МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

В. Е. НАЗАРЕТСКИЙ

ПРОЕКЦИОННЫЙ ЧЕРТЁЖ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ в 9-х и 10-х КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — профессор И. К. АНДРОНОВ

Москва - 1955

ВВЕДЕНИЕ

Партия и правительство проявляют постоянную заботу о школе и учителе. Это привело к значительным успехам в постановке обучения и воспитания подрастающего поколения в советской школе. Но грандиозные успехи нашей страны во всех областях народного хозяйства, культуры, науки и техники предъявляют все большие и большие требования к качеству подготовки учащихся школы.

Директивами XIX съезда партии по пятому пятилетнему плану развития СССР на 1951 —55 гг. перед общеобразовательной школой поставлена задача «приступить к осуществлению политехнического обучения в средней школе и провести мероприятия, необходимые для перехода к всеобщему политехническому обучению».

В соответствии с директивами XIX съезда КПСС перед средней школой на ближайшие годы поставлена задача перестроить работу в школе таким образом, чтобы обучение стало подлинно политехническим, школа должна обеспечить своим воспитанникам прочные систематические знания основ наук и вместе с тем знакомить их с основами современной промышленности и сельскохозяйственного производства, а также вооружить учащихся умениями и навыками, необходимыми им для будущей практической деятельности.

Проблема политехнического обучения поставила новые вопросы, относящиеся к содержанию и методам обучения математике в средней общеобразовательной школе с политехническим обучением. В ряду многих вопросов, возникших в связи с проблемой политехнического обучения в школе, одним из существенных является вопрос о привитии учащимся навыков в построении и чтении чертежей пространственных фигур и умения решать задачи на проекционном чертеже в процессе прохождения математики.

Многолетняя практика работы в школе, изучение работы ряда учителей, анализ работ на аттестат зрелости, анализ ответов поступающих в институты, а также отзывы инженеров о работе на производстве окончивших десятилетку дают нам право утверждать, что в развитии пространственных представлений, графической грамотности учащихся в школе имеется ряд существенных пробелов и упущений

Отсюда нами были поставлены задачи: на основе изучения истории вопроса, изучения состояния практики применения проекци-

онных чертежей в процессе преподавания стереометрии и критического анализа учебно-методической литературы по вопросам проекционного чертежа в курсе стереометрии дать положительное решение вопроса о наиболее эффективном введении проекционных построений в курс стереометрии средней школы.

Диссертация состоит из четырех глав, содержит 257 чертежей и приложения.

* * *

В первой главе—«К истории возникновения и развития методов изображения пространственных фигур и проникновения их в курс средней школы» дан генезис развития предмета начертательной геометрии в русской средней школе и история проникновения элементов проекционного чертежа в курс стереометрии средней школы.

Проникновение теории и практики проекционного чертежа в курс стереометрии русской средней школы нами исследовано на основании трех источников: а) изучения постановки преподавания черчения в средней школе, в) анализа отечественной учебно-методической литературы по геометрии, с) рассмотрения материалов, связанных с реформистским движением, в частности, материалов, относящихся к съездам преподавателей математики.

В диссертации раскрывается большая роль первого русского профессора начертательной геометрии Я. А. Севастьянова в распространении знаний по начертательной геометрии в России, в создании теоретических основ для черчения. При жизни Я. А. Севастьянова начертательная геометрия начинает занимать важное место в программах русских университетов и высших технических учебных заведений. Отмечается роль П. Л. Чебышева в связи с введением элементов начертательной геометрии в программы реальных училищ (1872 г.), Анализ программ по начертательной геометрии и черчению русских реальных училищ показывает основательность постановки этого предмета в реальных училищах.

После детального анализа учебной литературы по стереометрии второй половины XVIII века, XIX века и начала XX века в диссертации показывается:

1. Со второй половины XVIII века авторы учебников видят в чертеже эффективное средство развития пространственных представлений учащихся. В учебниках геометрии (Д. С. Аничкова, С. Я. Румовского, С. Е. Гурьева и др.) имеют место необходимые построения при доказательстве стереометрических теорем и решении соответствующих задач, но построение чертежей осуществляется на основе пространственной интуиции, без достаточных теоретических обоснований.

2. С середины XIX века проекционные чертежи начинают проникать в учебники по геометрии. В конце XIX века и в начале XX века появляются учебники (А. Н. Глаголева, Б. А. Марковича, Д. В. Ройтмана и др.), в которых должное внимание уделяется теоретическому обоснованию чертежей в курсе стереометрии. Также появляется специальная литература, посвященная построению изо-

бражений пространственных фигур в курсе стереометрии (работы А. Ф. Маккавеева и др.).

3. В начале XX века вопрос об изображении пространственных фигур на уроках стереометрии в средней школе начинает приобретать актуальное значение. Об этом с большой убедительностью говорят материалы второго Всероссийского съезда преподавателей математики (1913—1914 гг.). На съезде развернулась большая дискуссия о проекционном чертеже в курсе стереометрии. В ней приняли участие как известные профессора геометрии (А. К. Власов, Д. Д. Мордухай-Болтовской, Б. К. Млодзеевский и др.), так и передовые учителя математики средней школы (М. П. Воскресенский, С. В. Воронин, В. А. Соколов и др.). Большой интерес вызвал доклад М. П. Воскресенского «О развитии представлений о соотношениях в пространстве», основанный на опыте лучших учителей математики того времени.

