МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

Г. М. ОЛИФЕР

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ В СВЕТЕ ЗАДАЧ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБУЧЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — профессор Н. К. АНДРОНОВ

Москва — 1955

ВВЕДЕНИЕ

Выполнение директив XIX съезда КПСС о проведении мероприятий, необходимых для перехода к всеобщему политехническому обучению в средней школе, требует особого внимания к вопросам совершенствования методики преподавания отдельных учебных предметов.

Одной из весьма важных задач методики преподавания в условиях политехнического обучения в школе является задача обеспечения в процессе преподавания всемерного выяснения учащимся форм и способов применения изучаемой теории в практической деятельности людей, а вместе с тем, и осмысленного усвоения учащимися самой теории.

Эта задача является особенно актуальной и сложной в отношении школьного цикла математических дисциплин, поскольку:

1. Математика имеет весьма широкое применение в естественных науках и в технике. Тем самым, глубоко осмысленные и прочно усвоенные учащимися знания теории математики являются необходимой предпосылкой для успешного преподавания в школе ряда других учебных предметов и для ознакомления учащихся с основами техники и производства.

2. Высокая степень абстракции, присущая математическим понятиям и законам, весьма затрудняет для преподавателей школ правильное раскрытие связей математики с практикой непосредственно в процессе самого преподавания математики в школе. В методической же литературе, как известно, этой стороне преподавания математики в школе не уделялось должного внимания, в силу чего постановке преподавания математики в школе в большей степени, чем другим учебным предметам, присущи догматизм в изложении и отрыв преподаваемого от жизненной практики людей.

Настоящая работа посвящается одной из сторон школьного преподавания геометрии, а именно — школьным геометрическим построениям. В ней мы преследуем следующие цели:

1. Вскрыть истинные причины наредкость поразительного несоответствия между весьма высокой оценкой роли и значения геометрических построений для целей школьного преподавания в нашей учебно-методической литературе, с одной стороны, и между

неизменно неудовлетворительной на протяжении многих десятилетий практикой их использования в школе, с другой.

2. Определить основные вопросы методики решения геометрических задач на построения, без разрешения которых, на наш взгляд, невозможно полноценное и эффективное использование геометрических построений для целей более глубокого проникновения в существо изучаемой в школе геометрии.

3. Дать систему методических принципов и приемов для реализации основных вопросов методики решения задач на построение, пригодную для целей обучения в школе на начальной, наиболее трудной стадии изучения геометрии (в 6—7 кл.).

4. Вскрыть причины той «рутины», которая характерна для положения с геометрическими построениями в школе в смысле .полного отрыва школьного преподавания от практики, вообще и от чертежей практики, в частности, и указать доступные для школы пути и средства их устранения.

Глава 1. ПОЛОЖЕНИЕ С ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОСТРОЕНИЯМИ В УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ И В ПРАКТИКЕ ШКОЛЬНОГО ПРЕПОДАВАНИЯ.

На основании изучения весьма многочисленной учебно-методической литературы по элементарным геометрическим построениям и некоторых документов, характеризующих многолетнюю практику внедрения их в школу, мы приходим к следующим выводам:

1. Большая ценность геометрических построений для целей математического развития учащихся и для целей более глубокого и более осмысленного усвоения ими школьного курса геометрии всесторонне освещена в нашей литературе, в особенности в трудах С. И. Шохор-Троцкого, И. И. Александрова, Н. А. Извольского, Н. Ф. Четверухина и Д. И. Перепелкина и давно уже является общепризнанной. Это признание с начала 80-х годов прошлого столетия почти неизменно находит свое отражение и в программах по математике для средних школ.

2. Вместе с тем, также неизменно признается, что практика внедрения геометрических построений в школу была и продолжает оставаться неполноценной, а ее результаты — явно неудовлетворительными. Об этом весьма убедительно свидетельствуют С. И. Шохор-Троцкий — в 1892 г., И. И. Александров — в 1917 г. и В. М. Брадис — в 1946—51 гг.

