Московский областной государственный педагогический институт им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Г. А. ОСОСКОВ

Преподавание алгебры в старших классах советской школы в связи с введением начал математического анализа

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики

Научный руководитель член-корреспондент АПН профессор И. К. АНДРОНОВ

Пенза, 1958

Кафедра высшей алгебры и элементарной математики Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской.

Официальные оппоненты:

1) Доктор физико-математических наук профессор В. И. Левин.

2) Кандидат педагогических наук К. С. Барыбин.

Защита диссертации состоится 1958 г. на Ученом Совете физико-математического факультета Московского областного педагогического института им Н. К. Крупской. А /

Автореферат выслан а/// 1958 г

Ученый секретарь института

XIX, а затем и XX съезды КПСС в своих директивах направили среднюю школу на осуществление политехнического обучения. Особую роль в деле политехнического обучения играет математика. Особенность математики заключается в абстрактности понятий, с которыми она имеет дело, в логической строгости и в чрезвычайной широте ее применения. Уже натуральное число, как результат счета, представляет собой далеко идущую абстракцию. Впрочем, абстракция не является исключительной принадлежностью математики, она свойственна всякой науке. Однако математическая абстракция имеет свою специфику: изучая какое-либо явление, математик отвлекается от всего прочего, кроме количественных отношений и пространственных форм. Математические абстракции проходят через ряд ступеней, возникая в результате все большего и большего обобщения. Так, например, обобщая ступень за ступенью понятие числа, получают: натуральные числа, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и т. д.

Исключительная широта применения математики представляет одну из ее характерных особенностей. Мы постоянно пользуемся выводами математики в быту, на производстве, в общественной жизни; вся современная техника была бы невозможна без математики, и, наконец, почти все науки более или менее существенно пользуются математикой.

Нам представляется, что и в преподавании математики в средней школе должны подчеркиваться основные ее особенности с тем, чтобы окончившие среднюю школу понимали эти особенности, осознали значение математики и в определенной степени владели ее методами. Однако с этой точки зрения у нас еще до сего времени дело обстоит не совсем благополучно. Для подтверждения этого достаточно указать на то, что в средних школах не знакомят учащихся с величайшими достижениями математики, начиная со времен Ньютона и Лейбница.

В частности, в школьном курсе математики до сего времени слабо представлены начала математического анализа, хотя необходимость их введения в среднюю школу признается многими авторитетными деятелями физико-математических наук и передовыми педагогами-математиками. Неудовлетворительно поставлено в шко-

ле и изучение темы «Комплексные числа». В диссертации сделана попытка приблизить решение этих весьма важных и наболевших вопросов.

Диссертация состоит из двух глав и приложений:

1) К истории преподавания алгебры в старших классах средней школы.

2) Преподавание начал математического анализа в последних классах.

3) (Приложение). Методика постановки изучения в средней школе темы «Комплексные числа».

Первая глава посвящена историко-математическому анализу вопроса о преподавании алгебры в последних классах средней школы. Она отражает борьбу за введение элементов математического анализа в курс средней школы, начиная со второй половины XIX века до настоящего времени.

Такой исторический обзор не просто дань сложившейся традиции в построении диссертационных работ. Он необходим и по существу, если учесть, что введение элементов математического анализа в среднюю школу и по сей день имеет как многих сторонников, так и немало противников. Этот факт показывает, что исследуемый вопрос не так прост. Поэтому, прежде чем категорически высказаться за целесообразность введения понятия производной в старший класс средней школы, необходимо было детально разобраться в указанной борьбе мнений на протяжении последних 80—100 лет.

Возникший в начале второй половины XIX века капитализм в России поставил перед школой новые задачи. Для сравнительно быстро развивавшейся промышленности потребовались технические кадры, в связи с чем увеличивается сеть высших и средних учебных заведений. Средняя школа с ее классическим уклоном не была способна готовить людей ни к практической деятельности, ни к продолжению образования в высших технических учебных заведениях. Передовая часть русского общества вела борьбу за реальное образование, как наилучшим образом отвечающее запросам промышленности.

Русские математики М. В. Остроградский, П. Л. Чебышев, Н. В. Бугаев и другие, а вслед за ними и передовые педагоги и методисты, например С. И. Шохор-Троцкий, В. П. Шереметевский и другие, высказывались за повышение научного уровня преподавания школьной математики и в частности предлагали включить в программу средней школы начала математического анализа.

