МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

П. П. НИКИТИН

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВЫСШИХ ТЕХНИЧЕСКИХ И ЭКОНОМИЧЕСКИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЯХ

Приложение: учебник аналитической геометрии для технологического ф-та Московского ин-та народного хозяйства им. Плеханова

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

(по методике преподавания математики)

МОСКВА — 1956

1. Диссертация состоит из двух частей. В первой части даны методические разработки положений, касающихся порядка и метода изложения ряда вопросов аналитической геометрии и векторной алгебры; вторая часть состоит из учебника аналитической геометрии для втузов технологической специальности и экономических ин-тов, в котором реализованы результаты методических разработок, данных в первой части.

Первая часть состоит из введения, пяти глав и заключения, вторая часть — из введения и десяти глав.

В 1 главе первой части диссертации излагается история вопроса о методике преподавания аналитической геометрии.

До Великой Октябрьской социалистической революции не было опубликовано специальных разработок по методике изложения аналитической геометрии. Методика аналитической геометрии в то время была представлена главным образом учебниками и учебными руководствами по этому предмету. Каждый автор по-своему решал вопрос об объеме материала, о порядке и методе его изложения. Поэтому каждый учебник аналитической геометрии того времени можно рассматривать как некоторое решение методических вопросов о порядке и о методе изложения.

В первом десятилетии XX века профессор Михайловской артиллерийской академии Гродский сделал первую попытку ввести в курс аналитической геометрии технической школы векторы, назвав их направленными отрезками.

Дальше в главе кратко рассматривается история проникновения элементов векторной алгебры в курс аналитической геометрии в первые и последующие годы после Октябрьской революции.

Довольно подробно освещена научная конференция при Московском педагогическом ин-те им. Ленина в 1935 году, на которой были рассмотрены вопросы о постановке и методах преподавания математики во втузах. Основным дискуссионным вопросом был вопрос о методе изложения аналитической геометрии. На конференции был заслушан доклад проф. Дубнова, в котором развивалась мысль о целесообразности излагать аналитическую геометрию с помощью векторов, и доклад проф. И. К. Андронова, в котором отста-

ивалась идея изложения всего курса аналитической геометрии координатным методом.

Далее в этой главе рассматриваются принятые в настоящее время во втузах учебники аналитической геометрии Н. В. Ефимова и И. И. Привалова. Приводятся выдержки из рецензий на эти учебники, опубликованные в журнале: «Успехи математических наук» за 1951, 1962, 1964 гг., а также разбор и критика, которые имели место за это время на секции втузов Московского Математического общества.

В работе подчеркнуто, что принятые в настоящее время во втузах учебники аналитической геометрии на ряду с целым рядом достоинств не свободны и от некоторых недочетов, которые желательно устранить1.

II глава первой части диссертации имеет название: «О координате отрезка по данному направлению, и о координатах отрезка с произвольным направлением».

В этой главе отстаивается методическая целесообразность начинать изложение аналитической геометрии с введения понятия о координате отрезка по данному направлению. Понятие о координате отрезка по данному направлению, по нашему мнению, должно предшествовать понятию о координате точки на прямой, а понятие о координатах отрезка с произвольным направлением на плоскости и в пространстве должно предшествовать понятию о координатах точки на плоскости и в пространстве.

Такой порядок позволяет:

1) дать единую методику выводов большинства формул аналитической геометрии плоскости и пространства;

2) соответствующие геометрические образы плоскости и пространства изложить единым методом;

3) добиться наибольшей геометричности и краткости изложения аналитической геометрии плоскости и пространства; в частности, дать геометрическое толкование коэффициентов при текущих координатах в общем и нормальном уравнениях прямой и плоскости.

Кроме того, введение понятия о координате отрезка по данному направлению имеет своей целью: 1) уточнить ряд формулировок и определений (определение координат точек, определение проекции направленного отрезка и др.) и 2) заменить этим понятием имеющиеся в различных учебниках термины: «величина отрезка», «величина смещения», «относительная величина отрезка», «алгебраическая величина отрезка», «отклонение» и др.

III глава первой части диссертации называется: «Угловой коэффициент прямой и его применение».

Обычно в курсах аналитической геометрии, в разделе «Метод координат» рассматриваются лишь задачи на определение расстояния между 2 точками, деление отрезка в данном отношении и опре-

1 Попытка создать учебник аналитической геометрии, свободный от указанных недочетов, сделана во второй части диссертации.

