КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УЧИТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

А. Я. ОРИЕВСКИЙ

Старший преподаватель кафедры математики

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И МЕТОДИКА ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК (МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ)

Киев — 1952

ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И МЕТОДИКА ИХ ПРЕПОДАВАНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Советская школа — один из важнейших участков идеологической работы. В ней формируется диалектико-материалистическое мировоззрение подрастающего поколения. Наша школа воспитывает в коммунистическом духе миллионы советских патриотов, беззаветно преданных своей социалистической Родине, отдающих все свои силы делу строительства коммунистического общества.

Гениальная работа товарища Сталина «Марксизм и вопросы языкознания», решения ЦК ВКП (б) и ЦК КП(б)У о школе и по вопросам идеологической работы обязывают советских педагогов неустанно бороться за дальнейшее укрепление и улучшение постановки коммунистического воспитания и обучения в советской школе, за повышение идейно-теоретического уровня преподавания, за расширение научного кругозора учащихся.

Эти же решения ставят перед советскими педагогами задачу — на основе марксистско-ленинской теории изучить и проанализировать педагогическое наследие прошлого и в первую очередь наследие наших прогрессивных отечественных ученых, изучить и обобщить богатый опыт советских учителей в деле преподавания основ наук и на этой базе выработать правильную методику преподавания в школе.

Ленин и Сталин неоднократно подчеркивали первостепенное значение изучения и обобщения практического опыта.

На необходимость «использовать практический опыт сотен и сотен учителей»1 указывал В. И. Ленин в своих директивах коммунистам — работникам Наркомпроса.

В программе по математике средней школы важное место занимает такой предмет, как алгебра.

В школьном курсе алгебры вопросы развития понятия числа занимают одно из центральных мест. Понятие числа и является одним из «четырех краеугольных камней, на которых зиждется все здание современной математики и к которому сводится всякое другое математическое понятие»2.

1 В. И. Ленин, О работе Наркомпроса, Соч., т. XXVI, изд. III, стр. 163.

2 П. С. Александров, Введение в теорию групп. Москва, Учпедгиз, 1939, стр. 3.

Глубокое понимание учителем круга идей, которые содержит учение о числе, и продуманная методика изложения этого вопроса в советской школе способствуют формированию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, правильному пониманию происхождения и законов развития понятия числа, понятия, «заимствованного исключительно из внешнего мира» (Энгельс).

С первым расширением понятия числа учащиеся средней школы встречаются в школьном курсе арифметики при введении нуля, затем при введении дробных чисел.

На данном этапе учащимся, хотя и приходится преодолевать ряд психологических трудностей, однако восприятие понятия нового числа здесь несомненно облегчается благодаря непосредственному его истолкованию на жизненных, конкретных примерах.

Значительно больше трудностей возникает у учащихся при изучении отрицательных чисел. В данном случае учащимся 12-летнего возраста труднее связать понятие нового числа с привычными и близкими для них представлениями.

Перед учащимися появляются психологические трудности в связи с особыми свойствами, какие приобретают новые числа, для которых старые определения уже не подходят.

Эти трудности могут быть преодолены лишь при правильном построении методики преподавания этого вопроса, которая, с одной стороны, соответствовала бы требованиям науки, а с другой, — обеспечивала бы доступность изложения в соответствии с возрастными особенностями учащихся.

В противном случае у учащихся не составится правильного понятия отрицательного числа. Они механически заучат правила, не понимая их смысла. Недостаточное понимание теории отрицательных чисел дает себя чувствовать при дальнейшем изучении математики, например, при исследовании уравнений, при изучении функций и их графиков, логарифмов и т. д.

Несмотря на то, что отрицательные числа встречаются еще в работах Диофанта (III век нашей эры), разработка и усовершенствование способов преподавания отрицательных чисел продолжается непрерывно вплоть до наших дней, причем всё еще нельзя сказать, что уже найдено вполне удовлетворительное решение этого вопроса.

За последние 10 лет мы имеем различные высказывания и предложения по данному вопросу в работах наших передовых советских ученых — А. Я. Хинчина, П. С. Александрова, А. Н. Колмогорова, И. В. Арнольда, В. Л. Гончарова и других, которые значительно поднимают научный уровень преподавания такого весьма ответственного и сложного раздела школьного курса алгебры, как отрицательные числа.

Однако эти предложения, представляющие собою большую научную ценность, не привились еще полностью в практике работы школ. Объясняется это, должно быть, тем, что одна только научность изложения не может обеспечить в данном случае достаточного успеха; необходима еще продуманная методика преподавания, проверенная на практике.

Не сошел еще со страниц нашей печати и вопрос о самом термине «относительные числа», который фигурирует в официальной программе школьного курса алгебры для средней школы. Передовые советские ученые (А. Я. Хинчин, В. Л. Гончаров, П. С. Александров и др.) высказываются решительно против этого термина, как такого, который не установлен как математический термин в науке. Имеются различные предложения по вопросу о том, чем надо заменить термин «относительные числа». В учебнике алгебры профессоров П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, в высказываниях профессора А. Я. Хинчина, в вышедшей в 1949 году методике преподавания математики В. М. Брадиса фигурирует термин «рациональные числа». Профессора И. В. Арнольд и В. Л. Гончаров применяют термины: «положительные числа, отрицательные числа, число нуль». Такую же точку зрения разделяют и авторы вышедших в 1951 году алгебры Д. К. Фадеева и И. С. Соминского и сборника задач по алгебре П. А. Ларичева.

