АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

М. В. ПОТОЦКИЙ

О ПРЕПОДАВАНИИ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ИНСТИТУТЕ И О ЛИТЕРАТУРЕ ДЛЯ ЕЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ В СВЯЗИ С ВОПРОСОМ ОБ УЛУЧШЕНИИ ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

С приложением проекта учебника «Аналитическая геометрия на плоскости (для самостоятельного изучения)»

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК (ПО МЕТОДИКЕ МАТЕМАТИКИ)

МОСКВА - 1956

Улучшение постановки преподавания высшей математики в педагогических институтах и создание учебной литературы для ее самостоятельного изучения являются важнейшими задачами, связанными с подготовкой учителей математики для нашей средней школы.

Эти задачи становятся особенно актуальными в связи с решениями XIX и XX съездов Партии.

Так в «Директивах» XIX съезда говорится о необходимости подготовить условия для полного осуществления в пятой и шестой пятилетке всеобщего среднего образования..

Перед преподаванием в средней школе Директивы XIX съезда ставят следующие задачи:

«В целях дальнейшего повышения социалистического воспитательного значения общеобразовательной средней школы и обеспечения учащимся, заканчивающим среднюю школу, условий для свободного выбора профессий, приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

Далее в Директивах в следующих словах указывается на необходимость развития заочного образования:

«Учитывая возрастающее стремление взрослого населения к повышению своего образования, обеспечить дальнейшее развитие заочных и вечерних высших и средних специальных учебных заведений, а также общеобразовательных школ для обучения трудящихся граждан, без отрыва от производства».

Директивы XX съезда партии подтверждают и развивают эти положения. В них говорится о необходимости осуществления в основном всеобщего среднего образования в городах и сельских местностях, путем обучения детей в общеобразовательных школах и в средних специальных учебных заведениях и о необходимости развивать политехническое обучение в общеобразовательной школе. Далее в них говорится о необходимости значительного расширения вечернего и заочного высшего образования.

Таким образом перед педагогическим образованием, в частности по линии математики, стоит важнейшая задача, которая в основном сводится к необходимости всестороннего развития и усовершенствования подготовки учителей математики как в стационарных, так и в заочных педагогических институтах, с тем, чтобы они были способны с успехом вести преподавание в дух политехнического обучения.

Из сказанного видно, что настоящая диссертация ставит себе целью посильно содействовать практическому разрешению ряда задач, значение которых особенно велико в свете решений XIX и XX съездов партии.

Диссертация состоит из Введения, пяти глав и Приложения. Главы ее следующие:

Глава I — О недостатках в преподавании высшей математики.

Глава II. — О рациональной постановке преподавания высшей математики.

Глава III. — Об учебной литературе для самостоятельного изучения высшей математики.

Глава IV.— О программе по курсу аналитической геометрии.

Глава V. — Об учебнике для самостоятельного изучения курса аналитической геометрии на плоскости.

Содержание приложения составляет проект учебника «Аналитическая геометрия на плоскости (для самостоятельного изучения)».

Во введении прежде всего отмечаются следующие положения:

1. Общее знакомство с постановкой преподавания высшей математики в педагогических институтах обнаруживает наличие в этом преподавании ряда существенных недостатков. В основном они сводятся к его излишне формальному характеру, затрудняющему ознакомление учащихся с самой сущностью высшей математики.

2. Общее ознакомление с учебной литературой по высшей математике обнаруживает ее непригодность для самостоятельного изучения по ней высшей математики.

Далее конкретно формулируются задачи, которые ставит перед собой эта работа. Эти задачи следующие:

1. Критически проанализировать постановку преподавания высшей математики в пединституте и выяснить существо недостатков этого преподавания и их причины. (Этому посвящена I глава).

2. Наметить такую систему преподавания высшей математики, которая раскрывала бы перед учащимися самую сущность высшей математики, указывала бы одновременно ее связь с практикой и с вопросами элементарной математики и содействовала бы подготовке учителя математики, способного успешно вести преподавание в школе в духе политехнического обучения. (Это составляет содержание II главы.)

3. Выяснить причины непригодности существующей учебной литературы по высшей математике для ее самостоятельного изучения и попытаться предложить такие способы изложения высшей математики, которые позволили бы изучать ее самостоятельно. (Этому посвящена глава III.)

В качестве возможного конкретного приложения, выдвигаемых общих положений,— в главе IV предлагается программа по аналитической геометрии для пединститутов, составленная с учетом соображений, высказанных в предыдущих главах.

По этой программе строится учебник «Аналитическая геометрия на плоскости (для самостоятельного изучения)» (дан в приложении), в основу которого положены общие соображения глав I, II, III и IV.

Обзор и подробная характеристика этого учебника даны в главе V.

В первой главе «О недостатках в преподавании высшей математики» прежде всего отмечаются те положительные стороны, которыми характеризуется преподавание высшей математики в Педагогическом институте. Действительно, оно:

1. Дает учащимся определенные фактические знания по изучаемым предметам высшей математики.

2. Приучает учащихся к владению математическим аппаратом, формируя, в известной мере, их математическое мышление.

В результате учащиеся приобретают общее математическое развитие, известное умение читать математическую литературу и ориентироваться в различных математических вопросах.

Однако, эти достоинства в постановке преподавания высшей математики, как это ни странно, служат в то же время источником и наиболее существенных его недостатков. Дело в том, что желание возможно полнее ознакомить учащихся с фактическим содержанием каждого предмета, при сравнительно небольшом времени, отводимом для него учебным планом, приводит к излишнему формализму в построении каждого курса.

Как показывают программы и учебники (довольно точно отражающие требования программы), а также устное преподавание (в свою очередь руководящееся программой и учебной литературой), каждый курс сводится почти исключительно к последовательному, возможно более полному, не отклоняющемуся в сторону изложению формальной стороны предмета, т. е. к формулировкам аксиом, определений и теорем с их доказательствами.

Наоборот, вопросы, связанные с обстоятельным выяснением происхождения предмета из определенных проблем практики (естествознания, техники) и самой математики, а также вопросы, связанные с выяснением его роли как в прикладных науках, так и в других областях самой математики, почти не находят себе места ни в программах, ни в учебниках. Между тем выяснение всех этих вопросов чрезвычайно важно, так как в значительной мере именно они раскрывают учащимся идейное содержание предмета и обеспечивают сознательное его изучение.

Надо заметить, что наличие почти в каждом курсе беглых упоминаний из истории возникновения предмета и отдельных задач и примеров прикладного содержания не может заменить необходимости обстоятельного выяснения поднятых вопросов, так как опыт преподавания показывает, что такие беглые или разрозненные упоминания, не раскрывая идейной стороны предмета, проходят мимо сознания учащихся, почти не оставляя в нем следа.

Изолированности математических предметов от вопросов практики сопутствует и полная «самоизоляция» каждого отдельного математического предмета от других математических предметов.

Каждый математический предмет излагает только «свои темы» и мы напрасно стали бы искать при его изучении каких-бы то ни было указаний на связь его тематики с тематикой других математических предметов, на взаимную зависимость и преемственность их проблематики, на различие подходов различных математических предметов к изучению одного и того же материала, на сравнительный анализ методов различных математических дисциплин и г. д. Короче говоря, вопросы методологии науки совершенно на затрагиваются в преподавании.

Далее, построение и изложение каждого математического предмета таково, что учащийся, в большинстве случаев, не видит в изложении предмета никакой целенаправленности, не видит (заранее!) никакого плана, так как ни план курса, ни его идейное содержание не доводятся в ясной форме до сознания студента.

Последний воспринимает курс не как изложение определенного пути решения поставленных перед курсом задач, а как просто «сумму» известного числа его предложений. Поэтому и окончание курса студент обычно воспринимает не как разрешение определенного круга вопросов, а как обрыв курса на такой-то «теореме» за исчерпанием отведенного на него времени.

Излишняя перегрузка программ учебным материалом только усугубляет это положение и приводит к тому, что на семинарских занятиях учащиеся занимаются, главным образом, решением наиболее простых задач на элементарное использование выведенных на лекциях формул. Из-за недостатка времени, учащиеся почти не решают задач повышенной трудности, которые развивали бы у них математическое мышление, в частности, умение словесно выраженные условия задачи формулировать на языке математических уравнений (алгебраических, дифференциальных) с их последующим решением. Между тем именно такие задачи в наибольшей возможной степени содействовали бы развитию математического мышления, что является одной из важнейших задач вузовского обучения математике.

Все это приводит к тому, что учащиеся изучают лишь формально-вычислительную сторону отдельных математических предметов. Между тем должно быть совершенно ясно, что если такое чисто формальное изучение математики, сводящееся к одному лишь изучению приемов математических действий и может иметь хотя бы тень оправдания для технических вузов, где эти приемы находят себе конкретные приложения при изучении специальных технических предметов, то в педагогическом институте такой характер изучения высшей математики теряет всякий смысл.

Действительно, поскольку непосредственное преподавание высшей математики не входит в настоящее время в задачи учителя средней школы (а по проектируемой программе будет входить лишь в незначительной степени) постольку изучение высшей математики в педагогическом институте имеет одной из своих важнейших задач повышение общематематической и общей культуры учащегося и развитие его математического мышления.

Когда же курсы по высшей математике сводятся, как говорилось выше, к одному сплошному выводу формул, то они перестают выполнять и это свое основное назначение, так как такая постановка преподавания не раскрывает перед учащимися даже чисто математических идей, заложенных в этих курсах. В этих условиях учащиеся не получают истинного представления о сущности высшей математики, как целостной науки, о развитии ее методов, о ее проблемах, о ее роли в разрешении проблем практики—даже в той мере, в которой это им вполне доступно. Этот отрыв от практики

является тем более противоестественным, что именно в ней черпает высшая математика темы своих исследований. В результате учащиеся получают искаженное представление о высшей математике, их общематематическое развитие оказывается сниженным, не говоря уже о том, что роль высшей математики в общей культуре человека остается от них скрытой. Тем самым преподавание высшей математики очень мало обогащает общую культуру учащихся.

