МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

А. П. НЕВСКИЙ

ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ СТЕПЕНИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель профессор М. А. Знаменский

Москва 1954

В настоящее время, в период перехода от социализма к коммунизму, перед нашей школой в числе других задач стоит задача улучшения преподавания математики. Для этого нужно повысить идейно-теоретический уровень преподавания математики, добиться того, чтобы учащиеся имели не формальные, а прочные и глубокие знания по математике, необходимые для осуществления принципа политехнизма в преподавании.

В общем улучшении преподавания математики большое место должно занять улучшение изучения исследования уравнений и задач. Для того, чтобы решения уравнений и задач не были формальными, нужно сопровождать их исследованием. Решение некоторых задач из техники, физики и других дисциплин немыслимо без исследования. Вопросы исследования также связаны с развитием функционального мышления учащихся.

Между тем в настоящее время исследование уравнений и задач — одно из слабых мест в преподавании математики в средней школе. Поэтому разработка этого вопроса является весьма своевременной. Настоящая диссертация и посвящена такой разработке.

Глава 1

Исследование уравнений в учебной и методической литературе

В этой главе мы разбираем вопрос о том, как изложено исследование уравнений в наиболее популярных в свое время учебниках алгебры XIX и XX вв. Кроме того, даем критический разбор наиболее известных книг и статей по исследованию уравнений.

Из учебников XIX в. рассматриваем учебники П. Н. Погорельского (1825), И. Сомова (1860), А. Ю. Давидова (1865), Ж. Бертрана (1874), H. Н. Маракуева (1886) и различные издания учебника А. П. Киселева.

Все эти учебники имеют то общее, что при исследовании заданного уравнения или уравнения, составленного из условий конкретной задачи, главное внимание уделено рассмотрению положительных, отрицательных, нулевых, бесконечных и неопределенных решений. Обычно приводится несколько задач на исследование уравнений, в том числе и традиционная задача о

курьерах. Исследованию уравнений первой степени отводится отдельная глава или параграф. Все изучение уравнений не проникнуто исследованием. В тождественных алгебраических преобразованиях не обращается внимания на то, какие числовые значения могут принимать буквы.

В учениках Погорельского, Бертрана и Киселева отрицательные числа рассматриваются как условные символы, знаки, не имеющие реального смысла и введенные в математику для облегчения алгебраических преобразований («условное» направление). Это делало истолкование отрицательных решений уравнений весьма сложным.

На учебник алгебры А. П. Киселева мы обращаем особое внимание, во-первых, потому, что он был самым распространенным учебником, а во-вторых, потому, что он непрерывно изменялся в направлении развития методических взглядов, и, следовательно, по его изменениям можно судить о развитии в России этих взглядов.

Первое издание учебника А. П. Киселева вышло в 1888 г. под заголовком «Элементы алгебры».

Мы проследили изложение исследования уравнений в различных изданиях этого учебника и более подробно остановились на разборе стабильного учебника, впервые изданного в 1934 году под редакцией А. Н. Барсукова.

В основу стабильного учебника были положены «Элементы алгебры». Отдел об исследовании уравнений начинается с определения исследования уравнений. «Исследовать уравнение — значит рассмотреть все особые случаи, которые могут быть представлены при его решении, и уяснить значение этих случаев для той задачи, из условий которой уравнение составлено»1.

Далее дается общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным и разбираются «особые случаи, которые могут быть представлены при его решении». К числу особых случаев А. П. Киселев относит положительные решения, отрицательные, нулевые и неопределенные. Затем разъясняется, как нужно понимать выражение - . Дается графическое истолкование решения уравнения ах=Ь.

При исследовании системы ах -f- by = с; ах + Ь'у = с' разбираются два случая: 1) ab' — ab Ф 0 и 2) ab' — âb = 0.

При исследовании квадратного уравнения разбирается, когда корни действительные, равные, мнимые, оба положительные, оба отрицательные и разных знаков. Далее решается с исследованием традиционная задача о двух источниках света.

1 А. П. Киселев, Алгебра, часть II, 1946, стр. 117.