Передовые ученые и педагоги сознают важность введения проекционных чертежей в школьный курс математики для развития пространственных представлений учащихся, для лучшей подготовки будущих студентов технических учебных заведений, для лучшей связи математики с практическими вопросами жизни.

4. Только с начала построения трудовой советской школы началось эффективное введение элементов проекционного чертежа в преподавание стереометрии. Весьма рано (1919 г.) выступает поборником этого дела инженер-педагог И. А. Сигов; вскоре и в программах по геометрии средней школы появляются элементы начертательной геометрии. А. П. Киселев, перерабатывая в 1923 г. свой курс геометрии, вводит проекционные чертежи в курс стереометрии. В 1936 г. появляется интересный для того времени задачник Б. В. Романовского. В дальнейшем выступает со своими работами, посвященными чертежам в курсе стереометрии, известный деятель технической школы — математик М. Л. Франк. В этот период появляются также работы О. А. Вольберга.

Кульминационного пункта это движение достигает в замечательных исследованиях, основанных на строго продуманных началах, известного профессора Н. Ф. Четверухина, ныне действительного члена А П Н. В связи с его школой, несколько позже, появляются работы P.C. Черкасова, Г. А. Назаревского, А. А. Панкратова и др. Правда, в работе Г. А. Назаревского имеются и отступления от направления, созданного Н. Ф. Четверухиным.

В 1947—48 гг. возникает новая более плодотворная, чем в 1913— 14 г., творческая дискуссия о чертеже пространственных фигур, развернувшаяся на страницах журнала «Математика в школе» в связи с требованиями, предъявляемыми к письменным работам по математике на аттестат зрелости.

В связи с введением проекционного чертежа в преподавание стереометрии ставится вопрос (один из основных вопросов) о выборе проекции для изображения пространственных фигур в процессе преподавания. Большинство авторов учебно-методических пособий считают, что основной проекцией для изображения пространственных

фигур в условиях педагогического процесса является параллельная проекция на одну плоскость. Научному обоснованию этого положения посвящена работа М. Л. Франк «Геометрический чертеж в курсе стереометрии». Практика преподавания стереометрии в школе также подтверждает справедливость этого положения.

Вопрос о проекционном чертеже в курсе стереометрии развивается в направлении необходимого научного углубления. Так, в работах советских ученых дан анализ и дано освещение вопроса о правильности изображений пространственных фигур в параллельной проекции на одну плоскость. Проф. Н. Ф. Четверухиным дано четкое разграничение двух основных методов в решении вопроса о геометрических построениях в пространстве. Советскими геометрами исследован вопрос о разрешимости задач на пересечение и принадлежность (задачи об инциденциях) по изображениям в одной проекции (параллельной и центральной). Изучен вопрос о критериях, при помощи которых можно установить, разрешима ли та или иная задача на изображении (работы Н. Ф. Четверухина, О. А. Вольберга, Е. В. Зеленина и др.). Но, к сожалению, вопрос о проекционном чертеже в меньшей мере развивается в смысле его практического укрепления в процессе преподавания стереометрии средней школы.

В диссертации указываются недостатки некоторых работ по вопросам применения проекционных чертежей в курсе стереометрии. Показывается, что одним из основных тормозов в развитии и укреплении в стереометрии средней школы проекционных чертежей является отсутствие единой точки зрения в вопросе изображения фигур в условиях педагогического процесса. В отечественной методической и учебной литературе в вопросе изображения пространственных фигур наметилось в основном два направления. Представители первого направления (Н. Ф. Четверухин, В. М. Брадис, Н. М. Бескин и др.) считают, что в условиях педагогического процесса преподаватель должен применять для изображения фигур произвольные параллельные проекции. Они также не отрицают целесообразности применения аксонометрических проекций и эпюров. Представители второго направления (И. А. Сигов, М. Л. Франк, Ю. О. Гурвиц, Г. А. Назаревский и др.) рекомендуют пользоваться одной из аксонометрических проекций и по правилам этой проекции выполнять чертежи основных плоских фигур и геометрических тел в процессе преподавания стереометрии.

Хотя вопрос о проекционном чертеже и поставлен в порядок дня работы школы в программах по математике, но в учебнике и задачнике по геометрии он отражен недостаточно. Наблюдается разобщенность преподавания стереометрии и черчения. Преподаватели черчения не учитывают специфики чертежей в курсе стереометрии, не учитывают, например, потребности более детального рассмотрения на уроках черчения изображений в произвольной параллельной проекции и во фронтальной проекции, которые имеют большое значение в курсе стереометрии. Преподаватели математики часто недооценивают значение чертежа в курсе стереометрии.

В диссертации показывается, что приобретенные учащимися на уроках черчения знания и навыки при изучении стереометрии часто не учитываются и не используются. Нередко чертежи на уроках стереометрии выполняются без каких-либо теоретических основ, не обращается внимание на должное оформление их, отсутствуют четко разработанные требования к объяснению и оформлению чертежей (при решении задач, а также и при доказательстве теорем).

* * *

В последующих главах раскрывается роль проекционного чертежа при преподавании стереометрии. Показывается значительная роль чертежей при ознакомлении учащихся с геометрическими понятиями и доказательстве теорем стереометрии.

