Борисоглебский Государственный учительский институт

П. А. НЕМЫТОВ

МЕТОДИКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕОРЕМ В СЕМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат к диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук.

1949 г.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ:

Вступление. Недостатки в преподавании геометрии.

Глава I. Теорема (структура теоремы, доказательство).

Глава II. Искание доказательства.

Глава III. Использование определений при искании доказательства.

Глава IV. Теорема и задача.

Глава V. Дедукция и индукция.

Глава VI. Методы исследовательской работы в геометрии.

§ 1. Планирование работы.

§ 2. Идея функциональной зависимости в геометрии.

§ 3. Доказательство теорем с помощью геометрических построений.

§ 4. Доказательство от противного.

§ 5. Теорема прямая, обратная и противоположная.

§ 6. Итоги.

Глава VII. Первые теоремы геометрии.

§ 1. Прямая и точки на ней.

§ 2. Две пересекающиеся прямые.

§ 3. Две окружности.

§ 4. Прямая и окружность.

§ 5. Параллельные прямые.

§ 6. Заключение.

Преподаватели наших средних школ много усилий направляют на борьбу с формализмом и в геометрии. С этой целью дают более подробные объяснения материала, уделяют больше внимания самостоятельной работе учащихся и др. Однако желательные результаты часто не достигаются. Даже при хорошем объяснении каждой теоремы преподавание геометрии незаметно для преподавателя вынуждает иногда учащихся становиться на формальные позиции. Это бывает тогда, когда учащиеся не видят плановости, целеустремленности в своей работе. Ведь план изучения отдельных тем геометрии не всегда доводится до учащихся. В процессе работы по плану у них возникает много недоуменных вопросов, которые остаются без ответа. Рассмотрим для примера изложение материала на тему «Треугольники» в учебнике Киселева. Чтобы понять источники формализма, станем на точку зрения добросовестного учащегося, желающего понять и сознательно усвоить геометрический материал.

После объявления темы даются многочисленные определения, и затем автор переходит к теме. Учащимся будет представляться естественным и целесообразным, например, такой порядок изучения темы: сначала обратить внимание на основные элементы треугольника и их свойства, на зависимость между ними, далее перейти к сравнению треугольников и, наконец, изучить свойства неосновных элементов. Однако не так предлагается изучать этот материал в учебнике. Прежде всего учащиеся знакомятся с симметрией фигур относительно оси. У учащихся в явной или неявной форме возникает недоуменный вопрос: зачем же изучать симметрию, когда наша задача — изучать треугольники? На этот вопрос автор ответа не дает, кроме догматического заявления, что это понадобится впоследствии. Это, конечно, не разъясняет вопроса. Далее автор излагает теорему о свойстве биссектрисы угла при вершине равнобедренного треугольника. У учащихся и здесь возникают недоуменные вопросы: почему в первую очередь изучается частный вид треугольников? да и здесь почему начинают изучение не с основных элементов, а со второстепенных (биссектриса, высота, медиана)? И эти вопросы оставлены без ответа.

После этого излагаются признаки равенства треугольников. Значение этого изучения понятно учащимся. Далее излагается теорема о внешнем угле треугольника. Опять возникают недоуменные вопросы: почему изучаются свойства не внутренних, а внешних углов — второстепенных элементов, о которых до этого ни слова не говорилось. Опять недоуменные вопросы остаются без ответа. Только после этого изучаются зависимости между основными элементами треугольника. В результате изложение материала в глазах учащихся вовсе не представляется логически стройным. Наоборот, по их впечатлению здесь нет плана, системы. Для учащихся остается единственный выход: не размышлять над содержанием материала, а только запомнить, формально усвоить. Это объясняется не слабостью логического развития учащихся, скорее наоборот, они чувствуют здесь как бы нарушение логики. Для изжития указанного недостатка надо преподавание геометрии строить так, чтобы план, последовательность, целесообразность материала темы ясно сознавались учащимися.