Изложение исследования уравнений в стабильном учебнике мало отличается от изложения этого вопроса даже в первых изданиях «Элементов алгебры»: то же определение исследования уравнений, те же «особые случаи» решения, то же отсутствие вопросов исследования в других разделах курса алгебры и т. д. Разница лишь во введении графического истолкованио исследования решения уравнения ах = Ь, в некоторых деталях изложения и в перенесении раздела об исследовании уравнений в конец второй части курса, что является отрицательным моментом. Изложение исследования уравнений в стабильном учебнике не особенно много отличается от изложения этого вопроса и в таких старых учебниках, как учебник Сомова или даже Погорельского. При разборе стабильного учебника А. П. Киселева мы отмечаем следующие положения:

1. Определение исследования, данное Киселевым, являются устаревшим. С современной точки зрения при исследовании параметрических уравнений нужно прежде всего решить вопрос о том, при каких системах значений параметров уравнение имеет решение. Ответ на этот вопрос является составной частью решения уравнения. Когда же уравнение решено, то иногда ставится вопрос о разыскании таких систем значений параметров, при которых решение подчинено некоторым условиям, которые задаются вместе с заданием уравнения, или, если уравнение составлено из условий конкретной задачи, диктуется реальным смыслом задачи.

В рассматриваемом учебнике не подчеркивается необходимость определения систем значений параметров, при которых решение уравнения существует. Кроме того, вместо общей постановки вопроса об установлении систем значений параметров, при которых неизвестное подчинено некоторым условиям, предлагается обратить внимание на частные случаи, когда решение положительно, отрицательно и т. д.

2. Для того, чтобы учащиеся действительно научились решать задачи с исследованием, недостаточно изложить исследование уравнений только в одной главе. Необходимо построить курс алгебры так, чтобы вопросами исследования были проникнуты все его разделы. В стабильном учебнике Киселева этого нет. Он, например, нигде не говорит о том, какие числовые значения могут принимать буквы в рассматриваемом алгебраическом выражении, в уравнении и задаче.

3. Исследование уравнения у Киселева противоречит его определению уравнения.

4. Исследование уравнения, составленного из условия задачи, идет по схеме: положительные решения, отрицательные,

нулевые, неопределенные. Этой схемой пользоваться нецелесообразно.

5. При истолковании отрицательных решений, как и в «Элементах алгебры», решается вопрос о том, как надо изменить задачу, чтобы она имела положительное решение, равное абсолютной величине отрицательного решения. Мы показываем, что этого делать не следует.

6. В стабильном учебнике исследование уравнений оторвано от их решения: исследуются уравнения во второй части курса, а в первой части они решаются без всякого внимания к вопросам исследования, избегаются случаи неопределенного решения и отсутствия решений.

7. Неравенства также оторваны от исследования уравнений: раздел о неравенствах первой степени помещен лишь во второй части учебника, а раздел о не равенствах второй степени — в самом конце второй части. Такое расположение материала, конечно затрудняет изложение исследования уравнений первой степени в первой части учебника и исследование квадратных уравнений во второй части.

8. Связь между графиками и функциями и исследованием уравнений в стабильном учебнике также недостаточна.

9. После повторения общей формулы для решения квадратного уравнения дается исследование корней уравнения в зависимости от знака дискримината. При этом говорится, что если дискриминат отрицателен, то корни мнимые. Между тем раздел о мнимых числах помещен в учебнике значительно ниже.

10. Теорема Виета к исследованию корней квадратного уравнения не применяется.

11. Теория исследования квадратного уравнения, изложенная в § 135, не иллюстрируется примерами и задачами с конкретным содержанием.

Разбирая учебник алгебры К. Ф. Лебединцева, мы пришли к выводу, что автор в исследовании уравнений внёс мало принципиально нового. Но все же исследование уравнений в этом учебнике учащемуся, безусловно, даст больше, чем аналогичное исследование в учебнике Киселева, так как здесь исследование хорошо иллюстрируется на конкретных задачах, а потом делается обобщение.

Разбирая первую часть учебника Александрова и Колмогорова, мы пришли к выводу, что в этом учебнике вопросам исследования уравнений отведено мало внимания. Более основательно и удачно изложны вопросы исследования уравнений в учебнике алгебры Фаддева и Соминского.

Далее мы рассматриваем сборник задач П. А. Ларичева и приходим к следующим выводам:

1. В школе нужно постепенно приучать учащихся выявлять допустимые значения для букв в тождественных преобразованиях, решениях уравнений и задач. В сборнике задач П. А. Ларичева для этого сделано значительно больше, чем в других задачниках, но все же недостаточно.

