МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

А. Н. ПОЛЯКОВ

МОДЕЛЬ, РАЗВЕРТКА И ЧЕРТЕЖ В ПРОЦЕССЕ ПРЕПОДАВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Москва — 1954

Директивы XIX съезда Коммунистической партии о переходе к всеобщему среднему образованию и осуществление политехнического обучения ставят перед советской школой первостепенные задачи по подготовке и воспитанию подрастающей молодежи.

Школа, выполняя решения XIX съезда нашей партии, должна вооружить будущих строителей коммунизма прочными знаниями основ наук, дать необходимые навыки и умения по применению на практике полученных теоретических знаний. Поэтому преподавание математики в средней школе должно проводиться так, чтобы каждая из изучаемых дисциплин дала для ученика ряд навыков и умений для практических целей.

На каждом шагу в жизни можно встретить геометрию. Видеть геометрию вокруг нас можно тогда, когда она хорошо усвоена, когда учащийся может обосновать свойства различных геометрических фигур. Сознательное изучение пространственных форм возможно при наличии у учащихся хорошего пространственного воображения. Следовательно, одной из важнейших задач преподавания геометрии, с точки зрения политехнизации, является развитие у учащихся пространственного воображения.

В нашей общеобразовательной школе развитию пространственного воображения уделяется недостаточно внимания. Применяемые в преподавании стереометрии наглядные средства — модель и чертеж — не всегда являются достаточными для достижения сознательного усвоения стереометрии и развития пространственного воображения.

Весьма полезным оказывается применение в преподавании комплеска наглядных средств: модели, развертки и чертежа. Настоящая работа ставит задачу:

1. Исследовать необходимость и возможность комплексного применения модели, развертки и чертежа для улучшения преподавания стереометрии.

2. Установить взаимную связь между моделью, разверткой и чертежом и выяснить роль каждого вида пособия в применении к изучению теоретического материала курса стереометрии, а также к решению задач.

3. Показать роль развертки как промежуточного звена между моделью и чертежом и как самостоятельного вида упражнения, способствующего развитию пространственных представлений и пространственного воображения.

4. Экспериментально подтвердить полезность использования развертки в комплексе наглядных средств, как при изучении теоретического материала, так и в упражнениях по стереометрии.

В методической литературе не разрешался вопрос о развертке и комплексе наглядных средств так, как предлагается в данной диссертации. Тема работы, именно в такой постановке, возникла как результат многолетнего опыта автора, изучавшего вопрос о путях развития пространственного воображения в процессе преподавания стереометрии.

ГЛАВА I

К ИСТОРИИ ПРОНИКНОВЕНИЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ЧЕРЧЕНИЯ В ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ В РУССКОЙ ШКОЛЕ

Изучая литературу, начиная с «Арифметики» Л. Ф. Магницкого и первого печатного руководства по геометрии на русском языке «Приемы циркуля и линейки» и последующие руководства по геометрии Крафта, Курганова, Аничкова и др., приходим к заключению, что авторы первых учебников по геометрии XYIII века видели в чертеже средство, которое способствовало бы усвоению теоретического материала и развитию пространственных представлений. К середине XVIII века авторы учебных руководств по геометрии стремятся дать некоторую теорию построения изображений. Эти объяснения были недостаточно обоснованными, вероятно, по причине отсутствия разработанной теории черчения — начертательной геометрии.

С 1810 г. в высших технических учебных заведениях началось преподавание начертательной геометрии как самостоятельной дисциплины. В 1816 г. инженер-поручик Я. А. Севастьянов переводит курс начертательной геометрии Потье (Potier) на русский язык. В 1821 г. издается курс Я. А. Севастьянова. В первой половине XIX века развивается начертательная геометрия. Издается несколько руководств. Таким образом, к середине XIX века была уже создана теоретическая основа черчения. С 1834 г. вводится в школах преподавание черчения. С 1872 г. в реальных училищах преподаются элементы начертательной геометрии. Несмотря на ряд таких хороших мероприятий, которые служили бы усовершенствованию чертежа, построению изображений уделялось недостаточно внимания. В таких распространенных учебниках, какими являлись курсы А. Ю. Давыдова и А. П. Киселева, встречаются неточные изображения пространственных фигур.

