АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт методов обучения

К. И. НЕШКОВ

НЕРАВЕНСТВА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — чл.-корреспондент АПН РСФСР доктор физико-математических наук, проф. В. Л. Гончаров.

Москва 1956

ВВЕДЕНИЕ

Одной из основных задач школьного курса математики является изучение множества действительных чисел. В эту задачу включается изучение некоторых отношений между действительными числами, начиная с отношений равенства и неравенства и кончая функциональными отношениями.

Отношение неравенства между действительными числами отражает много важных и разнообразных отношений между предметами и явлениями реального мира, отношений, познание которых с давних пор имело практическое значение для человека. Такие отношения, как «дальше», «ближе», «выше», «ниже», «быстрее», «медленнее», «теплее», «холоднее», обладают общими свойствами, которые позволяют объединить их в одну группу — группу отношений порядка. Основные свойства отношений порядка составляют математическую сущность отношения неравенства.

Обладая богатым конкретным содержанием, отношение неравенства становится при построении курса математики в средней школе основой некоторых новых понятий. Такими понятиями особенно богаты вопросы, связанные с изучением функций (возрастание и убывание, ограниченность и неограниченность, предел).

Система свойств отношения неравенства, составляющая содержание теории неравенств, является орудием изучения таких разделов школьного курса, как разделы «Функции и их графики», «Исследование уравнений». Столь же разнообразны применения аппарата неравенств при изучении геометрии и тригонометрии.

Глубокое усвоение разделов программы, существенно опирающихся на неравенства, невозможно без предварительного изучения самого аппарата неравенств.

В последнее время в методической литературе все чаще и чаще высказывается мнение, основанное на результатах приемных экзаменов в вуз'ы, о наличии серьезных недостатков в знаниях выпускников средней школы по разделу «Неравенства». В первую очередь отмечаются плохие умения и навыки в решении неравенств, хотя на этот вопрос расходуется

почти все время, отводимое на изучение неравенств в X классе.

Как показывают наблюдения, знания учащихся VIII—IX классов в этой области бедны и непрочны.

Имеются .основания говорить не об отдельных недочетах в -методике преподавания неравенств, а о неблагополучном положении во всей системе преподавания неравенств. В связи с этим возникает задача: выявить основные принципы, лежащие в основе методики преподавания неравенств.

Разобраться в сущности этих принципов не было возможности, не проследив их развития в курсе математики и .не выявив причин их появления. Этим и объясняется наличие в диссертации первой главы, относящейся к истории проникновения неравенств в школу.

Принцип параллельного изучения уравнений и неравенств

Появление неравенств в учебниках средней школы (в начале XIX века) и значительно позже в программах (в конце XIX века) как самостоятельного объекта изучения было вызвано не образовательным значением их, а той служебной ролью, которую они играли при изучении других разделов программы и, в первую очередь, «Неопределенных уравнений» и «Непрерывных дробей». Но эти два раздела школьной программы, наиболее полно использовавшие аппарат неравенств, предъявляли к нему различные требования.

Для решения неопределенных уравнений первой степени с двумя неизвестными в целых положительных числах необходимо уметь решать неравенства и системы неравенств первой степени с одним неизвестным. При этом особое значение приобретает теория решения неравенств.

Второй раздел требовал иного подхода к неравенствам. При замене непрерывной дроби ее подходящей дробью надо оценить допускаемую при- этом погрешность. Здесь на первый план выдвигаются такие свойства неравенства, которые можно использовать в качестве орудия для оценок.

Под влиянием общей системы преподавания алгебры, сложившейся в конце XIX века, тот подход к неравенствам, при котором на первый план выдвигалось изучение теории их решения, был признан основным. Установленные в полном соответствии с этим подходом принципы построения системы обучения неравенствам должны были обеспечить достижение основной и единственной цели: научить учащихся решать неравенства. Сближение целей изучения неравенств с целями изучения уравнений привело к появлению принципа параллельного изучения уравнений и неравенств, называемого в дальнейшем тексте настоящего реферата принципом параллельности. Основные его положения следующие: неравенства следует изучать параллельно с изучением уравнений; неравенства надо изучать так же, как изучаются уравнения.