Мы считаем, что с научной и методической точки зрения для характеристики как целых, так и дробных рациональных чисел и числа нуль следует в VI—VII классах средней школы употреблять: «положительные числа, отрицательные числа, число нуль». Термин «относительные числа» следует изъять из школьного преподавания математики.

Для построения правильной методики преподавания теории отрицательных чисел в школе необходимо на основе единственно научного метода материалистической диалектики исследовать исторический путь развития понятия отрицательного числа, его теории и методов преподавания, провести анализ приемов и способов изложения этого вопроса в дореволюционной русской и советской учебной литературе, учесть психологические трудности, встречающиеся у учащихся в связи с усвоением данной темы, изучить и обобщить богатый передовой опыт учителей нашей советской школы и извлечь из всего этого самое ценное. Эта методика должна быть проверена на практике.

Настоящая работа и представляет собой опыт осуществления такой программы.

Содержание работы:

I часть. Исторический обзор развития понятия отрицательного числа и преподавания его в школе.

Глава I (§§ 1—3). Обзор истории развития понятия отри-

дательного числа (от древних времен до Декарта включительно) .

Глава II (§§ 4—5). Обзор истории развития теории отрицательного числа в России до Н. И. Лобачевского.

Глава III (§§ 6—7). Отрицательные числа у Н. И. Лобачевского.

Глава IV (§§ 8—14). Элементы аксиоматики в преподавании отрицательных чисел. Отрицательные числа у М. В. Остроградского.

§ 15. Выводы.

II часть. Методика преподавания положительных и отрицательных чисел.

Глава I (§ 1). Требования, предъявляемые к методике преподавания отрицательных чисел.

Глава II (§§ 2—8). Введение понятия отрицательного числа.

Глава III (§§ 9—12). Действия над положительными и отрицательными числами.

§ 13. Решение простейших уравнений в поле рациональных чисел.

§ 14. Замечания и предложения к школьной программе.

§ 15. Библиография (168 названий).

Во введении, на основе произведений классиков марксизма-ленинизма К. Маркса, Ф. Энгельса, В. И. Ленина, И. В. Сталина, раскрывается сущность развития понятия числам Это понятие возникло и развивается в связи с практической деятельностью человеческого общества, в связи с изучением количественных отношений действительного мира, под влиянием других наук и во взаимодействии с ними. Развитие и расширение этого понятия происходит на базе единства абстрактного и конкретного, на основе закона диалектики о единстве и борьбе противоположностей.

Обосновывается актуальность разработки методики преподавания отрицательных чисел в школе. Дается характеристика того, как формируется понятие отрицательного числа у учащихся средней школы. Анализируются трудности, возникающие у учащихся при восприятии этого понятия.

В I главе первой части (3-х ее параграфах) дается обзор истории развития понятия отрицательного числа от* древних времен до Декарта включительно.

На основе дошедших до нас исторических документов древности можно предположить, что возникновение отрицательных чисел в самые древние времена связано с нахождением корней уравнений при решении задач, выдвигаемых практикой. Диофант, например, пользуется отрицательными числами в про-

цессе решения уравнений, не признавая их, однако, корнями последних.

Индусские математики (Ариобхата, Брахмагупта — VII век, Бхаскара — XII в.) пошли дальше Диофанта. Они выделяли отрицательные числа особыми знаками, терминами, давали им разнообразные конкретные толкования и даже их графическое изображение.

Общим для математиков древности является факт непризнания отрицательных чисел, рассматриваемых отдельно от алгебраического выражения.

Европейские математики вплоть до XVII века, давая конкретные истолкования отрицательных чисел, как долг, недостаток, используют эти числа лишь как «удобную фикцию», в качестве технического средства при решении уравнений, не признавая их, однако, «истинными числами». Отрицательные числа считаются абсурдными, нелепыми (М. Штифель, XVI в.), фиктивными (Кардано, XVI в.) в отличие от «истинных» положительных чисел.

Мы встречаемся даже с разнообразными попытками «доказать» правила действия над числами, особенно действия умножения. Эти попытки не выдерживают критики.

Совсем по другому пути идет развитие понятия отрицательного числа в XVII веке. Новые общественные отношения, пришедшие на смену старым феодальным, потребовали критического пересмотра всех человеческих знаний, всей культуры и науки. Развитие и усовершенствование существующих отраслей производства и возникновение новых (металлургической, химической и т. д.) обусловили быстрое возрождение и дальнейшее развитие наук. Успехи в развитии различных отраслей естествознания (механики, астрономии, физики) вызвали со своей стороны значительный прогресс в усовершенствовании и открытии математических методов.

К этому времени относится развитие аналитической геометрии, которая внесла коренной переворот во взглядах на числа вообще и на отрицательное число в частности.

Декарт дал геометрическую интерпретацию отрицательных чисел с помощью точек на оси. Отрицательное число перестает быть лишь «удобной фикцией» — инструментом при математических преобразованиях.