Некоторые достижения в постановке курса черчения в дореволюционной школе целесообразно было бы перенести и в нашу школу:

а) чтобы чертеж занимал большее место в курсе геометрии;

б) чтобы было более обоснованное построение стереометрических фигур;

в) чтобы черчение преподавалось, как самостоятельный предмет, специалистом, имеющим хорошую математическую подготовку, В наше время перенос в советскую школу опыта дореволюционной школы недостаточен.

С 1917 по 1932 гг. в нашей школе недооценивалось преподавание черчения. В настоящее время много сделано в части совершенствования чертежа в преподавании стереометрии (работы М. Л. Франка и Н. Ф. Четверухина). Достигнуты положительные результаты, но их еще недостаточно для удовлетворения школы с политехническим обучением. За последнее время передовые учителя в курсе черчения применяют моделирование, что дает хорошие результаты.

Как же обстояло дело с моделированием в курсе стереометрии? В руководствах по геометрии XYIII века имеются требования изготовить модели многогранников. Методическим недочетом такого хорошего начинания являлось то, что авторы не обучали построению развертки, а предлагалось изготовить модель по готовой развертке таким образом, возможная связь между моделью, разверткой и чертежом выпадала.

В начале XIX века происходит подъем интереса к преподаванию геометрии в школе. Методисты того времени поднимали вопрос о необходимости создания подготовительных курсов геометрии. На различной основе были построены пропедевтические курсы Фандер -Флита, Косинского, Волкова, Малинина, Борышкевича и др. Ставилась задача развития пространственного воображения учащихся и этим хотели разрядить трудности, возникающие при изучении систематического курса геометрии.

В 1872 г. Петербургским педагогическим обществом была организована дискуссия о содержании пропедевтического курса геометрии. Несмотря на положительный ход дискуссии, вопрос о пропедевтическом курсе остался открытым, т. к. МНП не откликнулось и не изменило учебных планов и программ.

В России медленно развивалось моделирование, но его развитие направлялось по правильному пути. Об этом свидетельствуют успехи, которые имели место на международных выставках. Подтверждением также служат доклады преподавателей математики на 1-м и 2-м Всероссийских съездах преподавателей математики. Но успехи были невелики. Причины небольших успехов в следующем:

1. Часть преподавателей не придавали серьезного значения применению наглядных пособий.

2. В объяснительных записках к программам по математике и в соответствующих инструкциях МНП не подчеркивалась значимость наглядных средств в процесе обучения стереометрии.

3. Моделирование требует от преподавателя дополнительного времени и любви к этому виду труда, а большинство рядовых преподавателей математики не имели трудового воспитания.

4. Для успешного развития моделирования нужна была кратковременная подготовка самих учителей, чтобы они смогли создавать

новые конструкции и разрабатывать методику применения моделей и других пособий в преподавании.

В советской школе с 1917 по 1934 г. был курс наглядной геометрии, который изучался до 7 класса. Увлечение наглядностью привело к грубым ошибкам. Геометрия из дедуктивной науки обратилась в опытную дисциплину с упрощенным индуктивным методом ее преподавания. Эти ошибки исправлены постановлениями цк ВКП (б) от 5 сентября 1931 г. и 25 августа 1932 г.

Немало школ, в которых наглядные средства не стали еще составной частью педагогического процесса.

Причины в следующем:

1. Многие молодые учителя сами нуждаются в практической подготовке, почему надо создать семинары при институтах усовершенствования учителей.

2. В методической литературе недостаточно освещается опыт передовых учителей, применяющих в своей практике метод моделирования.

3. Отсутствуют научно-исследовательские работы, обосновывающие и развивающие методику моделирования.