В диссертации критически рассматриваются материалы московских совещаний, происходивших в 1899 году, и труды комиссий при министре народного просвещения Н. П. Боголепове, в частности проекты новых программ по математике, составленные Г. X. Херсонским и Н. А. Рыбкиным.

Хотя реформа, предусматривавшаяся Н. П. Боголеповым, и не была проведена в жизнь, однако работа по подготовке к ней, как это видно на примере математиков, принесла определенную пользу: значительно оживилась методическая мысль в России того времени.

Вопрос о коренном пересмотре программ преподавания математики в средних учебных заведениях снова и снова ставился и в Ученом комитете Министерства народного просвещения, и на различных совещаниях, и в обществах. Однако решался он весьма медленно. Так, например, еще в 1895 году в решениях 2-го съезда русских деятелей по техническому и профессиональному образованию предлагалось изменить программы преподавания математики в реальных училищах. Но лишь в 1906 году под давлением революционных событий 1905 года царское правительство согласилось на реформу преподавания математики в реальных училищах.

В диссертации дается анализ программ по алгебре, введенных в 1906 г. в реальные училища. В частности, усматривается перегруженность этих программ учебным материалом вообще, элементами же высшей математики в особенности; отмечается отсутствие органической связи программы для 7-го дополнительного класса с программами остальных классов.

Несмотря на указанные недостатки, большинство ученых-математиков и передовая педагогическая общественность того времени приняли программу реальных училищ в целом благожелательно.

В § 2 первой главы подробно анализируются некоторые учебники (Д. Н. Горячева, А. Воинова, М. Г. Попруженко), изданные в 1907—1913 годах.

§ 3 той же главы посвящен анализу преподавания алгебры в выпускном классе гимназий в первые годы XX века (1902—1917).

В этот период гимназии работали по планам и примерным программам 1890 года. В этих программах, бедных идеями, преобладают вычислительно-синтетические элементы, мало уделено внимания аналитическому методу. По-прежнему они перенасыщены разделами, не имеющими ни учебно-воспитательного, ни практического значения (извлечение квадратного корня из многочленов и кубического корня из чисел и т. п.), которые еще в XIX веке передовая педагогическая общественность неоднократно предлагала изъять из программ.

С другой стороны, в программе отсутствуют такие важнейшие понятия, как понятие о координатном методе, функции, понятия действительного и комплексного числа и т. д. Таким образом, гимназисты умели возводить в степень и извлекать корни, но не имели ни малейшего представления о степенной и показательной функциях; логарифмировали, не имея понятия о логарифмической функции; слабо представляли себе развитие понятия числа и т. п.

Отсюда неизбежная оторванность предмета алгебры от жизни, науки и техники, где мы постоянно наблюдаем изменения величин, находящихся в функциональной зависимости.

Постановка преподавания математики в гимназиях не могла удовлетворять растущие потребности науки и техники. Видные деятели университетского и высшего технического образования (профессоры Д. М. Синцов, К. А. Поссе и другие) неоднократно отмечали слабость математической подготовки оканчивающих гимназии.

Передовая часть учительства и научных деятелей искала выход из создавшегося положения. В 1906—1907 годах Киевское физико-математическое общество выработало проект программы преподавания математики. В 1908 году Варшавский кружок преподавателей физики и математики предлагает свой проект учебного плана для мужских гимназий. Математический отдел учебно-воспитательного комитета при С.-Петербургском педагогическом музее военно-учебных заведений в течение 1908—1911 гг. ставит вопросы, связанные с реформой математического образования.

Во всех этих проектах и разработках предлагалось перестроить курс математики с введением в 7 и 8 классах элементов высшей математики. С аналогичными проектами и предложениями о перестройке программ преподавания математики в гимназиях выступили участники I (1911 г.) и II (1913 г.) Всероссийских съездов преподавателей математики. Ни одному из этих проектов и предложений так и не суждено было осуществиться в царской России. Большая часть их была осуществлена лишь в советской средней школе.

В §§ 4 и 5 рассматривается преподавание алгебры в выпускных классах советской средней школы с 1917 г. до 1943 г. (§4) и с 1943 года по настоящее время (§ 5).

Первым программным документом по математике был «Проект примерного плана занятий по математике на первой ступени единой трудовой школы-коммуны», разработанный в 1918 году естественно-математическим подотделом по реформе школы при Народном комиссариате просвещения.

