АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

И. К. ПАРНО

УЧЕБНИКИ ТРИГОНОМЕТРИИ И ВОПРОСЫ ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ В РУССКОЙ ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ И СОВЕТСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат к диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — старший научный сотрудник Института методов обучения АПН РСФСР кандидат педагогических наук А. И. Фетисов.

Москва 1950

УЧЕБНИКИ ТРИГОНОМЕТРИИ И ВОПРОСЫ ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЯ В РУССКОЙ ДОРЕВОЛЮЦИОННОЙ И СОВЕТСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ.

Советская школа, являющаяся самой передовой и подлинно демократической школой в мире, имеет огромные достижения в области обучения и воспитания подрастающего поколения.

Учительство нашей страны, руководствуясь постановлениями Партии и Правительства о школе, улучшает из года в год качество учебно-воспитательной работы, добиваясь все более глубоких и прочных знаний учащихся. Об этом свидетельствуют заключения школьных экзаменационных комиссий, отмечающих улучшение с каждым годом знаний учащихся по всем дисциплинам. Это подтверждается также выводами приёмных экзаменационных комиссий высших учебных заведений. В частности неуклонно повышается качество математической подготовки учащихся. Усвоение теоретического материала становится все более сознательным и прочным, улучшаются вместе с тем и соответствующие технические навыки.

Повышение качества знаний учащихся тем более значительно, что к учащимся средней школы, а также и к поступающим в высшие учебные заведения постепенно предъявляются, в связи с экономическим и культурном ростом нашей страны, все более высокие требования.

Однако, при общем повышении качества преподавания и подготовки учащихся, в их знаниях по математике имеют место и серьезные недостатки. В частности, слабой стороной в знаниях учащихся являются целый ряд вопросов, относящихся к свойствам прямых и обратных тригонометрических функций. В практике преподавания тригонометрии в средней школе установилась традиции, благодаря которым страдает в особенности теоретическая сторона курса тригонометрии. Часть учительства рассматривает тригонометрию как учение о решении треугольников, или как своеобразное собрание формул, некоторые из которых применяются к решению треугольников. С такой точки зрения курс тригонометрии сводится к изучению некоторых тригонометрических преобразований и решению треугольников и тем самым снижается идейное содержание предмета, так как вопросам теории тригонометрических функ-

ций, которая способствовала бы обогащению сведений учащихся о функциях вообще, не уделяется должного внимания.

Такое положение вещей в деле преподавания тригонометрии объясняется прежде всего недостатками стабильного учебника тригонометрии Н. Рыбкина, которым продлжает пользоваться большинство преподавателей и учащихся средней школы. Этот учебник в своей первоначальной форме1 был издан в 1889 году и, хотя подвергся с тех пор неоднократным переработкам и исправлениям, все же, в своем настоящем виде, явно отстал от уровня современной науки.

К причинам, обусловливающим недочеты в преподавании тригонометрии относятся также недостатки действующей программы, в которой точка зрения на тригонометрию, как на учение о тригонометрических функциях, еще не нашла должного отражения.

С другой стороны, в связи с стремительным хозяйственным развитием нашей социалистической Родины, выдвигаются по отношению к средней школе новые требования об улучшении политехнического образования учащихся, о более глубоком понимании ими достижений современной техники в промышленном производстве и сельском хозяйстве. Отсюда возникает необходимость внести соответствующие улучшения в преподавание предметов, составляющих основу современной техники. Таким образом, перед школой стоит задача, неустанно повышать качество учебно-воспитательной работы. В связи с этим у нас в стране ведется интенсивная работа по разработке программ и составлению новых учебников и задачников с целью их приближения к современному состоянию математической науки. В частности это относится и к тригонометрии. Несомненно, что традиционное изложение школьного курса тригонометрии необходимо заменить более современным, насыщенным идеями общего учения о функциях и сглаживающим разрыв, который существует в настоящее время между школьным и научным курсом тригонометрии.

Точка зрения на тригонометрию, как на учение о тригонометрических функциях, встречает полное сочувствие среди передовых учителей математики, которые, творчески руководствуясь основными принципами советской педагогической науки, стремятся проложить новые пути в области обучения и воспитания подрастающего поколения.

В этих условиях исключительно важное значение в деле повышения уровня знаний учащихся приобретают пропаганда и внедрение в практику школы богатейшего опыта, накопленного советской школой в области преподавания математики.

Вместе с тем, чтобы понять настоящее в отношении того или иного предмета (в частности, мы имеем в виду тригоно-

1 Н. Рыбкин. Конспект прямолинейной тригонометрии, М. 1889.

метрию), необходимо знать его историю, знать как этот предмет принял свой настоящий вид. С этой точки зрения важно знать как шло обучение тригонометрии в русской дореволюционной школе, как развивались в прошлом методика ее преподавания и взгляды на значение этого предмета в системе среднего математического образования.

Можно полагать, что знакомство учителя математики с различными методами изложения тригонометрии и с развитием методических взглядов на ее преподавание в прошлом будет способствовать выяснению недостатков существующего уровня преподавания курса тригонометрии в средней школе. Если же учитель проникнется сознанием этих недостатков, то он несомненно направит все свои усилия на их устранение и на повышение идейно-теоретического уровня преподавания этого предмета.