деление площади тр-ка по координатам его вершин. В работе показано, что методически целесообразно этот раздел пополнить понятиями об угле наклона и угловом коэффициенте прямой, об условиях параллельности и перпендикулярности двух прямых и об угле между двумя прямыми. Эти понятия органически не связаны с понятием уравнения прямой, и введение их в главу «Метод координат» обогатит ее содержание, расширит сферу применения метода координат к решению самых разнообразных геометрических задач. В самом деле, многие задачи, решаемые в разделе «Прямая линия», не связаны с идеей уравнения прямой и потому более просто и естественно могут быть решены в главе «Метод координат». Это позволит студентам более глубоко усвоить сущность и важность метода координат. Кроме того, как показывает многолетняя практика кафедры математики Института народною хозяйства им. Плеханова, при таком порядке получается значительная экономия времени и более глубокое усвоение студентами последующего материала.

В § 5 III главы дан вывод формулы углового коэффициента прямой, проходящей через две данные точки А и В. Вывод дан с помощью координат отрезка AB. Показано, что полученная формула не зависит не только от положения точек А и В в системе координат, но и от направления прямой. При этом угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, дан не только как отношение разности ординат точек А и В к разности их абсцисс, но и как отношение второй координаты отрезка AB к первой.

Это позволило тотчас же получить формулы, выражающие условия параллельности и перпендикулярности двух отрезков через их координаты.

Формулы, выражающие условие параллельности и перпендикулярности двух отрезков через их координаты, положены в основу выводов общего, нормального и канонического уравнений прямой.

В последующих параграфах III главы дана методика изложения главы «Прямая линия». При изложении этой главы широко использовано понятие об угловом коэффициенте прямой, а также связанные с этим понятием условия параллельности и перпендикулярности двух отрезков через их координаты.

Изучение нормального ур-ния прямой дано в тесной связи с общим ур-нием прямой. Показано, что нормальное уравнение прямой является частным случаем общею ур-ния прямой.

Все формы ур-ния прямой получены, исходя из определенных геометрических соображений и из соответствующею чертежа. В необходимых случаях (ур-ние прямой с угловым коэффициентом и ур-ние прямой в отрезках) показано, как эти ур-ния могут быть получены путем алгебраических преобразований общего ур-ния прямой. Таким образом, геометрическая сущность во всех случаях поставлена на первое место. Этим наиболее наглядно выявлена идея соответствия между ур-нием I степени относительно х и у, с одной стороны, и прямой линией в системе координат, с другой.

В § 11 III главы дана методика изложения вопроса о расстоянии от данной точки до данной прямой. При (изложении этого вопроса имеются некоторые методические трудности, связанные с тем, что это расстояние приходится рассматривать со знаком. В учебнике аналитической геометрии Н. В. Ефимова, а также в последних изданиях учебника И. И. Привалова для выражения этого расстояния вводится специальный термин: «отклонение». В нашем же изложении это расстояние, т. е. длина, взятая со знаком, будет являться координатой отрезка NM по направлению оси ОР, т. е. по направлению перпендикуляра, проведенного из начала координат на данную прямую, где M — данная точка, а N — основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

Таким образом, введенное в диссертации понятие о координате отрезка по данному направлению вполне заменяет термин «отклонение».

Вывод формулы расстояния от данной точки до данной прямой в диссертации дан с помощью координат отрезка NM как для случая, когда данная прямая выражена нормальным уравнением, так и для случая, когда данная прямая задана общим уравнением.

В связи с последним моментом встает вопрос о возможности исключения из программ по математике технических вузов вопросов о нормальном ур-нии прямой и плоскости и о их преобразовании к нормальному виду. В результате мы получим разгрузку программы и экономию времени, весьма необходимого для прохождения других, более важных вопросов программы.

IV глава первой части диссертации посвящена методике изложения аналитической геометрии пространства.

