МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Н. Ф. ПОЛИЩУК

ТЕОРИЯ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ КРУГА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (Методика математики)

Тула — 1951

ТЕОРИЯ ДЛИНЫ ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩАДИ КРУГА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Партия и правительство огромное внимание уделяют делу народного просвещения. Целый ряд постановлений ЦК ВКП(б), Совета Министров и Министерства просвещения отмечал недочеты в работе средней школы и указывал пути преодоления их. Постоянное внимание и забота партии и правительства о школе и учителе привели к значительным успехам в постановке обучения и воспитания учащихся средней школы, но грандиозные задачи построения коммунизма в нашей стране требуют дальнейшего развития культуры, науки и техники и предъявляют все более и более высокие требования к качеству подготовки учащихся.

Основной задачей школы в нашей стране—стране победившего социализма—является подготовка всесторонне развитых строителей коммунистического общества, идущих по пути, указанному Лениным и Сталиным. В соответствии с этой основной задачей от средней школы требуется: 1) заложить прочный фундамент для формирования у учащихся марксистско-ленинского мировоззрения и 2) дать учащимся систематические и прочные знания основ наук, умения и навыки, обеспечивающие приложение этих знаний в практической деятельности.

Осуществление задач коммунистического воспитания в процессе обучения требует, в первую очередь, повышения идейного уровня преподавания каждого предмета, в том числе и геометрии, а это может быть достигнуто только тогда, когда содержание учебного материала и методы преподавания его будут соответствовать этим задачам.

Настоящая работа посвящена содержанию и методике преподавания теории длины окружности и площади круга и тех вопросов, которые лежат в основании этой теории в 9 м классе

средней школы. Теория длины окружности и площади круга выбрана для исследования потому, что она является наиболее сложной теорией в курсе школьной математики как для учителя, так и для учащихся. Сложность этой теории заключается в том, что она для своего строгого обоснования требует иного, отличного от предшествующих метода — метода пределов, который, как известно, представляет собой для учащихся 9-го класса большие логические трудности.

Источниками исследования являлись учебники и учебные пособия по геометрии, методике геометрии, журнальные статьи, специальные исследования, относящиеся к отдельным вопросам учения о длине окружности и площади круга, труды Всероссийских съездов преподавателей математики, материалы совещаний преподавателей математики, обмен мнениями с учителями школ, наблюдения за работой учителей и учащихся и мой опыт работы в советской школе.

Задача работы заключается в том, чтобы, зная богатую историю учения о длине окружности и площади круга, изложенную в первой части работы, на основании анализа учебников, учебной литературы, журнальных статей и обобщения опыта работы советской школы дать систему расположения учебного материала и методику его преподавания в 9-м классе школы, отметив по возможности все трудности преподавания этой темы.

Работа состоит из трех частей, делящихся на одиннадцать глав, и трех приложений (всего 275 страниц). Первая часть содержит исторический очерк развития идей измерения длины окружности и площади круга, вторая часть—анализ учебников и учебных пособий и делится на четыре главы, в которых излагается: 1) учение о длине окружности и площади круга в курсах наглядной геометрии; 2) учение о длине окружности и площади круга в курсах геометрии для школ с практическим уклоном; 3) учение о длине окружности и площади круга в систематических курсах без явного развития понятия о пределе и 4) учение о длине окружности и площади круга на основании учения о пределе; третья часть—методику преподавания теории длины окружности и площади круга в 9-м классе средней школы и состоит из 6-ти глав: 1) учение о пределе в школьном курсе математики; 2) учение о длине окружности; 3) вычисление числа т:; 4) учение о площади круга; 5) практические задачи на длину окружности и площадь круга и 6) вопросы по теории пределов, длине окружности и площади круга, предлагаемые учащимся; в приложениях дается

тематика и литература для занятий математического кружка по теории длины окружности и площади круга и распределение соответствующего времени.

Текст работы сопровождается чертежами. В конце работы приводится библиография (117 названий).

Первая часть работы посвящена краткому (57 стр.) историческому очерку развития теории длины окружности и площади круга, начиная с древнейшего времени (египетские папирусы—Московский и Ринда) и до наших дней.