Отмечается, что метод проекций может успешно применяться для установления геометрических истин: он дает понятие об одном из общих способов исследования геометрических свойств, который при традиционном изложении курса стереометрии остается совершенно в тени. В работе рассматриваются доказательства некоторых теорем школьного курса стереометрии методом параллельной проекции. Показывается также, что применение проекционного чертежа при преподавании стереометрии вносит существенные изменения в преподавание стереометрии. На уроках стереометрии возникает много конструктивных задач, возникают задачи практического содержания. Преподаватель имеет возможность на уроках стереометрии организовать содержательные лабораторные занятия. Если учащиеся овладеют «чертежным языком», то имеется возможность изменить существенным образом не только классную работу в преподавании стереометрии, но и домашние работы учащихся, работу в школьной мастерской, а также внеклассную работу учащихся. Появляется возможность в домашние задания по геометрии включать несложные графические работы, работы по изготовлению моделей геометрических фигур по их чертежам и т. п.

Внедрением проекционного чертежа в стереометрию устанавливается более тесная связь преподавания математики с преподаванием других предметов (черчения, физики, рисования и др.), устанавливается более тесная связь стереометрии с инженерно-технической практикой, что находится в полном соответствии с задачами политехнического обучения в школе.

Таким образом, проекционный чертеж в преподавании стереометрии выступает как важное средство расширения политехнического кругозора и вооружения учащихся практическими умениями и навыками. Этим объясняется большое воспитательное значение проекционных чертежей в преподавании математики. Решение стереометрических задач на проекционном чертеже всегда требует от ученика в той или иной мере инициативы, самостоятельности. Всем этим повышается интерес учащихся к изучению стереометрии. Особо следует отметить, что построение изображений геометрических фигур по определенным принципам приучает учащихся к порядку, дисциплинирует их работу в классе.

* * *

Во второй главе диссертации разрешаются следующие вопросы: 1) о взаимной связи модели, развертки, рисунка и чертежа в процессе преподавания стереометрии; 2) обоснование выбора проекции для изображения стереометрических фигур; 3) методика построения изображений пространственных фигур на уроках стереометрии; 4) подбор стереометрических задач (на чтение чертежей, построение, доказательство и вычисление) и методика их решения с применением проекционного чертежа.

Чтобы правильно решить вопрос о модели, развертке, рисунке и чертеже и их роли в образовании абстрактных геометрических понятий, мы исходили из марксистско-ленинского учения о ступенях познания: «от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике — таков диалектический путь познания истины, познанания объективной реальности» (В. И. Ленин, IX ленинский сборник, стр. 165—166). Познание начинается с живого созерцания. Учитель должен выделить эту первую ступень познания, когда ученики впервые знакомятся с материалом — созерцают, воспринимают. Психологические и физиологические предпосылки для правильного решения проблемы о развитии пространственных представлений и пространственного воображения учащихся мы находим в трудах известных русских ученых И. М. Сеченова и И. П. Павлова о высшей нервной деятельности. Согласно учению И. М. Сеченова при восприятии предмета пространственные свойства воспринимаются нами одновременно с телесными свойствами. Пространственные свойства предметов воспринимаются главным образом глазом. Нашему глазу чаще всего приходится воспринимать непрозрачные предметы, при этом мы воспринимаем не всю объемную форму предмета, а только видимую часть. Поэтому при одностороннем рассмотрении предмета мы не можем уловить все особенности расположения его частей.

Учение И. П. Павлова о первой и второй сигнальных системах является основой для подведения учащихся к определению геометрических фигур, для усвоения учащимися геометрических понятий.

Первое ознакомление учащихся с геометрическими формами проводится на окружающих предметах. Характерные формы фигур выделяются затем при помощи моделей и их изображений. На модели, развертке имеется возможность видеть истинные формы всех частей фигуры, что важно для создания правильных представлений геометрической формы. Если мы при ознакомлении с геометрической фигурой ограничимся только показом ее модели, то нельзя быть уверенным в том, что учащиеся правильно, полно будут представлять форму фигуры. Чтобы у учащихся создалось правильное представление о геометрической фигуре, нужно совместно с учащимися дать описание фигуры, проанализировать ее форму. При этом показ модели одной фигуры недостаточен для образования у учащихся нового понятия. Для образования нового понятия нужно, чтобы учащиеся усмотрели те существенные признаки (свойства), которые являются общими для всех видов изучаемой геометрической фигу-

ры и отличают ее от других фигур. С этой целью следует показать ряд моделей, чтобы сравнить, сопоставить форму изучаемой геометрической фигуры с другими фигурами, установить их сходство и различие и таким образом подвести учащихся к определению геометрической фигуры.

Усвоение определения геометрической фигуры является необходимой предпосылкой образования абстрактных понятий пространственных форм. Если мы при первом ознакомлении учащихся с той или иной геометрической фигурой показываем им ее модель, то представление об этой фигуре создается вместе с телесными свойствами ее модели. Для создания абстрактных понятий геометрических форм важным средством являются упражнения на воображаемые построения. Хорошими средствами для образования абстрактных геометрических понятий являются также рисунки и чертежи.

В настоящей работе подробно рассматриваются характерные свойства рисунков и чертежей, указывается их применение во взаимной связи с моделями и развертками геометрических тел в процессе преподавания стереометрии. Легкость рассмотрения моделей и установления по ним формы, положения и размеров частей фигур и трудность рассмотрения и установления по чертежу формы, положения и размеров частей фигур приводят к необходимости их сближения, а первое время — одновременного их использования при преподавании стереометрии.