Одним из наиболее существенных недостатков в преподавании высшей математики в педагогическом институте является отсутствие органической связи между курсами высшей математики и элементарной математикой. Как уже было сказано выше, каждый из курсов по высшей математике заключается только в последовательном изложении своего материала. Поэтому и не удивительно, что в них почти совершенно не затрагиваются вопросы, которые характеризовали1 бы взаимную связь проблем высшей математики с проблемами элементарной математики, разъясняли бы в частности происхождение высшей математики, как результат развития методов элементарной математики и т. д.

Перед учащимися не выясняется в должной мере тот факт, что в высшей математике, наряду с прочими вопросами, решается целый ряд проблем, которые ставит, но не может решить элементарная математика.

Далее, учащимся не подчеркивается в должной мере то обстоятельство, что высшая математика подвергает критическому анализу, с точки зрения современного состояния математической науки, почти все основные понятия и проблемы элементарной математики. Между тем понимание как раз этого обстоятельства было бы чрезвычайно важно для будущего учителя. Оно показало бы ему, что без изучения высшей математики он не может быть грамотным учителем математики в средней школе.

Конечно, отдельные упоминания об элементарной математике встречаются в курсах высшей математики и сейчас, но это не меняет общей картины, так как дело не в отдельных «упоминаниях», которые сейчас же забываются учащимися, а в общей идейной связи между предметами, о которой здесь идет речь и которая совершенно необходима.

Итак, в результате установившейся у нас системы преподаваний высшей математики — в значительной мере разобщающей высшую математику и элементарную — у учащихся невольно создается ложное представление о том, что будто бы между вопросами высшей и элементарной математики и на самом деле нет никакой конкретной связи, что поэтому, будто бы, изучение высшей математики не имеет никакого отношения к их будущей работе в средней школе в качестве учителей, что поэтому высшую математику можно сейчас же забыть, по выходе из института, и что если изучение высшей математики и имеет для них какую-либо ценность, то разве лишь с точки зрения приобретения одного только общего математического образования.

Однако, не говоря уже о том, что изложенные здесь представления учащихся попросту ошибочны и, как видно из сказанного выше, противоречат истинному положению вещей в науке, но они имеют еще и тот недостаток, что не содействуя сознательному усвоению курсов по высшей математике, они тем самым препятствуют нормальному и успешному их изучению.

Чтобы установить правильную точку зрения учащихся на связь вопросов высшей математики с проблемами элементарной, следует в процессе преподавания высшей математики довести до сознания учащихся, что изучение высшей математики имеет для них не только общеобразовательную ценность, но что оно имеет и самое непосредственное отношение к их будущей работе в школе. Именно, учащимся надо показать, что все важнейшие вопросы элементарной математики, рассматриваемые в школьном курсе, рассматриваются там неполно, и что эти вопросы находят свое завершение лишь в высшей математике. Поэтому знание учителем высшей математики обязательно для его успешного преподавания в школе.

Действительно, в качестве примера можно отметить, что вопросы обоснования элементарной геометрии и отыскания общих методов в геометрии, вопросы выполнимости геометрических построений и вопросы построения стереометрических чертежей и т. д. рассматриваются в курсах оснований геометрии, аналитической и проективной геометрий, а также в курсе начертательной геометрии.

Вопросы обоснования алгебры, решения алгебраических уравнений, изучения иррациональных и комплексных чисел, изучения свойств элементарных функций и составления таблиц значений функций и т. д., рассматриваются в курсах высшей алгебры, математического анализа, теории функций и т. д.

Вопросы, затрагиваемые в курсах физики и географии (законы движения планет, вопросы картографии) приводят к необходимости изучения аналитической и дифференциальной геометрий и предметов математического анализа и т. д.

Следует отметить, что было бы большой ошибкой считать, что установление связи высшей математики с элементарной должно быть всецело возложено на специальный курс элементарной математики, который читается в педагогическом институте.

Во-первых, специальный курс элементарной математики, будучи цельным курсом, имеет и свой особый план и свою тематику и поэтому не может (да и не должен), служить «сборником примеров на приложение высшей математики к элементарной»; высшую математику он использует по мере необходимости, в согласии со своим планом.

Во-вторых, как это видно из предыдущего, установление связи с элементарной математикой должно найти себе место именно в курсах по высшей математике прежде всего в интересах преподавания самой же высшей математики.

Действительно важно, чтобы изучая тот или иной из курсов по высшей математике учащийся ясно сознавал, что именно каждый из них должен ему дать, как будущему учителю. Ясное понимание

учащимися этого положения вещей, осознание не только общеобразовательной ценности высшей математики, но и конкретной пользы от ее изучения увеличит интерес учащихся к предметам высшей математики и улучшит их учебные успехи по этим предметам.

Таким образом, наиболее тесная и ярко выраженная связь вопросов высшей математики с вопросами математики элементарной, продемонстрированная в процессе изучения высшей математики, пойдет в первую очередь на пользу преподаванию самой же высшей математики. Она придаст идейное единство и целеустремленность курсам по высшей математике, как каждому в отдельности, так и всем вместе, сделает явной их взаимную связь друг с другом, обеспечит их сознательное изучение учащимися, т. е. сыграет и положительную воспитательную роль в процессе обучения в ВУЗе.

Наконец, надо подчеркнуть, что эта тесная связь предметов высшей математики с элементарной ни в какой мере не должна заглушать идей самой высшей математики. Иначе говоря, было бы ошибочно думать, что наличие тесной связи высшей математики с элементарной может каким бы то ни было образом снизить научный уровень курсов по высшей математике. Наоборот, последовательное проведение такой тесной связи могло бы только привести к усилению и обогащению курсов по высшей математике путем введения курсов по топологии, многомерной геометрии и т. д., которые отсутствуют сейчас в учебном плане, но которые позволили бы с новых точек зрения осветить ряд важных вопросов элементарной математики.

В главе II «О рациональной постановке преподавания высшей математики» делается попытка так построить преподавание высшей математики, чтобы оно было свободно от отмеченных выше недостатков.

Здесь прежде всего указывается, что рационально построенное преподавание должно исходить из учета основных положений философии диалектического материализма. Это значит, что изложение научных положений в каждом из предметов высшей математики должно дать понятие учащимся о происхождении научных проблем из потребностей практики, об отражении проблем практики в науке, о взаимозависимости фактов науки и научных теорий, о развитии последних, о возникновении новых методов в науке и их борьбе со старыми методами и т. д.

При построении курсов на основе этих предпосылок естественно исходить из следующих положений.

1. В курсах по высшей математике должна найти свое непосредственное отражение связь изучаемой теории с будущей практической деятельностью учащихся, т. е. связь высшей математики с элементарной математикой.

2. Существующее в настоящий момент формальное построение курсов дает изложение каждого математического предмета самого по себе и демонстрирует его связь с практикой и с элементарной математикой на отдельных, разрозненных задачах прикладного или элементарно-математического характера. Такие задачи имеют не-

сомненную ценность, однако демонстрация связи теории и практики на отдельных разрозненных примерах носит случайный характер и мало убедительна, не говоря уже о том, что она способна внушить учащимся ложное представление, что будто бы практической ценностью обладают лишь отдельные, случайные вопросы курса.

Между тем важно, чтобы учащийся ясно представлял себе данную науку, как нечто целое, обязанное своим возникновением практике. Поэтому, в противоположность принятому сейчас, каждый курс должен строиться так, чтобы с самого начала, со всей отчетливостью демонстрировать учащимся (будущим учителям!) происхождение изучаемой науки в целом, под влиянием больших проблем практики и элементарной математики в самом широком смысле этого слова.

Эта связь с практикой и элементарной математикой должна быть одной из идейных основ каждого из курсов по высшей математике. Проходя красной нитью через весь курс, она не только не будет заглушать основной математической линии курса, но наоборот, будет еще сильнее подчеркивать ее идейное содержание и значение.

3. Весь курс должен представлять собой не просто «цепь теорем», как это обычно имеет место сейчас, но обладать некоторым идейным единством и целеустремленностью от начала до конца, доведенными до сознания студента.

4. Преподавание высшей математики должно в максимально возможной мере воспитывать общую культуру учащегося. Это значит, что последний должен представлять себе высшую математику, как неотъемлемую часть нашей общей культуры.

Курс, исходящий из отмеченных положений, мог бы в общих чертах строиться следующим образом.

Курс должен начинаться со своего рода вводной части, которая должна быть посвящена выяснению (на конкретных примерах) вопроса о том, когда, при каких обстоятельствах, под влиянием каких потребностей как самой математики, так и практики (естествознания и техники) возникла излагаемая дисциплина. Здесь следует сформулировать и те проблемы элементарной математики, необходимость решения которых приводит учащегося к изучению данного курса.

Одной из задач этой части курса — будет наметить, в доступной для учащихся форме, хотя бы в общих чертах, план и задачи изучаемого курса, сформулировать те проблемы как самой математики, так может быть естествознания и техники, решение которых будет целью этого курса, чтобы создать у учащихся известную ясность перспектив и не заставлять их изучать курс «вслепую».

