МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

Т. Ф. НИКОНОВА

Джон Валлис как создатель первого курса „Алгебры“ (1685 года) на историко-генетических началах и применение историко-генетического метода в современном преподавании математики в школе

(732—методика математики)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва —1969

Работа выполнена в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской.

Научный руководитель — заслуженный деятель наук РСФСР, профессор И. К. Андронов.

Официальные оппоненты:

Доктор математических наук, профессор Б. А. Розенфельд.

Кандидат физико-математических наук, доцент Н. Д. Беспамятных.

Автореферат разослан « . . »...... 1969 г.

Ведущее предприятие — Новосибирский институт усовершенствования учителей.

Защита диссертации состоится в Московском областном педагогичеком институте им. Н. К. Крупской «..»..,... 1969 г.

Адрес: Москва, Б-5, ул. Радио, 10а, Московский областной педагогический институт им. Н. К. Крупской.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Секретарь ученого совета

(ХОЛОДОВА И. Л.).

В соответствии с программой КПСС и решениями XXIII съезда партии нашей школе предстоит взять новый важный рубеж — приступить к осуществлению всеобщего среднего образования.

По завершении среднего образования вся молодежь должна получить такое общее развитие, которое позволило бы ей следить за успехами науки и культуры, разбираться в основных вопросах, волнующих наше общество, смогло бы содействовать раскрытию творческих способностей каждого.

Все это предъявляет более высокие требования как к содержанию среднего образования, так и методам обучения.

Современная методика математики требует, чтобы преподавание математических дисциплин обеспечивало не только усвоение математических знаний учащимися, но и способствовало выработке умений, развитию самостоятельности, оригинальности, творческих способностей.

Успех дела в решении этой весьма нелегкой задачи во многом будет зависеть от уровня научно-педагогической подготовки учителя, от его стремления «воспитывать дух искания в самом себе», от глубокого и разностороннего знания математики, ее истории, от овладения эффективными методами преподавания.

В настоящее время одни лишь логические качества изложения материала еще не обеспечивают возможности его активного усвоения учащимися. А потому в некоторых случаях целесообразно применять генетический метод, развивающий положения и выводы науки именно таким образом, как они развивались в действительности, на основании исторических исследований.

Использование генетического метода в обучении опирается на глубокие знания истории математики.

Знакомство с биографиями выдающихся математиков, с историей их открытий порождает «чувство благоговения перед их именами, перед наукою». А это чувство благоговения перед наукою будет вызывать и чувство уважения к учебному

предмету. Иногда полезно познать истинное происхождение замечательных открытий, так как «познание на выдающихся примерах ведет к развитию искусства открытия».

Вот почему все настоятельнее выдвигается требование более широкого использования историко-генетического метода в обучении математики.

В настоящее время в нашей стране выдвинута система изучения основ наук с разделением на обязательный и факультативный курсы, начиная с 7-го класса.

Ввиду того, что изложение отдельных математических тем на историко-генетической основе требует много времени, целесообразно использовать факультативные занятия по предмету.

В нашей диссертации «Джон Валлис как создатель первого курса «Алгебры» (1685) на историко-генетических началах и значение историко-генетического метода в современном преподавании математики в школе» были поставлены следующие задачи:

1) исследовать один из главных вопросов истории математики — развитие предмета и метода алгебры (с античного периода до начала 18-го столетия);

2) описать процесс математического развития и деятельности английского математика 17-го века Джона Валлиса, одного из предшественников и учителей могущественного Исаака Ньютона;

3) показать место Джона Валлиса в раннем развитии предмета и метода алгебры в условиях европейской культуры;

4) осветить вопрос об историко-генетическом методе и показать значение его в современном преподавании математики в школе;

5) дать один из примеров применения (на факультативных занятиях 9-х классов) историко-генетического метода при рассмотрении одного из основных вопросов алгебры «Развитие понятия числа», остановившись, главным образом, на «Поле комплексных чисел как расширении поля действительных чисел».

Диссертационная работа состоит из пяти глав. В 1-ой главе «Элементы исчисления геометрических величин в курсе единой математики античного мира и зарождение искусства алгебраического исчисления на средневековом Ближнем Востоке» нами рассмотрены примеры исчисления геометрических величин в трудах Евклида и Архимеда, появление неопреде-

ленного алгебраического анализа в трудах Диофанта и Гипатии, возникновение начал искусства алгебры в работах Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезми и Омара Хайями.