Появление и довольно глубокое развитие принципа параллельности представляет собой вполне закономерное явление. Оправданно также стремление обосновать принцип параллельности» более «непосредственными», более общими педагогическими принципами. Сторонники принципа параллельности опираются в своих обоснованиях на то, что полезно сравнивать сходные вещи. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что это сходство, из которого сделано много выводов, является чисто внешним. Правда, алгорифм решения неравенства первой степени с одним неизвестным можно сформулировать почти так же, как формулируется алгорифм решения уравнения первой степени с одним неизвестным. Но, при наличии сходства (при решении уравнений и неравенств) в выполнении ряда формальных последовательных преобразований, в таких вопросах, как постановка задачи о решении уравнения и неравенства, раскрытие процесса решения их и смысла ответа, имеется больше различия, чем сходства. А в вопросе о решении системы линейных неравенств с двумя неизвестными (тем более системы нелинейных неравенств) нет даже ничего общего с вопросом о решении уравнений ни в постановке его, ни в методах решения.

Изменения, имевшие место в системе преподавания алгебры в советской школе, создали предпосылки для расширения целей преподавания неравенств. Кроме узкой внутренней цели изучения неравенств, появились новые цели. Эти новые цели, которые должны вызвать новый подход к изучению неравенств в школе, были сформулированы академиком А. Н. Колмогоровым во II томе Большой Советской Энциклопедии: «Трудным вопросом школьной программы считаются неравенства. Возможно, что это объясняется желанием поставить в центре внимания, по формальной аналогии с решением уравнений, теорию «решения неравенств». Практически важнее и нагляднее свойственный анализу подход к неравенствам как к орудию для оценок (например, неравенство | а -(- Ь \ < \а | +1 b |, оценка ошибки при приближенных вычислениях и т. п.)1.

В связи с расширением целей преподавания неравенств оказался недостаточным принцип параллельности, на основании которого автоматически решались вопросы об отборе и распределении материала2.

Пропедевтика систематической теории неравенств

Отказ от использования принципа параллельности, как основного и единого принципа построения обучения неравенствам, вызывает необходимость нового решения таких оонов-

1 БСЭ, т. II, изд. второе, с. 62.

2 См. Кордзадзе А. К., Методика преподавания неравенств в средней школе. Кандидатская диссертация. М., 1949.

ных вопросов, как отбор и распределение материала, систематическая теория неравенств и ее пропедевтика, свойства отношения неравенства и свойства функций, равносильность неравенств. Решению этих принципиальных вопросов посвящена вторая глава диссертации.

Остановимся на вопросе о пропедевтике систематической теории неравенств.

Необходимость введения систематической теории неравенств в школьный курс математики, основанная на значении этой теории для курса «математики, на ее пользе в деле логического развития учащихся, заставляет ответить на важный вопрос: в какой мере возможно изучение систематической теории неравенств в школе?

Как показала опытная проверка, учащиеся X классов, не повышая обычной напряженности работы, усваивают все основные элементы систематической теории неравенств. Однако в большей степени важна другая сторона вопроса. Именно: изучение систематической теории неравенств должно явиться завершением некоторой предыдущей работы.

Как в науке систематизация разрабатываемого раздела начинается тогда, когда накоплен достаточный фактический материал, так и при построении теории неравенств в школьном курсе необходимо предполагать наличие у учащихся конкретных сведений о неравенствах.

Заниматься в любом из классов школы только изучением систематической теории неравенств без предварительной, планомерной работы над неравенствами было бы почти бесполезным. В связи с этим возникает основной для методики преподавания неравенств вопрос о содержании, методах и путях осуществления пропедевтики систематической теории неравенств. Подготовить учащихся к изучению систематической теории неравенств, постепенно и заблаговременно создать аппарат неравенств, способный обслужить все разделы курса, нуждающиеся в нем,— эти основные задачи пропедевтики имеют такое большое число своеобразных трудностей, что с ними нельзя справиться применением принципа параллельности.