Подобную же интерпретацию положительных и отрицательных чисел, как и у Декарта, мы встречаем у фламандского математика Жирара (1629).

Однако и после Декарта у некоторых европейских математиков встречаются неправильные толкования свойств отрицательных чисел (Д. Валлис, 1680 г. и др.).

Во второй главе дается обзор истории развития понятий от-

рипательного числа в России до Н. И. Лобачевского и характеристика основной учебной литературы по этому вопросу.

Математические сочинения в России вплоть до XVIII века главным образом были посвящены арифметике, геометрии, астрономии. Значительный прогресс в развитии математического образования в России надо отнести к началу XVIII века, к петровской эпохе. Математика была поставлена на службу военным, хозяйственным и политическим задачам страны.

Среди крупных ученых-математиков Петербургской Академии наук первое место следует отвести выдающемуся отечественному ученому-математику Л. Эйлеру. В 1740 году издается его руководство по арифметике. В 1752 г. мы имеем уже русский учебник алгебры члена Академии наук Н. Муравьева под названием «Начальные основания алгебры». На основе этих работ и «Арифметики» Л. Ф. Магницкого появляется в 1757 году «Универсальная арифметика» Н. Курганова, где имеются уже указания на отрицательные или «вычитательные» числа. В 1760 году была выпущена книга академика Петербургской академии С. Я. Румовского «Сокращения математики». В этой книге отрицательное число рассматривается как разность, получаемая при вычитании большего числа из меньшего. Дается правило такого вычитания.

Первый классический серьезный научный систематический и оригинальный курс алгебры во всей мировой математической литературе был написан Л. Эйлером и вышел в свет в 1770 году в виде двухтомного руководства под названием «Универсальная арифметика». У Эйлера отрицательное число выступает как результат вычитания большего числа из меньшего. Оно меньше нуля. С введением отрицательных чисел действие вычитания всегда выполнимо. Вводится двусторонний натуральный ряд чисел (положительных, отрицательных и числа нуль).

На основе указанной книги Л. Эйлера создается ряд учебников алгебры у нас и за рубежом.

Так, в 1775 г. издается «теоретическая и практическая арифметика» Д. С. Анничкова. В 1798 г. выпущен учебник Н. И. Фусса «Начальные основания алгебры, выбранные из алгебры Леонарда Эйлера». Этот' учебник несколько раз издавался в XIX в.

В то время, как в наших отечественных учебниках второй половины XVIII века отрицательные числа становятся вполне равноправными с числами положительными, в Западной Европе вплоть до XIX века мы встречаемся с фактом непризнания отрицательных чисел.

По свидетельству английского историка математики Ф. Кеджори, во второй половине XIX века в Кембридже, старинном

университетском городе Англии, встречались протесты против употребления отрицательных чисел.

Французский математик Л. Карно в 1797 году утверждает, что изолированное отрицательное число является фиктивным понятием. Он не соглашается с тем, что отдельно взятое отрицательное число меньше нуля.

Такого же мнения придерживались и другие математики Западной Европы (Маклорен, д'Аламбер и другие).

Таким образом, мы видим, что, хотя проблемами алгебры, в частности вопросами отрицательных чисел, в России начали заниматься сравнительно позже, чем в других зарубежных странах, а именно, в XVIII веке, русские ученые в данном вопросе значительно опередили многих математиков зарубежных стран.

В заключение данной главы дается характеристика основной учебной литературы XIX в. в России по вопросу преподавания отрицательных чисел. Большая часть этих учебников составлена под влиянием произведений Л. Эйлера.

Анализ учебников А. Тихомандрицкого (1853), Н. Т. Щеглова (1853), И. Сомова (1868), А. Давыдова (1872), А. Малинина и К. Буренина (1872 и 1890) и других показывает, что авторы этих учебников на основе прогрессивных мыслей наших отечественных ученых освещают тему об отрицательных числах уже по-новому. Однако у некоторых из них имеет место механическое перенесение свойств чисел одной области на числа другой.

Глава III посвящена вопросу изложения отрицательных чисел гениальным русским ученым XIX века Николаем Ивановичем Лобачевским, значительно опередившим научную мысль своего времени. Проводится анализ теории «коликих» по его выдающемуся весьма интересному как в научно-теоретическом, так и в научно-методическом отношении произведению «Алгебра или вычисление конечных» (1834). В этой же главе также рассматриваются оригинальные и принципиальные педагогические взгляды Н. И. Лобачевского по вопросам преподавания математики, которые нашли свое отражение в вышеуказанной книге.

Н. И. Лобачевский дает полное систематическое изложение теории отрицательных чисел. «Коликие» (отрицательные и положительные числа — Л. О.) выступают как числа новой природы, которые — «приобретают новое качество от знака ... и рассматриваются с ними нераздельно». Четко выделяется различие между знаком действия и знаком числа. Очень ярко выступает утверждение о том, что с введением отрицательных чисел действие вычитания делается всегда выполнимым. Тут же вводится новое определение понятия алгебраической суммы.

Устанавливаются определения равенства и неравенства «коликих». Понятия суммы и разности отрицательных чисел вводятся в виде определений.