«Материалы по образовательной работе в трудовой школе» не были в полном смысле слова программами, так как давали лишь общие положения и перечень вопросов для каждого года обучения, не раскрывая подробно их содержания. Однако проект учебного плана 1918 года сыграл положительную роль в деле общей установки математического образования. На первое место в нем выдвигались разделы, имеющие первостепенное значение для решения прикладных вопросов, подчеркивалась необходимость связи теории с практикой. В программе по алгебре, например, на первый план ставились идея функциональной зависимости, координатный метод и т. п.

Вместе с тем составители проекта не учли возрастные возможности учащихся, перегрузили программы теоретическим материалом и тем самым сделали их нежизненными, неприемлемыми для учителей.

Учителя вынуждены были работать в основном по старым программам, внося в них те или иные изменения из нового проекта.

В 1920 году были составлены новые учебные планы и примерные программы для школ II ступени. Эти программы полнее отражали передовые идеи русских прогрессивных методистов конца XIX и начала XX века, а также учитывали уже опыт молодой советской школы. Поэтому они представляли собой большой шаг вперед по сравнению с программами 1918—1919 гг.

Программы начинаются с вводной статьи, в которой дается обоснование необходимости и возможности реформы преподавания математики. Эта статья свежо звучит и сегодня.

Курс алгебры, так же как и по программам 1918—1919 гг., заканчивался элементами высшей математики. Однако он в отличие от курса, предусмотренного проектом 1918—1919 гг., был по объему значительно меньшим и тем самым более реальным для выполнения.

В выпускном классе предполагалось прохождение следующих разделов математического анализа, переменная величина; предел, бесконечно малая и бесконечно большая, производная, интеграл.

В объяснительной записке авторы примерных программ (по алгебре Д. Э. Таннер, по элементам математического анализа и аналитической геометрии — Г. М. Фихтенгольц) совершенно правильно утверждали: «Понимание основных положений современной науки о природе (в широком смысле) и сознательное отношение к важнейшим проявлениям человеческой математической культуры настоятельно требует от каждого знакомства с плодотворными идеями высшего математического: анализа. В то же время эти идеи давно уже освободились от окружавшего их раньше метафизического тумана и могут быть изложены с такой кристальной ясностью и простотой, которые делают их доступными каждому» (подчеркнуто нами.—Г.О.)1).

Элементы математического анализа в примерных программах на первый взгляд напоминают соответствующие разделы программ для реальных училищ 1906 года. Однако это сходство кажущееся. Программы седьмого класса реальных училищ были некоторым «довеском» и никакой органической связи с программным матери-

1) Примерные программы по математике. Вып. 3. Алгебра и элементы математического анализа в Единой трудовой школе. Москва, 1921, стр. 20.

алом низших классов не имели. В примерных же программах 1921 года мы наблюдаем совершенно иное. Уже к четвертой группе II ступени (9-й класс), где предполагалось прохождение элементов математического анализа, учащиеся должны были познакомиться с понятием функции, усвоить пределы, научиться строить графики и т. п.

Несмотря на некоторые недостатки программ по математике советской школы 1918—21 гг., им присуща общая положительная черта — это тенденция сблизить математику с практической деятельностью, с другими дисциплинами, наукой и техникой. Весь курс школьной алгебры, например, пронизан идеями функциональной зависимости и доводится до своего естественного завершения введением элементов математического анализа в последнем классе.

Однако этот курс проводился далеко не во всех школах. Главнейшими причинами этого являлись: отвлечение всех сил страны на защиту завоеваний Октября и на ликвидацию последствий двух войн — империалистической и гражданской. Кроме того, давали себя знать отсутствие надлежащих учебников и недостаточная подготовленность педагогического персонала к проведению этой программы.

Начиная с 1923-24 учебного года, школы переходят к работе по программам, составленным Научно-педагогической секцией Государственного ученого совета (программы ГУСа) применительно к комплексной системе преподавания. Изучение отдельных предметов по этим программам было подчинено так называемым «комплексным темам», в результате чего уничтожалась специфика каждого отдельного предмета, нарушалось его логическое построение. В качестве учебных пособий употреблялись рабочие книги.

При такой постановке народного образования не приходилось говорить о повышении научности преподавания математики; вопрос о введении элементов математического анализа в школьный курс алгебры отодвигался все дальше и дальше.

Постановления ЦК партии о школе от 5 сентября 1931 года и от 25 августа 1932 года положили конец неудовлетворительному состоянию учебной работы в школах. В том же постановлении ЦК ВКП (б) от 25 августа 1932 года выдвигалось требование перехода к десятилетней школе. В 1933 году были составлены новые программы для этой школы. Согласно этим программам вся элементарная математика заканчивалась в 9 классе, а в 10-м предполагалось изучение элементов математического анализа и аналитической геометрии.

В 1934-35 учебном году к программе средней школы были даны дополнительные указания, а именно: учебный материал, первоначально предназначавшийся для девяти классов, был распределен на 10 лет обучения, исключены были начала высшей математики.

Эти изменения были вызваны тем, что обследования постановки преподавания математики, проведенные в мае и декабре 1934 года в весьма значительном числе школ РСФСР, показали, что результаты, достигнутые в преподавании математики, не стоят на должном уровне1).

Программы 1934-35 учебного года лежат в основе современных программ и в дальнейшем претерпели незначительные изменения. Эти изменения коснулись, главным образом, интересующих нас вопросов.

Так, в программах 1948 года существенному изменению подвергся раздел о пределах. Концепция предела переменной величины заменена понятием предела числовой последовательности. Исключено и понятие о бесконечно малой величине.

Опыт последующих лет показал, что это мероприятие не оправдало себя. В результате удаления понятия предела переменной величины из школьного курса математики оказалось невозможным более или менее серьезное изучение раздела о пределах. Более того, при том количестве часов, которое отводилось на прохождение этого раздела, большинством учащихся понятие предела последовательности не усваивалось. В подтверждение этого тезиса приводятся выдержки из ежегодно публикуемых в журнале «Математика в школе» отчетов об итогах экзаменов на аттестат зрелости и приемных испытаний в вузы. Приводятся на этот счет и собственные исследования автора.

В диссертации сделана попытка выявить причины замены концепции предела переменной величины понятием предела числовой последовательности. Далее выясняется, к каким последствиям привела такая замена. Главнейшим из этих последствий является то, что пришлось отодвинуть на более позднее время решение вопроса о включении элементов математического анализа в школьный курс алгебры, ибо введение названных элементов на базе понятия предела последовательности педагогически не оправдывается.

Дается краткий исторический обзор развития понятия о пределе, из которого видно, что наиболее приемлемой основой для расширения учения о функциях в средней школе являются понятия бесконечно малой и предела переменной величины.

1) Программы средней школы, Математика. Наркомпросе РСФСР. Москва, 1935, стр. 2.

После окончания Отечественной войны 1941—1945 гг. педагогическая общественность вновь поднимает вопрос о повышении идейного уровня преподавания математики. В 1947 году в Министерстве просвещения РСФСР возникает план преобразования средней школы из десятилетней в одиннадцатилетиюю. В диссертации дается анализ проектов программ (их было составлено два), один из которых включал в себя элементы математического анализа. Эти проекты программ остались без применения, ввиду того, что одиннадцатый класс не был открыт.

Еще больший размах получило движение за улучшение постановки преподавания математики в средней школе после XIX и XX съездов КПСС, направивших школу по пути осуществления политехнического образования. Вопрос о политехническом обучении в общеобразовательной школе поставлен так остро на данном этапе развития СССР потому, что наша страна под руководством Коммунистической партии построила уже социалистическое общество и приступила к постепенному переходу к коммунистическому обществу. Но коммунистическое общество немыслимо без высокой техники, основанной на достижениях современной науки. Для того, чтобы успешно работать на любом участке нашего социалистического производства, нужно знать основы современной науки и техники, владеть в совершенстве избранной специальностью. Известно, что не существует ни одной специальности, связанной так или иначе с производством и техникой, при подготовке к которой не требовались бы элементы математического анализа. Ведь «...сила и общность методов дифференциального и интегрального исчисления таковы, что, не ознакомившись с ними, нельзя как следует понять все значение математики для естествознания и техники и даже полностью оценить всю красоту и увлекательность самой математической науки»1).

Появились новые проекты программ преподавания математики с включением в них начал анализа. В 1957 году издаются согласно этим программам новые учебники: задачник П. А. Ларичева, учебник; «Алгебра» под редакцией А. И. Маркушевича и «Алгебра» А. Н. Барсукова. Последние 30 страниц § 4-го диссертации посвящены критическому анализу этих программ и учебников.

Во второй главе диссертации, состоящей из трех довольно обширных параграфов (124 стр.), предлагается содержание курса элементов математического анализа е последних классах средней школы и разбираются вопросы общей и частной методики его преподавания.

1) А. Н. Колмогоров. О профессии математика. Москва, 1952, стр. 12.

Учение о функциях в современной средней школе делится на два этапа: в младших (V—VII) классах—функциональная пропедевтика, в старших же — систематическое изучение функций. В явном виде определение функции дается уже в VIII классе. Здесь мы рекомендуем ввести понятия «интервал» (открытый промежуток), «отрезок», (замкнутый промежуток), «окрестность данной точки». В 9-м классе изучаются пределы переменной величины, показательная, логарифмическая и тригонометрическая функции. Совершенно правильно в объяснительной записке к существующей программе рекомендуется свойства показательной функции иллюстрировать на ее графике, а свойства логарифмической функции рассматривать как следствие соответствующих свойств показательной функции. Тригонометрические функции изучаются на координатной основе. Вводится функциональная терминология: понятие четности и нечетности функций, понятие тригонометрической функции числового аргумента и области их определения, понятие периодичности функций и т. п. Таким образом, имеются все основания утверждать, что ученики 9-го класса переходят в 10-й класс уже хорошо подготовленными для успешного изучения функций на базе понятия производной.

Мы считаем, что элементы математического анализа должны войти в круг школьной алгебры в виде тех же двух тем, которые предполагалось ввести в программу 1959-60 учебного года, а именно: 1) «Теория пределов» и 2) «Функции и их исследование».

Однако содержание этих тем мы предлагаем значительно изменить. Надо восстановить в средней школе понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины, ввести понятие непрерывности и т. д.

В диссертации раскрывается содержание этих тем. Так, учение о пределах в IX классе рассматривается в такой последовательности.

Понятие о бесконечно малой и бесконечно большой величинах. Основные теоремы о бесконечно малых величинах. Предел переменной величины. Основные теоремы о пределах. Два признака существования предела переменной величины (Гурьева и Вейерштрасса, признак Вейерштрасса дается без доказательства).

Функции и их исследование в 10 классе рассматриваются в такой системе.

Краткий обзор ранее изученных функций — постановка задачи. Обозначение функции и ее числового значения. Приращение аргумента и функции. Понятие о непрерывности функции в точке. Точки разрыва. Пропорциональность приращения функции приращению ее аргумента как основное свойство линейной функции,.

Средняя и мгновенная скорости неравномерного процесса. Понятие о производной функции. Скорость и ускорение прямолинейного движения. Геометрическое значение производной. Касательная к кривой линии. Производная суммы, произведения, степени и частного. Производная целой рациональной функции от одной переменной, sin к

Предел отношения х при условии, что х стремится к нулю. Производные функций sii mx и cos mx . Применение производной к изучению изменения функции: возрастание и убывание функции в данном промежутке. Максимум и минимум функции. Построение графиков функции с использованием понятия производной.

Далее мы останавливаемся на применении дидактических принципов обучения в приложении к элементам математического анализа (1. Систематичность обучения. 2. Сознательность усвоения знаний учащимися. 3. Прочность усвоенных знаний. 4. Доступность обучения. 5. Наглядность). Исследуется доступность начал математического анализа учащимся средней школы (данные М. Г. Попруженко, А. С. Шумова, О. И. Смирновой и других).

§ 2 посвящен частной методике преподавания темы «Пределы», а § 3 — темы «Функции и их исследование». Из выводов по этим параграфам отметим следующее:

Мы приветствуем то, что в программе Министерства просвещения понятие предела развивается на общей основе переменной величины. Однако и с некоторыми новыми деталями программы преподавания темы «Пределы» мы не можем согласиться. Например, программой предусмотрено, что основные теоремы о пределах даются без доказательства, но это нельзя считать оправданным.

Какие могут быть доводы в пользу такого изложения?

Считаем, что их можно свести к двум основным: 1) недоступность доказательств этих теорем пониманию учащихся и 2) недостаток времени. Действительно, из всех теорем, перечисленных в программе, доказательство теоремы о существовании предела ограниченной возрастающей (убывающей) переменной величины довольно трудно для учащихся. Эту теорему следует дать без доказательства.

Однако этого в других случаях следует избегать, и именно по следующим причинам. Изучение математики преследует несколько целей. Одной из самых важных является, конечно, приобретение навыков, необходимых в практической деятельности человека. Нельзя игнорировать и другую, не менее важную задачу преподавания математики, именно задачу развития логического мышления учащихся.

Изучение элементарной геометрии даже в 6-ом классе средней школы носит у нас достаточно строгий характер. В 9-ом же классе программа предлагает изучать пределы почти без доказательств. При нестрогом изложении материала учащиеся будут вспоминать ту или иную теорему, ту или иную формулу, тогда как больше нужно размышлять, уметь выводить эту формулу или теорему. Часто учащийся и даже студент на тот или иной вопрос отвечает «не знаю» или «не помню», не пытаясь хотя бы немного поразмыслить и сделать соответствующий вывод, являющийся ответом на поставленный вопрос. Общеизвестно, что большинство формул тригонометрии легко логически выводимо из небольшого числа исходных положений, так что все формулы специально запоминать не следует. Известно также, что запомнить процесс вывода значительно легче, нежели механически запомнить результаты.

Все это говорит за доступное и достаточно строгое изложение любой темы в средней школе, в том числе и темы «Пределы».

Теоремы о пределе суммы, произведения и частного мы рекомендуем изучать с доказательством, для чего достаточно пополнить программу понятием бесконечно малой величины и несколькими теоремами, касающимися свойств бесконечно малых, которые к тому же и сами по себе являются достаточно важными. Что касается бюджета времени, то, безусловно, потребуется увеличить число часов на эту тему с 6 до 10 или 11, которые при желании можно найти.

Следует заметить, что и авторы программ также придают теме о пределах большое значение. Так, в объяснительной записке к ней говорится: «В IX классе, прежде чем на уроках геометрии приступить к теме «Длина окружности и площадь круга», необходимо на уроках алгебры дать понятие о пределе переменной величины. Теоремы о пределах можно сформулировать и принять без доказательства. Не следует особенно углублять и расширять материал, но необходимо, чтобы введенные понятия были правильно усвоены учащимися, рассматриваемые свойства предела хорошо поняты ими (что достигается рассмотрением соответствующих примеров) и чтобы в дальнейшем при всех выводах, требующих применения теории пределов, учащиеся твердо опирались на изученные ими теоремы» (подчеркнуто нами.—Г. О.)1).

Перед учителем математики авторы программы поставили неразрешимую задачу. С одной стороны, введенные понятия должны быть правильно и хорошо поняты, а с другой стороны, оказывается, от учащихся не требуется овладение логикой доказательства теорем о пределах, Эти два требования несовместимы, тем более если

1) Программы средней школы на 1957.58 учебный год, Математика, Учпедгиз, 1957, стр. 16—17.

учесть, что на всю теорию пределов вместе с упражнениями рекомендуется затратить только шесть часов. Всем математикам известно, что любое понятие, в том числе и понятие о пределе, только тогда прочно войдет в сознание учащегося, если оно работает в некоторой теории. Известно также, что юный ум не выносит догматизма.

На первых же уроках прохождения темы «Функции и их исследование» следует повторить определение понятия функции и свойств элементарных функций, изученных в 7—9 классах. В результате повторения учащиеся хорошо должны себе представлять, что эти функции являются не чем иным, как абстракциями от конкретных функциональных зависимостей, наблюдаемых в окружающем нас реальном мире.

Предлагается план повторения элементарных функций.

Затратив на обзор изученных функций 5—6 уроков, необходимо перейти к дальнейшей ступени абстракции, состоящей в том, что рассматривают не данную зависимость у от х , как у=^ах2, y=tgx,y=logx и т. п., а функциональную зависимость у отх вообще.

При повторении обращается внимание учащихся на сравнительную трудность решения таких вопросов, как установление промежутков монотонности, нахождение наибольших и наименьших значений функции. Здесь и целесообразно сказать учащимся о том, что в дальнейшем речь будет идти об изучении свойств функций вообще, а рассмотренные ранее конкретные функции будут употребляться лишь как примеры, как иллюстрации, подтверждающее то или другое утверждение о функциях.

Аргументируется необходимость введения понятия непрерывности в школьный курс математики.

Непрерывность функции разъясняется геометрически, и затем дается ее аналитическое определение.

К понятию производной можно прийти двояким путем: 1) Путем рассмотрения вопроса о проведении касательной к кривой в данной точке. 2) Путем решения задачи о скорости прямолинейного движения. Поскольку в основу изучения элементов анализа мы кладем процессы, наблюдаемые в природе, то, естественно, мы предпочитаем второй путь. Прежде чем сформулировать определение производной, мы разбираем задачи: 1) о скорости прямолинейного движения, 2) о скорости химической реакции, 3) о теплоемкости. После этого скорость изменения функции рассматривается в наиболее общем случае, путем абстрагирования от конкретных процессов. После чего дается определение производной функции от данной функции.

Приводится ряд примеров на приложение производной к физике, химии, естествознанию и технике. Вот некоторые из них: 1) скорость и ускорение прямолинейного движения; 2) угловая скорость вращения твердого тела; 3) линейная плотность проволоки; 4) сила переменного тока в данный момент времени; 5) скорость радиоактивного распада; 6) угловой коэффициент касательной и т. п.

Отправляясь от конкретной задачи, устанавливаются понятия max и min функции, выводятся необходимый и достаточные признаки существования экстремальных точек функции. Дается правило нахождения максимума и минимума. Все это сопровождается достаточным числом задач прикладного характера.

Затем рассматривается вопрос о применении теории максимумов и минимумов к построению графиков функций.

Считаем особо важным дать в руки учителю продуманный сборник задач и упражнений по диссертационной теме, в основном проверенный педагогическим экспериментом. Поэтому в частной методике ко, всем разделам начал анализа дан большой набор необходимых задач (около 180), причем особое внимание обращается в них на вопросы, которые ведут учащихся к сознательному пониманию теории, и на задачи прикладного характера, столь нужные в общеобразовательной политехнической школе

Решению задач на максимум и минимум из различных областей науки и техники необходимо уделить возможно больше времени. Наличие формул дифференцирования целой рациональной функции (многочлена), частного функций и тригонометрических функций уже позволяет решать многие задачи на экстремум. Приводятся решения более десяти задач политехнического содержания, снабженные методическими указаниями.

В заключение 2-й главы дается примерный рабочий план по теме; «Функции и их исследование. Производная» и сообщаются результаты эксперимента, проведенного в школе.

Автором в 1953 году была составлена поурочная методическая разработка тем: «Пределы переменной величины» (на 12 часов) и «Функции и их исследование. Производная» (на 40 часов). Разработка подверглась экспериментальной проверке в математических кружках в 4-й школе г. Пензы в 1954 году и в Рамзайской средней школе Пензенской области в 1955-56 и в 1956-57 учебных годах.

Эксперимент показал, что изучение элементов математического анализа по изложенной в диссертации методике вполне доступно пониманию учащихся. Кружковцы по завершении работы овладели понятием предела, усвоили понятие производной, научились применять его к решению задач.

В приложении к диссертации дается методика изучения в средней школе темы «Комплексные числа».

Это приложение состоит из трех параграфов. § 1 посвящен критическому анализу постановки преподавания темы «Комплексные числа» в современных учебниках и учебных пособиях школьной алгебры. В § 2 рассматривается изложение комплексных чисел с помощью теории пар. Теория пар, по мнению автора, является лучшей научной основой для построения методики преподавания темы «Комплексные числа» в школе. Затем приводится краткое изложение методической разработки этой темы (§ 3).

В заключение дается примерный рабочий план и сообщаются результаты проведенного эксперимента.

В течение ряда лет методические установки автора проверялись в различных школах г. Пензы, главным образом при проведении педагогической практики. Результаты, по отзывам учителей и по нашим наблюдениям, всегда были удовлетворительными.

В 1957-58 учебном году разработка подверглась еще одной проверке в 4-й школе г. Пензы, базовой школе пединститута. Устный опрос и контрольная работа показали, что учащиеся усвоили основные идеи проходимой темы (см. приложение № 4).

По поводу места и роли темы «Комплексные числа» отмечается, что имеющаяся в некоторых проектах программ тенденция ограничить материал этой темы только самими началами алгебры комплексных чисел без каких бы то ни было их приложений (хотя бы к решению двучленных уравнений) не может быть признана правильной. Введение понятия комплексного числа, столь важного в современной математике и ее приложениях, оправдано лишь тогда, когда это сильное понятие «работает» применительно к известным учащимся объектам и вопросам.

ФЛ.04310. 15.VIIL1958 г. Типография изд-ва газеты «Пензенская правда»

Тираж 150. Заказ 3292.