В настоящей работе предлагается другое решение этого вопроса, основанное на органической связи понятия неравенства с другими понятиями школьного курса математики. Использование таких связей ведется по следующим направлениям:

1. Развитие понятия числа. Отношение неравенства в множестве действительных чисел является одним из основных отношений; поэтому определение понятия числа при каждом расширении числового множества (до множества действительных чисел включительно) должно содержать и определение отношения неравенства. Вместе с развитием понятия

числа представляется возможность раскрыть простейшие свойства отношения неравенства, выработать навыки использования знаков неравенства и умений выполнять простейшие преобразования неравенств.

2. Развитие понятия функции. Вопросы, относящиеся к изучению функций, доставляют богатый содержательный и наглядный материал для изучения свойств неравенств. Связь свойств функций и свойств неравенств не является внешней: существует глубокая внутренняя связь между свойством возрастания и убывания функций и свойствами отношения неравенства. В процессе школьного преподавания для проявления этой связи возможны два пути: первый путь определяется тем, что к моменту изучения свойств той или иной функции готовится аппарат неравенств, достаточный для доказательства этих свойств; второй путь противоположен первому: о возрастании и убывании функций учащиеся судят по графику, после этого запись некоторых свойств неравенств представляет для них легкое и полезное упражнение.

Как в отношении изучения функций, так и в отношении изучения неравенств первый путь предоставляет возможность ранее сообщить формальные доказательства, что для учащихся VII—VIII классов является преждевременным. Подробное рассмотрение способов реализации первого пути приводит к выводу о том, что он не может найти последовательного осуществления в младших классах средней школы; его законное место в систематической теории неравенств.

Второй путь для учащихся является более легким. В деле изучения неравенств он помогает избежать довольно многих, неизбежно возникающих на первом пути, затруднений. Характерно, что на второй путь при изучении функций часто становятся опытные учителя-практики.

3. Использование неравенств при обучении другим разделам. Соответствующим образом подобранные упражнения и задачи, тесно связанные с изучаемыми разделами, имеют не только то значение, что учащиеся при их решении оперируют с неравенствами, но и то, что такие упражнения являются средством пробуждения активного отношения учащихся к неравенствам.

Упражнения на неравенства, вводимые в каждый изучаемый раздел, должны, в первую очередь, содействовать более легкому, прочному и глубокому усвоению учащимися этого раздела.

Принципы отбора и распределения материала

После того, как выяснены взаимоотношения неравенства с другими понятиями курса, следует заняться отбором и распределением материала, относящегося к самим неравенствам.

Изучение того или иного свойства отношения неравенства не может быть самоцелью. Богатство и разнообразие связей между предметами и явлениями реального мира, отражаемых в данном свойстве, есть лишь одна сторона вопроса, дающая ему право на изучение в школе. Другую сторону вопроса составляет его значение для вместо курса математики. Эта сторона является определяющей. Отсюда вытекает основной принцип отбора материала: из всех вопросов, относящихся к неравенствам (большое число свойств, выполнение доказательства и решения различных типов неравенств), имеют право на изучение лишь те, которые неизбежно должны найти применение в других разделах школьного курса.

Выделение для изучения в школе следующих вопросов согласуется с практикой передовых учителей и удовлетворяет принципу отбора материала: отношения «меньше» и «больше» для различных числовых множеств; простейшие свойства отношения неравенства; действия над (неравенствами и числами (прибавление к неравенству числа, умножение неравенства на число, возвышение неравенства в степень); действия над неравенствами (сложение, вычитание, умножение и деление) ; доказательство неравенств; решение неравенств; доказательство свойств функций.

Проведенный опыт подтверждает, что пропедевтическое изучение каждого вопроса наиболее рационально проводить по трем стадиям, находящимся в соответствии с известными ступенями ленинской теории познания. Эти стадии следующие: а) стадия накопления материала, б) стадия формализации, в) стадия применения.

В первой стадии каждый вопрос, относящийся к неравенствам, не является самостоятельным объектом изучения. Знаки неравенства используются для сокращенного выражения свойств чисел, действий, функций. На этой стадии неравенство получается как результат сокращенной записи некоторых свойств. Так, запись: «Если а < Ь, то а + m < Ь + т» представляется не свойством неравенства, а сокращенной записью результата наблюдения — сумма двух слагаемых увеличивается при увеличении слагаемого.

