МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

А. К. ОКУНЕВ

О ПРЕПОДАВАНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА — 1951

О ПРЕПОДАВАНИИ ТРИГОНОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автор настоящей работы, опираясь на значительные наблюдения за педагогическим процессом в школе, на свой личный преподавательский опыт и на изучение богатой научно-методической отечественной литературы, ставит своей целью:

1) раскрыть в свете общих задач советской школы коренные недостатки традиционного преподавания одного из разделов школьного курса математики — тригонометрии;

2) наметить возможный, удовлетворяющий требованиям современного обучения, путь преодоления этих недостатков, указав необходимые средства для фактической реализации этого пути в непосредственной практике преподавания.

Для достижения поставленных целей предварительно проводится краткий исторический анализ развития отечественной методической мысли в связи с преподаванием тригонометрии в средних учебных заведениях России до и после Великой Октябрьской революции.

Исторический анализ эволюции школьного курса тригонометрии раскрывает картину развития и обогащения этого учебного предмета как по содержанию, так и по форме изложения. Из узко утилитарного, «рецептурного» собрания отдельных правил и указаний к решению простейших практических задач учебный курс тригонометрии вырос к настоящему времени в большой самостоятельный отдел школьной математики, имеющий своим предметом изучение одного из важнейших классов функций и их приложений в самых различных областях науки и практической жизни. Эволюция учебного курса тригонометрии тесно связана, с одной стороны, с развитием самой тригонометрии как одной из составных частей математического анализа, с другой стороны — с теми глубокими преобразованиями системы общего и специального среднего образования, которые диктовались изменениями условий материальной жизни общества.

История преподавания тригонометрии, как и всякой школьной дисциплины, является одновременно историей развития общих и частных дидактических идей, принципов и методов обучения. Анализ огромной отечественной научно-методической литературы по тригонометрии с полным правом позволяет сделать вывод о высокой культуре русской творческой научно-методической мысли, которая не только не отставала от передовых достижений Запада в вопросах дидактики тригонометрии, но значительно опережала их глубиной своих теоретических исследований (Петербургская школа

во главе с Эйлером) и оригинальностью педагогических взглядов (Головин, Верещагин, Остроградский, Дмитриев, Шапошников, Рыбкин и др.).

Передовые (своего времени) представители русской педагогической общественности отличались творческим энтузиазмом и новаторством; они не останавливались перед трудностями, создаваемыми социально-экономическими условиями монархического режима и шли в своих педагогических исследованиях далеко за рамки официальных правительственных циркуляров и программ. Отдельные прогрессивные русские деятели в своих творческих исканиях иногда весьма близко подходили к правильному для своего времени решению основных проблем методики математики, однако результаты их трудов не могли последовательно реализоваться на практике в условиях царского режима, так как такая реализация требовала широкую демократизацию образования, а это противоречило интересам господствующих классов.

Только в нашем социалистическом обществе, где осуществляется гармония интересов всего народа и единство революционной теории и практики, можно ожидать истинно научное, основанное на диалектическом материализме, решение вековых исканий в области методики и претворение этого решения в практике работы школы. Именно теперь, когда в стране произведены коренные социально-экономические преобразования, увенчавшиеся построением социализма и колоссальным расцветом материальной и духовной культуры советского народа, с особой актуальностью встает необходимость такой организации процесса обучения, которая соответствует исторической задаче советской школы,— воспитанию активных строителей коммунистического общества. В нашей стране, разрешающей в настоящее время задачи всеобщего среднего образования, проблемы дидактики приобретают исключительно важное общегосударственное значение.

В последние годы среди различных вопросов дидактики математики особенно большое внимание завоевала себе методика тригонометрии. Такое явление отнюдь не случайно; оно объясняется главным образом тем, что из всех предметов школьной математики тригонометрия является в настоящее время наименее сложившейся и оформившейся в смысле своего содержания и системы изложения и наиболее отставшей от современного развития математики. Более того, еще до сих пор школьный предмет тригонометрии продолжает оспаривать свое право на самостоятельность среди других предметов школьного курса математики. Некоторые зарубежные и отечественные методисты придерживаются того мнения, что школьный курс тригонометрии не является сколько-нибудь самостоятельным и должен быть растворен в геометрии и алгебре.

