ЛЕНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

А. И. ПОСПЕЛОВ

МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ТЕМЫ „МНОГОГРАННИКИ" В 10-м КЛАССЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по специальности методика математики

ЛЕНИНГРАД 1954

Преподавание геометрии в средней школе имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Однако с преподаванием этой дисциплины дело обстоит все еще не вполне благополучно. Прежде всего следует отметить, что по объему и содержанию школьный курс геометрии в общем находится на уровне эпохи Евклида. Так, например, изучение темы «Многогранники» в 10-м классе сводится к рассмотрению ряда частных задач и элементарных сведений, объем которых не превосходит изложенного по этому поводу в «Началах» Евклида, написанных в III веке до н. э. Во второй половине XVIII века, после того как Эйлер доказал свою знаменитую теорему о выпуклых многогранниках, учение о многогранниках из собрания частных задач превратилось в теоретическую науку в собственном смысле этого слова. Великий русский кристаллограф Е. С. Федоров разработал учение о симметрии и в частности учение о симметрии многогранников, явившееся основанием учения о геометрической структуре кристаллов. Однако появившиеся после Евклида сведения о многогранниках, имеющие большое теоретическое и практическое значение, остались в стороне от школьного курса геометрии.

В свете исторических решений XIX съезда КПСС вопросы политехнизации обучения приобретают особую значимость. Политехническое обучение, являясь составной частью коммунистического воспитания, имеет целью развитие всех способностей человека социалистического общества. Большие задачи в связи с этим ложатся на преподавание математики в средней школе. В настоящее время школа еще далека от разрешения этих задач. Решение вычислительных задач еще слабо связывается с сообщением и закреплением сведений по приближенным вычислениям. В подавляющем большинстве школ отсутствует моделирование силами учащихся. Изображение пространственных фигур на проекционном чертеже, пропаган-

дируемое проф. Четверухиным и имеющее большое значение в деле политехнизации школьного курса геометрии, к сожалению, все еще не является достоянием массовой школы. Большую роль в формировании конструктивных способностей учащихся играет решение задач на построение, но в старших классах, особенно в 10-м, такого рода задачи решаются в недостаточном количестве. Плохо обстоит дело с развитием пространственного воображения учащихся. Одной из причин этому являются школьные стабильные задачники, содержащие преимущественно такие задачи, которые имеют в большей мере алгебраический, чем геометрический характер. Так как по окончании школы значительная часть учащихся избирает технические профессии, то слабо развитое пространственное воображение учащихся является серьезным недочетом в работе школы. Ни ныне действующая программа, ни стабильные учебники и задачники по геометрии для 10-го класса не ставят вопросов о необходимых и достаточных условиях существования того или иного факта. Между тем, эти понятия играют важную роль в формировании логического мышления учащихся и к усвоению их учащиеся вполне подготовлены изучением прямых и обратных теорем в течение предыдущих лет обучения в средней школе.

Проанализировав существующее положение изучения геометрии в средней школе, мы пришли к выводу, что учителю-практику недостаточно тех методических руководств, которые дают только общие установки относительно практического решения задач, стоящих перед преподаванием геометрии.

Настоящая работа имеет целью показать, каким образом при изложении темы «Многогранники» в 10-м классе могут быть осуществлены основные цели преподавания геометрии в средней школе.

При написании работы автор использовал свой личный опыт работы в старших классах средней школы в течение десяти лет, опыт работы ряда школ г. Ленинграда и литературный материал, отражающий опыт работы передовых учителей математики.

Первая глава диссертации содержит материал по истории учения о многогранниках и предназначается для ознакомления учителя с этим вопросом. Часть этого материала может быть использована учителем при подготовке к урокам по теме «Многогранники» или для внеклассной работы. В 1-й главе излагаются сведения о многогранниках, известные древним египтянам, вавилонянам, приводится характеристика разви-