Таким образом, эта вводная часть должна оправдать в глазах учащихся самую постановку для них данного курса как с точки зрения того, что он даст им, как будущим учителям математики, так и с точки зрения его общематематического, общенаучного и общекультурного значения. Эта часть курса должна создать у уча-

щихся убеждение в том, что изучая курс они действительно будут заняты изучением важных (как с точки зрения теории, так и практики) вопросов науки. Этим будет обеспечено сознательное изучение курса.

Опыт преподавания убедительно показывает, что ясное понимание учащимися происхождения изучаемой теории (из задач практики или самой математики), значительно облегчает им усвоение и ее чисто математического содержания.

Надо заметить, что было бы ошибочно считать, эту вводную часть курса «историческим» введением в предмет. Ее основная цель — быть логическим введением, т. е. осветить причины возникновения предмета. Исторические же сведения, хотя естественно и найдут себе в ней место, однако, они не будут играть здесь решающей роли, поэтому эта часть курса не может служить заменой соответствующих разделов курса истории математики, который имеет свои задачи.

Важно, чтобы эта вводная часть была изложена доступно, обстоятельно и убедительно для учащихся, а не являлась бы своего рода перечислением названий разделов и теорем, так как в последнем случае постановка этой вводной части потеряла бы всякий смысл; это значит, что эта вводная часть должна занимать не 20— 30 минут первой лекции, как это иногда бывает сейчас, а может быть 2 — 3 лекции и более. В диссертации в кратком виде, в качестве примера, указана тематика этих вводных разделов по курсам математического анализа и аналитической геометрии.

Следующей частью курса будет систематическое изложение материала данной дисциплины, т. е. по существу того, к чему сводится сейчас весь курс. Однако, эта часть курса должна излагаться несколько иначе, чем она излагается сейчас.

Изложение содержания этой «чисто математической» стороны курса не должно сводиться только к одному сплошному выводу формул. Надо не только вывести те или иные формулы или сформулировать теоремы, но и выяснить все, что нужно «о них», т. е. разъяснить смысл этих формул и теорем, их роль и значение в данном курсе, их место в науке, может быть отметить историю их возникновения, осветить роль отечественных ученых в разработке соответствующих вопросов и т. д. Здесь важно показать не только решения тех или иных чисто математических задач, но и то, как проблемы прикладных наук выражаются на языке математики и приводят к этим задачам и к необходимости их решения. Короче говоря, методологические вопросы науки, а также методические вопросы построения курса должны найти себе известное место в курсе наряду с чисто математическими его вопросами.

Только в этом случае учащийся увидит, за чисто формальной стороной курса идейную сторону науки, иначе говоря, только в этом случае учащийся будет смотреть на математику, как на средство выражения определенных идей, как на систему знаний, а не только как на систему формул.

Наконец, заключительная часть курса должна показать учащимся, что она действительно идейно завершает, курс, а не обрывает его на «такой-то» теореме. Здесь должны быть даны или сформулированы решения тех проблем математики, естествознания, техники, которые с самого начала были нами поставлены перед курсом. Особенно важно продемонстрировать решения тех вопросов и задач элементарной математики, которые ставил перед собой этот курс или которые он может дать. Последнее обстоятельство играет решающую роль, так как только таким образом учащийся получит конкретное доказательство прикладной ценности этого курса для него, как для будущего учителя.

Изучив эту часть курса учащийся должен ясно почувствовать, что именно этот курс дал ему, чего он теперь достиг, каковы те задачи, которые были ему ранее недоступны, но которые теперь он может решить.

Самое важное заключается в том, чтобы учащийся ясно видел, что курс — это не просто совокупность теорем, а некоторая теория, имеющая целью дать известные способы и методы разрешения определенных проблем, поставленных нами перед собой с самого начала. Указанное построение курса имеет целью выяснить учащимся эту сторону дела.

Та тесная связь теории с практикой, о которой здесь идет речь, будет в максимально возможной степени готовить учителя, способного вести преподавание в духе политехнизма.

Чтобы ярче оттенить все значение для учителя связей курсов по высшей математике с практикой надо еще раз подчеркнуть то коренное различие, которое характеризует положение курсов по высшей математике в техническом и в педагогическом ВУЗах.

В первом из них последующие специальные технические дисциплины, знакомя учащегося с техникой, будут одновременно служить ему постоянным приложением его математических знаний, и студент, изучающий высшую математику, сознает это.

Во втором случае, учащийся, не получивший хотя бы общих сведений о технических или естественно научных приложениях высшей математики в курсе самой высшей математики, — не получит их уже больше нигде. Это лишний раз подчеркивает все значение для учащихся тех связей, которые устанавливаются в курсах по высшей математике между высшей математикой и ее приложениями.

Чтобы достигнуть своей цели и не быть лишь перечнем названий, завершающая часть курса не должна быть излишне краткой и может занять 2—3 или более лекции.

Сейчас программы по высшей математике построены так, что каждая из математических дисциплин представляется учащемуся как бы раз и навсегда завершенной, лишенной всякого дальнейшего развития и изолированной от других математических наук. Однако такое представление, которое получают учащиеся, явно противоречит истинному положению вещей в науке.

Ввиду этого, заканчивая заключительную часть курса, необходимо показать учащимся, что вопросы, изучавшиеся в данном курсе в свою очередь служат источником новых проблем, часть из которых не может быть решена методами данной дисциплины и находит свое решение в дальнейших курсах. Однако, для тою, чтобы эти заключительные замечания принесли учащимся пользу, — они не должны быть слишком краткими и не должны сводиться к одному перечислению «названий» проблем.

Они должны объяснять существо этих проблем и то, как и почему они возникли в данном курсе и почему они не могут быть в нем решены. Только в результате этого в сознании учащихся исчезнет представление об изолированности и завершенности каждой из математических наук — и учащийся будет видеть математические науки и их методы в их развитии.

Итак, курс должен представлять из себя нечто связное и цельное — от постановки его задач в начале курса до их разрешения и постановки новых проблем в его конце.

Изложенное показывает, что предложенное выше построение курсов по высшей математике представляет собой не просто «добавление» к существующим курсам тех или иных новых разделов, но знаменует собой новый взгляд на основной вопрос о том, что должен представлять собой курс по высшей математике в пединституте и каково должно быть содержание каждого такого курса.

Этот новый взгляд требует решительного отказа от старой точки зрения, состоящей в том, что только совокупность теорем с их доказательствами, дополняемая иногда отдельными иллюстративными задачами, есть математическая дисциплина, как предмет преподавания.

С новой точки зрения все отмеченные выше части курса (в частности такие, как вводная, мотивировочная и заключительная, подводящая итоги) являются такими же неотъемлемыми и равноправными (со всеми остальными) его частями, как и любая его теорема.

Это тем более важно подчеркнуть, что только все эти части курса вместе придают осмысленность формальным операциям, играющим такую видную роль в любом математическом курсе, только все они вместе способны обеспечить сознательное изучение курса и достижение тех целей, которые ставит перед собой любой курс по высшей математике в педагогическом институте.

Таким образом, с педагогической точки зрения предлагаемое построение курсов имеет целью построить изучение высшей математики на основе принципа сознательности обучения и борьбы с формализмом.

Это осуществляется путем перестройки преподавания, в частности, как это видно из предыдущего, путем обогащения содержания курсов рядом новых вопросов (вопросы происхождения предмета, связи его с практикой и с элементарной математикой и т. д.).

Таким образом то, что раньше либо совсем отсутствовало, либо служило лишь желательным, но не обязательным дополнением к

курсу и находило себе место лишь иногда в учебных пособиях, теперь становится одной из существенных сторон обязательного курса и должно найти себе место и в обязательных программах и в учебниках.

При практическом осуществлении рекомендуемого здесь построения курсов следует все время иметь в виду, что та тесная связь с практикой и элементарной математикой, о которой здесь идет речь ни в коем случае не должна снижать в математическом образовании учителя роли и значения стройной математической теории, не должна вести к растворению теории в практических задачах и т. д.

Указанное построение курсов имеет единственной целью оправдание математической теории с точки зрения практики, с целью более сознательного, а поэтому и более глубокого освоения этой теории учащимися.

Считая, что общий бюджет времени на каждый курс остается прежним, возникает вопрос о том, как вложить новое содержание курса в старые рамки времени?

Здесь придется поступить следующим образом.

Для того, чтобы иметь возможность обстоятельно и в доступной форме изложить учащимся все те вопросы, которые должны теперь войти в курс, надо ясно наметить основную идейную линию курса, считая, что каждое предложение курса должно быть необходимым звеном его общего плана.

Намечая эту основную линию курса необходимо стремиться к тому, чтобы в ней нашли себе место действительно важнейшие, с избранной точки зрения, положения науки и, в первую очередь, те, которые освещают определенные вопросы элементарной математики.

При этом придется без колебаний пойти на исключение из курса, может быть, по традиции, и неотъемлемого и интересного, но, с принятой точки зрения, такого материала, без которого можно обойтись. За счет его исключения может быть легко найдено место для включения в курс необходимых новых разделов и найдено время на семинарских занятиях для решения задач, развивающих математическое мышление учащихся.

В курсах математического анализа, как и в геометрических курсах, нетрудно указать такие разделы, которые без ущерба для курса могут быть сокращены. При этом надо твердо стать на ту точку зрения, что научная ценность курса определяется не числом фактов, изложенных в нем, или размерами формальной теории, а четким проведением его идейной линии, указанием его связей с практикой и другими курсами, и тем как эти идеи доведены до сознания учащихся.

Построение курсов по указанному плану должно быть чуждо догматизму, а поэтому те три или четыре части, на которые здесь очень условно подразделяется курс (вводная, изложение чисто математической стороны курса, заключительная и указание связей с другими курсами), вообще говоря, вовсе не обязаны строго отде-

ляться друг от друга. Они могут и непосредственно переходить друг в друга и частично сливаться друг с другом.