„Молодежь в особенности должна знать историю науки“,— указывает товарищ Сталин1. Поэтому здесь в хронологическом порядке кратко изложены те исторические сведения, которые должны привлекаться каждым учителем математики при изложении учащимися теории длины окружности и площади круга. Общеизвестно, какое значение для усвоения геометрии представляет интерес, который удается возбудить учителю у учащихся. Наиболее действенным средством повышения интереса учащихся к геометрии является привлечение в преподавании сведений из ее истории. История же измерения длины окружности и площади круга (знаменитая задача квадратуры круга) представляет собой богатейший источник средств, которыми можно поддерживать повышенный интерес учащихся к этой теме, что в значительной мере способствует более прочному и сознательному усвоению ее содержания.

Нет, конечно, надобности доказывать, что классики Евклид, Архимед, Виета, Гюйгенс, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Ламберт, Лежандр, Лобачевский, Линдеман, Шатуновский и др. в теории длины окружности и площади круга могут быть использованы в докладах учащихся нашей средней школы в кружковых занятиях.

Вторая часть. В первой главе 2-й части анализируется изложение учения о длине окружности и площади круга в курсах наглядной геометрии. Здесь исследуются шесть наиболее распространенных в первые годы строительства советской школы учебников, а именно: Кулишера, А. Никитина, А. Астряба, И. Попова, И. Берга и др.

Преподавание наглядной геометрии ставит перед собой, как известно, следующие задачи: 1) подготовить учащихся к изучению систематического курса и 2) дать учащимся некоторые знания и навыки, необходимые им для изучения других наук и для практической жизни.

1 Из беседы И. В. Сталина с акад. В. А. Комаровым. „Вестник Академии Наук СССР“, 1945 г., № 1—2, стр. 9.

Для измерения длины окружности учащимся даются различные цилиндрические тела и предлагается обхватить их круговые сечения нитью или полоской бумаги, а затем та часть нити или полоски, которая обхватывает цилиндр, выпрямляется и измеряется; далее находится приближенное отношение длины окружности к длине диаметра, в результате чего получается число приблизительно равное 3,14.

Здесь понятие о длине окружности дается учащимся на основании представлений о том, что полоску кругового сечения можно разрезать и выпрямить в отрезок, длину которого они умеют измерять, и это совершенно правильно, ибо такое изложение материала учитывает возрастные особенности учащихся младших классов.

Для измерения площади круга в наглядных геометриях предлагается два способа: 1) подсчета квадратных единиц и ее частей, содержащихся в круге, начерченном на клетчатой бумаге и 2) преобразования круга, путем разрезывания его на секторы, в фигуру, похожую на параллелограм, площадь которого учащиеся умеют вычислять. Второй способ измерения круга, как показывают опыт и наблюдения, усваивается учащимися значительно сознательнее и прочнее, чем первый способ, ибо площадь параллелограма измеряется легко и просто. Сложность первого способа заключается в том, что части квадратных единиц, пересекаемых окружностью, можно оценить только на глаз. Кроме того, во втором способе вывод формулы также легче, чем в первом. Поэтому правильнее в курсах наглядной геометрии для измерения площади круга пользоваться только вторым способом.

Чтобы курс наглядной геометрии подготавливал учащихся к изучению систематического курса, необходимо, чтобы каждое рассуждение заканчивалось, где только можно, выводом формулы и формулировкой правила.

Рассматриваемые курсы наглядной геометрии во многом устарели и полностью не могут быть рекомендованы в качестве учебников для начальной школы и 5 класса, но в них имеется, однако, много ценных методических указаний, которые с большим успехом могут быть использованы в школе при изложении учения о длине окружности и площади круга.

Вторая глава посвящена исследованию учения о длине окружности и площади круга в руководствах для школ с практическим уклоном. Здесь анализируются три наиболее характерные по содержанию учебного материала и методам его изложения руководства, а именно; „Краткий курс геометрии“

3. Вулиха, „Курс опытной геометрии“ А. Астряба и „Геометрия“ М. Выгодского. Учебники Вулиха и Астряба в свое время имели в наших школах широкое распространение. „Геометрия“ же Выгодского в настоящее время является учебником геометрии в ремесленных училищах.