Руководствуясь этими соображениями, мы рассматриваем в своей работе развитие учебника тригонометрии и методики ее преподавания в русской дореволюционной и советской средней школе.

Кроме того, принимая во внимание, что трактовка тригонометрии, как учения о тригонометрических функциях, требует составления новых методических разработок некоторых частей курса, нами изложены, на основании изучения и обобщения опыта передовых учителей страны, а также нашего личного опыта работы в школе, отдельные вопросы преподавания тригонометрии, которые, как нам кажется, заслуживают особенного внимания.

Представляемая нами работа состоит из двух разделов.

Первый раздел посвящен учебникам тригонометрии и вопросам ее преподавания в русской дореволюционной школе. Этот раздел состоит из четырех глав.

В первой главе рассматриваются вопросы тригонометрии, содержащиеся в математических руководствах XVIII столетия.

Элементы тригонометрии встречаются уже в «Арифметике» Л. Магницкого (1703 г.), в книге «Геометрия практика» неизвестного автора (первая четверть XVIII столетия) и других.

Л. Магницкий рассматривает в своей книге полухорду дуги в 60 градусов, называя ее синусом 30 градусов, и показывает на ряде задач, как вычислить косинус дуги по данному ее синусу, синус двойной дуги, синус половинной дуги и т. д. Указывается далее, что, пользуясь правилами, изложенными в этих задачах, можно составить таблицу синусов, а с помощью тройного правила — также и таблицы тангенсов и секансов. Тригонометрические величины рассматриваются в книге Магницкого как отрезки в круге произвольного радиуса, который предполагается разделенным на 107 частей. Отсюда, следует, что синус 30 градусов содержит 5 -106 таких частей, а, напри-

мер, синус 15 градусов, согласно приведенным в книге вычислениям, содержит 2 588 190 таких же частей.

В книге «Геометрия практика» тригонометрии посвящены первые две главы. Излагая учебный материал, автор придерживается следующей схемы: сперва формулирует условие задачи в общем виде, затем выбирает соответствующие числовые данные и, наконец, излагает в форме предписания «правило искания» и производит необходимые вычисления.

Первые русские учебники тригонометрии типа «Геометрия практика» — это практические руководства, в которых изложены без доказательства правила решения треугольников и приведены примеры таких решений. Тригонометрия в этих учебниках рассматривается как часть геометрии, которая учит «мерять» стороны и углы треугольников.

В более поздних математических руководствах появляется тенденция перейти от догматического изложения учебного материала, в форме правил и решения задач, к систематическим курсам, в которых теория и решение задач облекаются в геометрическую форму. Тригонометрические величины в этих руководствах представляют собою отрезки (линии), построенные в круге произвольного радиуса для дуг и углов от 0° до 180°. Вопрос о знаках тригонометрических величин пока не ставится. Много внимания в них уделяется способам вычисления таблиц натуральных значений синуса.

В таком духе написаны «Генеральная геометрия» Н. Курганова (1765 г.), «Теоретическая и практическая тригонометрия» Д. Аничкова (1780 г.), «Теоретический и практический курс чистой математики» Е. Войтяховского (1787 г.) и другие (в том числе и переводные учебники).

Предметом тригонометрии, как указывается в этих учебниках, является решение треугольников.

Отмечается, что стороны треугольников не могут быть в простом отношении с соответствующими им углами и поэтому необходимо вместо углов или дуг ввести различные отрезки (линии), которые их «представляют».

Тригонометрические линии определяются в порядке: синус, тангенс, секанс дуги. Косинус, котангенс и косеканс дуги определяются соответственно как синус, тангенс и секанс дополнительной дуги. Радиус круга, в котором строятся тригонометрические линии, называется в этих руководствах «синус целой», так как он содержит в себе, как части, все прочие синусы.

Что касается тангенса и секанса прямого угла, то, как правильно замечает Н. Курганов, они «не определенны».

Для тупых углов принимается, что тригонометрические линии остаются те же, что и для острого смежного.

Вслед за определениями тригонометрических линий излагается в рассматриваемых учебниках вопрос о составлении таб-

лиц. Высказывается в связи с этим мнение, что употребление табличных значений тригонометрических величин становится пснятнее, если предварительно познакомиться с доставляемыми геометрией главнейшими средствами для составления этих таблиц. Доказывается предложение, что синусы1 одного и тою же угла, построенные в разных кругах, относятся между собой как радиусы этих кругов. Отсюда делается вывод, что если вычислить число частей, содержащихся в синусе, построенном в некотором круге, радиус которого разделен, предположим, на 10 7 частей, то найденное число можно применить к синусу любого другого круга при условии, что радиус этого последнего разделен на столько же частей. После этих замечаний показывается в форме задач как вычислить синус (или хорду) двойной дуги и половинной дуги. Так, например, чтобы найти синус двойной дуги предлагается составить следующую пропорцию: синус «целой» (т. е. радиус) так относится к данному синусу дуги, как синус дополнительный той же дуги (т. е. косинус дуги) к половине синуса двойной дуги.

Таким образом, в этих учебниках отсутствуют привычные для нас формулы современной тригонометрии. В том же духе решаются задачи о сложении и вычитании дуг. В решении этих задач указывается лишь путь, которому нужно следовать, чтобы, пользуясь теоремами о подобии треугольников, определить отрезок, представляющий собою синус суммы или разности двух дуг. Вслед за этим показывается как использовать перечисленные выше задачи для составления таблиц синусов.