тия геометрии в Древней Греции с кратким изложением содержания XI, XII, XIII книг Евклида, посвященных стереометрическим вопросам, включая сведения о работах некоторых других авторов (Никона). Далее приводятся исторические сведения о теореме Эйлера о выпуклых многогранниках. Излагается доказательство обобщенной теоремы Эйлера для многогранников с несвязной границей, со связной границей любого рода и с гранями любой связности. Впервые это доказательство дал Люилье — французский математик, живший в Польше и являвшийся автором первой книги, посвященной учению о многогранниках. В качестве одного из приложений теоремы Эйлера дается вывод всех пятнадцати видов полуправильных многогранников Архимеда. Приводится описание правильных звездчатых многогранников Пуансо. Далее рассматриваются след. теоремы: теорема Штейница о комбинаторной схеме многогранников, теорема Коши о выпуклых многогранниках, теорема А. Д. Александрова об условиях, которым должна удовлетворить система многоугольников для того, чтобы она могла быть разверткой многогранника, теорема о кратчайших на развертке, теорема Минковского о многогранниках с попарно-параллельными и равновеликми гранями, теорема А. Д. Александрова, частным случаем которой является упомянутая теорема Минковского, теорема финского ученого Линделёфа. Приводится характеристика работы Е. С. Федорова «Начала учения о фигурах» и показывается, какое значение имела эта книга для теории многогранников. Федорову принадлежит большая заслуга в изучении симметрии и в изучении параллелоэдров.

В связи с работами Е. С. Федорова отмечается связь учения о многогранниках с кристаллографией. Дается представление о многогранниках n-мерного пространства, упоминаются заслуги в этой области Вороного, Делоне, Венкова, Житомирского, А. Д. Александрова. Приводится определение правильных многогранников n-мерного пространства. В конце рассматриваемой главы излагаются критерии равносоставленности Дэна—Кагана. В связи с этим упоминаются работы проф. Андронова. По каждому из затронутых вопросов указывается литература, использованная автором.

Вторая глава посвящена обзору учебных руководств по геометрии для средней школы. В главе приводится краткая характеристика наиболее популярных в свое время учебников геометрии. Анализ школьных русских руководств показывает, что составители их придавали большое значение прак-

тическим приложениям геометрии. Так «Арифметика» Магницкого содержит ряд задач чисто прикладного характера. Книга Степана Назарова, написанная в 1775 году, содержит задачи на построение многогранников, равновеликих данным, на построение разверток многогранников и т. п. Для той эпохи, к которой относится книга Степана Назарова, Западной Европе было характерно преклонение перед «Началами» Евклида, изложение которых чуждо вопросам прикладной математики. Вопросы практических приложений геометрии находят себе место и в более поздних руководствах. Так, например, в книге «Элементарная геометрия» Давидова, напечатанной впервые в 1863 году, содержится описание пантографа, простейших геодезических приборов, указываются способы съемки планов.

Наряду с этим можно отметить стремление ряда авторов к большой строгости изложения. С. Е. Гурьев, автор «Оснований геометрии», опубликованных в 1811 году, высказывался против утверждения, имевшего место на Западе, что «строгость и совершенная математическая точность затрудняет и ум обременяет». Е. С. Гурьев наметил пути построения русских учебников геометрии. На весьма высоком научном уровне находится «Руководство начальной геометрии», изданное Остроградским в 1860 году. Однако в силу целого ряда педагогических недостатков книга Остроградского не получила широкого распространения. Наиболее устойчивыми учебными руководствами по геометрии за последнее время являются «Элементарная геометрия» Давидова и «Геометрия» Киселева. В настоящее время в качестве учебного руководства по геометрии школа пользуется «Геометрией» Киселева в переработке Н. Глаголева. Н. Глаголеву принадлежит заслуга включения в курс геометрии Киселева материала, приближающего изложение геометрии к современному уровню этой науки. Следует отметить, что так как дополнения, внесенные Глаголевым, органически не вплетаются в изложение материала и общий стиль учебника, составленного Киселевым, не меняют, то большого практического значения не имеют. Изданный же Н. Глаголевым учебник «Элементарная геометрия» при весьма современном изложении материала не получил широкого распространения ввиду несоответствия его программе средней школы. Таким образом, вопрос о создании полноценного школьного руководства по геометрии еще не разрешен.