4. Вопрос моделирования не поставлен в порядок дня работы школы в программах по математике. В учебнике и задачнике он отражен недостаточно.

Значительная часть учащихся, окончивших среднюю школу, не имеет отчетливых представлений об изучаемых фигурах, не умеет выполнять изображений, затрудняется применить полученные знания к решению практических задач. Поэтому улучшение методики преподавания стереометрии является неотложной задачей.

ГЛАВА II

ОБЩАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ С ОПОРОЙ НА МОДЕЛЬ, РАЗВЕРТКУ И ЧЕРТЕЖ

Приступая к изучению стереометрии, учащиеся на первых же уроках встречаются с трудностями. Эти трудности возникают потому что ученикам надо видеть на условном изображении пространственной фигуры истиный геометрический образ, о котором идет речь. Наиболее характерными затруднениями являются следующие:

1. Учащиеся, не представляя отчетливо взаимного расположения в пространстве прямых и плоскостей, делают неверные заключения о форме и свойствах фигур.

2. Не представляя отчетливо сечений многогранника плоскостью, учащиеся не могут выявить всех свойств, которыми обладает сечение, и сделать выводы о его форме, расположении и величине.

3. Не усвоив многогранников, учащиеся переносят свойства одних многогранников на другие, не обладающие этими свойствами.

4. Если учащиеся ориентируются в свойствах фигур, изображенных в определенной проекции, то не всегда подмечают эти же свойства на изображении в другой проекции или при другом расположении в пространстве изучаемого тела.

5. Отсутствие отчетливого представления об изучаемой фигуре приводит к выбору нерационального способа решения задачи, а иногда ученик выбирает неправильный путь решения.

Эти примеры не исчерпывают всех тех затруднений, с которыми встречаются учащиеся, но и эти примеры подтверждают необходимость разрешения задачи о развитии пространственного воображения у учащихся.

Вопрос о развитии пространственного воображения являлся и остается педагогической проблемой.

Необходимые условия развития пространственных представлений таковы:

а) наличие восприятия пространственных свойств вещей;

б) наличие упражнений в решении таких задач, которые требуют тренировки определенного вида представлений;

в) одновременное появление представлений в связи с восприятиями.

Перечисленные условия выполнимы, если применять в преподавании модель. Можно идти и по пути схематизации предметов и широко пользоваться чертежом. Надо иметь в виду, что в стереометрии чертеж допускает многозначность чтения, что осложняет правильное его понимание.

Наш глаз чаще воспринимает непрозрачные предметы, поэтому мы вопринимаем не всю объемную форму предмета, а только видимую часть. Для того, чтобы возникали правильные трехмерные представления, необходимо видеть одновременно все части предмета. При восприятии хорошо выполненного чертежа можно иногда видеть объемную форму, но все же чертеж не может заменить модель, т. к. на модели можно видеть и истинную форму фигур, что не всегда можно получить при восприятии чертежа.

Учащиеся весьма часто делают заключения о форме фигуры на основании только зрительного впечатления, почему возможны ошибочные заключения.

Для развития пространственных представлений необходимы мысленные повороты фигур, мысленные дополнительные построения. Такой вид упражнений может быть широко представлен в заданиях на построение разверток.

Упражнения на построение разверток хороши еще тем, что учащийся может контролировать имеющиеся у него представления о форме и размерах изучаемых фигур или их частей. Упражнения с развертками позволят уменьшить применение модели, предупредить возможное увеличение моделью, что уже может оказаться вредным.

Почти каждая теорема в учебнике геометрии сопровождается чертежом, на котором фиксируются рассуждения, связанные с доказательством теорем. Чертеж отражает одно из возможных изображений, иллюстрирующих доказательство. В этом большой недостаток чертежа. Ученик должен в единичном видеть общее, а это удается не всегда и не всем ученикам. Поэтому преобразование фигуры можно показать на модели и этим лучше усвоить то или другое по-

нятие и обогатить запас представлений (пример с теоремой о параллельности прямой и плоскости). При изучении многогранников, прежде чем приступить к изучению свойств многогранников, надо показать ученикам модели этих многогранников, сравнить модели с изображениями, а затем уже перейти к изучению зависимостей между отдельными элементами.

