АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

К. С. МУРАВИН

ПРИНЦИП ВНУТРИПРЕДМЕТНОЙ СВЯЗИ КАК СРЕДСТВО ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМЫ УПРАЖНЕНИЙ ПО АЛГЕБРЕ В ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Москва, 1967

ПРОБЛЕМА И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Бурное развитие математической науки, широкое проникновение математических методов в различные сферы человеческой деятельности настоятельно требуют серьезного пересмотра школьного курса математики. Этот пересмотр должен осуществляться в двух основных направлениях:

1) в направлении модернизации содержания школьной программы по математике;

2) в направлении повышения эффективности обучения математике, активизации познавательной деятельности учащихся, развития у них интереса к предмету и творческих способностей.

Очевидно, что добиться прогресса в этом вопросе можно будет только при условии совместных усилий ученых-математиков, дидактов, психологов и учителей-практиков.

Неудача с введением новой программы в 1959—60 гг. красноречиво говорит о том, что локальные меры в перестройке математического образования, сводящиеся главным образом к изменению номенклатуры программы при сохранении старой методики обучения (в основном определяемой старыми школьными учебниками, задачниками и пособиями для студентов и учителей) недостаточны.

Ни в одном предмете школьного курса роль упражнений не является столь заметной и определяющей усвоение этого курса, как в начальной алгебре. Обращая внимание на то, как распределяется время, отводимое учителем математики на изучение теории алгебры и на практику, можно обнаружить, что упражнениям уделяется в 4—5 раз больше времени, чем изучению теоретических положений.

Эта специфическая особенность методики обучения начальной алгебре вовсе не означает пренебрежения к теории. Дело в том, что почти каждое изучаемое понятие обладает в алгебре такой большой емкостью, что для его усвоения необходимо значительное число упражнений. Особенно это относится к правилам, где усвоением следует считать не только понимание и знание теоретической основы правила, но и умение при

решении задач по определенным признакам вычленять необходимое правило из множества изученных правил. Кроме того, весьма трудоемкой является выработка умении и навыков в применении изученного правила.

Отсюда ясно, что от эффективности системы упражнений во многом зависит усвоение алгебры. Следовательно, большую роль, определяющую качество знаний учащихся и твердость их навыков, играет задачник по алгебре, точнее — стабильный задачник, так как тираж любых других задачников и учебных пособий, как правило, может обеспечить только сравнительно небольшой процент всех учащихся.

Начиная с 1959 года, диссертант, работая методистом Московского областного института усовершенствования учителей, имел возможность систематически исследовать состояние математической подготовки учащихся городских и сельских школ. Особое внимание было уделено анализу устных и письменных ответов учащихся 8-летних школ по курсу алгебры, изучены характерные ошибки и недочеты, допускаемые большинством учащихся. В итоге этой работы возникла гипотеза, что одной из главных причин низкой алгебраической подготовки учащихся VII—VIII классов является несовершенство используемой в настоящее время системы упражнений, не обеспечивающей усвоения алгебраических понятий и сознательного применения изученных правил.

Действительно, характерное для стабильных задачников по алгебре эпизодическое и нецеленаправленное использование основных связующих идей и методов алгебры в сочетании с методикой обучения, основанной на локальном формировании отдельных (понятий без раскрытия связей и отношений каждого понятия с другими изученными понятиями, не может обеспечить ни сознательности усвоения, ни твердости знаний и навыков, ни должного математического развития учащихся. Иначе говоря, при таком построении системы упражнений не могут быть полностью реализованы основные дидактические принципы обучения.

Отсюда возникла гипотеза, состоящая в том, что, если построить систему упражнений, в которой наряду с основными принципами дидактики будет применяться принцип внутрипредметной связи, то такая система упражнений окажется значительно эффективнее, чем те, которые реализуются в настоящее время в школе.

Использование внутрипредметной связи позволит обеспечить прочность знаний, сознательность и активность их усвое-

нии учащимися. Проблема настоящей диссертации состояла в исследовании структуры и содержания системы упражнений по алгебре на основе принципа внутрипредметной связи.

В процессе исследования понадобилось рассмотреть ряд частных задач:

1) Проанализировать стабильные учебники и задачники и основные методические пособия по курсу алгебры.

2) Изучить состояние знаний учащихся по курсу алгебры 8-летней школы.

3) Выяснить причины недостаточной эффективности существующей методики обучения начальной алгебре.

