АКАДЕМИЯ НАУК АРМЯНСКОЙ ССР ИНСТИТУТ ИСТОРИИ И СЕКТОР МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Г. Б. ПЕТРОСЯН

доцент

кандидат физико-математических наук

МАТЕМАТИКА В АРМЕНИИ В ДРЕВНИХ И СРЕДНИХ ВЕКАХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЕРЕВАН—1955

Изучение многовековой истории, богатейшего культурного наследия армянского народа имеет важное научное значение. До последнего времени внимание наших ученых было сосредоточено, главным образом, на подробном и кропотливом исследовании вопросов истории, искусства, литературы и философии армянского народа. Сравнительно недавно появились труды о медицине и химии в древней и средневековой Армении. Что же касается состояния математической науки, то этому вопросу посвящены отдельные, разрозненные замечания в общефилологических трудах, причем большей частью они касаются научного наследия Анания Ширакаци. Неудовлетворительное изучение истории физико-математических наук в Армении создало ошибочное представление, будто бы в древних и средних веках эти науки не занимали у нас сколько-нибудь заметного места в ряду других наук. Мы поставили себе целью обобщить и научно оценить огромную математическую культуру, созданную армянским народом в древних и средних веках, систематизировать и изучить дошедшие до нас рукописи, ранее опубликованные, а также найденные нами материалы, и тем самым несколько восполнить тот пробел, который существует в исследовании научного наследия армянского народа в области математических наук.

Диссертационная работа состоит из предисловия, восьми глав и приложений. В предисловии говорится о тех экономических и политических факторах, которые обусловили развитие естественных, в частности, математических наук в Армении изучаемого нами периода.

Здесь подчеркивается, что уровень математических наук в стране был непосредственно обусловлен развитием производительных сил армянского общества и теми международными

экономическими и культурными связями, которые имела Армения с соседними государствами. Как показывают факты, математическая наука занимала в Армении важное место среди других наук, и математики-армяне сыграли значительную роль в развитии и распространении математических знаний в древних и средних веках.

В диссертации использованы ценные рукописи Хранилища древних рукописей (Матенадаран) при Совете Министров Армянской ССР, а также материалы по истории математики, находящиеся в публичной библиотеке им. А. Ф. Мясникяна (г. Ереван), в библиотеке им. В. И. Ленина (г. Москва), в библиотеке Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Нами использованы также труды М. Абегяна, А. Абраамяна, Н. Адонца, Н. Акиняна, Р. Ачаряна, Г. Капанцяна, И. Орбели, Б. Пиотровского, Г. Тороманяна, X. Самвеляна и других ученых. При исследовании вопросов, связанных с общей историей математики, автор имел в виду ценный опыт, накопленный советскими учеными-историками математики—М. Я. Выгодским, Б. В. Гнеденко, И. Я. Депманом, Ф. П. Отрадных, А. П. Юшкевичем, С. А. Яновской и др. В работе привлечены некоторые материалы по истории математики, опубликованные в иностранной периодике, а также использованы труды зарубежных ученых: И. Гейберга, Г. Контора, Ф. Кеджори, М. Леруа, П. Таннери, Г. Цейтена и др.

Глава первая

МАТЕМАТИКА В УРАРТУ ПО УРАРТСКИМ КЛИНОПИСНЫМ НАДПИСЯМ

В середине IX в. до н. э. на территории Армении формируется государство Урарту, вскоре ставшее одним из могущественных в Передней Азии. Урартцы, как показали проф. Г. А. Капанцян («История Урарту»), проф. Б. Б. Пиотровский («История и культура Урарту») и др., имели развитую культуру. В начале VI в. до н. э., после падения Урарту, его культура перешла к аборигенам. В культуре армянского, гру-

зинского и азербайджанского народов сохранились значительные следы урартской культуры.

До настоящего времени не найдено ни одного источника по математике у урартцев. Об их математических знаниях некоторые сведения можно получить из клинописных надписей урартских царей, в которых содержатся упоминания о военных походах, о количестве пленных, о захваченных трофеях и т. д.

В IX в. до н. э. урартцы перешли от иероглифов к клинописи, которую они переняли от ассирийцев. Форму клинописных знаков урартцы подвергли некоторым изменениям: ассирийцы писали на глиняных дощечках, знаки у них имели форму стержня в виде линии с треугольной головкой, а урартцы, писавшие в основном на гладко отесаных камнях, придали знакам форму сильно вытянутых треугольников. Богата числовыми данными группа надписей урартского царя Сардури II (750—730), обнаруженная акад. И. А. Орбели в Ване в 1915 г.

Для установления системы счисления, применяемой в Урарту, в работе приведены из надписей Сардури II следующие числа с клинописными знаками:

На основании изучения этого материала в диссертации показано, что урартцы употребляли два знака. Один из них, отдельно взятый, означал единицу, а другой—десять. Все числа от 1 до 99 писались путем комбинации этих двух знаков. Число 60 выражалось с помощью знака единицы, как в вавилонской шестидесятичной системе, или же с помощью шести клиньев. Числа от 60 до 99 писались по шестидесятичной системе. Для 100 существовал отдельный знак (детерминатив), составленный из близко расположенных горизонтального и вертикального клиньев. Показывающая сотню цифра писалась впереди детерминатива на определенном расстоянии. Этим способом писались числа до 1000. Число 1000 имело отдельный знак (детерминатив). Очевидно, в первоначальный период для малых чисел знак 10 писали отдельно. Впоследствии, когда возникла необходимость употреблять большие числа, знак 10 соединили с детерминативом 100 и получили детерминатив 1000. Для написания 3000 перед детерминативом 1000 на определенном расстоянии проставляли 3. Таким же способом писались числа до 10000. Для 10000 урартцы имели специальное слово—atibi. 25000 они писали 20000 и 5000, 45000—40000 и 5000. И так как для 10000 существовало специальное слово, то урартцы для обозначения 25000 могли писать 2 atibi и 5000, 45000—4 atibi и 5000. Кроме atibi установлено суще-

ствование звукового произношения только трех чисел: 1— susini, 2—mesini, 3—kamani1.