Наконец, указывается путь к составлению, по найденным значениям синусов, таблиц тангенсов и секансов. Так, для вычисления значений тангенса служит теорема: тангенс дуги так относится к синусу целому, как синус той же дуги к синусу дополнительному этой дуги. Чтобы вычислить значение секанса, нужно составить пропорцию: синус дуги так относится к синусу целому, как тангенс той же дуги к секансу этой дуги. Н. Курганов при записи аналогичных пропорций применяет сокращенные обозначения тригонометрических величин, опуская при этом название соответствующей дуги. Так, например, он пишет в своей книге:

„кос. : син. = R : танг."

и т. п.

Покончив с пояснениями, относящимися к таблицам тригонометрических величин и их логарифмам, авторы разбираемых здесь учебников переходят к вопросу о решении треугольников.

Для решения прямоугольных треугольников служат следующие пропорции:

1 Здесь „синус" означает соответствующую тригонометрическую линию (отрезок)

1°. Синус целый (т. е. табличный радиус) так относится к синусу какого-нибудь острого угла прямоугольного треугольника, как гипотенуза к катету, противолежащему этому углу.

2°. Синус целый так относится к тангенсу какого-нибудь осрого угла прямоугольного треугольника, как катет прилежащий этому углу к катету противолежащему.

Для решения косоугольных треугольников используется теорема синусов, тангенсов и теорема об отношении большей стороны треугольника к сумме двух других сторон. С помощью этой последней теоремы решается задача об определении углов треугольника по трем его сторонам. Ее содержание следующее:

Во всяком разностороннем треугольнике большая сторона так относится к сумме двух других сторон, как их разность к разности отрезков, на которые делится большая сторона соответствующей ей высотой треугольника.

Изучение рассмотренных выше учебников доставляет нам материал, ценный в методическом отношении. Геометрическая форма тригонометрических предложений может послужить источником для составления геометрических задач с тригонометрическим содержанием. Таковы, например, задачи о половинной и двойной дуге (хорде), о сложении дуг (хорд) и т. п. Такого рода задачи можно предлагать учащимся VIII—X классов или в качестве пропедевтического материала до вывода соответствующих формул тригонометрии, или же, после их вывода, в качестве геометрической интерпретации формул тригонометрии.

Наряду с рассмотренными выше учебниками, в XVIII столетии появляются также учебники, написанные под влиянием работ Леонарда Эйлера, определивших аналитическое направление в развитии тригонометрии. В этих учебниках, являющихся наиболее передовыми по тому времени, рассматриваются тригонометрические величины дуг любой четверти окружности, решается вопрос о знаках тригонометрических величин, появляются вместо словесных выражений правил, соответствующие тригонометрические формулы в привычной для нас записи, если не обращать внимания на точку, поставленную после знака каждой из этих величин.

Мы имеем в виду здесь «Сокращения математики» С. Румовского (1760 г.) и «Плоскую и сферическую тригонометрию с алгебраическими доказательствами» М. Головина (1789 г.). В этих учебниках тригонометрические величины определяются в круге единичного радиуса. Указывается, что при любой величине радиуса отношение синуса, косинуса и проч. к радиусу остается неизменным и что отношение всех синусов (косинусов и т. д.) к радиусу и составляет таблицу синусов (косинусов и т. д.). В связи с обобщением определений тригонометрических величин на любую четверть окружности, изучается их изменение при увеличении угла от 0° до 360° и парал-

лельно с этим выводятся формулы приведения. Из формул сложения и вычитания, выведенных для острых углов, получаются обычным путем формулы двойного и половинного угла.

Тригонометрия Румовского уже во многом напоминает современные учебники. На высоком уровне стоит специально посвященный тригнометрии учебник М. Головина. Аппарат формул в этом учебнике получил значительно большее развитие, нежели у Румовского. Так, например, М. Головин, кроме обычных формул, выводит формулы преобразования суммы тригонометрических величин в произведение и ряд других.

Вопрос о решении прямоугольных треугольников М. Головин разрешает с помощью хорошо известных отношений между сторонами этого треугольника.

Для косоугольных треугольников он выводит кроме теоремы синусов и тангенсов также и теорему косинусов (о квадрате стороны треугольника).

Таким образом, в «Сокращениях математики» С. Румовского и в «Плоской и сферической тригонометрии» М. Головина нашли свое отражение достижения математической науки того времени в области тригонометрии. Однако, несмотря на их появление, еще довольно продолжительное время после этого были в хождении также и учебники типа Е. Войтяховского, в которых, как отмечалось, учебный материал излагается в форме геометрических положений.

Рассмотрение названных выше учебников показывает, что русская учебная литература в области тригонометри развивалась вполне самостоятельно и самобытно.

Во второй главе изучаются учебники тригонометрии и вопросы ее преподавания в средней школе первой половины XIX столетия.