Ввиду больших педагогических трудностей, связанных с осуществлением выдвинутых здесь предложений наиболее рациональным способом перехода к новому построению курсов надо считать создание учебных книг, по новому формирующих материал курса. Это позволило бы выделить наиболее ценное из таких попыток и закрепить их в формулировках программы и объяснительной записке к ней.

В заключение II главы диссертации указывается, что современная постановка госэкзаменов не может считаться удовлетворительной. Сейчас, готовясь к госэкзамену, учащийся лишь повторяет отдельные вопросы курсов, вынесенные на госэкзамен. Последние выбираются в достаточной мере произвольно и далеко не всегда связаны с вопросами школьного преподавания.

Ввиду этого в диссертации намечена примерная программа госэкзаменов, которая заставила бы учащихся, готовящихся к экзамену, не только повторять разделы курса, но и заново их продумывать. Кроме того вопросы предлагаемой программы госэкзаменов по возможности выбраны так, чтобы они были непосредственно связаны с вопросами элементарной математики. В этом случае, госэкзамен явится действительно переходной ступенью для будущего учителя от ВУЗа к школе.

Для придания госэкзамену указанного характера программа госэкзамена должна строиться не в виде сокращенной программы курсов, а по темам, каждая из которых должна быть посвящена всестороннему рассмотрению какого-нибудь одного вопроса, по возможности близкого к вопросам, изучаемым в средней школе.

Такие темы, в большинстве случаев, будут затрагивать вопросы, изучаемые в различных курсах и тем самым будут заставлять учащихся при подготовке к экзамену по новому продумывать учебный материал.

В качестве примера в работе указываются такие темы, как например «Геометрические построения», охватывающая вопросы, изучаемые в элементарной, аналитической и проективной геометриях и в высшей алгебре; «Понятие числа и его развитие», охватывающая вопросы, изучаемые в алгебре, теории чисел, теории функций и т. д. Естественно, что при устном ответе на экзамене учащийся отвечает на отдельные вопросы, не обязательно охватывающие всю тему.

Третья глава диссертации «Об учебной литературе для самостоятельного изучения высшей математики» посвящена вопросу о самостоятельном изучении высшей математики.

Глава начинается с критики современной организации заочного' образования по подготовке учителя математики для средних школ. Здесь указывается, что основная работа учащихся в заочных отделениях пединститутов ведется на зимних и летних сессиях (первая длится 10 дней, вторая 1 — 1,5 месяца). В период этих сессий учащиеся работают очень много и очень напряженно, так как в это

«укороченное» время они прослушивают все вузовские курсы, на которые здесь отводится значительно меньше времени, чем отводится этим курсам на стационаре. Однако, лекторы, в интересах самих же учащихся, пытаются за это время возможно полнее изложить обычный вузовский курс. Одновременно учащиеся работают в семинарах, выполняют курсовые работы, готовятся к экзаменам и сдают их по возможности тут же на сессии.

В результате во время сессии учащиеся заняты напряженной умственной работой по 8 — 10 часов каждый день в институте и еще 4 — 6 часов в день работают дома. Это показывает, что работа на сессиях требует от учащихся большого физического и умственного напряжения, т. е. доступна только физически крепким людям, не говоря уже о том, что она носит на себе все следы спешной работы. (Изученный материал легко забывается и т. д.)

Между тем настоящее заочное образование предполагает, что основным методом работы заочника является самостоятельное изучение учебной литературы, в то время, как слушание лекций и работа на семинарах являются лишь вспомогательными мероприятиями и, вообще говоря, не должны рассматриваться как обязательная предпосылка для усвоения курса. Описанный же выше характер работы заочников на сессии нельзя считать нормальным. Естественно возникает вопрос, в чем же причина такой ненормальной работы подавляющей массы заочников?

В основном она заключается в том, что не существует учебной литературы, доступной для ее действительно самостоятельного изучения (т. е. без слушания или независимо от слушания лекций).

Заочники, желающие заниматься самостоятельно, вынуждены заниматься по тем же самым учебникам, по которым занимаются учащиеся обычных, вузов, слушающие лекции. Естественно, что это представляет для заочников громадные трудности. Последнее обстоятельство в достаточной мере общеизвестно. Поэтому, чтобы облегчить труд заочников, организации, ведающие заочным образованием, издают различные методические пособия, носящие вспомогательный характер и имеющие целью помочь учащимся изучать самостоятельно основную учебную литературу.

Однако, как показывает опыт, эти методические пособия тоже не достигают цели, т. е. не заменяя лекций они не могут наладить самостоятельной работы заочников. Все это приводит к тому, что учащиеся, которые хотели бы учиться действительно заочно, не будучи в состоянии справиться самостоятельно с существующей учебной литературой, все таки оказываются вынужденными всю свою основную работу переносить на сессии, т. е. работать так, как они работают сейчас.

Естественно возникает вопрос о том, почему же не создано учебной литературы, написанной доступно и специально предназначенной для самостоятельного ее изучения?

Ответом на этот вопрос является та ошибочная точка зрения, которая господствует сейчас среди широких кругов математиков,

но вопросу о том, какова вообще должна быть учебная математическая литература.

Сейчас считается, что всякая учебная книга по высшей математике должна заключать в себе строгое и последовательное изложение материала, составленное сжатым и точным языком. Такое изложение считается достаточным для того, чтобы во всех случаях обеспечить учащимся возможность усвоения материала книги. С этой точки зрения «идеалом» учебника является книга небольшого объема. Наоборот, увеличение объема учебника (при том же объеме материала) считается признаком излишнего многословия, неумелого изложения и т. д.

Такой взгляд на характер учебной литературы и приводит к описанному положению вещей: учащимся-заочникам даются сжато и строго написанные книги, т. е. с указанной точки зрения почти не оставляющие желать ничего лучшего. При этом они снабжаются краткими методическими пособиями. В результате же оказывается, что учащиеся не могут этих книг одолеть. Отсюда делается «вывод», что в этом виноваты сами студенты-заочники и что им в этих условиях нельзя рекомендовать ничего лучшего, чем работать на сессиях, т. е. так, как они работают и сейчас.

Однако, такой взгляд надо признать глубоко ошибочным.

Анализ создавшегося положения (проведенный в диссертации и кратко излагаемый ниже,) приводит к выводу, что процесс самостоятельного изучения высшей математики гораздо более сложен, чем это может показаться с первого взгляда и что сами учащиеся менее всего повинны в тех трудностях, которые им приходится преодолевать при изучении математической литературы.

Наблюдение, опыт и изучение этого вопроса показывают, что точность и сжатость речи и логическая безупречность изложения материала в учебнике еще далеко не достаточны для его усвоения, т. е. не гарантируют ясности представлений у учащихся. Это объясняется тем, что логическая простота материала (т. е. простота логических умозаключений, необходимых для получения конечных выводов) и простота его с точки зрения успешности усвоения — далеко не одно и тоже.

Наблюдение показывает, что простым для учащихся (с точки зрения возможностей усвоения материала) является то, что близко связано с привычными для них представлениями или непосредственно их развивает, обычно независимо от того, какие цепи умозаключений приводят к окончательным выводам.

Что же касается привычных представлений, то они создаются жизненным опытом и предшествующим обучением.

Наоборот, сложным или трудным для усвоения оказывается то, что требует разрушения этих привычных представлений или замены их новыми представлениями, которые в какой-то мере противоречат старым, опять-таки обычно независимо от того, какие формальные умозаключения приходится при этом выполнять.

Это показывает, что проблема обучения далеко не сводится к одному только логическому изложению материала. Последнее для

учебника — обязательно, но оно еще далеко не гарантирует успешности изучения материала даже взрослыми учащимися.

Поэтому утверждение, что чем строже и сжатее изложение материала в учебнике, тем таковое будто бы легче усваивается — представляется поверхностным и наивным, игнорирующим весь сложный процесс умственной деятельности человека.

Это показывает, что при изложении курса математики (для самостоятельного изучения) необходимо учитывать отмеченные трудности усвоения материала учащимися и что учебник для самостоятельного изучения должен строиться с учетом целого ряда определенных педагогических требований, выполнение которых никак не смогут обеспечить краткие методические пособия.

В диссертации делается попытка сформулировать эти требования.

Предварительно следует отметить, что разработка таких требований чрезвычайно важна с различных точек зрения. Прежде всего она позволит создать учебную литературу, действительно доступную для самостоятельного изучения. А это в свою очередь позволит действительно самостоятельно изучать высшую математику уже учащимся заочникам, и тем облегчить их занятия на сессиях.

Далее, наличие такой литературы вообще расширит круг лиц, могущих учиться заочно, за счет тех, у кого существующая сейчас организация заочного обучения отнимала эту возможность. (Невозможность длительного пребывания на сессиях, состояние здоровья и т. д.)

Наличие литературы, доступной для самостоятельного изучения, даст возможность изучать высшую математику и повышать свою математическую квалификацию «неорганизованным» лицам. С одной стороны тем, кто не учась в заочном ВУЗе, стремится изучить высшую математику, например, для нужд своей специальности (химики, естественники и т. д.), с другой стороны тем, кто хочет изучить высшую математику с целью переквалификации.

Далее, разработка приемов доступного изложения материала облегчит лицам, уже имеющим математическое образование (учителям математики и физики, инженерам и т. д.) возможность дальнейшего повышения их математической квалификации.

