МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

Л. З. МУДРАЯ

ЭЛЕМЕНТЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В КУРСЕ ГЕОМЕТРИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Научный руководитель — кандидат педагогических наук Е. С. БЕРЕЗАНСКАЯ

МОСКВА — 1963

Защита диссертации состоится в МГПИ имени В. И. Ленина

в ноябре 1963 г.

Автореферат разослан

в октябре 1963 г.

Перед советской школой нашего времени стоят исключительной важности задачи: она призвана растить людей, способных творческим трудом на благо общества внести достойный вклад в строительство коммунизма, людей, которым предстоит жить при коммунизме.

В принятой XXII съездом КПСС Программе Коммунистической партии Советского Союза подчеркивается, что переход к коммунизму предполагает воспитание и подготовку коммунистически сознательных и высокообразованных людей, способных как к физическому, так и умственному труду, к активной деятельности в различных областях общественной и государственной жизни, в области науки и культуры.

Естественно, что в этих условиях повышаются требования к математической подготовке учащихся средней школы. В наш век бурного развития техники, в век проникновения математики буквально во все отрасли человеческих знаний приобретает особую важность проблема связи преподавания математики с жизнью, сближения школьного курса математики с современной математикой.

Важным направлением совершенствования школьного курса математики является введение элементов дифференциального и интегрального исчислений, то есть знакомство учеников с теми математическими методами, без которых немыслимо построение сколько-нибудь серьезных курсов механики, физики, астрономии и решение большого числа прикладных задач.

Первый шаг в этом направлении сделан: в соответствии с новой программой по математике в школьный курс алгебры вводится тема «Производная и ее применение к исследованию функций». Целесообразно сделать и следущий шаг: включить в программу понятие интеграла. Это, прежде всего, придаст известную завершенность изучаемым в школе разделам математического анализа. Кроме того, интегральное исчисление весьма богато

приложениями, знакомство с которыми покажет учащимся практическую значимость изучаемого курса. И, наконец, это позволяет более рационально построить курс геометрии в старших классах.

Цель настоящей диссертации состоит в том, чтобы разработать наиболее целесообразные варианты изложения элементов интегрального исчисления в школе и показать, какое влияние окажет введение понятия интеграла на построение некоторых разделов школьного курса математики.

Разрабатывая каждый из вариантов, мы стремимся найти такие приемы введения основных понятий интегрального исчисления, которые позволяли бы в краткой и доступной для учащихся форме познакомить их с сущностью идей интегрального исчисления, с практически важными методами решения разнообразных задач.

Большое внимание уделяется в диссертации курсу геометрии. Это объясняется несколькими причинами. Во-первых, геометрия дает благодарный материал для демонстрации приложений интеграла. Во-вторых, применение интеграла создает возможность улучшить изложение некоторых разделов геометрии, притом не только тех, где непосредственно возможно применение интеграла, но и связанных с ними разделов. Речь идет о вычислении объемов и вычислении площадей поверхностей тел. В настоящее время в школьном курсе геометрии нет единства в подходе к решению этих задач для различных тел. Соответствующие разделы геометрии излагаются в школе весьма громоздко. В связи с вычислением объемов и площадей поверхностей доказывается ряд вспомогательных теорем, которые нигде, кроме данного раздела, не используются. Применение интеграла позволяет в значительной степени устранить эти недостатки.

Диссертация состоит из следующих частей:

Введение.

Глава I. Элементы интегрального исчисления в русских и зарубежных учебных пособиях по математическому анализу для средних учебных заведений.

Глава II. Понятие интеграла и применение его при вычислении объемов геометрических тел (изложение без использования понятия производной).

Глава III. Изложение элементов интегрального исчисления на основе понятия производной. Применение понятия интеграла при вычислении площадей плоских фигур и объемов геометрических тел.

Глава IV. Вычисление площади поверхности круглых тел.

Заключение. Возможное построение программы по математике X и XI классов средней общеобразовательной трудовой политехнической школы с производственным обучением с учетом введения понятия интеграла.

