МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

А. П. ПОЛОЗКОВ

старший преподаватель кафедры высшей математики ВЗПИ

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ ПОСТРОЕНИЯ КУРСА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА В ЗАОЧНОМ ВТУЗЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва — 1959

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

Кафедра методики преподавания математики

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Доктор физ.-мат. наук, проф. ЛЕВИН В. И.

2. Канд. физ.-мат. наук, доцент ЛАПИН А. И.

Защита диссертации состоится 21 мая в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, Москва, ул. Радио, дом 10а.

Автореферат разослан 22 IV 1959 г.

Ученый секретарь

Партия и правительство уделяют исключительно большое внимание вопросам подготовки кадров без отрыва от производства.

В законе «Об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР» (1958 г.) сказано о необходимости всемерного улучшения и расширения вечернего и заочного образования.

Статья 30 этого закона говорит, что в большинстве втузов наиболее целесообразно сочетание обучения с работой на производстве по системе вечернего или заочного образования на первых двух курсах.

Приказ Министра высшего образования от 24/VII 1958 г. «Об улучшении математической подготовки выпускаемых вузами инженеров» обязывает внести в содержание изучаемого во втузах курса математики значительные изменения, направленные на повышение теоретического уровня, усиление роли приближенных методов и т. д.

В рекомендациях XIX международной конференции по народному просвещению, которая была проведена Организацией Объединенных Наций по просвещению, науке и культуре (ЮНЕСКО) в июле 1956 г., говорится о необходимости! осуществления реформы преподавания математики в соответствии с современным состоянием науки и техники.

Качество подготовки специалистов в большой мере зависит от наличия хороших учебников и учебных пособий. Постановление Совета Министров и ЦК КПСС от 30/VIII 1954 г. обязывает работников высшей технической школы, в том числе и заочных втузов, в кратчайший срок завершить создание недостающих учебников и произвести коренную переработку существующих учебников, учебных пособий, программ и другой учебно-методической документации по всем разделам общенаучных и специальных дисциплин.

Главная цель предлагаемой работы—сформулировать некоторые общие принципы построения курса анализа1 в заочном втузе и, используя их, составить учебник по дифференциальному и интегральному исчислению функции одной переменной, пригодный в основном для самостоятельного изучения курса.

1 Мы говорим «анализ» вместо «математический анализ».

Эта работа состоит из 7 глав, одна из которых включает и упомянутый выше учебник. Дадим их краткую характеристику.

I. К истории развития методики изложения анализа

Анализ, как и всякая другая наука, непрерывно развивается; в ногу с ним идет и развитие методики его научного изложения.

В подтверждение последнего в работе приведены примеры, связанные с понятием строгости изложения анализа, — показано, что это понятие не является абсолютным, меняется по своему содержанию от периода к периоду.

Так, (построение анализа, которое осуществляется на основе теоретико-множественного метода актуальных бесконечностей, является самым строгим в период, следующий за периодом классической теории пределов. Но оно является самым строгим только в относительном смысле слова и не разрешило всех трудностей в этой области; стремление к преодолению последних вызвало появление на свет новых подходов к этому вопросу (математическая логика, теория алгоритмов и т. д.).

В связи с рассмотрением вопроса о строгости изложения мы обратили внимание на следующий факт: та строгость и соответствующая ей систематичность изложения, которые мы привыкли связывать с именами Коши, Дирихле, Вейерштрасса и др., возникли в известной мере из практики чтения лекций перед широкой аудиторией, из массовой практики преподавания; на это указывают даже сами названия соответствующих книг («Лекции» Коши, «Лекции» Вейерштрасса и т. д.).

Все оказанное является некоторым подтверждением того, что при решении принципиальных вопросов изложения тех или иных разделов анализа (структура курса, характер доказательств и т. д.) следует исходить из уровня его развития, точнее — из уровня развития методов исследования, применяемых в анализе.