Автор диссертации делает попытку изложить аналитическую геометрию пространства без предварительного изложения векторной алгебры, но при этом ставит себе целью получить такую же краткость и геометрическую наглядность, которые получаются при изложении с помощью векторов. Это оказалось возможным с помощью понятий о координате отрезка по данному направлению и о координатах отрезка с произвольным направлением, а также с помощью формул, выражающих условия параллельности и перпендикулярности двух отрезков через их координаты. Эти понятия были широко использованы при изложении аналитической геометрии плоскости. Они же положены в основу изложения аналитической геометрии пространства. Вследствие этого изложение соответствующих вопросов аналитической геометрии плоскости и пространства в диссертации дано единым методом. Не подлежит сомнению, что такое изложение значительно облегчит усвоение студентами аналитической геометрии пространства. Более того, вывод целого ряда формул аналитической геометрии пространства может быть сделан студентами самостоятельно, поскольку эти выводы и формулы являются обобщением соответствующих выводов и формул аналитической геометрии плоскости. К таким выводам можно отнести: вы-

вод формулы расстояния между двумя точками в «пространстве, деление отрезка в данном отношении, вывод формулы расстояния от данной точки до данной плоскости и ряд других. Все это позволит сэкономить время, весьма необходимое для более глубокого изложения более сложных вопросов, в том числе и векторной алгебры.

В § 2 IV главы дано распространение на пространство результатов относительно проекций направленного отрезка на ось. При этом уточняются понятия об углах: между осями, между осью и направленным отрезком, а также между двумя направленными отрезками.

Полностью переносятся на пространство порядок и метод изложения вопросов: о выводе общего и нормального ур-ний плоскости, о преобразовании общего ур-ния плоскости к нормальному виду, о выводе ур-ния плоскости в отрезках, о расстоянии от данной точки до данной плоскости, о выводе канонических и параметрических ур-ний прямой в пространстве. Остается в силе данное в первой части геометрическое толкование коэффициентов общего и нормального ур-ний прямой и для плоскости как координат нормального отрезка.

Широко используемые в диссертации понятия о нормальном отрезке к плоскости и направляющем отрекзе к прямой, а также понятия об их координатах сделали возможным изложить остальной материал относительно плоскости и прямой в пространстве кратко и с наибольшей геометрической наглядностью. Так, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, плоскости и прямой, а также формула для определения угла между ними выписываются сразу на основании условий параллельности и перпендикулярности двух нормальных, направляющих, нормального и направляющего отрезков, а также на основании формулы для косинуса угла между ними.

Понятия о координатах нормального отрезка к плоскости и направляющего отрезка к прямой позволили внести геометрическое содержание в изложение таких вопросов, как исследование общего уравнения плоскости, вывод ур-ния плоскости, проходящей через три данные точки, вывод ур-ния плоскости в отрезках, вывод условий, при которых данные прямые лежат в одной плоскости, и, наконец, позволили получить формулу для определения расстояния от данной точки до данной прямой в пространстве.

Глава V первой части диссертации посвящена изложению некоторых вопросов векторной алгебры.

В § 1 даны общие замечания по поводу изложения векторной алгебры. Векторная алгебра является одним из трудно усвояемых студентами разделов программы. Поэтому с педагогической точки зрения будет более правильным излагать ее на базе предложенного в диссертации координатного изложения аналитической геометрии пространства. В самом деле, при таком изложении, к моменту изучения векторной алгебры студенты в большей степени будут владеть методом координат в пространстве, а это существенно важно

потому, что при изучении векторной алгебры векторы мыслятся главным образом в пространстве.

Кроме того, при таком изложении студентам не нужно будет одновременно преодолевать две трудности — изучать векторную алгебру и попутно овладевать методом координат в пространстве.

Предложенный координатный метод изложения аналитической геометрии пространства облегчает усвоение векторной алгебры еще и потому, что, начиная с некоторого момента, направленный отрезок, с которым студенты имели дело на протяжении всего курса, становится геометрическим вектором и целый ряд положений, полученных для направленных отрезков, полностью переносится на векторы.

Помимо этого, предложенная в диссертации методика изложения векторного произведения, при которой значительно упрощается доказательство формальных свойств этого произведения и исключается необходимость изложения параграфа о векторном произведении в координатах, вносит дальнейшее упрощение в изложение векторной алгебры.

В § 2 и 3 главы V показано, что ряд положений, в свое время установленных для направленных отрезков, может быть непосредственно перенесен на геометрические векторы. В частности, непосредственно переносятся на векторы условия параллельности и перпендикулярности двух направленных отрезков через их координаты, а также выражение для косинуса угла между ними. Позднее, после определения скалярного умножения векторов эта положения получаются вновь. Этим будет показана целесообразность принятого определения скалярного произведения векторов как произведения их длин на косинус угла между ними.