Особое внимание уделяется постановке двух видов задач в их взаимосвязи: 1) построение чертежей геометрических тел (по модели, а также по данным в условии задачи); 2) нахождение формы оригинала по чертежу.

В связи с внедрением проекционного чертежа в преподавание стереометрии возникает очень важный вопрос—вопрос о выборе проекции для изображения пространственных фигур в курсе стереометрии. Правильное решение этого вопроса является основой для наиболее успешного внедрения проекционных чертежей в преподавание стереометрии.

Учитывая, что до сих пор не решен вопрос о месте и значении изображений в произвольной параллельной проекции и во фронтальной проекции в процессе преподавания стереометрии, мы стремились на основе анализа и соответствующего эксперимента дать положительное решение этого вопроса.

При рассмотрении вопроса о выборе проекции для изображения геометрических фигур раскрывается место и значение при преподавании стереометрии чертежей, выполненных в произвольной параллельной проекции, чертежей, выполненных во фронтальной проекции и чертежей, выполненных в ортогональных проекциях на одну, две и три плоскости. Проводится сравнение построения изображений пространственных фигур в произвольной параллельной проекции с изображениями во фронтальной проекции.

Известно, что проф. Н. Ф. Четверухин в своих работах отчетливо поставил следующие требования к чертежам в стереометрии: 1) вер-

ность, 2) наглядность, 3) свобода выполнения. При построении изображений в произвольной параллельной проекции, как это показано в работах Н. Ф. Четверухина, действительно можно строить чертежи некоторых пространственных фигур, удовлетворяющие указанным требованиям.

Чертежи в произвольных параллельных проекциях безусловно целесообразны при изучении взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, при рассмотрении многих теорем стереометрии, относящихся к многогранникам, когда чертеж выполняет иллюстративную роль, при решении позиционных задач, при решении многих задач на вычисление. Нельзя отрицать целесообразности применения произвольных параллельных проекций для построения пространственных фигур на уроках стереометрии. Но в связи с этим возникает очень существенный вопрос: как изложить построение изображений в произвольных параллельных проекциях на уроках стереометрии в форме, доступной для учащихся средней школы. Проекционный чертеж, выполненный в произвольной параллельной проекции, можно применить в преподавании стереометрии при условии, если в курсе стереометрии своевременно будут пройдены основные свойства параллельной проекции. Но этого недостаточно. Для полноценного использования метода изображений в произвольной параллельной проекции нужно рассмотреть учение о подобных многогранниках и теорему Польке-Шварца, провести исследование вопроса о том, какое число параметров соответствует тому или иному условию, налагаемому на оригинал изображения, следует также определить области существования параметров. Рассмотрение этих вопросов требует специального времени, разрешение многих из них неразрывно связано со специальными вопросами проективной геометрии, что далеко выходит за пределы школьного курса математики.

При рассмотрении фронтальной проекции показывается:

1. Построение правильных изображений пространственных фигур во фронтальной проекции можно обосновать на основании теории стереометрии, входящей в существующую программу для средней школы. Обоснование изображений во фронтальной проекции вполне доступно для учащихся средней школы. При построении изображений основных пространственных фигур, изучаемых в курсе стереометрии, можно легко показать в наглядной форме связь изображения с его оригиналом.

2. Наглядность изображения основных пространственных фигур, изучаемых в курсе стереометрии, может быть обеспечена путем наиболее целесообразного расположения оригинала относительно осей координат, а также путем выбора определенного вида фронтальной проекции.

Все фронтальные проекции недостаточно удовлетворяют требованию свободы выполнения чертежа, так как построение изображений во фронтальной проекции связано с выбором проектирующего аппарата. Невыполнимость этого требования при построении изображений во фронтальной проекции компенсируется тем, что фронталь-

ная проекция доступна учащимся и построение изображений основных пространственных фигур во фронтальной проекции легко выполнимо. Этим свойством фронтальная проекция выгодно отличается от других аксонометрических проекций.

К числу положительных свойств фронтальной проекции можно отнести также следующие ее свойства:

1. Измеримость чертежа. Если при изображении фигур в произвольной проекции представление об оригинале создается по чертежу и некоторым условиям (в случае изображения модели приходится рядом с чертежом помещать модель, что отнюдь нельзя считать удобным), то при изображении фигур во фронтальной проекции можно построить развертку и склеить модель только по чертежу.

2. Фронтальная проекция обеспечивает легкое решение многих метрических задач, если плоскость, в которой производится построение, расположить параллельно фронтальной плоскости или с ней совместить.

Рассмотренные свойства фронтальной проекции дают возможность успешно ее применять при прохождении стереометрии. В работе показывается, что фронтальной проекцией целесообразно пользоваться:

а) при формировании в сознании учащихся основных геометрических понятий (угол между прямой и плоскостью; угол между двумя плоскостями и т. д.);

в) при изучении свойств геометрических фигур;

c) при графическом решении метрических задач;

d) при привитии учащимся навыков в чтении чертежей пространственных фигур;

e) при привитии учащимся навыков в построении разверток и изготовлении моделей геометрических тел по их наглядным изображениям.

Отдавая должное фронтальной проекции, в работе вместе с тем отмечается следующее:

1. Фронтальная проекция (как и другие виды аксонометрических проекций) целесообразна при решении задач метрического содержания. Но необходимо помнить, что имеется в стереометрии много задач, для решения которых нет необходимости в метрически определённом чертеже. Для решения таких задач, если нужен наглядный чертеж, целесообразно применять произвольные параллельные проекции.