Ученик, читая доказательство теоремы, видит готовый чертеж, истинная форма элементов которого поясняется в доказательстве. При решении задачи возникает необходимость по условию задачи построить чертеж. Учащийся должен:

а) ясно представлять форму геометрического тела по описанию в условии задачи;

б) построить изображение:

в) установить на изображении зависимость между данными и искомыми элементами, истинную величину и форму этих элементов, для чего надо уметь воспользоваться изученными теоремами, видеть возможность их применения.

Если ученик затрудняется по условию задачи создать в воображении геометрический образ, то в таких случаях полезно обратиться к модели. Модель выступает мостиков между условием задачи и чертежом к ней.

Задачи на вычисление по сложности оформления чертежа к ним можно разделить на три типа.

1. В условии задачи положение в пространстве данных элементов не определено. «Два прямых угла в пространстве расположены так, что стороны их соответственно параллельны, одинаково направлены и перпендикулярны к отрезку, соединяющему их вершины. Длина этого отрезка а. На стороне одного угла отложен от его вершины отрезок «в», а по непаралельной ей стороне другого угла отложен отрезок «с». Определить расстояние между концами этих отрезков» (Рыбкин, ч. 2, 1937 г., § 3, № 34). Учеников затрудняет усвоение условия, так как отсутствует исходное начало для построения изображения. К такого типа задачам полезно конструировать модель или часть ее, чтобы облегчить выполнение чертежа и усвоение условия задачи. Готовая модель также полезна.

2. По данным условиям задачи полностью создается изображение. Например, «В правильной четырехугольной усечной пирамиде стороны основания 4 см. и 8 см., а боковое ребро 10 см. Провести сечение через конец диагонали меньшего основания перпендикулярно к этой диагонали и определить его площадь». Для такого типа задач модель не следует применять, т. к. в условии известен многогранник и четко указано расположение искомых элементов, которые можно изобразить по данным условия.

3. Для построения изображения к задаче, кроме данных элементов, необходимы дополнительные построения, сопровождающиеся анализом. Например, «Радиус шара, вписанного в четырехугольную правильную пирамиду, равен R. Двугранный угол, образованный двумя соседними боковыми гранями, равен а. Определить объем

пирамиды, имеющей вершину в центре шара, а вершины основания —в четырех точках касания шара с боковыми гранями данной пирамиды». (Задача предлагалась на приемных испытаниях в МГУ в 1948 г.).

В этой задаче исходным в построении является пирамида. Изображение строится в основном из условия задачи, но затрудняет установление зависимости между элементами данными и искомыми. Необходимо выяснить роль заданного угла а и выяснить формы получаемых фигур. В этом случае полезно на модели выяснить зависимость между элементами, а затем решение продолжить на чертеже.

Задачи на доказательство можно разделить на две группы:

А. К первой группе отнесем такие задачи на доказательство, в условиях которых дается расположение элементов, а требуется установить связь между данными элементами.

Б. Вторую группу составят такие задачи, в условиях которых не указывается расположение элементов, надо сначала их положение определить, а затем установить связь между элементами.

Примеры задач:

1. Показать, что плоскости, проходящие через ребра трехгранного угла, все три пересекаются по одной прямой.

2. Доказать, что правильный октаэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится правильный шестиугольник.

В первой задаче прочесть чертеж помогает известное из условия расположение плоскостей. Модель, вообще говоря, не требуется.

Во второй задаче первый этап решения заключается в том, чтобы выбрать положение секущей плоскости, вот здесь полезной будет модель, а затем второй этап будет заключаться в доказательстве того, что шестиугольник правильный.