В развитии анализа можно заметить три основных периода, частично перекрывающихся взаимно, если не считать периода его зарождения:

1-й период — период анализа переменной величины, базирующегося на методе дифференциалов Лейбница и методе «последний отношений» Ньютона (последняя четверть XVII в.— первая четверть XIX в.);

2-й период — период анализа переменной величины, базирующегося на методе пределов (вторая четверть XIX в. — третья четверть XIX в.);

3-й период—период теоретико-множественного анализа, базирующегося на методе актуальных бесконечностей (этот период начался с последней четверти XIX в.)1.

Под непосредственным влиянием различных периодов развития анализа в преподавании анализа возникали различные направления, которые находили отражение в учебной литературе по этой дисциплине.

Для подтверждения высказанного положения мы рассмотрели в этой главе учебную литературу по анализу, принадлежащую главным образом к университетскому преподаванию. В хронологическом порядке мы проанализировали учебники Эйлера, Маклорена, Лакруа, Гурьева, Коши, Остроградского и его учеников, Серре, Гурса, Ковалевского, Валле Пуссена, Смирнова и др.

Разбор этих учебников показывает, что различие направлений в развитии учебной литературы по анализу определяется, в конечном счете, различием методов самого анализа, используемых в изложении.

II. О главных направлениях в развитии втузовской учебной литературы по анализу

Рассмотрение учебников по анализу, предназначенных для высшей технической школы, показывает, что в их построении выявились три главных направления, определяющиеся методами самого анализа.

Первое направление базируется в основном на достижениях 2-го периода развития анализа; в учебниках, принадлежащих к этому направлению, изложение осуществляется главным образом с той строгостью, которая относится к периоду господства в данной науке классического метода пределов. К этому направлению можно отнести известные учебники по анализу Коши, Остроградского и их последователей.

В русских дореволюционных втузах существовала традиция выпуска специальных руководств по анализу — чаще всего литографированных лекций, прочитанных профессорами и опытными преподавателями (Поссе, Граве, Гюнтером и др.). Эти руководства, обычно краткие, принадлежат в основном к первому направлению. Примерно такого же рода руководства, правда в сравнительно небольшом числе втузов, издавались и издаются после 1917 г. (Привалов и Вениаминов, Федоров, Глаголев — ред., Недзельская, Андриевский и др.).

В работе рассмотрен ряд зарубежных учебников, связанных с рассматриваемым направлением (Грэнвиль, Перри, Фи-

1 Более подробную характеристику указанных периодов можно найти в нашем учебнике «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной». Раздел I. Введение в анализ, ВЗПИ, 1956, стр. 6.

липе и др.). Известное руководство А. Ф. Берманта «Курс математического анализа», ч. I—II, можно также отнести к первому направлению, хотя изложение в нем и соприкасается в известной мере с достижениями современного анализа.

Второе направление связано с достижениями 3-го периода развития анализа; учебники, (принадлежащие к этому направлению, строятся при соблюдении в основном той строгости, которая определяется методами современной математики (хотя излагается в них главным образом материал классического анализа); понятие предела функции формулируется в этих учебниках с помощью системы двух неравенств. Изложение при этом включает в себя представление о множествах (счетных и континуумах), дедекиндовскую, а иногда и канторовскую теорию действительного числа (без подробной арифметики), доказательства ряда фундаментальных теорем анализа (о пределе ограниченной монотонно возрастающей последовательности и др.), доказательства основных свойств непрерывных функций, доказательства ряда теорем существования и некоторые другие вопросы.

Такую базу для построения втузовского курса анализа можно назвать элементарной теоретико-множественной.

В работе проведен анализ многих учебников этого направления (Коялович, Ковалевский, Rothe, Бродистилов и др.).

Третье направление в развитии втузовской учебной литературы по анализу в главной своей части связано с достижениями 2-го периода развития анализа; вместе с тем оно исходит в известной мере из определяющих достижений 1-го и 3-го периодов его, развития.

Это направление можно было бы считать смешанным, так как оно включает в себя черты двух предыдущих. Мы, тем не менее, выделяем его в. самостоятельное направление из-за свойственного ему историко-генетического принципа изложения, согласно которому основные понятия и методы анализа должны рассматриваться в свете их возникновения и дальнейшего развития.

Оно может быть охарактеризовано стремлением к синтезу всего лучшего, что имеется в методике изложения, затрагивающей все периоды развития анализа.