Особенный интерес представляет изложение действия умножения «коликих». Н. И. Лобачевский уже тогда осознал всю несуразность попыток «доказать» правила умножения отрицательных чисел, особенно в части определения знака произведения сомножителей. В «Алгебре» это правило вводится в виде определения.

Перед тем как сформулировать это определение, даются пояснения, «чтобы яснее дать понятие, в чем заключается умножение». Они должны убедить учащихся в целесообразности установленного определения.

Даются выводы основных законов (переместительного, сочетательного и распределительного) действий над «коликими».

Такое изложение, какое мы встречаем в «Алгебре», являлось необходимой ступенью к созданию строгой системы аксиом алгебры. Наш гениальный русский ученый Н. И. Лобачевский был первым, который перед всем миром поставил проблему строгого обоснования не только геометрии, но и алгебры. «О твердых основах науки, о сохранении строгости и ясности в самых ее началах» — Н. И. Лобачевский подчеркивает в предисловии к своему рукописному изданию «Алгебры».

Учение об отрицательных числах Н. И. Лобачевский изложил , несравненно лучше, строже и систематичнее, чем многие авторитетные зарубежные математики того времени.

Последний параграф настоящей главы мы посвятили некоторым общим педагогическим взглядам Н. И. Лобачевского. Анализируя его педагогические взгляды в применении к преподаванию отрицательных чисел, мы приходим к следующим выводам:

1. Формирование у учащихся понятия отрицательного числа должно осуществляться постепенно на основе расширения того представления о числе, которое они получили в школьном курсе арифметики.

2. При изложении материала об отрицательных числах должны быть строго учтены возрастные особенности учащихся. Поэтому строгая теория отрицательного числа на данном этапе обучения (VI кл.) не может быть дана в школе. Здесь главное внимание должно быть уделено выяснению целесообразности принятых определений и правил действий.

3. Изложение материала должно быть конкретным. Оно достигается при помощи наглядности, решением конкретных задач из окружающей действительности, близкой учащимся.

4. Необходимо сочетать доступность изложения с возможною для данного возраста учащихся математической строгостью. При этом необходимо обеспечить постепенный переход от частного к общему, от конкретного к абстрактному.

5. Методы и приемы преподавания необходимо разнообразить, вызывая у учащихся интерес к изучаемому вопросу. Изложение материала не следует строить на рассмотрении только однообразных примеров и задач. Для выяснения понятия отрицательного числа и мотивировки принятых правил действий над отрицательными числами необходимо дать разнообразную интерпретацию.

6. Правильное формирование у учащихся понятия отрицательного числа зависит от того, насколько учитель сам овладел научной теорией и знаком с историческим путем развития этого понятия.

Глава IV посвящена вопросу о том, каким образом аксиоматические теории числа могут иметь свое отражение в практике школьного преподавания отрицательных чисел.

В § 8 этой главы дается анализ некоторой учебной литературы по алгебре XIX и XX вв., которая составлена под влиянием научных и педагогических взглядов Н. И. Лобачевского.

В учебниках алгебры К. Краевича (1866), Билибина (1896), Е. Н. Тихомирова (1905), в статье В. П. Ермакова (1892) и др. мы встречаемся с попытками более строгого и систематического изложения учения об отрицательном числе. В этих работах нет уже механического перенесения свойств положительных чисел на отрицательные. Отрицательные числа выступают уже как числа новой природы с их особыми свойствами. Даются определения действий над новыми числами. Нет уже попыток давать «доказательства» правил действий. К. Краевич даже подчеркивает, что правила действий над положительными и отрицательными числами «должны быть не доказуемы, а таким образом составлены, чтобы получаемые при их помощи выводы не противоречили друг другу и тем выводам, которые получают при рассмотрении чисел арифметических».

В § 9 этой главы на основании изучения автором рукописного наследия нашего выдающегося отечественного математика и педагога Михаила Васильевича Остроградского (1801 — 1862) изложены взгляды этого крупного ученого на вопросы преподавания отрицательных чисел. Эти взгляды сводятся вкратце к следующему:

Отрицательные числа вводятся в алгебру с целью обобщения. Они рассматриваются, как совокупность отрицательных

единиц, а положительные — положительных единиц1. Для обозначения отрицательного числа вводится символ а, очевидно, для того, чтобы подчеркнуть различие между знаком числа и знаком действия. В дальнейшем изложении он употребляет также символ — а. Дается конкретная интерпретация положительного и отрицательного числа на примерах величин, могущих изменяться в двух противоположных направлениях. Правила действий сложения и умножения устанавливаются по определению. Вычитание и деление отрицательных чисел определяются, как действия, обратные соответственно сложению и умножению. На основании этих определений устанавливаются правила указанных действий. Действительность переместительного закона для сложения отрицательных чисел проверяется на конкретных примерах.

Следует подчеркнуть, что по научным и педагогическим взглядам на преподавание отрицательных чисел М. В. Остроградский стоял выше ряда зарубежных математиков того времени. Многие его положения можно с успехом использовать при преподавании в нашей советской школе.