Задачи на построение, которые могут быть предложены в курсе стереометрии, можно разделить на три типа:

а) задачи на воображаемые построения (позиционные и метрические) ;

б) позиционные задачи на полном чертеже;

в) метрические задачи на метрически определенном чертеже.

Решение задач на «воображаемые построения» является хорошей тренировкой пространственного воображения. Проф. Н. Ф. Четверухин, признавая задачи на воображаемые построения хорошим средством для развития пространственного воображения, считает, что это трудное средство и противопоставляет эффективные построения (позиционные и метрические задачи).

Если подготовить воображение учащихся или пользоваться на первых порах наглядными средствами, то задачи на воображаемые построения окажутся доступными. С предлагаемыми позиционными задачами на построение сечений учащиеся справляются. Можно и в периодической литературе встретить описание опытов. Но в части метрических — мы не находим статей в методической литературе, вероятно, трудность их решения является причиной проведения и описания опытов. Чтобы решить метрическую задачу, прихо-

дится все время обращаться к воображаемому геометрическому телу (оригиналу). Следовательно и эффективные построения (метрич. задачи) нельзя считать доступными для всего класса, так как успех будет зависеть от контроля представлений. Поэтому для достижения положительных результатов в развитии пространственного воображения необходимо моделирование.

Анализ различных способов решения ряда задач, предложенных учащимся, привел нас к заключению, что наиболее употребительными являются следующие операции:

1. Выбор положения секущей плоскости и проектирование на нее искомых элементов;

2. Отсечение части многогранника;

3. Вырезывание из одного многогранника другого при специальном выборе секущих плоскостей;

4. Вращение изображения (оригинала) многогранника вокруг оси, перпендикулярной к основной плоскости;

5. Вращение изображения вокруг одной из сторон основания;

6. Вращение в пространстве составных частей многогранника;

7. Операция склеивания (отождествления) ;

8. Вписывание одного многогранника в другой.

Следовательно, в упражнения по стереометрии должны входить задачи, требующие варьирования фигур.

Приведу такой пример. Ученикам 9 класса была предложена задача: «На изображении куба ABCDAiBiCiDi точка пересечения диагоналей грани ABBхAi соединена с вершиной D. Определить угол BKD». Когда учащиеся пользовались только чертежом, то из 32 учащихся решили только 17.

После показа модели, расположенной так как изображение, решили еще 11 учащихся, а когда модель была поставлена на стол гранью ABBiAi, задачу решили и остальные 4 ученика. Таким образом, модель и чертеж оказываются недостаточными средствами. Необходимы упражнения, которые требовали бы от учащегося варьирования фигуры. Этот пробел можно частично устранить, если ввести упражнения на построение разверток.

Развертка может быть использована:

а) для изготовления выкройки для картонной или стеклянной модели;

б) для определения истинной формы рассматриваемых фигур;

в) как самостоятельное упражнение, способствующее развитию пространственного воображения;

г) в упражнениях практического содержания.

В начертательной геометрии существуют различные способы построения разверток, но они оказываются недостаточно эффективными для приобретения запаса представлений. Учащийся может по известным правилам показать на эпюре результат проделанного преобразования с многогранником, но не увидеть тех изменений, которые происходят с многогранником в пространстве. Поэтому в рабо-

те показаны способы получения разверток, основанные на решении позиционных задач.

В стереометрии учащемуся часто приходится определять на изображении истинную форму фигуры. Некоторые учащиеся затрудняются это сделать. Рассмотрим пример. Задается изображение правильной треугольной призмы ABC AiBiCi. Определить форму сечения ACBi.

Возможны различные пути.

1. При помощи анализа устанавливаем, что ABi = СВЬ как диагонали равных прямоугольников. Треугольник ACBi — равнобедренный.

2. Можно отчетливо представить треугольную призму и сечение и без чертежа определить форму треугольника.