В работе рассмотрен ряд учебников, принадлежащих к третьему направлению (Ермаков, Поссе и Привалов, Смирнов, Лузин и др.). Из учебников этого направления наибольшее распространение имеет в настоящее время известный учебник Лузина по дифференциальному и интегральному исчислению; большой популярностью пользуется также учебник Смирнова «Курс высшей математики».

Заметим, однако, что в третьем направлении на практике не существует пока твердо установившейся линии; нет доста-

точно разработанной методики изложения; соответствующие учебники отражают его неполно и непоследовательно и сильно различаются по объему затрагиваемых вопросов, по характеру и глубине изложения.

Нам представляется, что это направление переживает сейчас период становления. Прогресс современной техники, требующий подготовки инженерно-технического персонала с широкой математической культурой, и педагогические преимущества третьего направления (по сравнению с двумя другими), определяемые историко-генетическим принципом изложения, приводят к необходимости дальнейшего развития именно этого направления. Оно особенно важно в условиях заочной системы обучения, когда предмет изучается главным образом без непосредственной помощи преподавателя. В последующих главах нашей работы предпринята попытка обосновать это положение.

Для уточнения характера данного направления нами сформулированы некоторые принципы, реализованные в предлагаемых программе и учебнике.

Мы с удовлетворением обратили внимание на то, что жизненность третьего направления и необходимость его уточнения подтверждается также итогами» XIX Международной конференции по народному просвещению. Так, при определении целей и методов обучения конференций исходила, в частности, из следующего положения, сформулированного в докладе проф. Сервэ (Бельгия)1: «Преподавание, если оно хочет быть эффективным, не может удовлетвориться абстракцией статической как совершенно законченной. Оно должно следовать диалектическим путем абстракции как динамического процесса. Как раз здесь, несомненно, уместны будут генетическая концепция математики и исследование проблемы ее преподавания в связи с историческим развитием математики и, особенно, с психологией математического развития в детском, юношеском и зрелом возрасте».

III. Основная задача втузовского курса математики

В работе рассмотрены причины и характер осуществленных в течение XIX—начала XX в. реформ преподавания анализа во втузах.

В последнее время снова возникла необходимость дальнейших существенных изменений в построении втузовского курса математики. Она обусловливается и определяется, в конечном счете и главным образом, значительными успехами в производстве и науке (в частности, в математике), достигнутыми за последние годы (бурный рост электроники; использование ядерной энергии в производстве; появление но-

1 Математическое просвещение, 1957, № 1, стр. 24.

вых вычислительных машин; значительное усиление дедуктивного метода, особенно математической логики, в приложениях). Особенно важное значение приобретают электронные вычислительные машины, проникающие почти во все основные области науки и техники.

В методах исследования современной прикладной математики стали явно заметны два направления. Первое из них идет по пути исследования различных процессов и доказательства существования решений различных задач, по пути доказательства единственности, сходимости приближенных процессов, устойчивости решений и т. д.; второе—по пути доведения результата до конкретного ответа (числа, графика, номограммы и т. д.).

Математическая подготовка инженера должна в достаточной мере отвечать уровню современной прикладной математики, содержать необходимые навыки математического мышления, соответствовать диалектическому методу познания.

Изменения в построении втузовского курса математики должны, очевидно, осуществляться в соответствии с этими основными требованиями общего характера.

Учитывая их и анализируя особенности условий работы инженеров, занятых непосредственно на производстве (умение читать некоторые учебники, монографии, статьи и т. д., связанные с математикой и техникой, умение претворять в жизнь достижения научно-технического характера и т. п.), мы пришли к следующему заключению.

Основная задача втузовского курса математики состоит в том, чтобы:

а) изложить основное содержание классической математики и осветить достаточно полную совокупность ее специальных вопросов (в частности, из области приближенных вычислений), имеющих первостепенное значение в приложениях;

б) максимально обеспечить при этом возможность активного и сознательного изучения данной науки учащимися.

В заключение отметим, что главы I, II и III нашей работы являются по существу подготовительными и их можно объединить под одним названием — «Объективные предпосылки новых существенных изменений в построении втузовского курса математики». Остальные главы работы посвящены решению чисто методических вопросов, берущих свое начало в области общей дидактики.