3. Серьезного выяснения причин такого положения с геометрическими построениями в школе в нашей учебно-методической литературе нет. Обычные в таких случаях в ней ссылки на недостаточную подготовленность учителей школ «по теории и практике геометрических построений», как, якобы, на единственную причину, порождающую неуменье учащихся школ решать самостоятельно даже весьма простые задачи на построение, нельзя признать состоятельными.

4. Главная тому причина, на наш взгляд, кроется в непригодности для целей школьного преподавания той методической концепции решения задач на построение, какая в свое время была создана И. И. Александровым и какая осталась и по настоящее время в качестве незыблемой основы методики решения задач на построение.

Мы не склонны умалять, безусловно, весьма больших заслуг И. И. Александрова в области теории элементарных геометрических построений и в деле создания условий для внедрения их в практику школьного преподавания. Наоборот, анализируя его труды, мы отмечаем что в настоящее время оказались незаслуженно забытыми многие из его идей и результатов его исследований, весьма ценных для целей обучения геометрии в школе. К ним мы прежде всего относим весьма актуальную в настоящее время его идею использования задач на построение в качестве метода решения геометрических вопросов при обучении геометрии в школе, оправданию которой «делом» он уделил так много внимания в начальный период своих исследований.

Вместе с тем мы считаем, что та методическая концепция, на базе которой построен его основной труд («Методы решения задач на построение»), не может являться приемлемой основой для эффективного использования задач на построение в школе не только с точки зрения роли и места последних в школьном преподавании (что уже общепризнано с начала текущего столетия), но и для целей создания методики обучения решению самих задач на построение в школе. Мы считаем, что, справедливо отвергнув взгляд И. И. Александрова на роль и место задач на построение в школе (как на особый предмет школьного преподавания), как несовместимый с целями преподавания геометрии в школе, наша учебно-методическая литература сделала большую ошибку в прошлом и продолжает усугублять ее, сохраняя методическую концепцию И. И. Александрова в качестве основы методики обучения решению задач на построение. В этом, на наш взгляд, главная причина «весьма печальных» результатов внедрения геометрических построений в школу в прошлом и того, весьма неприглядного их положения в школе, какое мы наблюдаем в настоящее время.

Основной порок методической концепции И. И. Александрова мы видим в том, что, увлекшись разработкой «основных методов» и их популяризацией среди преподавателей школ (что для его времени имело большую актуальность), он подчинил «основным методам» буквально все, превратив их из весьма сильных средств решения задач на построение в некую самоцель, в предмет изучения, а сами задачи на построение — лишь в весьма удобный материал (средство) для достижения этой цели.

По этой причине в его основном труде задачи на построение не выступают в роли метода решения геометрических вопросов. По этой же причине он в нем явно недооценивает и значения полноценного проведения всех этапов процесса решения задач на построение для целей математического развития учащихся (этап исследования вооб-

ще оказался упраздненным: «Решение всякой задачи на построение оканчивается доказательством справедливости построения»; этап анализа низведен до роли «места», где сообщается «в готовом виде» способ решения задачи; сам этап построения принял чисто классическую форму, присущую «началам» Евклида, превратившись в «построения», выполняемые лишь языком, а не с инструментами в руках» (Штейнер).

5. В современной учебно-методической литературе имеется единственная попытка подвергнуть сомнению основные положения методической концепции И. И. Александрова. Мы имеем в виду книгу Д. И. Перепелкина «Геометрические построения в средней школе». В этой книге справедливо вновь поднят вопрос о необходимости использования в школьном преподавании всех ценных сторон геометрических построений и весьма кстати приведена хотя и не полная их характеристика. Логика вещей заставила автора книги почувствовать невозможность реализации этого требования в школе с позиций традиционной методической концепции и потому в первой главе этой книги по поводу роли «основных методов» в решении задач на построение можно прочесть: «Мы полагаем, что их значение не следует переоценивать. По самому существу дела это, собственно говоря, скорее не методы, а только приемы, облегчающие отыскание решения задачи... Было бы неправильно думать, что методы построений могут служить основой для классификации самых задач».