Наряду с нашей отечественной учебной и методической литературой XIX и начала XX века, в которой изложение отрицательных чисел находится на уровне развития математической науки, в ряде зарубежных учебников трактовка и изложение данного вопроса значительно отстают от уровня отечественных учебников. В § 10 дается анализ изложения вопроса об отрицательных числах рядом европейских математиков (Крампом (1808), Лакруа (1822), Мёбиусом (1827), Дюгамелем (1868) и другими) и показывается несостоятельность их трактовок.

§§ 11 и 12 содержат анализ формальной теории пар и операторной теории числа; также рассматривается возможность использования элементов этих теорий в школьном преподавании отрицательных чисел. Здесь автор останавливается на «Началах алгебры» Д. А. Граве, где учение об отрицательном числе излагается на основе теории пар. Изложение отрицательных чисел у Д. Граве, несмотря на достаточный научный уровень, не может быть использовано в школьном преподавании, ввиду его недоступности для учащихся VI класса, где эта тема изучается.

Аналогичное изложение теории отрицательного числа на основе теории пар мы встречаем в учебнике алгебры П. Никульцева (1892) и в работе А. Москвина (1915).

1 Такое же определение мы встречаем впоследствии в учебнике алгебры Мерчинского (1873), в основаниях общей арифметики и алгебры Н. А. Шапошникова (1886) и др.

Операторный подход к изложению теории отрицательных чисел вслед за Н. И. Лобачевским мы встречаем в скрытом виде в учебнике арифметики и алгебры Н. А. Шапошникова (1886). Мрочек и Филиппович (начало XX в.) в своей книге «Педагогика математики» дают операторное толкование множителей + 1 и — 1.

Обстоятельно останавливается на операторном истолковании числа, в частности отрицательного, проф. И. В. Арнольд в своей интересной книге «Отрицательные числа в курсе алгебры» (1947). Тут совершенно правильно отмечается, что операторное толкование числа прививается учащимся в скрытом виде еще с младших классов. Это особенно относится к действию умножения, где множитель выступает как знак той операции, которую нужно совершить над множимым, чтобы получить произведение. Проф. Арнольд рекомендует использовать операторное толкование числа также при изучении отрицательных чисел.

Для того чтобы все арифметические действия имели реальный смысл, необходимо оперировать отношениями чисел, соответствующими определенным переходам. Числа, соответствующие таким отношениям, выступают как операторы, т. е. как знаки операций, которые нужно по определенным правилам применять для одних переходов, чтобы получить другие. Так, в формуле прямолинейного равномерного движения s ~ vtf t выступает как оператор. Он характеризует операцию, какую нужно совершить над переходом v, чтобы получить переход s.

Бесспорно, метод операторного истолкования отрицательных чисел и действий над ними при решении ряда конкретных примеров и задач можно с успехом использовать в школе. Однако такое истолкование не может быть единственным; нужна разнообразная конкретная интерпретация, в некоторых случаях белее доступная и убедительная.

Мы видели, что вопрос конкретного истолкования отрицательных чисел давно интересовал наших отечественных методистов и крупных математиков еще в XIX и начале XX века (Н. И. Лобачевского (1834), П. С. Гурьева (1884), К. Краевича (1872), Н. Извольского (1909), В. Лермантова (1911) и др.). Наибольшее развитие этот вопрос получил у нас после Великой Октябрьской социалистической революции.

Критическому обзору учебной и методической литературы по вопросу преподавания отрицательных чисел в России в XX веке и особенно после Великой Октябрьской социалистической революции посвящены §§ 13, 14 этой главы. Здесь анализируется изложение отрицательных чисел у Н. Извольского (1909), В. Лермантова (1911), К. Ф. Лебединцева (1925),

проф. A. M. Астряба (1940). Первые два автора ограничиваются только несколькими задачами, иллюстрирующими правила сложения и умножения отрицательных чисел. У них тема эта изложена несистематично и недостаточно разработана.

Значительно лучше этот вопрос освещен у К. Ф. Лебединцева, посвятившего этому целый ряд методических статей и изложившею его в своем учебнике алгебры, и у профессора А. М. Астряба, детально разработавшего эту тему в своей работа «Первые уроки алгебры».

Особенно пенные и принципиальные мысли, связанные с преподаванием отрицательных чисел, мы находим в теоретических и методических работах проф. А. Я. Хинчина. Большой интерес в этом отношении представляют также учебник алгебры П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова и пробный учебник алгебры В. Л. Гончарова. В этих учебниках учение об отрицательных числах изложено стройно и четко в соответствии с научными требованиями. Изложение теории отрицательного числа сопровождается большим количеством разнообразных конкретных задач и примеров. Всё же эти учебники нуждаются еще в проверке того, насколько они отвечают возрастным особенностям учащихся.

Проследив историю развития понятия отрицательного числа и проанализировав учебно-методическую литературу по вопросу преподавания отрицательных чисел в школе, мы пришли к таким выводы:

1. Хотя отрицательные числа главным образом возникли в связи с потребностями математического аппарата, вне непосредственной связи с практикой, всё же практика и здесь сыграла роль основного и решающего фактора как при их возникновении, так и в их развитии.

2. Несмотря на то, что проблемами алгебры и, в частности вопросами развития понятия отрицательного числа, в России начали заниматься сравнительно позже, чем в других зарубежных странах, однако за последние 250 лет, особенно после Великой Октябрьской социалистической революции, русские ученые результатами своих исследований в области алгебры и ее методики значительно опередили математиков зарубежных стран.