В настоящей работе автор обнаруживает полную несостоятельность подобных взглядов, основанных на непонимании роли данного учебного предмета и его взаимоотношения с самой наукой, математическим анализом. Скорее следует говорить не о ликвида-

ции школьного предмета тригонометрии путем его растворения в геометрии и алгебре, а о целесообразности выделения из алгебры и геометрии целого ряда вопросов, взятых ими из математического анализа, с целью объединения этих вопросов вместе с учением о тригонометрических функциях в самостоятельный школьный курс элементарного математического анализа. Так же, как в науке тригонометрия стала в свое время частью математического анализа, так и в школе она войдет, рано или поздно, составной частью в соответствующий математическому анализу школьный предмет.

До настоящего времени не решен также вопрос о строении самого курса тригонометрии. На страницах печати продолжается дискуссия вокруг вопроса: «Надо ли выделять в курсе тригонометрии так называемую вводную, пропедевтическую часть?».

В диссертации уделяется достаточное внимание вопросу о строении курса тригонометрии. Учитывая цели и практику преподавания тригонометрии в советской школе, а также ее взаимоотношение с современной наукой, автор приходит к выводу о целесообразности выделения в курсе школьной тригонометрии трех органически связанных между собой частей: 1) вводной (вспомогательной) части, 2) основной части и 3) дополнительной части.

Вводный курс должен охватывать по возможности краткое учение о тригонометрических функциях острого угла и приложения этого учения к решению различных задач. Прохождение этой части курса во времени следует непосредственно за учением о подобном преобразовании в геометрии, причем сами функции определяются как инвариант подобного преобразования прямоугольного треугольника. Такое узкое определение тригонометрических функций еще не выводит за рамки учения о треугольнике, но оно обогащает это учение качественно внесением в него элементов нового, аналитического метода исследования, расширяет область приложений теории треугольника и создает предпосылки для дальнейших обобщений.

Обобщения определения и исследования тригонометрических (круговых) функций во второй части курса, строящиеся на основе рассмотрения треугольника во взаимной связи с кругом при условии органического слияния синтетического и аналитического методов, дают возможность дальнейшего всестороннего изучения указанных геометрических образов (треугольника и круга) и, вместе с тем, открывают совершенно новые понятия, выходящие далеко за рамки прежних, узко геометрических проблем. Такое «развитие тригонометрии из синтетической геометрии является хорошим примером диалектики, рассматривающей вещи не в их изолированности, а в их взаимной связи» (Энгельс Ф., Диалектика природы, стр. 214). Строение основной части курса тригонометрии при наличии «вводной» избавляет от необходимости традиционной ориентации теории тригонометрических (круговых) функций на обслуживание запросов геометрии и позволяет давать сразу самое общее (в геометрической форме) определение этих функций, как функций отвлеченного числового аргумента.

В дополнительной части курса автор имеет в виду элементарное изложение аналитической теории тригонометрических функций действительного переменного и обобщение этой теории на случай комплексного аргумента.

Но если вопросы о месте тригонометрии в учебном курсе элементарной математики и строении ее курса носят пока дискуссионный характер, то необходимость коренного пересмотра содержания школьной тригонометрии и постановки ее преподавания в свете запросов современной жизни и науки признается в настоящее время всеми без исключения. Анализ учебно-методической литературы и результатов работы наших школ обнаруживает целый ряд существенных недостатков в постановке преподавания данного предмета. Отметим здесь наиболее существенные из этих недостатков:

1) Наблюдаются вредные крайности, заключающиеся либо в недооценке теории тригонометрических функций, основанной на идее развития, либо в переоценке формально-символического аппарата тригонометрии. В первом случае все содержание курса концентрируется вокруг решения треугольников и других геометрических приложений, в результате чего у учащихся создается неправильное, узкое представление о предмете тригонометрии и целях ее изучения. Во втором случае преподавание тригонометрии сводится к формальному изучению традиционной системы свойства прямых и обратных тригонометрических функций без раскрытия истинной природы этих функций и без надлежащих практических приложений их как в самой математике, так и в других науках.

2) Не проявляется надлежащего внимания установлению теоретической и практической связи тригонометрии с алгеброй, геометрией, физикой, астрономией, военным делом и другими предметами. Курс тригонометрии строится в искусственной изоляции даже от других предметов школьной математики, без учета того, что из них учащиеся получили уже многие, необходимые для тригонометрии сведения и понятия, как-то: представление о функциональной зависимости, понятие о пределе, навык аналитического и графического исследования и т. п. Установилась традиция начинать учебники тригонометрии подробным введением понятий о координатах, о функции и ее графическом изображении, о пределе, как будто учащиеся нигде раньше с этими понятиями не встречались и знакомятся с ними впервые.