Подобные же недоуменные вопросы без ответа возникают у учащихся и при изучении отдельных теорем. Часто при доказательстве теорем встречаются неожиданность, необоснованный в глазах учащихся скачек. Возьмем для примера теорему о внешнем угле треугольника. Каждый шаг известного доказательства этой теоремы является полной неожиданностью для учащихся и вызывает недоуменный вопрос: зачем сторону делить пополам? зачем проводить медиану и продолжать ее? и др. Кажется, все это никакого отношения к внешнему углу не имеет. Все эти вопросы остаются без ответа. Не понимая, откуда и как появляется каждый этап доказательства, учащиеся чувствуют себя подавленными этим доказательством. Логика доказательства им представляется чрезвычайно искусственной. Ложное чувство бессилия и невозможности самому прийти к доказательству охватывает учащихся. А это — прямая дорога только к пассивному, формальному изучению геометрии.

Разработке методов борьбы с формализмом и с указанными источниками его и посвящена настоящая работа. Так как одним из важнейших моментов в изучении геометрии являются теоремы и их обоснование, то в настоящей работе, как основная цель, и поставлена задача разработки методов доказательства геометрических теорем в школе. В этом чувствуется большая потребность, так как эта методика до настоящего времени разработана очень поверхностно. Целью настоящей работы является изучение активных методов работы над доказательством теорем, методов, приводящих к изжитию формализма, воспитывающих у учащихся свободное творческое мышление.

Прежде всего необходимо, чтобы учащиеся хорошо разбирались в структуре всякой теоремы, т. е. легко могли выделить условие

и заключение. Это важно для понимания не только содержания, но и доказательства теоремы.

Доказательство теорем должно предлагаться в таком виде, чтобы целесообразность каждого шага была освещена перед учащимися. Вопросы «почему» и «зачем» должны получить ответ. Такое построение доказательства носит исследовательский характер, заставляет внимательнее изучать связи между условием и заключением теоремы. В учебниках доказательство теорем обычно излагается не так. Там обычно отброшена исследовательская часть, а оставлен лишь голый перечень промежуточных фактов в последовательном порядке. По учебнику учащиеся могут хорошо усвоить, «как» доказывается та или другая теорема. И все-таки они могут при этом совершенно не понять доказательства, не схватить идеи доказательства. Они могут не понять, «почему» теорема доказывается так, а не иначе, «откуда» взялся такой метод ее доказательства. Такое освоение теоремы будет чисто формальным.

Чтобы учащийся в процессе работы приобретал и логические навыки, его работа над теоремой не должна быть пассивной, созерцательной, а должна носить активный, исследовательский характер. Под руководством учителя он должен сам искать и строить доказательства теорем, иногда сам должен открывать и формулировать теоремы. Исследовательский метод наиболее соответствует целям преподавания геометрии.

Искание доказательства теоремы заключается в разложении отдаленной связи между фактами, условия и заключения на ряд элементарных этапов. Работа искания доказательства трудная исследовательская работа, содержащая немало творческих моментов. Однако это не значит, что эта исследовательская работа носит случайный характер. Ведь она имеет определенную цель и потому должна направляться некоторым планом и руководящими принципами.

В процессе искания доказательства — построении цепи новых промежуточных фактов — мысль может исходить из фактов заключения, а может исходить и от фактов условия. Однако чаще мысль будет развиваться не в одном направлении, а будет перебрасываться от условия к заключению, или наоборот. Если исходить из условия и делать последовательные выводы, не обращаясь к заключению, то такая работа не будет целеустремленной и может повести по ложному, бесплодному пути. В такой работе надо настойчиво приучать учащихся иметь в виду заключение. Оно должно служить маяком, целью работы и направлять работу по соответствующему пути. Без этого работа будет проходить как бы с завязанными глазами и часто будет мало эффективной. Если же в работе искания исходить из заключения, то руководящим указателем должно быть условие. Его все время надо иметь в виду.