Первая стадия изучения неравенств протекает попутно с изучением других разделов и не требует специального выделения времени.

Во второй стадии каждый вопрос, относящийся к неравенствам, выступает как самостоятельный объект изучения. Место такого изучения определяется двумя обстоятельствами: формализация любого вопроса должна быть проведена до того, как он найдет существенное применение в курсе; к моменту формализации должны быть выполнены все задачи, стоящие перед стадией накопления содержания.

Вторая стадия не может протекать попутно с изучением других программных вопросов, а требует специального (правда, весьма небольшого) выделения времени.

В третьей стадии свойства отношения неравенства используются в качестве формального аппарата для решения различного рода задач, возникающих при изучении программного материала.

Систематическую теорию неравенств следует понимать как стадию формализации всего аппарата неравенств, причем формализации более высокого порядка по сравнению с формализацией отдельных вопросов.

Свойства отношения неравенства

С точки зрения рассмотрения отдельных вопросов по стадиям приобретает особое значение классификация свойств неравенств. В качестве основания классификации берется связь, существующая между свойствами неравенств и свойствами функций.

В первую группу свойств, которые здесь названы простейшими, выделяются свойства, отличающиеся от других свойств тем, что для них существует наглядная интерпретация на числовой оси. Свойство — для любых чисел а и Ь верно высказывание: или а<^Ь, или а = Ь, или а > Ь — означает, что для любых двух точек числовой оси А и В верно одно и только одно из расположений: А лежит левее В, А совпадает с В, А лежит правее В. Свойство — если а<^Ь, то & > а — означает, что, если А лежит левее В, то В лежит правее А. Такую же простую интерпретацию имеет и свойство транзитивности отношения неравенства. Интерпретация других свойств на числовой оси менее проста и связана или с параллельным переносом или с другими, более сложными геометрическими преобразованиями (растяжение, сжатие, отражение).

Во вторую группу входят свойства, получающие интерпретацию в виде возрастания или убывания функций одной переменной. К ним относятся свойства: прибавление к неравенству числа, вычитание из неравенства числа, умножение и деление неравенства на число, возведение неравенства в степень, извлечение корня из неравенства,

В третью группу входят свойства, содержанием которых являются действия над двумя или несколькими неравенствами. Свойства этой группы находят интерпретацию в виде возрастания или убывания функций двух (или нескольких) переменных или в виде возрастания и убывания сложной функции.

Понятие равносильности неравенств

Теории равносильности неравенств (имеющей большое значение при решении и доказательстве неравенств), изучение которой в школе вызывает известные трудности, в диссертации

предпосылается элементарная теория логических отношений. В теории логических отношений особое внимание уделяется отношению логического следования.

Школьная практика дает достаточное число убедительных примеров непонимания учащимися свойств отношения логического следования. В процессе изучения математики у учащихся создается впечатление о том, что отношение логического следования всегда является симметричным. В основном это объясняется следующими причинами: а) при определении понятий используется форма «если, то»; б) обратные теоремы рассматриваются (или о них упоминается) только тогда, когда они верны; в) к некоторому смешению смыслов отношения равенства и отношения логического следования приводит неточное и неосторожное словоупотребление.

Смешение смыслов отношения равенства и отношения логического следования приводит к переносу свойства симметричности отношения равенства на отношение логического следования.

Нечеткое понимание учащимися того факта, что отношение логического следования, вообще говоря, не является симметричным, ведет к слабому пониманию процесса решения задач, который не является обратимым. В первую очередь следует назвать задачи на решение неравенств и на доказательство неравенств.

При исследовании некоторых вопросов представляют интерес как раз те случаи, когда отношение логического следования приобретает свойство симметричности. В этих и только в этих случаях отношение логического следования представляет отношение равносильности. Два высказывания А и В называются равносильными тогда и только тогда, когда В следует из А и, наоборот, А следует из В. Так, неравенства а <[ b и b > а равносильны.

Теперь после определения понятия равносильности неравенств можно было бы на базе всей совокупности свойств отношения неравенства развить «теорию равносильности неравенств». Ее содержание составили бы теоремы, дающие правила замены одного неравенства другим неравенством, равносильным ему, но очевидно, что практика решения вопросов, в которых используется понятие равносильности, мало выигрывает от того, что между свойствами отношения неравенства и понятием равносильности появляется лишняя ступень.