В III главе излагается методика преподавания темы «Многогранники» в 10-м классе. Вопросы, связанные с теорией из-

мерения площадей, поверхностей и объемов многогранников, в работе не рассматриваются. Автор указывает на необходимость вооружить учащихся простейшими знаниями способов правильного изображения пространственных фигур на чертеже. Уже в 7-м классе учащиеся знакомятся с элементами проекционного черчения и их учат изображать в кабинетной проекции простейшие геометрические тела по заданным размерам. К сожалению, учащиеся 7-го класса не обладают достаточным запасом математических знаний для обоснования тех приемов, которыми они пользуются при изображении пространственных фигур. Связь курса стереометрии с курсом черчения должна быть органической. Все свойства параллельного проектирования могут быть изучены в 9-м классе при прохождении первых тем стереометрии при решении целесообразно подобранных задач. В работе дается описание прибора, предназначенного для создания наглядного представления о параллельном проектировании, и приводится перечень задач на построение, решение которых дает возможность обнаружить свойства параллельного проектирования. В 9-м классе при решении задач по стереометрии учащиеся сталкиваются с необходимостью изображения куба, прямоугольного параллелепипеда, треугольников: равносторонних, прямоугольных, равнобедренных: Наибольшая наглядность при изображении этих фигур достигается применением кабинетной проекции. Поэтому после того, как при изложении первых теорем стереометрии учащимися будут изучены основные свойства параллельного проектирования, рекомендуется в 9-м классе рассмотреть вопрос о кабинетной проекции, тем более, что кабинетной проекцией учащиеся широко пользовались на уроках черчения. В работе излагается методика ознакомления учащихся с кабинетной проекцией. В связи с осложнением чертежей рекомендуется в 10-м классе перейти от кабинетной проекции к произвольной параллельной проекции. При этом предлагается познакомить учащихся с теоремой Польке-Шварца, играющей фундаментальную роль при изображении многогранников. Конечно, речь может итти только о выяснении смысла этой теоремы с помощью наглядных средств. Учащимся следует указать на то, что произвол, допускаемый теоремой Польке-Шварца, не снимает требования наглядности чертежа. Учитель должен постоянно контролировать работу учеников с точки зрения наглядности, демонстрируя классу наиболее удачные и неудачные чертежи, выполненные учащимися.

Доказательство теоремы Польке-Шварца рекомендуется автором для внеклассной работы в школе. Рассмотрение этой темы на занятии математического кружка является вкладом в дело политехнизации школы, так как знакомит учащихся с одной из основных идей начертательной геометрии. Сохраняя общую идею доказательства, приводимого в курсе начертательной геометрии, автор сделал его доступным для учеников 9-го и 10-го классов.

Изучению многогранников должно предшествовать ознакомление учеников 9-го класса с симметрией в пространстве. Дается краткий обзор изложения этой темы ученикам 9-го класса, причем симметрия рассматривается как одно из геометрических преобразований.

Первые уроки стереометрии десятого класса, посвященные теме «Многогранники», должны быть логическим продолжением изученного в 9-м классе. Учащиеся, составляя комбинации 2-х, 3-х, 4-х и т. д. плоскостей, придут к понятию многогранной поверхности. Рассмотрев различные виды многогранных поверхностей, можно ввести понятие о многограннике. При первом ознакомлении с многогранниками для обогащения пространственных представлений учащихся целесообразно показать разнообразные виды многогранников: призмы, пирамиды, обелиски, клины, звездчатые многогранники, многогранники ненулевого рода. Так как не все из перечисленных видов многогранников в условиях школьной практики могут быть моделированы или начерчены учителем, то здесь большую помощь могут оказать диапозитивы. По заказу автора изготовлен набор таких диапозитивов.

Показывая модели кристаллов или диапозитивы с изображением их и обращаясь к примерам из окружающей действительности, учитель должен подчеркнуть мысль о том, что формы многогранников, к изучению которых мы приступаем, заимствованы из природы, из окружающей нас действительности.

Дальнейший порядок изложения темы «Многогранники» в предлагаемой работе отличается от принятого в стабильном учебнике. Так как тетраэдр есть простейший из многогранников и он играет в стереометрии такую же роль, как треугольник в планиметрии, то представляется более естественным начать изучение многогранников с тетраэдра. Предлагается следующий порядок изучения тетраэдра: 1) Изображение тетраэдра. Ознакомление с теоремой Польке-Шварца. 2) Построение развертки тетраэдра. После введения понятия о раз-

вертке, выясняется с учащимися вопрос о том, какому условию должны удовлетворять данные четыре треугольника для того, чтобы они могли быть приняты за грани некоторого тетраэдра. Показывается учащимся, что из одной и той же развертки можно склеить два симметричных тетраэдра. 3) Признаки равенства тетраэдров.