При искании доказательства нет нужды требовать, чтобы учащиеся сразу кропотливо строили бы во всех тонкостях весь ряд промежуточных фактов. Достаточно сначала наметить лишь ясный план предстоящей работы, более подробной. Надо развивать в учащихся сообразительность, интуицию, уменье быстро ориентироваться в материале, схватывать связи между геометрическими фактами. Это сокращает работу и вовсе не противоречит развитию логического мышления учащихся. Когда учащиеся приступят к оформлению доказательства, тогда надо требовать детального выявления отдельных этапов доказательства.

Оформление доказательства может производиться двумя разными путями: синтетическим методом (когда мысль развивается от условия теоремы к заключению) и аналитическим методом (когда мысль исходит из заключения). Аналитическое доказательство лучше отражает работу искания, делает понятным ход доказательства. Это заставляет признать аналитический метод основным в школьном преподавании геометрии. При искании доказательства лучше использовать приемы аналитического метода, а при оформлении, при детальной разработке отдельных этапов использовать синтетический метод.

Изучая доказательства разных теорем можно подметить, что доказательство каждой теоремы основано обычно на одной мысли, которая является руководящей в этом доказательстве. Другие положения, используемые при доказательстве, вызываются этой руководящей мыслью, так сказать «идеей» доказательства. Обращать внимание учащихся на идею доказательства весьма важно. Это помогает учащимся не формально понимать изучаемое доказательство. Это облегчает и работу искания доказательства. Надо приучать учащихся при искании доказательства в основу работы класть некоторую руководящую идею. Она придает планомерность работе искания. Выделение руководящей идеи производится чаще не путем детального исследования задачи, а по догадке, по интуиции.

При искании доказательства теорем определения геометрических понятий могут оказать неоценимые услуги. Ведь для обоснования факта заключения надо знать, какие признаки достаточны для его существования. Такие признаки и указываются в определении факта заключения. Тогда доказательство факта заключения сводится к доказательству существования его признаков. Так определение подскажет путь доказательства. Особенно заметно проявится направляющая роль определения при работе по аналитическому методу. Многими примерами подтверждается полезность правила Паскаля: для доказательства нужно заменять геометрические понятия теоремы их определениями. Такая замена позволяет преобразовать и условие, и заключение и тем помогает выявлять связи между условием и заключением, которые должны быть вскрыты в процессе доказательства.

При активной работе в области геометрии легко подметить, что теорема и задача имеют много аналогичных черт. Во-первых, по структуре они аналогичны: и там, и здесь имеется совокупность данных фактов условия, далее в теореме в заключении речь идет о новом факте, который надо обосновать на фактах условия, а в задаче в вопросе речь идет тоже о новом факте, который надо открыть на основании фактов условия. Во-вторых, работа над теоремой — искание ее доказательства — и работа над задачей — искание ее решения — представляют аналогичные процессы. И то, и другое заключается в построении логически последовательного ряда выводов, ведущих от данных к заключению в теореме, или к вопросу в задаче. Поэтому искание доказательства теоремы может быть заменено исканием решения задачи, сформулированной соответствующим образом. Например, теорему о внешней угле треугольника можно рассматривать, как решение задачи: сравнить внешний угол треугольника с его внутренними углами.

Приведенная аналогия позволяет сделать некоторые педагогические выводы. В начале курса геометрии учащихся обескураживает непривычное для них требование доказывать теорему. «Зачем искать решения задачи, когда ответ дан готовый», — думает ученик 6-го класса. Отсюда вывод: на первых этапах курса геометрии не должно сообщать учащимся теорем, как догм, которые должны получить обоснование. Лучше вместо теоремы ставить на разрешение соответствующую задачу. Ответ на вопрос задачи и даст интересующую теорему, а решение задачи представит доказательство теоремы. Начальный курс геометрии лучше строить по этому методу, заключающемуся в составлении ряда задач, целесообразно подобранных. Здесь каждая задача и ее решение приводит к некоторой обоснованной теореме. Такой метод создает для учащихся широкое поле самодеятельности. Пользование дедукцией будет вполне естественным, необходимым и будет являться потребностью учащихся. Требования логического обоснования решения задач надо повышать, ставя перед учащимися проблему обобщения полученных выводов. Для этого ставить вопросы: а в других случаях, например, при других формах и размерах фигуры чертежа решение будет проводиться так же, и ответ будет такой же? нет ли особых случаев, когда намеченный ход решения будет неприменим? Работа обобщения не является чуждой ученической мысли.