С педагогической точки зрения добросовестное развитие «теории равносильности неравенств» является нецелесообразным. При хорошем понимании учащимися смысла отношения логического следования и свойств отношения неравенства применение понятия равносильности не представляет трудности и перефразировка свойств отношения неравенства в очевидные теоремы равносильности является мало интересной, а в некоторых простейших случаях и мало содержательной задачей.

Применение понятия равносильности при решении неравенств делает необходимым обратить внимание учащихся на верность предложения: «Если два неравенства равносильны, то все решения первого неравенства являются решениями второго и, обратно, все решения второго неравенства являются решениями первого».

Переход в школьной практике преподавания неравенств к определению понятия равносильности через отношение логического следования привлечет еще раз внимание учащихся к этому важнейшему понятию, расширит область применения понятия равносильности и, что является не менее важным, облегчит для учащихся его понимание и применение при решении различного рода задач.

Систематическая теория неравенств

После выяснения принципиальных вопросов, относящихся к методике обучения неравенствам, возникает необходимость в соответствии с изложенными принципами точно определить материал, подлежащий изучению в школе. Этим объясняется наличие в диссертации третьей главы — «Систематическая теория неравенств».

Систематическая теория неравенств содержит последовательное развитие свойств отношений «меньше» и «больше» в множестве действительных чисел. В качестве исходных положений для построения этой теории берутся следующие свойства множества D действительных чисел:

1. Множество D является полем.

2. Для любого числа а множества D верно утверждение: «или а — положительное число, или а — нуль, или а — отрицательное число».

3. Сумма двух положительных чисел есть положительное число; произведение двух положительных чисел есть положительное число.

Свойство 1 очень богато содержанием; поэтому из него выделяются лишь те положения, которые составляют достаточную базу для построения теории неравенств (в нужном объеме).

Примечание. Систематическая теория неравенств содержит некоторые важнейшие математические понятия, с которыми учащиеся должны быть ознакомлены. Имеются в виду понятия «множество», «числовое поле». Что касается места разъяснения этих понятий в курсе алгебры (если понятие множества не было введено раньше, к чему представлялось не мало случаев), то наиболее подходящим для этого является начало раздела «Комплексные числа».

Построенная система свойств неравенства используется для доказательства свойства возрастания и убывания функций: ли-

нейной, квадратной, показательной, логарифмической, а также для решения неравенств.

В «Систематической теории неравенств» не содержится отдельного параграфа «Доказательство неравенств». Но, как нетрудно заметить, этому вопросу уделено много внимания. Каждый из 12 параграфов главы, исключая первый и четыре последних, дает в распоряжение учащихся методы доказательства неравенств. В упражнениях, приведенных в конце каждого параграфа, содержится достаточное число тренировочных примеров. По существу сама систематическая теория неравенств имеет основным содержанием доказательство неравенств.

В систематической теории неравенств представляется возможным поставить вопрос о существовании арифметического корня п-ой степени из положительного числа И наметить путь доказательства этого факта.

Систематическая теория неравенств в определенной мере содействует решению задачи логического развития учащихся. Но логическое развитие учащихся достигается не только последовательным применением дедуктивного метода. Может случиться, что высокая степень формализации, проведенной не к месту и не во-время (не подготовлены учащиеся), принесет лишь вред. Поэтому, признав необходимость и полезность систематической теории неравенств, следует позаботиться о том, чтобы она оказалась и к месту, и во-время. Исходя из этих соображений, в диссертации много внимания уделяется подготовке учащихся к изучению систематической теории неравенств, проведению пропедевтики этой теории. К пропедевтике систематической теории неравенств относится основное содержание четвертой и пятой глав.

Формирование у учащихся понятий «меньше» и «больше»

Формирование понятий «меньше» и «больше» начинается еще в начальной школе и заканчивается введением в X классе в разделе «Систематическая теория неравенств» общего определения этих понятий через понятия «разность» и «положительное число». Такое определение понятий «меньше» и «больше» является довольно плодотворным, так как позволяет основать на нем решение многих задач.

Большая применимость этого общего определения содействовала появлению в методической литературе советов о более раннем его введении. Конечно, можно изменить форму определения так, что внешне оно окажется пригодным для использования в V—VI классах (число а называется меньшим числа Ь, если существует такое положительное число т, что выполняется равенство Ь = а-\- tri). Однако, несмотря на то, что все понятия, входящие в это определение, хорошо знако-

мы учащимся, рекомендовать употребление его в младших классах нецелесообразно. Имеются многочисленные примеры того, как это определение создает путаницу у учащихся в ясных для них без определения вещах. Кроме того, давая общие определения понятий «меньше» и «больше» в младших классах, мы отрываем эти понятия от их конкретного содержания, вместо простой и ясной связи вводим сложную связь, осмыслить которую учащиеся не в состоянии.

Наилучшим образом соответствует возрастным особенностям учащихся младших классов следующий путь, свойственный школьной арифметике: считать известными учащимся понятия «меньше» и «больше» для натуральных чисел; при расширении понятия числа каждый раз указывать правила сравнения чисел, перенося рассмотренные отношения между предметами и явлениями на отношения между новыми числами.

На правильное формирование понятий «меньше» и «больше» непосредственное влияние оказывает правильное раскрытие их простейших свойств.

Широкая применимость простейших свойств неравенства, с одной стороны, и, с другой стороны, простота их содержания, которое может быть разъяснено с применением средств наглядности, делает доступным изучение этих свойств на первой стадии в пятом классе и на второй в шестом классе. Основой раскрытия содержания свойств являются упражнения.

Доказательство и решение неравенств

Постановка задачи на доказательство неравенств даже в младших классах представляется вполне ясной. Если ученик ничего не знает о неравенствах, кроме смысла их знаков, то он все равно поймет содержание таких задач, как «Доказать, что 2 • 3 больше, чем 10 : 5». Этого нельзя сказать о способах доказательства неравенств.

По существу доказательство неравенств теснейшим образом связано с вопросами сравнения значений функций. В процессе преподавания следует заботиться о том, чтобы и в методическом отношении эта связь оказалась не менее тесной.

Одним из важнейших свойств функций, изучаемых в средней школе, является возрастание и убывание. Изучение этого свойства, его практические применения не обходятся без рассмотрения вопросов сравнения значений функций. Среди этих вопросов можно выделить три группы: сравнение значений одной и той же функции при различных значениях аргумента, сравнение значений двух функций при одном и том же значении аргумента, сравнение значений двух функций в заданной области.

Вопросы первой группы часто используются в школьной практике с целью закрепления изучаемых свойств функций. Вопросы второй и третьей групп представляют большие трудности, в виду чего их постановка перед учащимися требует тщательной подготовки и должна вызываться необходимостью.

Естественна связь вопросов о сравнении чисел и о доказательстве неравенств. Однако расположение в курсе однотипных вопросов на сравнение чисел и доказательство неравенств не может быть определено одинаково для всех конкретных случаев.

Заслуживает большего внимания использование при доказательстве неравенств свойств результатов действий (до изучения свойств функций), а в дальнейшем свойств функций. Простота применения этого способа делает его доступным для учащихся младших классов. Он состоит в следующем: пусть требуется доказать неравенство: 1 +— <С2 при а> 1. Рассуждаем так: при возрастании числа а (а>1) дробь ~ убывает, а, следовательно, убывает и сумма 1 +—. Но так как при а=\ число 1 -|--равно 2, то при а>1 выполняется неравенство 1 + — <С 2.

В отличие от постановки задачи на доказательство неравенств, постановка задачи на решение неравенств представляет значительные методические трудности. В самом деле, решить неравенство F(x) </(*) значит найти все те и только те значения неизвестной х, при которых данное неравенство является верным. На первый взгляд кажется, что такая задача не представляет ничего нового, так как по формулировке она почти дословно совпадает с задачей решения уравнения. Однако между этими задачами имеется существенная разница, состоящая в выполнении «простого» требования, выражающегося словами: «найти все те и только те».