В основу учения о длине окружности и площади круга авторами положена теория периметров и площадей правильных многоугольников и допущение, что круг есть многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Хотя это допущение дает авторам возможность без дополнительных рассуждений применять учение о периметрах и площадях правильных многоугольников к учению о длине окружности и площади круга, но оно недопустимо в основном курсе полной средней школы, ибо такое изложение неправильно с точки зрения философии диалектического материализма и не подготавливает по-настоящему к высшей школе,

В третьей главе рассматривается учение о длине окружности и площади круга в руководствах, в которых самые определения длины окружности и площади круга или вовсе не даются (В. Захарченко, Борель), или даются в упрощенной форме (Мазинг, Извольский) и в них не доказываются основные теоремы о пределах.

Мазинг и Извольский рассматривают окружность как правильный многоугольник с бесконечно большим числом сторон. Но такое воззрение на окружность не может быть принято в средней школе по следующим мотивам: 1) Остается невыясненным, что значит „бесконечно большое число сторон“. Если это число трансфинитное, то как ознакомить с ним учащихся? 2) Теоремы, доказанные для правильных многоугольников с конечным числом сторон, нельзя распространять на окружность, а попытки обосновать законность такого распространения неминуемо приводят к теории пределов. 3) Такое воззрение на окружность и круг противоречит современным воззрениям математики на них. Итак, мы приходим к выводу, что для создания настоящей теории длины окружности и площади круга необходима теория пределов или аксиома непрерывности.

В рассматриваемых курсах геометрии предполагается, как само собой разумеющееся, что окружность имеет длину, а круг—площадь и что, следовательно, задача состоит в том, чтобы создать способы вычисления их. Но так как такие способы созданы необоснованным перенесением теории правильных многоугольников, то они не удовлетворяют требованиям нашей школы, ибо не способствуют развитию логического мышления

учащихся и не подготавливают их к изучению подлинной математической теории.

Четвертая глава посвящена детальному исследованию изложения этой темы в 12-ти наиболее распространенных у нас учебниках для средней школы, в которых учение о длине окружности и площади круга излагается на основании теории пределов (9 отечественных и 3 переводных): Билибина, Давидова, Ройтмана, Долгушина, А. Глаголева, Киселева, Киселева (в перер. Н. Глаголева), Душина, Н. Глаголева, Лежандра, Филипса и Фишера, Адамара. Здесь анализируются приемы, которыми пользуются авторы при изложении таких основных вопросов, как: 1) понятие о постоянной и переменной величинах; 2) понятие о пределе и теоремы о пределах; 3) определение длины окружности и площади круга; 4) способы вычисления числа и 5) последовательность теорем в теории длины окружности и площади круга. Наиболее удачные приемы изложения того или другого вопроса использованы в третьей основной части работы.

Одни авторы (Лежандр, Филипс и Фишер, Ройтман, Давидов и др.) понятие предела рассматривают только для непрерывной переменной, другие же—только для числовой последовательности (Душин, Киселев и Н. Глаголев). Вторые авторы поступают совершенно правильно потому, что в учении о геометрических величинах имеют место преимущественно пределы числовых последовательностей. Кроме того, теория предела числовой последовательности проще теории предела функции.

Количество и качество примеров, приводимых авторами геометрий, таково, что оно недостаточно для того, чтобы учащиеся получили отчетливое представление о пределе.

Теория пределов у одних авторов содержит только одну теорему (Лежандр), у других —различное число теорем, доходящее до восьми (Душин). Отметим, что авторы при отборе теорем для теории пределов основывались: 1) на учете возрастных особенностей учащихся и 2) на отборе только тех теорем, которые непосредственно необходимы в школьном курсе математики для обоснования соответствующих вопросов.

Основным различием в построении теории длины окружности и площади круга является то, что одни авторы (Руже и Комберусс, А. Глаголев, Адамар) доказывают теоремы о существовании и единственности пределов, которые соответственно по определению принимаются за длину окружности и площадь круга; другие же авторы (Давидов, Ройтман, Киселев и др.) не доказывают их и без всякого основания допускают существо-

вание таких пределов и дают определения длины окружности и площади круга. Таким допущением снижается значение и строгость теории, ибо нельзя давать определения понятиям, существование которых еще не доказано. Кроме того, надо отметить, что одни авторы определяют длину окружности и площадь круга как пределы периметров или площадей только вписанных или только описанных соответствующих правильных многоугольников; другие же—как общий предел периметров или площадей вписанных и описанных правильных многоугольников. Вторые авторы поступают более правильно потому, что их определения больше согласуются с соответствующими теоремами о существовании и единственности пределов, которые принимаются по определению соответственно за длину окружности и площадь круга.