3) В школьном курсе тригонометрии, как ни в каком другом предмете, процветает безидейность и формализм в изложении учебного материала. Отдельные разделы курса преподносятся без достаточной органической и логической связи между ними и без постановки соответствующих проблем, приводящих к ним. Не раскрывается сущность (характерного для тригонометрии) аналитического метода, выражающаяся в том, что исследование всякого вопроса этим путем сводится в конечном итоге к составлению и решению соответствующих уравнений (в школе — конечных, а в вузе и дифференциальных). Не обнаруживается в достаточной мере

своеобразие и сила аналитического метода тригонометрии и в разделе «Решение треугольников»; здесь, совершенно неожиданно, все сводится к четырем «рецептам» и на этом делается неприятная остановка. У учащихся создается ложное представление, будто тригонометрия отличается от геометрии только тем, что дает возможность с помощью формул и таблиц находить приближенно по сторонам треугольника углы и наоборот.

4) Именно в тригонометрии, как ни в каком другом учебном предмете, наблюдается вредное злоупотребление огромным количеством формул и правил, которые в течение долгого времени заучиваются учащимися без полного понимания того, зачем они нужны и какими средствами они могут оказаться в процессе познания природы. Даже практические приложения этих формул приняли такую окостенелую традиционную форму, что и они не только не способствуют преодолению формализма в преподавании предмета, а сами же продолжают культивировать этот формализм. Большинство учебников так построено, что в них как бы намеренно создан отрыв изложения теории от тех практических проблем, которые исторически послужили причиной развития этой теории. А если некоторые из теоретических положений и находят в учебниках практические приложения, то и в этом случае составители считают необходимым искусственно выделять последние в особые главы, нередко даже не следующие непосредственно за изложением теории. Известно, например, что никакое, сколько-нибудь серьезное исследование тригонометрических функций немыслимо без решения простейших тригонометрических уравнений, но тем не менее мы почти не встречаем таких учебников, где органически увязывается изложение этих вопросов. Более того, некоторые авторы искусственно изолируют весь материал о тригонометрических уравнениях, отправляя его в конец курса в особую главу, не замечая того, что тем самым они лишают весь курс тригонометрии одного из самых важных орудий аналитического исследования, не говоря уже о том, что такая изоляция сводит к нулю образовательную ценность данных вопросов.

Особенно разительный и болезненный отрыв теории от практики обнаруживается именно в сугубо практической части курса,— в тригонометрии в узком смысле слова. Здесь установилась непременная ничем не обоснованная традиция выделять в особую главу вывод всех формул, выражающих зависимость между элементами (косоугольного) треугольника, причем этот вывод совершенно не увязывается с постановкой задачи о решении треугольников. Такое положение приводит к заучиванию учащимися огромного числа этих формул (например, в стабильном учебнике Рыбкина их 23, а в учебнике Берманта и Люстерника — 20) без всякой ассоциации с конкретными случаями их приложений, и только потом, когда все это шаблонно, формально изложено (а учениками покорно «вызубрено»), открывается специальная глава: «Решение треугольников». Здесь память учащихся должна вынести еще одну нагрузку: за-

помнить, в каком случае какой формулой надлежит пользоваться. Да и само решение треугольников большинством авторов излагается в такой омертвелой отвлеченной форме, с мучительно громоздкими логарифмическими расчетами, затемняющими сущность вопроса, что невольно у читателя возникает досадная мысль, будто в данном случае речь идет не о приложении самого содержательного и гибкого математического понятия, каким является функция, а о каких-то профессионально-бухгалтерских расчетах. Сами приложения носят к тому же совершенно отвлеченный характер и при выполнении их даже не употребляются геометрические изображения, помогающие осознавать выводы. Что же касается тех реальных, жизненных задач, которые в свое время породили тригонометрию или служили причиной ее развития, и которыми следовало бы открывать весь этот раздел курса для возбуждения соответствующего интереса у учащихся,— то их все авторы новейших учебников относят на конец курса (как досадную необходимость), а некоторые вообще опускают (например, Крогиус).