3. Наконец, определить форму треугольника, построив развертку интересующих нас граней AiABBi и BBiCiC. Очевидным становится равенство отрезков ABi и СВЬ Сравнение искаженной формы с истинной формой возможно и на модели, но умение такое сравнение сделать без модели оказывается более ценным. Таким образом, развертка выступает промежуточным звеном между моделью и чертежом. Выше мы приводим перечень операций над фигурами, применяемыми при решении задач.

Для подготовки учащихся к выполнению таких операций весьма полезны предлагаемые ниже упражнения, например, упражнения с кубом.

1. На развертке куба нанести следы секущей плоскости, которая образует в сечении равнобедренный треугольник, правильный тр-к, квадрат, прямоугольник, ромб, трапецию, пятиугольник, шестиугольник, правильный шестиугольник. Задания предложить в двоякой форме: а) на изображении куба показаны секущие плоскости и б) выбрать положение секущей плоскости, чтобы получить желаемое сечение.

2. По развертке со следами секущей плоскости построить изображение.

3. Определить истинную форму сечения.

4. Построить развертку части куба, отсеченной плоскостью.

5. Построение развертки и следов секущей плоскости, не обозначая на чертеже букв.

6. Построить развертку, если на изображении не показана секущая плоскость, а мысленно воображается.

7. Построение усложненной развертки др.

На каждом шагу в быту мы встречаемся с предметами, которые изготовлялись с применением развертки. Начиная от различного рода упаковок продовольственных товаров до сложного производственного оборудования, мы встречаем применение разверток. От учителя требуется большая творческая работа находить яркие примеры практики, чтобы показать применение геометрии в разнородной деятельности людей.

Политехническое обучение предъявляет большие требования к всесторонней осведомленности учащегося. Развертка и проекционный чертеж приобретает актуальное значение.

Если учащийся будет видеть связь между теоретическим изучением пространственных форм и применением таких форм в практической деятельности человека, он сможет в нужный момент практический вопрос облечь в форму геометрической задачи. Применение развертки приводит к задаче об экономичном использовании материалов при раскрое.

Вот почему задания на построение разверток должны войти в состав упражнений по курсу стереометрии.

На основании анализа рассмотренных теорем и задач мы выяснили, что в зависимости от рассматриваемого вопроса роль модели, развертки и чертежа различна.

1. При доказательстве теорем чертеж — необходимое средство, так как на нем фиксируются этапы доказательства.

2. Чертеж является недостаточной наглядной опорой, так как на изображении дается одно из возможных положений в пространстве изучаемой фигуры, а это затрудняет в единичном видеть всеобщее. Это, особенно в стереометрии, осложняется тем, что на двухмерном чертеже трехмерного образца многое условно. Вот почему надо развивать пространственное воображение и прививать рефлекс на эти условные изображения.

3. Особую роль в формировании пространственного воображения и рефлекса на условный чертеж играет модель, при взаимном применении модели и чертежа производится проверка истинного и условного.

4. Особенно ценна взаимосвязь чертежа и модели при формировании понятий и изучении теорем, связанных с первыми главами стереометрии.

5. Модели играют исключительную роль в контролировании правильности пространственных представлений, связанных с чтением чертежа, так как способствуют исправлению допущенных при чтении ошибок, благодаря чему ученик лучше проникает в сущность стереометрического чертежа.

6. Весьма полезны для развития пространственного воображения, подготовки мышления учащегося и для решения практических задач упражнения на построение разверток, сечений многогранников, определение истинной формы фигур на изображении и вращение фигур в пространстве.

7. Выполнение различных воображаемых операций в пространстве требует от учащегося навыка в преобразовании фигур. Учащиеся могут приобрести такие навыки на упражнениях, требующих использования модели, развертки и чертежа.

ГЛАВА III

ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ КОМПЛЕКСНОГО ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МОДЕЛЕЙ, РАЗВЕРТОК И ЧЕРТЕЖЕЙ

Методика применения модели связана с решением ряда сложных вопросов: с учетом запаса пространственных представлений в связи с возрастом учащихся; конструкции модели; времени и места демонстрации моделей; взаимной связи модели с чертежами и разверткой.