Однако эти, на наш взгляд, глубоко справедливые и весьма ценные мысли остались в этой книге лишь робкими сомнениями. Они не только не получили в ней дальнейшего развития, но, наоборот, автор книги поспешил тут же отречься от них, добавив «Мы бы сделали исключение лишь для метода геометрических мест и отчасти для метода подобия», и изложил конец первой главы и обе остальные главы этой книги с позиций традиционной методики. Фактически тем самым Д. И. Перепелкин присоединился к господствующему в нашей литературе глубоко ошибочному и вредному для дела взгляду, что «в средней школе все задачи на построение решаются применением только этих двух методов»1.

Наш взгляд на роль и место геометрических построений в школе заключается в следующем: в практике школьного преподавания должны быть использованы все существенно важные для целей математического образования стороны элементарных геометрических построений в качестве вспомогательного средства обучения. Основные направления и формы их использования нам представляются в следующем виде:

I. Задачи на построение должны быть использованы прежде всего как конструктивный метод трактовки геометрических вопросов. Он, как правило, должен играть вспомогательную роль при обучении и являться средством для более глубокого и более осмысленного понимания учащимися обоснований тех или иных выводов чисто логи-

1 А. М. Астряб. «Методика решения задач на построение». Киев, 1940 г.

чески ми средствами. Это требование мы в равной мере относим к изучению теорем, определений и основных понятий.

2. Задачи на построение должны быть использованы и как самостоятельный метод решения отдельных геометрических вопросов в тех случаях, когда решение их средствами логическими оказывается более трудным или весьма громоздким (например, при доказательствах некоторых теорем существования в геометрии, при установлении экстремальных свойств и т. д.).

3. Задачи на построение должны быть широко использованы и в качестве упражнений для целей: а) развития у учащихся логического мышления и постранственных представлений; б) установления связей геометрии с практикой; в) закрепления изученной ранее теории; г) приобщения учащихся к посильным для них самостоятельным исследованиям. При этом мы считаем, что эффективность такого использования в школе геометрических построений может быть обеспечена только при условии, что сами преподаватели школ будут в состоянии проводить полноценно и в то же время экономно весь процесс решения задачи на построение. Для этого необходимо прежде всего правильно определить роль, содержание и средства каждого из этапов общепринятой схемы решения задач на построение и дать методические принципы, пригодные для разработки методики обучения решению, задач на построение в школе.

Глава II. ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ.

1. В соответствии с указанной выше ролью задач на построение в школе мы в дальнейшем имеем в виду прежде всего такие задачи, которые являются наиболее целесообразными для целей школьного обучения. Все такие задачи мы делим на основные и неосновные, в зависимости от их роли в школьном преподавании. К основным мы относим не только так называемые штейнеровские элементарные построения и простейшие комбинации из них, как это обычно принято в литературе, но также и все те задачи, которые могут быть целесообразно использованы в качестве средства для выяснения существа изучаемых в школе геометрических понятий, то ли в роли метода, то ли в роли иллюстраций.

Такие задачи, являясь лишь конструктивной формой выражения геометрических понятий, не могут вызывать затруднений при их решении. Учитывая это, а также и то, что до сих пор такое их использование в школе почти не осуществлялось и в учебно-методической литературе надлежащего освещения не получило, мы в отношении основных задач ставим в качестве наиболее актуальной методической проблемы необходимость подбора таких задач для каждого из разделов школьного курса геометрии и разработки методики их использования в указанных целях. Не считая эту задачу трудной, мы в нашей работе ограничиваемся лишь ее постановкой и некоторыми рекомендациями общего характера в духе взглядов Н. А. Извольского на роль задач при обучении геометрии в школе.

