КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. М. ГОРЬКОГО

Т. Я. НЕСТЕРЕНКО

На правах рукописи

НАЧАЛЬНЫЙ КУРС ГЕОМЕТРИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ВСТУПЛЕНИЕ

В. И. Ленин, говоря о задачах школы, выдвигал непременное требование, чтобы „в школе подготовлялось то, что в жизни осуществляется“. Под руководством партии Ленина—Сталина народы Советского союза успешно разрешают историческую задачу постепенного перехода от социализма к коммунизму. В этот период особенно большое значение приобретает коммунистическое воспитание молодежи. „Пришло время, когда вперед выдвигаются задачи воспитательного характера, задачи коммунистического воспитания трудящихся“ — говорил товарищ Молотов на XVIII съезде ВКП(б).

Общей целью воспитания подрастающих поколений в период перехода от социализма к коммунизму является подготовка всесторонне развитых, сознательных и активных строителей нового коммунистического общества. В соответствии с этой целью перед школой видвигаются следующие требования:

1. Школа должна заложить прочный фундамент для Формирования у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения для воспитания у них высокой коммунистической сознательности любви и безграничной преданности своему отечеству, народу, делу Ленина—Сталина.

2. Учащиеся должны быть вооружены прочными и систематическими знаниями основ наук, умением и навыками, обеспечивающими использование этих знаний в практической деятельности, т. е. в практике коммунистического строительства.

Осуществление этих общих задач коммунистического воспитания в процессе обучения требует прежде всего повышения идейного уровня преподавания каждого учебного предмета, а это может быть успешно достигнуто в том случае, если содержание учебных программ, учебники, выбор методов работы будут соответствовать задачам, стоящим перед нашей Советской школой.

В какой же мере удовлетворяет успешному разрешению задач, стоящих перед семилетней школой, существующая программа по геометрии? Наши ныне действующие программы по математике (арифметика, алгебра, геометрия) для средней школы

в основном удовлетворяют вышеуказанным требованиям, программа же, (а особенно учебник) по геометрии для семилетней школы этим требованиям удовлетворяют не в достаточной степени.

В условиях, когда осуществлено обязательное семилетнее образование не только в городе, но и на селе, семилетняя школа должна давать выпускникам законченный объем знаний, должна подготовлять их не только для продолжения образования в средней школе и техникумах, но и для практической деятельности.

Характерная особенность нашего времени состоит в массовом развитии различных форм стахановского движения, в бурном распространении механизации трудоемких процессов производства в нашем социалистическом хозяйстве, в массовом стремлении к усовершенствованию методов труда, в техническом изобретательстве, и постепенном стирании граней между трудом индустриальным и сельскохозяйственным, между трудом умственным и физическим.

Сейчас, больше чем когда бы то ни было, приходится считаться с тем, что выпускники средней и семилетней школы в своей будущей практической деятельности столкнутся с высоко механизированной промышленностью и сельским хозяйством. Колхозам нужны агрономы, счетные работники, грамотные бригадиры, трактористы. В колхозную жизнь начинает прочно входить электричество, поэтому не только в городах, но и в селах имеется острая нужда в электромонтерах, электротехниках, радиотехниках и т. п.

Наша программа по геометрии для семилетней школы отстает от требований жизни и нуждается в значительном улучшении.

Во-первых, учебный материал в этой программе спланирован так, что оканчивающие семилетнюю школу не получают законченного объема знаний по геометрии. Курс геометрии в семилетней школе представляет собой неудачно отсеченную часть систематического курса геометрии десятилетней школы. (В седьмом классе изучение геометрии заканчивается четырьмя замечательными точками в треугольнике и пятью признаками взаимного расположения двух окружностей). Ученик, оканчивающий семь классов, ничего не знает ни о подобии треугольников, ни о площади трапеции, ни о теореме Пифагора, ни о вычислении поверхности и объема таких распространенных в жизни геометрических тел, как шар, конус и др. Так спланированный учебный материал по геометрии мало способствует подготовке оканчивающих семилетнюю школу к практической деятельности, так как любая отрасль труда требует умения измерять рассто-

яния и углы, производить съемку планов, вычислять площади, объемы и т. п.

Во-вторых, наша семилетняя школа является единственным учебным заведением, которое готовит молодежь для обучения в техникумах и разного профиля училищах. Программы же по геометрии для семилетней школы недостаточно согласованы с программами техникумов и училищ. Например, уже на первом курсе техникума от учащихся требуются знания стереометрии, а учащиеся средней школы знакомятся с вопросами из области стереометрии только на девятом году обучения.

В третьих, программа, а особенно учебник, по геометрии не соответствуют возрастным особенностям учащихся. Изучение геометрии начинается в 6-м классе сразу систематическим курсом, т. е. таким курсом, в основу которого положено исследование свойств геометрических форм и величин в их самом общем виде, имея дело с отвлеченными общими понятиями о геометрических линиях, фигурах, телах и т. п. Справедливость тех или иных свойств геометричетких фигур подтверждается при помощи дедуктивного метода.

Первые уроки систематического курса геометрии представляют сейчас для учеников 6-го класса весьма большие педагогические трудности.1) На этих уроках ученики делают большой скачок от конкретного к отвлеченному, они знакомятся с абстрактными понятиями (точка, линия, поверхность и т. д.), пользуются новым для них логическим методом исследования (логические доказательства теорем, логические определения новых понятий и т. д.). Без достаточной предварительной подготовки ученику шестого класса трудно начать сразу мыслить абстрактными понятиями, ему трудно понять необходимость логического доказательства теоремы, трудно осмыслить результат, полученный после этого доказательства. Все эти большие логические трудности часто приводят ученика к механическому заучиванию теорем, к неумению отделить условия от заключения.

Если для изучения систематического курса арифметики в V и VI классах учащиеся получают солидную предварительную подготовку в течение первых четырех лет обучения в начальной школе, если для сознательного изучения алгебры в VI классе учащиеся приобретают некоторую подготовку в V классе при изучении арифметики, то с изучением систематического курса геометрии дело обстоит значительно хуже. Действительно, в начальной школе (IV класс) учащиеся получают очень скуд-

1) См. а) Бескин „Методика геометрии,. Учпедгиз, 1947 г., стр. 80.

б) Брадис „Методика математики“, 1949 г., стр. 289—318.

в) Материалы совещания преподавателей математики в 1935 году.

ные знания по геометрии; им сообщаются правила для вычисления площади прямоугольника и объема прямоугольного параллелепипеда. В пятых классах семилетней школы УССР имеется небольшой курс наглядной геометрии, в задачу которого входит знакомство учащихся с формой некоторых прямолинейных фигур (треугольник, параллелограм, многоугольник) и тел (прямоугольный параллелепипед, прямая призма, цилиндр и др.) Кроме знакомства с этими пространственными формами учащиеся V класса должны овладеть правилами вычисления площадей некоторых прямолинейных фигур и объема прямой призмы и цилиндра. Программа по курсу наглядной геометрии очень перегружена и односторонняя.

Хотя учащиеся V классов при хорошем преподовании им курса наглядной геометрии и приобретают весьма полезно практические навыки, но все же они недостаточно подготовляются к изучению систематического курса геометрии дедуктивным методом.

Стабильный учебник по геометрии Киселева составлен так, что одним и тем же языком, одним и тем же методом излагается материал ученику VI и X классов. Но что десятикласснику дается совсем легко, то для шестиклассника представляет большие трудности.

Из вышеизложенного видно, что учебная программа по геометрии для семилетней школы нуждается в серьезном изменении, как по содержанию учебного материала, так и по методу его изучения.

1. Цель данной диссертационной работы

В последнее время (1946—49 гг.) делается много попыток внести существенные изменения в программу по геометрии для семилетней школы с тем, чтобы содержание ее соответствовало задачам семилетней школы, а выбор методов работы по геометрии в V, VI, VII-X классах согласовывался бы с возрастными особенностями учащихся.1)

Так, например, вопрос об изменениях программы по геометрии обсуждался в Московском Математическом обществе (доклад проф. Александрова); в Академии Педагогических наук РСФСР, в Министерстве просвещения РСФСР, в Украинском научно-исследовательском Институте педагогики, на сессии Академии педагогических наук РСФСР, на сессии Украинского научно-исследовательского института педагогики. В обсуждение этого вопроса включились не только видные ученые (академики Хинчин, Колмогоров, проф. Богомолов, Дубнов, Четверухин,

1) См. „Успехи математических наук“, т. № 4 (46).

Александров и друг.), но и широкий круг учителей, выступавших и на научных сессиях и в периодической печати.2)

В результате такого широкого обсуждения вопроса об изменении программы по геометрии для семилетней школы имеется несколько проектов новых программ по математике. Проект Академии Педагогических наук РСФСР, проект Министерства просвещения РСФСР, проект отделения методики—математики Украинского научно-исследовательского института педагогики.

Институт методов обучения Академии Педагогических наук РСФСР предлагает для семилетней школы самостоятельный начальный курс геометрии, изучение которого проводится в VI и VII классах. Курс этот построен на принципах наглядности с привлечением логических рассуждений дедуктивного характера, с большим количеством практических работ. Изучение систематического курса геометрии по этому проекту предлагается начинать с VIII-го класса.

По проекту Министерства просвещения РСФСР предлагается пропедевтический курс геометрии изучать в V и VI классах в курсе арифметики, не выделяя его в самостоятельный курс По содержанию курса этот практический, ничем не отличающийся от существующего в школах УССР курса наглядной геометрии для V-го класса. Изучение систематического курса геометрии предлагается по этому проекту начинать с VII-го класса.

Проект Украинского Научно-исследовательского Института педагогики предлагает для семилетней школы вполне законченный, самостоятельный курс геометрии, основанный на наглядности с постепенным введением логических рассуждений. Изучение такого курса начинается с V и заканчивается в VII классе. С VIII класса начинается изучение систематического курса геометрии.

В выступлениях Н. М. Бескина в журнале „Математика в школе“ предлагается систематический курс геометрии начинать с VI класса, а пропедевтический курс геометрии в III, IV и V классах.

Преподаватель Принцов, выступая в журнале „Математика в

2) .Известия Академии Педаг. наук РСФСР“ Дубнов „Геометрия в семилетней школе“ и проект программ по математике для средней школы.

Проект программ по математике для средней школы Министерства просвещения РСФСР;

Материалы Сессии Ак. Пед. Наук РСФСР, 1949. Доклады Презид. Академии Педнаук акад. Каирова и акад. Калашникова.

Проект программ по математике УНДИП'а.

Материалы Сессии УНДИП'а.

В учительской газете, в журнале „Математика в школе“ по вопросу о курсе геометрии в семилетней школе имеются выступления: Н. М. Бескина, засл. учителя РСФСР Цлафа, засл. учители Горбатого и много других.

школе“, предлагает лишь дополнить существующую программу по геометрии в VI и VII классах рядом вопросов, имевших большое практическое значение (подобие фигур, измерение площади треугольника, круга, измерение объема прямой призмы, цилиндра и друг.) Засл. учитель РСФСР Цлаф высказывается за необходимость изменения всей структуры построения курса геометрии для семилетней школы, а начало изучения систематического курса перенести в VII класс и др.

В связи с тем, что вопрос об изменении программы по геометрии для семилетней школы, при широком обсуждении, разрешается по разному, мы в своей диссертации поставили целью разработать такой проект программы, который бы обеспечил удовлетворительное разрешение задач, стоящих перед семилетней школой. В основу составления программы по геометрии для семилетней школы берем следующие положения:

1. В семилетней школе, как школе массовой, должен быть вполне законченный курс начальной геометрии, охватывающий основные вопросы из планиметрии и стереометрии. Изучаться этот курс должен в пятом, шестом и седьмом классах семилетней школы.1)

2. В этом курсе должно быть отведено большое место решению всякого рода практических задач-измерение расстояний, углов, площадей на местности, измерение объемов определенных конкретных форм, (ведра, классной комнаты, овощехранилища и т. п.), что особенно важно для той части молодежи, образование которой заканчивается семилетней школой.

3. Курс этот с учетом возрастных особенностей детей должен строиться на началах наглядности с постепенным введением логических рассуждений дедуктивного характера.

4. В этом курсе нельзя начинать с определения того или иного нового понятия. Место формальных определений должны занимать поясняющее описание, всегда аппелирующие к какому-либо конкретному образу, который занимает уже прочное место в сознании учащегося.2)

1) Исследования, проведенные Институтом методов обучения Академии педагогических наук РСФСР под руководством проф. Четверухина, говорят о том, что „учащиеся VI-x и VII-x классов имеют достаточный запас пространственных представлений и пространственного воображения, на базе которого можно построить курс геометрии, содержащий необходимые стереометрические понятии. Такой курс посилен учащимся и в большей степени отвечает тем требованиям, которые предъявляет жизнь к оканчивающим семилетнюю школу (Известия Акад. Педаг. наук, том 21, стр. 23. 1949 г.

2) Акад Хинчин в своей статье „О математических определениях в средней школе“, напечатан, в журн. .Математика и школа“, № 1, 1941 г. указывает на большое значение поясняющих описаний „Устанавливая без всякой претензии на логическую дедукцию те или другие связи вновь вводимого поня-

5. Программа по геометрии для семилетней школы должна быть построена так, чтобы полностью обеспечить в старших классах средней школы успешное изучение систематического курса геометрии, как основного общеобразовательного курса.

Изучая курс геометрии, построенный на вышеизложенных принципах, оканчивающие семилетнюю школу будут иметь, с одной стороны, достаточный запас геометрических знаний и навыков в основных вопросах планиметрии и стереометрии, необходимых для практической деятельности, а, с другой стороны, будут владеть в доступной им мере основными логическими методами доказательств геометрических предложений, т. е. окажутся вполне подготовленными для глубокого и сознательного изучения систематического курса геометрии.

Курс геометрии, построенный на вышеизложенных принципах в дальнейшем изложении будем называть начальным курсом.

2. История вопроса о введении в школьное преподавание начальных курсов

Для осуществления цели, которую мы поставили перед диссертацией, нам пришлось прежде всего изучить и проанализировать имеющуюся научную и педагогическую литературу, связанную с историей вопроса о введении в школьное преподавание начальных курсов, так как только на основе полного учета и обобщения опыта работы лучших отечественных педагогов, как дореволюционной, так и особенно советской школы, может быть правильно решен вопрос о характере курса геометрии в нашей семилетней школе.

В допетровский период в России школ было мало, а в тех, что существовали, геометрия не изучалась, так как духовенство, в ведении которого находилось просвещение, было мало заинтересовано в распространении образования. Прогрессивная экономическая политика Петра I оставила свой отпечаток как на типе школ, так и на содержании учебных программ. Во все школы наряду с арифметикой была введена и геометрия. Эти курсы геометрии ставили себе целью сообщить ученикам узкопрактические сведения ие геометрии, так как сама школа не преследовала цели дать общее образование широким кругам населения, а лишь в ускоренном порядке подготовить узких специалистов для различных отраслей промышленности.

тия с такими крепко усвоенными интогредиентами детского сознания, мы достигаем того, что в дальнейшем, при упоминании этого понятия, в сознании учащихся встают правильные ассоциации, помогающие безошибочно оперировать с ним“.

Самым авторитетным учебником в Петровскую эпоху был учебник Магницкого „Арифметика“ (издание 1703 г.). В этом учебнике выделялась особая глава, названная Магницким „О прикладах потребных по гражданству“, где рассматривались задачи практического содержания геометрического характера (см. диссертацию стр. 8—18). Содержание геометрического материала в курсе арифметики Магницкого охватывало следующий круг вопросов: вычисление площади прямоугольника, параллелограма, трапеции, круга. Решение задач на применение теоремы Пифагора. Вычисление поверхности и объема таких тел как куб, прямоугольный параллелепипед, конус, цилиндр, шар. Решение прямоугольных треугольников с помощью таблиц натуральных значений тригонометрических функций. Понятие о подобии фигур.

Материал излагался догматически: давалось условие задачи и указывалось: „а твори сице“, что значит: „делай так“. Учебник Магницкого должен был удовлетворить и действительно удовлетворял важной государственной потребности своей эпохи.

Однако вскоре трудами выдающихся отечественных ученых С Е. Гурьевым, а позднее М. В. Остроградским, Н. И. Лобачевским и др. к построению школьного курса геометрии предъявлены были новые педагогические требования.1)

В первой половине XIX века эти новые требования к построению школьных курсов геометрии выразились в стремлении перейти от догматического изложения правил и решения задач к систематически построенным курсам. Вместе с этим трудность усвоения систематического курса геометрии для начинающих ее изучать выдвинула новое положение, а именно: систематическому курсу геометрии должен предшествовать некоторый начальный курс геометрии, более доступный детскому возрасту и развитию.

Необходимость введения в школьное преподавание таких начальных курсов геометрии, была научно обоснована и всесторонне обсуждена, как на педагогической дискуссии 1872— 1873 годов, так и на всероссийских съездах преподавателей математики 1912—1914 гг.2)

1) См. Труды Института истории и естествознания, том 1, акад. Гурьев, стр. 222, 1948 г.

См. Гнеденко „Очерк по истории развития математики в России, стр. 112,

См. „О педагогическом наследстве К. И. Лобачевского“, „Математика в школе, 1948, № 6. стр. 25,

См. Труды Института истории и естествознания“, т. II, Н.И.Лобачевский.

2) См. материалы педагог, дискуссии 1872—1873 гг., напечат. в журн. „Семья и школа“, также труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики 1912—14 гг. Этот вопрос обсуждался в Киевском физико-математическом обществе.

Проф. Богомолов, например, на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики указывал, что изучать геометрию, начиная с систематического курса нельзя из педагогических соображений, что изучению систематического курса должен предшествовать широко поставленный начальный курс, цель которого не только в накоплении материала и пространственных представлений, но и в подготовке мышления ученика к необходимости логического доказательства. „Для успешного усвоения материала — говорит проф. Богомолов — преподавание должно быть интересным, причем характер этого интереса меняется с возрастом учащихся. Учащиеся юного возраста, приступая к изучению геометрии полны жажды знания, но при непременном условии, чтобы эти знания преподносились им в живой, наглядной форме. Для учеников этого юного возраста преподаватель должен сделать свои предмет максимально наглядным, оставить в стороне все, что может оценить ученик только старшего возраста“.1)

На протяжении XIX века у нас печаталось не мало различных учебников по начальному курсу геометрии, однако в массовую школу эти учебники мало проникали.

Великая Октябрьская Социалистическая Революция положила начало коренной перестройке всей школьной системы. Изменились задачи школ, вместо воспитания и обучения послушных рабов, слепо повиновавшихся воле господ, выдвигается задача — подготовить активных, сознательных строителей коммунистического общества. Схоластику, зубрежку заменяет сознательное и активное усвоение основ наук.

Настоятельное стремление выдающихся русских ученых, таких как Гурьев, Остроградский, Лобачевский, Ушинский, и мн. др.—к согласованию преподавания геометрии с возрастными особенностями детей, стало возможным осуществить лишь в нашей Советской школе. Только в условиях Советской школы создалась возможность коренной перестройки всего преподавания геометрии в средней школе. Создалась возможность для введения в школьное преподавание геометрии начальних курсов в их органической связи с дальнейшим систематическим курсом.

§ 3. Различные системы построения начальных курсов геометрии.

Для осуществления, поставленной перед диссертацией цели, нам пришлось составить классификацию различных видов начальных курсов геометрии. Это тем более необходимо потому, что в нашей методической литературе этому вопросу уделялось

1) См. Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики стр. 25-52 и 440-443, 1912—1914 годы.

мало внимания. Чаще всего под начальным курсом геометрии понимался курс наглядной геометрии. Характерной особенностью наглядных курсов геометрии является то, что в этих курсах все истины, все факты устанавливаются путем непосредственного измерения, сравнения, не прибегая к логическим доказательствам.1)

Такие наглядные курсы геометриии предназначались не только для детей младшего возраста 8—11 лет, но и для более старшего возраста (11—14 лет). Учащиеся, рассматривая ту или иную геометрическую фигуру, подмечают в ней какое либо свойство, проверяют подмеченное свойство непосредственным измерением и вопрос считается изученным. Правда, в лучших курсах наглядной геометрии кроме непосредственного наблюдения демонстрируемой геометрической фигуры, учащиеся еще и чертят, измеряют, выкраивают, склеивают, модели и т. д. Эта исследовательская работа учеников при изучении геометрии является ценной стороной наглядных курсов. Учащиеся знакомятся с большим фактическим материалом, решают практические задачи, тем самым подготовляют себя к серьезному изучению основного (систематического) курса геометрии.

Главная отрицательная сторона таких курсов состоит в полном отказе от применения логических доказательств. Геометрия в таких курсах превращается в какую-то „опытную“ дисциплину, в которой все теоремы как бы—„доказываются“ на моделях. У учащихся вместо осознания необходимости логического доказательства теорем, постепенно пропадает интерес к нему. Вот почему начальный курс геометрии, построенный только по системе, так называемых, наглядных курсов мало способствует развитию логического мышления, столь необходимого и для познания реального мира и для дальнейшего математического образования ученика.

Вторым видом начального курса геометрии являются практические курсы.2)

Особенность этих практических курсов состоит в том, что в них рассматриваются только те вопросы, которые имеют непосредственное практическое приложение. В этих курсах, чаще всего, ученикам сообщается ряд готовых правил и формул для

1) Достаточно сравнить такие курсы как по наглядной геометрии:

Астряб „Наглядная геометрии“

Кемпбель Наглядная геометрии“

Косинский „Наглядная геометрия“.

Ламе-Флери—„Наглядная геометрия и др.

2) См. также практические курсы геометрии:

Магницкий „Арифметика“ 1903 год.

Свенцевский и Михеев „Геометрия поля“.

Шмидт „Практическая геометрия“ и мн. других

решения практических задач, они упражняются в применении этих правил и формул, не касаясь вопроса о том, как та или иная формула получена и верна ли она?

3. Третьим видом начальных курсов являются курсы пропедевтические, подготовительные. Цель пропедевтического курса геометрии состоит не столько в накоплении фактического материала, сколько в подготовке учащихся к изучению систематического курса геометрии. В таких курсах видное место отводится всякого рода экспериментированию, моделированию. Вместе с этим учащиеся должны, изучая эти пропедевтические курсы геометрии, постепенно осознавать, что в геометрии вовсе не требуется постоянно прибегать к опыту для обоснования истинности своих предположений, а что можно убедиться в правдивости их путем логических рассуждений.1)

Подвергнув подробному анализу содержание и методику преподавания начального курса геометрии, мы пришли к выводам, что задачам нашей семилетней школы не может удовлетворить ни наглядный, ни практический, ни пропедевтический курсы геометрии в их чистом виде. В курсе геометрии для нашей семилетней школы должны быть органически связаны ценнейшие стороны каждого их названных курсов и наглядность и взаимосвязь изучаемых вопросов теории с практикой и подготовка учащихся к глубокому и сознательному усвоению систематического курса геометрии в старших классах.

Такой курс геометрии для семилетней школы лучше всего назвать начальным, как уже было указано ранее.

§ 4. Проект программы начального курса геометрии.

Для составления нового проекта программы начального курса геометрии в основу нами было положено:

1. Решения партии и правительства о школе, 2) Изучение опыта передовых учителей города Сталинграда и гор. Киева, 3) Личный опыт 20-тилетней педагогической работы, 4) Изучение дискуссионных материалов сессии: Акад. Пед. Наук РСФСР и Украинского научно-исследовательского института педагогики, материалов учительских конференций, 5) Критическое изучение уже имеющихся проектов новых программ по геометрии для семилетней школы, 6) Анализ имеющихся начальных курсов геометрии (Малинина, Вулиха, Козлова и др.), 7) Результаты исследования Института методов обучения Академии Педагоги-

1) См. характеристику пропедевтических курсов, данную Евтушевским и Вулихом. (Семья и школа“, 1872—73 гг. педагогич. дискуссия) проф. Богомоловым, Нилишером на 1-м Всероссийском съезде преподаватлей математики 1912—14 гг.

ческих наук РСФСР, под руководством профессора Четверухина.1)

Программа начального курса геометри, согласно имеющимся проектам, может быть предоставлена в виде следующей таблицы:

Название темы

Проект Акад. Пед. наук

Проект Мин. проев. РСФСР

Проект иаучно-иссл. И-та педаг.

1. Вступление (понятие о геомет. теле, поверхности, линии, точке; прямая, окружн., углы) ........

VI—17

V -12

V-12

2. Параллельные прямые......

Понятие о симметрии......

VI—17

V- 2

V—8 V—3 VI—6

3. Треугольники..... . . . .

VI—12

V—2

VI - 10

4. Четырехугольники........

VI—13

VII—22

5. Площади прямол. фигур (включая теорему Пифагора) ........

VI— 8

V-12

V—К)

6. Окружность и круг (включая ллину окружн. и площадь круга ....

VII- 5

V--2

VI—10

7. Подобие фигур..........

VII—10

VI—3

VI—14

8. Тригонометр. функции острого угла...............

VII— 8

_

_

9. Взаимное положение прямых и плоскостей в пр—ве.......

VII— 6

VII-10

10. Мн—ки и круглые тела .....

VII—27

Vi—10

VI 1—22

11. Повторение............

VII—10

_2)

На основе подробного анализа имеющихся проектов программы по курсу геометрии для семилетней школы, а также и дискуссионного материала по этому вопросу, можно сделать такие выводы.

1. Все рассматриваемые проекты считают весьма необходимым придать курсу геометрии в семилетней школе законченный характер, поэтому в проектах программы указаны основные вопросы из планиметрии и стереометрии.

2. Во всех проектах подчеркивается необходимость согласования методов преподавания геометрии с возрастными особенностями учащихся, поэтому и изучению основного общеобразовательного курса геометрии предшествует начальный курс. По проекту Академии педагогических наук Украинского

1) См. Известия Академии Педагогических наук, выпуск 21, 1918 г.

2) Римская цифра показывает класс, в котором изучается тема, а число, изображенное арабскими цифрами, показывает количество часов, отведенное но изучение темы.

научно-исследовательского Института педагогики курс этот носит характер начального, а по проекту Министерства просвещения РСФСР — наглядно-практического.

3. Все проекты составлялись применительно к одинадцатилетней школе, а поэтому в условиях нашей десятилетней школы, эти проекты сильно перегружены материалом, особенно этим отличается проект программы Академии педагогических наук РСФСР.

4. Сроки проработки начального курса геометрии предлагаются различные: VI и VII классы - Ак. пед, наук; V и VI кл.— Мин. просв. РСФСР; V, VI и VII — Укр. научн. исслед. инст. педагогики.

5. Содержание учебного материала (по проекту Ак. пед. наук и УНДИП'а отобрано правильно с точки зрения общих задач коммунистического воспитания молодежи, планировку же материала следует изменить, чтобы избежать перегрузки учащихся.

6. Проект программы по геометрии Министерства просвещения РСФСР не соответствует задачам нашей семилетней школы. Отдельные геометрические сведения практического характера растворяются в курсе арифметики, учащиеся не составят себе представления о геометри, как о целом курсе и кроме того практический курс геометрии мало подготовляет учащихся для изучения систематического курса.

В отличие от проекта Ак. пед. наук РСФСР и проекта Министерства просвещения РСФСР, мы планируем изучение начального курса геометрии на три года в 5, 6 и 7 классах.

Целесообразность такого планирования начального курса геометрии на 3 учебных года (пятый, шестой и седьмой классы) оправдывают себя тем, что; во-первых, семилетняя школа в целом получает законченный курс геометрии, во-вторых, планировка материала на 3 года не создает перегрузки программы учебным материалом последнее обстоятельство весьма важно, ибо перегрузка программы очень часто приводит к формальному и поверхностному усвоению учениками геометрии; в-третьих, при планировании начального курса геометрии на 3 года ые нарушается существующая сетка часов; в-четвертых, наш проект программы в большей мере чем другие проекты способствует глубокому изучению начального курса геометрии, так как на изучение каждой темы отводится большее количество часов и материал изучается более длительное время. Все это создает прочную базу для изучения основного курса геометрии в старших классах.

Программу по геометрии в семилетней школе можно представить так:

5-й класс

Тема 1: Введение 2 часа.

Рассмотрение геометрических тел (куб, прямая призма, цилиндр, пирамида, конус, шар) основные геометрические понятия: геометрическое тело, поверхность, линия, точка.

Тема 2: „Прямая линия“_ 6 часов.

Виды линий: прямая, кривая, ломанная. Свойства прямой линии. Черчение прямой при помощи линейки. „Отбивание“ прямой при помощи шнура. Проверка линейки. Отрезок, луч. Перенос отрезка с помощью циркуля и линейки. Сложение и вычитание отрезков.

Практические работы

Провешивание прямой на земле. Измерение отрезков с помощью измерительной линейки. Измерение расстояний на местности:

Тема 3:_„Окружность и круг“_2 часа.

Построение окружности с помощью циркуля, нитки, бумажной полоски. Понятие об окружности и круге. Центр, радиус, диаметр окружности, хорда и дуга окружности. Сравнение дуг одной и той же окружности.

Практические работы

Проведение окружностей на земле.

Тема 4:_ „Углы“ 10 часов.

Взаимное положе двух прямых. Угол и его обозначение. Стороны и вершина угла. Сравнение углов с помощью малки. Сложение и вычитание углов.

Прямой, острый и тупой углы. Построение прямых углов с помощью угольника. Свойство прямых углов. Измерение углов. Транспортир. Угловой и дуговой градус. Центральный угол. Соответствие между центральными углами и соответствующими дугами. Смежные углы и их свойство. Развернутый угол. Прямой угол как половина развернутого угла. Вертикальные углы. Равенство вертикальных углов (доказать логически). Полный угол.

Практические работы

Изготовление малки, транспортира. Построение прямого угла с помощью эккера на земле. Измерение углов с помощью транспортира,

Тема 5: „Параллельные прамые“ 10 часов.

Понятие о прямых параллельных, пересекающихся, скрещивающихся (наглядно). Признаки параллельности двух прямых (без доказательства). Углы с соответственно параллельными сторонами.

Практические работы

Построение прямой параллельной данной с помощью линейки и угольника. Построение углов с соответственно параллельными сторонами.

Тема 6:_Понятие об осевой симметрии__5 часов.

Понятие о симметрии. Различные виды симметрии (на конкретных примерах). Симметрия прямолинейного отрезка, прямой, пары параллельных прямых, угла, окружности.

Тема 7:__Задачи на построение_3 часа

Деление прямолинейного отрезка пополам. Проведение перпендикуляра к данной прямой из данной точки. Построить угол. Разделить данный угол пополам.

6-й класс

Тема 1:_ Треугольники_(16 часов)

Многоугольники и треугольники. Обозначение треугольника. Стороны и углы треугольника. Внешние и внутренние углы треугольника. Классификация треугольников. (Прямоугольные, остроугольные, тупоугольные). Свойство сторон треугольника (доказать). Периметр треугольника. Название сторон в прямоугольном треугольнике. Основные линии в треугольнике (биссектриса, медиана, высота). Построение высот, медиан и биссектрис в любом треугольнику, с помощью циркуля и линейки. Вывести наглядно свойство: все высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

Сумма внутренних углов треугольника (помимо непосредственной практической проверки этого свойства доказать его логически). Доказать теорему о сумме внутренних углов выпуклого четырехугольника (проверить практически и доказать логически).

Построение треугольника 1) по сторонам и двум углам, прилегающим к стороне, 2) по двум сторонам и углу между ними и 3) по трем сторонам. Три случая равенства треугольников (доказать). Жесткость треугольной формы.

Построение прямоугольных треугольников. Три случая равенства прямоугольных треугольников. Свойство равнобедренного и равностороннего треугольников.

Свойство прямоугольного треугольника с углом в 30°. Соотношение между сторонами и углами в треугольнике. Теорема: во всяком треугольнике против большей стороны лежит и больший угол. Сравнительная длина перпендикуляра и наклонных. Расстояние точки от прямой.

Практические работы

Построение сети треугольников на местности (триангуляция). Измерение расстояний, связанное с применением признаков равенства треугольников.

Тема 2: Четырехугольники (14 часов).

Параллелограм. Свойства сторон и углов параллелограма. Теорема 1. Во всяком параллелограме противоположные стороны равны. 2. Во всяком параллелограме противоположные углы равны, а углы прилегающие к одной стороне в сумме составляют 180. Два отличительных признака параллелограма. Свойства диагоналей параллелограма. Построение параллелограма по его элементам. Прямоугольник. Свойство диагоналей прямоугольника. Ромб. Свойства диагоналей ромба. Деление отрезка на равные части. Трапеция. Равнобедренная трапеция. Средняя линия трапеции. Понятие о правильном многоугольнике.

Тема 3:_Площади прямолинейных фигур_(15 часов)

1. Измерение одного отрезка другим. Общая мера двух отрезков.1) Отношние двух отрезков.

Измерение площадей. (Прямой способ измерения площадей при помощи палетки, понятие о косвенном способе измерения площадей.

2. Измерение площади прямоугольника. Площадь квадрата. Понятие равновеликости фигур. Преобразование одних фигур в другие им равновеликие. Решение практических задач на вычисление площадей.

3. Площадь параллелограма, треугольника, трапеции. Площадь правильного многоугольника (доказать). Вычисление площади любого многоугольника.

1) В начальном курсе рассматриваются только случаи соизмеримых отрезков.

4. Теорема Пифагора (доказательство наглядное, заполняя площади квадратами).

Практические работы

Построить квадрат равновеликий сумме двух данных квадратов, построить квадрат равновеликий разности данных квадратов. Применение теоремы Пифагора к решению задач из окружающей жизни. Измерение площади земельного участка произвольной формы.

Тема 4:_Окружность и круг__(16 часов).

Окружность как геометрическое место точек. Круг и его симметрия. Основные свойства хорд. Свойство дуг заключенных между параллельными хордами. Построение центра окружности. Деление окружности на четыре, шесть, три равные части. Касательная к окружности. Теорема: 1) касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точке касания (доказать). Построение касательной к окружности из внешней точки. Центральные и вписанные углы. Свойство вписанного угла (доказать).

Построение вписанной и описанной окружностей для данного треугольника, квадрата шестиугольника.

3. Длина окружности. Число п. Длина дуги. Площадь круга.

Практические работы

Вычисление площади поперечного сечения дерева, площади дна ведра, площадь сектора сегмента, кольца и т. п.

7-ой класс

Тема 1:_Подобие фигур_(12 часов).

Подобные фигуры. Их свойство. Коэффициент подобия. Построение подобных фигур 1) посредством наложения квадратной сетки, 2) лучистого растяжения — сокращения (гомотетия). Гомотетия отрезка, треугольника. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников (доказать). Пантограф. Линейный масштаб. План. Отношение площадей подобных треугольников.

Практические работы

Составление плана школьного помещения, земельного участка и т. п.

Тема 2. Простейшие случаи решения треугольников (10 часов). Понятие о решении треугольников. Тангенс и синус острого

угла, как отношение сторон прямоугольного треугольника. Примеры их вычисления для углов в 45°, 30°, 60 . Таблица натуральных значений тригонометрических функций. Решение прямоугольных треугольников.

Решение практических задач (определение высоты недоступного предмета, высоты солнца над горизонтом и др.).

Тема 3: Основные сведения из стереометрии_(12 часов).

Важнейшие виды поверхностей. Свойства плоскости. Плоскость и прямая. Перпендикуляр и наклонные. Проэкция наклонной. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя (скрещивающимися) прямыми. Параллельные плоскости. Двугранные и многогранные углы. Важнейшие свойства прямых и плоскостей (теоремы о 3-х перпендикулярах и о плоскости, проходящей через перпендикуляр к другой плоскости (описательно).

Тема 4:__Многогранники и круглые тела_(22 часа)

Общее понятие о многограннике. Призма. Параллелепипед. Цилиндр. Поверхность призм и цилиндра. Измерение объемов. Единица объемов. Объем прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра. Пирамида. Конус. Поверхность правильной пирамиды и кругового конуса. Объем пирамиды и конуса. Шар. Части шара. Сечение шара плоскостью. Большие и малые круги. Поверхность шара. Объем шара и его частей (доказать опытным путем).

Повторение и решение практических задач по всему курсу геометрии (10 часов).

При повторении провести обзорные лекции о систематическом курсе геометрии, об основном методе геометрии, об основных предложениях в геометри — (аксиома, теорема, части теоремы, доказательства).

Из проекта программы видно, что содержание начального курса геометрии составляет круг основных вопросов, без знания которых невозможно ни решение практических задач, ни дальнейшее изучение систематического курса геометрии. Порядок изучения основных тем определяется возрастными особенностями учащихся V—VII классов. Например, изучение темы „параллельные прямые „предшествует изучению темы „треугольники“ потому, что „параллельные прямые“ изучаются только наглядно, что учащимся вполне доступно, а ряд вопросов в теме „треугольники“ изучается дедуктивным методом, основываясь на свойствах параллельных прямых (сумма внутренних углов треугольника, теорема о внешнем угле треугольника и др.).

В пятом классе учащиеся знакомятся наглядно с такими главными геометрическими понятиями, как прямая, луч, отрезок, угол и т. д., они получают в руки линейку, угольник, циркуль, транспортир. С помощью этих инструментов они производят простейшие измерения и построения.

В шестом классе постепенно вводятся логические рассуждения при исследовании свойств суммы внутренных углов треугольника, признаков равенства треугольников, свойства углов и сторон параллелограма и т. д. Вопрос о площадях прямолинейных фигур изучается путем преобразования одних фигур в равновеликие им.

Освоенный геометрический материал учащиеся применяют для решения практических задач.

В первом полугодии седьмого класса дается понятие о подобных фигурах, как фигурах, имеющих одинаковую форму, но различные размеры, что дает возможность заниматься решением ряда практических задач, в частности построением планов. В основном же курсе геометрии (систематическом) доказывается, что из равенства соответствующих углов в треугольниках вытекает пропорциональность сходственных сторон.

Во втором полугодии седьмого класса ученикам сообщаются начальные сведения по стереометрии. Вычисление поверхности связывается с развертками тел; формулы для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда выводятся на основе непосредственного укладывания кубических единиц, формулы же для вычисления объема прямого параллелепипеда, прямой призмы выводятся с помощью логических рассуждений, путем преобразования их в известные уже фигуры, равновеликие данным.

Формулы для вычисления объема пирамиды, конуса, шара — выводятся опытным путем, путем сравнения объемов пирамиды и призмы, цилиндра и конуса между собою (для сравнения берутся тела с равновеликими основаниями и равными высотами). Знания закрепляются решением практических задач.

Подробная методическая разработка большинства вопросов начального курса геометрии дана нами в четвертой главе диссертации (см. стр. 158—230)

В возможности и целесообразности построения такого начального курса убедили нас и такие исследования практического характера:

1. Получив разрешение Министерства просвещения УССР, я в течение 3-х лет (1947/48, 1948/49 и 1949/50 учебные годы) преподавала по своей программе курс геометрии в пятом классе Киевской школы № 33. Результаты работы показали, что учащимся пятых классов вполне посилен такой курс геометрии и интересен, что было подтверждено и рядом учителей, присут-

ствовавших на открытых уроках (см. протоколы обсуждения открытых уроков).

2. Мною проводились систематические наблюдения за роботой учеников шестых классов, которые изучали систематический курс геометрии на основе геометрического материала, изученного в пятом классе (наблюдения такие я проводила у преподавателей Марьяновской и Шехтер Б. Л., шк. № 33 гор. Киева). В результате этих наблюдений я, вместе с учителями шестых классов, пришла к выводу, что в тех шестых классах, которые изучали геометрию в пятых классах, работать значительно легче и успеваемость учащихся выше. Учащиеся обладают более развитыми пространственными представлениями, умеют свободно обращаться с такими инструментами, как линейка, угольник, циркуль, транспортир, умеют построить высоту в треугольнике, параллелограме и т. п. Учащиеся этих классов в первой и второй четвертях учебного года не только успешно изучили материал программы, но и решили ряд практических задач: измеряли расстояния на местности на основе признаков равенства треугольников, решали задачи на построение и т. д.

3. По нашей методической разработке был изучен вопрос о равенстве треугольников в шестом классе школы № 33 учительницей Марьяновской Ф. И. Результаты работы по этой теме, как отметила Ф. И. Марьяновская, значительно выше тех, которые она имела раньше, (см. протокол методобъединения учителей математики школы № 33 г. Киева).

4. На протяжении 3-х лет 1947/48, 1948/49 и 1949/50 мною проводились семинарские занятия для учителей города Киева по курсу геометрии для пятого класса. На семинарских занятиях изучали методику проведения ряда практических работ на местности, изучали методику предварительной подготовки учащихся к изучению систематического курса геометрии, изучали наглядные приемы знакомства учащихся с измерением площадей, объемов и др.

Результаты моей личной работы с учениками 5-го класса по курсу наглядной геометрии были опубликованы. См. „Математика в школе“, выпуск 2, изд. „Радянська школа“, 1947 год. Из писем учителей области и их выступлений на сессии Украинского научно-исследовательского Института педагогики видно, что учительство положительно относится к моему опыту работы (см. письма учителей, адресованные в УНДИП и протоколы сессии УНДИП'а).

5. Введение в курс геометрии начального курса обеспечивает изучение систематического курса в полном объеме.

Систематический курс геометрии изучается, начиная с восьмого класса. Курс этот имеет целью дальнейшее развитие про-

странственных представлений, логического мышления учащихся и изучение геометрических фактов в систематическом виде. В систематическом курсе геометрии обращается внимание на роль аксиом, определений и других видов математических предложений. Здесь подчеркивается принципиальное значение общих методов изучения геометрических образов, например, отдельные свойства фигур обобщаются при помощи развития идеи геометрических преобразований (симметрия, параллельный перенос, вращение гомотетия, подобие).

Введение начального курса геометрии в семилетнюю школу отодвигает сроки изучения систематического курса на два года, а, следовательно, и сокращает время его изучения на 120— 130 часов. Из этого факта ни в какой мере не следует, что систематический курс геометрии будет перегружен учебным материалом. К тому времени, когда начинается изучение систематического курса, учащиеся приобретут достаточный объем геометрических знаний, будут иметь более развитое пространственное представление и логическое мышление, что сильно облегчит усвоение систематического курса и даст большой выигрыш во времени. Если по существующей программе на изучение темы „Вступление“ (прямая, угол, основные предложения геометрии) отводится 12 часов, то при наличии начального курса этот же материал более успешно можно изучить за 4 часа; если сейчас на изучение темы „Треугольники“ в шестом классе затрачивается 32—35 часов, то в восьмом классе, на базе начального курса, этот вопрос более сознательно может быть усвоен за 12—15 часов и т. д. К таким выводам привели нас результаты обследования учащихся 8-х—9-х классов на протяжении двух лет, абсолютное большинство учащихся утверждали, что в шестом и седьмом классах на изучение теории они затрачивали во много раз больше времени, чем в 8-м —9-м классах. На основе систематических многолетних наблюдений за работой учащихся старших и средних классов по изучению геометрии, мы пришли к таким выводам, что начальный курс геометрии есть тот прочный фундамент, который способствует более сознательному и глубокому изучению систематического курса геометрии в его полном объеме.

Проект программы систематического курса геометрии, построенного на основе начального курса, хорошо представлен Академией педагогических наук РСФСР. С таким проектом можно вполне согласиться, если учебный материал спланировать для десятилетней, а не одинадцатилетней школы, как предлагает проект (см. диссертацию, стр. 148—155).

БИ 11187 Тип. КГПИ. Зак. 146—100