4) Разработать принципы построения системы упражнений, способствующей активному овладению алгебраическими знаниями.

5) Составить на основе этих принципов задачник по курсу алгебры VI—VIII классов.

6) Разработать критерии усвоения алгебраического материала в форме системы контрольных работ по всему курсу.

7) Проверить экспериментально эффективность предложенной системы упражнений.

При исследовании были использованы следующие методы:

1) Изучение психологической, педагогической, учебной и методической литературы.

2) Изучение диссертационных исследований, связанных с проблемой настоящей диссертации.

3) Изучение опыта работы передовых учителей математики.

4) Анализ личного 25-летнего опыта работы в школе и Институте усовершенствования учителей.

5) Изучение данных, полученных в результате систематической проверки знаний учащихся Московской области, материалов сектора обучения математике НИИ-та общего и политехнического образования АПН СССР и контрольных работ, проводившихся Министерством просвещения РСФСР при непосредственном участии диссертанта.

6) Проведение поискового эксперимента и разработка соответствующих учебных материалов и текстов контрольных работ.

7) Экспериментальная проверка разработанных в процессе исследования материалов и рекомендаций.

8) Обсуждение отдельных результатов исследования на научных семинарах, совещаниях и конференциях учителей.

9) Изучение реультатов опытной проверки применения, написанных на основе исследования задачника и системы контрольных и самостоятельных работ в школах СССР.

Диссертация состоит из пяти глав и двух приложений: приложение № 1 «Сборник задач по алгебре для VI—VIII классов», написанный в соавторстве с Е. Г. Крейдлиным; приложение № 2 «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре в восьмилетней школе».

В главе I дается анализ стабильных задачников по алгебре, применявшихся в советской школе.

При анализе задачников обращается внимание в первую очередь на структуру и содержание системы упражнений: в какой мере обеспечивается формирование основных алгебраических понятий, системность и дифференцированность упражнений по степени трудности, наличие внутрипредметных связей, развитие познавательной активности и интереса к предмету. Кроме двух основных стабильных задачников Н. А. Шапошникова, Н. К. Вальцова и задачника П. А. Ларичева, применявшихся в нашей школе с начала 30-х годов до настоящего времени, анализируется задачник достабильного периода Д. А. Бема, А. А. Волкова и Р. Э. Струве и, недавно введенный в качестве стабильного, учебник-задачник по алгебре и элементарным функциям Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой.

Первая из этих книг — «Сборник упражнений и задач по алгебре» Д. А. Бема, А. А. Волкова и Р. Э. Струве, написанная с передовых для своего времени позиций, сыграла большую роль в формировании новых методических взглядов, что не могло не повлиять на ряд последующих работ по начальной алгебре и в том числе на «Сборник задач по алгебре» П. Л. Ларичева.

При рассмотрении нового учебника-задачника Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой делается попытка проследить, в какой мере авторам удалось использовать и развить методические идеи, накопленные советской школой, что нового внесли они в педагогическую науку.

На основании анализа указанных четырех книг констатируется, что в смысле обогащения тематики и идейного содержания упражнений за истекший период имел место определенный прогресс, в первую очередь обусловленный все более широким проникновением в школьный курс алгебры функционального начала: идеи функциональной зависимости и ее графической интерпретации. Однако, с точки зрения дидак-

тической, т. е. обеспечения целей обучения, понимая под этим комплекс: усвоение материала, развитие мышления, воспитание диалектико-материалистического мировоззрения, отмечается, что рассмотренные книги недостаточно решают эти задач и.

Ни одна из четырех книг не может обеспечить понимание учеником структуры и методов предмета из-за отсутствия взаимосвязи между материалом отдельных тем.

Так, например, с простейшими графиками ученик знакомится в начале курса алгебры, а затем, изучая тождественные преобразования и уравнения, в течение длительного времени не встречает ни одного графического упражнения. Совершенно не развивается также в последующем курсе алгебры понятие о степени с натуральным показателем; кроме того в большей части курса начальной алгебры по-прежнему отсутствует функциональный подход в трактовке тождественных преобразований и уравнений.