Под руководством учителя, с помощью наглядных пособий учащиеся выясняют, какими условиями определяется тетраэдр. Сформулировав на основании проведенного наблюдения признаки равенства тетраэдров, учащиеся самостоятельно выполнят доказательство этих признаков методом вложения; Знакомство с признаками равенства тетраэдров позволит рассмотреть вопрос о жесткости каркаса треугольной пирамиды.

4) Установление возможности описать шар около тетраэдра и вписать шар в тетраэдр. При рассмотрении этих вопросов проводится аналогия с вопросами о возможности описать окружность около треугольника и вписать окружность в треугольник.

Приводится дополнительный материал, который может быть предложен в качестве задач на доказательство учащимся, проявляющим к математике особый интерес. Сюда входят теоремы о высотах тетраэдра, о центре тяжести тетраэдра, о прямоугольном тетраэдре и об изменении трехгранных углов тетраэдра.

Правильные пирамиды рекомендуется изучать в такой последовательности: 1) Построение правильных пирамид на стереометрическом ящике. 2) Изображение правильных пирамид на чертеже по правилам параллельного проектирования. 3) Симметрия правильных пирамид. 4) Установление основных соотношений между элементами правильных пирамид.

5) Установление границ изменения каждого из элементов правильной пирамиды. Чтобы указать границы изменения какого-либо элемента пирамиды, нужно суметь в воображении представить изменяющуюся «живую» пирамиду и суметь пронаблюдать изменение того или иного элемента ее. Это упражнение является хорошим материалом для развития пространственного воображения и кроме того приводит к установлению функциональной зависимости между некоторыми элементами правильной пирамиды. 6) Построение раверток правильных пирамид и склеивание из них моделей.

Далее излагается методика изучения некоторых частных видов пирамид. Если пирамида правильная, то она имеет равные боковые ребра, равные двугранные углы при основании

и т. д. Рассматривается вопрос, при выполнении каких из этих условий справедливо обратное положение. Для этого предлагается учащимся задача: существует ли такая пирамида, у которой все боковые ребра равны между собой, а основание есть неправильный многоугольник? С помощью построения учащиеся убеждаются в том, что такая пирамида существует, и выясняют ее свойства. Так учащиеся под руководством учителя придут к выводу, что равенство боковых ребер пирамиды является условием необходимым, но недостаточным для того, чтобы пирамида была правильной. Присоединив к равенству боковых ребер равенство плоских углов при вершине или двухгранных углов при основании, учащиеся получат необходимое и достаточное условие для того, чтобы пирамида была правильной. В таком же плане рассматривается пирамида, у которой двугранные углы при основании равны и т. д.

Решая одну из задач на построение разверток, учащиеся устанавливают, что существует неправильная треугольная пирамида с равными трехгранными углами при основании.

Автор показывает, что если в п-угольной пирамиде при п > 3 трехгранные углы при основании равны, то такая пирамида является правильной; доказательство этого положения содержит ряд небольших исследований и может быть темой для занятий математического кружка.

Изучению свойств параллельных сечений пирамид предпосылается изложение элементарных свойств гомотетии в пространстве. Свойства параллельных сечений пирамиды излагаются как следствия свойств гомотетии в пространстве. Дается понятие о подобии многогранников и приводятся теоремы о подобии пирамид.

Следует считать недостатком школьной программы по геометрии, что подобие пространственных фигур в школе не изучается, несмотря на то, что оно имеет не меньшее практическое значение, чем подобие плоских фигур.

Вопрос о прямых и правильных призмах рассматривается в таком же плане, как правильные пирамиды. Отмечается интересный факт, что наклонная призма с равными боковыми гранями может быть только четырехугольной.

При принятой в школьных руководствах классификации параллелепипедов один и тот же параллелепипед может быть назван и прямым и наклонным. Этим нарушается требование логики: при классификации всякий объект, который входит в объем классифицируемого понятия, должен входить только в один из классов. Автором предлагается следующая класси-

фикация параллелепипедов: 1) Параллелепипед называется прямым, если он имеет грань, к которой перпендикулярны ребра, пересекающие ее. 2) Параллелепипед называется прямоугольным, если грань, к которой перпендикулярны пересекающие ее ребра, есть прямоугольник. 3) Параллелепипед называется наклонным, если он не имеет грани, к которой перпендикулярны пересекающие ее ребра.