2. В первой части сборника параметрических уравнений и задач, которые бы требовалось решить с исследованием нет,

3. В § 51 первой части, посвященном неравенствам, нет примеров и задач на исследования уравнений, требующих решения неравенств.

4. В § 50 дается алгорифм исследования уравнения, составленного из условия задачи. Этот алгорифм неудачен.

5. Примеры на исследование квадратных уравнений в § 52 довольно однообразны.

6. Задачи с конкретным содержанием на исследование квадратных уравнений мало связаны с решением неравенств второй степени. Совсем нет задач геометрического содержания.

В настоящее время вопросы исследования уравнений включены в программу 7 и 8-х классов, а в 10-м классе тема об исследованиях уравнений должна лишь систематизировать сведения об исследовании уравнений, сообщенные в курсах 7 и 8-х классов. Практически же получается так, что в 8-м и особенно в 7-м классах учащиеся плохо изучают вопросы исследования уравнений, а в 10-м классе в течение десяти часов они тоже в вопросах исследования успевают сделать очень мало. Неудовлетворительная постановка изучения исследования уравнений в средней школе во многом зависит от недостатков стабильного учебника. В методической же литературе исчерпывающей разработки этого вопроса тоже нет. Для многих учителей в исследовании уравнений много неясного и неопределенного.

Знания учащихся, окончивших среднюю школу, в этом вопросе очень слабы. Это видно хотя бы из результатов приёмных экзаменов в учительский институт, которые проанализированы нами в приложении к диссертации.

В своей диссертации, направленной на преодоление недостатков в преподавании исследования уравнений, мы защищаем следующие положения.

1. При изучении тождественных преобразований следует обращать, внимание на допустимые значения букв.

2. Вопросы исследования уравнений должны сопровождать изучение уравнеий, начиная с 6-го класса и кончая 10-м.

3. Решение и исследование задачи должно состоять из нескольких этапов. В диссертации дана характеристика каждого этапа.

4. Примеры и задачи, связанные с исследованием уравнений, должны быть разбиты на классы и группы по характеру и трудности их исследования. Такая классификация примеров и задач сделана нами для 7-го, 8-го и 10-го классов средней школы. При этом оказалось, что существуют такие группы примеров и задач, которые не могут быть решены с учениками средней школы ввиду своей трудности.

5. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными следует вести по исходной системе, а не по выводной. Кроме аналитического исследования системы линейных уравнений, нужно обратить внимание и на графическое исследование.

6. В 8-м классе следует решать такие задачи второй степени, исследование которых не связано с решением неравенств второй степени. В 10-м же классе следует решать задачи, исследование которых связано с решением неравенств второй степени.

7. В 8-м классе учащиеся должны уметь находить такие числовые значения параметров, содержавшихся в квадратном уравнении, при которых корни уравнения были бы числами рациональными, а иногда и натуральными. Нами даны способы такого нахождения числовых значений параметров.

8. В средней школе следует изучать не только графическое решение уравнения вида ах2 + Ьх -f- с = о, но и графическое исследование его. В V главе нами предложено два способа такого исследования.

9. В 10-м классе кроме аналитического следует проходить графическое исследование задач второй степени.

Из защищаемых положений новыми, не освещенными в литературе, являются: 4-е, 6-е, 7-е и 8-е.

Глава II

Пропедевтика исследования уравнений

Вопросами исследования должно сопровождаться прохождение всех важнейших разделов программы по математике. Уже в 6-м классе при решении задач с параметрическими данными следует ставить вопросы:

1. Как изменяется ответ при определенном изменении параметров?

2. При каких значениях параметров задача не имеет решения?

3. При каких значения параметров можно получить заранее намеченный ответ?

Во всех классах при изучении тождественных преобразований нужно обращать внимание на допустимые значения букв в алгебраических выражениях. В настоящее время в школьном преподавании алгебры это редко делают. Особенно неблагополучно в этом отношении с изучением иррациональных выражений в 8-м классе. Не обращая внимания на допустимые значения букв, здесь в процессе тождественных преобразований неправильно применяют свойства арифметического корня. В результате этого приходят к неверному ответу. Немало таких неверных ответов и в стабильном учебнике А. П. Киселева.

В диссертации мы показываем, как нужно правильно использовать свойства арифметического корня.

Далее мы рассматриваем вопрос о том, как следует изучать неравенства для того, чтобы изучение исследования уравнений было более легким.

Кроме решения неравенств первой степени с одним неизвестным, систем неравенств первой степени с одним неизвестным и неравенств второй степени с одним неизвестным, исследование квадратных уравнений требует умения решать неравенства видов У ах2 + Ьх + с - nx + m, где знак двучлена пх -f- m постоянен. Решение неравенств этого вида для учащихся 10-го класса не представляет затруднений.

Абсолютное неравенство следует рассматривать как частный случай условных неравенств.

Некоторым доказывамым неравенствам в 10-м классе нужно давать геометрическое или арифметическое истолкование.

Глава III

Исследование уравнений первой степени с одним неизвестным

В этой главе особое внимание мы уделяем решению параметрических уравнений. Их решение неразрывно связано с исследованием.

Решить параметрическое уравнение первой степени с одним неизвестным значит:

1. Определить, при каких системах значений параметров оно имеет единственное решение, и дать формулу этого решения.

2. Определить, при каких системах значений параметров оно имеет бесчисленное множество решений и при каких системах оно совсем не имеет решений.

При исследовании могут быть поставлены и дополнительные вопросы. Например, при каких значениях параметров корни уравнения будут положительны, отрицательны, равны нату-

ральному числу и т. д. Но такие вопросы в 7-м классе следует ставить после изучения неравенств.

Трудность решения параметрических уравнений зависит от числа входящих в них параметров и от структуры уравнений. Все параметрические уравнения в 7-м классе по трудности их решения мы разбили на четыре класса и дали характеристику и методику решения уравнений каждого класса.

Исследование задачи с параметрическими данными является составной частью ее решения.

В 7-м классе следует решать задачи первой степени, содержащие не более двух параметров.

Решение и исследование задачи разбивается на семь этапов:

1-й этап. Исследование условий задачи. 2-й этап. Выбор и обозначение неизвестной величины, определение допустимых для нее значений и составление уравнения. 3-й этап. Решения уравнения. 4-й этап. Исследование формулы решения. 5-й этап. Запись ответа. 6-й этап. Проверка решения задачи.

7-й этап. Постановка и разрешение дополнительных вопросов.

В диссертации мы даем подробную характеристику каждого этапа.

А. Н. Барсуков в своей книге «Уравнения первой степени в средней школе» пришел к выводу, что для того, чтобы научить учеников решать задачи на составление уравнения первой степени, необходимо их классифицировать по определенным признакам. К аналогичному выводу пришли и мы в отношении решения и исследования задач с конкретным содержанием с параметрическими данными.

В 7-м классе эти задачи мы разбили на два класса.

К первому классу принадлежат задачи, в которых множеством допустимых значений для неизвестных и параметров является множество натуральных чисел.

Ко второму классу относятся задачи, в которых можеством допустимых значений для неизвестного и параметров является множество рациональных чисел.

Первый класс разбивается еще на три группы. К первой группе относятся задачи, исследование которых сводится к решению одного простейшего неравенства вида х — а > о. Ко второй группе относятся задачи, у которых в правой части формулы решения есть дробь и в числителе этой дроби — натуральное число, а в знаменателе — разность или сумма пара-

метра и другого натурального числа. К третьей группе принадлежат задачи, у которых в правой части формулы решения есть дробь и в знаменателе этой дроби натуральное число, а в числителе — сумма параметра и другого натурального числа.

В исследовании задач первого класса главное место занимает четвертый этап решения.

В исследовании задач второго класса большое значение имеет истолкование результатов исследования, а иногда и 7-й этап решения.

* * *

Множеством допустимых значений для неизвестного и параметров в уравнениях, заданных вне связи с конкретной задачей, для 7-го класса было множество всех рациональных чисел. В 10-м же классе решаем такие уравнения, в которых множеством допустимых значений для неизвестного и параметров может быть множество действительных чисел без тех элементов его, при которых дроби, входящие в уравнение, теряют смысл. Следовательно, в уравнения могут теперь входить дроби, в знаменателях которых есть параметры или неизвестные или то и другое вместе.

Решение таких уравнений довольно трудно. Иногда исследования их сводятся к решению квадратных уравнений относительно какого-либо параметра.

В 7-м классе задачи были таковы, что при их исследовании не требовалось решения систем неравенств. В 10-м же классе исследования большинства задач первой степени связано с решением системы неравенств. При этом задача может содержать один, два и большее число параметров.

Задачи, решаемые в 10-м классе, мы разбили на семь сравнительно небольших групп по характеру их исследования.

В конце третьей главы показывается, как на примере решения и исследования задач можно разъяснить учащимся основные положения марксистско-ленинской теории познания.

Кроме того, мы показываем, как с помощью алгебраического пути решения задачи прийти к арифметическому пути решения.

Глава IV

Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

В § 1 этой главы мы излагаем теорию вопроса. В § 2 дана методика решения и исследования систем уравнений первой степени в средней школе. Исследование системы уравнений в 7-м классе должно быть связано с графическими представле-

ниями: если прямые линии, соответствующие уравнениям системы, пересекаются, то система имеет единственное решение; если эти прямые параллельны, то система не имеет решения; если, наконец, прямые сливаются, то система имеет бесчисленное множество решений.

Из наблюдений над частными случаями учащиеся 7-го класса могут прийти к выводу о том, как по коэффициентам и свободным членам уравнений системы можно определить характер решения системы с числовыми коэффициентами.

На конкретных примерах в 7-м классе должны быть изучены теоремы о равносильности систем уравнений.

Исследование систем, содержащих параметры, следует вести по исходной системе, а не по выводной.

Все системы, решаемые с исследованием в 7-м классе, мы разбиваем на два класса.

К первому классу относим такие системы, которые содержат параметры лишь в свободных членах, а ко второму классу относим те системы, которые содержат один параметр, и, по крайней мере, один коэффициент при неизвестном в каком-нибудь одном уравнении системы не содержит параметра.

При изучении систем, содержащих параметры, в 7-м классе следует решать, главным образом, такие текстовые задачи, которые приводят к системе уравнений с одним параметром в свободном члене.

В 10-м классе решаются более сложные системы, даются более строгие и глубокие обоснования аналитического и графического решения и исследования системы; при этом могут быть использованы определители второго порядка.

Примеры на решение и исследование системы уравнений в 10-м классе нужно разбить на три класса:

1) исследование систем с числовыми коэффициентами;

2) исследование систем, содержащих параметры, без их решения;

3) решение систем, содержащих параметры, с исследованием.

Примеры третьего класса по трудности исследования нужно разбить еще на три группы.

Решение примеров первой группы является повторением материала 7-го класса.

Системы, принадлежащие к примерам второй группы, содержат один параметр, и все коэффициетны при неизвестных в обоих уравнениях являются алгебраическими выражениями относительно этого параметра.

К примерам третьей группы относятся системы, содержащие два параметра.

Мы показываем, что в средной школе, даже в 10-м классе, есть возможность решать с исследованием системы с одним параметром и лишь самые простые системы с двумя параметрами.

В 10-м классе задачи, приводящие к системам параметрических уравнений, разделяются на два класса:

а) задачи теоретического характера, главным образом, на доказательство;

б) задачи с конкретным содержанием.

Глава V

Исследование уравнений и задач второй степени

Часто условие задачи второй степени требует, чтобы решение выражалось рациональным или даже натуральным числом. Поэтому в 8-м классе следует научить учащихся подбирать такие числовые значения параметров, при которых корни квадратного уравнения были числами рациональными или даже натуральными. Для этого мы вывели следующее правило: для того, чтобы найти такое числовое значение параметра, при котором корни уравнения были числами рациональными, нужно решить уравнение относительно параметра, подставить вместо X рациональное число к и вычислить полученное выражение.

Например, в уравнении Зх2 -j- 2х — 2а = 0 корни будут выражаться рациональными числами, если а = — к(3к -f- 2), где к — любое рациональное число.

Последняя формула для параметра а получена путем решения уравнения относительно этого параметра и замены х через к.

После изложения методики исследования корней квадратного уравнения по дискриминату, и коэффициентам переходим к исследованию задач на составление параметрических уравнений второй степени.

Последние по трудности их решения мы разделяем на два класса. К первому классу относим задачи, удовлетворяющие следующим двум условиям:

1. Дискриминат соответствующего квадратного уравнения неотрицателен при любых допустимых значениях параметров.

2. Неизвестная величина может быть подчинена каким-нибудь ограничениям (х < « или х > а или а < х < ß), но эти ограничения таковы, что они не влекут за собой необходимости решать и доказывать сложные неравенства.

Ко второму классу относим те задачи, которые удовлетворяют по крайней мере одному из следующих условий:

1. Дискриминат соответствующего квадратного уравнения может менять знак с изменением числовых значений параметров в пределах допустимых для них значений.

2. Ограничения, наложенные на неизвестную величину, таковы, что влекут за собой решение или доказательство неравенства второй степени.

Задачи первого класса мы решаем в 8-м классе, а задачи второго класса — в 10-м классе.

Задачи первого класса по характеру исследования мы разбили еще на пять групп и дали характеристику каждой группы.

Решение и исследование задачи второй степени, как и решение задачи первой степени, состоит из семи этапов.

Во втором полугодии в 8-м классе изучается фукция у = ах2 + bx -f- с и ее график. Иногда в школьной практике это изучение является самоцелью. В лучшем случае дают графическое решение квадратного уравнения, но не его исследование. Между тем, изучая эту функцию и ее график, можно дать графическую иллюстрацию исследования квадратного уравнения.

При графической иллюстрации мы наглядно показываем то, что из алгебраических формул можем вывести. Например, из формул Виета х + х2 =---; xtx2 =-~ выводим, что Xi<x2<0 при D>0; a>0yîTc>0. Это же самое в геометрической иллюстрации мы показываем без формул Виета, а с помощью построения соответствующего графика.

При доказательстве теоремы ученикам должно быть ясно, что дано и что требуется доказать. При графической же иллюстрации дожно быть ясно, что дано и что требуется показать.

При иллюстрации исследования квадратного уравнения по дискриминату и коэффициентам должны быть даны знаки коэффициентов, свободного члена и дискримината, а нужно графически показать, каковы будут знаки корней, и если корни разных знаков, то у какого корня больше абсолютная величина.

В диссертации мы даем методику графического исследования квадратного уравнения по дискриминату и коэффициентам.

В 10-м классе решаются примеры на исследование квадратных уравнений, требующие решения неравенства второй степени. По характеру решения эти примеры могут быть разбиты на 4 класса.

Особое внимание мы обращаем на 4-й класс. В каждом примере 4-го класса требуется решить систему, состоящую из квадратного уравнения и одного или нескольких неравенств. Причем неравенства, входящие в эту систему, могут иметь вид: X > S или ß <С X < &, где а и ß — действительные числа. В частном случае & и ß могут быть равны нулю.

Решение и исследование задач второй степени в 10-м классе приводит к решению такой системы. Эти задачи по трудности решения мы разбили на четыре группы и дали методическую характеристику каждой группы.

Проект новой программы по математике предусматривает в 10-м классе графическое исследование квадратных уравнений. В V главе мы показываем, какое, по нашему мнению, должно быть это графическое исследование.

К диссертации даны четыре приложения.

В первом приложении описаны экспериментальные исследования автора, связанные с темой диссертации. Эти исследования, с одной стороны, подтверждают справедливость тех положений, которые мы защищаем в диссертации, а с другой — показывают, что сами эти положения возникли у автора в связи с его практической работой в школе.

В первом пункте первого приложения дан анализ контрольных работ абитуриентов, поступавших в Черкесский учительский институт в 1953—54 учебном году. Этот анализ показывает, что знания по исследованию уравнений у абитуриентов очень плохие.

Во втором пункте первого приложения описаны уроки по исследованию уравнений в 10-м классе школы № 6 гор. Черкесска. После описания каждого урока даны анализ урока и выводы из анализа. Каждый урок и выводы, сделанные из анализа урока, подтверждают справедливость тех или иных положений, высказанных в диссертации.

В 10-м классе были проведены две контрольные работы на исследование уравнений. Анализы этих работ также помещены в приложении.

В третьем пункте даны экспериментальные исследования в 6-м и 7-м классах школы № 4 г. Черкесска.

Четвертый пункт — типичные ошибки учащихся при исследовании уравнений и пути их преодоления.

Во втором приложении помещены примеры и задачи на исследование уравнений и систем уравнений. Часть этих задач придумана нами.

В третьем приложении дано применение исследования квадратного трехчлена к исследованию квадратных уравнений и к исследованию задач с конкретным содержанием.

В четвертом приложении изложено применение тригонометрии к исследованию задач с геометрическим содержанием.

Л - Î 30770 Объем 1 и. л. Тираж 100. Заказ 2306

Типография «Красная звезда», В. Масловка, 73.