Приложение I. Исторические сведения в процессе изучения с учащимися элементов интегрального исчисления.

Приложение II. Задачи на применение производной и интеграла.

Остановимся кратко на содержании этих частей.

1) Во введении обосновывается выбор темы диссертационной работы, последовательность изложения и содержание отдельных разделов этой темы.

2) Первая глава содержит обзор литературы по вопросу об элементах интегрального исчисления в школе. Для обзора выбраны те отечественные и зарубежные учебники и учебные пособия, в которых дано более или менее элементарное изложение основ дифференциального и интегрального исчисления.

В I разделе дается обзор русских учебников по анализу бесконечно малых для реальных училищ, советских учебников высшей математики для техникумов, пособий по высшей математике для самообразования, научно-популярной литературы.

II раздел посвящен обзору зарубежных учебников (немецких, английских, румынских, болгарских, чешских). При этом, рассматриваются не только те учебники, в которых изложены элементы интегрального исчисления, но и те, в которых представлены интересующие нас в связи с темой диссертации разделы о вычислении объемов тел и площадей поверхностей тел.

3) В главах II и III рассматриваются различные варианты изложения элементов интегрального исчисления в школе.

Различные способы изложения одних и тех же вопросов даются в диссертации не случайно. Мы учитывали, что советская общеобразовательная средняя школа в настоящее время находится в процессе перестройки, продолжается работа над совершенствованием имеющихся и разработкой новых программ для средних школ, над созданием учебников для этих школ. Необходимо думать и о программах ближайшего будущего, и о перспективных программах. В зависимости от обстановки может быть принят тот или иной вариант изложения элементов интегрального исчисления, а для того, чтобы этот выбор сделать обоснованно, нужно с одинаковой детальностью разработать каждый из вариантов. Попытки этого и сделаны в диссертации.

II глава посвящается изложению элементов интегрального исчисления без использования понятия производной. Эта глава содержит программу, осуществление которой возможно в ближайшее же время в рамках курса геометрии без серьезной ломки программы средней школы. При этом для сообщения необходимых сведений из курса интегрального исчисления требуется сравнительно немного времени; его можно получить, исключив из курса геометрии ряд теорем, которые становятся лишними при новом способе изложения.

Первоначальные сведения по интегральному исчислению предлагается давать в курсе геометрии, а именно, в том месте курса, где сразу можно показать применение интеграла (применение его к вычислению объемов тел). Этим определяется объем сведений, с которыми имеет смысл знакомить учащихся в первую очередь: а) определенный интеграл; б) некоторые свойства интеграла (вынесение постоянного множителя за знак интеграла и интегрирование суммы функций); в) формулы интегрирования

г) формула для вычисления объема тела с заданными поперечными сечениями:

где s (х) — площадь сечения, перпендикулярного оси х.

Здесь интеграл определяется как предел интегральной суммы, а все три формулы интегрирования получаются на основании определения интеграла и его геометрической интерпретации как площади криволинейной трапеции. При выводе формулы для вычисления объема тела с заданными поперечными сечениями (то есть тела, у которого площадь сечения, перпендикулярного оси X, является известной функцией х) также используется определение интеграла как предела интегральной суммы.

Этого минимума сведений оказывается вполне достаточно для вычисления объемов всех тел, которые изучаются в школе в настоящее время (наклонная призма, пирамида, конус, шар, части шара).

Если знакомить учащихся только с этим кругом вопросов, то изложение будет достаточно кратким, наглядным, а вводимые понятия интегрального исчисления станут органической частью курса геометрии.

То обстоятельство, что изложение не основывается на понятии производной, создает известные удобства. Появляется возможность ввести понятие интеграла в курсе геометрии именно тогда, когда это понятие становится необходимым для вычисления объемов тел, независимо от того, будет ли к этому времени введено понятие производной в курсе алгебры и элементарных функций. Это тем более важно, что при том построении курса математики, которое предусмотрено новой программой, к вычислению объемов учащиеся приступают раньше, чем познакомятся с понятием производной.