Построение параграфов задачника на основе локального формирования отдельных понятий, варьирование в системе упражнений одних лишь несущественных признаков с целью добиться усвоения какого-либо одного определенного правила не может не привести к ряду отрицательных эффектов:

а) не обеспечивается сознательность и активность в работе учащихся, так как упражнения направлены на формирование навыков и развивают в основном репродуктивное мышление;

б) нарушается систематичность и последовательность изложения: у школьника создается представление о курсе алгебры как о наборе не связанных между собой логически понятий и правил;

в) не создается условий для широкой дифференциации упражнений по степени трудности;

г) не обеспечивается прочность знаний, так как введенные понятия в последующем курсе не вступают между собой в связи и отношения, не происходит обобщения и систематизации, а тем самым не решается и проблема повторения.

Особенно серьезные недочеты имеет введенный в практику школы стабильный учебник-задачник Е. С. Кочеткова и Е. С. Кочетковой, в котором указанные недостатки не только усугублены, но о котором можно сказать, что в отличие от предшествующих книг он даже не создает условий для формирования необходимых навыков.

В диссертации приведено большое число примеров, иллюстрирующих недостатки в системе упражнений каждой из рассмотренных четырех книг. На основании проведенного анализа делается вывод, что недостаточное внимание к внутрипредметным связям не могло позволить даже при самом добросовестном отношении к поставленной задаче решить проблему построения эффективной системы упражнений по курсу элементарной алгебры.

Глава II посвящена анализу алгебраических знаний учащихся VI—VIII классов.

Систематическая и целенаправленная работа по изучению алгебраических знаний учащихся, проводимая диссертантом, начиная с 1959 года, позволила накопить большой материал, характеризующий подготовку учащихся городских и сельских школ Московской области.

В последние годы такая работа проводилась диссертантом совместно с программно-методическим управлением Министерства просвещения РСФСР и состояла, главным образом, в обработке информации о знаниях учащихся на основе контрольных и экзаменационных работ, проводимых ежегодно, в областях, краях и автономных республиках.

В начале исследования знаний учащихся по курсу алгебры 8-летней школы диссертант старался установить, как усвоены отдельные темы и вопросы программы, в какой мере обнаруженные пробелы в знаниях зависят от несовершенства системы упражнений используемого в школе стабильного задачника.

Полученные результаты позволили вскрыть некоторые общие закономерности, определяющие усвоение курса учащимися, не зависящие от номенклатуры изученного материала.

Эти закономерности, связанные с психологическими аспектами, определили характер и направление следующего этапа исследования. Была сделана попытка установить, как выполняются учащимися упражнения:

а) требующие применения только данного, указанного, известного учащимся, алгоритма;

б) требующие выбора необходимого алгоритма из множества изученных алгоритмов;

в) требующие самостоятельного составления алгоритма или предписания алгоритмического типа.

Как показало исследование знании учащихся, задания типа «а» не вызывают затруднений у подавляющего большинства учащихся; задания типа «б» выполняются хуже, особенно

в тех случаях, когда ученик поставлен перед выбором алгоритма из данного множества алгоритмов в ситуации, где распознавание признаков затруднено из-за сходства рассматриваемых объектов; наконец задания типа «в», при выполнении которых необходим элемент творческого мышления на основе обобщенных знаний, выполняются неудовлетворительно значительным большинством учащихся.

В диссертации приводятся данные, полученные при проведении контрольных работ и устном опросе учащихся VI—VIII классов ряда школ Московской области.

В итоге анализа всей совокупности накопленного в процессе исследования алгебраической подготовки учащихся материала делаются выводы:

1. Знания учащихся в основном сводятся к умению применять алгоритмы решения алгебраических задач, заданные в некоторой стандартной ситуации, не требующей вычленения существенных признаков рассматриваемых объектов, анализа и обобщения фактов, самостоятельного составления алгоритмов и алгоритмических предписаний.

2. Причины неудовлетворительных знаний в первую очередь объясняются несовершенством системы упражнений, в которой акцентируется внимание на обучении применению готовых алгоритмов при недостаточном внимании к проблеме развития мышления учеников.

3. Изолированное изучение отдельных тем курса, при котором не устанавливаются связи и отношения между различными понятиями, не создается проблемных ситуаций, стимулирующих активные умственные действия ученика, приводит к снижению темпа развития мышления ученика, потере им интереса к изучаемому предмету.

В главе III рассматривается психолого-дидактические основы построения системы упражнений по алгебре.

На основании данных, полученных ассоциативной психологией, в диссертации рассматриваются два основных аспекта, связанных с формированием знаний:

1) закономерности формирования системы знаний;

2) закономерности, определяющие применение приобретенных знаний и их коррекцию на основании опыта.