5) Одним из наиболее ощутимых и существенных недостатков традиционного изложения школьной тригонометрии является недопустимое отставание ее содержания от современных требований науки. До настоящего времени даже само определение тригонометрических функций в школе сводится к узко геометрической их интерпретации: аргумент — угол или дуга, а функция — отношение соответствующих отрезков в круге. Что же касается практических приложений понятия тригонометрических функций, то они ограничиваются только решением треугольников. Такое искусственное сужение понятия тригонометрических функций и сферы их приложений пагубно снижает образовательное и воспитательное значение учебного предмета тригонометрии, тормозит математическое развитие учащихся, а также не соответствует требованиям науки и жизни.

В первые же дни пребывания в вузе студент обнаруживает свое крайне ограниченное представление о сущности теории тригонометрических функций и непонимание самой природы этих функций и особенно функции y=Asin(bx+c) и ее параметров А, в, с. А ведь на изучение тригонометрии в школе затрачивается более двух лет! С понятным недоумением он задает себе вопрос, почему в школе не давали более широкого определения тригонометрических функций как функций числового аргумента, почему не говорили о таких приложениях этих функций, где роль аргумента играет время, отвлеченное число и т. п. Позднее он узнает, что аргументом тригонометрических функций могут быть и комплексные числа, что между этими функциями и некоторыми другими, известными ему из курса школьной алгебры, имеет место аналитическая связь, что косинус комплексного аргумента может принимать любые действительные значения, и однако об этом в школе ему не было сказано ни единого слова. Верно ли это? Следует ли мириться с таким отставанием школьной тригонометрии от науки? С нашей точки

зрения, нельзя; диссертация дает положительный ответ и на этот вопрос детальной методикой иного построения вводного и основного курса тригонометрии.

6) Впрочем, надо попутно заметить, что школьная тригонометрия даже при узкой постановке своих проблем далеко не блестяще справляется с выяснением как раз самых основных и важных понятий и прежде всего с выяснением понятия тригонометрической функции. В учебниках и особенно в учебной практике преподавания наблюдается некая торопливость в начале курса, при определении и исследовании тригонометрических функций. Неопытный преподаватель спешит перейти к выводу различных формул, выражающих алгебраическую связь между тригонометрическими функциями, с тем, чтобы затем «убивать» время на бесконечные упражнения в преобразовании одних тригонометрических выражений в другие и на доказательство часто самых неестественных и иногда никчемных тождеств. Многие составители учебников также непростительно ускоряют ознакомление с главной частью курса, посвященной определению и исследованию тригонометрических функций. Вместо последовательного изложения каждой функции в отдельности вплоть до построения ее графика, дается обычно «фронтальное» определение, а затем и исследование всех шести тригонометрических функций сразу. При этом далеко не полно используются знакомые уже учащимся графические средства. Авторы большинства учебников считают достаточным дать графики функций с кратким указанием способа их построений. Ту же ошибку повторяют неопытные учителя, не понимающие, что «график должен быть не самоцелью, а средством, орудием исследования данного соотношения, позволяющим из геометрического образа вычитывать те или другие важнейшие черты изучаемой функциональной зависимости» (Хинчин А. Я., Основные понятия математики и математические определения в средней школе, стр. 39). Трудно (а может быть пока и невозможно) встретить учебник, в котором проводится, например, «графическое сравнение» изменения различных тригонометрических функций между собой путем изображения их на одном чертеже, не говоря уже о сравнении этих функций с некоторыми известными учащемуся «нетригонометрическими» функциями. Например, во всех учебниках в своем месте рассматривается соотношение:

sinx < X < tgx (0 < X <

и ни в одном из них не демонстрируется графическая интерпретация этого неравенства. Отсутствует также в учебниках графическое истолкование «формул приведения». Не всегда дается надлежащая графическая интерпретация решению тригонометрических уравнений.

Можно, конечно, возразить тем, что учебник не должен освещать всех деталей курса, что это лежит на обязанности преподавателя и составителя сборника упражнений, но вряд ли можно согласиться с подобным возражением, если ориентироваться на большинство

наших учителей и учесть то обстоятельство, что традиционные сборники задач имеют еще больше пробелов, чем учебник. Более того, за последние 30 лет учебная литература по тригонометрии не пополнилась ни одним достаточно оригинальным новым сборником упражнений. Обзор литературы по тригонометрии неожиданно обнаружил, что на содержание задачников по тригонометрии не оказало значительного влияния и известное прогрессивное движение в методике математики в конце XIX века.