2. Неосновные задачи на построение, призванные прежде всего служить целям развития у учащихся логического мышления и пространственных воображений, являются более трудными с точки зрения овладения самим процессом их решения. В отношении этих задач наиболее актуальными и трудными, на наш взгляд, являются вопросы методики их решения. При этом мы считаем, что для целей школьного обучения наиболее приемлемой является общепринятая в нашей учебно-методической литературе геометрическая форма установления связей между «данными» и «искомыми» в задачах элементами и соответствующая ей схема решения задач на построение, состоящая из четырех этапов: анализ, построение, доказательство и исследование.

Поэтому мы прежде всего детально выясняем роль каждого из этих этапов в едином процессу решения задач на построение, те цели, какие преследуются на каждом из них, и те возможные средства, с помощью которых эти цели могут достигаться.

Решая эти вопросы мы приходим к выводу, что этап анализа является важнейшим в этой схеме решения задач на построение и наиболее трудным в методическом отношении. Особую важность этого этапа мы усматриваем не только в том, что он, по образному выражению проф. Н. Ф. Четверухина, «дает ключ к решению задачи», но также и в том, что этот «ключ», т. е. полученный в анализе задачи способ ее решения, оказывается и основным объектом исследований на всех остальных этапах решения задачи, обусловливающим их основное назначение и их содержание.

Поэтому, при правильном и полноценном проведении этапа анализа, на остальных этапах решения задачи особых методических трудностей не должно быть. В силу этого, мы в отношении этапов построения, доказательства и исследования ограничиваемся только их общей, но достаточно подробной, методической характеристикой, особо останавливаясь на тех их весьма важных моментах, каким в нашей учебно-методической литературе не уделяется должного внимания.

К числу последних мы относим прежде всего следующие:

а. Категорическую обязательность осуществления требования Штейнера о выполнении построений «не только языком, но и с инструментами в руках», дабы обеспечить на этапе построения первую проверку степени полноценности того способа решения задачи, какой устанавливается на этапе анализа.

Категоричность этого требования мы обосновываем прежде всего тем, что в нашей учебно-методической литературе для школ «в силу традиции, перешедшей к нам от древних» (Штейнер), оно не только не подчеркивается должным образом, но сплошь и рядом не соблюдается в преподносимых в ней «образцах» решений отдельных задач. Мы приводим в связи с этим много таких «образцов», в которых «многое из того, что язык несколько легкомысленно выполняет, должно быть отброшено, коль скоро мы будем вынуждены выполнить построения с инструментами в руках» (Штейнер).

б. Необходимость обязательного и притом рационального использования на этапе построения всех математических точных инструментов построения, принятых в чертежной практике. При этом, критерием целесообразности применения тех или иных чертежных инструментов мы считаем степень простоты выполнения каждым из них того или иного, отдельно взятого, элементарного построения.

в. Обязательность проверки на этапе исследования полноты того способа решения задачи, какой установлен в анализе.

Это требование обычно вообще опускается в нашей учебно-методической литературе, что весьма часто приводит к неверным заключениям об условиях существования решений отдельных задач. Подобного рода ошибки часто имеют место даже в тех из «образцов» решений, приводимых в литературе, авторы которых настаивают на «весьма тщательном исследовании решений», но сводят обычно задачу этапа исследования только к установлению условий выполнимости тех построений, какие указываются в том способе решения задачи, какой они рекомендуют.

3. По мотивам, указанным выше, мы в нашей работе уделяем особенно большое внимание этапу анализа. В настоящей главе мы лишь ставим те основные вопросы методики проведения анализа, к необходимости решения которых приводят наши исследования, и даем детальное обоснование этой необходимости. Подчиняя этап анализа осуществлению требования — как по данным условий задачи найти способ ее решения и притом наиболее простой — мы приходим к следующему выводу. Достижение этой цели в анализе, будучи, вообще говоря делом весьма сложным и трудным, может быть значительно облегчено, если будут более или менее удовлетворительно решены следующие вопросы методики проведения анализа:

а) если будет установлена единая и вполне определенная геометрическая форма конечной цели анализа для всех задач (на построение;

