1. необходимым, но не достаточным; 2. достаточным, но н.е необходимым; 3. необходимым и достаточным; 4. независимым* 5. противоречивым.

Там же дается классификация признаков об'ектов множества. Каждый признак может быть одним из пяти:

1. необходимым, но не достаточным; 2. достаточным, но не необходимым; 3. необходимым и достаточным; 4. отделимым; 5. противоречивым.

При этом показывается, что отношение свойств существенно зависит от того, к об'ектам какого множества относятся свойства, а характер признаков об'ектов множества—от того, подмножеством какого множества оно рассматривается.

Параграфы главы II, посвященные классификациям, имеют в виду не только обеспечение строгости применяемой (не безукоризненно) в школьной математике терминологии (необходимое и достаточное условие, необходимый, но не достаточный признак и т. д.).

В. них показывается, что установление отношения свойств об'ектов определенного множества или характера признака об'ектов определенного множества, рассматриваемого подмножеством вполне определенного другого, гарантируется рассмотрением некоторой связанной совокупности теорем (распределением значений истинности и. ложности теорем этой совокупности).

Глава II заканчивается доказательством закона обратимости — естественного обобщения зависимостей теорем связанной совокупности и примерами его применения в школьном курсе. Доказательство, типичное для всего изложения, дается в терминах отношений множеств.

Глава III посвящена методике работы над совокупностью связанных теорем и короткому опыту использования зависимостей для активного освоения курса математики школьниками.

Здесь мы останавливаемся прежде всего на универсальности принятой нами формулировки теорем школьного курса, показывая приводимость к ней иных формулировок теорем в редакции учебника. Назначение § 1 собственно методическое, так как доказательством универсальности принятой формулировки уже служило то, что формулировки связанных с ней теорем подходят под тип, а совокупностью связанных теорем устанавливается отношение рассматриваемых в исходной теореме свойств.

§ 2 посвящен методике работы над составом теоремы.

В § 3 дается методика первоначального ознакомления с зависимостями теорем связанной совокупности (семилетняя школа). Помимо программы ознакомления, здесь разрабатываются основные методические принципы его в соответствии с проходимыми в семилетней школе содержательными фактами геометрии.

§ 4 посвящен работе над связанной совокупностью теорем в 8-х—10-х классах средней школы: в старших классах связи теорем из предмета изучения должны стать средством дальнейшего изучения математики, и в этом мы видим одно из качественных отличий первого и второго концентра школьной математики. Мы выдвигаем как обязательный методический принцип работы в старших классах рассмотрение теорем в связанных совокупностях, с предварительной формулировкой всех теорем совокупности: такой порядок делает разбираемую теорему естественным звеном большого исследования, позволяет установить рациональный путь доказательства истинности и ложности целой совокупности теорем, позволяет разнообразить доказательства. При таком порядке школьник имеет естественную перспективу исследования — сформулировать теоремы связанной совокупности и доказать истинность и ложность каждой из них. Помимо программы расширения сведений о связанных совокупностях теорем и описания опыта ее реализации в $ 4 разбирается особо:

1. Методика работы над теоремами, в которых утверждается какое-либо свойство относительно всех об'ектов некоторого множества.

2. Методика работы над совокупностью теорем, связанных со сложной теоремой.

3. Методика работы над примерами и анализом доказательства теорем.

4. Зависимость связанной совокупности теорем от выделения рассматриваемого об'екта в исходной теореме и следующие

отсюда методические возможности в организации самостоятельной работы школьников.

В главе IV дается методический принцип, названный нами педагогическим принципом возможных обобщений, как принцип, обеспечивающий перспективу самостоятельного творчества школьников в работе над математическим материалом, и примеры конкретной реализации этого принципа.

Две приводящиеся друг к другу формулировки принципа следующие:

1. «При установлении того или иного свойства элементов рассматриваемого класса математических об'ектов устанавливать также, если это позволяет делать уровень знаний школьников, максимально расширенный класс математических об'ектов, на все элементы которого распространяются установленные свойства, равно как и характер этого распространения».

2. «Каждая теорема должна быть обработана настолько (по возможности), чтобы при сохранении заключения теоремы ослабление условий, накладываемых на об'екты рассматриваемого класса, было бы невозможным».

В главе V разбирается вопрос о задачах на доказательство в курсе школьной геометрии. Представляется бесспорным, что задачами на доказательство должна цементироваться научная система курса, его логические основы и вместе с тем развиваться логическое мышление школьников. Самостоятельность мышления школьников развивается решением задач на доказательство больше чем другими формами учебной работы, по двум обстоятельствам: во-первых, аргументы доказательства подбираются учащимися самостоятельно, во-вторых, также самостоятельно аргументы связываются в демонстрацию.

Определив образовательное назначение задач на доказательство, мы даем их классификацию (типы). Последнее нетрудно сделать по разработке главы II — установлению классификаций отношений свойств об'ектов определенного множества и признаков об'ектов множества.

Нами передаются школьнику два ключа к составлению задач на доказательство:

1. разбор теорем, связанных с теоремами уже разобранными;

2. принцип возможных обобщений.

Главу заканчивает небольшой сборничек задач на доказательство, естественно возникший при разборе теорем в связанных совокупностях и применении принципа возможных обобщений к некоторым теоремам основного текста учебника.

Заключительная, VI глава посвящена методике ознакомления школьников с элементами теории множеств—теми, которые используются нами во 2-й части работы.

Вторая часть работы, так же как и первая, адресуется преподавателю математики, однако, в отличие от первой, здесь предлагается материал, непосредственно относящийся к преподаванию школьной математики.

Предлагаемая методика работы над связанной совокупностью теорем строилась применительно к полному курсу планиметрии; во всяком случае весь иллюстративный и опробированный в школе материал черпался из этого курса. Исключение составляет первое знакомство с понятием множества и возможными отношениями множеств, которое отнесено к курсу арифметики.

Эта методика распространяется и на курс стереометрии.

При сопоставлении 1-й и 2-й частей работы можно обнаружить, что обоснование зависимостей теорем, связанных с данной, дается так же, как и доказательство некоторых непосредственных умозаключений.

Наше изложение теории силлогических умозаключений вероятно могло бы служить основой методики работы над доказательством теоремы. Относящиеся сюда соображения и выводы в работе не представлены. Также вероятно, что их разработка может составить тему отдельной диссертации.

А 03873 подп. к печати 17/V—1951 г. Зак. 893—100.

Тип. Всесоюзного о-ва по распространению политич и науч. знаний