7) Современные сборники упражнений копируют задачники конца прошлого века, повторяя все их недостатки. В них попрежнему отводится огромное место отвлеченным формальным алгебраическим преобразованиям над различного рода тригонометрическими выражениями и не уделяется должного внимания развитию идеи функциональной зависимости вообще и тригонометрической функции, в частности. Как известно, в первых учебниках тригонометрии, для которых синтетический метод изложения был характерным, почти отсутствовали алгебраические преобразования; с проникновением в тригонометрию аналитического метода такие преобразования начали входить органически сперва в процесс доказательства теорем, а затем их стали вводить искусственно, как материал для упражнений, способствующий повышению самодеятельности учащихся в процессе обучения. Но в период «формальных увлечений» казенной школы прошлого чувство меры было потеряно, педагогические соображения переросли в свою противоположность, искусственные тождественные преобразования превратились в самоцель и до сего дня продолжают отягощать, а не облегчать усвоение основных важнейших понятий тригонометрии.

8) Сборники упражнений, как и учебники, искусственно суживают сферу приложений тригонометрических функций, сводя все задачи к решению треугольников. Задачи прикладного характера, заимствованные из физики, механики, географии и астрономии, если и встречаются, то только такие, где не приходится выходить за рамки узко геометрической интерпретации тригонометрических функций, при которой аргументом является угол или дуга. Даже аналитические упражнения подбираются только такие, где нет нужды считать аргументом отвлеченное число. Среди упражнений мы не находим функции вида: sin(ax2+bx+c), х + sinx, cos -. sin(tgx), cos1g(l+x) и т. п., фигурирующие в любом элементарном курсе анализа и вполне доступные учащимся средней школы. Тригонометрические сборники отличаются исключительной бедностью в отношении каких бы то ни было упражнений, требующих проведения исследований хотя бы в рамках ограниченной геометрической интерпретации тригонометрических функций.

9) Особенно большой недостаток новейших задачников по математике и, в частности, по тригонометрии обнаруживается в непременном стремлении авторов к полной «математизации» всякой задачи, путем устранения из ее содержания всего того жизненного

и конкретного, что не укладывается в сухой формальный язык математических понятий. Еще большая крайность указанной тенденции проявляется в полном отрыве содержания задач от реальной действительности, в замыкании задачника в рамках самого предмета, когда весь «практический» материал для упражнений черпается в содержании самой теории предмета. В таких тенденциях обнаруживается философское непонимание взаимоотношения теории и практики, непонимание общественной роли образования.

Теория является лишь средством, а не целью: цель лежит в самой практике в глубоком смысле этого слова, и в этом смысле практика выше теории. При решении вопроса о взаимосвязи теории и практики в процессе обучения советская педагогика должна исходить из философского анализа взаимоотношения теории и практики вообще, данного в трудах В. И. Ленина и И. В. Сталина. Опираясь на известные высказывания И. В. Сталина о творческом овладении теорией ленинизма, можно сказать, что овладение основами наук в школе также должно означать умение творчески применять приобретенные знания как в самой учебе, так и в жизни, в работе. А такое овладение теорией немыслимо без правильной постановки преподавания, без уяснения жизненной ценности содержания обучения.

Перечисленные выше недостатки традиционного преподавания тригонометрии недопустимо снижают образовательное и воспитательное значение данного предмета и мешают тем самым формированию всесторонне развитых людей нашего времени. Устранение этих недостатков невозможно без коренного изменения существующей учебно-методической литературы по данному предмету в духе требований современной жизни и науки.

На пути к соответствующей реформе в преподавании тригонометрии автор настоящей диссертации намечает и реализует в виде методических разработок следующие мероприятия:

a) Преподавание всех разделов тригонометрии одухотворяется идеей развития понятия функции. В процессе изложения курса раскрывается богатое содержание понятия функции вообще и, в частности, понятия тригонометрических функций, его научная и практическая ценность. Предлагаемая автором методика изложения курса тригонометрии концентрирует всё содержание данного предмета вокруг учения о тригонометрических функциях и их разнообразных практических и теоретических приложений в математике, физике, механике, геодезии, астрономии, географии, в военном деле и в технике.

b) Для облегчения перехода от школьной математики к высшей и сближения содержания школьного предмета тригонометрии с самой наукой, автор:

1) максимально суживает вспомогательный (вводный), курс тригонометрии ограничением в нем числа изучаемых функций (рассматривается только тангенс, косинус и синус) и удалением ненужного учебного материала (зависимость между тригонометри-

ческими функциями, тождественные преобразования и т. п.); высвобождающееся благодаря этому время идет на основной курс;

2) тригонометрические функции в основном курсе определяет как функции числового аргумента и максимально расширяет негеометрические приложения этих функций (изучение периодических явлений и процессов в природе и технике);

3) при условии увеличения числа часов на тригонометрию и учение о пределе (а еще лучше, при выделении особого предмета, «элементарного анализа») автор имеет в виду необходимость развития учения о показательной и круговых функциях на область комплексных чисел, где без особых трудностей дается аналитическое определение этих функций и раскрывается алгебраическая связь между ними.

c) Для избежания формализма и сухости в изложении учебного материала автор дает систему целесообразных задач, подводящих учащихся к новым понятиям и обнаруживающих необходимость расширения этих понятий и доказательство связанных с ними теорем. Что же касается самой системы изложения курса, то при ее выборе автор исходит из глубокой философской идеи развития и взаимосвязи изучаемых понятий.

d) Для достижения органической связи теоретического материала с практическим, для оживления процесса изучения тригонометрии и повышения творческой роли учащихся автор рекомендует коренное изменение задачника по данному предмету. В связи с этим в диссертации отводится большое место:

1) нетрадиционным упражнениям1, связанным с аналитическим и графическим исследованием тригонометрических функций и с различными (не только геометрическими!) приложениями этих функций в алгебре, физике, механике, астрономии, геодезии, географии, в технике и военном деле;

2) задачам-проблемам, требующим от учащихся проявления личной инициативы и находчивости в связи с необходимостью самостоятельного высвобождения из условия таких задач их «математических скелетов» и подыскания соответствующих методов решения; в числе таких задач имеются и недоопределенные, требующие некоторых дополнительных условий, которые обязаны обнаружить и добавить сами учащиеся.

Когда учащиеся получат необходимый минимум математического развития, полезно предоставлять им возможность самостоятельного составления задач, путем применения усвоенных ими понятий к реальной окружающей жизни.

e) Отказываясь от вредной традиции учебников и программ искусственно отрывать изложение теории тригонометрических функций от их практических приложений, выделением последних в особые главы (решение треугольников, тригонометрические уравнения и т. п.), автор настоящей работы находит необходимым и

1 Под упражнениями автор понимает не только примеры, но и задачи.

возможным непосредственное увязывание каждого теоретического вопроса курса с разнообразными приложениями. В предлагаемой методике изложения тригонометрии предусмотрены на протяжении всего курса самые различные приложения теории тригонометрических функций (в том числе и «решение треугольников»). Также на протяжении всего курса решаются тригонометрические уравнения, составляемые преподавателем и самими учащимися в связи с исследованием тригонометрических функций и по условиям различных задач прикладного и теоретического характера. Что же касается некоторой систематизации и обобщений в теории решения треугольников и уравнений, то они должны носить более теоретический, нежели практический характер, и место им, действительно, в конце курса.

f) Для облегчения и ускорения процесса изучения теории тригонометрических функций и выяснения их природы автор предлагает в диссертации систему наглядных пособий в виде различных графиков, рисунков, чертежей, шаблонов, моделей, измерительных инструментов, стробоскопа и кино. С помощью некоторых моделей, стробоскопа и кино можно демонстрировать реальные периодические явления и процессы, законы которых отражаются тригонометрическими функциями. В частности, для уяснения связи функций sinx с природой отражаемого ею реального процесса, автор сконструировал прибор, дающий кинематическое представление о гармонических колебаниях и позволяющий приближенно определять величину синуса для любого действительного значения аргумента. Простота конструкции этого прибора обеспечивает возможность его изготовления силами самих учащихся.

Вторая часть диссертации посвящается построению одного из возможных нетрадиционных путей преподавания тригонометрии, свободных от указанных выше недостатков. В ней даются достаточно подробные методические разработки и этюды основных, ведущих и наиболее сложных в дидактическом отношении вопросов школьного курса тригонометрии. При этом особое внимание уделяется автором подбору и составлению таких упражнений, с помощью которых достигается органическая связь теоретического и практического учебного материала. Эти упражнения должны сыграть существенную роль в преодолении формализма в знаниях учащихся и в выработке у последних элементарных навыков математического исследования.