Исследование было проведено на основе первоисточников (переведенных на русский язык) и работ историков математики Б. Л. ван дер Вардена, А. В. Васильева, Д. Д. Мордухая-Болтовского, В. Ф. Кагана, Г. Г. Цейтена, И. Г. Башмаковой, А. П. Юшкевича, Б. А. Розенфельда и других.

III век до н. э. явился временем наивысшего расцвета античной математики. Именно в это время было написано одно из выдающихся сочинений греческой математики -«Начала» Евклида. «Начала» Евклида — это начало единой теоретической математики своего времени Теорию, содержащуюся во второй книге «Начал» Евклида, Г. Г. Цейтен назвал «геометрической алгеброй». Все положения второй книги «Начал» Евклида для греков — это чисто геометрические теоремы, которые заменяют необходимые в настоящее время приложения алгебры. «Геометрическая алгебра» настолько широко применялась в древности, насколько это было возможно. В частности, она применялась при построении теории конических сечений (с помощью которой проводили исследование решений задач, сводимых к решению кубических уравнений). В наиболее явном виде решение и исследование кубических уравнений имеется у Архимеда (287—212 гг. до н. э.).

Архимед приходит и к основным идеям, от которых впоследствии отправлялись создатели интегрального и дифференциального исчислений. В древности идеи и методы Архимеда не получили существенного развития. Объясняется это тем, что число известных алгебраических соотношений было крайне невелико. Те немногие алгебраические соотношения, которыми оперировали, записывались либо словесно, что делало изложение крайне громоздким, либо с помощью «геометгической алгебры», которая была хороша только для записи выражений второго порядка, но уже отказывалась служить при трактовке уравнений 3-й степени. Правда, уравнения 3-й и 4-й степеней можно было записать сравнительно удобно, используя пропорции. Однако для уравнений высших степеней этот способ был необыкновенно громоздким; кроме того, геометрический язык был тормозом для расширения понятия числа. В античном алгебраическом искусстве не было места и для отрицальных чисел, не говоря уже о мнимых. Для дальнейшего продвижения вперед нужно было отказаться от гео-

метрического языка, развить вычислительные алгоритмы.

Примерно с II-го века н. э. в развитии греческой математики наряду с «геометрической алгеброй» выдвигается алгебра числовая, появляются зачатки алгебраической символики, приступают к решению различного вида неопределенных уравнений в рациональных числах.

Насколько высок был уровень, достигнутый в алгебраическом искусстве того времени, можно судить по «Арифметике» Диофанта, который впервые в истории математики начинает строить буквенное исчисление. Правда, намечается самая простейшая символика. В «Арифметике» Диофанта заключена и идея алгебраического уравнения, выражаемого символами: метод чисто аналитический, в основном освобожденный от помощи геометрии. Диофанту принадлежит и первое систематическое исследование неопределенных уравнений второго порядка. «Арифметика» Диофанта — это последнее дошедшее до нас великое математическое произведение античной Греции.

Исследования Диофанта были также важны для алгебры и теории чисел нового времени, как сочинения Архимеда для развития методов бесконечно малых.

Гипатия — философ, математик (4 в. н. э.) писала комментарии к Диофанту. По-видимому, благодаря этому и сохранились первые 6 книг «Арифметики» Диофанта, так как комментарии Гипатии к ним служили источником дальнейших списков.

Однако новые идеи измерительной геометрии, тригонометрические и вычислительные приемы, числовая алгебра Диофанта не смогли получить в античности надлежащего развития.

Новое течение математических исследований иссякло в условиях общего упадка античной культуры.

После крушения античного рабовладельческого общества главной ареной прогресса математических наук становятся страны Среднего и Ближнего Востока, а в IX—XIII вв. н.э. — страны Ближнего Востока, преимущественно Средней Азии. Именно здесь, в странах ислама, впервые появляется термин «алгебра» и понятие предмета алгебры. Именно здесь, благодаря работам среднеазиатских ученых на Востоке алгебрз впервые выделяется в особую математическую науку.

Начало развитию самостоятельной научной дисциплины, алгебры, положил трактат великого математика Мухаммеда

ибн Мусы ал-Хорезми (IX в. н. э.) «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы».