2. Если на уроках стереометрии фигуры изображать только по правилам какой-либо одной фронтальной проекции, например, кабинетной, то у учащихся создается неправильное представление о единственности изображения пространственных фигур; этим искусственно ограничивается развитие пространственных представлений у учащихся.

3. При изображении фигур во фронтальной проекции ученики часто опускают основные свойства параллельной проекции и не пользуются ими.

4. Встречаются такие задачи, при решении которых чертеж трудно выполнить во фронтальной проекции.

В диссертации сделан следующий вывод: при преподавании стереометрии нельзя ограничиваться изображениями пространственных фигур только во фронтальной проекции, как это делают, например, Б. В. Романовский, Г. А. Назаревский.и др.

При выборе проекции для построения чертежа в курсе стереометрии нами учитываются особенности педагогического процесса, а также конкретные цели, которым должен служить чертеж и специфика тех вопросов, в разрешении которых соответствующую роль может сыграть проекционный чертеж. Наряду с изображениями в произвольной параллельной проекции и во фронтальной проекции в диссертации отводится должное место эпюрам.

Уделено большое внимание одному из важных вопросов, вопросу о выборе проекции при решении задач, связанных с шаром. Проведя тщательное сравнение изображения шара в ортогональной проекции с его изображением во фронтальной проекции, а также рассмотрев ряд задач (на комбинации шара с другими телами), в которых условия определяют порядок построения чертежа, в нашей работе приходим к следующим выводам:

1) в курсе стереометрии при решении задач на построение, связанных с шаром, целесообразно наряду с ортогональной проекцией применение фронтальной проекции для построения соответствующих изображений;

2) сторонники применения только ортогональной проекции для изображения шара решают вопрос об изображении шара в курсе стереометрии в плане чисто теоретическом, без учета условий педагогического процесса, не в связи с конкретными задачами, которые решаются в школьном курсе стереометрии.

В данной главе рассматриваются задачи на построение изображений геометрических фигур, на чтение чертежей, задачи на построение и вычисление.

При применении метода изображения фигур в произвольной параллельной проекции подчеркивается имеющийся произвол в изображении некоторых элементов оригинала. На конкретных задачах показывается, как можно произвол или свободу в изображении некоторых элементов оригинала использовать так, чтобы получить наглядный чертеж. При построении изображений в произвольной параллельной проекции показывается рациональное использование свободы изображения некоторых элементов оригинала при решении метрических задач. Если по условию задачи на метрически определенном чертеже следует произвести некоторые построения, то произвол в построении изображения важно использовать так, чтобы эти построения (по возможности) были наиболее легко выполнимы.

Произвол в изображении некоторых элементов оригинала даёт возможность установить переход от изображений пространственных фигур в произвольной параллельной проекции к их изображениям во фронтальной проекции. Этот вопрос освещен на конкретных задачах.

В настоящей работе рассматривается построение метрически неопределенных изображений геометрических фигур и построение изображений метрически определенных. Приводится построение изображений в произвольной параллельной проекции многогранников, наиболее часто встречающихся в курсе стереометрии средней школы.

Построение метрически определенных изображений в произвольной параллельной проекции основных геометрических тел, изучаемых в курсе стереометрии средней школы, сводится к построению изображения основания геометрического тела и его высоты. Исходным для построения изображения основания является задача на построение изображения треугольника и точки. Дальнейшее построение геометрического тела осуществляется на основе метрической независимости изображения его высоты от основания.

На уроках стереометрии метрически определенные изображения приходится строить по модели оригинала или по данным условиям, определяющим оригинал. В соответствии с этим рассматривается построение изображений призм и пирамид по их моделям, а затем— по данным условиям. В связи с построением чертежа геометрического тела по условиям ставится вопрос о существовании того или иного рассматриваемого геометрического образа. При построении метрически определенных изображений многогранников, определяемых данными условиями, особое внимание обращается на выполнение воображаемых построений геометрических фигур. Затем следует построение изображения геометрической фигуры на основе свойств параллельной проекции.

Построение изображений геометрических фигур осуществляется, как и в планиметрии, по известным четырем ступеням:

1. Анализ данных и искомых. Обоснование существования фигуры, соответствующей условиям задачи.

2. Построение изображения. При построении изображения проводятся поиски наиболее целесообразного изображения отдельных элементов оригинала с тем, чтобы получить наглядное изображение геометрической фигуры.

3. Доказательство того, что построенная фигура соответствует условиям задачи.

4. Исследование решения. Исследование задачи состоит в установлении необходимых и достаточных условий существования решения, в отыскании числа решений и различных вариантов решения задачи с соответствующими построениями.

В связи с исследованием стереометрические задачи разделяются на следующие две группы: а) задачи с численными данными, в) задачи с параметрическими данными. При решении задач первой группы ограничиваемся анализом, построением и доказательством. Задачи второй группы представляют собой интерес в связи с исследованием. Исследование параметров с соответствующими построениями изображений даёт возможность в наглядной форме наблюдать геометрические образы в их движении, изменении, взаимной связи. Интерес представляют предельные значения параметров, с которыми

связан скачкообразный переход одной геометрической формы в другую, известный в математике под названием «вырождения» геометрических образов.

В работе рассматриваются соответствующие примеры на построение изображений геометрических тел.