До введения в декабре 1845 года Министерством народного просвещения «Распределения преподавания математики в гимназиях», включавшего в себе программы по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии,—содержание гимназического курса математики определяется учебниками, принятыми тогда в школе. К таким относятся «Курс математики» Т. Осиповского (1801—1802 гг.), «Начальные основания чистой математики» Н. Фусса (1812 г.), «Гимназический курс чистой математики» Перевощикова (1837 г.), «Прямолинейная тригонометрия и аналитическая геометрия, приноровленная к курсу гимназий» А. Лесневского (1841 г.) и ряд других (в том числе и переводные учебники).

Как в учебниках того времени, так и в программе (начиная с 1845 г.) тригонометрия рассматривается как наука о решении треугольников. Теории тригонометрических линий отводится в них лишь служебная роль.

Однако, наряду с такой точкой зрения на тригонометрию, в учебной литературе появляется и новое ее понимание. Так,

С. Зеленой в книге «Прямолинейная и сферическая тригонометрия» (1848 г.) указывает, что тригонометрия «в обширном своем значении» занимается исследованием особого рода функций, называемых круговыми.

Тригонометрические величины попрежнему определяются в большинстве рассматриваемых учебников как отрезки (линии) в круге или произвольного радиуса, или радиуса равного единице. Вместе с тем некоторые из авторов довольно близко подходят к пониманию тригонометрических величин как отношений тригонометрических линий к радиусу. Так, А. Лесневский отмечает, что, например, синус 5 градусов и косинус 23 градусов, понимаемые как отрезки, изменяются в зависимости от радиуса круга, в котором они построены, тогда как их отношение к радиусу остается постоянным при любой величине радиуса.

Отдельные авторы начинают различать тригонометрические линии дуг от тригонометрических величин углов. С. Зеленой, например, указывает, что при заданном числе градусов с изменением радиуса изменяются и длина дуги и длина соответствующей тригонометрической линии, величина же угла не зависит от радиуса и поэтому естественно так определить тригонометрическую величину угла, чтобы и она не зависела от радиуса. На этом основании тригонометрическая линия всякого угла определяется как тригонометрическая линия соответствующей ему дуги при радиусе равном единице. Отсюда следует, что тригонометрическая линия угла выражается числом, представляющим ее отношение к радиусу. Для этих чисел вводятся названия: «натуральный синус», «натуральный косинус» и т. д. Однако, как и другие авторы, С. Зеленой, не желая нарушить установившийся порядок изложения тригонометрии, выводит основные формулы для тригонометрических линий дуг при произвольном радусе.

Соотношения, связывающие тригонометрические величины одной и той же дуги (угла), записываются в большинстве учебников первой половины XIX столетия (если не обращать внимания на различия в обозначениях, в постановке показателей и т. п.) в форме:

В части учебников эти пять соотношений даны в форме, которая получается из предыдущей при /?=1, а в отдельных учебниках приводятся обе формы этих соотношений.

Почти во всех рассматриваемых учебниках вывод формул сложения и вычитания для синуса и косинуса, в сущности, тот же, что и в учебниках тригонометрии XVIII столетия, но, в отличие от этих последних, в учебниках тригонометрии первой половины XIX столетия ставится уже вопрос об общности этих формул.

Теорема сложения и вычитания и следствия из нее записываются в них в форме, содержащей, как и предыдущие соотношения, произвольный радиус R, например,

а также, в форме, которая получается из предыдущей при/? = I В большинстве рассматриваемых учебников изложен способ составления тригонометрических таблиц, основанный на использовании приближенного равенства

sin а ä а

и формул сложения.

В связи с вычислением значений тригонометрических величин появляется необходимость вычислять длину дуги окружности единичного радиуса. Так, совершенно естественно, вводится измерение дуг окружности в частях ее радиуса.

Теория решения треугольников получает свое дальнейшее развитие. В учебниках появляются формулы синуса, косинуса и тангенса половины угла треугольника в функции его сторон. Ставится также вопрос о наименьшем количестве уравнений, связывающих элементы треугольника и необходимых для его решения. Формулы, служщиае для решения треугольников, пишутся в предположении, что табличный радиус имеет произвольную величину R, а также и в предположении, что /?=1.

В учебниках появляются, правда в очень ограниченном количестве, упражнения для самостоятельной работы учащихся. Таков, например, учебник прямолинейной и сферической тригонометрии А. Я. Кушакевича и А. С. Киндерева (1840 г.)

Отдельные авторы подчеркивают значение алгебраического метода в курсе тригонометрии, но вместе с тем указывается и на достоинства геометрического метода, как более наглядного.

В «Новых началах геометрии» (1835—1838 гг.) Н. И. Лобачевский дает теорию тригонометрических функций, развиваемую во всей общности аналитическим путем. Он исходит при этом из соотношений между элементами прямоугольного треугольника в евклидовой геометрии.

На рубеже первой и второй половины XIX столетия появляется новое построение школьного курса тригонометрии, начинающегося с теории решения треугольников и завершающегося теорией тригонометрических величин. Такое построе-

ние, с одной стороны, оправдывается самим определением предмета, как состоящего в решении треугольников, а, с другой стороны, этим достигается известное упрощение в изложении этого курса. Здесь имеются в виду «Программа и конспект Тригонометрии для руководства в военно-учебных заведениях» (1851 г.) и «Тригонометрия» Ф. Симашко (1852 г.), отразившие педагогические взгляды академика М. В. Остроградского, требовавшего непрерывной и глубокой связи математики с жизнью.