В § 4 главы V дана методика изложения векторного произведения.

В параграфе показывается, что доказательства формальных свойств векторного произведения, особенно распределительного, значительно упростятся, если при изложении этого произведения мы примем порядок, обратный обычному. С этой целью векторному произведению дается следующее определение.

Векторным произведением двух векторов а и Б называется новый вектор равный определителю 3-го порядка, в котором основные векторы i, j и к будут являться элементами первой строки, а координаты Xi, Уь Zi и Х2, У2, Z2 перемножаемых векторов а и b будут являться элементами второй и третьей строк.

Далее в этом параграфе показывается, что обычное геометрическое определение векторного произведения вытекает как следствие из приведенного нами выше определения.

Доказательство основных законов векторного произведения дано единым методом на основании свойств определителя 3-го порядка. Так, доказательство того, что векторное произведение не подчиняется переместительному закону, непосредственно вытекает из свойства

определителя, в силу которого определитель меняет знак на обратный от перестановки его строк (2-й и 3-й).

То обстоятельство, что векторное произведение обладает свойством сочетательности по отношению к скалярному множителю, непосредственно вытекает из свойства определителя, согласно которому множитель, общий элеметам некоторого ряда (строки или столбца), можно выносить за знак определителя.

Так как координаты вектора суммы (â+Б) равны суммам соответствующих координат векторов слагаемых, то распределительное свойство векторного произведения будет тотчас же вытекать из свойства определителя, согласно которому определитель 3-го порядка может быть представлен в виде суммы двух определителей, если элементы некоторого ряда (строки или столбца) представляют собой сумму двух слагаемых.

Этим и исчерпываются все основные вопросы векторного произведения.

Параграф о векторном произведении векторов, заданных координатами, является излишним.

Определение, величина и геометрическое толкование скалярно-векторного произведения непосредственно вытекает из данного нами определения векторного произведения и его геометрического толкования. Доказательство всех случаев относительно знака скалярно-векторного произведения сводится к перестановке строк определителя, выражающего это произведение, и является обоснованием обычных правил определения знака.

В § 5 главы V рассматривается вопрос о применении векторной алгебры к аналитической геометрии. Этот вопрос, в смысле порядка и объема, может быть решен по-разному, в зависимости от специализации втузов. Во втузах технологической специальности случаи применения векторной алгебры к аналитической геометрии могут быть даны на практических занятиях как упражнения на лекционный материал по векторной алгебре. Так, на упражнениях на сложение и вычитание векторов можно ознакомить студентов с векторным методом определения точек в пространстве (с помощью радиуса-вектора) и дать в векторной форме формулы расстояния между двумя точками, деления отрезков в данном отношении, выражения радиуса-вектора центра тяжести тр-ка и др. Когда же будет дано выражение вектора через его координаты и основные векторы, можно преобразовать эти формулы в соответствующие координатные.

Решая задачи на скалярное произведение векторов, заданных их координатами, можно привести различные виды векторных уравнений плоскости и прямой, исходя из соответствующих координатных с последующим геометрическим толкованием. Так, координатное уравнение А (х—xi) 4-В (у—yi) + С (z—Zi) =0 плоскости, проходящей через одну данную точку, тотчас же переписывается в векторной форме: а (г —п) =0, где а — нормальный вектор, Т\ — радиус-вектор данной точки, г — радиус-вектор произвольной точки плоскости. Геометрическая сущность полученного векторного ур-ния

заключается в том, что если произвольная точка будет перемещаться по плоскости, то вектор г—гх будет оставаться перпендикулярным к нормальному вектору.

Предложенный в диссертации метод изложения аналитической геометрии плоскости и пространства позволяет довольно просто делать переход от координатных равенств к соответствующим векторным и наоборот. Наконец, если в этом будет необходимость, вопросу применения векторной алгебры в аналитической геометрии может быть посвящена дополнительная и заключительная лекция по векторной алгебре, на которой этот вопрос может быть изложен более глубоко и систематично.

Первая часть диссертации заканчивается заключением, в котором даются некоторые обобщения и выводы.