Вследствие того, что числа 1, 10, 100 и 1000 имели свои обозначения, отсутствие знака нуля не могло влиять на систему урартского счисления. В отличие от вавилонской шестидесятичной «позиционной» системы, числа в этой системе понимались однозначно. Суммы чисел, приведенные в надписях Сардури II, показывают, что урартцы умели свободно сложить числа, доходящие до нескольких десятков тысяч. Имея хорошо разработанную десятичную систему счисления, урартцы свободно выполняли действия сложения и вычитания, а также, вероятно, действия умножения и деления.

В Урартском государстве применялась десятичная система счисления, которая, коренным образом отличаясь от египетской десятичной системы счисления, близка к нашей современной десятичной «позиционной» системе.

В трудах по истории математики не рассматривался сколько-нибудь подробно вопрос о том, существовали ли до клинописи другие знаки для обозначения чисел. Из приведенной в диссертации таблицы чисел, относящейся к периоду третьего тысячелетия до н. э., видно, что до клинописных знаков существовали круглые знаки. В целях быстрого письма, а также экономии места круглые знаки были усовершенствованы и заменены клинописными знаками.

Изучение десятичной системы счисления урартцев и ее сопоставление с десятичной системой счисления индийцев показывают, что современная десятичная «позиционная» система счисления является результатом развития десятичной системы по мультипликационному принципу.

Таким образом, приведенные в диссертации факты показывают, что урартцы имели высокие математические знания, которые в дальнейшем перешли к народам Закавказья, содействовав, в частности, исключительно раннему расцвету математической культуры в Армении.

1 Б. Б. Пиотровский, История и культура Урарту. Ереван, 1944. стр. 289.

Глава вторая

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗНАНИЯ У АРМЯН ДО НАЧАЛА VII в. н. э.

В VII в. до н. э., в результате нового объединения отдельных племен и племенных союзов, живших на территории: Армении, образовался армянский народ.

В IV—I вв. до н. э., в связи с подъемом рабовладельческой экономики и развития городской жизни Армении на главных торговых магистралях, помимо существующих издревле, Вана и Армавира, были построены города—Ервандашат, Ервандакерт, Аркатиакерт, Аршамашат, Арташат, Тигранакерт и др., ставшие центрами культурной жизни и оживленной торговли. В 189 г. до н. э., свергнув господство Селевкидов, армяне создали свое независимое государство. Через его столицу Арташат проходили основные торговые пути между Востоком и Западом. Армянское рабовладельческое общество достигло своего экономического и политического могущества при Тигране II (95—55 гг. до н. э.). Развиваются торговля, градостроительство, расширяются международные торговые и культурные связи Армении. Все это обусловило дальнейшее распространение математических знаний в древней Армении, о чем свидетельствует, в частности, факт утверждения в армянском языке таких торговых терминов, как

«^ш^/г^» (счет), «^ш^/т^Р» (колония), «j/rd^u/y» (рынок), «fuuibnLpj) (лавка) и др.

В I—IV вв. н. э. на территории Армении были построены выдающиеся архитектурные памятники-храмы в Гарни, Текоре и Ереруйке, сооружение которых свидетельствует о высокой культуре строительного дела у армян. Сохранившиеся памятники материальной культуры того времени, а также некоторые свидетельства поздних авторов, дают основание утверждать, что в строительном деле армяне применяли простейшие механизмы, пользовались циркулем и линейкой, т. е. обладали определенными арифметическими и геометрическими знаниями. Торговые отношения армян с другими народами содей-

ствовали также развитию летоисчисления и астрономии: армяне уже в древнейшие времена летоисчисление вели не по движению луны, а по движению солнца.

Огромное политическое и культурное значение в истории армянского народа имело изобретение Месропом Маштоцем армянского алфавита в начале V века (406 г.). Это позволило армянскому народу создавать на родном языке оригинальные труды по философии, истории, математике, а также переводить с других языков (особенно с греческого) наиболее выдающиеся памятники культуры.

В диссертационной работе рассмотрены философские труды Езника Кохбеци (V в.) и Давида Анахта (VI в.). Приведенный в их трудах математический материал свидетельствует о том, что в V—VI вв. математика занимала в Армении должное место среди наук.

В древней Армении, как в Греции, буквы алфавита служили также числовыми знаками. Начиная с V в., армяне применяли алфавитную десятичную систему счисления. Очевидно, что эта система применялась и до V в., но из-за отсутствия необходимых письменных источников утверждать это со всей решительностью пока еще невозможно.

В этой системе от буквы «ш» до буквы «/7» армянского ^алфавита являются единицами, от <Ы» до «7»—десятками, от до —сотнями, от «л» до —тысячами.

Приводим таблицу армянского алфавита с указанием их числовых значений.

Единицы Десятки Сотни Тысячи

Для того, чтобы отличить буквы алфавита от числовых знаков, над последними проводили горизонтальную черточку или же в начале и конце числа проставляли точку. Числа

писались аддитивно слева направо, начиная с большого. Например, или. #"^ = 3043, ш^к или .ш2^~4567. Для нуля отдельного знака не существовало и его необходимости в этой не «позиционной» системе не чувствовалась. Для десяти тысяч армяне имели специальное слово «/»j«/tl/t» (бюр), подобно греческому «мириад». Для написания больших чисел пользовались буквами алфавита, вводя дополнительный знак. Так, например, ш = ш/=Ю000, т. е. один бюр, = 100000, т. е. десять бюр. Таким образом, использованием букв алфавита и введением дополнительного знака армяне получили возможность оперировать довольно большими числами. Числителем дробей, употреблявшихся в древней Армении, о которых сохранились сведения в дошедших до нас источниках, была единица. Кроме дробей с числителем единица в области астрономии применялись шестидесятичные дроби.

Между алфавитными десятичными системами счисления, армян и греков, наряду с сходством, существовала и некоторая разница. Она заключалась в следующем: армяне употребляли 36 букв, а греки—27. Это дало возможность армянам без введения дополнительного знака писать числа до 9999, в то время как греческий алфавит давал возможность писать числа лишь до 999. Для написания больших чисел армяне и греки вводили различные математические знаки.

При действии вычитания армяне, подобно вавилонянам и урартцам, вычитаемое писали перед уменьшаемым. Армяне наряду с основной формой обозначения чисел применяли также, хотя и редко, форму записи, которая была у урартцев. Так, например, урартцы число 3900 обозначали следующим образом:

это число у армян писалось так: но встречается и другая форма—как у урартцев.

Сравнение арифметики у армян с урартской арифметикой показывает, что в изучаемый период между ними существовала непосредственная связь.