Описанная работа над геометрическими задачами, часто приводящая к открытию теорем, носит творческий характер и дает глубокое удовлетворение, создает высокий интерес к работе. Если кроме того открытие теорем идет планомерно, как ответы на последовательно поставленные вопросы плана, выработанного вместе с учащимися, то система геометрии станет ясна учащимся. Геометрия им будет представляться не как собрание неожиданных, мало связанных между собой теорем, а последовательной разработкой

широкой задачи, где отдельные теоремы тесно связаны между собой и следуют в порядке общего плана.

В 7-летней школе (в V—VI—VII кл.) индуктивный метод еще должен иметь место. Некоторые теоремы могут быть усвоены индуктивным путем. Исследовательская работа по индуктивному методу (на моделях, чертежах и др. наглядных пособиях) побуждает учащихся к внимательному наблюдению геометрических фигур, к простым обобщениям, к открытию простых зависимостей между элементами фигур. Работа по индуктивному методу развивает у учащихся интуицию, догадку, сообразительность, пространственное воображение.

Этим заканчивается рассмотрение общих методов работы по исканию доказательств. Однако этим методика доказательства теорем не исчерпывается. При изучении геометрии могут иногда с пользой применяться и другие методы, возникают частные вопросы, важные в работе над теоремами. Глава VI и содержит изучение некоторых частных методов и вопросов.

Исследовательская работа будет проходить сознательно, экономно и эффективно только в том случае, если она будет построена планомерно. Чтобы каждый учащийся принимал активное участие в работе, необходимо, чтобы на каждом этапе работа была целесообразна в его глазах, и чтобы он четко знал, какие задачи на очереди решить. Все это требует, чтобы работа была заранее спланирована, и чтобы план работы был известен учащимся. Поэтому лучше, если план будет вырабатываться совместно с учащимися.

Во втором концентре (V—VII кл.) семилетней школы планирование может быть проведено различно. Одни методисты (Астряб) считают более естественным начинать изучение с различных тел и далее переходить к изучению отдельных элементов и соотношений между ними. Другие (Выгодский, Дубнов) считают более целесообразным исходить от простейших элементов фигур (точек, прямых, плоскостей) и переходить далее к более сложным формам и зависимостям.

Прежде, чем переходить к реализации намеченного плана, полезно провести беседу о методах предстоящей работы. Надо разъяснить учащимся, в чем заключается задача изучения какой-либо фигуры. Тогда и план работы над темой будет представлять не перечень теорем, которые должны быть изучены, а продуманный перечень задач, которые должны получить разрешение. Внесение плановости, понятной для учащихся, делает их работу не случайной, беспорядочной, а последовательной, целеустремленной, а потому более плодотворной.

Большую пользу в школьной геометрии может оказать идея функциональной зависимости. И обратно, в геометрии мы можем найти богатый материал для ознакомления учащихся с идеей функциональной зависимости. Уже на первых ступенях они имеют

дело с некоторыми связями между отдельными элементами фигур. Но этого мало. Идея функциональной зависимости заключается не только в установлении связи между явлениями, но в изучении вопроса о том, какие формы принимает эта связь при изменении явлений. Идея функциональной зависимости является воплощением в математике диалектического метода изучения явлений природы и общественной жизни. «Диалектический метод требует, чтобы явления рассматривались не только с точки зрения их взаимной связи и обусловленности, но и с точки зрения их движения, их изменения, их развития, с точки зрения их возникновения и отмирания». (История ВКП (б), стр. 101).