IV. Некоторые общие принципы построения курса анализа, предназначенного для заочных втузов

Опираясь на общеизвестные педагогические требования (принципы научности изложения, активности и сознательно-

ста учащихся в учебном процессе, обобщений опыта преподавания, учета объективных задач и условий преподавания и т. д.) и руководствуясь основной задачей втузовского курса математики и особенностями заочной системы обучения, мы затронули в данной работе ряд основных вопросов построения курса анализа в заочном втузе.

При этом, конечно, был использован богатейший опыт построения учебной литературы, принадлежащей к различным направлениям.

Мы использовали также действующие официальные программы по курсу высшей математики и опыт преподавания математики (анализа) в различных заочных втузах, в том числе и свой личный.

В работе обосновываются и формулируются основные принципы построения курса анализа заочного втуза, характеризующие третье направление в развитии втузовской учебной литературы по анализу.

Используя их, мы составили программу по анализу (по всему курсу) и учебник по анализу функции одной переменной1. Указанные принципы являются для ник определяющими и потому могут быть положены в основу характеристики программы и учебника. Каковы же эти принципы?

1. Принцип отбора основного материала. При построении втузовского курса анализа излагается материал, принадлежащий к основным результатам развития данной науки. Это изложение охватывает сравнительно полную совокупность вопросов классического анализа, относящихся к дифференциальному и интегральному исчислению, рядам и дифференциальным уравнениям. Оно включает в себя определенный круг наиболее важных для приложений специальных вопросов анализа, относящихся к функциям комплексно го переменного, векторному исчислению, математической физике и функциональному анализу.

2. И сторико-генетический принцип изложения. При построении втузовского курса анализа основные понятия и методы данной науки излагаются в свете их исторического развития. При этом раскрываются причины их возникновения, причины и характер их качественных изменений в процессе дальнейшего совершенствования, устанавливаются взаимосвязи их развития с прогрессом естествознания.

Этот принцип сравнительно широко распространен в действующих ныне во втузах учебниках по анализу, но он используется в них неполно и непоследовательно, чаще всего выступая в форме метода популяризации. Мы же сознательно кла-

1 А. П. Полозков, Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной. М., ВЗПИ, Раздел I. Введение в анализ, 1956 (стр. 1—160); раздел II. Дифференциальное исчисление, 1957 (стр. 1— 156); раздел III. Интегральное исчисление, 1957 (стр. 1—180).

дем его в основу систематического построения курса как один из основных принципов изложения.

3. Принцип определения логической базы курса. Логическая база втузовского курса анализа определяется методами трех периодов развития данной науки, причем изложение в нем занимает:

а) связанное с инфинитезимальными методами — сравнительно небольшую часть от всего материала (примерно 15%);

б) связанное с методом пределов — основную часть курса (около 60%), причем учитывается необходимость наиболее полного использования возможностей, относящихся к строгости изложения и к приближенным методам;

в) связаннее с некоторыми теоретико-множественными представлениями — с элементами теории! действительного числа и т. д.—около 25% всего курса, причем сюда входят главным образом элементы современного прикладного анализа.

Этот принцип является по существу детализацией историко-генетического принципа изложения. Взятые в совокупности, эти два принципа занимают центральное место в уточнениях характера третьего направления в развитии втузовской учебной литературы по анализу и являются решающими в процессе воспитания математической культуры, в частности, математического мышления учащихся.

4. Принцип интерпретаций и приложений. При построении втузовского курса анализа формулировки основных понятий и методов, исторически возникших из потребностей естествознания и техники, связываются с постановками некоторых задач конкретного характера, вытекающих из этих потребностей; все основные построения абстрактного характера интерпретируются, в конечном счете, в области естествознания и техники и на основе этих интерпретаций строится ряд приложений.

Интерпретации и приложения занимают около !/б часта всего курса.

Этот принцип находится в полном соответствии с одним из основных положений теории познания, сформулированным В. И. Лениным: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности» («Философские тетради», 1947, стр. 146—147).