В педагогической литературе мы встречаемся с такими указаниями о применении наглядности, что «в тех случаях, когда у учащихся имеется достаточный запас представлений для образования новых, наглядностью пользоваться не следует»1. Трудно согласиться с такими общими указаниями. Можно ли указать такой момент, когда у ученика запас представлений исчерпывающе достаточен? Конечно, нет.

В. И. Ленин, рассматривая процесс познания, указывал, что «Мысль человека бесконечно углубляется от явления к сущности, от сущности первого, так сказать, порядка, к сущности второго порядка и т. д. без конца»2. Действительно, ученик развивает способности к отвлеченному мышлению, благодаря приобретенному запасу представлений, но это не исключает возможность применения моделей, а переносит потребность в них в более сложные области.

Мы ставим задачу контролировать, по возможности, модель, которая отражала бы преобразование фигуры, способствовала бы ускорению формирования понятий.

Главной задачей учителя является отбор тех вопросов, которые необходимо иллюстрировать. Мало установить тот материал, который следует иллюстрировать моделями, надо установить момент демонстрации модели (до, во время, после рассказа). Роль модели не только в том, чтобы облегчить изучение материала или решение задачи, но и дать возможность ученику приобрести запас правильных представлений, сравнить истинные формы на модели с искаженными формами тех те фигур на изображении, чтобы учащийся в дальнейшем мог освободиться от модели и пользоваться в своей работе только чертежом.

В третьей главе рассмотрено достаточно примеров применения модели. Показана роль модели при доказательстве теорем и при решении задач. Показаны отличительные особенности моделиревания которое проводится в первой части стереометрии (9 класс) и во второй части (10 класс). Приводятся примеры как иногда полезно воспользоваться разверткой, не обращаясь к модели, и определить истинную форму фигуры. Последние примеры весьма полезны для учащихся при выполнении домашних заданий, когда они предостав лены своему еще небогатому воображению.

1 Духовный Н. М. Очерки по педагогике. Учпедгиз, 1951 г. стр. 211.

2 Ленин В. И. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 237.

В этой главе приведен сборник упражнений (70 заданий) по моделированию. Для каждого вида многогранника предусмотрены задания по изготовлению моделей самих многогранников, наиболее характерных сечений их и комбинаций вписанных многогранников.

В сборник включены задания, требующие от ученика знакомства с некоторыми видами производства (достаточно во время экскурсии). В этих заданиях раскрывается роль развертки в практической деятельности людей различных профессий. Профессии разметчика, жестянщика, картонажника, слесаря по вентиляции тесно связаны с применением разверток. Задания распределены на три группы а) для всех учащихся 9 класса, б) для всех учащихся 10 класса и в) для кружковой работы.

ГЛАВА IV

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА КОМПЛЕКСНОГО ПРИМЕНЕНИЯ МОДЕЛЕЙ, РАЗВЕРТОК И ЧЕРТЕЖЕЙ В КУРСЕ СТЕРЕОМЕТРИИ

Не ограничиваясь только личным опытом, автор предпринял проверку основных положений диссертации в школах.

Вся работа по исследованию и экспериментальной проверке состояла из трех этапов.

Первый этап. В марте—апреле 1953 г. мы провели ряд занятий с учащимися 9 класса, имеющими посредственные и неудовлетворительные оценки, чтобы в процессе занятий выяснить причины трудностей, которые учащиеся не могут устранить при изучении стереометрии. Анализ причин ошибок дал нам возможность высказать гипотезу о тех причинах, которые следовало бы учитывать при составлении упражнений по стереометрии. В процессе проведения занятий с выделенными учащимися мы установили:

1. Учащиеся пытаются делать заключение о форме фигуры на основании только зрительного впечатления, полученного от восприятия чертежа.