В третьей главе рассматриваются учебники тригонометрии и вопросы ее преподавания в средней школе второй половины XIX столетия.

Учебная литература по тригонометрии этого периода, по своему содержанию и характеру изложения, отличается большим разнообразием.

По сравнению с первой половиной XIX столетия в курс тригонометрии вводится понятие о функции; тригонометрические величины рассматриваются как функции дуги (угла), а также как функции отвлеченного аргумента; появляются разделы о свойствах обратных тригонометрических функций и о тригонометрических уравнениях.

Значительно увеличивается в учебниках тригонометрии количество примеров и задач для самостоятельной работы учащихся. Уделяется много внимания различным тригонометрическим преобразованиям и решению задач на вычисление треугольников. Появляются отдельные сборники тригонометрических задач.

В большинстве учебников тригонометрия рассматривается как учение о решении треугольников, а теории тригонометрических величин отводится служебная роль.

Однако раздел о свойствах тригонометрических величин, постепенно развиваясь, приобретает в курсе тригонометрии все большее значение. Появляется ясно выраженное разделение этого курса на два отдела: учение о свойствах тригонометрических функций и решение треугольников. В связи с этим видоизменяется и определение предмета тригонометрии как учения о свойствах тригонометрических величин с приложением этих свойств к решению треугольников.

Тригонометрические величины определяются как отношения тригонометрических линий к радиусу или как количества, выражающие размер и направление тригонометрических линий в круге радиуса равного единице. Тем самым понятию о тригонометрических линиях в смысле геометрических отрезков уже отводится служебная роль, как промежуточному при определении тригонометрических величин. В формулы, выражающие различные соотношения между тригонометрическими величинами, уже не входит величина произвольного радиуса R, как это имело место в более ранних учебниках тригонометрии.

В некоторых учебниках тригонометрические величины определяются независимо от круга с помощью отношений отрезков, известным образом построенных для произвольного угла. При таком определении тригонометрических величин не приходится вводить понятие о тригонометрических линиях дуг, благодаря чему достигается известное упрощение в изложении этой части курса тригонометрии.

Наконец, в ряде учебников сперва определяются тригонометрические величины острого угла, как отношения известных отрезков построенных в нем, или же как отношения сторон в прямоугольном треугольнике. Эти определения могут быть непосредственно приложены к решению прямоугольных треугольников, что позволяет учащимся уже в самом начале изучения предмета, уяснить себе целесообразность введения нового1 для них понятия о тригонометрических величинах. В дальнейшем, для обобщения указанных выше определений на случай любого угла, обычно используются тригонометрические линии, построенные в круге.

Выводы, относящиеся к свойствам тригонометрических величин, носят общий характер. Указывается на возможность вывода аналитическим путем формул приведения из нескольких основных.

Алгебраический метод в изложении курса тригонометрии находит себе все большее применение. Однако различные выводы, полученные аналитическим путем, нередко сопровождаются соответствующей геометрической иллюстрацией.

При изучении зависимостей между сторонами и углами треугольника в ряде учебников показывается, что различные системы независимых между собою соотношений, необходимых для его решения, могут быть получены одна из другой. Раздел о решении треугольников значительно расширяется путем включения в него особых случаев решения треугольников. Чтобы легче ориентироваться в массе задач, относящихся к этому разделу, появляется необходимость в их классификации.

В тригонометрических вычислениях имеет место переход от семизначных таблиц логарифмов к пятизначным. Вводятся в практику преподавания также вычисления с помощью таблиц натуральных тригонометрических величин.

Построение школьного курса тригонометрии начинающегося теорией тригонометрических величин, представлено во второй половине XIX столетия всего лишь несколькими учебниками.

Вместе с тем в учебной литературе возникает новое направление, в котором изложение курса тригонометрии начинается с определения тригонометрических величин острого угла и приложения этих определений к решению прямоугольного треугольника в простейших случаях. Затем следуют обобщение определений тригонометрических величин на случай любого

угла, изучение свойств тригонометрических величин и, наконец, приложение этих свойств к решению треугольников.

Наряду с установившимся мнением, что главной целью изучения тригонометрии в школе является решение треугольников и что теории тригонометрических функций следует отводить только служебную роль, появляется новая точка зрения, согласно которой в курсе тригонометрии нельзя ограничиваться только решением треугольников и что, наоборот, элементарную теорию тригонометрических функций, как имеющую большее образовательное значение, следует выдвинуть на первый план.

В предисловии к «Курсу тригонометрии» Н. А. Шапошникова (1880 г.) указывается, что теория тригонометрических функций есть главное звено, связывающее элементарную математику с высшей.

Передовая математическая общественность поднимает вопрос о введении идеи функции в школьный курс математики.

Так в 1892 году на одном из заседаний Комиссии московских преподавателей математики Сердобинским был прочитан доклад по вопросу: «Не следует ли ввести понятие функции, как обязательное для средней школы, и какие именно статьи курса представляют для того наиболее благоприятный материал?»

В этом докладе отмечается, что идея функции является одной из наиболее ценных математических идей в системе общего образования. Для постепенного развития идеи функции, по мнению Сердобинского, могут служить в арифметике изменения произведения и частного, в алгебре теория уравнений, их составление и исследование, теория логарифмов и т. д. Тригонометрия позволяет развить достаточно полно идею круговых и им обратных функций. Что же касается решения треугольников, то оно, по мнению докладчика, должно трактоваться не как цель тригонометрии, а лишь как одно из практических приложений теории тригонометрических функций.