Как правило, множество корней уравнения таково, что каждый его элемент может быть указан с помощью знака равенства. Например, у = у2 + 2 п (п — целое число) для сравнитетельного сложного уравнения tg "^~ = 1.

Множество решений неравенства, как правило, не может быть указано подобным образом. Способ «указания» множества решений неравенства содержит в себе основную трудность постановки задачи на решение неравенств перед учащимися. Поэтому способы задания множеств, отличные от прямого перечисления, нуждаются в разъяснении, в выработке

навыков их применения. В связи с этим приобретают важность вопросы характеристики числовых множеств простейшими неравенствами вида х <^а, х^> b (а и b — определенные числа).

Пониманию постановки задачи на решение неравенств способствует доказательство некоторых видов неравенств, соответствующих решаемым.

При решении неравенств до изучения систематической теории (подобно тому, как это делается при доказательстве неравенств) должен шире практиковаться метод, основанный на знании свойств функций.

Применение неравенств

Наиболее существенные применения неравенств показаны в последней, пятой главе. В ней собран материал, рекомендуемый, в основном, для проработки в классе. Сюда относятся: использование среднего арифметического и среднего геометрического, оценка чисел, вычисление значений функций, применение неравенств в геометрии и тригонометрии, а также при решении задач с практическим содержанием.

Большое внимание уделяется оценке чисел. Методы оценки находят место при вычислении значений функций и решении уравнений, при знакомстве с элементами приближенных вычислений. Простота некоторых способов оценки чисел и большое разнообразие их применений делают возможным привлечь внимание учащихся к этим вопросам как можно раньше.

Организация опытной проверки

В работе использован личный опыт диссертанта и опыт некоторых учителей города Москвы.

Пропедевтика систематической теории неравенств интересовала диссертанта еще в 1948/49 учебном году, когда он работал учителем математики в Анастасиевской средней школе (Ростовская область). На эту тему им был прочитан тогда доклад районному методическому объединению учителей математики.

С целью выяснения ряда вопросов, связанных с пропедевтикой систематической теории неравенств, в школе проводились наблюдения на отдельных уроках (в Борисовской школе Московской обл., школе № 314 Куйбышевского района г. Москвы), предлагались контрольные работы в VII—VIII классах» изучались некоторые документы (ученические тетради, классные журналы) за несколько лет (в Борисовской школе, школе № 314, Суздальской средней школе № 2).

В результате всех этих мероприятий и изучения методической литературы сложилась некоторая система проведения

пропедевтики неравенств в V—IX классах. Проверка этой системы не могла ограничиться небольшим числом уроков. Появилась необходимость работы диссертанта в школе в качестве учителя математики.

Начатая им в 1953 году работа в двух восьмых классах школы № 314 была закончена в 1955/56 учебном году проверкой систематической теории неравенств. Еще до этого опытная проверка систематической теории неравенств была проведена дважды: в 1953/64 учебном году в одном десятом классе школы № 314 (учительница У. В. Наумец), в 1954/55 учебном году в трех десятых классах той же школы (учительница М. П. Маневич). Наряду с проведением опытной проверки в десятых классах изучался опыт работы учителей М. П. Маневич, А. С. Ходорова (школа № 657 Куйбышевского района г. Москвы) и частично Н. Г. Федина (школа № 362 Сокольнического района г. Москвы).

Разработанная методика преподавания систематической теории неравенств подвергалась обсуждению учителями Московской области в Московском Областном институте усовершенствования учителей.

Естественно, что опытная проверка иногда приводила к изменениям методики изложения отдельных вопросов. Так случилось, например, с основным вопросом пропедевтики — о взаимоотношении функций и неравенств в преподавании математики. Стремление к математической строгости при изложении вопросов в VIII—X классах привело к гипотезе о своевременной подготовке аппарата неравенств для доказательства свойств функций. В VIII классах эта гипотеза не оправдалась, и в методику преподавания неравенств были внесены изменения.

Анализ исторического материала, факты наблюдений и результаты опытной проверки явились основанием всех наиболее существенных выводов и предложений, сделанных в диссертации.

Л 93048 14/1 1956 г.

Заказ 993

Тираж 100

Типография изд-ва АПН РСФСР, Москва, Лобковский пер., д. 5/16