Наиболее распространенными способами вычисления числа - в рассматриваемых учебниках являются архимедовский способ вычисления периметров и более поздний способ изопериметров. Другие способы вычисления числа те встречаются в учебниках геометрии весьма редко. Способ периметров получил особенно широкое распространение в нашей школе, и, вероятно, потому, что в его основании лежат достаточно простые формулы удвоения числа сторон многоугольников и что он наиболее естественно связан с определением длины окружности, но этот способ дает медленную сходимость, тогда как способ изопериметров дает более быструю сходимость.

Третья часть—методика преподавания учения о длине окружности и площади круга—является центральной частью работы. Она составляет более 50 проц. всей работы и содержит 6 глав и три приложения.

В первой главе этой части исследуется вопрос о том, как лучше всего познакомить учащихся 9-го класса с понятием предела, лежащего в основании учения о длине окружности и площади круга и многих других вопросов школьной математики. Так как для школьной математики существенно понятие предела числовой последовательности, то здесь излагается, как этого требует современная программа, предел только числовой последовательности.

Так как теория пределов числовой последовательности в полном и строгом современном изложении далеко неэлементарна, то не может быть и речи об изложении ее в средней школе со всеми ее логическими тонкостями.

Изучение теории пределов в средней школе не является самоцелью, а лишь средством для обоснования соответствующих

разделов школьной математики, в том числе и теории длины окружности и площади круга. В основу изучения понятия предела в средней школе нами положены следующие принципы: 1) изучение только тех понятий, которые необходимы для школьной математики; 2) точный смысл этих необходимых понятий должен быть учащимися вполне осознан и 3) сведение к минимуму числа теорем, подлежащих усвоению.

Исходя из этих принципов, мы излагаем пять предложений общей теории пределов: предложение о существовании предела ограниченной бесконечной монотонной числовой последовательности, предложение о единственности предела ограниченной бесконечной числовой последовательности и три предложения о действиях над пределами числовых последовательностей, сопровождая их методически подобранными частными примерами. Этот минимум необходимых предложений, рассматриваемых без доказательства, был принят секцией преподавателей математики школ г. Тулы. На секции же была также установлена и методика дальнейшего изучения теории пределов в 9-м классе.

Понятие о числовой последовательности, виды последовательности, понятие о пределе числовой последовательности и теоремы о пределах числовых последовательностей выяснились на разнообразных примерах и различных геометрических образах с той целью, чтобы как можно больше выявить их сущность, ибо известно, что ошибка многих преподавателей, создающих новые понятия, заключается в том, что формирование понятий часто сводится к простому ознакомлению с ними, в результате чего содержание этих понятий очень быстро забывается.

Во второй главе излагается методика и система изучения теории длины окружности в систематическом курсе геометрии в 9-м классе нашей школы. Здесь, на основании изучения литературы и обобщения опыта работы школ по этой теме, дается подробный анализ определений и теорем, доказательств последних и установление той последовательности, в которой они должны излагаться в систематическом курсе геометрии.

Учение о длине окружности начинается изложением лемм об объемлемых и объемлющих и доказательством теоремы, что апофема вписанного в окружность правильного многоугольника при неограниченном удвоении числа сторон имеет своим пределом радиус окружности. Изложение этих предложений сопровождается указанием о значении их для доказательства основной теоремы теории длины окружности—теоре-

мы о существовании и единственности предела последовательности периметров правильных вписанных в окружность и описанных относительно данной окружности многоугольников, когда число их неограниченно удваивается.

Как следствие из доказательства этой теоремы вытекает существование длины окружности, — когда под длиною окружности разумеют общий предел периметров вписанного в окружность и описанного около нее правильных многоугольников, когда число сторон их неограниченно удваивается.

Теоремы о существовании и единственности предела обязательно должны излагаться в курсе 9-го класса, так как в противном случае теория длины окружности теряет свою строгость и научность, ибо нельзя определять длину окружности как предел, не доказав его существования.