При обсуждении доклада Сердобинского было также указано на желательность знакомства учащихся с графическим изображением функций.

В. П. Шереметевский в статье «Математика, как наука, и ее школьные суррогаты» (1895 г.) подвергает суровой критике программы средней школы по математике в отношении их содержания и выдвигает требование, согласно которому элементарный курс математики должен группироваться вокруг понятия функциональной зависимости. Путем введения понятия о функции, говорится в статье, ряд отделов обычного элементарного курса от арифметики до тригонометрии «были бы освещены с новой лучшей точки зрения». Приведенные факты показывают, что передовая педагогическая мысль в

России надолго опередила движение за реформу преподавания математики в Западной Европе.

В четвертой главе рассматриваются учебники и вопросы преподавания тригонометрии в средней школе начала XX столетия.

В области вопросов, относящихся к улучшению преподавания математики в средней школе, наблюдается в этот период времени особенное оживление.

При Министерстве народного просвещения и учебных округах обсуждаются в целом ряде Специальных комиссий вопросы, связанные с различными проектами реформы средней школы, проектами учебных планов и программ.

По вопросу о преподавании тригонометрии высказывается в этих комиссиях мнение, что изучение тригонометрии следует начинать с наиболее легкой ее части, а именно с решения треугольников, а также, что в курсе тригонометрии следует выдвинуть на первый план учение о тригонометрических функциях с целью развить понятие о функциональной зависимости, о графическом и табличном ее изображении, о непрерывности и периодичности изменения величин и т. д.

На II Всероссийском съезде преподавателей математики тригонометрии посвящается особое заседание. Получает общее признание идея первого концентра тригонометрии, в котором по возможности скорее переходят к решению треугольников.

В учебной литературе начала XX столетия наблюдаются два направления в изложении курса тригонометрии:

а) согласно одному из них изучение свойств тригонометрических функций должно предшествовать приложению этих свойств к решению треугольников,

б) согласно другому считается полезным предпослать решение треугольников изучению свойств тригонометрических функций.

Кроме обычных определений синуса и косинуса дуги, встречается также их определение с помощью координат конца соответствующей дуги.

В качестве иллюстрации хода изменения тригонометрических функций применяются во многих учебниках графики.

Для общности выводов при доказательстве теоремы сложения дуг (углов) используется теория проекций.

Получают большее развитие в курсе тригонометрии разделы об обратных тригонометрических функциях и о тригонометрических уравнениях.

Появляются курсы геометрии, в которых включены первоначальные сведения по тригонометрии.

Высказывается мнение о необходимости приучить учащихся к мысли что не всякое тригонометрическое вычисление производится с помощью логарифмических таблиц и что на

практике при решении треугольников часто применяются и таблицы натуральных значений тригонометрических величин.

Второй раздел работы посвящен учебникам тригонометрии и вопросам ее преподавания в советской средней школе. Этот раздел состоит из четырех глав.

В первой главе рассматриваются программы тригонометрии в советской школе и объяснительные записки к ним.

За годы, последовавшие после Великой Октябрьской социалистической революции, была проделана под руководством партии Ленина — Сталина грандиозная работа по перестройке школы на новых социалистических началах. Определились система и организация советской школы, ее задачи, принципы обучения и воспитания.

Вместе с тем была проделана огромная работа по разработке школьных программ, объяснительных записок к ним и методических указаний.

В области преподавания математики и в частности тригонометрии получили развитие весьма ценные методические идеи относительно связи теории с практикой, связи преподавания математики со смежными дисциплинами.

В объяснительных записках к программам по математике (в особенности последних лет) подчеркивается значение вопросов, представляющих как идейную сторону математики, так и ее техническую сторону, содержатся, в связи с задачей о дальнейшем улучшении качества обучения, указания о борьбе с формализмом, о систематическом повторении пройденного, о домашних заданиях.

Согласно этим программам, первые сведения о тригонометрических функциях и о решении прямоугольных треугольников включены в курс геометрии VIII класса, а основной курс тригонометрии в IX и X классах представляет собою учение о тригонометрических функциях, решение треугольников и практические приложения тригонометрии.

Во второй главе изучаются учебники тригонометрии за период с 1917 по 1933 год и вопросы ее преподавания в советской средней школе.

В учебной и методической литертуре рассматриваемого периода подробно разработаны вопросы о содержании и методике преподавания первого концентра курса тригонометрии. В этом концентре рассматриваются тригонометрические функции острого угла и применение их к решению вопросов геометрии. В ряде учебников эти первоначальные сведения по тригонометрии представляют собою органическую часть курса геометрии.

Содержание второго концентра курса тригонометрии определяется отдельными авторами, как учение о тригонометрических функциях. Раздел о решении треугольников в этом концентре рассматривается как составление, решение и иссле-

дование систем уравнений, определяющих неизвестные элементы треугольника по некоторым данным.

Большое внимание уделяется вопросам обобщения понятий угла и дуги и определения тригонометрических функций.

Эти функции определяются в некоторых учебниках с помощью проекций радиуса вектора на соответствующим образом выбранные оси.