Анализ этой работы дается в § 3 первой главы. В результате анализа основных трудов ал-Хорезми, Абу Камила и ал-Караджи делается вывод, что исчисление алгебры и алмукабалы представляло учение об уравнениях, не выходящее за границы линейных и квадратных уравнений, а самое большее — уравнений, сводимых к квадратным.

Высшим достижением среднеазиатской математики XII века в направлении разработки первых начал теории кубических уравнений явилась работа «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» Омара Хайяма (1040—1123). В трудах Омара Хайяма можно найти наиболее яркое выражение восточных математиков на алгебру как на особую математическую науку, целью которой является изучение уравнений, а наиболее общим методом — построение корней.

В заключении первой главы говорится о тех фундаментальных открытиях в области алгебры, которые были сделаны математиками средневекового Ближнего Востока.

Главные из них следующие:

1) выделение алгебры в особую математическую дисциплину;

2) создание геометрической теории решения кубических уравнений;

3) применение числовой алгебры в измерительной геометрии и тригонометрии и открытие итеррационного приема решения одного вида кубических уравнений.

Подлинные сочинения греческих классиков, сохранившиеся в арабских переводах, и оригинальные труды ученых Среднего и Ближнего Востока становятся достоянием западноевропейских ученых XII—XVI веков.

В 1120 году известный английский ученый Аделард из Бата (XII в.) перевел с арабского на латинский «Начала» Евклида. Выдающийся итальянский переводчик Герардо Кремонский (XII в.) кроме «Начал» Евклида перевел «Данные» Евклида и «Измерение круга» Архимеда.

В 1126 году Аделардом из Бата были переведены астрономические таблицы ал-Хорезми.

Большое значение для принятия в Европе десятичной позиционной нумерации и новых цифр имело ознакомление с латинскими переводами XII века арабских книг по арифметике.

В 1145 году Роберт из Честера перевел алгебраический трактат Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезми, положив начало алгебраическим знаниям европейских ученых.

В период с XIII по XVI века появляются и новые руководства по алгебре, авторами которых являются ученые Италии, Германии, Франции и Англии.

Во II-й главе диссертации «Первоначальное развитие вопросов алгебры в трудах европейских математиков» указывается на место в ранней истории европейской арифметики и алгебры трудов итальянского математика Леонардо Пизанском (ок. 1170—1250) и его современника, немецкого математика Иордана Неморария.

В § 2 этой главы дается анализ «Книги абака» Леонардо Пизанского, в которой последовательно и с исчерпывающей полнотой излагалась индийская арифметика целых и дробных чисел, в которой содержалось и систематическое изложение правил «алджебр и алмукабалы». Изложение алгебры и арифметики словесное.

Важное место в ранней истории европейской арифметики и алгебры занимают также труды немецкого математика Иордана Неморария. В § 2 II-й главы дан анализ алгебраического трактата Иордана Неморария «О данных числах», состоящего из 4-х книг.

Наиболее замечательной особенностью работы Иордана Неморария «О данных числах» является систематическое использование букв для обозначения чисел, когда им не приписывалось какого-либо конкретного значения. Однако, не смотря на применение букв как символов произвольного числа, Иордан Неморарий не создает алгебраического исчисления.

Труды Леонардо Пизанского и Иордана Неморария оказали большое влияние на дальнейшее развитие западноевропейской математики, в частности, арифметики и алгебры.

Основой, на которой в XIV—XVI веках продолжалось развитие алгебры, было учение о линейных и квадратных уравнениях, унаследованное от восточных математиков.

Наиболее важную роль в истории арифметики и алгебры XV—XVI веков сыграла итальянская школа алгебраистов.

В § 3 II-й главы диссертации дается анализ главного сочинения «Суммы (знаний) по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности» одного из представителей итальянской школы алгебраистов Луки Пачоли (1445—1514). Это сочинение, как говорит Леонардо Ольшки, «в своем обильном

и пестром материале объединяло и учитывало все знания и тенденции своей эпохи». На этом произведении воспитывались поколения ученых и просто образованных людей в духе математического мышления. «Сумма» Луки Пачоли, как отмечает Бортолотти, служила основой всех работ по математике в XVI веке, так как она представляла собой энциклопедию чистой и прикладной математики.