В первой главе этой части излагается методика подготовительного (вводного) курса. В результате рассмотрения ряда конкретных примеров на первом занятии учащиеся обнаруживают необходимость установления и изучения функциональной зависимости между сторонами и углами в треугольнике. Следуя принципу «не допускать никакой видимости произвола при введении новых понятий», автор приводит учащихся к определению каждой тригонометрической функции в процессе решения целесообразно подобранных задач.

Вторая глава посвящена методике основного курса тригонометрии. Имея в виду достаточно высокий уровень математического развития учащихся старших классов и наличие вспомогательного (вводного) курса, автор находит возможным в основном курсе дать в геометрической форме самое общее определение круговых1 функций как функций числового аргумента. К такому общему определению учащиеся приходят постепенно, в связи с постановкой конкретных проблем прикладного и теоретического содержания.

На первых (вводных) занятиях учащиеся рассматривают различные виды периодических процессов и приходят к понятию периодической функции, как математическому средству выражения и изучения законов этих процессов. На реальных примерах периодических движений они знакомятся с различными периодическими функциями и, в частности, с круговыми, которые выражают законы простых гармонических колебаний, играющие огромное значение в науке и технике. Учащиеся без труда обнаруживают величину периода круговых функций и строят их графики; но желание найги аналитическое выражение этих функций приводит к необходимости обобщения известных (из вводного курса) тригонометрических функций острого угла. Это обобщение в свою очередь требует расширения прежних представлений об угле и дуге, а затем обнаруживает целесообразность введения новой, радианной меры дуг и углов с тем, чтобы аргумент круговой функции и величина самой этой функции выражались однородными величинами.

Наконец, когда все указанные трудности преодолены, проводится аналогия между функциями, известными учащимся из курса алгебры, и новыми, круговыми функциями sinz и cosz, в результате чего обнаруживается целесообразность обобщить определение последних так, чтобы они стали функциями числового аргумента. Для достижения этой цели внимание учащихся обращается на идею установления соответствия между элементами множества действительных чисел и точками «ориентированной окружности» (так автор называет «тригонометрический круг», т. е. «направленную» окружность, отнесенную соответствующим образом к прямоугольной системе координат); эта идея приводит к понятию «числовой окружности» и круговой (криволинейной) координаты точки на ней, как аналогов числовой оси и координаты точки на оси. Анализируя содержание общего понятия функции и перенеся этот анализ на круговые функции sinz и cosz, учащиеся приходят к выводу, что последние (круговые функции) выражают зависимость между «криволинейной» координатой z и прямоугольными координатами у, X точки M(z) «ориентированной окружности», которая соответствует действительному числу z.

1 Тригонометрические функции числового аргумента, полученные путем обобщения понятия тригонометрических функций острого угла, автор называет круговыми функциями.

Учитывая нецелесообразность традиционного «фронтального» определения и исследования круговых функций, автор рекомендует в настоящей работе последовательное рассмотрение каждой функции в отдельности, вплоть до построения ее графика, в котором подводится в удобной для обозрения форме итог всех её свойств, а иногда обнаруживаются новые, ранее не замеченные свойства. И только после того, как функции в отдельности достаточно изучены, следует установление связей между ними, выделение их общих свойств и дальнейшее изучение следствий из этих общих свойств.

Автор отказывается от такой формальной традиционной постановки преподавания тригонометрии, когда все круговые функции, начиная от синуса и кончая котангенсом (а иногда и косеконсом), излагаются академически бесстрастно, как совершенно равноценные, без надлежащего учета практической и теоретической значимости каждой из них. В предлагаемой работе наибольшее внимание уделяется исследованию функции sinz и ее многочисленным приложениям, так как другие круговые функции безусловно играют менее важное теоретическое и практическое значение и могут быть легко сведены к синусу путем алгебраических операций.

Процесс исследования синуса автор проводит в тесной связи с проблемой гармонических движений и заканчивает его рассмотрением функции вида Asin(bz+c), при этом весьма широко используются аналитический и графический методы.

Вывод и доказательство всех свойств функции cosz производится аналитическим путем на основе соотношения cosz=sin(z+j), которое сперва открывается экспериментально, путем проведения аналогии между двумя гармоническими процессами с разностью фаз?=-^, затем доказывается строго геометрическим путем.