5. Принцип отбора материала для упражнений. На протяжении всего курса анализа, предназначенного для заочных втузов, дается:

а) достаточно полная совокупность решений различного рода примеров, задач и вопросов (в ряде случаев даются указания к решениям);

б) достаточно полная совокупность примеров, задачи вопросов, систематически подобранных для самостоятельного решения их учащимися;

в) вопросы для самопроверки, охватывающие основное содержание излагаемого материала, в том числе ряд вопросов комбинированного характера.

Весь материал для упражнений занимает примерно 7з часть курса.

6. Принцип определения объема курса. Курс анализа, предназначенный для заочных втузов, строится при соблюдении возможной краткости изложения, которая достигается за счет: освобождения рассуждений от излишней детализации, выделения в них ведущих идей и методов, выбора наиболее кратких путей доказательств (конечно, не в ущерб ясности изложения).

V и VI. Программа и учебник по анализу, предназначенные для заочных втузов

Составленный нами вариант программы втузовского курса анализа состоит из трех разделов:

1. Анализ I. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной.

2. Анализ II. Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных. Ряды. Дифференциальные уравнения.

3. Анализ III. Дополнительные главы (элементы векторного анализа, функций комплексного переменного, математической физику—уравнения с частными производными, вариационное исчисление, интегральные уравнения, операционное исчисление, — функционального анализа).

Написанный нами учебник содержит материал первого раздела этой программы (Анализ I).

Перечислим по главам основные вопросы, рассмотренные в этом учебнике.

Глава I. Число. Развитие понятия о числе. Пропедевтическое изложение теории действительного числа. Дедекиндовское определение иррационального числа; понятие о теории континуума. Приложения к приближенным вычислениям.

Глава II. Функция. Историческое введение. Понятия переменной величины и функции. Способы задания функций. Классификация функций.

Глава III. Предел. Историческое введение; метод «неделимых». Элементы теории пределов (с обращением к интуиции времени). Уточнение понятия предела функции (с помощью системы двух неравенств). Фундаментальные теоремы анализа (с доказательствами): о монотонно возрастающей последовательности, о стягивающейся последовательно-

сти отрезков, о верхней грани числового множества. Приложения к приближенным вычислениям.

Глава IV. Непрерывность функции. Введение. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Свойства непрерывных функций. Непрерывность элементарных функций. Точки разрыва функции; их классификация. Понятие непрерывности функции в точке, формулируемое с помощью е—Ô. Важнейшие свойства функций, непрерывных на отрезке (с доказательствами). Некоторые приложения.

Глава V. Производная. Историческое введение; задача о касательной. Производная; ее интерпретации. Техника дифференцирования. Непрерывность и дифференцируемость. Дальнейшее развитие техники дифференцирования.

Глава VI. Дифференциал. Дифференциал; его интерпретации и приложения к приближенным вычислениям. Инвариантность формы дифференциала функции. Развитие техники вычисления дифференциалов.

Глава VII. Теорема о конечном приращении. Введение. Теоремы Лагранжа и Коши. Раскрытие неопределенностей. Формула Тейлора. Приложения к приближенным вычислениям; оценки погрешностей.

Глава VIII. Максимум и минимум функции. Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции; способы их отыскания; применение формулы Тейлора. Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Задачи конкретного характера.

Глава IX. Приложение дифференциального исчисления к изучению кривых. Историческое введение; приложения метода дифференциалов. Уравнение касательной (нормали) кривой. Направление вогнутости кривой; точки перегиба; применение формулы Тейлора. Асимптоты. Общая схема исследования формы кривой. Дифференциал дуги. Кривизна и радиус кривизны. Центр кривизны.

Глава X. Неопределенный интеграл. Введение. Первообразная. Неопределенный интеграл; его интерпретации и свойства. Основные методы интегрирования. Некоторые приложения первообразной.

Глава XI. Интегрирование некоторых алгебраических и трансцендентных функций. Алгебраическое введение. Неопределенный интеграл от рациональной функции; метод ее интегрирования. Метод рационализации. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических дифференциалов.