Исследование III главы «Бурное развитие предмета и метода алгебры в Европе в XVI-м и начале XVII-го веков» было проведено на основе первоисточников и работ историков математики Леонарда Ольшки, Иоана Монтюкла, Морица Кантора, Иоганна Тропфке, Джона Валлиса, Давида Смита, Флориана Кэджори, И. Ф. Скотта, Р. Болла, И. Арнета, Г. Фаццари, Д. Я. Стройка и других.

В течение XVI-го столетия внимание математиков было направлено к двум проблемам:

1) решению кубических уравнений; 2) определению методов приближенного решения уравнений высших степеней (степени выше второй).

Заслуга в решении кубических уравнений принадлежит итальянской математической школе.

В 1520 году профессором университета в Болонье Сципионом дель Ферро впервые была найдена формула для определения положительного корня кубического уравнения вида x3+рх = q (р>0,q>о).

В 1535 году Николо Тарталья находит решение того же вида кубического уравнения, а затем решает и уравнения вида x3 = рх + q, x3 + q=рх. Однако Тарталья не смог справиться с неопределенным случаем, когда для уравнения x3 = рх + q при (q/2)2< (р/3)3 не могло быть получено решение по найденной формуле.

В диссертации дан анализ его работы по алгебре «Трактат по арифметике и числам», явившейся одним из главных источников наших знаний о ранней итальянской арифметике и алгебре.

Первой работой, появившейся в печати и сделавшей эпоху в алгебре, была работа Джироламо Кардано «Великое искусство в вопросах алгебры» (1545), в которой была дана формула решения кубических уравнений, включен метод решения уравнений 4-й степени путем сведения задач к кубической резольвенте, открытый его молодым учеником Луиджи Феррари (1522—1565).

Это сочинение Кардано содержит и элементы общей теории алгебраических уравнений до 4-й степени.

В рассматриваемый период развития математики происходил быстрый переход от словесной (риторической) алгебры к алгебре символической путем сокращения, синкопирования, слов, а затем введения символов. Этот переход был уже очень заметен в работе Кардано.

В отношении усовершенствований в системе обозначений алгебра заметно продвинулась вперед благодаря трудам Рафаэля Бомбелли (что можно найти в его трактате «Алгебра» (1572). С появлением «Алгебры» Бомбелли математика стала отходить от геометрических доказательств при изложении алгебраических вопросов.

В § 2 III-й главы диссертации дается анализ основных трудов представителей немецкой школы алгебраистов: Иоганна Мюллера, Иоганна Видмана, Адама Ризе, Христофа Рудольфа, Михаила Штифеля, математическая деятельность которых оставила не менее значительный след в истории арифметики и алгебры.

Большее внимание уделено величайшему немецкому «коссисту» XVI столетия М. Штифелю, работы которого, по словам Тропфке, дали для Германии то, что дали для Италии трактаты Кардано и Тартальи.

Оригинальный и значительный след в истории арифметики и алгебры оставила деятельность и французских математиков: Николо Орема (1328—1382), Николо Шюке (XV в.), Франсуа Виета (1540—1603).

Одним из важных достижений средневековой алгебры было обобщение действия возведения в степень на положительные дробные показатели. Впервые формальный алгоритм дробных отношений был создан Николо Оремом. Дальнейшая разработка алгоритма Николо Орема явилась делом Николо Шюке.

В § 3 III главы диссертации дан анализ их основных трудов, отличительной чертой которых явилось большое применение символики.

К началу XVI века в арифметике и алгебре исподволь подготовляется создание развитой символики, отсутствие которой тормозило ранее прогресс теории уравнений. Правда, символы еще очень разнообразны, не всегда составляют единую стройную систему, даже внутри одной книги.

Впервые единую систему алгебраических символов дает и последовательно проводит величайший французский алгебраист Франсуа Виета (1540—1603). Большое место в § 3 III главы диссертации уделено анализу работ Франсуа Виета и раскрытию значения основных усовершенствований алгебры, сделанных им.

Сочинения Ф. Виета хорошо передают тот переломный период, когда появление буквенного алгебраического исчисления явилось одной из сторон более общего и глубокого явления в истории математики — возникновения алгебры как общей науки об алгебраических уравнениях.