Высказывается мнение, что графики тригонометрических функций следует рассматривать не только как средство для наглядного изображения хода изменения этих функций, но и как средство, дающее возможность изучать свойства тригонометрических функций.

Указывается на значение курса тригонометрии в системе среднего математического образования, как завершающего в известной мере круг элементарных математических знаний и, в то же время, составляющего переходную ступень к так называмой высшей математике.

В третьей главе рассматриваются стабильный учебник тригонометрии Н. Рыбкина и пробный учебник тригонометрии А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника.

Учебник Н. Рыбкина был введен в свое время в качестве стабильного, так как пользовался большой популярностью, благодаря удачному расположению материала, краткости и точности языка. Однако, этот учебник устарел и в настоящее время его нельзя более считать удовлетворительным. Тригонометрия в учебнике Н. Рыбкина представлена, как учение о решении треугольников и, в связи с этим, остается невыясненным значение тригонометрии в других разделах математики, а также в механике и физике. Стабильный учебник тригонометрии не удовлетворяет требованиям современной науки и должен быть заменен.

В 1940 году Учпедгиз выпустил пробным изданием «Тригонометрию» А. Ф. Берманта и Л. А. Люстерника.

В 1947 и 1950 гг. вышли в свет соответственно второе и третье переработанные издания этого учебника. В новом учебнике тригонометрии для средней школы уделяется большое внимание формулировке и развитию идеи функциональной зависимости, тригонометрические функции рассматриваются как функции числового аргумента, показано приложение тригонометрических функций к изучению периодических процессов, достаточно полно изложен вопрос об обратных тригонометрических функциях. Этот учебник тригонометрии можно рассматривать, как вполне соответствующий основным научным и методическим требованиям.

Четвертая глава посвящена вопросам методики преподавания тригонометрии в средней школе. Заслуживают особенного внимания, по нашему мнению, следующие темы:

1. Начальный курс тригонометрии.

2. Радианное измерение дуг и углов.

3. Определение тригонометрических функций.

4. Обратные тригонометрические функции.

Предлагаемые методические разработки написаны в результате изучения и обобщения опыта передовых учителей, а также на основании нашего личного опыта работы в школе.

1°. Раздел о тригонометрических функциях острого угла изложен в стабильном учебнике А. Киселева крайне сжато и потому нельзя ограничиться при изучении начального курса тригонометрии только материалом, содержащимся в этом учебнике.

Традиционное определение тригонометрических функций острого угла, основанное на рассмотрении прямоугольного треугольника, вызывает затруднения при замене его новым определением из второго концентра. Целесообразнее, повидимому, строить, первоначальное определение тригонометрических функций, исходя из непосредственного рассмотрения угла (а не треугольника) и пользуясь для этого отрезками, которые можно назвать кратко наклонной, перпендикуляром и проекцией наклонной.

Новый метод решения задач по геометрии, которым овладевают учащиеся при изучении раздела о тригонометрических функциях острого угла в курсе VIII класса, следует использовать в дальнейших занятиях путем систематического решения соответствующих задач. Нами указываются типы необходимых для этого упражнений.

Естественным завершением первого концентра тригонометрии было бы, конечно, решение также и косоугольных треугольников с помощью теоремы синусов и косинусов. Можно считать, что такое расширение начального курса тригонометрии было бы наилучшим разрешением вопроса о первом концентре.

2°. Вопрос о радианном измерении дуг и узлов обычно излагается в учебниках тригонометрии слишком сжато и потому недостаточно понятно для учащихся.

С другой стороны, в задачниках по тригонометрии нет достаточного количества упражнений, которые способствовали бы лучшему уяснению сущности такого измерения. К тому же в соответствующих упражнениях мера углов, как правило, выражается в долях числа ir, а не в долях угла принятого за единицу (радиана).

При определении новой единицы измерения дуг—радиана, лучше всего исходить, как показывает практика преподавания, из наглядного представления соответствующего геометрического понятия. К этому представлению можно подойти пользуясь выражением 2 тс/? длины окружности. Рассматривая это выражение, учащиеся могут прийти к выводу, что

дуга, длина которой равна R (радиусу), содержится в окружности 27г раз. Чтобы уточнить соответствующий геометрический образ, можно предложить учащимся решить задачу:

Определить число градусов дуги, длина которой равна радиусу.

Для непосредственного измерения дуг и углов в радианах полезно пользоваться прибором, представляющим собою круг, окружность которго разделена на радианы и его доли (радианный транспортир). Учащиеся, определяя с помощью такого прибора радианную меру дуги и вычисляя затем, с помощью формулы s = ос/?, ее длину, наглядно убеждаются в преимуществе радианного измерения перед градусным при решении подобного рода задач.

При прохождении курса тригонометрии следует пользоваться радианным измерением дуг и углов не только в вопросах теории, но также и при решении задач и примеров. Следуют образцы соответствующих упражнений.

При изучении неравенств и отношений между значениями тригонометрических функций и аргумента необходимо вернуться к вопросу о целесообразности введения радианного измерения дуг и углов и показать учащимся, что получаемые при этом формулы имеют наиболее простой вид именно потому, что в качестве единицы меры для дуг (углов) принят радиан.