В первом случае исследуется роль системы упражнений в процессе формирования знаний, начиная от простейших знаний, определяемых локальными ассоциациями, и кончая сложными системами знаний, образующимися в результате расширения ассоциативного фонда и упорядочения сформиро-

ванных рядов и ассоциативных систем в пределах данного учебного предмета, во втором — использование системы упражнений как средства, способствующего развитию динамичности умственной деятельности, творческого мышления и интуиции.

За простейший элемент знания диссертант, следуя теории умственной деятельности, разработанной Ю. А. Самариным*, принял локальную ассоциацию. Локальная ассоциация представляет собой относительно изолированную связь, еще не вошедшую в систему, хотя бы простейших знаний о том, или ином явлении, или уже выпавшую из той или иной системы знаний в силу процесса забывания содержания данного знания.

В диссертации приводятся примеры образования локальных ассоциаций в курсе алгебры; парабола — кривая определенной формы, коэффициент—числовой множитель и т. д.

Указывается, что, если с помощью системы упражнений не включить эти ассоциации в определенные системы ассоциаций, то у школьника могут возникнуть неправильные представления.

Так, например, в исследовании диссертантом было обнаружено, что для многих учащихся старших классов всякая незамкнутая кривая, имеющая ось симметрии, ассоциировалась с параболой.

Множества неупорядоченных ассоциаций, называемые ассоциативными рядами, являясь необходимым начальным этапом знания, не могут обеспечить сознательной умственной деятельности: их использование носит случайный и нецеленаправленный характер. Отсюда следует, что система упражнений по первоначальному формированию знаний должна быть направлена. 1) на расширение и подкрепление правильных ассоциаций; 2) на торможение и угашение неправильных ассоциаций; 3) на установление между правильными ассоциациями необходимых субординационных отношений и включении их в системы связей.

В диссертации рассматриваются закономерности перехода от произвольных ассоциативных рядов к частным системам ассоциаций и от них к ассоциациям внутрипредметным.

При этом отмечается большая роль, которую играет сравнение как дидактический прием, в особенности сравнение обьектов в форме противопоставления. Большое значение при-

* «Очерки психологии ума». Изд-во АПН РСФСР, М., 1962.

дается правильному соотношению между индуктивными и дедуктивными методами.

Диссертант указывает на то, что роль индукции при формировании знаний школьников 11 — 14 лет до последнего времени незаслуженно недооценивалась, что, не считаясь с возрастными возможностями детей среднего школьного возраста, при обучении математике им старались привить дедукцию в качестве единственного навыка умственной деятельности.

На основании проведенного анализа психологических закономерностей формирования знаний делается вывод о том, что к системе упражнений должны быть предъявлены требования:

1) охватить все основные существенные признаки и свойства рассматриваемых понятий и правил в их связях и отношениях;

2) обеспечить достаточное подкрепление правильных ассоциаций не только путем многократного повторения одинаковых ситуаций, но и путем включения сформированных понятий в новые связи и отношения.

Выполнение этих требований позволит добиться глубоких и прочных знаний на основе непрерывного повторения учебного материала, сочетающегося с его одновременным обобщением и систематизацией.

Для решения задачи развития инициативы, творческого подхода, активности и сознательности всех учащихся недостаточно только сообщить знания и привести их в систему. Нужно научить учащихся оперировать полученными знаниями, выработать у них внутренние стимулы к учению — активизировать их познавательную деятельность, другими словами — нужно формировать динамичность мышления учащихся.

В диссертации рассматриваются две основные линии развития динамичности умственной деятельности: а) образование стереотипов ассоциативных систем; б) развитие подвижности нервных процессов.

В соответствии с этими линиями при построении системы упражнений следует:

1) уделить серьезное внимание упражнениям со значительной вариативностью методов решения, с неявно выраженными алгоритмами, т. е. упражнениями, при выполнении которых нужны творческий поиск и интуиция;

2) обеспечить такую вариативность упражнений по степени трудности, которая позволит учителю, индивидуализируя

работу на уроке и дома, дать достаточную нагрузку каждому ученику;

3) не ограничивать систему упражнений каждого параграфа задачника материалом, активизирующим ассоциации только по данному фрагменту курса; максимально развивать способность к быстрому установлению связей между самыми отдаленными системами ассоциаций и быстрому диссоциированию связей, оказавшихся непригодными при решении задачи;

4) развивать интерес учащихся к предмету, оказывать благотворное влияние на их эмоциональное состояние путем такой постановки задач, при которой каждая задача превращается в субъективную задачу школьника.