Применение фронтальной проекции для изображения фигур на уроках стереометрии является несколько специфическим по сравнению с изучением и применением её в курсе черчения. Для построения геометрических фигур во фронтальной проекции не всегда целесообразно изображать фигуру вместе с осями системы координат, к которой фигура отнесена. Введение осей часто загромождает чертеж излишними построениями, а сами оси остаются бесполезными для решения рассматриваемых вопросов. В работе показывается, что при применении фронтальной проекции для изображения геометрических фигур на уроках стереометрии является целесообразным:

1) введение базовых линий, т. е. линий, относительно которых ведутся построения, но сами они непосредственной роли в построениях не играют;

2) введение понятия высоты точки относительно горизонтальной плоскости;

3) совмещение основания или какого-либо сечения геометрического тела с горизонтальной плоскостью.

Для успешного использования фронтальной проекции в курсе стереометрии важным является установление правил изображения фигур, исходя из введения базовых линий и высоты. Обучение построению изображений во фронтальной проекции разделяется на две части: 1) построение изображений плоских фигур, расположенных в горизонтальной плоскости; 2) построение изображений геометрических тел.

Для наиболее успешного использования фронтальной проекции в курсе стереометрии обращается внимание на выбор расположения оригинала относительно фронтальной плоскости, с учетом условия решаемой задачи.

Важной задачей является привитие учащимся на уроках стереометрии навыков в чтении чертежей, навыков в умении по чертежу определять истинные размеры элементов, изготовить модель соответствующей геометрической фигуры. Следует отметить, что в объяснительной записке к программе по математике для средней школы совершенно отсутствует указание о необходимости прививать на уроках стереометрии навыки в чтении чертежей пространственных фигур, что следует считать большим упущением.

Основное назначение задач на чтение чертежей состоит в том, чтобы содействовать более глубокому усвоению курса стереометрии, содействовать более успешному переходу к чтению технических чертежей.

В настоящей работе намечается методика проведения занятий на чтение чертежей, с учетом тех целей, которые ставятся при решении этих задач. Приводится система упражнений на чтение чертежей в

курсе стереометрии. Предлагаются задачи, нужные для практической деятельности людей различных профессий: строителя, электромонтера, кровельщика и др.

При решении задач на чтение чертежей пространственных фигур устанавливается целесообразность практиковать следующие приемы:

1. Проводить анализ чертежа, что помогает правильно понять чертеж.

2. Выполнять построение, соответствующее решению задачи на чтение чертежа. Построение убеждает учащихся в правильности сделанных выводов.

3. Привлекать соответствующие развертки и модели, если у учащихся возникнут затруднения в чтении чертежа. Модели и развертки контролируют правильность пространственных представлений учащихся при чтении чертежа.

Первые задачи на чтение чертежей относятся к числу простейших. Их назначение состоит в том, чтобы по чертежу учащиеся научились различать взаимное расположение элементов фигуры.

Во второй главе большое внимание уделяется также стереометрическим задачам на построение на проекционном чертеже:

1. Выделены два основных метода решения стереометрических задач на построение: а) решение стереометрических задач (позиционных и метрических) воображаемыми построениями, б) решение позиционных задач на полном чертеже и решение метрических задач на метрически определенном чертеже эффективными построениями.

2. Обращено внимание на теорию полных и неполных изображений. Сделаны выводы о применимости элементов этой теории в курсе стереометрии средней школы.

3. Дана оценка методов построения сечений геометрических тел, рекомендуемых в учебно-методической литературе.

4. Выделены и рассмотрены элементы исследования при решении позиционных задач.

5. Рассмотрено решение метрических задач на метрически определенных чертежах, выполненных в произвольной параллельной проекции.

6. Дана методика решения метрических задач на чертежах, выполненных во фронтальной проекции.

Применение в курсе стереометрии аксонометрических проекций даёт возможность значительно расширить круг конструктивных метрических задач, решаемых фактическими построениями при помощи инструментов. Нами показано, что если при изображении фигур во фронтальной проекции максимально использовать плоскость, параллельную фронтальной плоскости или с ней совмещенной, то имеется возможность для решения задач стереометрии применять основные методы решения конструктивных задач планиметрии (метода геометрических мест, параллельного перенесения, симметрии, гомотетии, алгебраического метода), решаемых с помощью инструментов, в частности, при помощи циркуля и линейки. Это даёт возможность раз-

вить и закрепить знания учащихся по основным методам решения конструктивных задач планиметрии. В нашей работе рассматривается:

1. Решение задач на построение в горизонтальной плоскости. Здесь намечается методика решения основных задач на построение в горизонтальной плоскости: деление угла на две равные части, построение перпендикуляра к данной прямой и т. д.

2. Решение метрических задач стереометрии, пользуясь плоскостью, параллельной фронтальной плоскости или с ней совмещенной. На специально подобранных задачах показывается применение для решения стереометрических задач основных методов решения конструктивных задач планиметрии с помощью инструментов.

3. Решение метрических задач стереометрии, пользуясь измеримостью чертежа во фронтальной проекции.

Измеримость чертежа во фронтальной проекции имеет существенное значение для политехнизации преподавания математики. В данном разделе рассмотрены методы решения задач стереометрии на основе измеримости чертежа во фронтальной проекции. Рассматриваются задачи на определение по наглядным чертежам истинных размеров и форм элементов геометрических тел, их сечений, построение разверток.