В § 4 III главы, используя первоисточники и исследования историков математики Ф. Кэджори, Морица Кантора, Давида Смита, И. Ф. Скотта и других, дан анализ работ и значение усовершенствований в алгебре, сделанных английскими математиками XVII века Вильямом Оутредом и Томасом Гарриотом.

Вильям Оутред, как замечает Г. Вилейтнер, был одним из первых, кто связал элементарную арифметику с усовершенствованным буквенным исчислением Виета.

Большое место этого параграфа отведено анализу основного труда Вильяма Оутреда «Ключ к математике» (1668).

С помощью первоисточников Томаса Герриота и Джона Валлиса, а также исследований выше указанных историков математики нам удалось установить, что Томас Гарриот (современник Вильяма Оутреда) был одним из выдающихся авторов своего времени по теории уравнений.

Исследования первых трех глав явились необходимой пропедевтикой для перехода к основной части работы: анализу основных произведений английского математика 17-го века Джона Валлиса (1616—1703).

IV глава «Место английского математика Джона Валлиса в раннем развитии предмета и метода алгебры в условиях европейской культуры» построена на изучении первоисточников Джона Валлиса и использовании работ И. Ф. Скотта, Х. Скриба, М. Кантора, А. Прэга, Ф. Д. Крамара и других. В этой главе описана жизнь и деятельность одного из предшественников Исаака Ньютона английского математика Джона Валлиса, труды которого тщательнно изучал И. Ньютон и нередко отправлялся от его идей в своих исследованиях.

В § 1 дан анализ ранних трактатов Джона Валлиса.

В § 2 анализируются его трактаты 60-х—80-х годов. Как замечает И. Ф. Скотт, благодаря публикациям работ Джона

Валлиса «алгебра 17-го столетия вошла и в Англию». Это делает Джона Валлиса центральной фигурой в процессе быстрого развития, который завершает алгебра того периода.

Изучение математического развития и деятельности английского математика Д. Валлиса имеет интерес, далеко превосходящий биографическое значение: в нем отображаются характерные черты состояния математического образования того времени, изучение и исследование математики в школах и вузах.

Основной труд, на котором базировалось наше исследование, был «Исторический и практический трактат по алгебре» Джона Валлиса. «Трактат по алгебре» был опубликован на английском языке в 1685 году. Этот трактат был результатом многолетнего труда и обильного числа предварительных работ Д. Валлиса.

В «Историческом и практическом трактате по алгебре» Валлис суммирует все то, что было сделано в алгебре до 1685 года; здесь были показаны методы, которые должны были увести непостижимо далеко; «здесь можно было увидеть границы, а за ними новые проблемы, которые остались для следующих поколений; здесь эпоха передавала часть своего наследства дальше».

Трактат знакомит нас не только «с объединенными в органическое целое всех известных тогда алгебраических методов и результатов, но и с некоторыми собственными, интересными мыслями автора». Эта работа привлекает внимание не только как трактат по алгебре: книга отмечает начало, по крайней мере в Англии серьезного изучения истории математики. «Трактат по алгебре» Д. Валлиса состоит из введения и ста глав.

«Исторический и практический трактат по алгебре» Д. Валлиса из огромного числа его работ более всего читали в последующие столетия. Как отмечают многие историки математики, «Алгебра» Виллиса сразу же становится «источником вдохновляющих идей для современников и более поздних алгебраистов». Этот трактат во многом помог в популяризации обозначений, употребляемых в математике и ныне. Немецкий историк математики Мориц Кантор писал, что «Алгебра» Валлиса как учебник по предмету была совершенно замечательным произведением, еще и ныне читатель может найти значительный материал по правилам решения уравнений».

На основании опубликованных работ по математике и дру-

гим документам Д. Валлиса можно видеть, что алгебра 17-го века все более освобождалась от геометрических элементов. В ней окреп символический буквенный аппарат. Определилась научная проблематика — общая теория уравнений. Благодаря исчезновению риторической алгебры и замене ее символической, а также изобретению логарифмов элементарная математика приобрела завершенную форму.

Можно видеть также, что в 17-м веке внутри математики сложились и достаточные предпосылки для создания исчисления бесконечно малых. Среди тех, чьи труды подготовили путь для открытия исчисления бесконечно малых, был и Джон Валлис.