Дело в том, что до сих пор для этого могла служить лишь научная монографическая литература, почти недоступная для них благодаря характеру своего изложения. После разработки приемов доступного изложения учебной литературы, создастся возможность для доступного изложения и научной литературы (предназначенной для повышения квалификации лицами, уже имеющими математическое образование). Это изложение будет строиться на основе тех же общих педагогических приемов (с соответствующими видоизменениями), на которых будет основываться и учебная литература.

Наконец, разработка приемов рационального и доступного изложения материала в учебнике окажет решительное влияние и на устное преподавание, содействуя усовершенствованию его методики.

Изложенное показывает, что создание литературы, доступной для самостоятельного изучения есть, вообще говоря, задача далеко выходящая и по своему объему и по своему значению за рамки создания учебника для студента-заочника.

К этому надо добавить, что по мере введения всеобщего среднего образования как роль высшего заочного образования так и самообразования будет неуклонно возрастать, что и находит свое отражение в том все возрастающем внимании, которое ему уделяют руководящие органы Партии и Правительства.

В этих условиях создание литературы для самостоятельного изучения высшей математики будет содействовать решительному продвижению математических знаний в самые широкие круги нашего народа.

Целью третьей главы диссертации и является разработка вопроса о создании учебника для самостоятельного изучения высшей математики по программе пединститута. (Независимо от того, будет ли ее изучать студент заочного вуза или вообще лицо, учащееся самостоятельно. В дальнейшем, ради краткости речи, и тех и других я буду называть заочниками.).

Переходя к конкретной формулировке ряда положений, которыми должен характеризоваться учебник для самостоятельного изучения, надо заметить, что последний должен отличаться от обычного учебника, в первую очередь, тем, что он будет предназначаться для учащихся не слушающих лекций.

Поэтому, если обычный учебник, имея целью закрепить в сознании учащегося то, что лектор разъяснил и сделал доступным уже на лекции, занимается лишь последовательным изложением материала курса, то учебник для самостоятельного изучения должен сразу решать две задачи: изложения (и закрепления в сознании учащихся) материала курса вместе с попыткой, в какой-то мере заменить учащимся заочникам живое слово лектора.

Уже отсюда вытекает, что изложение материала в учебнике для самостоятельного изучения должно быть построено совсем иначе, чем в обычном сейчас учебнике, так как примитивная попытка замены живого слова лектора «стенографическим» воспроизведением его лекции не приведет к цели, поскольку личное общение не может быть заменено никакой стенограммой.

Изложение материала в таком учебнике должно быть обучающим изложением. Это значит, что автор такого учебника должен позаботиться не только о том, чтобы изложить материал, но и о том, чтобы учащийся понял и усвоил его. Но для этого, строя свое изложение, автор должен будет учесть характерные черты личности и психологии (образа мышления) учащегося-заочника.

Наиболее характерной чертой, отличающей учащегося-заочника от учащегося, пришедшего в вуз со школьной скамьи, является то, что учащийся-заочник одновременно и учится и работает. А это значит, что учащийся-заочник обладает уже известным жизненным опытом, приобретенным в процессе его профессиональной деятельности. Он больше ценит возможность приобретения знаний, серьезнее

и ответственнее относится к своей учебной работе, чем студент стационарного вуза. Он обладает большей сознательностью и критичностью мышления, чем последний.

Поэтому, в случае необходимости, он изучит и усвоит значительно более трудный материал, чем это сможет сделать студент обычного вуза.

Однако, именно в силу своей большей сознательности заочник требовательнее относится к своему обучению. Он захочет отдать себе ясный отчет в том, что и с какой целью он изучает. Его не удовлетворит ответ, что он изучает данный курс только потому, что последний «стоит в учебном плане». Он захочет узнать обстоятельства возникновения изучаемой им дисциплины, ее проблемы, в чем состоит ее связь с практикой и с другими научными дисциплинами, ее отношение к его профессиональной деятельности и т. д.

Все это показывает, что учащийся-заочник не сможет мириться с формально-догматическим построением курса, состоящим только в последовательном изложении теорем курса с их доказательствами.

Противореча самому складу ума сознательного человека формально-догматическое изложение будет, как это видно из предыдущего, возбуждать у учащегося множество вопросов, остающихся без ответа и поэтому будет только тормозить изучение предмета. Это объясняет нам почему наши формально построенные учебники вместе с методическими пособиями к ним не имеют и не могут иметь успеха у лиц, самостоятельно изучающих высшую математику.

Отсюда, в первую очередь, следует, что учебник для самостоятельного изучения должен быть построен на основе положений, высказанных в I и II главах диссертации.

Переходя к характеристике конкретных особенностей, которыми должен отличаться учебник для самостоятельного изучения, надо в первую очередь, отметить ряд общепедагогических соображений, которые должны быть учтены при его составлении.

Здесь прежде всего надо указать, что этот учебник должен быть доступно написан, т. е. он должен обстоятельно и до конца разъяснять все идейные и трудные места курса (автор должен уметь обнаружить таковые!), не стесняясь возможным увеличением размеров книги.

Выполнение этого условия абсолютно необходимо, хотя оно и идет вразрез с установившейся практикой и с традиционными требованиями, которые ставятся перед обычными учебниками и которые сводятся к их ограничению заранее заданными небольшими размерами. Дело в том, что против книг большего размера выдвигаются различные возражения, которые в рассматриваемом случае нельзя признать основательными. Так, утверждают, что такие книги требуют большего времени для своего изучения. Однако, ясно, что математические книги меньшего размера (при том же объеме материала), но зато более сжато, а следовательно, менее доступно написанные, требуют для своего усвоения еще большего времени.

Утверждают, что изучение математики может быть только тогда успешным, когда оно сопряжено с серьезными размышлениями над изучаемым материалом, т. е. с преодолением известных трудностей. Несомненно, что такие размышления необходимы, но это должны быть размышления над решением четко и определенно сформулированных задач, а не размышления над трудными и непонятно изложенными вопросами теоретического курса.

Действительно, в том случае когда учащийся не разрешит той или иной задачи, — это не помешает ему двигаться вперед. Между тем, как наличие непреодолимых мест в изложении теоретической части курса приостанавливает работу учащегося.

С другой стороны размышления над непонятными местами теоретического курса далеко не так полезны, как это обычно кажется.

Во-первых, пытаясь самостоятельно выяснить возникающие трудности учащийся часто не в состоянии проконтролировать правильность своих соображений.

Во-вторых, встречаясь с непонятным изложением мысль учащегося часто направлена не в сторону -решения математического вопроса, а в направлении догадок: «Нет ли опечатки в непонятной формуле?», «Так ли надо понимать данный текст?». «Не забыл ли я чего-нибудь из предыдущею? А если забыл — то, что именно?».

Но такие размышления, отнимая массу времени, мало развивают ум учащегося. Поэтому, излагая материал, не надо бояться того, что он будет «слишком ясен» учащемуся, энергию которого целесообразнее направить на преодоление действительно математических трудностей (возникающих при решении задач), чем на разгадывание математических «ребусов».

Наконец, надо отметить, что в условиях действительно самостоятельного обучения, когда учащиеся могут жить далеко от своего вуза и когда переписка с вузом, отнимающая мною времени, не может обеспечить постоянной консультации учащемуся, наличие даже нескольких непонятных мест в курсе может привести к приостановке его изучения. В том же случае, когда подобное положение вещей создается часто или в ряде курсов, это может поставить учащихся перед невозможностью продолжать свое образование.

Далее, автор учебника должен использовать все возможности для создания наиболее благоприятных условий для изучения предмета. С этой целью автор должен позаботиться о том, чтобы его учебник был интересно написан.

Хорошо известно, что интересное изложение скорее и лучше усваивается. В настоящее время, при составлении обычных учебников, об этом не принято специально заботиться, но при составлении учебника для самостоятельного изучения эта сторона дела играет чрезвычайно важную роль.

Для того, чтобы сделать изложение интересным можно воспользоваться различными приемами: показать общественно-историческое значение изучаемого вопроса, выпукло охарактеризовать идейную линию изучаемого раздела, создать у учащегося ясность пер-

спектив, построить изложение как совместное с учащимся решение определенной задачи, за которым учащийся будет следить с живейшим интересом и т. д. Наконец, искусно построенное изложение самого материала тоже должно сыграть положительную роль,

Естественным требованием к изложению будет требование о мотивировке автором всех его действий: учащийся никогда не должен изучать ничего вслепую и всегда должен знать, что и зачем он делает. В обычных учебниках это требование далеко не всегда соблюдается.

Изложение не должно быть монотонным. Автор должен уметь выделить основное и. важнейшее и сосредоточить на нем все внимание учащегося. В существующей литературе это' делается очень редко.

В учебнике для самостоятельного изучения, чрезвычайно важную роль будут играть своевременные ссылки на пройденный материал: сплошь и рядом учащийся может и не подозревать, что трудности в изучении новою материала коренятся в том, что он не знает, на чем из предыдущего основано трудное для нею предложение. Иногда могут быть необходимы известные повторения: к ним никогда не прибегают в обычных учебниках. Более тою, всякие повторения считаются в них недопустимыми. Но здесь это может оказаться необходимым. Ссылки на номера предыдущих страниц не всегда бывают эффективными. Кроме того, могут подлежать повторению и вопросы, изучавшиеся заочником задолго до этого, в другом курсе.

Важным приемом должно служить правило подведения итога:

закончив изложение вопроса, главы или раздела надо не сразу переходить к изложению новою материала, но предварительно, в виде резюме, кратко подвести итог полученным результатам. Учащийся не всегда сам может выделить основную идею раздела курса. В обычных учебниках это делается крайне редко.