Исследование функций sinz и cosz завершается установлением двух родов зависимостей между ними:

а) зависимостей, обнаруживающихся через преобразование аргументов (в традиционных учебниках эти зависимости называются «формулами приведения»), и

в) зависимости алгебраической, без преобразования аргументов.

Зависимости первого рода открываются учащимися путем экспериментальных кинематических операций с графиками и их моделями, а затем проводится аналитическое доказательство их. К зависимости второго рода, т. е. соотношению sin2z+cos2z=l, учащиеся приходят в процессе решения задачи об отыскании функции, графиком которой является «ориентированная окружность».

Большинство упражнений этого раздела посвящается установлению связи между прямоугольными и полярными координатами, графическому изображению функций, заданных в полярных координатах, отысканию уравнений данных геометрических мест (данных

кривых) и выражению уравнениями законов различных кинематических движений.

Функции tgz и ctgz определяются как отношения прямоугольных координат точки M(z), соответствующей действительному числу z на «ориентированной окружности», а при исследовании этих функций широко привлекаются алгебраические выражения их через синус и косинус, а также геометрическое изображение их в виде соответствующих отрезков касательных к «ориентированной окружности».

В процессе исследования всех круговых функций учащиеся много раз встречаются с «тождественными зависимостями» между ними, справедливыми при всех допустимых значениях аргументов. В связи с понятием «тригонометрического тождества», играющего важное значение как в курсе тригонометрии, так и в различных приложениях круговых функций, автор уделяет некоторое внимание в работе следующим вопросам:

а) предупреждению ошибок, допускаемых учащимися при установлении тождественности данного соотношения без должного соблюдения определения тождества;

в) выяснению понятия тождественных тригонометрических преобразований;

c) выяснению понятия зависимых и независимых тождеств;

d) некоторым приемам доказательства тождеств;

e) геометрической интерпретации тождеств;

f) решению различных упражнений, связанных с тождественными преобразованиями тригонометрических выражений.

На протяжении всего курса тригонометрии учащиеся имеют дело с тригонометрическими уравнениями и неравенствами, как средствами аналитического исследования круговых функций и тех вопросов, где эти функции имеют приложения. В результате рассмотрения различных соотношений между всеми круговыми функциями создаются условия расширения видов тригонометрических уравнений и развития техники их решений. В связи с этим автор предлагает образцы таких упражнений, в которых подчеркивается функциональная точка зрения в определении и решении уравнений, а также обнаруживаются источники происхождения тригонометрических уравнений.

Заканчивается настоящая работа методикой теоремы сложения и ее следствий. Учитывая исключительную важность теоремы сложения как в теории круговых функций, так и в их приложениях, автор уделяет ее доказательству особое внимание. Для возбуждения у учащихся творческого интереса к открытию и доказательству данной теоремы ставится ряд упражнений, для выполнения которых недостаточно уже известных им сведений из теории круговых функций; при этом в одних случаях преподаватель ограничивается указаниями, что решение поставленной задачи станет возможным только после доказательства теоремы сложения, а там, где

это возможно и целесообразно, учащиеся подводятся непосредственно к содержанию теоремы.

Доказательство теоремы сложения дается сразу в самом общем виде с помощью теоремы «о проекции ломаной», для чего предварительно уточняется известное учащимся из курса физики понятие вектора и сообщаются некоторые простейшие сведения из «теории проекций».

Используя алгебраические операции над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме, дается обобщение теоремы сложения и некоторых ее следствий.

Среди упражнений в данном разделе значительное место отводится таким, где требуется проведение исследований различных теоретических и прикладных вопросов. В порядке приложений теоремы сложения рассматриваются простейшие задачи гармонического анализа, устанавливаются аналитическим путем периоды некоторых тригонометрических функций, доказывается непрерывность круговых функций.

В заключении автор считает должны заметить, что настоящая работа отличается от всех, подобных ей, тем, что в ней уделено большое внимание методическому подбору нетрадиционных упражнений, соответствующих предлагаемой методике изложения курса тригонометрии. Всего в работе содержится около 500 упражнений, причем многие из них решены, а для остальных более трудных даны указания к решениям. Значительная часть упражнений составлена самим автором.

Технический редактор А. В. Трофимов.

Л 93467. Сдано в набор 8/II 1951 г. Подп. к печ. 22/11 1961 г. Печ. л. 1. Уч.-изд. л. 1,4. Ф. б. G0X927i6 д. Заказ № 343. Тираж 109 экз.

Типография «Путь Октября», Москва