При решении задач на вычисление в связи с проблемой чертежа все многообразие задач на вычисление в стереометрии разделяется на следующие четыре основные группы, которые располагаются в порядке нарастающей трудности их решения: 1) задачи, в условиях которых приводятся заранее выполненные чертежи, 2) задачи, в условиях которых полностью указываются построения соответствующих чертежей, 3) задачи, в условиях которых непосредственно указываются только некоторые построения, только исходные начала для построения чертежей, а часть построений следует выполнить, исходя из анализа условия задачи, 4) задачи, в которых непосредственно не указывается построение чертежей, не указываются исходные начала для построения чертежей.

В работе рассматриваются примерные задачи соответствующих групп.

В заключение данной главы мы освещаем вопрос о месте, объеме и системе теории проекций при преподавании стереометрии.

Считаем, что проекционный чертеж нужно вводить в курс стереометрии не с первых уроков, сначала нужно создать теоретические основы для проекционного чертежа, а затем его и вводить. В начале же изучения стереометрии обратить серьезное внимание на аксиомы, на доказательство основных теорем, на решение задач «воображением», иллюстрируя их моделями и рисунками и т. д. Школьная практика показывает, что решение позиционных задач на полных проекционных чертежах и решение метрических задач на метрически определенных проекционных чертежах можно наиболее успешно провести при следующих условиях:

1. Если будут рассмотрены свойства параллельных проекций на

основе соответствующих теорем стереометрии и на этой базе получат обоснование проекционные чертежи.

2. Если в курсе стереометрии будут пройдены теоретические разделы, необходимые для логического обоснования построений. При этих условиях учащиеся не механически (по заученным правилам), а с полным пониманием имеют возможность решать указанные задачи.

3. Если учащиеся приобретут некоторые навыки в изображении фигур.

* * *

В третьей главе—«Основные вопросы частной методики преподавания стереометрии с применением проекционного чертежа» даётся методика непосредственного преподавания стереометрии в IX и X классах общеобразовательной школы.

Здесь рассматриваются следующие вопросы:

1) методика изучения первых разделов стереометрии (взаимное расположение прямых, взаимное расположение прямых и плоскостей, взаимное расположение плоскостей в пространстве) в связи с построением соответствующих изображений;

2) опыт изучения свойств параллельной проекции на уроках стереометрии;

3) обучение учащихся построению изображений пространственных фигур в произвольной параллельной проекции и во фронтальной;

4) применение проекционных чертежей для изучения свойств многогранников;

5) методика решения различных задач на построение, доказательство и вычисление с применением проекционных чертежей;

6) задачи на построение изображений шара в комбинации с другими телами и методика их решения.

Рассматривая задачи на проекционном чертеже, относящиеся к взаимным расположениям прямых и плоскостей, практикуем следующее:

1. Для решения позиционных задач на проекционном чертеже пользуемся чертежами, выполненными в произвольной параллельной проекции.

2. При решении первых задач на проекционном чертеже пользуемся ортогональными (а не косоугольными) проекциями на основную плоскость.

3. Для более прочного уяснения учащимися таких важных понятий стереометрии, как угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, вводится фронтальная проекция и рассматривается ряд задач на чтение чертежей.

4. Для решения первых задач на нахождение общих элементов прямых и плоскостей используется трехгранный угол с прямыми плоскими углами. Этим достигается лучшая наглядность и упрощение построений. Кроме того, прочное усвоение учащимися основных задач на нахождение общих элементов прямых и плоскостей в первом октанте пространственной системы координат создает основу

для решения задач на проекционном чертеже в более общей постановке и подготовляет к изучению многих вопросов высшей математики и технических наук, рассматриваемых в высшей школе.

5. Первые задачи на построение сечений рассмотрены на кубе.

Отмечается целесообразность рассмотрения задач на построение на проекционном чертеже в непосредственной связи с задачами на чтение чертежей; решение задач сопровождается иллюстрацией на соответствующих моделях. В данной главе приводится система задач на построение на проекционном чертеже.

При решении задач на построение изображений геометрических фигур во фронтальной проекции применяются наглядные пособия, показывающие связь между оригиналом (моделью) и его изображением; рассматриваются различные варианты изображения геометрических тел в зависимости от расположения оригинала относительно фронтальной плоскости; показывается, что рациональный выбор положения оригинала относительно фронтальной плоскости даёт возможность с успехом строить правильные и наглядные изображения основных геометрических тел, изучаемых в курсе стереометрии средней школы, включая даже такие сравнительно сложные геометрические тела, как правильный икосаэдр и другие.

В связи с построением изображений геометрических тел по их моделям рассматриваются различные варианты независимых элементов, определяющих геометрическое тело, что очень важно для успешного усвоения курса стереометрии. Целесообразно, чтобы значения элементов, нужные для построения изображения геометрического тела, были добыты самими учащимися путём измерения на модели или развертке.

В задачах на вычисление, рассмотренных в третьей главе, применяются чертежи, выполненные в произвольной параллельной проекции, фронтальной проекции, а также применяются эпюры. Вопрос о чертеже ставится в зависимости от стадии изучения тех или иных геометрических форм, в зависимости от условия задачи и сложности построения чертежа. Чертежи, выполненные в произвольной фронтальной проекции, применяются в целях сведения решения стереометрических задач к решению задач с планиметрическими чертежами и для решения задач на вычисление построением.

Эпюры применяются для решения задач на вычисление в тех случаях, когда выполнение наглядного чертежа сложно и требует затраты большого количества времени и, кроме того, наглядное изображение не даёт возможности четко выделить те элементы фигуры, рассмотрение которых приводит к решению задачи.

Применение проекционных чертежей при изучении структуры многогранников осуществляется в следующем плане: 1. Построение изображения многогранника по его модели. 2. Построение изображения многогранника по данным элементам, определяющим многогранник (сначала осуществляется воображаемое построение многогранника, а затем строится его изображение). 3. Решение задач на чтение чертежа многогранника. 4. Решение нескольких основных позицион-

ных задач. 5. Задачи на доказательство по чертежам и задачи на вычисление.

Изучение многогранников сопровождается решением большого числа задач на построение. Основная идея сводится к тому, чтобы показать, что применение проекционного чертежа при изучении геометрических тел значительно увеличивает объем конструктивных задач, решаемых фактическими построениями с помощью соответствующих инструментов.

В этом же разделе отмечается существенная роль проекционного чертежа для графического нахождения площадей поверхностей и объемов геометрических тел, рассматриваются приёмы графического решения задач на нахождение площадей поверхностей и объемов геометрических тел с применением основных методов решения конструктивных задач планиметрии.

На основе применения в курсе стереометрии чертежей, выполненных в аксонометрических проекциях и по методу Монжа, вводятся упражнения и задачи, в которых учащийся сначала измеряет необходимые отрезки (при решении задач с соответствующей степенью точности), а затем уже производит операции над полученными числами в соответствии с условием задач. Важность таких упражнений и задач для политехнизации преподавания математики в школе очевидна, т. к. в естествознании и технике имеют дело с этим двухсторонним процессом (измерением и вычислением).

В связи с изучением геометрических тел с применением проекционных чертежей ставится вопрос о лабораторных занятиях в курсе стереометрии, указывается примерное содержание лабораторных работ:

1. Изготовление моделей геометрических тел и их простейших комбинаций по данным элементам. В задание входит: а) расчет и построение развертки данного тела, в) изготовление модели геометрического тела по развертке.

2. Изготовление моделей геометрических тел по их чертежам, выполненным в аксонометрических проекциях или по методу Монжа. В задание входит: а) построение разверток геометрических тел по их чертежам, в) изготовление выкроек по разверткам и склеивание соответствующих моделей.

3. Вычисление площадей поверхностей и объемов геометрических тел по их разверткам, моделям и чертежам. В случае вычисления площади боковой поверхности (полной поверхности) и объема тела по модели учащиеся сами должны произвести измерение доступных элементов модели, требующихся для вычисления площади ее поверхности и объема.

4. Построение по чертежу отдельных элементов геометрического тела, изготовление соответствующих выкроек из плотной бумаги.

5. Построение сечений геометрических тел. Построение истинной формы сечения и изготовление выкройки сечения и т. д.

При проведении лабораторных работ каждому ученику целесообразно давать индивидуальную карточку с условием задачи.

Нами установлено примерное содержание индивидуальных карточек:

1. По чертежу построить развертку геометрического тела. Пользуясь разверткой, изготовить выкройку и склеить модель.

2. По индивидуальной карточке на чтение чертежа вычертить отдельные элементы геометрического тела и сделать соответствующие выкройки из плотной бумаги.

3. На чертеже построить сечение геометрического тела. Найти построением истинную форму сечения. Изготовить выкройку сечения и найти его площадь и т. д.

В конце третьей главы рассматриваются задачи на построение шара в комбинации с другим телами.

Все задачи на вписанные и описанные шары рассматриваются как задачи на построение, при решении которых должен соблюдаться определенный порядок построения чертежа.

* * *

В четвертой главе настоящей работы указываются основные источники диссертации, материалы об опыте преподавания стереометрии с применением проекционного чертежа.

Описывается опыт преподавания стереометрии с применением проекционного чертежа передовых учителей.

Одним из основных источников написания диссертации является наш личный опыт работы в Загорском педагогическом училище с 1936 г. в качестве учителя геометрии, в Загорском учительском и Загорском педагогическом институтах в качестве старшего преподавателя кафедры математики, а также личный опыт работы в Загорской средней школе рабочей молодежи в 1946—50 гг., в Загорской средней школе № 5 в 1950—51 гг. в качестве учителя геометрии 9-х и 10-х классов.

Работая над диссертацией в 1953—54 г., мы сочли необходимым для уточнения некоторых вопросов, связанных с написанием диссертации, провести дополнительный эксперимент в школе № 53, ст. Александров, Владимирской области.

О своём опыте преподавания стереометрии с применением проекционного чертежа мы стремились поделиться с учителями средних школ г. Загорска, г. Александрова и г. Краснозаводска. В ноябре 1954 г. нами был сделан доклад для учителей г. Краснозаводска на тему: «Чертеж при преподавании стереометрии в средней школе». 31 марта 1955 г. на научной конференции Загорского педагогического института сделан доклад на тему: «Стереометрические задачи на проекционном чертеже в связи с политехнизацией преподавания математики в средней школе». 6 мая 1955 г. был проведен семинар с учителями г. Загорска на тему: «Проекционный чертеж в курсе стереометрии средней школы».

Соответствующие документальные материалы и подтверждения приложены к диссертации.

В конце диссертации приведен список литературы, использованной при написании диссертации.

Л 41367 Подп. к печ. 12/IX—55 г. Тираж 100 Объем 1,25 п. л. Заказ 6080 Тип. «Красная звезда», В. Масловка, 73.