Вместе с тем такое введение понятий интегрального исчисления создает возможность расширить область применения интеграла с геометрических задач на задачи другого рода, а в даль-

нейшем, после изучения темы «Производная», установить связь между основными задачами дифференциального и интегрального исчислений и тем самым еще более расширить круг применений интеграла.

Во II главе даются методические выводы, основанные на опыте изучения с учащимися элементов интегрального исчисления по приведенному выше плану. Здесь анализируются трудности, с которыми учащиеся встретились при изучении темы, намечаются пути преодоления этих трудностей, приводятся вопросы, возникающие у учащихся, указываются методические приемы, которые были использованы в работе с учащимися, чтобы научить их правильно применять интеграл при решении задач, даются некоторые рекомендации к подбору задач на вычисление объемов тел с помощью интеграла.

Сделаем некоторые замечания, связанные с содержанием этой части II главы.

а) Работа с учениками над определением интеграла как предела интегральной суммы требует большого внимания и осторожности со стороны учителя. Здесь ученики встречаются с несколько необычным для них случаем отыскания предела: предел суммы ищется при условии, что каждое слагаемое стремится к нулю, а число слагаемых неограниченно увеличивается. До сих пор ученики чаще встречались с отысканием предела суммы конечного числа слагаемых; в этом случае, если каждое слагаемое стремится к нулю, то и сумма их стремится к нулю. Прибегая к неправомерной здесь аналогии, некоторые ученики и при вычислении интеграла делают вывод, что предел интегральной суммы должен равняться нулю. Необходимо предотвратить эту ошибку учащихся.

б) При вычислении объемов тел по формуле v = ∫s(x)dx важно выработать у учащихся навык в целесообразном выборе оси X, в отыскании подынтегральной функции и пределов интегрирования при решении каждой конкретной задачи. Для этого учащиеся должны решить достаточно большое число задач, непосредственно применяя указанную общую формулу. Вместе с тем полезно, чтобы для вычисления объема некоторых простейших часто встречающихся на практике тел ученики имели в своем распоряжении формулы более частного, но более простого вида (какие даются в настоящее время в школьных учебниках). Эти формулы ученики могут получить, применяя общую формулу у = ∫s(x)dx к частным случаям.

Решение этих и других методических задач, которые неизбежно встают перед учителем, излагающим элементы интегрального исчисления, подробно рассматривается в диссертации.

4) Как уже выше говорилось, во II главе диссертации дан один из возможных вариантов изложения элементов интегрального исчисления, а именно тот в котором не используется понятие производной. Но применение производной при изучении интегрального исчисления весьма целесообразно: это облегчает процесс интегрирования и позволяет интегрировать большее число функций.

В диссертации дается два варианта изложения элементов интегрального исчисления, основанные на понятии производной. Это составляет основное содержание главы III.

Раздел I этой главы содержит изложение темы «Производная» в порядке подготовки учащихся к изучению элементов интегрального исчисления. Здесь дается план работы с учащимися по теме «Производная» и детально рассматриваются отдельные пункты этого плана, делаются замечания об усвоении учениками определения производной и выводы из работы с учащимися по теме «Исследование функций с помощью производной».

Разделы II и III главы III посвящены непосредственно изложению элементов интегрального исчисления. Существо предлагаемых здесь вариантов таково.

I вариант. Определенный интеграл как предел интегральной суммы; получение с помощью определенного интеграла формул для вычисления площади криволинейной трапеции и объемов тел. При этом для получения формул интегрирования используется зависимость между определенным интегралом и первообразной.

II вариант. Понятие первообразной функции. Получение с помощью первообразной формул для вычисления площадей фигур и объемов тел.