Своеобразным итогом развития алгебры 17-го века как неразрывности арифметики и алгебры в то время и ведующей роли вычислительных методов в алгебре, можно считать «Универсальную арифметику» Исаака Ньютона.

Интересно отметить, что в Европе первый курс «Истории математики» Иоана Монтюкла был опубликован во второй половине 18-го столетия, а второе, более расширенное издание его, в конце 18-го века.

Предмет истории математики стал развиваться лишь в середине 19-го века. Вот почему книга Валлиса «Исторический и практический трактат по алгебре» представляет такой большой интерес: она впервые знакомила читателей со значительной систематической частью развития предмета и метода алгебры. И. И. Монтюкла, и М. Кантор при написании своих «Историй математики» в большой степени использовали «Алгебру» Валлиса.

Но гораздо большим было педагогическое значение «Алгебры» Валлиса: исторический подход к изложению вызывал большую заинтересованность и более ускоренное проникновение в смысл, логику выводов и доказательств. Появление «Алгебры» Валлиса можно считать началом проникновения историко-генетического метода в изучение математики, и в частности алгебры. Чтобы убедиться в этом, достаточно прочитать трактат — пример постоянного и наглядного применения историко-генетического метода изложения (взять ли изложение Валлисом учений о шестидесятиричных и десятичных дробях, логарифмах, пропорциях, числовой символике, решении квадратных и кубических уравнений, метода бесконечно малых величин и многих других вопросов).

V глава «Место историко-генетической системы преподавания в логически развитом курсе математики» освещает сле-

дующие вопросы: 1) последовательно логическое развитие курса математики и внедрение в него историко-генетических начал, 2) возникновение историко-генетического принципа в математике и потеря меры при его внедрении.

Исследование этих вопросов дано с использованием работ А. Клеро, К. Маркса и Ф. Энгельса, В. В. Бобынина, Д. Юнга, У. Сойера, Д. Пойя и других.

Спустя почти 2а века, следуя за педагогической идеей Джона Валлиса, знаменитый французский математик А. Клеро большое внимание уделяет историческому методу в процессе обучения математике.

В 80-х годах 19-го столетия историко-генетический метод стал широко популяризироваться некоторыми деятелями математического образования.

Одним из больших сторонников историко-генетического метода в преподавании математики был В. В. Бобынин (1849—1919).

В. В. Бобынин писал, что преподавание каждой науки должно итти тем же путем, которым шла при своем развитии наука. Он указывал, что из всех существовавших тогда методов генетический метод наиболее всего приближался к состоянию преподавания в настоящем значении этого слова, то есть как метод, «развивающий в преподавании положения и выводы науки именно таким образом, как они развивались в действительности». И не подлежит никакому сомнению, писал В. В. Бобынин, что «употребление генетического метода в настоящем значении немыслимо без содействия Истории математики, как единственного источника необходимых для него сведений».

И уже тогда встал вопрос, чему же противопоставить историко-генетический метод преподавания. Ответ был найден — логическому изложению. Между историческим и логическим изложениями существует много общего, но есть и различие. По этому поводу очень хорошо сказал Фридрих Энгельс в предисловии «К критике политической экономии» Карла Маркса. Вопрос рассматривается исторически, указывает Ф. Энгельс, это значит «в определенной, хотя и абстрактно извращенной связи с исторической действительностью». И здесь же Ф. Энгельс отмечает, что «историческое развитие идет часто скачками и зигзагообразно и его пришлось бы проследить во всех его перипетиях, благодаря чему не только пришлось бы слишком часто уделять место малоценному материалу, но пришлось бы слишком часто прерывать ход мыс-

лей». Поэтому, заканчивает Ф. Энгельс, нужно должное внимание уделить логическому методу исследования. Как замечает Энгельс, логический метод «есть тот же исторический метод, только освобожденный от его исторической формы и от нарушающих стройность изложения исторических случайностей».

Математика должна развиваться по логическому пути: нет ничего лишнего в изложении и на лицо большой результат изучения при одном условии, если учащихся заинтересовать. Часто логическое изложение даже способных учащихся не на столько заинтересовывает, как могло бы. Вот почему все чаще раздается голос об использовании наряду с логическим методом историко-генетического метода в обучении математике.