3. Методика преподавания отрицательных чисел все время совершенствовалась и развивалась под влиянием и в связи с развитием математической и педагогической наук.

4. Отдельные приёмы преподавания, которые предлагались нашими отечественными учеными Н. И. Лобачевским, М. В. Остроградским, могут быть с успехом использованы в нашей советской школе.

Изложение методики вопроса дается во II части.

Первая глава II части посвящена требованиям, предъявляемым к методике преподавания отрицательных чисел в школе. Требования эти следующие:

1. При введении понятия отрицательного числа, при изучении свойств положительных и отрицательных чисел и основных арифметических действий над ними следует сперва на целом ряде конкретных, соответственным образом подобранных примеров и задач показать разнообразную область применения новых чисел, проследить и убедиться в целесообразности установления соответствующих определений или правил, а потом их сформулировать. Следует рассмотреть примеры, где отрицательные числа служат для характеристики как значений величин, то есть их «состояния» относительно выбранного начала, так и изменения величин с соответствующей иллюстрацией на числовой оси.

2. Необходимо подчеркнуть недоказуемость правил, что они установлены и проверены на основании многовекового опыта человеческого общества при решении конкретных ^практических задач из окружающей действительности.

3. Определения должны быть даны в соответствии с научными требованиями, но с полным учетом возрастных особенностей учащихся.

4. Чтобы убедить учащихся в целесообразности установленных правил действия сложения, полезно давать задачи, в которых данные выражают соответствующие последовательные изменения величины, и необходимо узнать результирующие изменения.

5. Для разъяснения установленных правил действия умножения можно также с успехом использовать операторное толкование действия умножения. Для этой цели лучше всего использовать задачи на движение.

6. Действия вычитания и деления определяются как операции, обратные сложению и умножению. На основании этих определений и делаются все необходимые выводы. Здесь также необходима иллюстрация при помощи конкретных задач.

7. Особенное внимание надо уделить вопросу о сохранении основных законов арифметических действий в расширенной области чисел.

8. Одновременно надо подчеркнуть, что с введением новых чисел действия эти приобретают также и новые специфические свойства.

9. Термин «относительные числа» необходимо изъять из школьного преподавания математики. В VI классе средней

школы можно ограничиться терминами: «положительные числа, отрицательные числа, число нуль».

10. Для более легкого усвоения действий над отрицательными числами мы рекомендуем воспользоваться соответствующим наглядным пособием «весы» (см. приложение № 13), при помощи которого можно дать еще одно истолкование отрицательных чисел и действий над ними.

В следующих главах на основе реализации указанных принципов излагается методика преподавания отрицательных чисел в школе.

Понятие отрицательного числа рекомендуется предварительно выяснить при решении целесообразно подобранных задач. Рассматриваются задачи, имеющие неопределенные решения, когда данные выражены только числами, известными из школьного курса арифметики; задачи эти становятся вполне определенными с введением отрицательных чисел. Предлагаются задачи, которые не решаются в множестве положительных чисел, а для их решения необходимо ввести отрицательные числа. На базе такой подготовительной работы вводится понятие отрицательного числа.

Решение задач иллюстрируется на числовой оси как горизонтальной, так и вертикальной. Дается определение числовой оси.

Дальше следует ряд примеров и задач, где учащиеся должны увидеть самое разнообразное применение отрицательных чисел и убедиться в том, что с введением новых чисел мы получаем возможность полнее отразить количественные отношения действительного мира.

Эти задачи дают возможность показать учащимся, что при помощи новых чисел можно выразить: алгебраическую длину направленных отрезков, расположение точек на оси или на дуге окружности, расположение местности над уровнем моря или ниже его, увеличение и уменьшение величин и др.

Указываются величины, которые не могут быть выражены отрицательными числами, например, вес, объем, плотность, масса и др. Однако изменения в весе тела, объеме, плотности и т. п. можно выразить при помощи новых чисел.

Вопросы об абсолютной величине числа и о сравнении чисел по величине излагаются в связи с рассмотрением конкретных задач, при помощи которых ученик убеждается в целесообразности соответствующих определений. После этого дается определение абсолютной величины положительного числа, абсолютной величины отрицательного числа, абсолютной величины нуля.

Далее вводится определение противоположных чисел. Подчеркивается, что число а не является символом для обозначения

лишь положительного числа, а число — а не служит символом для обозначения лишь отрицательного числа. Всякому числу а (все равно положительному или отрицательному) соответствует противоположное ему число — а.

Даются соответствующие определения равенства и неравенства для новой области чисел.

В § 7 второй главы показывается, каким образом все изучаемые свойства положительных, отрицательных чисел и нуля соответствующим образом истолковываются на числовой оси.

В заключение этой главы, в § 8, показано, как объяснить учащимся сохранение свойства необратимости и транзитивности неравенства в области рациональных чисел.

Прежде чем перейти к действиям над числами, предлагается использовать как один из способов истолкования действий сложения, вычитания и умножения операцию взвешивания на специально изготовленном наглядном пособии «весы». Дается описание этого пособия1.