Как видно из сказанного выше, в первом варианте основным является понятие определенного интеграла; оно вводится раньше, чем понятие первообразной и неопределенного интеграла; понятие первообразной рассматривается тогда, когда появляется необходимость в вычислении определенного интеграла. Заметим, что в учебной литературе обычно встречается обратный порядок: сначала изучается первообразная и неопределенный интеграл, затем — определенный интеграл.

Можно привести ряд аргументов в пользу принятого нами порядка в изучении понятий интегрального исчисления. Прежде всего, существует ряд практически важных задач, для решения которых применяется определенный интеграл. Перед введением определения интеграла такие задачи можно решить, вычисляя предел суммы, получающей в дальнейшем название интегральной суммы. Тогда эти задачи создают базу для введения понятия определенного интеграла. Примеры таких задач рассмотрены в главе III. Усвоение нового понятия учащимся в значительной

мере облегчает геометрическая иллюстрация. Наконец, более естественно вводятся термин «интеграл» и символ ∫ f (x)dx.

Принципиальными при первом варианте изложения (раздел II главы III) являются следующие вопросы: работа над понятием определенного интеграла, установление связи между интегрированием и дифференцированием, вывод формулы для объема тела с заданными поперечными сечениями.

Остановимся кратко на каждом из этих вопросов.

а) К введению понятия определенного интеграла целесообразно подвести учащихся, рассматривая некоторые задачи из курса физики. Приведенные в диссертации задачи подобраны так, чтобы, решая их, учащиеся могли убедиться в том, что различные по физическому смыслу задачи решаются одним математическим методом. Это задачи на отыскание пути по известной скорости (в случае неравномерного движения), работы, затраченной на растяжение проволоки с заданными длиной и площадью поперечного сечения, на вычисление силы давления воды на пластинки прямоугольной и треугольной формы.

После того, как эти задачи решены, дается графическая иллюстрация решения; показывается, что решение сводится к вычислению площади криволинейной трапеции того или иного вида, и дается следующее определение интеграла:

Предел интегральной суммы S = при n →∞ называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [а,b].

Вводится обозначение ∫ f(x)dx.

Таким образом, определение интеграла дано отличное от того, которое обычно дается в вузовских курсах, где интеграл определяется как предел вида lim, причем сi — произвольные точки частичных промежутков, а Δxi —не обязательно равные отрезки. В диссертации из всех возможных способов составления интегральных сумм выбирается один: промежуток интегрирования разбивается на равные части, а значение функции берется в левом конце каждого частичного промежутка, предел же находится при условии n→со, что равносильно условию Δх→ 0. Таким, более простым, определением, вообще говоря, можно и ограничиться в работе с учащимися. За счет более простого определения интеграла изложение становится менее громоздким, а результаты получаются те же, что и при использовании более общего определения. Это происходит в силу того, что для непрерывных функций (а такие только и рас-

сматриваются в школе) существует интеграл в смысле

и, значит, предел любой из интегральных сумм, составленных для функции f(x) в данном промежутке, равен одному и тому же числу.

Желательно, однако, хотя бы в порядке кружковой работы, дать и более общее определение интеграла; как это сделать, также показано в главе III.

б) Связь дифференцирования и интегрирования устанавливается через понятие интеграла с переменным верхним пределом. Доказывается теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу; вводится понятие первообразной функции; показывается, что интеграл с переменным верхним пределом ∫ f(x)dx является первообразной для функции f (х), и получается отсюда формула, связывающая определенный интеграл ∫ f(x)dx с первообразной F(x) функции f(x): ∫ f(x)dx = F(b)—F(a) (формула Ньютона-Лейбница).

В силу важности этой формулы для дальнейшего изложения материала специальный параграф посвящается методическим замечаниям, связанным с работой над формулой Ньютона-Лейбница. Данные здесь рекомендации являются результатом экспериментальной работы с учащимися.