2. Затрудняются мысленно перемещать в пространстве рассматриваемую фигуру и изображать ее на чертеже в новом положении.

3. Допускают ошибки в применении изученных теорем, не видят на чертеже возможности воспользоваться той или иной теоремой.

Наблюдения и анализ проведенных занятий по выполнению подобранных упражнений показали, что при небольшом числе занятий, но при надлежащем подборе упражнений можно получить положительные результаты как в части развития пространственного воображения, так и в частности правильного усвоения геометрических понятий.

Упражнения должны быть подобраны так, чтобы они способствовали:

1. Необходимому направлению мысли, связанному с развитием пространственного воображения.

2. Должны требовать от учащегося умения мысленно выполнить наиболее употребительные геометрические операции преобразования фигур.

3. Умению передавать простейшие фигуры на проекционное чертеже, а по проекционному чертежу строить развертку и модель.

4. Надо дать навыки и обратного процесса: уметь по развертке восстановить чертеж и тем самым представить модель, которая передается этим чертежом.

Второй этап. В 1953—54 учебном году в 9 «в» классе 72 школы г. Ростова н/Д излагались первые 13 уроков по нашей разработке. Упражнения к ним составлены с учетом проведенного эксперимента в предыдущем учебном году. Кроме того, даны подробные конспекты 4 уроков (из числа 13), при проведении которых был применен комплекс наглядных средств: модель, развертка и чертеж. Раскрыта взаимосвязь между примененными наглядными пособиями.

После изложения темы была проведена контрольная работа одновременно в двух классах. Параллельный класс по успеваемости равноценен экспериментальному. Учащиеся экспериментального класса значительно лучше справились с предложенными задачами.

Можно заключить, что предлагаемая методика изложения теоретического материала, соответствующий подбор упражнений, пра вильное применение наглядных средств положительно сказались на усвоении материала.

Анализируя проведенные уроки и контрольные работы учащихся, можно придти к выводу:

1. Хотя учащиеся 9 классов имеют некоторые навыки в построении умозаключений, они нуждаются еще в наглядных средствах как опоре для мышления.

2. Чертеж и модель часто используются для иллюстрации полученных выводов, но в тех случаях, когда учащиеся затрудняются представить преобразование фигуры, модель и чертеж служат необходимым средством для ускорения образования понятий.

3. Применение наглядных средств дает больший эффект тогда когда они применяются в единстве модели и чертежа, чертежа и развертки, а если возможно, модели, развертки и чертежа, так как позволяют лучше устанавливать связь между чувственным восприятием предмета и соответствующим абстрактным понятием.

Третий этап. В третьей главе описан опыт изучения правильных многогранников и комбинаций вписанных друг в друга правильных многогранников. Изучение их сопровождалось изготовлением моделей, разверток и чертежей изображений многогранников и их комбинаций. Чтобы судить о прочности запаса пространственных представлений, мы предприняли проверку этого на задачах из раздела «Круглые тела». После проверки контрольных работ оказалось, что учащиеся тех классов, в которых изучались многогранники с моделированием лучше справились с задачами: 58% учащихся этих классов выбрали рациональные решения. Среди учащихся, изучаю-

ших многогранники без моделирования, оказалось только 17%, которые предложили рациональные способы решений. Остальные учащиеся или выбирали громоздкие способы решений или неверные.

Анализируя контрольные работы всех учащихся, мы пришли к заключению:

1. Учащиеся экспериментальных классов даже после четырехмесячного промежутка, отделявшего от времени изучения многогранников, обладали прочными навыками при решении соответствующих стереометрических задач.

2. Полученное повышенное развитие мышления учащихся сказалось на быстроте, правильности и даже изящности находимых решений предложенных стереометрических задач.

3. Этот положительный результат явился безусловно следствием методики применения наглядных средств в комплексе модель, развертка и чертеж.

Л 138104. Подп. к печ. 22/Х—54 г. Объем 1 п. л. Тир. 100 Зак. 6102 Типография «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73