В главе IV разрабатывается схема построения системы упражнений на основе принципа внутрипредметной связи.

При исследовании возможности усовершенствования системы упражнений по алгебре имеются в виду два основных аспекта: структурный и содержательный. В первом случае диссертант отвечает на вопрос, как следует построить систему упражнений, обеспечивающую эффективное формирование прочных и одновременно подвижных систем ассоциаций; во втором — на каком математическом содержании должны быть раскрыты внутрипредметные связи, какие основные математические понятия следует непрерывно подкреплять, развивать и обобщать с помощью системы упражнений.

1. В связи с исследованием структуры системы упражнений обращается главное внимание на типы алгоритмических заданий, а не на конкретные алгоритмы, соответствующие номенклатуре программы.

В этом смысле все упражнения алгоритмического типа целесообразно разделить на три группы:

а) упражнения на применение данного указанного алгоритма;

б) упражнения на распознавание (и последующее применение) данного алгоритма;

в) упражнения на составление алгоритмов.

Упражнениям типа «б» и «в», развивающим способности к абстрагированию и обобщению, анализу и синтезу, схематизации и конкретизации, в диссертации придается большое значение, так как они являются необходимым условием для формирования математической культуры и динамичности умственной деятельности.

Упражнения типа «а», являясь необходимым начальным

этапом работы по формированию знаний, сами по себе без использования упражнений типа «б» и «в» не могут обеспечить сознательного усвоения материала, а формируют в основном механические навыки и относительно локальные ассоциации.

В диссертации исследуется возможность построить систему упражнений, основанную на трех этапах формирования знаний. Эти три этапа в терминах ассоциативной психологии могут быть сформулированы следующим образом:

1) формирование ассоциативных рядов, отражающих содержание данного понятия или правила;

2) включение ассоциативных рядов в частные системы ассоциаций;

3) образование внутрипредметных ассоциаций. Каждому из этих этапов соответствуют определенные типы алгоритмических заданий.

На первом этапе должны выполняться упражнения типа «а», т. е. упражнения на применение данного алгоритма. При этом разнообразие упражнений обеспечивается широким варьированием несущественных признаков, рассматриваемых объектов.

В систему упражнений первого этапа могут быть включены упражнения, требующие двукратного или многократного применения изучаемого правила, а также упражнения, содержащие иные операции, если они являются на данном уровне развития ученика элементарными.

В итоге выполнения упражнений первого этапа в сознании учащихся возникает ряд ассоциаций, замкнутых в пределах одного теоретического вопроса. Очевидно, что при этом еще нельзя говорить об усвоении правила, так как приобретенные знания не включены в систему знаний.

На втором этапе задача обучения состоит в том, чтобы учащийся путем сравнения понятий, входящих в частную систему знаний, установил между ними связи и отношения. В диссертации разработаны два основных типа упражнений:

1) обратные задачи; 2) комбинированные упражнения.

Идея применения обратных задач и одновременного изучения обратных операций в последние годы приобретает среди методистов большое число сторонников. Особенно много сделано в этом вопросе П. М. Эрдниевым. В отличие от П. М. Эрдниева диссертант считает, что формирование двусторонних связей при решении задач, требующих применения прямых и обратных операций, следует практиковать в курсе

алгебры без формализации обратных действий. Так, например, выполнение в VI классе обратных упражнений на правило возведения в степень одночлена типа: найти х, если а) X3 = a15 или б) (a3)х = a21, может быть осуществлено без введения определения корня n-ой степени или определения логарифма числа.

В диссертации приводятся примеры обратных задач из различных разделов курса алгебры. Выполнение обратных задач связано как с распознаванием необходимых алгоритмов, так и с видоизменением известного учащемуся алгоритма, применительно к данной конкретной задаче. Иногда выполнение обратных задач требует самостоятельного составления нового алгоритма; например, упражнение: найти такой одночлен N, чтобы выражение 36а8 — 84a5B3 + N было квадратом двучлена, требует построения алгоритма, отличного от алгоритма преобразования a2 + 2ав+в2= (а + в)2.