В обычных учебниках часто принято менее существенные вопросы рассматривать «мимоходом», посвятив им две-три кратких и малопонятных фразы. В учебнике для самостоятельною изучения это недопустимо. Либо вопрос должен быть изложен доступно, либо не излагаться совсем.

Далее, в тексте учебника для самостоятельною изучения нежелательно наличие вопросов, выходящих за пределы программы, так как выбрасывать лишний материал (при его самостоятельном изучении) — вообще говоря, — трудно. Такие вопросы целесообразно поместить в дополнении.

Наконец, чрезвычайно существенно наличие в учебнике большого числа примеров и чертежей, поясняющих изучаемые вопросы и дающих приложение изучаемых формул. (Вопрос о создании задачника для заочников есть особый вопрос и в диссертации не рассматривается.).

Большое значение имеет наличие прикладных задач, однако надо помнить, что идейная ценность курса определяется не большим числом отдельных разрозненных задач практического содер-

жания (тем более, что излишне большое число таких задач лишь рассеивает внимание учащихся), но ясной демонстрацией учащимся того, что сама наука, как целое, возникла в результате потребностей практики с целью решения определенных ее проблем.

Многие из изложенных выше соображений, как и многие из тех, которые последуют дальше — могут показаться тривиальными и поэтому не заслуживающими упоминания. Однако, такая точка зрения была бы ошибочной. О том, что эти соображения далеко не так тривиальны, как это может показаться с первого взгляда, свидетельствует уже тот факт, что даже те авторы, которые в принципе и соглашаются с ними, тем не менее не проводят их в своей практике, а книг, написанных с учетом этих требований — повидимому нет.

Между тем цель данной диссертации состоит именно в том, чтобы обратить внимание на необходимость практического осуществления этих соображений, а Приложение к диссертации имеет целью представить одну из попыток такого осуществления.

Помимо отмеченных общепедагогических соображений приходится учитывать и специфические соображения, связанные с особенностями усвоения учащимися именно математического материала и соответственно этому строить изложение в учебнике.

При изучении математического материала у учащихся могут возникнуть трудности двух родов. Прежде всего, могут возникнуть трудности, связанные с пониманием формальной стороны всевозможных выводов и выкладок. Эти трудности связаны по существу с излишне краткими пояснениями к выкладкам и вообще с излишним лаконизмом речи учебника.

С этими трудностями автору учебника бороться легко: достаточно только провести более обстоятельные разъяснения во всех случаях, когда это является необходимым по ходу дела.

Однако, гораздо больше осложнений и для учащегося и для автора книги представляют трудности другого рода.

Эти трудности (в диссертации они условно названы «психологическими трудностями») состоят в том, что учащийся, освоившийся с внешней стороной изложения и знающий все выводы, тем не менее, несмотря на многократное перечитывание текста, не может проникнуть во внутренний смысл изучаемого материала. Это прежде всего сказывается в том, что часто не будучи в состоянии отчетливо сформулировать своих сомнений в виде определенных вопросов, учащийся чувствует, что он «не овладел сутью дела», что изложение его «не убеждает», что ему «что-то не ясно».

Несомненно, что наличие этих трудностей непосредственно связано с известным противоречием между логической простотой изложения и трудностями усвоения, о которых говорилось выше. Надо заметить, что эти трудности с особенной силой проявляются при изучении именно высшей математики, поскольку возникновение в ней новых понятий в большинстве случаев не укладывается в рамки формальной логики.

Борьба с такого рода затруднениями учащихся должна привлечь к себе особое внимание автора учебника. Последний должен уметь предвидеть те места курса, где эти трудности возникнут, чтобы своим изложением заранее предупредить их появление. Но это возможно лишь на основе анализа математического мышления учащихся.

В диссертации сделана попытка в известных пределах провести этот анализ и наметить меры борьбы с указанными трудностями (поскольку существующая литература по психологии касается лишь изучения элементарной математики).

Важнейшими мерами борьбы с этими трудностями можно назвать следующие.

Необходима максимальная конкретизация вводимых новых понятий.

Дело в том, что трудности, связанные с конкретизацией общих математических понятий представляются часто наиболее существенными из всех трудностей, которые приходится преодолевать при изучении высшей математики.

Между тем, в ряде случаев, введение новых понятий происходит в курсах по высшей математике столь абстрактно и формально, что учащиеся, осваиваясь с чисто формальной стороной дела, часто не представляют себе за ними тех конкретных фактов, которые они выражают.

В этих случаях иллюстрация всех этих общих идей на конкретных примерах имеет решающее значение, тем более, что умение самостоятельно конкретизировать общие понятия приобретается учащимися с большим трудом и далеко не сразу.

Нельзя допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий. Сплошь и рядом введение новых понятий происходит в математике путем чисто формальных определений, например: «назовем выражение...», «определим...» и т. д. Недостатком этих определений является то, что они никак не раскрывают перед учащимися внутренних причин, обусловливающих их появление. В результате у учащихся невольно создается впечатление^ что введение этих новых понятий вообще ничем не обусловлено, и что оно будто-бы, является актом произвола со стороны математиков — в частности — автора учебника. Такой подход к новым понятиям вызывает у учащихся состояние неудовлетворенности и тем затрудняет им изучение дальнейшего материала.

Со всей решительностью учащимся должно быть выяснено, что произвольность таких определений обычно является здесь только кажущейся. И наоборот, если действительно было несколько путей подхода к данному вопросу, то надо разъяснить, почему именно был избран данный путь.

В качестве отдельных конкретных мероприятий, способствующих наиболее успешному изучению материала, надо отметать, целесообразное в ряде случаев индуктивное изложение наиболее трудных и важных разделов курса. Это значит, что рассмотрение в учебнике наиболее трудных и важных вопросов иногда бывает

целесообразно начинать не сразу в общем виде, а с разбора их отдельных частных случаев. Только разобрав их достаточно обстоятельно можно перейти к рассмотрению общего случая. Благодаря этому не только смысл общего предложения становится более доступным учащимся, но и все его частные случаи будут осмыслены учащимися лучше, так как учащиеся изучат каждый из них и сам по себе, а не только, как частный случай общего предложения.

Далее, надо отметить, что для трудных и важных предложений иногда целесообразно давать параллельно несколько выводов, так как это будет содействовать всестороннему подходу к вопросу, что может только облегчить учащемуся его понимание.

Часто трудной стороной вывода или доказательства бывает его искусственность. Последняя состоит для учащихся в том, что они не видят в выводе «процесса приближения к истине», т. е. не чувствуют в нем пути от известного к неизвестному, иначе говоря, идея, лежащая в основе вывода, остается от них скрытой. Ясно, что такие выводы лишены для учащихся внутренней убедительности.

В качестве примера можно указать на вывод уравнения пучка прямых путем составления линейной комбинации левых частей уравнений данных прямых. В таких случаях важно показать учащимся и в этом кратком выводе самый «процесс вывода», процесс «приближения к истине» или заменить такой вывод другим.

К выводам такого же характера часто относятся выводы, состоящие в рассмотрении некоторого искусственно составленного выражения, происхождение которого не выяснено перед учащимися. Такие выводы обычно начинаются словами: «Рассмотрим выражение...» В дальнейшем из рассмотрения этого выражения выясняется справедливость доказываемого. Трудности таких выводов состоят для учащихся в том, что рассматриваемое в них выражение в их представлении вообще «ни откуда не выведено», т. е. получено не в процессе «приближения к истине», а взято сразу, как готовое. Трудность примириться с таким положением вещей, попытки (обычно безнадежные) сознательно отнестись к изучаемому и добраться до его внутреннего смысла, отвлекает на себя все внимание учащихся и затрудняют им усвоение всех дальнейших рассуждений.

Наконец, можно наметить ряд мер для борьбы с такими трудностями, которые коренятся в противоречивости процесса познания нового.

Дело в том, что новые знания проникают в сознание учащегося, которое уже обработано в определенном направлении предшествующим обучением в средней школе.

Поэтому новые представления учащегося, хотя и развивают непосредственно многие из его старых представлений, однако, со многими другими из них они, временно, входят в видимое противоречие.

Отсюда следует, что одни представления, имеющиеся у учащихся, автор учебника должен развить, с другими из них он должен бороться. Иногда он должен указать корни новых представлений в

старых представлениях, иногда, наоборот, он должен оторвать новые представления от старых и т. д.

Так, например, при изучении аналитической геометрии у учащихся возникает целый ряд трудностей в связи с новым пониманием смысла «уравнений», так как уравнения в элементарной математике и в аналитической геометрии играют далеко не одинаковую роль. Это объясняется тем, что в аналитической геометрии основную роль играют неопределенные уравнения, служащие для определения кривых, в то время как уравнения в алгебре служат в основном для определения неизвестных.

Можно сказать, что понимание смысла уравнений в аналитической геометрии входит в этих случаях в некоторое видимое противоречие с пониманием их смысла в элементарной математике и автор учебника должен суметь временно «оторвать» эти представления одно от другого, чтобы помочь учащимся освоиться с новой для них точкой зрения.

В качестве другого примера можно указать на такие понятия, (как, например, вектор и многие другие), где для преодоления возникающих трудностей необходимо с одной стороны связать эти новые понятия со старыми, знакомыми понятиями, показав, например, что новые понятия являются обобщением старых (так вектор есть обобщение отрезка на оси или числа со знаком). С другой стороны необходимо оторвать новые понятия от старых, указав то специфически новое, что они содержат в себе (например, понятие вектора — содержит в одном объекте понятия о числе и о направлении).

В качестве дальнейшего примера можно указать, что большие трудности возникают у учащихся при изучении даже элементарных понятий аналитической геометрии, где, например, один объект «точка», «плоскость» и т. д. определяется «парой» чисел, «тройкой» отношений коэффициентов или линейной формой и т. д.