Глава третья

АНАНИЯ ШИРАКАЦИ И ЗНАЧЕНИЕ ЕГО УЧЕБНИКА ПО АРИФМЕТИКЕ

В начале третьей главы рассматриваются факторы, определившие дальнейшее развитие математических и технических наук в Армении в VII веке. В этот период усиливается участие армян в международной торговле, требовавшей широкого применения мер и весов. Новый размах принимает гражданское и церковное строительство.

Наиболее ярким представителем науки этого времени был знаменитый ученый-математик Анания Ширакаци. Уже в юношеские годы он обнаружил большое стремление к изучению математических наук. «И, сильно возлюбив искусство числительное,—пишет он,—помыслил я, что без числа никакое рассуждение философское не слагается, всей мудрости матерью его почитая»1. Получив высшее образование в Трапезуйте у греческого математика Тюкикоса, он возвращается на родину и целиком посвящает себя научной и педагогической деятельности. Ширакаци был одним из образованнейших людей своего времени, глубоко изучившим философию, математику, космографию, географию и др. науки, он оказал большое влияние на ученых последующих эпох.

По своим философским взглядам Ширакаци был материалистом. Он признавал причинность и обусловленность явлений в природе, рассматривая мир в его материальном единстве, в постоянном изменении и развитии. Ширакаци писал: «То же самое (изменение и развитие—Г. П.) и для крови и дыхания, для происхождения и разрушения, потому что происхождение есть начало разрушения, а разрушение—начало происхождения. Чтобы мир сохранил свою продолжительность от безвредного противоречия»2.

1 Орбели И. А., Вопросы и решения вардапета Ширакца, Петербург, 1918, стр. 7.

2 К. Патканян, Фрагменты из произведений Анания Ширакаци, С.-Петербург, 1877, стр. 35.

Согласно свидетельству более поздних авторов, Анания Ширакаци создал много трудов по физико-математическим наукам и другим отраслям знаний. К сожалению, до нас дошли лишь некоторые отрывки отдельных его произведений. В своем труде «Космография и летоисчисление» Ширакаци выступает против средневековых догм о движении земли, солнца и луны. Ученый придерживается того мнения, что луна не имеет своего собственного света и получает его от солнца. «Но я согласен с мудростью (философией) многих—это (т. е. свет луны— Г. П.) нужно приписать солнцу»1. Ширакаци дает правильное научное объяснение затмению солнца.

В научном наследии Ширакаци особое место принадлежит его учебнику по арифметике, часть которого («Вопросы и решения») в 1918 г. переведена и издана на русском языке акад. И. А. Орбели. Он впервые высказал мнение, что «Арифметика» Ширакаци дошла до нас неполностью. Это его предположение подтвердилось, когда в 1939 г. проф. А. Г. Абраамяну удалось найти таблицы сложения, вычитания и умножения, а также «Шеститысячник» Ширакаци.

В работе показано, что в истории математики наиболее древними являются таблицы Анания Ширакаци, а не таблицы математика XIV века Николая Артавазда, как принято было до сих пор считать в истории математики.

Таблицы сложения, вычитания и умножения Ширакаци снабжены соответствующими введениями. Приводим некоторые примеры из таблиц с буквенными и нашими обозначениями2:

Таблица сложения

1 А. Ширакаци, Космография и летоисчисление. Ереван, 1940, стр. 40.

2 Хранилище древних рукописей при Совете Министров Армянской ССР, рукопись № 1770, стр. 387.

Таблица вычитания

Таблица умножения

Таблицы сложения состоят из 4 групп, составленных для единиц, десятков, сотен и тысяч. Каждая группа состоит из 9-ти таблиц и содержит 45 комбинаций. В таблицах сложения общее число комбинаций равно 180. Число таблиц вычитания равно 36, каждая из них содержит 9 комбинаций, а всего 324 комбинации.

В современной арифметике сперва пишется уменьшаемое, а затем вычитаемое, между тем в древней Армении вычитаемое писалось сперва.

Таблицы умножения состоят из 36 групп, в каждой группе четыре таблицы; из них в трех таблицах помещены по 9 произведений, а в одной—10 произведений. Таким образом, в каждой группе—37 произведений, а всего—1332 произведения.

Для сравнения таблиц А. Ширакаци с таблицами Н. Артавазда ниже приводятся примеры из таблиц последнего1:

Сравнение таблицы умножения А. Ширакаци с таблицами Н. Артавазда показывает, что они составлены по одному и тому же принципу.

В таблицах умножения Ширакаци наибольшее произведение равно 9.107. Употребление в школьной практике подобных чисел, в особенности в младших классах, показывает степень развития арифметики в Армении в VII веке.

Кроме указанных выше таблиц умножения, в рукописи № 1267 содержится полная таблица умножения по образцу таблицы Пифагора, с той лишь разницей, что в ней наиболь-

1 .Exposition abrégée et très claire de la science dû calcul... par Nicolas Artavasde de Smyrne". P. Tannery, Mémoires cientifiques, vol. IV, 1920, pp. 1 i0—112.

шее произведение равно 81000000, а не 81. Вероятно, эта таблица также принадлежит Анания Ширакаци.

В рукописи № 1973 имеются также четыре другие таблицы умножения, где натуральный ряд чисел умножается на 72, 11, 4 и 16. Эти таблицы показывают, что помимо вышеприведенных вспомогательных таблиц умножения, возможно, Ширакаци составил таблицы умножения и для общих случаев.

«Шеститысячник» Ширакаци в старых и новых обозначениях имеет следующий вид1:

Здесь приведены лишь первые десять строк «Шеститысячника». Таким же образом «Шеститысячник» продолжается до последней буквы армянского алфавита (.£=9000).

«Шеститысячник», следовательно, составлен таким образом, чтобы во всех случаях произведение равнялось 6000 или при округлении получилось 6000. «Шеститысячник» Ширакаци является таблицей обратных величин, составленной для числа 6000. Такие таблицы шестидесятичной системы имелись в Вавилоне.

Наличие «Шеститысячника» в VII веке дает основание полагать, что, видимо, еще до этого армянам и их предшественникам—урартцам были знакомы таблицы обратных величин, составленные по шестидесятичной системе. Таблицы обратных величин, как вспомогательные, давали возможность выполнять действие деления.

1 Рукопись № 4066, стр. 8—9.