Определение действия сложения здесь следует после того, как решено несколько целесообразно подобранных задач. В одних речь идет о двух последовательных изменениях величины, которые можно заменить одним результирующим изменением, в других — о двух последовательных перемещениях от исходного пункта в одном и том же или в противоположных направлениях, которые дают результат, равносильный одному перемещению в определенном направлении от того же начала.

Отдельно рассматривается задача, где требуется определить показания «весов» после двух последовательных операции взвешивания.

Рассмотрение решений задач и сопоставление их результатов убеждает учащихся в целесообразности введенных определений действий сложения.

После этого на ряде примеров показывается, что в новой области чисел сумма приобретает и новое свойство она не всегда бывает больше, но может быть меньше и равна одному из слагаемых.

1 С идеей такого наглядного пособия мы встречаемся еще у Л. Эйлера. Он применяет схему двустороннего накладывания гирь на двучашечные весы при решении задачи на взвешивание с минимальным числом разновесов. Впоследствии такой прибор используется и в нашей методической литературе. Н. Кувыркин в журнале «Математика в школе» (1936 г.) показывает применение такого прибора при изучении сложения и вычитания отрицательных чисел. Н. Макаревич и О. Дирекчинянц в журнале «Математика в школе», № 2, 1940 г. использует двучашечные весы для представления двух частей уравнения. В настоящей работе показано, как использовать этот прибор при изучении также действия умножения отрицательных чисел. Конструкция прибора упрощена, что дает возможность Легко его изготовить в любой школе (см. приложение № 13 настоящей работы).

При этом особо подчеркивается то, что, хотя сложение новых чисел приобретает новое свойство, все же известные основные законы этого действия сохраняются. Однозначность действия сложения и свойство переместительности его вытекают из определения этого действия. Сохранение свойства сочетательности проверяется на конкретных задачах.

На основе изучения основных законов сложения и формулируется правило сложения любого количества слагаемых.

Во всех указанных задачах отрицательные числа выступают как характеристики изменений величин, как числа, характеризующие направленные отрезки, переходы от одной числом вой отметки к другой. Такое истолкование слагаемых и суммы легче всего воспринимается учащимися.

Изучение действия вычитания рекомендуется начинать с его определения, как действия, обратного сложению.

Формулируется теорема: вычесть из числа а число Ь — это все равно, что к числу а прибавить число, противоположное числу by т. е. — Ь.

Справедливость этой теоремы проверяется на. ряде задач. Для их решения можно использовать два способа: или от числа а отнять число 6, или к числу а прибавить число, противоположное Ь. В обоих случаях мы получаем один и тот же результат; Решая эти задачи три разных значениях сг и Ь, учащиеся убеждаются в справедливости указанной теоремы, благодаря которой вычитание всегда выполнимо. Особенно легко эта теорема разъясняется при помощи решения задач на взвешивание.

Дальше формулируется определение алгебраической суммы, многочлена и одночлена. Рассматриваются также правила раскрытия скобок и заключения членов алгебраической суммы в скобки.

Изучение действия умножения рекомендуется также начинать с рассмотрения конкретных задач. Первая задача — на прямолинейное равномерное движение. Придавая в формуле 5 — i;/ величинам v и t разные значения (положительные, отрицательные и нуль), мы путем рассуждения вычисляем s. При истолковании этой задачи t выступает как оператор, характеризующий операцию, какую нужно совершить над переходом v, чтобы получить переход s.

Применение такого толкования к каждому конкретному случаю при отдельных значениях vu t очень легко воспринимается учащимися, и они без труда находят произведения чисел. Решения сопровождаются графической иллюстрацией на числовой оси. При рассмотрении различных случаев произведения учащиеся видят, что абсолютная величина произведения равна произведению абсолютных величин сомножителей,

причем знак произведения совпадает со знаком множимого, если множитель — число положительное, и противоположно знаку множимого, если множитель — число отрицательное. Такое толкование правила умножения воспринимается учащимися сознательно, не механически.

В следующей задаче предлагается определить показания термометра через / часов после или за t часов до определенного момента, если он поднимается или падает равномерно на v градусов в час. При этом в исходный момент ртутный столбик термометра стоит на нуле. Рассуждения и выводы те же, что и в предыдущей задаче. Указанные правила умножения иллюстрируются также на «весах». Так, например, (— 5) . ( — 6) = +* 30 истолковывается таким образом: снятие с левой чашки весов 6 раз по пять гирь — единиц (отрицательного груза) производит на весы то же действие, что и прибавление на правую чашку весов 30 гирь (положительного груза). В обоих случаях показания стрелки на шкале будут соответствовать числу +30.

После этого формулируются правила умножения по учебнику. Доказывается, что произведение дает однозначный результат, и что для .действия умножения сохраняются переместительный и сочетательный законы. Действительность распределительного закона умножения относительно сложения проверяется на ряде примеров.

На базе основных законов умножения дается правило нахождения произведения нескольких сомножителей и, как следствие этого, нахождение четной и нечетной степени отрицательного числа.

Деление, чисел, рассматривается как действие, обратное умножению. Из этого определения вытекают правила деления чисел для каждого случая отдельно. Особое внимание уделяется случаям деления 0 : а при а=гО и невозможности деления на нуль.