Так, например, неравенства

sin X < X < tg X

имели бы вид

если пользоваться градусным измерением.

3°. Общее определение тригонометрических функций требует в качестве подготовки обобщения понятия дуги (угла). Это обобщение необходимо, в интересах наглядности и доступности, начинать с рассмотрения движения точки по окружности (вращательного движения), пользуясь для этого подходящими моделями.

Из различных способов, определения тригонометрических функций наиболее целесообразным следует признать векторный способ, при условии, что все углы отнесены к общей вершине и к общему начальному направлению.

Для достижения полного понимания этих определений необходима подготовка, состоящая в том, чтобы дать возможность учащимся освоиться предварительно с понятиями «ось», «направленный отрезок», «вектор», «проекция вектора на ось». Нами даются примеры соответствующих упражнений.

Введению понятия о тригонометрических функциях числового аргумента нужно предпослать рассмотрение числовой

шкалы на окружности произвольного радиуса R. Для иллюстрации такой шкалы можно использовать прибор, о котором упоминалось выше (радианный транспортир). Каждому действительному числу X соответствует на числовой окружности точка M и вектор ОМ, где О—центр окружности и начало координат. Проектируем этот вектор на ось ОХ (ОУ), проходящую через нулевую точку С точку + у) окружности. Отношение полученной проекции к радиусу и представляет собою синус (косинус) числа х. С целью закрепления этих определений полезно проделать ряд упражнений, образцы которых нами составлены.

Весьма важно показать учащимся применение тригонометрических функций для случая, когда их аргументом не является угол или дуга. С этой целью можно рассмотреть, например, движение точки по оси ОУ, закон которого выражается уравнением

у = sin£,

а после этого последовательно предложить учащимся задачи на движение, которые приводят к уравнениям.

В соответствующем месте курса можно рассмотреть сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, но предварительно следует показать, что уравнение

у = asin(ö>£-|-cpo)

может быть преобразовано к виду

у = A sin со t + В cos со t

и обратно.

Наконец, следует также сказать учащимся, в подходящий момент, что именно благодаря введению числового аргумента можно ставить вопрос о соотношениях между значениями тригонометрических функций и их аргумента.

4°. В связи с изучением обратных тригонометрических функций возникает вопрос: следует ли при этом исходить из понятия многозначной функции. Этот вопрос можно считать предрешенным в школьном курсе тригонометрии с того момента, когда мы знакомим учащихся с задачей отыскания дуг (углов) по значению тригонометрической функции. Понятие многозначной функции появляется при этом само собой и нам остается в разделе курса об обратных тригонометрических функциях дать определение понятию, которое уже имеется в сознании учащегося и заняться после этого выделением однозначных непрерывных ветвей соответствующей многозначной функции.

Этот раздел следует начинать с введения общего понятия обратной функции, рассматривая обратные тригонометерические функции как частный случай. Необходимо использовать при этом в должной мере графики прямой и обратной функций, а также и тригонометрический круг.

На примерах таких функций как

у = 2х + 4; у = - Зх + 6; у = л:2; у = 10*

напоминаем учащимся понятия функции и аргумента, а также понятие взаимно-обратных функций. Переходя к функции у = sin X, пишем решение уравнений:

соответственно в форме

Обращаем внимание учащихся на то, что функции в рассмотренных примерах являются однозначными, тогда как обратные им не все однозначные. Выясняем, пользуясь графиками, причину этого факта. После этого можно предложить учащимся выделить на графике функцииy = sinx такие промежутки значений аргумента, для которых эта функция либо только возрастает, либо только убывает и затем вводим понятие о главных значениях функции Ars sin у. Следуют упражнения для закрепления этого понятия.

Чтобы перейти к обычным обозначениям аргумента буквой X, а функции буквой у, необходимо на более простом примере, путем непосредственного построения соответствующих графиков, напомнить учащимся, что графики одной и той же функции

x=f(y) и у -/{*)

(т. е. при замене в аналитическом выражении функции буквы у буквой X и обратно) располагаются симметрично относительно биссектрисы первого координатного угла.

В дальнейшем, при изучении свойств обратных тригонометрических функций, необходимо соответствующие аналитические доказтельства иллюстрировать геометрическими доказательствами. Эти последние могут быть предложены учащимся в качестве упражнений для самостоятельной работы. Геометрические доказательства помогают учащимся легче разобраться в сущности выводимых соотношений. Нами приведены примеры таких доказательств.

Мы не коснулись в этой главе других, не менее важных, вопросов преподавания тригонометрии, так как часть из них были достаточно подробно освещены в нашей работе в связи

с изучением учебно-методической литературы по тригонометрии, а по другим из этих вопросов (например, о тригонометрических уравнениях) имеется достаточно обширная методическая литература.

В заключении к работе выражается надежда, что наш скромный труд будет способствовать в некоторой мере разрешению вопросов, связанных с пересмотром программ, составлением нового стабильного учебника тригонометрии, совершенствованием методики ее преподавния и тем самым послужит делу дальнейшего улучшения работы школы, задача которой — готовить всесторонне развитых и образованных граждан социалистического общества, активных строителей коммунизма.

Л 08166 22/XI 1950 г. Зак. 1187 Тир. 100

Типография Изд-ва АПН. Москва, Лобковский пер., 5/16.