Наличие этих трудностей объясняется тем, что в элементарной математике такое определение понятий обычно не встречается.

Далее, при изучении таких понятий, как понятие функции, линии и т. д. у учащихся возникают трудности в связи с тем, что в высшей шкоде в эти понятия вкладывается гораздо более общее и глубокое содержание, чем оно вкладывалось в средней. Между тем мышление учащихся перестраивается не сразу. Поэтому, изучая вопросы, связанные с использованием этих понятий в самом общем виде, учащийся, воспринимающий эти понятия часто еще по старому, не в состоянии сразу овладеть новыми понятиями во всей их общности.

Часто получается так, что учащийся читает одно, а понимает — в силу привычек мышления — совсем другое. (Например, читает при «любую» функцию, а представляет ее себе, по привычке,- в виде «непрерывной» функции и т. д.)

Все это требует известной перестройки мышления при изучении новых понятий. А это в свою очередь показывает, что в учебнике для самостоятельного обучения нельзя ограничиваться только лаконичными формулировками теорем и предельно сжатой речью при

их доказательствах. Излишне краткие формулировки, не снабженные обстоятельными разъяснениями, очень опасны, так как могут дать повод к неправильному их пониманию и ложному истолкованию. Необходимы обстоятельные разъяснения всех трудных мест курса, сопоставления или противопоставления тех или иных понятий, уничтожение мешающих представлений, установление связей со старыми представлениями или разрыв таковых и т. д.

Все отмеченные приемы изложения и имеют целью способствовать этому. В диссертации приведен целый ряд конкретных примеров, иллюстрирующих и развивающих высказанные выше соображения. Учет всех требований, предъявляемых к учебнику для самостоятельного изучения не может не отразиться на его размерах. Однако только практика работы по нему может в каждом отдельном случае сказать, каковы эти размеры должны быть.

В качестве конкретного приложения всего сказанного выше о преподавании высшей математики, в IV главе диссертации рассматривается вопрос о преподавании аналитической геометрии. При этом в IV главе намечается программа курса аналитической геометрии, а в V главе подробно излагается содержание данного в приложении проекта «Учебника по аналитической геометрии на плоскости», составленного по предлагаемой программе и предназначенного для самостоятельного изучения. В IV главе прежде всего отмечаются недостатки в знаниях студентов по аналитической геометрии. В основном они характеризуются тем, что учащиеся знают (на экзамене) всевозможные формулы и выводы, но, вообще говоря, чувствуют себя очень неуверенными подчас в самых элементарных вопросах, где требуются несложные, но самостоятельные рассуждения. (Например, при построении кривых и истолковании геометрического смысла уравнений.)

Перегрузка курса обязательным материалом приводит к крайней непрочности знаний учащихся.

Ввиду этого возникает задача по составлению такой программы по аналитической геометрии, которая удовлетворяла бы следующим требованиям.

1. Курс должен разъяснять учащимся вопросы, связанные с происхождением аналитической геометрии из потребностей практики и самой математики. Он должен обеспечить изучение учащимися аналитического метода в геометрии. Он должен указать связь аналитической геометрии с вопросами практики и с вопросами элементарной математики. Учитывая потребности учителя средней школы аналитический метод должен стать своего рода «орудием производства» учителя, помогая учителю в разрешении ряда вопросов элементарной математики.

2. Программа не должна быть перегружена материалом и должна предоставлять лектору и преподавателю известную «свободу маневрирования» в процессе преподавания.

3. Курс должен давать учащимся твердые и прочные знания по действительно важнейшим вопросам предмета.

Исходя из этих положений, прежде всею определяется предмет курса аналитической геометрии (в педагогическом институте). Он определяется, как изучение простейших геометрических образов (точек, линий, поверхностей) и их конфигураций с помощью координатного метода (без использования дифференциальных и других операций).

Здесь, на первый план, выдвигается метод изучения, а не объем или характер изучаемого геометрического материала. Далее, в диссертации приводятся проекты программы курса аналитической геометрии и объяснительной записки к ней.

Характерными особенностями программы по «аналитической геометрии на плоскости» являются два начальных параграфа, посвященных характеристике состояния геометрических знаний до возникновения аналитической геометрии и задачам (математическим и прикладным), приведшим к возникновению аналитической геометрии. Предполагается, что здесь должны быть обстоятельно и по существу рассмотрены все эти вопросы. В устном изложении они могут занять несколько двухчасовых лекций. (В существующей программе эти параграфы отсутствуют.)

Далее идут обычные вопросы геометрии на прямой и основные задачи геометрии на плоскости. В разделе геометрических мест изучаются простейшее уравнение прямой линии (с угловым коэффициентом), отчасти общее уравнение прямой и кривые 2-го порядка в каноническом виде.

После этого предусмотрен пункт, посвященный вопросам, связанным с использованием аналитической геометрии. Предполагается, что здесь должны быть обстоятельно разобраны различные геометрические задачи и теоремы, легче разрешимые аналитическим путем, чем элементарным и примеры на практические применения понятий аналитической геометрии. (В таком виде этот пункт отсутствует в существующей программе.)

Только убедившись в ценности и значении аналитического метода учащийся с успехом сможет приступить к дальнейшему изучению теоретической части курса.

Далее следуют разделы, посвященные систематическому изучению прямой линии и общей теории кривых 2-го порядка. Последняя, как об этом подробно сказано ниже, дается в сильно сокращенном виде. Наконец, программа завершается двумя разделами (отсутствующими в существующей программе), один из которых посвящен систематическому приложению методов аналитической геометрии к вопросам элементарной математики, а другой—вопросам, возникающим в аналитической геометрии, но требующим для своего разрешения дальнейшего развития геометрических знаний (пространственной аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и проективной геометрии).

Программа по аналитической геометрии в пространстве строится в основном аналогично.

Время, необходимое для изложения вновь вводимых в программу разделов (предполагая, что общее число часов, отводимых на

курс, остается прежним) может быть найдено за счет сокращения, с принципиальной стороны менее существенных разделов курса.

В данном случае необходимое время будет найдено за счет решительного сокращения в обязательном курсе ряда разделов общей теории кривых 2-го порядка и почти полного сокращения раздела общей теории поверхностей 2-го порядка. Хотя это предложение и идет вразрез с существующей программой, однако, оно способно принести только пользу.

Дело в том, что указанные разделы, не обладая особым принципиальным значением и не имея прямого отношения к будущей работе учителя, т. е. не разъясняя непосредственно каких-либо вопросов элементарной математики, являются в то же время наиболее громоздкими по применяемому в них математическому аппарату и наиболее трудными для усвоения среди всех вопросов курса.

При этом время, уделяемое программой этим разделам, все равно не обеспечивает их обстоятельного и сознательного изучения, которое осуществляется лишь за счет памяти. В результате, приковывая к себе все внимание учащихся, эти разделы не только сами не усваиваются учащимися, но, что еще хуже, отнимают у них время, необходимое для усвоения основных и действительно важных вопросов курса. Последнее отражается в худшую сторону на изучении предмета в целом. Нечего и говорить, что чисто формальное изучение указанных разделов не может способствовать развитию математического мышления учащихся. Будучи же усвоены чисто формально (лучше сказать: заучены) эти разделы немедленно забываются учащимися. Поэтому, вопреки распространенному мнению, изучение этих вопросов не демонстрирует учащимся идей и силы аналитического метода, а скорее препятствует изучению его основ.

Считая, что знание основных положений предмета, понимание его роли в науке, умение применять его методы учителем в его работе и т. д. важнее, чем формальное, поверхностное и непрочное знание отдельных вопросов курса, можно признать, что известное сокращение этих разделов в предлагаемой программе вполне целесообразно.

Наконец, надо отметить, что будучи сокращены в обязательном курсе, эти вопросы с успехом могли бы найти себе место в факультативном курсе, для более сильных учащихся, где они могли бы принести известную пользу.

Ввиду этого, раздел общей теории кривых 2-го порядка сводится предлагаемой программой к основной теореме о том, что всякое общее уравнение 2-го порядка определяет одно из конических сечений или пару прямых и к вопросам о числе точек пересечения двух кривых, о числе точек, определяющих кривую, об определении типа кривой по дискриминанту старших членов, о признаках распадения кривой и т. д. Вопросы о центре, диаметрах, асимптотах (для общего уравнения), полюсах, полярах, инвариантах — выпадают.

Таким образом предлагаемый проект программы за счет сокращения наиболее формальных разделов курса уделяет значительное

место (наряду с введением уже отмеченных пунктов) решению задач, развивающих математическое мышление.

Последняя, пятая глава диссертации посвящена методическому обоснованию и подробной характеристике прилагаемого при этой диссертации проекта учебника «Аналитическая геометрия на плоскости (для самостоятельного изучения)». Этот проект учебника составлен по выдвинутому выше проекту программы по аналитической геометрии для педагогических институтов.

В предлагаемом проекте учебника я пытался отразить все те общие соображения, которые были выдвинуты в I, II, III и IV главах диссертации.

С этой целью в учебнике приведено не только множество решенных задач и примеров (это диктуется его назначением), но одновременно с решением важнейших из них проведено (главным образом в предпоследней главе) обсуждение различных возможных способов их решения. Часто указано, что та или иная задача может быть решена и элементарно-геометрическим и аналитическим методами и даны сравнения обоих методов. Указаны преимущества и недостатки каждого метода и т. д. Много примеров взято из школьных задачников, так как это позволяет ярче оттенить особенности аналитического метода на материале, знакомом учащимся.