Прежде всего идея функциональной зависимости в геометрии находит свою реализацию в геометрических преобразованиях. В курсе 7-летки мы уже встречаемся с элементарными геометрическими преобразованиями: движением, симметрией осевой и центральной, вращением, параллельным перенесением. Чтобы преобразования воспитывали в учащихся идею функциональной зависимости, надо перед учащимися всегда подчеркивать соответствие элементов преобразуемой и преобразованной фигур. Идея преобразований в курсе геометрии может быть не только с успехом использована при доказательстве отдельных теорем, но она может быть положена в основу построения всего курса геометрии.

Геометрические фигуры можно рассматривать не как окостенелые формы, а как подвижные, изменяющиеся. Изменяя последовательно изучаемую фигуру, все время наблюдать, как эти изменения сказываются на какой-либо величине, на каком-либо элементе, связанными с изучаемой фигурой. Такая работа — чисто исследовательская работа. При изменении фигур различные зависимости между ее элементами выступают ярче, нагляднее. И учащиеся иногда легко открывают новые связи, теоремы. Возьмем для примера одну из простейших фигур — угол. Обычно угол рассматривается, как неизменная фигура, образованная двумя неподвижными лучами. А ведь понятие угла можно связывать с вращательным движением и рассматривать угол, как фигуру, наглядно изображающую нам результат вращательного движения. Такая точка зрения нагляднее и открывает более широкие перспективы: простое и естественное установление зависимостей между углами и дугами, измерение углов, операции над ними.

Другой пример: теорема о сумме углов треугольника. Хотя теорема и ее доказательство и очень просты, однако учащиеся обычно не бывают к ней подготовлены. Теорема для них открывается совершенно неожиданно: в их сознании и не возникала мысль о сумме углов, а тем более о постоянстве этой суммы. Применим идею функциональной зависимости к изучению свойств углов треугольника. Ставится естественный вопрос: совершенно ли произвольны три угла треугольника, или между ними существуют некоторые зависимости? Возьмем произвольный треугольник ABC.

Будем изменять один из его углов (напр. С), вращая одну из его сторон (ВС). Тогда треугольник ABC будет изменяться. Скажется ли изменение угла С на других углах треугольника? Ответ ясен: один из углов (угол А) не изменяется, а другой (угол В) изменяется. Естественно возникает вопрос: как изменения угла С сказались на угле В? Определяем, насколько изменился тот и другой угол. Простая операция вычитания углов приводит учащихся к замечательному выводу: насколько в нашей деформации один угол увеличился, настолько другой уменьшился. Отсюда простой вывод: если одна сторона треугольника будет вращаться, то сумма углов треугольника остается одна и та же. Далее нужно обратить внимание учащихся на то, что путем ряда вращений сторон можно от нашего треугольника ABC перейти к любому треугольнику. Следовательно, во всех треугольниках сумма углов одна и та же. Дальше естественно возникает вопрос: чему равна эта сумма? На этом и других примерах видно, что изменение фигур часто освещает доказательство единой мыслью и делает его понятным для учащихся.

Задачи на построение, особенно в их исследовательской части, могут тоже оказать помощь, как при доказательстве теорем, так и в открытии их. Например, к установлению признаков равенства треугольников можно подойти, решая последовательно ряд задач на построение треугольников по некоторым основным элементам. Сначала решается задача: построить треугольник по одному элементу (напр., по одной стороне). В результате приходят к выводу, что задача имеет бесчисленное множество решений. Такой же вывод получим, строя треугольник по двум элементам. Когда же перейдем к построению треугольника по трем элементам, напр. по трем сторонам, то убеждаемся, что задача имеет только одно решение, что по трем сторонам можно построить лишь один треугольник. Отсюда вывод: два треугольника, имеющие соответственно равные стороны, обязательно равны. Получим известный признак равенства треугольников. Аналогично можно установить и другие признаки равенства треугольников.