В доказательстве теоремы мы употребляем удвоение, как наиболее простой способ увеличения числа сторон правильного многоугольника потому, что этот способ имеет для учащихся некоторый конкретный смысл, что в некотором отношении облегчает им понимание доказательства теоремы.

После определения длины окружности доказывается теорема о том, что отношение длины любых двух окружностей равно отношению их диаметров или радиусов, и делаются из нее все необходимые выводы.

Эта глава заканчивается изложением учения о длине окружности, основанном на аксиоме о непрерывности. Но, так как это учение является более абстрактным, чем учение о длине окружности, основанное на теории предела, то, учитывая возрастные особенности учащихся, предпочтение отдается учению о длине окружности, основанному на теории пределов, как более конкретному, а это изложение рекомендуется поставить в математическом кружке силами лучших учащихся.

Глава третья посвящена способам вычисления числа тт. Здесь подробно рассматривается способ Архимеда вычисления периметров, которым пользуются преимущественно авторы отечественных учебников, а также способ изопериметров, который мало распространен у нас; отмечено вычисление числа я при помощи рядов, и в конце рассматриваются графические приемы приближенного спрямления окружности или дуги ее, что во многом также можно использовать в кружковых занятиях.

Наиболее удобным способом для вычисления числа ти в классе является способ периметров. Он наиболее естественно вы-

текает из определения длины окружности и основан на несложных формулах удвоения числа сторон правильных вписанных и описанных многоугольников, хотя и приводит к кропотливым и утомительным вычислениям. Изучение способов вычисления тс, как показал опыт, вызвало у учащихся живейший интерес. Графические же способы спрямления окружности и ее дуг имеют такое же большое образовательное значение, как задачи на построение с их приближенным решением. Поэтому они должны найти свое место в школьной математике и притом не только в математическом кружке, но и в классе.

В главе четвертой дается методический анализ тех приемов, при помощи которых наиболее целесообразно знакомить учащихся 9-го класса с теорией площади круга. Учение о площади круга начинается доказательством теоремы о существовании и единственности предела последовательностей площадей вписанных и описанных правильных многоугольников, который по определению принимается за площадь круга. Затем выводится формула площади круга. Все эти теоремы сопровождаются соответствующим методическим подбором задач.

Обобщение опыта работы школ по теории длины окружности и площади круга показывает, что трудности понимания и усвоения учащимися этой теории заключаются в следующем: 1) в установлении непригодности известных учащимся методов измерения длин отрезков и площадей многоугольников, основанных на конечных процессах при измерении длины окружности и площади круга, потому что теория последних возможна лишь на основе бесконечного процесса и 2) в недостаточном понимании учащимися метода пределов, который настолько отличен от обычных методов, что им вначале кажется (особенно при неумелом изложении), что он противоречит здравому смыслу.

Преодоление этих трудностей возможно только в том случае, когда существенные признаки каждого понятия, рассматриваемого в этой теории, на разнообразных примерах и графических образах, в различных связях и взаимоотношениях выясняются и доводятся до полного понимания их учащимися.

Глава 5-я третьей части посвящена практическим задачам, решение которых делает изучение теории длины окружности и площади круга более актуальным.

На XVIII съезде ВКП(б) товарищ Молотов поставил перед школой задачу ликвидации разрыва между теорией и прак-

тикой1. В борьбе за глубокие, сознательные и прочные знания и навыки учащихся большое значение имеет ликвидация этого разрыва. Только применяя геометрическую теорию к практике (к решению практических задач, к выполнению практических работ, расчетов и т. п.), учащиеся начинают понимать значение теории для практики и практики для теории.