б) если будут установлены те или иные критерии, дающие возможность непосредственно по тексту задачи решать вопрос о том, можно ли отыскать способ ее решения без каких бы то ни было вспомогательных построений в анализе, или к таковым существенно необходимо будет прибегать;

в) если будет выяснен вопрос о природе вспомогательных построений в анализе, когда обойтись без их помощи невозможно;

г) если будет осуществлена вполне состоятельная классификация задач на построение, подчиненная целям анализа;

д) если будут правильно определены роль и назначение так называемых основных методов решения задач на построение и будет разработана методика использования их в анализе;

е) если будут установлены те или иные критерии, облегчающие выбор («угадывание») нужных в анализе каждой конкретной задачи «основных методов» непосредственно по тексту самой задачи.

Глава III. РЕКОМЕНДУЕМАЯ НАМИ СИСТЕМА СРЕДСТВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ВОПРОСОВ МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ АНАЛИЗА ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ.

В этой главе мы излагаем систему методических принципов и приемов, обеспечивающих, на наш взгляд, приемлемое для школьных целей решение поставленных выше основных вопросов методики анализа. При этом мы имеем в виду прежде всего необходимость создания методики обучения решению задач на построение в 6—7 классах средней школы и потому некоторые из основных вопросов методики анализа решаем в нашей работе лишь в частном случае, применительно к особенностям курса геометрии 6—7 классов. Большинство же из наших рекомендаций могут быть применены и в методике обучения решению задач на построение вообще, а некоторые из них — и в методике обучения решению геометрических задач всех видов.

Учитывая «новизну» самих вопросов, поставленных нами, и «новизну» рекомендуемых нами средств их решения, мы, в целях большей ясности и наглядности излагаем в этой главе наши рекомендации применительно «к задачам на построение многоугольников», являющимся одним на четырех возможных классов задач на построение в рекомендуемой нами классификации. По этой же причине мы сопровождаем изложение большим числом примеров в целях иллюстраций.

1. Наиболее целесообразной для целей обучения отысканию решений задач на построение мы считаем такую классификацию самих задач, основа которой была бы связана с «искомым» в задачах.

Исследования природы «искомых» в различных задачах приводят к возможности разделения всех задач на построение на следующие четыре класса: 1) задачи на построение многоугольников; 2) задачи на построение окружностей (или их дуг); 3) задачи на построение прямых (или отрезков) и 4) задачи на построение точек.

Не вдаваясь здесь в подробности обоснования состоятельности такой классификации, заметим лишь, что основным требованиям, предъявляемым ко всякой классификации, эта наша классификация задач на построение удовлетворяет. А именно: а) все задачи на построение оказываются распределенными по этим четырем классам: б) каждая из задач попадает только в один из этих четырех классов.

Тем самым уже с чисто формальной точки зрения рекомендуемая нами классификация задач на построение более приемлема, нежели ставшая у нас традиционной классификация задач «по основным методам», которая, как известно, ни одному из этих требований не удовлетворяет. Методические же преимущества рекомендуемой нами классификации, в сравнении с классификацией «по основным методам», нам представляются весьма большими.

2. Такая классификация задач обеспечивает возможность установления единой геометрической формы для конечной цели анализа во всех задачах на построение, а вместе с тем и открывает возможность

установления и единых методических средств для достижения этой цели. Эта возможность обусловливается тем, что любой из четырех возможных «искомых в задачах геометрических образов» вполне определяется тем или иным, но всегда конечным числом его точек. Отсюда — возможность сводить конечную цель анализа во всякой задаче на построение к определению положения того или иного числа точек и только точек. Систему точек, вполне определяющих (характеризующих) тот из четырех основных геометрических образов, которые являются искомыми в задачах на построение, мы называем характеристическими точками этого геометрического образа.

В силу этого представляется возможным сделать вполне определенным понятие «искомые элементы», которое в обычных, даже лучших характеристиках этапа анализа, лишено такой определенности1, определив этап анализа, например, так: основным назначением этапа анализа является установление связей между элементами, данными в условии задачи, и характеристическими точками искомого в ней геометрического образа.

3. В качестве весьма эффективного средства для достижения этой цели анализа мы рекомендуем идею вспомогательного треугольника. Суть ее заключается в следующем.

Установление связей между «данными элементами» (точками, отрезками, углами и т. п.) и «элементами искомыми» (всегда точками) будет значительно облегчено, если и первые и вторые (или хотя бы часть тех и других) окажутся элементами одного и того же вполне определенного треугольника. (В этом случае решающему задачу для установления нужных связей достаточно будет использовать только те или иные свойства треугольника, а не весь его запас знаний по геометрии).

Вообще говоря, треугольник можно считать вполне определенным, если он может быть построен с помощью тех или иных данных условия. Для наших целей целесообразно наложить на это понятие более сильные ограничения, а именно — считать вполне определенным только такой треугольник, способ построения которого решающему задачу уже известен и вершины которого (хотя бы одна) совпадают с искомыми точками.

Всякий такой треугольник мы называем построимым треугольником.

Имея в виду, что в анализе одной и той же задачи на чертеже часто можно получить не один, а несколько построимых треугольников, и учитывая сформулированнную выше конечную цель анализа, естественно всякий раз брать в качестве вспомогательного не какой-либо из возможных построимых треугольников, а наиболее эффективный из них. Критериями эффективности построимых треу-

1 См., например, определения этапа анализа у Н. Ф. Четверухина, Д. И. Перепелкина и В. М. Брадиса.

гольников должны являться как число совпадений вершин построимого треугольника с «искомыми» точками (это главное), так и степень простоты способов их построения.

4. Тот чертеж, который в анализе задачи обычно набрасывается от руки в предположении, что задача решена, мы называем первоначальным чертежом-наброском и рекомендуем выполнять его сплошными линиями. Известно, что при решении одних задач анализ может быть проведен только с помощью этого первоначального чертежа-наброска, а при решении других бывает существенно необходимо дополнять его теми или иными вспомогательными построениями. (Их мы рекомендуем всегда выполнять пунктиром).

Как было отмечено выше, этапы построения, доказательства и исследования всегда осуществляются легче и выглядят проще, если в анализе способ решения задачи может быть установлен только с помощью первоначального чертежа-наброска. Так, тем более, обстоит дело на этапе анализа. В силу этого мы считаем целесообразным разделить для целей методических все неосновные задачи на построение на задачи простые и задачи сложные в зависимости от того, достаточно ли для установления способа решения задачи первоначального чертежа-наброска, или же для этого необходимо прибегать к дополнительным построениям.

Очевидно, что как только на чертеже-наброске будет создан хотя бы один построимый треугольник, этого достаточно, чтобы способ решения задачи мог быть установлен. Поэтому целесообразно назвать цель создания на чертеже-наброске построимых треугольников ближайшей целью анализа. (В отличие от его конечной цели, состоящей в установлении способа решения задачи).

Очевидно также, что возможность или невозможность образования построимых треугольников уже на первоначальном чертеже-наброске может являться и достаточным критерием простоты или сложности задачи, а вместе с тем и критерием того, нужны ли будут на этапе анализа те или иные вспомогательные построения или нет. Эти критерии мы формулируем следующим образом: если, предположив задачу решенной, на первоначальном чертеже-наброске сам по себе образуется хотя бы один построимый треугольник — задача является простой и способ ее решения может быть найден с помощью такого построимого треугольника без каких бы то ни было дополнительных построений. Если же на первоначальном чертеже-наброске построимых треугольников нет и задача не является основной, то для установления способа ее решения существенно необходимы те или иные дополнительные построения на чертеже.

5. Характерно, что как только на чертеже-наброске будет создан хотя бы построимый треугольник, то в большинстве случаев установление связей между «искомыми элементами» и «элементами данными» может быть обеспечено применением только одного метода геометрических мест. В силу этого, можно утверждать, что для отыскания решений простых задач действительно достаточно одного метода

геометрических мест1, а вместе с тем его одного достаточно и для осуществления всего процесса решения простых задач. Однако, верно и обратное: если задача является сложной—способ ее решения одним методом геометрических мест найден не может быть. Для отыскания его существенно необходимо использовать в анализе те или иные другие «основные методы».

6. В задачах сложных весьма важным и вместе с тем и весьма трудным является вопрос о том, какие вспомогательные построения на чертеже-наброске должны быть осуществлены, чтобы можно было установить способ решения задачи. Заметим, что вокруг природы «вспомогательных элементов» в нашей учебно-методической литературе создано немало тумана, а в прошлом — даже мистики. Наши исследования этого вопроса дают возможность сделать следующие вывода: а) вспомогательные элементы, к которым весьма часто приходится прибегать при отыскании решений сложных задач, нужно искать, как правило, среди элементов самого первоначального чертежа-наброска; б) по своей природе — это ни что иное, как лишь иные положения на чертеже тех или иных элементов первоначального чертежа-наброска; в) получить эти вспомогательные элементы из элементов первоначального чертежа-наброска можно с помощью тех или иных методов преобразования (тех или иных «основных методов»).

В этом, на наш взгляд, и заключается роль «основных методов» в решении задач на построение. Вот почему мы считаем глубоко справедливой мысль Д. И. Перепелкина, что «но самому существу дела это, собственно говоря, скорее не методы, а только приемы, облегчающие отыскание решения задачи», не получившую, однако, у него правильного развития и потому оставшуюся не замеченной в нашей литературе. Суть дела, конечно, не в том, как их назвать — методами или приемами (дальше чего Д. И. Перепелкин не пошел). Суть дела в том, что они — только средства для отыскания решений задач на построение и не больше. При этом в качестве таковых все они являются одинаково ценными и одинаково существенно необходимыми при полноценном решении задач на построение, в том числе и тех задач, какие, безусловно, целесообразно использовать в школьном преподавании.

Все методы геометрических преобразований, с какими в той или иной мере знакомятся в школе учащиеся, могут и должны быть использованы в качестве весьма эффективных средств, обеспечивающих осмысленное получение способов решения задач и обучение их решению. Всякая попытка ограничить школьную практику решения задач на построение только одним методом геометрических мест и «отчасти методом подобия» (что, к сожалению, нашло уже отражение в «программах по математике» для средних школ, изданных в 1954 г.) неизбежно приведет к невозможности использования в шко-

1 Решения многих основных задач могут быть найдены вообще без применения «основных методов».

ле сложных задач, являющихся весьма ценными для целей математического развития учащихся1.

7. Чтобы «основные методы» могли быть эффективно использованы в практике решения задач на построение в школе (да и вообще), необходимо, на наш взгляд, решить еще следующие три вопроса:

а) до конца выяснить природу не совсем еще определенного понятия «вспомогательные элементы»; б) определить в «наглядно» геометрической форме ту ближайшую цель, для достижения которой они должны быть использованы; в) установить те или иные критерии, облегчающие их выбор («угадывание»).

В нашей работе они решены так: а) «вспомогательные элементы» — это в большинстве случаев прямые линии, иногда окружности; б) ближайшая цель применения «основных методов»—создание на чертеже-наброске построимых треугольников (в редких случаях — построимых окружностей), причем первая из этих целей оказывается пригодной для большинства задач, доступных для использования в 6—7 классах средней школы. По этой причине мы в настоящей работе детально излагаем методические приемы создания на чертеже-наброске с помощью методов преобразования только построимых треугольников, ограничиваясь в отношении построимых окружностей лишь замечаниями общего характера; в) наши исследования приводят к выводу, что вид методов преобразования, необходимых для проведения анализа сложных задач, зависит от двух факторов: 1) от того, как заданы данные в условии задачи элементы 2) как они «ведут себя» на первоначальном чертеже-наброске.

Как известно, данные в условиях задачи могут быть заданы как по величине, так и своим положением на плоскости. На первоначальном чертеже-наброске они могут оказаться или изображенными явно, или неявно.