При доказательстве теорем исходят из фактов условия, делают ряд умозаключений, последнее из которых и будет заключением теоремы. Такой метод доказательства однако не является единственным. В спорах, чтобы отстоять свое мнение, мы стараемся опровергнуть взгляды противников. Так и в математике некоторое положение можно считать доказанным, если будут опровергнуты все случаи, где бы не оправдывалось доказываемое положение. Например, теорема, что две разные прямые могут пересекаться только в одной точке, будет доказана, если опровергнуть возможность пересечения прямых в двух, трех и более точках. Такое доказательство построено иначе, чем прямое. Вместо доказательства здесь опровергаются некоторые положения. Такой метод обоснования теорем получил название доказательства от противного.

Метод опровержения неверных суждений своеобразный. Заключается он в том, что стараются найти твердо установленный факт, который явно противоречил бы опровергаемому положению. Указать такой факт не всегда представляет простую задачу. Тогда поступают таким образом. Считая опровергаемое положение за истинное, делают из него некоторые выводы, с необходимостью из него вытекающие, его необходимые спутники. Это выводы иногда можно уже легко опровергнуть. Но этим опровергается и само исходное положение.

При пользовании методом доказательства от противного вместо прямого доказательства опровергают те положения, которые отвергают доказываемое, противоречат ему. Здесь надо быть осторожным. В предположениях, противоречащих доказываемому положению, нужно предусмотреть все случаи противоречащих предположений. Если ограничиваться только одним из возможных случаев, то доказательство не будет полным и убедительным. Например, доказывается теорема: если сумма двух противоположных углов выпуклого 4-угольника равна 2d, то около этого 4-угольника можно описать окружность. Для доказательства через три вершины проводится окружность. Дальше дело сводится к исследованию вопроса: пройдет ли проведенная окружность через четвертую вершину? Мыслимы три ответа: 1) четвертая вершина лежит на проведенной окружности, 2) четвертая вершина лежит внутри окружности и 3) четвертая вершина лежит вне окружности. Все три ответа надо предусмотреть. Тогда надо опровергнуть второй и третий ответы. Лишь тогда можно считать теорему доказанной.

Из рассмотрения этого и других примеров видно, что доказательство от противного есть по существу исследовательская работа по изучению всех возможных ответов на вопрос теоремы. Так и надо освещать его перед учащимися, как один из методов исследовательской работы. Поэтому вначале лучше вместо догматически сообщаемой теоремы предлагать учащимся задачу, сформулированную соответствующим образом. Работа над задачей проводится следующим образом. Сначала, не решая задачи, определяют, какие ответы мыслимы. Необходимо предусмотреть все мыслимые ответы. Один из них обязательно будет иметь место. Из всех мыслимых ответов выделяют тот, который по догадке больше других заслуживает доверия. Но дальше занимаются не этим ответом, а всеми остальными. Старания направляются на опровержение этих ответов. Когда эта цель будет достигнута, т. е. все ответы, кроме одного, будут опровергнуты, то этим устанавливается и теорема.

Идея доказательства от противного вполне доступна учащимся даже не высокого возраста. Однако трудности в пользовании этим

методом есть. Затруднения вызывает не идея доказательства от противного, а второй этап работы — опровержение сделанного предположения. Здесь нужно сделать один или несколько выводов из сделанного предположения, но выводов не случайных, а таких, которые приводили бы к противоречию с твердо установленными фактами. Учащимся же не дается никаких практических указаний, какие выводы целесообразно выбирать для решения. Отсюда и трудности, так как выбор выводов делается вслепую. Эту трудность испытывают учащиеся и младших и старших классов. Откладывать знакомство учащихся с этим методом на более поздний возраст нет оснований. Конечно, на первых ступенях надо прийти на помощь учащимся. Может быть, полезно предварительно поупражнять учащихся в опровержении неверных положений.

В школе наряду с прямыми теоремами очень важно изучать и обратные. Через это знания приобретают более глубокий характер. Ведь верность или неверность обратной теоремы указывает на глубину связи между фактами условия и заключения прямой теоремы. Учащиеся должны понять, что обратные положения не всегда верны. Поэтому надо приучать учащихся не только формулировать обратные положения, но обязательно проверять их: доказывать, или опровергать.

Подводя итоги, нужно сказать, что в 5—6—7 классах работу лучше всего строить по исследовательскому методу, где активность, самодеятельность учащихся занимает центральное место. Работа организуется по такой схеме:

Сначала совместно с учащимися составляется план изучения данной темы. Для учащихся составление плана только собственными силами будет не под силу. Поэтому здесь решающая роль принадлежит учителю. Но в беседе учитель должен разъяснить предлагаемый план. План должен представлять перечень главнейших вопросов и задач, которые возникают при постановке темы. Часто речь будет итти об изучении фигур разного типа, (углы, треугольники, параллелограмы и др.). Здесь основными задачами будут: вычерчивание фигур изучаемого типа, свойства основных элементов (углов, сторон, диагоналей и др.) изучаемых фигур, установление связей между элементами фигуры, частные (наиболее важные и интересные) виды изучаемых фигур, сравнение фигур данного типа (равенство или неравенство), вычерчивание фигур по отдельным элементам. Таким образом рабочий план — это не перечень теорем, а перечень задач, целесообразно подобранных, которые должны получить разрешение в процессе работы над темой. Далее переходят к выполнению плана, т. е. к решению поставленных задач. Учащимся не дается готовых решений в фор-

ме догматически сформулированных теорем. Перед ними ставится задача. Способ же решения и ответ учащиеся должны найти сами, но в некоторых случаях с помощью или по указанию учителя. В процессе работы учитель не должен быть пассивным созерцателем проделываемой учащимися работы. Он — руководитель, помощник, душа всей этой работы. В результате решения задач будут получаться обоснованные теоремы. Решение задач будет служить доказательством открытых теорем. Наиболее важные из теорем должны запоминаться и тщательно оформляться.

В последней главе «Первые теоремы геометрии» в развитие высказанных в настоящей работе положений дается подробная последовательная методическая разработка первых шагов курса геометрии в 7-летней школе. План этой работы предлагается несколько отличный от принятого в стабильном учебнике. Предлагаемый план базируется на принципе — исходить из наиболее простых фигур. По этому плану на первом этапе надо изучить такие фигуры:

1) линия (в первую очередь прямая) с одной или несколькими точками на ней;

2) две пересекающиеся прямые;

3) две пересекающиеся окружности;

4) пересекающиеся прямая и окружность;

5) параллельные прямые.

В последней главе и дана подробная методическая разработка указанных тем.

В заключение заметим, что в 1947—48 и в 1948—49 уч. г. в Борисоглебской базовой школе в одном из шестых классов преподавание строилось по указанному плану и с применением тех методических приемов, которые защищались в настоящей работе (работу проводила преподавательница А. А. Есикова). Эта работа на опыте показала жизненность методических принципов, высказанных в настоящей работе. Со стороны учащихся всегда проявлялся большой интерес к геометрии и ее задачам. Изучаемый материал по приведенному выше плану и другим темам шестого класса («Треугольники», «Задачи на построение») без труда усваивался учащимися, несмотря на то, что порядок изложения и методы доказательств отличались от даваемых в учебнике. Учащиеся, хотя и не все, проявляли активность при работе. Усвоение изученных теорем было более сознательно, более глубоко, чем в другом параллельном классе, где преподавание велось по учебнику. Трудности встречались в закреплении изученного материала вследствие отсутствия на руках учащихся учебных руководств, построенных по тому плану, по которому велась работа.

ЛЕ33181. Сдано в набор Zl/Xl. Подписано к печати 25/Xi 949 г.

Печати, листов 8/4. Формат 6 г/1в гн п. ((()<».

Заж. 4752._Тираж 100 »кз.__Бесплатно.

Борисоглебск, типография УИиП.