В рукописи № 1973 нами найдены таблицы, изучение которых показывает, что Ширакаци (или поздние авторы) составили таблицы деления для чисел 5000, 4000, 3000 и других... Ниже приводятся две из этих таблиц1:

Таким образом, таблицы обратных величин, со временем подвергшись определенному изменению, стали таблицами деления. «Шеститысячнику» Ширакаци предшествовали две таблицы «Дарк» и «Кочатк». «Дарю» означает чет, «Кочатк»— нечёт. В старых и новых обозначениях эти таблицы имеют следующий вид:

1 Рукопись № 1973, стр. 108.

Эти таблицы, как видно, являются арифметическими и теометрическими прогрессиями.

Та часть учебника Ширакаци, которая озаглавлена «Вопросы и решения», содержит 24 арифметических задачи и ответы. Тексты задач приведены в приложении диссертации в переводе на современный армянский язык.

Арифметические задачи Ширакаци, представленные нашими современными обозначениями в виде уравнений, можно разделить на следующие группы:

I Задачи №№ Ь2,3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 14, 15, 18, которые имеют следующий вид:

IL Задачи №№ 8 и 16—

(х+а)Ь=сх III. Задачи №№ 11, 13, 17 и 21—

или

IV. Задача № 19 —

2[2(2х—а;—а]-а=0 V-

Задача № 22—

VI. Задача № 23—

VII. Задача № 24—

Темы задач Ширакаци взяты из современной ему жизни, а также исторического прошлого армян и других народов. В них отражается горячий патриотизм ученого. Они написаны ясным, доходчивым языком.

Решения арифметических задач Ширакаци до нас не дошли. Это затрудняет установление способа их решения. В диссертации предложены вероятные способы решения этих задач («ложное» положение, инверсия и т. д.). Однако известные нам из истории математики египетский способ и греческие «формулы»1 пока не дают нам возможности отыскать однозначного алгоритма, при помощи которого можно получить ответы задач №№ 22 и 24. Мы предполагаем, что для решения задач за №№ 22 и 24 Ширакаци применил иной способ и иные формулы.

В диссертации рассмотрены также «увеселительные задачи» Анания Ширакаци.

Учебник арифметики Ширакаци, в отличие от труда Никомаха, содержит богатый материал по искусству счисления и является самым древним из дошедших до нас учебников. Для истории математики, в особенности для истории арифметики, учебник Анания Ширакаци имеет большое значение.

Изучение научного наследия Ширакаци неопровержимо подтверждает, что армяне не только освоили математические традиции Передней Азии и Греции, но и развили их дальше,, внося значительный вклад в математическую науку.

Глава четвертая

ДРЕВНЕЙШИЙ АРМЯНСКИЙ ПЕРЕВОД ГЕОМЕТРИИ ЕВКЛИДА И ЕГО ЗНАЧЕНИЕ

Героическая борьба армянского народа против арабских поработителей увенчалась победой и в последней четверти IX века в Армении была восстановлена государственная незави-

1 См. М. Я. Выгодский, Арифметика и алгебра в древнем мире. 1941, М.—Л., стр. 202.

симость. В 885 г. образовалось царство Багратидов. Восстановление независимости, а также установившийся мир создали благоприятные условия для дальнейшего развития экономической жизни и культуры феодальной Армении.

В этот период в Армении, вместе с общественными науками—историей, литературой и т. д., развивались и естественные науки, среди которых важное место принадлежит математике. Одним из выдающихся ученых этого периода в Армении был Григор Магистр (ок. 990—1058 гг.), занимавшийся, как это следует из его «Посланий», математикой, литературой, философией, медициной, педагогикой, теологией и т. д.

Гр. Магистр был превосходным переводчиком. Он перевел с греческого на армянский язык ряд трудов, в том числе и «Начала» Евклида. Текст «Начал» в переводе Гр. Магистра полностью не сохранился, а до наших дней дошли лишь отдельные отрывки.

В настоящей главе подробно исследован вопрос о древнейшем переводе геометрии Евклида на армянский язык.

В рукописях Татевского монастыря (XIII в.), зарегистрированных под № 4166 в Хранилище древних рукописей при Совете Министров Армянской ССР, имеется отрывок перевода геометрии Евклида на армянский язык, содержащий начало книги, а также геометрические чертежи. Этот отрывок по своему содержанию богаче отрывка, текст которого находится в Павском университете и был издан Сукряном в 1884 г. в «Базмавепе». Подобные отрывки, как известно, имеются также в Тюбингенском университете и в Венеции. Исследованием этих отрывков занимались в разное время армянские, а также некоторые зарубежные ученые (Г. Сукрян, М. Леруа, Н. Акинян, А. Абраамян, Г. Туманян).

Упомянутые исследователи ограничивались, главным образом, установлением авторства перевода этих отрывков, оставаясь в основном в пределах филологических разысканий. Лишь в статье Г. Т. Туманяна1 оценены математические до-

1 „Начала" Евклида по древнеармянским источникам, „Историко-математические исследования", выпуск VI, Москва, 1953, стр. 659.

стоинства этих отрывков. Причем Г. Т. Туманян построил свои выводы в основном на фактах, которые были изложены нами в статье «Древнейший армянский перевод геометрии Евклида и его значение для истории математики», помещенной в «Известиях» АН Армянской ССР в 1945 г. Таким образом, несмотря на проделанную работу, еще полностью не оценено все культурное и научное значение перевода Гр. Магистра. В диссертации приведен текст дошедшего до нас отрывка на древнеармянском языке и в переводе на современный армянский язык. Приведен также соответствующий греческий текст по Гейбергу и его перевод.

Путем сравнения текста армянского перевода с греческим в диссертации устанавливается их сходство и отличия. Содержание отрывка, формулировки доказательств, применение математических терминов показывают, что переводчик, превосходно знавший математику, переводил непосредственно с греческого.

В сохранившемся отрывке армянского перевода геометрии Евклида имеются определения, постулаты, аксиомы и первые три предложения, легшие в основу евклидовой геометрии. Этот отрывок, в основном совпадающий с соответствующим текстом Гейберга, имеет некоторые отличия, которые показывают, что в древних и средних веках имелись различные варианты рукописи геометрии Евклида.

В диссертации установлено, что после арабского перевода армянский перевод геометрии Евклида является наиболее древним. Гр. Магистр перевел этот труд в 1051 году, тогда как в Западной Европе геометрия Евклида была переведена с арабского на латинский лишь в 1120 г., а непосредственно с греческого — лишь в 1501 году, т. е. спустя 450 лет после перевода Гр. Магистра.