Умение самостоятельно распоряжаться вполне достаточными геометрическими знаниями при решении практических задач не может быть выработано, если оно не развивалось специальными упражнениями. Учащиеся, не решавшие практических задач, проявляют досадную беспомощность, когда встречаются с необходимостью решения их. Геометрические задачи стабильного задачника недостаточны для того, чтобы учащиеся овладели геометрическими знаниями до свободного распоряжения ими в практической деятельности. Отсюда возникает необходимость пополнить существующие сборники геометрических задач специальными задачами, преследующими цель ликвидации разрыва между теорией и практикой и подготовки учащихся к будущей практической деятельности при изучении теории длины окружности и площади круга. С этой целью нами составлено и подобрано из некоторых источников 110 задач практического характера, при решении которых учащиеся получат ряд практически полезных сведений о вычислениях в фабрично-заводской практике, в МТС, в строительной технике, в военном деле и т. д., связанных с вычислением длины окружности и площади круга. Для этих задач указано их место в планировании темы, выведены основные формулы и даны способы решения их.

Глава 6-я. В последнее время, по указанию партии и правительства, развернулась широкая борьба за глубокие, содержательные и прочные знания и навыки учащихся. Отправным пунктом для каждого учителя в борьбе за полноценные, неформальные знания и навыки учащихся должен быть ленинский тезис о познании действительности: „От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности“2. Неумение некоторой части учительства обучать учащихся по-ленински от „живого созерцания к абстрактному

1 В. Молотов, Третий пятилетний план развития народного хозяйства СССР. Доклад и заключительное слово на XVIII съезде ВКП(б), ГИЗ, 1939, стр. 43.

2 В. И. Ленин, Философские тетради, Политиздат, Москва, 1947, стр. 146—147.

мышлению и от него к практике“ является основной причиной формализма в знаниях и навыках учащихся по геометрии.

Формализм проник почти во все виды учебной работы школы. Он имеет место и при опросе учащихся и поэтому в настоящее время возникла необходимость в изменении характера проверочных вопросов в таком направлении, чтобы с помощью их можно было установить степень сознательности, полноты и глубины знаний. Вопросы к учащимся должны быть сформулированы так, чтобы удовлетворительные ответы на них можно было дать только при содержательных, неформальных знаниях.

У нас имеется литература, в которой предусмотрены такие вопросы, но по теории длины окружности и площади круга соответствующих вопросов почти нет в этой литературе. В настоящей работе восполняется этот пробел. Здесь дано 50 вопросов, с помощью которых учитель может проверить: 1) знание определений, теорем, формул; 2) понимание сущности определяемых понятий, теорем, их доказательств; 3) умение находить связь между математическими понятиями и фактами и 4) умение решать устно несложные задачи.

Работа заканчивается тремя приложениями: 1) тематикой кружковых занятий по теории длины окружности и „площади круга; 2) вычисление числа те по методу случайных величин и 3) распределение времени на изучение данной темы.

В настоящее время интерес многих учащихся к математике столь велик, что им стало тесно в рамках программы и ее изучение требует дополнительных форм и методов. Наиболее распространенной дополнительной формой приобретения углубленных знаний и навыков является математический кружок, ~в котором объединяются отлично и хорошо успевающие учащиеся. Для работы математического кружка по теме „Длины окружности и площадь круга“ предложено нами шесть тем и подобрана к ним соответствующая литература. Опыт работы математических кружков показал, что изучение предлагаемых тем вызывает большой интерес как со стороны учащихся, так и со стороны учителей.

Методика работы по диссертационной теме: „Понятие о пределе“ и „Длина окружности и площадь круга“ была проверена в школах г. Тулы.

Выводы

В итоге работы над диссертацией получены следующие результаты:

1. Составлен краткий очерк исторических сведений, необходимых учителю при преподавании теории длины окружности и площади круга.

2. Дан критический анализ системы, содержания учебного материала и методических приемов изложения учения о длине окружности и площади круга в 25-ти учебниках для средней школы.

3. Установлена система, содержание и методика преподавания учения о пределе в 9-м классе средней школы и произведена проверка на опыте в ряде школ.

4. Установлена система изложения, содержание и методика преподавания учения о длине окружности, площади круга и вычисления числа тс.

5. Составлено 110 задач практического характера для ликвидации разрыва между теорией и практикой, решение которых делает изучение длины окружности и площади круга более жизненным и актуальным.

6. Составлено 50 контрольных вопросов для проверки качества усвоения теории длины окружности и площади круга.

Ответственный за выпуск Н. Ф. Полищук

ЦП00205 Облкнигоиздат Тираж 100 экз. Заказ 2204

Типография изд-ва газ. „Коммунар“. Тула, ул. Коммунаров, 42.