В связи с изучением свойств диагоналей параллелепипеда рекомендуется рассмотреть теорему: для того, чтобы четырехугольная призма была параллелепипедом, необходимо и достаточно, чтобы диагонали ее пересекались в одной точке.

Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках имеет первостепенное значение в теории многогранников. Поэтому желательно, чтобы учитель сообщил ее учащимся, если не на классных занятиях, то хотя бы на занятиях математического кружка. Приводится доказательство теоремы Эйлера, принадлежащее Лобачевскому. Способ доказательства, предложенный Лобачевским, очень прост, если доказательство будет сопровождаться демонстрацией соответствующего наглядного пособия, и поэтому является весьма приемлемым в условиях средней школы. В качестве одного из приложений теоремы Эйлера рекомендуется доказательство теоремы о том, что существует только пять типов таких многогранников, у каждого из которых все грани есть одноименные многогранники и все многогранные углы имеют одно и то же число граней. В книге Киселева «Геометрия» ч. II приводится след. определение правильного многогранника: «Многогранник называется правильным, если все его грани — равные правильные многогранники и все многогранные углы равны». Это определение обязывает при построении правильных многогранников доказывать равенство многогранных углов. Однако вопросы о равенстве многогранных углов не предусмотрены программой средней школы и не отражены достаточным образом в стабильном учебнике. На вопрос о том, действительно ли существуют такого вида многогранники, учащиеся убедительного ответа не получают и поэтому их знания в этой области являются чисто формальными. Намечаются пути устранения этого недочета. Приводятся методические указания относительно построения учащимися разверток правильных многогранников. В связи с изучением правильных многогранников для занятий математического кружка рекомендуются темы: «Полуправильные тела Архимеда» и «Построение вы-

пуклых многогранников, все грани которых суть правильные треугольники».

Последние параграфы третьей главы посвящены практическим вопросам. Одним из средств для развития пространственного воображения учащихся является решение задач на построение сечений геометрических тел. Строя сечение многогранника, нужно хорошо представлять форму этого многогранника, отчетливо представлять, в каких плоскостях находятся построенные прямые, являются они параллельными, пересекающимися или скрещивающимися. Решение задач на построение сечений следует проводить на протяжении изучения всего курса стереометрии. В работе подобраны задачи на построение сечений многогранников. Задачи расположены в порядке нарастания трудностей, обусловленных формой сечения и процессом построения. Задачи снабжены методическими указаниями. В 9-м классе к окончанию изучения темы «Параллельные плоскости» учащиеся овладевают основными; свойствами параллельного проектирования и поэтому в дальнейшем задачи на построение сечений могут решать на проекционном чертеже. Указывается способ решения некоторых задач на построение сечений многогранников, опирающийся на понятие о скрещивающихся прямых.

Составляя образцы задач с элементами моделирования, автор исходил из того, что построению модели должен предшествовать расчет, анализ свойств фигуры. Моделируемые фигуры должны обладать богатыми геометрическими свойствами, чтобы учащийся, построив модель, мог в значительной мере обогатить свои пространственные представления. Приведем одну из таких задач. Построить развертку призмы, удовлетворяющей след. условиям: 1) Основание призмы — правильный шестиугольник, сторона которого равна 3,5 см. 2) Одна из вершин призмы проектируется в центр основания. 3) Боковое ребро призмы составляет с плоскостью основания угол в 60°.

Автор разделяет мнение учительницы Л. В. Кривлевой (см. книгу «Решение задач в средней школе», издание Академии педагогических наук, 1950 год) о необходимости внесения элементов исследования в решение геометрических задач на вычисление. Предложение Л. В. Кривлевой в преподавание геометрии вносит идею движения, преобразования фигур и направлено на дальнейшее внедрение в преподавание математики идеи функциональной зависимости.