Своей научной и педагогической деятельностью Гр. Магистр поднял математическую науку на новую ступень развития, сыграл большую роль в распространении математических знаний в Армении. Впервые Гр. Магистр полностью оценил бо-

татое научное наследие Анания Ширакаци, показал огромное познавательное значение его трудов, положив их в основу преподавания в армянских школах и университетах.

Интерес к достижениям естественных наук античного мира, наличие в Армении школ и университетов, строительство ряда городов и выдающихся архитектурных памятников (Ани, Карс, Арцн, храмовые ансамбли в Ахпате и Санаине, двухэтажный дворец Багратидов, мосты на реке Ахурян и Дзорагет (ныне Дебед) и т. д.) свидетельствуют о высоком уровне математических и других научных знаний у армян в X—XI веках. Из этого можно сделать также вывод о том, что X—XI в в. в Армении являются периодом раннего Возрождения, ознаменовавшимися новыми замечательными открытиями во всех областях науки, в том числе в области математики.

Глава пятая

«ПОЛИГОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА» ОВАННЕСА (ИОАННА) САРКАВАГА

В середине XI века большая часть Армении оказалась под игом турок-сельджуков. Сельджукское вторжение, а также опустошительные набеги других захватчиков привели к резкому упадку экономической жизни в стране. Лишь в отдельных княжествах и царствах, реже подвергавшихся нападению пришлых варваров, была сравнительно мирная жизнь и сохранялась возможность для дальнейшего развития экономики и культуры. К числу таких областей относится Лорийское царство Багратидов. Школа при Ахпатском монастыре в Лори в XI веке была одним из крупнейших центров армянской, культуры. За сравнительно небольшой отрезок времени Ахпатская школа дала немало выдающихся мыслителей, среди которых наиболее яркой и оригинальной была фигура Ованнеса (Иоанна) Саркавага (ок. 1045/1050—1129 гг.).

Убежденный в огромном значении естественных наук для людей, Саркаваг уделил особое внимание их изучению и раз-

витию, обогащая различные отрасли науки новыми открытиями. Большое значение он придавал опыту, его роли в развитии научной мысли, опередив в этом вопросе многих ученых своего времени. Саркаваг указывает, что основным средством проверки истинности суждений или полученных выводов является опыт, без которого не может быть правильного и твердого убеждения.

Саркаваг был одним из первых средневековых ученых, который стремился понять и разъяснить явления природы и закономерности ее развития, опираясь на данные самой природы. «Только природа,—утверждал он,— дает материал для правильного познания, и в науке не может быть места «мнению глупых» или «мифическому обману». Саркаваг работал почти во всех областях современной ему науки. Он был историком, математиком, философом и т. д. К сожалению, из многочисленных работ выдающегося средневекового ученого сохранились лишь отрывки («Толкование календаря», «О движении земли», «Полигональные числа» и т. д.).

В диссертации подробно анализируется математический труд Саркавага «Полигональные числа», представляющий значительный интерес для истории математики в Армении. 3 научной литературе были высказаны различные мнения об авторстве «Полигональных чисел». Найденная нами в Хранилище древних рукописей таблица, составленная в XIII веке, и ее сопоставление с известными таблицами показывает, что автором «Полигональных чисел» был Саркаваг.

В диссертации подробно рассмотрены как содержание «Полигональных чисел», так и источники, которые, вероятно, были использованы Саркавагрм. В приложении к диссертации приведены таблицы и текст, которые были составлены в 1445 г. (Рукопись Хранилища № 8973).

Дошедшая до нас таблица «Полигональных чисел», находящаяся в рукописи № 4150 Татевского монастыря (XIII век), имеет следующее содержание (см. табл. 1).

Продолжение 1 таблицы

Из таблицы видно, что в ней даны арифметические прогрессии и их суммирование. Применяя формулу суммы членов арифметической прогрессии к натуральному ряду чисел

для к-го треугольного числа, получим

(1)

Для получения к-го угольного числа необходимо взять сумму к членов арифметической прогрессии, у которого лервый член равен 1, а разность равна (п—2). Это можно представить формулой:

(2)

где к=1, 2, 3, 4, 5...

п=3, 4, 5, 6, 7... Бри п=3 из формулы (2) получим формулу (1),

После таблицы идут следующие ряды чисел:

Таблицы Ованнеса Саркавага свидетельствуют о том, что в XI—XII вв. в армянских школах преподавалась теория чисел. Программа курса теории чисел охватывала основное содержание классических арифметических трудов. Эти таблицы дают также возможность составить представление о математической терминологии XI—XII вв.

Сравнение таблиц «Полигональных чисел» с таблицами, имеющимися в трудах Никомаха и Филона, показывает, что Ованнес Саркаваг в своей работе в качестве источников использовал их труды.

Дошедшие до нас отрывки из трудов Ованнеса Саркавага по теории чисел, а также его мысли о методе научного исследования подтверждают, что он был не только выдающимся историком и филологом, но и крупным ученым в области естественных наук. Ованнес Саркаваг — один из видных представителей раннего Возрождения в Армении.

Глава шестая

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРУДЫ НИКОЛАЯ АРТАВАЗДА

Одним из выдающихся математиков средневековья был Николай Артавазд. На его математические труды впервые обратил внимание известный французский ученый Поль Таннери, указавший, что по своему происхождению Николай Артавазд был армянином. Основываясь на греческих рукописях Национального хранилища древних рукописей в Париже, Поль Таннери издал тексты двух писем-статей Николая Артавазда на греческом языке вместе с французским переводом, сопроводив их предисловием и примечанием. Письма-статьи Николая Артавазда озаглавлены:

1. «Краткое и весьма ясное изложение науки счисления, сочиненное в Константиновской Византии, рабдасом Николаем Артаваздом из Смирны, арифметиком и геометром, по просьбе почтеннейшего докладчика (суда), адвоката Георга Хачика, весьма легкое для желающих изучить его».

2. «Моему очень дорогому сердечному другу Теодору Цавуху из Клазомен Николай Артавазд из Смирны пишет настоящее из Византии».

Помимо этих статей Артавазду принадлежит также работа по геометрии, текст которой находится в Национальном хранилище рукописей в Париже1.

Ученые-арменоведы Р. Ачарян и Н. Адонц, независимо от Поля Таннери, также пришли к заключению, что Николай

1 La Grand Enciclopedie, v. XVIII, p. 5S6.

Артавазд был армянином. Сведения об Артавазде очень скудные. Из одной его математической работы видно, что он жил в XIV веке.

В диссертации показано значение научного наследия Николая Артавазда в истории математики, который продолжал и развивал традиции Анания Ширакаци. В приложениях к диссертации впервые дан полный текст статей Артавазда на армянском языке в нашем переводе.

В первых двух разделах первой статьи, состоящей из 16 страниц, Николай Артавазд излагает основные принципы обучения искусству счисления, подробно разъясняет алфавитную систему счисления, показывает способ записи больших чисел. Третий раздел статьи посвящен изложению способа представления чисел от 1 до 9999 при помощи пальцев рук. Это единственный документ в истории математики, в котором изложен указанный способ. В следующем разделе излагаются четыре арифметических действия, причем математик рекомендует при умножении и делении больших чисел обращаться к «великому индийскому счислению». Следовательно, Николай Артавазд был знаком с десятичной «позиционной» системой счисления, которая к тому времени начала распространяться в Византии. В этом же подразделе излагается способ извлечения квадратных корней в первом приближении. В конце первой статьи имеются таблицы сложения, вычитания и умножения. В конце натуральный ряд чисел до 10 умножается на —. —----— , причем ответы даны в дробях в египетской форме.

Вторая статья по объему значительно больше первой: она состоит из 35 страниц. В первом подразделе ее излагаются действия умножения и деления и способ извлечения квадратных корней из чисел в желаемом приближении. Дроби, выраженные в египетской форме, Артавазд превращает при умножении и делении в обыкновенные, затем производит действия по существу так, как это принято в современной арифметике. Полученный ответ он снова превращает в дроби в

египетской форме. Способ извлечения квадратных корней, примененный Николаем Артаваздом, можно выразить следующей формулой:

В следующем разделе статьи Николай Артавазд излагает вопросы, связанные с летоисчислением. Он подробно останавливается на методе определения дней церковных праздников, указывая, что это его открытие. Исчислению, применяемому в житейской практике, и решению различных задач посвящен целый раздел работы. Здесь подробно объясняется простое и сложное тройное правило. Свою работу Артавазд заканчивает 18 задачами, которые изложены в занимательной форме.

Итак, работы Николая Артавазда—ценный для истории математики материал. Они посвящены искусству счисления и освещают ряд вопросов логистики.

В диссертации на основе конкретных фактов подробно рассматривается связь математических работ Николая Артавазда и Анания Ширакаци, устанавливается, что арифметические таблицы, имеющиеся в работах Артавазда, совпадают с таблицами Ширакаци.

Большое сходство также в арифметических задачах обоих авторов, причем тексты задач №№ 11 и 17 в основном совпадают.

Самым старым в истории математики учебником, в котором имеются арифметические таблицы и задачи, связанные с счислениями в повседневной практике, является учебник Анания Ширакаци, написанный в VII веке на армянском языке. Факты показывают, что Николай Артавазд в качестве источника использовал учебник Анания Ширакаци.

Влияние математических трудов Анания Ширакаци на Николая Артавазда не является случайностью. Оно объясняется состоянием науки в Армении в VII—XIV веках, а так-

же непосредственным участием, которое принимали армяне в. экономической, политической и культурной жизни Византии.

В XII—XIV веках, как показывают факты, в Армении были культурные очаги, сохранившие традиции Анания Ширакаци и его последователей. В этот период в Санаице и Ахпате имелись академии, а в Гладзоре и Татеве — университеты, в которых, наряду с другими науками, изучались математические труды Анания Ширакаци. Работы этого замечательного ученого, несомненно, оказали влияние также на развитие культуры в Киликийском армянском царстве (1080—1385 гг.). Они, вероятно, проникали в Византию из Киликийского армянского царства, которое, как известно, находилось с ней в тесных сношениях. Но не только этим путем армянская культура проникала в Византию. В Константинополе и других частях империи жило много армян, в том числе ученых, которые были знакомы с достижениями науки в Армении. Так, например, еще в IX веке в Византии жил и творил известный философ и математик Левон, который, как указывает Е. Э. Липшиц, впоследствии стал ректором Константинопольского университета, основанного Вардом1. Исследования Н. Адонца показали, что Левон был внуком армянского астронома Баграта, переехавшего из Армении в Византию. Адонц пишет, что как Левон, так и его дядя патриарх Иоанн (832—843 гг.) и брат Аршавир были «любознательными и учеными мужами»2.

Левон занимался изучением вопросов математики, прикладной механики, естествознания. Этот широко образованный ученый, поддерживавший связь с учеными-армянами как в Византии, так и в Армении, несомненно, был знаком с научными трудами Анания Ширакаци.

Таким образом, распространение достижений армянской математической мысли в Византии способствовало развитию этой науки на Востоке. В этом деле, имеющим большое куль-

1 См. „Византийский Временник", т. II. M.—Л., 1949, стр. 106.

2 Н. Адонц, Исторические исследования (на армянском языке/ Париж, 1948, стр. 335.

турное значение, особенно велики заслуги Анания Ширакаци, Левона и Николая Артавазда.

Глава седьмая

ПРИМЕНЕНИЕ ДЕСЯТИЧНОЙ «ПОЗИЦИОННОЙ» СИСТЕМЫ В АРМЕНИИ ПО АРМЯНСКИМ РУКОПИСЯМ

Несмотря на тяжелые экономические и политические условия, в которых оказалась Армения в XIV—XV вв. и которые отрицательно влияли на дальнейшее развитие отечественной культуры, армяне продолжали следить за достижениями науки, стремясь применить их на практике. В этой связи значительный интерес представляет применение в Армении новой десятичной «позиционной» системы счисления.

В диссертации показана история возникновения систем счисления вообще и десятичной «позиционной» системы, в частности. История системы счисления, применяемой в настоящее время, подтверждает, что системы счислений развивались в зависимости от экономического и культурного уровня развития общества. Чем ниже был этот уровень, тем многочисленнее были системы счислений, дальнейшее развитие которых привело к возникновению единой десятичной «позиционной» системы.

В этой главе рассматривается учебник арифметики неизвестного автора, обнаруженный нами в рукописи № 8716 Хранилища рукописей при Совете Министров Армянской ССР. Неизвестный автор, как следует из текста учебника, поставил себе целью научить искусству счисления на основе новой десятичной «позиционной» системы.

Рукописный учебник—первый известный в истории математики в Армении источник, в котором систематически изложена десятичная система счисления арабскими цифрами. Математические термины, которые употребляются в учебнике, форма цифр и орфография показывают, что этот учебник составлен на Востоке во второй половине XV века. Стремясь к распространению новой системы счисления среди армян, автор

подробно излагает сущность десятичной системы, показывает ее неоспоримые преимущества перед алфавитной системой.

Этот учебник практической арифметики состоит из двух частей. В первой части автор излагает суть новой системы, обосновывает необходимость перехода от алфавитной системы к новой и иллюстрирует применение этой системы в четырех действиях арифметики. Вторая часть учебника посвящена решению задач, в которых основное место занимает простое и сложное тройное правило. В учебнике не даны определения и доказательства, но в нем хорошо показан способ совершения арифметических действий. Имеются примеры задач с целыми числами и дробями.

Ратуя за новую «позиционную» систему, автор называет ее «светлой», а алфавитную—«темной». Факт этот еще раз свидетельствует о том, что автор учебника придерживался прогрессивных взглядов, правильно разбираясь в основных тенденциях развития современной ему математической науки. Борьба между сторонниками алфавитной и десятичной системы продолжалась вплоть до XVII в. и закончилась полным вытеснением старой, алфавитной системы—новой «позиционной». Это создало необходимые предпосылки для дальнейшего развития математической мысли в Армении.

Глава восьмая

АРМЯНСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА В XVII и XVIII ВЕКАХ

В 1639 г. по договору, заключенному между Персией и Турцией, западная часть Армении перешла к Турции, восточная—к Персии. В мрачные годы турецко-персидского господства армянский народ не прекращал борьбы за свободу и независимость. Одной из форм этой борьбы была борьба народа за свою национальную культуру, за прогрессивные тенденции науки, имевшие глубокие корни в истории. Как в самой Армении, так и в многочисленных колониях армяне про-

должали развивать и обогащать богатое культурное наследие,: активно приобщаясь ко всем достижениям современной науки.

В 1512 г. в Венеции армянским первопечатником Акопом была основана первая типография, явившаяся событием огромного культурного значения. В XVII веке армянские типографии были созданы также во Львове, Амстердаме, Новой Джуге и т. д. В 1780 г. Григор Халдарян перевел свою типографию из Лондона в Петербург и здесь наряду с другими работами напечатал учебник русского языка для армян.

В рукописной математической литературе XVII—XVIII веков на армянском языке значительный исторический и научный интерес представляют материалы, относящиеся к искусству счисления у русских. Армянские купцы и торговцы знали Россию еще со Бремен Киевской Руси. Если в X—XIII вв. караваны армянских купцов появлялись в России эпизодически, то, начиная с XV в., они бывали здесь систематически. В 1667 г. армянское торговое общество в Новой Джуге заключило торговый договор с царем Алексеем.

В рукописях, составленных до XVII века, еще не обнаружены специальные тексты, посвященные искусству счисления у русских. С XVIII века до нас дошли отдельные отрывки и учебники арифметики, в которых имеются сведения по этому вопросу. В рукописи Матенадарана за № 8424, написанной в Астрахани в 1744 г., содержится 10 арифметических задач. Здесь употребляются также названия мер и весов, как «фунт», «золотник», «рубль». Рукопись № 9284, состоящая из 23 страниц и написанная в 1753 г., полностью посвящена искусству: счисления. В этой рукописи имеется 20 арифметических задач, в которых с персидскими единицами измерения одновременно употребляются и русские—«пуд», «фунт», «золотник», «рубль»,, «копейка». Двенадцатая задача начинается словами: «Вновь, о друг, просим в Москве деньги для передачи по векселям в Мсрдам (Амстердам), чтобы (они) дали нам гильди в сумме 365 рублей 55 копеек». Рукопись № 8740, составленная в XVIII веке, озаглавлена: «Счет у русских на нашем (армянском) языке». Здесь же встречаются грамматические термины

русского языка, как, например, точка, точка с запятой, двоеточие, вопросительный и восклицательный знаки и т. д. Армянскими буквами написаны русские названия чисел до 1000. В рукописи № 8540, написанной в 1807 году, помещены числа и указаны их русские названия.

Из рукописей этого периода обращает на себя внимание работа Аветика Тигранакертци «Девтер-гирк» («Книга записей»). Его труды, как свидетельствует «Базмавеп», составляют несколько томов. В них освещаются вопросы астрономии, математики, летоисчисления, музыки, географии и других наук, дается описание ряда инструментов, в частности астролябии. Автор указывает, что он работал над своей «Книгой записей» 25 лет, с 1684 по 1709 гг. Он побывал во многих странах Востока и Запада, изучил основы ряда наук, стал одним из всесторонне развитых ученых своего времени.

Значительный научный интерес представляет «Искусство счисления»—первая печатная книга по математике на армянском языке, вышедшая в Марселе в 1675 г. В диссертации подробно анализируется содержание книги, определяется ее значение для истории математики в Армении. К сожалению, до сих пор не удалось установить автора этой интересной работы. «Искусство счисления» состоит из 147 страниц. Предисловие и послесловие ее написано на древнеармянском языке, а основной текст—на новоармянском. В первой части излагается сущность десятичной;—«позиционной» системы, объясняются правила четырех арифметических действий с целыми числами. Первая глава второй части посвящена четырем действиям с дробями. Во второй и третьей главах излагаются способы решения арифметических задач, простое и сложное тройное правило. Значительная часть задач, помещенных в третьей главе, посвящена процентам. Содержание книги дает основание утверждать, что она была предназначена, главным образом, для армянских купцов. Этим объясняется, в частности, употребление терминов мер и весов различных стран. Автор был хорошо знаком с достижениями арифметики своего времени. Это подтверждается тем, что математические определе-

ния и терминология в основном совпадают с определениями и терминологией, которые имеются в учебниках по арифметике Таке, Магницкого и Фаулгабера.

Вторая печатная книга этого периода на армянском языке состоит из 120 страниц и содержит в основном арифметические таблицы. Книга сохранилась без титульного листа, поэтому неизвестны точное время и место ее издания. По всей вероятности, она была напечатана в последней четверти XVII века. На первой странице таблицы помещен натуральный ряд чисел до 100, а также квадраты этих чисел, на второй странице числа до 100 умножаются на 2, третьей—на 3, и так до 100. Затем натуральный ряд чисел до 100 умножается на 200, 300... 1000.

Другая подобная «книга таблиц», озаглавленная «Обучение новому» была издана на армянском языке в Венеции в 1711 г.

В истории математики в Армении значительную ценность представляет работа С. Агамалянца—«Арифметика», изданная в 1781 г. в Венеции. Она состоит из двух книг с общим объемом в 511 страниц и написана на древнеармянском языке. В диссертации работа С. Агамалянца рассмотрена в связи с общим уровнем науки арифметики в этот период, а также указано на значение этого труда в дальнейшем распространении арифметических знаний среди армян. «Арифметика» С. Агамалянца содержит богатый фактический материал, связанный с исчислениями в обыденной жизни. Она написана на высоком теоретическом уровне, в ней даны определения и доказательства.

Первая книга «Арифметики» состоит из 3 разделов и имеет одно приложение. Первый раздел посвящен системе счисления и четырем арифметическим действиям. Характерно, что, подобно другим авторам XVIII века, С. Агамалянц вместо арифметических терминов «уменьшаемое» и «вычитаемое» употребляет «большое число» и «малое число». Для действия деления, наряду с другими способами, он показывает и способ «галлеры». Во втором разделе «Арифметики» рассматриваются прос-

тые и десятичные дроби. При превращении простых дробей в десятичные, автор подробно останавливается на приближенных вычислениях. С. Агамалянц о дробях говорит после именованных чисел, как Магницкий. Известно, что у Эйлера был обратный порядок.

В третьем разделе труда С. Агамалянца даны пропорции, простое и сложное тройное правило, а также решены задачи разных типов. Вторая книга состоит из четырех разделов. Первый из них посвящен в основном извлечению квадратных и кубических корней из целых и дробных чисел. Во втором разделе рассматриваются арифметические и геометрические прогрессии. В третьем—объясняются совершенные и полигональные числа, а также размещения и сочетания.

Четвертый раздел посвящен логарифмам. Автор определяет логарифм, как показатель степени в выражении для общего члена геометрической прогрессии, первый член которой равен единице. В конце книги помещена таблица логарифмов чисел от 1 до 10000.

В «Армянской библиографии» Зарбаналяна указывается, что в Триесте в типографии мхитаристов, в 1787 г. была напечатана книга Г. Мииаса «Применение искусства счисления».

В 1788 г. в Венеции вышла книга X. Сурмеляна «Краткая арифметика», написанная на новоармянском языке. В этой работе в основном рассматриваются вопросы, которые были подняты С. Агамалянцем в первой книге «Арифметики».

Для истории математики в Армении значительный интерес представляет первая печатная книга по геометрии: в 1794 г. С. Пронян в Венеции издал на древнеармянском языке оригинальную работу «Геометрия». Она состоит из 3 книг с общим объемом в 423 страницы. В конце работы на 8 листах помещены 275 геометрических фигур, обозначенных буквами армянского алфавита. Имеется латино-армянский словарь математических терминов, причем значительная часть их дана также на арабском и турецком языках.

В предисловии своей работы С. Пронян указывает, что на основе изучения многочисленных источников он стремился

создать учебник, который был бы доступен не только ученикам, но и тем, кто желает изучить геометрию самостоятельно. В «Введении» он подробно останавливается на значении математики, в частности, геометрии, а затем приводит определение ряда наук—алгебры, механики, астрономии, тригонометрии и т. д. Он делит геометрию на теоретическую и практическую, элементарную и высшую. С. Пронян относит себя к числу тех -математиков, которые, не умаляя огромного значения геометрии Евклида, не следуют за ним догматически. Исходя из этого принципа, он распределяет материал в порядке возрастания числа измерений и делит свой учебник на три части: лонгометрию, планиметрию, стереометрию. Далее он разъясняет понятия «определение», «аксиома», «теорема», «доказательство», приводит геометрические постулаты, коротко излагает историю геометрии с древнейших времен до XVIII века. В работе имеются отдельные сведения о математиках, а также математической терминологии в древней Армении. В 1810 г., после смерти С. Проняна, вышла другая его работа «Тригонометрия».

В XVIII веке, в связи с развитием капитализма, в России, Англии, Франции, Германии и других странах, благодаря развитой сети школ и их специализации, создается богатая учебная литература по ряду наук, в том числе и математике. Догматические методы изложения математических правил больше не удовлетворяли требованиям практики. С этой точки зрения анализ трудов С. Агамалянца и С. Проняна показывает, что их работы находились на уровне современной математической науки, в них даны определения и доказательства важнейших математических теорем. Исследование математических источников XVII—XVIII веков и их сравнение с математической литературой XX века на армянском языке подтверждают, что современная армянская математическая терминология основана главным образом на терминах, взятых из математической литературы, написанной на древнеармянском языке. Печатные математические работы этого периода,

бесспорно, способствовали дальнейшему распространению математических знаний среди армян.

Архивные материалы—математические рукописи и печатные работы—представляют огромную ценность для изучения культуры армянского народа. Эти материалы показывают, что в древних и средних веках армяне владели значительными математическими знаниями, они освоили и развили математическую культуру урартцев и греков. О высоком уровне развития математической науки свидетельствует богатая архитектура, наличие выдающихся памятников материальной культуры, созданной армянским народом в древних и средних веках.

Развитие математики в Армении принимает новый размах, когда армянский народ устанавливает тесные экономические и культурные связи с великим русским народом. С конца XVIII и начала XIX вв. русская математическая наука оказывает свое плодотворное влияние на дальнейшее развитие математики в Армении.

С установлением Советской власти в Армении армянский народ переживает период национального возрождения во всех сферах жизни. Невиданного расцвета достигают физико-математические науки, выдвигающие крупнейших ученых, вносящих большой вклад в дело развития этих наук не только в союзном, но и в мировом масштабе.

* * *

Всесторонне разработанную, цельную историю развития математики в Армении можно создать лишь при условии основательного изучения и издания имеющихся материалов не только по математике, но и по космографии, физике и др. наукам.

ВФ 10841 Заказ 335 Тираж 200

Типография Издательства Ереванского государственного университета им. В. М. Молотова, Ереван, ул. Кирова, 12.