в) Для вывода формулы объема тела с заданными поперечными сечениями, кроме приема, основанного на непосредственном вычислении определенного интеграла как предела интегральной суммы, предлагается другой прием, а именно: доказывается, что S(x) Δх (где S(x) — функция, выражающая площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси х) является дифференциалом объема; объем находится по дифференциалу объема: v = ∫ S(x)dx. Достоинство этого приема заключается в том, что он не только применим к решению геометрических задач, но и характерен для решения многих других, например, физических задач.

Установление связи определенного интеграла и первообразной и вытекающее отсюда увеличение числа формул интегрирования сильно расширяет круг задач, решаемых с учащимися, в частности, задач на вычисление объемов тел вращения. Примеры таких задач приводятся в диссертации.

Особенностью второго из рассмотренных в диссертации вариантов изложения элементов интегрального исчисления (раздел

III главы III) является то, что понятие первообразной функции рассматривается как основное.

Доказываются теоремы: а) о производной переменной площади (утверждающая, что производной переменной площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком данной непрерывной функции, является данная функция); б) аналогичная теорема о производной объема.

Как следствия из этих теорем получаются формулы для вычисления площадей и объемов.

В этом случае изложение становится более кратким, чем в предыдущем варианте. Следует заметить, однако, что этот способ изложения, который внешне представляется самым простым в силу своей лаконичности, отнюдь не является самым простым по существу, особенно, если речь идет о применении интеграла к решению задач, например, к вычислению объемов с помощью первообразной. Доказательство теоремы о производной объема, лежащее в этом случае в основе вывода формулы для вычисления объема тела с заданными поперечными сечениями, само по себе не просто. Здесь к тому же довольно абстрактно выглядит и процесс вычисления объема. Вместе с тем, краткость этого варианта изложения элементов интегрального исчисления, сравнительно небольшое число новых для учащихся понятий и фактов, непосредственная связь понятий первообразной и производной функций дают основание считать этот вариант приемлемым в школе.

5) Как известно, определенный интеграл можно применить для вычисления площади поверхности тела вращения. Но в школе это делать нецелесообразно. С одной стороны, вывод формулы для вычисления площади поверхности тела вращения с помощью интеграла требует довольно тонких рассуждений, в частности, применяется теорема Лагранжа, которую в школе изучать не предполагается. С другой стороны, для вывода формулы необходимо уметь вычислять площадь поверхности усеченного конуса, то есть выведенную формулу для площади поверхности тела вращения можно будет применить к очень немногим телам из числа тех, которые изучаются в школе. Таким образом, применение интеграла не внесет единства в изложение темы «Вычисление площадей поверхностей круглых тел» и создаст ненужные затруднения в изучении этой темы. В связи с этим в диссертации не предлагается использовать интеграл непосредственно в этом разделе. Но применение интеграла в других разделах геометрии дает возможность более целесообразно вычислять площади поверхностей. Дело в том, что применение интеграла для вычисления объемов тел позволяет вывести формулы для объемов различных тел независимо от формул, выражающих площадь поверхности соответствующих тел. Благодаря этому, появляется возможность ввести определение площади по-

верхности, используя известное ученикам понятие объема тела, и при фактическом вычислении площади поверхности круглых тел пользоваться формулами для вычисления объемов.

В диссертации (глава IV) предлагается дать определение площади поверхности как предела отношения объема слоя, покрывающего тело, к толщине этого слоя, когда толщина слоя стремится к нулю.

Это определение наглядно, опирается на жизненную практику учащихся. Оно обеспечивает единый подход к вычислению площадей поверхностей весьма широкого круга тел, в том числе всех тел, изучаемых в школе. Вместе с тем процесс вычисления площади поверхности упрощается по сравнению с тем, который в настоящее время применяется в школе: в большинстве случаев дело сводится к отысканию производной степенной функции.

Можно отметить еще одно важное преимущество предлагаемого в диссертации способа вычисления площади поверхности по сравнению с традиционным, проводимым в школе. Для сформулированного в диссертации определения площади поверхности выполняются условия, обязательные при установлении системы измерения геометрических величин:

а) Всякой области, принадлежащей некоторому семейству областей, отвечает положительное число, называемое площадью области.