В настоящей работе мы даем критерии применимости методов преобразования лишь для тех трех видов преобразований, какие доступны учащимся 6—7 классов средней школы: параллельный перенос, отражение от оси (осевая симметрия) и вращение (спрямление). Критерии эти, вообще говоря, являются лишь часто достаточными, но в отношении задач, целесообразных для использования в 6—7 кл., они в большинстве случаев оказываются весьма эффективными.

Зная непосредственное назначение методов преобразования в анализе (создавать на чертеже построимые треугольники) и имея критерии их применимости, важно в целях ускорения процесса отыскания решения и обеспечения наиболее простого способа решения задачи уметь целесообразно произвести выбор тех элементов первоначального чертежа-наброска, которые должны быть подвергнуты

1 Не случайно Д. И. Перепелкин вынужден был во второй главе своей книги ограничиться только примерами простых задач.

перемещениям в иные положения. В работе мы этот вопрос рассматриваем детально.

8. В заключение главы мы даем единую для всех задач на построение схему проведения этапа анализа и примеры ее применения к отысканию решений задач на построение многоугольников.

Глава IV. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РЕКОМЕНДУЕМОЙ НАМИ МЕТОДИКИ ПРОВЕДЕНИЯ АНАЛИЗА К ЗАДАЧАМ ТРЕХ ОСТАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Задачи на построение окружностей, прямых и точек имеют некоторые особенности общие им всем, но отличные от задач на построение многоугольников. Выясняя эти особенности и внося соответствующие коррективы в методику проведения анализа задач этих трех классов, мы подтвеждаем на ряде примеров пригодность и эффективность нашей методики и в отношении задач этих трех классов.

Глава V. О ПРОСТОТЕ СПОСОБОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ

1. В целях проверки степени эффективности рекомендуемой нами системы средств анализа, мы исследовали весьма большое число известных в литературе способов решения разного рода задач. В большом числе случаев мы получили оригинальные решения и всегда более простые, нежели рекомендуемые в литературе, а во всех остальных случаях полученные нами способы решения совпали с общеизвестными. При этом оказалось, что буквально во всех случаях, когда в образцах решений, приводимых в литературе, рекомендуемые в ней способы решений рекламируются как «наиболее простые», «простейшие», «изящные» и т. п., эти рекомендации не соответствуют действительности. Так обстоит дело во всех учебно-методических пособиях, начиная от школьного руководства геометрии А. Киселева и кончая диссертационными работами последних лет.

2. Анализируя причины наличия подобного рода фактов в нашей учебно-методической литературе, можно сделать следующие заключения:

а) в одних случаях они являются результатом чисто механического перенесения («по инерции») в современные пособия способов решений отдельных задач с подобного рода их рекламациями из пособий, изданных в далеком прошлом, когда понятие простоты решений в теории геометрических построений не получило еще достаточного обоснования;

б) в других же случаях имеет место безответственное отношение к делу, нередко порождаемое одним стремлением «быть оригинальным» вопреки данным теории, знать которую авторы подобного рода рекламаций были бы обязаны;

в) в обоих случаях совершенно бесспорным является то, что подобного рода факты в настоящее время абсолютно недопустимы.

3. Поскольку понятие простоты способов решения задач на построение тесно связано с точностью самих построений, постольку оно могло бы быть весьма ценным средством связи школьного преподавания с практикой и сильным стимулом для рационального использования в школе всех чертежных инструментов, употребляемых в чертежной практике.

Учитывая, что в нашей учебно-методической и научно-популярной литературе вопрос о простоте построений не ставится и теория этого вопроса в ней совершенно не освещена, мы изложили вкратце историю возникновения и развития в конструктивной геометрии понятия простоты построений и основные принципы оценки степени простоты построения (Винер, Лемуан, Рэйш) и дали некоторые свои соображения по методике внедрения понятия простоты построения в практику школьного преподавания.

Л 136746 От 28/КН—55 г. Объем 1 п. л. Тираж 100 Заказ 9135

Типография «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73