В заключении говорится, что предложенный в диссертации порядок и метод изложения аналитической геометрии и векторной алгебры, по мнению автора, решает следующие методические вопросы:

1. Введенное понятие о координате отрезка по данному направлению позволило на протяжении всего курса дать четкое разграничение между понятием направленного отрезка как некоторого геометрического образа, его длиной и его координатой, уточнив при этом ряд формулировок и определений, и заменить этим понятием термины: «величина отрезка», «алгебраическая величина отрезка», «отклонение» и др., принятые в различных учебниках аналитической геометрии.

2. С помощью равенств, различно выражающих координаты отрезка, удалось дать не только единую методику выводов большинства формул аналитической геометрии плоскости и пространства, но и единую методику доказательств их общности.

3. Соответствующие геометрические образы плоскости и пространства изложить единым методом. Единым методом изложены следующие вопросы плоскости и пространства:

1) Расстояние между двумя точками;

2) Деление отрезка в данном отношении;

3) Преобразование координат (параллельный перенос);

4) Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости;

5) Вывод общего уравнения прямой и плоскости;

6) Вывод нормального уравнения прямой и плоскости;

7) Преобразование общего ур-ния прямой и плоскости и ряд других вопросов.

Таким образом, в диссертации наиболее выпукло подчеркнута идея развития формул аналитической геометрии плоскости в соответствующие формулы аналитической геометрии пространства.

4. Дать геометрическое толкование коэффициентам общего и нормального ур-ний прямой и плоскости.

5. Нормальное yp-ние прямой и плоскости изложить в тесной связи с общим ур-нием прямой и плоскости, показав при этом, что нормальное ур-ние является частным случаем общего ур-ния.

6. С целью сохранения геометрического содержания все виды ур-ния прямой на плоскости, все виды ур-ний плоскости, а также все формулы, являющиеся решением основных задач на прямую на плоскости, на прямую и плоскость в пространстве, получить, исходя из определенных геометрических соображений и из соответствующего чертежа. Таким образом, геометрическая сущность перечисленных вопросов поставлена на первое место, а следовательно, наиболее наглядно выявлена идея соответствия между ур-нием относительно X и у или относительно х, у, z и некоторым геометрическим образом.

7. Значительно расширена роль важнейшего понятия аналитической геометрии плоскости — углового коэффициента прямой в вопросе его использования при изложении материала. Предложенные в диссертации порядок и метод изложения понятия об угловом коэффициенте прямой вообще и об угловом коэффициенте прямой, проходящей через две данные точки, в частности, а также связанных с ним вопросов об условиях параллельности и перпендикулярности двух отрезков через их координаты позволили не только упростить изложение дальнейшего материала, но и наполнить первую главу большим фактическим содержанием, на котором студенты более глубоко и отчетливо могут усвоить идею соответствия между точкой на плоскости и парой действительных чисел.

8. В соответствии с известным педагогическим принципом о недопущении наложения трудностей, аналитическая геометрия пространства изложена без векторной алгебры, но с такой же геометрической наглядностью и с большей простотой и краткостью, чем это имеет место при изложении с помощью векторов.

9. Упрощено и значительно сокращено изложение наиболее трудного для усвоения студентами раздела программы — векторной алгебры.

* * *

Вторая часть диссертации состоит из учебника аналитической геометрии объемом в 300 листов машинописного текста, в котором реализованы методические результаты, полученные в первой части. Поэтому нет необходимости останавливаться на содержании большинства глав учебника, так как порядок и метод изложения этих глав дан в первой части.

При автореферировании первой части диссертации мы не остановились на методике изложения глав «кривые» и «поверхности 2-го порядка». Это сделано потому, что изложение этих глав является обычным. Внесенные изменения в порядке изложения некоторых вопросов этих глав не имеют принципиального характера и сделаны с целью придания ему (изложению) большей систематичности.

В учебнике дано решение большого количества задач и примеров в тексте и свыше 250 задач предложено для самостоятельного решения.

Л 93739 От 30/VII—66 г, Объем 3Д п. л. Тираж 110 Заказ 4901 Типография «Красная звезда», Верхняя Масловка, 73

По содержанию диссертации Московским ордена Трудового Красного Знамени институтом народного хозяяйства им. Г.В. Плеханова опубликована работа отдельной брошюрой:

П. П. НИКИТИН - „К вопросу о методике изложения аналитической геометрии в высших технических, и экономических учебных заведениях."

Госторгиздат, Москва, 1958 г.