В работе освещается методика организации коллективной работы учащихся по выяснению функциональных зависимостей между элементами геометрических фигур. Такая работа может быть организована следующим образом: каждый учащийся от учителя получает индивидуальное задание, в котором предлагается решить геометрическую задачу на вычисление. Словесный текст задач, помещенных в этих заданиях, одинаков, но числовые данные какого-нибудь элемента фигуры различны. На основании результатов, полученных отдельными учащимися, на классной доске чертится график, выражающий зависимость между элементами геометрической фигуры. Задачи, составленные автором для этой цели, приводятся.

Коллективное решение задач учащимися может быть использовано для обнаружения интересных геометрических фактов, имеющих практическое значение. Приведен пример индивидуальных заданий учащимся класса, в результате выполнения которых может быть получен вывод о том, что из двух правильных призм с равными высотами и равновеликими боковыми поверхностями та имеет больший объем, число боковых граней которой больше. Показано, каким образом на уроке тригонометрии этот вопрос можно рассмотреть в общем виде. Выполнение этого задания позволяет сделать важный практический вывод: при данной высоте сооружения и площади стен большей вместимостью обладает сооружение, которое в основании имеет правильный многоугольник с большим числом сторон. Следовательно, при указанных условиях выгоднее всего форма круглой цилиндрической башни.

Такой вид работы учащихся должен получить широкое распространение в практике школы.

В методической литературе плохо освещена методика решения задач на комбинации шара с многогранниками: рассматриваются только достаточные условия для возможности описать или вписать шар в тот или иной многогранник. Например, утверждается, что можно вписать шар в такую пирамиду, двугранные углы при основании которой равны. Остается невыясненным вопрос о том, является ли это условие необходимым, и у учащихся может возникнуть мысль о том, что вписать шар можно только в пирамиду, удовлетворяющую указанному условию. Поэтому целесообразно при рассмотрении этих вопросов различать необходимые и достаточные условия. Такая постановка вопроса имеет большие достоинства для развития логического мышления учащихся.

На основании этой точки зрения излагается методика решения задач на комбинации шара с многогранниками.

В заключение автор говорит о возможности практического осуществления предложенного им плана изучения темы «Многогранники» в 10-м классе средней школы. В работе показано, что изучение параллельного проектирования и вопросов, связанных с изображением геометрических фигур, не требует специального времени. Время, затраченное на сообщение основных свойств геометрии в пространстве, в значительной мере окупается при рассмотрении свойств параллельных сечений пирамиды. Изучение признаков равенства пирамид и призм, как показывает опыт, требует очень незначительного расхода классного времени. При изменении содержания домашних самостоятельных работ учащихся этот дополнительный материал может быть полностью изучен. Внедрение моделирования вовсе не предполагает расширения программы, а является средством углубления знаний учащихся и привития им трудовых навыков. Конечно, было бы неправильным моделировать весь курс стереометрии. Слишком частое применение наглядных пособий может привести к затормаживанию развития пространственного воображения.

Некоторая экономия учебного времени может быть достигнута целесообразным подбором задач, подводящих учащихся к усвоению теоретического материала. Такие задачи приводятся в работе. Изучение таких вопросов, как симметрия и теорема Эйлера о выпуклых многогранниках, требует расширения, программы и специального времени.

Так как бюджет времени учителя математики 10-го класса ограничен, то выбор задач на построение должен быть тщательно обдуман. Следует рекомендовать задачи на построение сечений многогранников, а также задачи, решение которых вскрывает особые свойства изучаемых фигур, например, задачи на отыскание точки, равноудаленной от вершин или граней тетраэдра, построение наклонной призмы с равными боковыми гранями и т. п.

Применение наглядных пособий, моделирование, решение задач прикладного характера содействуют установлению органической связи теории с практикой и тем самым воспитывают у учащихся диалектико-материалистическое мировоззрение.

Кроме того, средством привития учащимся диалектико-материалистического мировоззрения является внедрение элементов историзма в преподавание математики. Учитель должен стремиться, хотя бы в кратких чертах показать возникновение

и развитие излагаемой им науки, показать связь ее с другими отраслями человеческих знаний. На уроках математики необходимо воспитывать чувство советского патриотизма и чувство национальной гордости. В связи с изучением темы «Многогранники» это осуществляется указанием на роль, которую сыграли в развитии науки петербургский математик Эйлер, великий русский кристаллограф Федоров и Петербургская математическая школа.

М37723 22-V-54 г. Тип. «Сталинец* зак. 2229 т. 100