Развитие метода обратных задач позволяет в VII и VIII классах включить в систему упражнений задачи, при решении которых необходимо использовать метод неопределенных коэффициентов, например:

«Существуют ли такие значения айв, чтобы при умножении трехлена ах2+вх—4 на x2—х—2 в произведении получился многочлен, не содержащий ни x2 ни x1?».

Дальнейшее развитие метода обратных задач естественно приводит к заданиям, связанным с самостоятельным составлением учащимися различных упражнений.

Наиболее простые упражнения этого вида: «Составить задачу на движение по течению реки и обратно, решение которой приводит к уравнению

Другой тип упражнений, относящийся ко второму этапу формирования знаний,—комбинированные упражнения, в которых от учащегося требуется одновременное применение двух или нескольких правил изучаемой темы. К комбинированным задачам относятся также такие упражнения, в которые входят как элементы обратные задачи.

Идея построения комбинированных задач основывается на следующих соображениях: во-первых, необходимо включить сформированные знания в новые связи и отношения, во-вторых, добиться лучшего понимания и усвоения каждого поня-

тия путем противопоставления их в одном и том же упражнении, в-третьих, активизировать умственную деятельность ученика, которому придется самостоятельно устанавливать, какое из знакомых ему правил и в каком порядке следует применить в данном упражнении, другими словами, он должен будет самостоятельно распознавать и строить алгоритмы решения задач.

Диссертант предлагает такое построение каждого параграфа, при котором после серии упражнений на данное правило, соответствующих первому этапу работы по формированию знаний, были включены обратные и комбинированные задачи, с помощью которых устанавливались бы связи с предыдущим материалом той же темы.

В диссертации делаются выводы, что упражнения II этапа, с помощью которых удается установить связи и отношения между понятиями и те зависимости, (которые объединяют их в единую систему позволяют сочетать обучение определенным навыкам с развитием мышления учащихся и добиваться широкой дифференциации заданий по степени трудности, что создает условия для индивидуализации обучения.

Таким образом, упражнения II этапа являются необходимой частью общей системы упражнений по формированию алгебраических знаний.

Упорядочение ассоциативных рядов и включение их в частные системы ассоциаций, происходящее одновременно с формированием навыков умственной деятельности, позволяет перейти к следующему важному этапу, связанному с формированием межтематических или внутрипредметных связей. При рассмотрении внутрипредметных связей в диссертации обращается внимание также на связи алгебры с арифметикой и метрической геометрией.

Одна из главных целей, которая преследуется на третьем этапе — подкреплять на протяжении всего курса ранее приобретенные знания, добиваться их обобщения и дальнейшей систематизации.

Упражнения, выполняемые на третьем этапе, не связаны с номенклатурой какого-либо раздела программы, а располагаются распределенно по всему курсу, способствуя логическому развертыванию системы упражнений.

Широкое применение в последующем курсе могут найти степени с натуральными показателями, метод координат, преобразование многочленов в произведение и т. д.

В диссертации приводятся примеры упражнений, выполняемых на III этапе. Так, например, связи с курсом арифметико осуществляются по трем линиям: а) рационализация вычислений; б) углубление и обобщение теоретических положений арифметики; в) приближенные вычисления.

Связи с курсом геометрии реализуются с помощью задач на составление уравнений, охватывающих такие вопросы, как теорема Пифагора, площади фигур, подобие треугольников.

Другая важная линия, намеченная в диссертации,—линия аналитической геометрии. Такие задачи, как определение координат четвертой вершины параллелограмма и его площади по координатам трех его вершин, или определение углового коэффициента прямой у —кх, проходящей через точку пересечения прямых 2х+у=1 и X—2у=13, не только способствуют лучшему пониманию материала, изучаемого в курсах алгебры и геометрии 8-летней школы, но и подготавливают благоприятную почву для понимания курсов математики старших классов школы и вуза.

Особое место среди упражнений третьего этапа занимают задачи, в которых ученик выступает частично или полностью в роли составителя. В данном исследовании разработан один из видов таких задач, сочетающих работу по чтению графиков с самостоятельным составлением условия задачи.

Диссертант считает, что упражнения, выполняемые на III этапе, охватывая различные разделы курса, позволяют:

1) формировать внутрипредметные связи путем включения частных систем ассоциаций в новые, более широкие связи и отношения;

2) сочетать изучение нового материала с непрерывным повторением ранее пройденного курса;

3) пересмотреть ранее пройденные понятия в связи с их обобщением и углублением;

4) развивать динамичность мышления ученика в связи с широкой вариативностью упражнений, необходимостью образовывать новые ассоциации, активно оперировать полученными знаниями;

5) индивидуализировать работу в классе;

6) переходить к формированию межпредметных связей.

II. Разработка структуры системы упражнений проводилась в тесной связи с содержательной стороной курса алгебры.

Центральной связующей идеей курса алгебры является идея функциональной зависимости.

В данном исследовании было обращено внимание на рассмотрение возможностей использовать функциональную направленность упражнений на тождественные преобразования, уравнения и графики, как средства, раскрывающего внутрипредметные связи.

До настоящего времени упражнения на тождественные преобразования и уравнения, как и в дореволюционной школе, были подчинены формально-оперативным целям, поэтому в диссертации делается акцент на раскрытие функциональных свойств алгебраических выражений, на подготовке введения понятия функции и ее графика, на графическом методе решения уравнений и систем.

При подготовке введения понятия о функциональной зависимости уделяется внимание; а) табличным способам установления соответствия между двумя переменными, выработке умений на элементарных графиках определять: интервалы знакопостоянства, интервалы монотонности, характер процесса (равномерность; ускоренность; замедленность) и т. д.).

Преобразование многочленов и алгебраических дробей диссертант предлагает в ряде случаев подчинить выяснению характера зависимости между двумя переменными, например:

а) доказать, что х и у находятся в линейной зависимости, если

В диссертации говорится о необходимости дальнейшей разработки систем упражнений, формирующих функциональные понятия.

V глава диссертации посвящена описанию экспериментальной проверки основных идей диссертации и их внедрения в практику школы.

Принципиальная схема построения системы упражнений с использованием внутрипредметных связей начала складываться у диссертанта уже к концу 1960 года. В этот период была начата работа над задачником по алгебре, к которой в дальнейшем присоединился заслуженный учитель школы РСФСР Е. Г. Крейдлин. В процессе работы над задачником, диссертант поддерживал непрерывный контакт с учителями Московской области, которые, проверяя отдельные фрагмен-

ты задачника в практике школы, давали ценную информацию о доступности системы упражнений, равномерности в нарастании трудности и о необходимости вносить соответствующие коррективы.

Устранение выявленных (недостатков, дополнение и переработка отдельных глав и параграфов позволили к концу 1963 г. усовершенствовать задачник, полнее выразить основной замысел диссертационного исследования. Задачник вышел из печати в 1964 году. Следующим этапом исследования была выработка критериев, которые позволили бы судить об активном усвоении материала учащимися, обучаемыми с помощью разработанной диссертантом системы упражнений.

При подготовке рукописи сборника контрольных и самостоятельных работ к изданию диссертант опирался на данные, полученные в результате проверки текстов контрольных работ в школах Москвы (№ 315 и № 710); г. Ростова-на-Дону, г. Ивантеевки (шк. № 2) и ряда других школ.

Эта проверка должна была ответить на один из главных вопросов данного исследования: позволяет ли предложенная диссертантом система упражнений добиться активного овладения учащимися алгебраическими знаниями, смогут ли учащиеся выполнять упражнения, требующие распознавания и самостоятельного построения определенных алгоритмов.

Проверка показала значительный прогресс в знаниях учащихся, работавших по системе упражнений, разработанной диссертантом, в сравнении со знаниями учащихся, работавших по стабильному задачнику. Так, например, заметно лучше стали выполняться упражнения, связанные с преобразованием степени с натуральным показателем, усовершенствовались навыки тождественных преобразований, повысилась математическая культура учащихся.

Однако, последовательная проверка всех 57 контрольных работ в практике школы показала, что в некоторых из них завышен уровень требований, а некоторые тексты вызвали затруднения, так как не были достаточно подготовлены системой упражнений «Сборника задач по алгебре». Это потребовало, с одной стороны, доработки «Сборника задач по алгебре» для второго издания, с другой стороны, понадобилась серьезная работа по дополнению и переработке систем контрольных работ. После внесения соответствующих корректив книга «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре» была издана в конце 1965 года.

В это время началась подготовка к переходу на новые программы, в которых курс алгебры предполагалось ввести в IV—V классе.

В диссертации приведены некоторые итоги продолжавшегося два года исследования диссертанта, связанного с выяснением познавательных возможностей учащихся V классов при изучении таких разделов курса, как «Рациональные числа», «Формулы» и «Координаты». Учебные материалы, написанные диссертантом для экспериментальных V классов, построены на принципе внутрипредметной связи.

В результате исследования установлено, что возрастные особености учащихся V класса не создают каких-либо дополнительных затруднений при изучении курса алгебры по сравнению с учащимися VI класса.

Диссертант считает, что реализация принципа внутрипредметной связи в условиях более раннего изучения курса начальной алгебры окажется не только вполне возможной, но и более просто осуществимой, так как изучение арифметики и алгебры в едином курсе сделает связи между ними значительно более естественными и органичными.

В последнем параграфе диссертации приводятся сведения о широкой практической проверке «Сборника задач по алгебре для VI—VIII классов» К. С. Муравина и Е. Г. Крейдлина и «Самостоятельных и контрольных работ по алгебре для восьмилетней школы» К. С. Муравина.

На основании наблюдения уроков, итогов контрольных работ, обсуждении книг на различных семинарах и конференциях, полученных писем и отзывов с мест, диссертант делает вывод о том, что идеи исследования встретили одобрение учителей математики и получили широкое распространение в школах СССР.

ОБЩИЕ ВЫВОДЫ

Проведенное по теме диссертации исследование, итоги экспериментальной работы и результаты массовой проверки, «Сборника задач по алгебре для VI—VIII классов» и «Самостоятельных и контрольных работ для восьмилетней школы» позволяют сделать следующие выводы:

1. Построение системы упражнений с применением принципа внутрипредметной связи позволяет добиться хорошего понимания идей и методов алгебры, обеспечивает сознательность усвоения теоретического материала и применения его при решении задач.

2. Разработанная система обеспечивает прочность знании в связи с непрерывным развитием и обобщением изучаемых в курсе начальной алгебры понятий.

3. Использование внутрипредметных связей создает условия для активизации познавательной деятельности учащихся, развития интереса к предмету и творческих способностей

4. Разработанная в данной диссертации структура и содержание системы упражнений позволяет добиться преодоления догматизма и формализма в знаниях, развить самостоятельность мышления, необходимую каждому человеку, активно и творчески участвующему в строительстве коммунистического общества.

5. Система упражнений, построенная на принципе внутрипредметной связи, позволяет осуществить широкую дифференциацию упражнений по степени трудности, добиться индивидуализации обучения на уроке.

6. Последовательное использование разработанных в диссертации идей создает благоприятные условия для формирования межпредметных связей, и в первую очередь для активного овладения курсами физики, химии и географии.

7. Развитие идеи функциональной зависимости и начал аналитической геометрии, осуществляемое в разработанной диссертантом системе упражнений, создает условия не только для успешного продолжения образования в старших классах средней школы, но и для хорошего понимания идей и методов курса математики, изучаемого в высшей школе.

8. Разработанные в диссертации принципы построения системы упражнений приобретут особую актуальность в связи с предстоящим переходом к новой программе и начинающейся работе по созданию новых учебников, задачников и учебных пособий по математике.

*

* *

Помимо двух приложений к диссертации:

1. «Сборника задач по алгебре для VI—VIII классов» К. С. Муравина; Е. Г. Крейдлина. Изд-во «Просвещение», 1964 г. (15 п. л.).

2. Самостоятельных и контрольных работ по алгебре для восьмилетней школы К. С. Муравина. Изд-во «Просвещение», 1965 г. (10 п. л.), диссертантом написаны и опубликованы следующие труды:

1. «Учебные материалы для V класса», ч. II и III. Изд-во «Просвещение», 1965 г. (3,5 п. л.).

2. «Тетрадь по математике» для V класса (метод координат). Изд-во «Просвещение», 1965 г. (2,5 ,п. л.).

3. «Учебные материалы для V класса» (дополненное и переработанное издание). Изд-во «Знание» 1967 г. (3,5 п. л.).

4. «Некоторые принципы построения системы упражнений по алгебре» — статья в журнале «Математика в школе» № 5, 1966 г.

5. «Контрольные работы для VII класса» — статья в журнале «Математика в школе», № 2, 1965 г.

Л-89919 от 4/V-67 г. Объем 1,5 п. л. Зак. 3331 Тир. 200

Типография «На боевом посту». Павловская, 8.