Глава XII. Определенный интеграл. Историческое введение; применение метода «недилимых». Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Доказательство теоремы существования определенного интеграла (с помощью верхней грани). Свойства определенного интеграла;

теорема о среднем. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона—Лейбница. Методы вычисления определенных интегралов. Общая идея параболического интерполирования. Оценки погрешностей. Графическое интегрирование. Интеграф.

Глава XIII. Геометрические и механические приложения определенного интеграла. Способ решения различных задач и в области естествознания, связанный с применением интеграла. Площади плоских фигур. Объемы тел. Длина дуги плоской кривой. Статические моменты, центр тяжести и моменты инерции плоской кривой.

Рассматриваемый учебник составлен нами в возможно более полном и точном соответствии с изложенными выше принципами. Поэтому, как уже говорилось, их можно принять в качестве характеристики особенностей данного учебника.

В результате осуществления этих принципов в нем нашли место имеющие исключительно важное значение для дела математической подготовки инженеров вопросы, связанные с развитием основных понятий, с некоторыми воззрениями современной математики, с методами приближенных вычислений.

Все вопросы, рассматриваемые в курсе, представлены в единстве, взаимосвязи и определенной последовательности; переход к более совершенным формулировкам основных понятий, к более современным методам и т. д. по возможности мотивирован. Для подтверждения этого приведем некоторые примеры.

Многие вопросы чисто теоретического характера связываются с вопросами приближенных вычислений. Современное определение иррационального числа, например, связывается с нахождением приближенных значений, вопрос о пределе отношения двух бесконечно малых — с практикой приближенных вычислений, теорема о монотонно возрастающей ограниченной последовательности —с некоторыми вопросами итераций, одно из основных свойств непрерывной функции, говорящее о прохождении ее через нуль, — с приближенным вычислением корней уравнений, теорема о конечном приращении и ее обобщения — с приближенным представлением функций многочленами и с оценками точности приближенных формул интегрирования (рассматриваются некоторые общие вопросы теории интерполирования), т. д.

Доказательства ряда теорем существования сопровождаются рассмотрением «контрпримеров»; перед теоремой су-

ществования интеграла от непрерывной функции, например, рассматривается вопрос об отсутствии интеграла для функции Дирихле.

VII. К вопросу об организации учебного процесса по математике в заочном втузе

В этой главе мы даем некоторые предложения, направленные на улучшение организации учебного процесса по математике в заочном втузе, иллюстрируя их главным образом материалом первого раздела рассмотренной выше программы (Анализ I). Это мы делаем на основе положений, развитых нами выше, руководствуясь своим многолетним опытом преподавания в системе заочных втузов.1 Указанные предложения относятся к самостоятельной работе студентов над книгой, а также к элементам очного обучения в заочном втузе (лекциям, консультациям, экзаменам). Так, например, в заочном втузе нецелесообразно отделять практические занятия от лекций; разбор решений достаточного количества типичных примеров и задач непосредственно в связи с рассматриваемой теорией значительно концентрирует учебное время и дает сравнительно больший эффект. Целесообразно проводить по одной 2-часовой лекции в неделю; студент-заочник будет иметь при этом возможность получить своего рода систематический курс лекций по математике. Целью этих лекций является помощь студенту в его самостоятельной работе, которая остается основной формой изучения материала курса. В нашей работе приведен план таких лекций по разделу «Анализ I».

* * *

Основное содержание диссертации изложено в статьях и отдельных изданиях:

1. «Основные вопросы построения курса математического анализа в заочном втузе» — напечатана в «Сборнике статей Всесоюзного заочного политехнического института», вып. 21, Москва, 1958, стр. 119—124 (вкл.);

2. «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной». Учебное пособие для заочных политехнических вузов, М., ВЗПИ:

Раздел I. Введение в анализ, 1956 (стр. 1—160);

Раздел II. Дифференциальное исчисление, 1957 (стр. 1— 156);

Раздел III. Интегральное исчисление, 1957 (стр. 1—180).

1 Результаты ряда наших экспериментов нашли отражение в «Приложении к диссертации».

Л 43467 Подп. к печ. 6.4.1959 г. Объем 1 печ. л. Тираж 150 экз.

Типо-литография M В-15 Зак. 261