б) Всякой области, образованной объединением двух непересекающих областей, отвечает площадь, равная сумме площадей этих двух областей.

в) Двум равным областям отвечают равные площади.

г) Эти числа-площади полностью определяются численным заданием площади одной из этих областей.

При том определении площади поверхности, которое дается в школьных учебниках, не все эти условия выполняются.

Таким образом, использование интеграла в курсе геометрии позволяет изменить в лучшую сторону и раздел «Вычисление площадей поверхностей тел вращения».

6) Предлагая в диссертации тот или иной вариант изложения в школе элементов интегрального исчисления и говоря в связи с этим об изменениях, которые необходимо внести в программу средней школы, мы исходили из реальных возможностей для такой перестройки программы. Мы далеки при этом от мысли требовать для изучения элементов интегрального исчисления время за счет других разделов математики, входящих в программу средней школы, или других дисциплин.

Реальные возможности для введения понятия интеграла в курс школьной геометрии заключаются, на наш взгляд, в изменении содержания темы «Объемы тел» за счет введения в этот раздел понятия интеграла и исключения тех теорем, которые при этом становятся ненужными.

Предлагаемые изменения в программе по математике средней общеобразовательной школы являются темой «Заключения» диссертации.

Методические рекомендации, данные в настоящей работе, неоднократно проверены на опыте. Опытная проверка проводилась прежде всего в работе со всеми учащимися 10-го класса в школе № 5 г. Свердловска; проведено 40 уроков по материалам диссертации. Кроме того, в течение ряда лет автором по всем темам, разработанным в диссертации, проводились занятия с учащимися десятых классов в математических кружках школ № 587, № 23, № 27, № 378 г. Москвы, школы № 1 ст. Салтыковская Московской области. Состав кружков был достаточно многочисленным (в отдельных кружках участвовало 15—20 человек), математическая подготовка участников самая различная, так что условия работы в кружках были весьма близкими к работе в обычной классной обстановке.

Занятия с учащимися носили различный характер в зависимости от содержания учебного материала и от целей, которые ставились в процессе работы над этим материалом. Часть тем была изложена лекционно, причем вопросы, возникавшие у учащихся, решались немедленно после окончания каждого небольшого раздела темы (введение нового понятия, доказательство новой теоремы и т. п.). Понимание учащимися теоретического материала проверялось здесь же путем постановки вопросов по содержанию изложенного. Значительная часть теорем доказывалась учащимися на занятиях самостоятельно или после отдельных указаний учителя. Задачи на применение доказанных теорем большей частью также решались непосредственно на занятиях; некоторые задачи ученики решали дома, тогда решение обязательно проверялось в классе. По отдельным темам учащимся предлагались контрольные работы.

Благодаря тому, что один и тот же материал изучался с различными коллективами учащихся, имелась возможность варьировать способы изложения этого материала, оценивать их доступность, совершенствовать их, учитывая опыт предыдущей работы.

Результаты экспериментальной работы нашли отражение во всех главах диссертации. Изложение каждой темы сопровождается конкретными указаниями, основанными на наблюдениях за работой учащихся по этой теме.

Экспериментальная проверка дает все основания сделать вывод, что предлагаемый в диссертации материал вполне доступен и интересен учащимся.

По материалам диссертации опубликованы статьи:

1) «Применение понятия интеграла в изложении некоторых вопросов геометрии средней школы». Ученые записки МГПИ им. В. И. Ленина. Том CXVI. 1958 г.

2) «Понятие производной в курсе алгебры средней школы». Ученые записки МГПИ им. В. И. Ленина. 1960 г.

3) «Об изучении элементов интегрального исчисления в школьном математическом кружке». Журнал «Математика в школе» № 6 за 1962 год.

A 121079 Подп. к печ. 3/Х 1963 г. Объем 1 п. л. Тир. 250

Тип. Профтехиздата, Москва, Хохловский пер., 7. Зак. 1932