Учебник открывается Введением, состоящим из двух параграфов. В первом — выясняется, почему учитель математики средней школы должен изучать высшую математику. Во втором параграфе учащимся дается ряд конкретных указаний по поводу того, как надо самостоятельно работать над математической книгой.

Глава I — «Геометрия до возникновения аналитической геометрии» состоит из 2-х разделов: «Геометрические задачи в науке и технике древнего мира» и «Конические сечения». В первом разделе перечислены задачи геометрического содержания, связанные с земледелием, техникой, астрономией и другими науками.

Здесь указано, что возникшие в то время планиметрические задачи приводили, в основном, к изучению плоских фигур, состоящих из прямых линий и дуг окружностей, и реже, из конических сечений (задача о солнечных часах) или других линий. Таким образом все они решались методами элементарной математики. Раздел — «Конических сечений» посвящен определению кривых второго порядка, как сечений прямого, кругового конуса и установлению их простейших свойств. В конце раздела рассматриваются более трудные задачи геометрии, как неразрешимые элементарными средствами построения (трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга), так и вообще представляющие значительные трудности при исследовании элементарными методами (задача Паппа и другие).

В результате формулируется вывод, что уже в древне-греческой геометрии возникали более трудные геометрические проблемы, которые требовали для своего решения создания единого и общего геометрического метода.

Глава II — «В поисках общего метода в геометрии» посвящена анализу ряда важнейших проблем, поставленных естествознанием и техникой перед геометрией в XVII веке. Здесь рассмотрены задачи мореплавания, астрономии, картографии, оптики, механики, часового дела и другие. Из их анализа делается вывод, что в результате их возникновения значительно увеличилось число различных линий и сложных задач, связанных с использованием свойств этих линий, с которыми пришлось иметь дело геометрии. В результате с еще большей настоятельностью перед геометрией возникла задача о создании в ней общего метода исследования геометрических образов. В конце главы указывается, что поиски общего метода в геометрии привели к созданию аналитического метода (аналитической геометрии), который возник в результате своеобразного развития элементарно-алгебраического метода в геометрии, известного как метод «приложения алгебры к геометрии».

Далее следуют главы: глава III «Аналитическая геометрия на прямой» и глава IV, посвященная началам аналитической геометрии на плоскости. Ее содержание: «Декартова система координат. Векторы. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении. Полярная система координат».

В этих двух главах излагается традиционный материал курса, параллельно в координатной и векторной форме.

С целью сделать это изложение возможно более доступным оно построено (в этой главе и в дальнейших) в согласии с положениями, выдвинутыми в третьей главе диссертации. Изложение всюду строится исходя из учета тех трудностей, которые встречают учащиеся, знакомясь с аналитической геометрией. Теоретический материал снабжен большим числом примеров.

Глава V — «Линия и ее уравнение» является важнейшей. Здесь излагаются основы аналитического метода. Сначала, начиная с простейших частных случаев, обстоятельно изучается уравнение прямой с угловым коэффициентом, а также общее уравнение прямой. Далее, рассматриваются канонические уравнения кривых второго порядка, и наконец, составляются, изучаются и строятся уравнения ряда более сложных кривых (конхоиды, строфоиды, циклоиды, спирали Архимеда и других). Глава заканчивается рядом примеров на изучение и построение кривых, заданных готовыми уравнениями. Изложение снабжено большим числом примеров.

Глава VI — «О решении задач на построение с помощью линейки и циркуля» имеет целью возможно ближе к началу курса дать учащемуся приложения изученной им теории к вопросам, связанным с его будущей специальностью.

Здесь, прежде всего, показано, что использованию тех или иных инструментов, необходимых для решения задач на построение, отвечает на языке аналитической геометрии использование уравнений тех линий, которые чертятся этими инструментами. Далее, даны условия разрешимости задач на построение с помощью линейки и циркуля. После этого рассматриваются задачи, о которых шла речь в главе I (задача об удвоении куба, трисекции угла и т. д.)

и устанавливается, что они не разрешимы линейкой и циркулем и указываются инструменты (кривые), с помощью которых они могут быть решены.

В диссертации подробно обосновывается целесообразность включения этой главы в курс аналитической геометрии, несмотря на то, что ее материал отчасти входит в программу специального курса элементарной математики.

Глава VII — «Аналитическая геометрия и математическое естествознание» посвящена вопросу об использовании понятий аналитической геометрии в естествознании и в технике. На многочисленных примерах здесь показано (в подавляющем числе случаев без выводов) как используются уравнения кривых в различных прикладных вопросах строительной механики, военной техники, физики и других наук.

Эта глава построена так, чтобы с одной стороны легко и быстро читаться, а с другой стороны — показать учащемуся, как многообразна та совокупность уравнений, с которой имеет дело человеческая практика.

Во второй половине главы в общей форме рассматриваются вопросы о возникновении математической теории из практики, о математическом методе изучения явлений природы, о практической ценности «абстрактной» математической теории и т. д.

Помещение этой главы именно в этом месте курса обусловлено необходимостью как можно раньше разъяснить учащимся роль аналитического метода в естествознании и технике.

Глава VIII — «Прямая линия» дает систематическое изложение теории прямой линии. Глава содержит большое число подробно разобранных примеров, занимающих, приблизительно, половину главы. Для важнейших положений указываются иногда различные выводы, с различных точек зрения освещающие вопрос.

В главе IX — «Общее уравнение кривой второго порядка» в основном рассматривается лишь вопрос о приведении общего уравнения 2-го порядка к каноническому виду. В качестве дополнения рассматривается вопрос об определении типа кривой второго порядка по дискриминанту старших членов и о признаке распадения кривой 2-го порядка. Далее, рассматриваются примеры на использование общего уравнения в геометрических задачах, в частности, рассматривается задача Паппа, о которой упоминалось в первой главе. Наконец, рассматриваются вопросы о числе точек пересечения двух алгебраических кривых линий, о числе точек, определяющих алгебраическую линию и т. д.

Глава X — Аналитическая геометрия и элементарная математика посвящена подведению итогов. Здесь рассматривается целый ряд элементарно-алгебраических и элементарно-геометрических вопросов с точки зрения аналитической геометрии.

В частности здесь рассмотрены вопросы о решении систем уравнений первой и второй степени, а также решение трансцендентных и иррациональных уравнений с точки зрения отыскания точек пересечения кривых, и в последнем случае — с этой же точки зрения

рассматривается вопрос о возможном появлении лишних корней. Далее, с помощью аналитических методов, рассматриваются примеры на доказательства геометрических теорем, на отыскание геометрических мест и проводится анализ ряда геометрических задач на построение. В последнем случае указывается, что их исследование с помощью аналитической геометрии часто оказывается более полным, чем чисто геометрическое или чем исследование с применением алгебры к геометрии.

Наконец, рассматривается несколько задач на построение, где методы аналитической геометрии помогают отысканию синтетических решений этих задач. Дело в том, что решение геометрических задач на построение алгебраическим методом сводится к составлению уравнений, определяющих неизвестные, с последующим построением их решений. В данном случае рассматривается ряд таких задач, где одной записи уравнений задачи на языке аналитической геометрии (без решения этих уравнений) оказывается достаточным для отыскания построения, решающего задачу.

Многие из рассматриваемых здесь аналитических методов решения задач могут оказать учителю действенную помощь как при подготовке к уроку или к занятию в кружке и т. д., так и на самом уроке (благодаря их геометрической наглядности и общности).

Надо заметить, что рассмотрение различных вопросов элементарной математики в курсах по высшей математике способно облегчить введение элементов высшей математики в среднюю школу. Действительно учитель, применяющий высшую математику в своей работе над элементарной, введет наиболее естественным путем, когда это будет необходимо, и учащихся в эту новую для них область. Примеры же, рассмотренные в этой главе, наглядно показывают, как методы высшей математики возникают в результате естественного развития методов элементарной математики.

Последняя, XI глава — «Итоги и перспективы» имеет целью, с одной стороны, сформулировать некоторые выводы, которые учащийся должен сделать из изучения курса, а с другой стороны, указать, что и в самой аналитической геометрии возникают задачи, решение которых превосходит силы аналитического метода.

Здесь на примерах указывается, что задача о построении кривой по ее уравнению находит свое полное решение лишь в дифференциальной геометрии. Далее указано, что целый ряд проблем, оказывающихся трудно разрешимыми аналитическими методами, находит свое полное и глубокое решение в проективной геометрии. В частности, это относится к ряду вопросов теории кривых второго порядка.

Материал Введения и глав; I — «Геометрия до возникновения аналитической геометрии», II — «В поисках общего метода в геометрии», VI — «О решении задач на построение с помощью линейки и циркуля», VII — «Аналитическая геометрия и математическое естествознание», X — «Аналитическая геометрия и элементарная математика» и XI — «Итоги и перспективы» входят в учебник по аналитической геометрии, повидимому, впервые.

Приведенное здесь краткое изложение основного содержания прилагаемого к диссертации проекта учебника показывает, что при его построении сделана попытка изложить курс аналитической геометрии в тесной связи с вопросами практики и элементарной математики, а также показать развитие, взаимосвязь и преемственность математических идей.

По поводу практической проверки выдвигаемых в этой диссертации предложений надо отметить, что в большинстве случаев, как предлагаемые в ней общие методы изложения курсов, так и отдельные частные методические приемы, использованные в учебнике, неоднократно испытывались мною в устном преподавании как в очном, так и в заочном педагогическом институте, конечно, в той мере, в какой это удавалось выполнить в пределах существующих программ.

Поэтому можно сказать, что самый характер предложений, выдвинутых в этой диссертации, является результатом их испытания в педагогической практике автора.

Л 102 047. Объем 2 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 3402.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР.