МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

М. И. ОСИПОВА

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ СТЕПЕНИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике математики.

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент А. Н. БАРСУКОВ.

Москва — 1958 г.

Защита состоится в Московском Государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина

« » 1958 года

Автореферат разослан

1958 г.

ВВЕДЕНИЕ

XX съезд КПСС в своих исторических решениях поставил перед советской школой большие задачи, направленные на осуществление политехнического обучения. Одним из основных принципов политехнического обучения является требование сознательного и прочного изучения учащимися основ наук, в том числе и математики. В процессе изучения основ каждой науки большое внимание должно быть уделено планомерной и целенаправленной работе по формированию у учащихся системы понятий данной науки. Вопрос формирования математических понятий является сложным, особенно остро он стоит в алгебре, отличающейся абстрактностью.

В этом плане нами были подвергнуты детальному изучению вопросы, связанные с формированием понятия степени в курсе алгебры средней школы.

Понятие степени, как и большинство других математических понятий, развивается, обогащается новым содержанием при переходе от одного множества чисел к другому. Процесс формирования понятия степени начинается в V классе и должен последовательно продолжаться до X класса. Однако существовавший до введения новой программы разрыв в изучении степеней с натуральными (VIII класс) и рациональными (IX класс) показателями препятствовал успешному изучению этого понятия, которое проходило в отрыве от идеи развития понятия числа и идеи функциональной зависимости. Кроме того, совершенно неприемлемый и необоснованный разрыв в изучении радикалов и степеней с дробными показателями, по существу только лишь различных форм записи одного и того же алгебраического выражения, отрицательно сказывался на качестве приобретаемых учащимися навыков в оперировании с иррациональными выражениями.

С другой стороны, вопрос развития понятия степени крайне слабо освещен в методической литературе.

Все эти обстоятельства показывают важность разработки приемлемой для школы методики изучения понятия степени и оправдывают выбор этой темы для диссертационной работы. Актуальность ее усиливается еще одним крайне важным обстоятельством. Согласно новой программе по математике с 1956/57 уч. года впервые степени с рациональными показателями изучаются не в IX-M, а в VIII-м классе, в связи с чем возник целый комплекс вопросов и трудностей как теоретического, так и методического порядка. Поэтому в диссертации поставлена задача: разработать наиболее приемлемую для школы методику систематического и последовательного формирования понятия степени, руководствуясь идеями развития понятия числа и функциональной зависимости. Одновременно с этим — разработать методику параллельного изучения радикалов и степеней с дробными показателями в VIII-м классе, чем способствовать привитию учащимся более прочных навыков в тождественных преобразованиях иррациональных выражений.

В работе использована теоретическая, учебная и методическая литература по данному вопросу, как русская, так и иностранная, журнальные статьи, брошюры по рассматриваемой теме и по вопросам политехнического обучения. Диссертация построена на систематических наблюдениях педагогического процесса при изучении разделов алгебры, связанных с формированием понятия степени, беседах с учителями и учащимися, на личном пятилетнем опыте работы автора в V-IX классах средней школы и специально организованном в 1955—1958 уч. годах педагогическом эксперименте в школах № 23 г. Москвы, № 1 г. Кирова и школах № 9, № 12, № 13, №16 г. Мурома.

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения. Во введении сформулированы задачи диссертации, кратко раскрыто ее содержание и методы исследования.

Глава первая Обобщение понятия степени в действительной области

Многие положения рассматриваемой нами темы в школьном курсе устанавливается на основании частных примеров или просто постулируются как очевидные. Но учитель, конечно, должен владеть каждой изучаемой в школе темой в ее современном научном изложении. В связи с этим вопросам методики мы предпосылаем главу, посвященную обобщению понятия степени в области действительных чисел.

Первая глава состоит из двух частей:

I. Обобщение основания степени.

II. Обобщение показателя степени.

Сначала последовательно расширяется основание степени от натурального до действительного, затем рассматривается степенная функция у=хп с натуральным показателем, ее свойства и графики при различных значениях натурального п. Во II части дается последовательное обобщение показателя степени от натурального до действительного. При изложении этих вопросов последовательно проводится функциональная точка зрения; наряду со степенной функцией с рациональным показателем рассматривается показательная функция на множестве рациональных, затем действительных чисел.

Теория степеней с дробными показателями излагается параллельно с теорией радикалов. Здесь же, в отличие от традиционного изложения, правила действий над степенями с дробными показателями обосновываются независимо от правил действий над радикалами. Последний параграф главы содержит краткие исторические сведения о развитии понятия степени, которые могут быть использованы учителем на уроках и на занятиях математического кружка.

В дополнении к первой главе излагается вопрос о степени комплексного основания с рациональным показателем..

Глава вторая Методика изучения понятия степени

Глава содержит подробно разработанную методику изложения всего раздела о степенях, начиная с пятого, кончая девятым классом. § 1 главы посвящен обзору учебных и методических руководств дореволюционного и советского периодов и анализу программ в части, относящейся к данной теме.

Далее в главе рассматриваются вопросы:

1. Методика изучения степеней с натуральными показателями в V—VII классах.

2. Методика изучения степеней с рациональными показателями в VIII классе.

3. Методика изучения степеней с иррациональными показателями и показательной функции в IX классе.

В курсе арифметики V класса учащиеся получают только наглядное представление о степени, как сокращенной записи произведения нескольких равных сомножителей без введения соответствующей терминологии. Эта запись используется при разложении чисел на простые множители и при решении за-

дач на вычисление площадей и объемов. В курсе алгебры VI класса учащимся дается определение степени с натуральным показателем; возведение в степень рассматривается как новое действие; в VI—VII классах изучаются правила действий над степенями.

Формирование понятия степени проводится в неразрывной связи с развитием понятия числа. Так, в VI—VII классах основание степени расширяется от множества натуральных до множества рациональных чисел, а показатель остается натуральным числом. В VIII классе происходит дальнейшее расширение сначала основания степени до множества действительных чисел при натуральных показателях, а затем множество значений последних расширяется до множества рациональных чисел и далее в IX классе до множества всех действительных чисел. При обобщении понятия показателя степени возникает необходимость введения новых определений степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями, а степень с иррациональным показателем вводится путем предельного перехода.

Формирование понятия степени проходит в тесной связи с развитием идеи функциональной зависимости. В этом плане в VII—VII классах большое место отводится вычислению числовых значений степени хп при различных значениях рационального X и натурального /г, составлению соответствующих таблиц, использованию числовой оси. Кроме этого, в VIII классе учащиеся переходят к построению простейших графиков степенной зависимости и исследованию их элементарными способами.

В объяснительной записке к новой программе говорится о необходимости совместного изучения степеней с дробными показателями и радикалов с тем, чтобы замену последних степенями с дробными показателями внедрить в практику при выполнении учащимися преобразований радикалов и действий над ними. Однако в программе этот вопрос получил лишь механическое разрешение, так как понятие степени с дробным показателем вводится в конце раздела «Степени и корни», т. е. тогда, когда уже будут изучены все преобразования радикалов и действия над ними. Здесь налицо несоответствие между программой и объяснительной запиской к ней. По существу не разрешается вопрос о преодолении методических трудностей совместного изучения радикалов и степеней с дробными показателями. Как и раньше, основное время, отведенное на изучение темы «Степени и корни», учащиеся используют для операций с радикалами и только незначитель-

ная часть его затрачивается на выполнение действий с дробными показателями. Это, безусловно, не дает возможности в полной мере использовать преимущества нового обозначения при выполнении действий с иррациональными выражениями, так как учащиеся по-прежнему отдают предпочтение радикалам.

В диссертации разработана методика одновременного изучения радикалов и степеней с дробными показателями, устраняющая вышеуказанные недостатки традиционного изложения этого вопроса и соответствующая требованиям объяснительной записки к новой программе по математике. Эта методика не только предусматривает привитие учащимся сознательных и прочных навыков тождественных преобразований иррациональных выражений, но и значительно облегчает усвоение всей темы «Степени и корни».

Степень с дробным показателем, как другая форма записи корня, вводится после рассмотрения вопросов, связанных с арифметическим значением корня. При определении степени с дробным показателем надо исходить из требования сохранения правила извлечения корня из степени для случая, когда показатель степени подкоренного числа не делится нацело на показатель корня. Действия над радикалами и степенями с дробными показателями изучаются параллельно. При выборе той или иной формы записи необходимо руководствоваться принципом педагогической целесообразности. Когда производятся вычисления с определенной степенью точности, удобнее пользоваться знаком радикала, так как существует особый алгоритм извлечения корня и таблицы корней. При выполнении же действий (особенно второй и третьей ступени) над иррациональными выражениями запись в виде степени с дробным показателем ведет к упрощению преобразований и более быстрому получению результата.

Степень с дробным показателем используется в дальнейшем при решении иррациональных уравнений.

В диссертации разработана система упражнений для одновременного изучения радикалов и степеней с дробными показателями.

Строго научное изложение вопроса о степени с иррациональным показателем недоступно для учащихся IX класса. Поэтому, чтобы сохранить хотя бы минимальную строгость при изложении этого раздела в разработанной методике предварительно рассматриваются некоторые свойства степеней с рациональными показателями, в частности, свойство монотонности.

Обобщением всех сведений о степенной функции, установленных в VIII классе на конкретных примерах, является изучение в IX классе степенной функции с рациональным показателем.

В школе достаточно ограничиться рассмотрением степенной функции с рациональным показателем, так как степенная функция с иррациональным показателем, относящаяся к числу трансцендентных, не имеет такого большого практического значения, какое имеют, например, показательная и логарифмическая, на изучении которых следует остановиться подробнее.

Особое внимание уделяется показательной функции у=10*, знакомству учащихся с таблицей значений этой функции— таблицей антилогарифмов, что является хорошей пропедевтикой для изучения темы «Логарифмы».

В диссертации показано, каким образом по мере изучения программного материала учащиеся знакомятся с практическим использованием степеней с натуральными, отрицательными и дробными показателями в астрономии, физике, химии, а также с различными случаями применения показательной функции в естествознании и технике.

Глава третья

Описание проведенного эксперимента и анализ его результатов

В этой главе даны:

1. Планирование темы «Степени и корни» в VIII классе в соответствии с новой программой по математике на 1957/58 учебный год;

2. Поурочная разработка тех вопросов темы, изложение которых отличается от традиционного;

3. Варианты проведенных по теме контрольных работ, анализ ошибок учащихся, сводка результатов по экспериментальным и контрольным классам.

* * *

Результаты эксперимента, а также итоги двухлетней работы по материалам диссертации в школах г. Мурома в 1955—58 уч. гг. дают основание сделать вывод, что разработанная в диссертации методика изучения понятия степени в V— IX классах средней школы, а также методика одновременного изучения радикалов и степеней с рациональными показате-

лями в VIII классе может быть успешно применена в школьной практике и оказывает существенную помощь учителю в деле улучшения математической подготовки учащихся.

* * *

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях:

1. «Развитие понятия степени в курсе алгебры средней школы». Ученые записки Муромского педагогического института. Выпуск 2, 1957 г., стр. 84—115.

2. «Степени и корни в 8 классе» — журнал «Математика в школе», № 3, 1957 г., стр. 18—26.

3. «К вопросу об изучении радикалов и степеней с дробными показателями в 8 классе средней школы». Ученые записки Московского государственного педагогического института им. В. И. Ленина. Том СХХ, 1958.

Л-103979. От 28/VII-58. Объем 5/8 я. л. Тир. 150. Зак.613.

Типография газеты «Красная звезда», ул. Чехова, 16.