В целесообразности всех этих установленных правил учащиеся убеждаются на ряде задач, которые помещены в настоящем параграфе.

Наконец, дается понятие числа, обратного данному числу, и показывается возможность замены действия деления (исключая случаи деления на нуль) действием умножения.

Во всех случаях подчеркивается, что решения соответствующих задач нельзя рассматривать как «доказательства» правил.

§ 13 посвящен вопросу решения простейших уравнений при изучении положительных и отрицательных чисел. Подчеркивается, что эти уравнения в VI классе решаются на основании известных учащимся законов зависимости между данными и искомыми действий.

Подбор уравнений должен быть произведен очень тщательно. На первом этапе подбираются уравнения, где данные были бы выражены положительными числами, а корень уравнения — отрицательным. Рекомендуется при решениях таких уравнений дать учащимся некоторые элементы истории развития отрицательных чисел.

На следующем этапе уравнения подбираются таким образом, чтобы независимо от значения их корней данные входили бы как в виде положительных, так и в виде отрицательных чисел. Такого рода задачи решаются после изучения каждого действия над отрицательными и положительными числами отдельно. Здесь учащиеся закрепляют правила действий и видят применение последних при решении уравнений.

Следует предостеречь от неверной практики отдельных учителей, занимающихся. решением уравнений лишь после изучения всей темы об отрицательных числах. В этом случае решение уравнений проходит в полном отрыве от изучения новых чисел и действий над ними, а не в их органической связи.

Наконец, в § 14 проводится анализ программы по указанной теме. Мы приходим к выводу, что программа в основном правильно определяет тот круг вопросов, которые учащиеся должны усвоить при изучении темы об отрицательных числах. Количество часов, отведенных для изучения этого вопроса в школе, тоже в основном достаточно.

Необходимо, на наш взгляд, в программе учесть следующее:

1. При изучении вопроса о сравнении чисел по величине включить вопрос о сохранении свойств необратимости и транзитивности неравенства в области рациональных чисел (ч. II, § 8 настоящей работы). Это тем более необходимо, что учащиеся уже знакомы с симметричностью и транзитивностью равенства. Здесь же можно подчеркнуть учащимся, что свойство транзитивности является общим как для равенства, так и неравенства чисел; свойство же симметричности имеет место лишь для равенства, а необратимости — для неравенства. 2. Первоначальное понятие одночлена и многочлена необходимо дать учащимся з связи с определением понятия алгебраической суммы при изучении вычитания чисел. Здесь же рекомендуется дать правила раскрытия скобок и заключения в скобки алгебраической суммы.

Для изучения этих вопросов необходимо добавить 5 часов за счет 46 часов, отведенных по программе для темы «Целые одночлены и многочлены». Таким образом, всего на тему «Отрицательные числа» будет дано 20 часов для классных занятий. Время, необходимое для изучения всей те-

мы, согласно программе и с включением данных вопросов, можно распределить таким образом:

Название подтемы

Число часов для классных занятий

Параграфы диссертации (ч II)

1. Числа положительные, отрицательные и нуль. Числовая ось .........

4 часа

§§ 2, 3, 4, 5

2. Абсолютная величина числа. Сравнение чисел по величине. Знаки неравенства. Свойства необратимости и транзитивности неравенств между числами... .

,4

§§ 6, 7. 8

3. Сложение положительных и отрицательных чисел

4

§ 9

4. Вычитание чисел, включая первоначальное понятие об одночлене и многочлене; правила раскрытия скобок и заключения в скобки алгебраической суммы . . .

4

§ 10

5. Умножение чисел и возвышение в степень с целым положительным показателем .

4

§11

6 Деление чисел..............

3

§ 12

7. Все действия над числами......

1 час

8. Две контрольные работы:

а) на сложение и вычитание чисел .

1 „

б) на умножение и деление чисел .

1

Всего.......

26 часов1

1 Такое перераспределение часов между темами не меняет общего количества часов, отведенных учебным планом и программой на изучение алгебры в VI классе средней школы, но зато дает возможность учащимся глубже изучить указанные здесь вопросы.

Вопросы распространения законов арифметических действий на положительные и отрицательные числа, пропедевтика уравнений в новой области чисел, графики должны постепенно освещаться на протяжении изучения всей темы.

Вопрос о сохранении основных законов арифметических действий для новой области чисел разъясняется учащимся при изучении каждого соответствующего действия отдельно.

Необходимо в школьном преподавании математики отказаться от термина «относительные числа».

В заключение приводится библиография по данному вопросу — всего 168 названий.

Следует отметить, что предложенная в этой работе методика преподавания указанной темы экспериментально проверена в ряде школ и получила положительную оценку со стороны учителей-практиков этих школ, на основе их личной работы по этой методике в VI классе.

К работе даны в качестве приложений:

1. Поурочные планы всех уроков по данной теме некоторых учителей г. Киева, проводивших экспериментальную работу в школе по данной методике.

2. 10 стенограмм уроков этих же учителей по данной теме и по данной в работе методике.

3. Инструкция для изготовления наглядного пособий — «весы» с чертежами и фотографиями.

4. Протокол обсуждения результатов проведенного эксперимента по данной методике.

БИ 12840. Тип. изд-ва .Радянська школа* Зак. 405 -100