Историко-генетическому методу обучения математике были посвящены специальные работы в нашей стране и за рубежом. И профессор Чикагского университета Джордж Юнг, и известный математик и педагог, профессор математики в университете в Торонто (Канада) Уолтер Соейр, и один из замечательных педагогов, профессор математики, Джордж Пойя, приходят к одному выводу: 1) учитель должен взять на вооружение принцип активного обучения; 2) одним из методов обучения математике, который поможет повысить эффективность усвоения знаний учащимися, является историко-генетический метод.

Исходя из опыта по использованию историко-генического метода при изложении отдельных тем по математике, считаем, что применять его целесообразнее на факультативных занятиях по предмету.

В § 3 V-й главы дана программа по творческому изучению темы «Развитие понятия числа» с подробным рассмотрением вопроса «Поле комплексных чисел как расширение поля действительных чисел» на историко-генетических началах, изучение которого было предложено на факультативных занятиях с учащимися 9-х классов.

Для более глубокого изучения и ясного понимания учащимися указанной выше темы целесообразно одно занятие посвятить повторению общей характеристики развития понятия числа (от натуральных, т. е. целых положительных, к дробным, а затем рациональным и, наконец, действительным числам).

Повторение можно провести в виде докладов, которые учащиеся готовят на основе записей по пройденной теме и подобранной учителем литературы.

Распределение докладов проведены с учетом прежде всего тех основных пяти этапов, по которым проходило обобщение понятия числа:

1-й этап — возникновение понятия натурального числа как инварианта эквивалентных конечных множеств.

2-й этап связан с возникновением понятия дробных чисел, проходивший в античном мире и закончившийся в средние века;

3-й этап — возникновение и развитие понятия рационального числа в связи с развитием естествознания, начиная с 17-го века (в Европе);

4-й этап — возникновение и развитие учения о действительном числе в связи с обоснованием теоретической математики, необходимой для развития теоретического естествознания, в 19-м веке;

5-й этап — возникновение учения о комплексном числе, которое стало необходимым в развитии предмета и метода алгебры, также в 19-м веке, и позднее развитие теории и интерпретации комплексных чисел.

Внимание учащихся обращается на то, что при повторении 4-х первых этапов и при изучении 5-го этапа развития понятия числа надо обратить серьезное внимание на различие исторического возникновения новых числовых понятий и их теоретического обоснования с логическим доказательством.

Только в последней чертверти 19-го столетия начались поиски обоснования всей логики понятия числа. Начинается искание логического обоснования, которое можно было бы передать в процессе творческого изучения молодому поколению.

При распределении докладов по повторению предлагается следующая система:

1) после рассмотрения 1-го этапа исторического возникновения понятия натурального числа сразу ставится проблема логического обоснования учения о натуральном числе;

2) далее отказываемся от следования исторически сложившегося порядка развития понятия числа: берем логическое развитие понятия целого числа (рассматриваем теорию возникновения целых отрицательных чисел на основе теории пар 1 ступени);

3) переходим к 3-му этапу: к историческому возникновению и логическому обоснованию учения о рациональном числе как пар 2-й ступени;

4) переходим к 4-му этапу: историческому возникновению и логическому обоснованию учения о действительном числе как сечения во множестве рациональных чисел.

После вышеотмеченного повторения переходим к изучению темы «Поле комплексных чисел как расширение поля действительных чисел» на историко-генетической основе.

Сначала дается исторический очерк развития понятия комплексного числа, затем рассматривается теория комплексных чисел как пар 3-й ступени (показывая, что поле комплексных чисел есть расширение поля действительных чисел). После раскрытия основных понятий дается геометрическая интерпретация комплексных чисел и шести операций над ними; обращается внимание на однозначность первых пяти действий и многозначность шестого (извлечения корня n-ой степени из комплексного числа).

В конце V-й главы диссертации указана литература, использованная при изучении темы: «Поле комплексных чисел как расширение поля действительных чисел».

Опубликованные работы:

1. Статья «Первый опыт построения истории алгебры английским математиком Джоном Валлисом». Ученые записки, т. 202, выпуск 6., Москва, 1968 г., 1 п. л.

2. Статья «Жизнь и деятельность английского математика 17 века Вильяма Оутреда», ученые записки, т. 203, выпуск 7, Москва, 1969 г. 1 п. л.

ОС 03474. Шадринская типография Заказ № 3341. Тираж 150.