МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Н. Н. МОРОЗОВА

ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ В РУССКИХ УНИВЕРСИТЕТАХ В XIX ВЕКЕ

004

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА—1968

Работа выполнена в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской.

Научный руководитель заслуженный деятель науки, член-корреспондент АПН, профессор И. К. АНДРОНОВ.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Н. И. СИМОНОВ,

кандидат физико-математических наук, доцент Р. И. ГАЛЧЕНКОВА.

Ведущее высшее учебное заведение: Калининградский университет.

Автореферат разослан « » 1968 г.

Зашита диссертации состоится « » 1968 г.

на заседании Ученого Совета Московского областного педагогического института им. И. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10а)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

И. Л. ХОЛОДОВА

Предлагаемая работа посвящена истории развития теории чисел как науки и учебного предмета в университетах России в XIX столетии.

По истории развития математики в университетах Москвы, Петербурга, Киева и др. существует ряд исследовании, в которых освещен процесс развития математической мысли в целом и развитие отдельных отраслей математики, а также преподавание математических дисциплин в университетах. (П. С. Александров, Р. И. Галченкова, Б. В. Гнеденко, И. И. Гихман, В. А. Добровольский, Г. Е. Шилов, А. П. Юшкевич и др.).

Однако теория чисел чаще всего либо вовсе остается вне поля зрения исследователей, либо о ней упоминается мимоходом.

Особое место занимают работы о деятелях Петербургской школы теории чисел (Б. Н. Делоне, Е. П. Ожигова и др.), но и здесь освещено лишь творчество ведущих математиков; материалов о преподавании теории чисел в этих работах также почти нет.

На заседаниях секции истории математики IV Всесоюзного математического съезда, происходившего в Ленинграде в июле 1961 года, были выделены основные вопросы, которые нельзя считать в достаточной мере разработанными и на которые следовало бы обратить внимание исследователям в области истории математики.

Отмечена была важность ознакомления с архивными материалами. В совместном докладе Б. В. Гнеденко, И. Б. Погребысского, И. З. Штокало, А. П. Юшкевича среди главных направлений исследований на первом месте указывалась история теории чисел. Отмечалось, что известная книга Делоне заслуживает большого внимания, но она не исчерпывает темы. В частности, в ней ничего нет о В. Я. Буняковском, И. И. Иванове и некоторых других ученых, занимавшихся теорией чисел.

На съезде указывалось и на необходимость изучения многочисленных трудов Н. В. Бугаева по теории чисел.

Цель предлагаемой работы — восполнить ряд имеющихся в рассматриваемой теме пробелов, осветив развитие теории чисел в университетах России в указанный период, дать характеристику научной и учебной работы в этой области преподавателей университетов.

Разумеется, трудно говорить о теории чисел в отрыве от других математических дисциплин, поэтому в работе затрагиваются вопросы преподавания математики в целом (особенно в начале XIX столетия), чтобы обрисовать фон, на котором начиналось развитие теоретико-числовых исследований и выделение теории чисел в самостоятельную дисциплину. Автор касается также деятельности научных математических обществ при университетах.

Работа написана на основе изучения следующих материалов:

1) архивных документов, хранящихся в Архиве МГУ, Московском областном/ архиве, Государственном историческом архиве Ленинградской области (ГИАЛО), Центральном государственном архиве Тат. АССР (ЦГАТ).

2) учебных программ и планов университетов, расписаний лекций, годовых отчетов, обозрений преподавания за XIX век, хранящихся в архивах и библиотеках Москвы, Ленинграда, Казани и др.;

3) трудов по общей истории университетов, биографических словарей, воспоминаний современниов о жизни и деятельности преподавателей университетов, о постановке преподавания в университетах;

4) литографированных курсов лекций (в основном по теории чисел);

5) классических теоретико-числовых работ на русском и иностранных языках;

6) диссертаций, монографий и отдельных статей по теории чисел, изданных отдельно или напечатанных в периодических изданиях;

7) учебников и учебных пособий по теории чисел на русском и иностранных языках;

8) материалов, опубликованных в журналах и газетах (объявления, заметки, статьи, некрологи и т. п.).

Работа состоит из введения, пяти глав и заключения.

Во введении дан обзор развития теории чисел со времен Диофанта до начала XIX столетия. Рассмотрены труды Диофанта, Ферма, Эйлера, Лагранжа, Лежандра, Гаусса.

Глава 1 посвящена старейшему из русских университетов — Московскому.

В § 1 рассматриваются сведения по теории чисел, включавшиеся в курс математики в 1-й половине XIX века, в связи с этим анализируются соответствующие разделы «Универсальной арифметики» Л. Эйлера и «Ручной математической

энциклопедии» Д. М. Перевощикова и др. сочинений, применявшихся в качестве учебных руководств.

В § 2 рассмотрено развитие теории чисел в Московском университете во 2-й половине века в связи с общим развитием науки и преподавания математики (при этом в значительной мере использованы архивные материалы).

§ 3 посвящен научно-педагогической деятельности Н. В. Бугаева. Рассмотрены его труды по теории чисел, причем попутно указывается на связь его результатов с некоторыми результатами работ П. Л. Чебышева и других ученых.

При оценке научного наследия Н. В. Бугаева в области теории чисел нами отмечено, что среди его работ, отличающихся в основном ясностью изложения, есть более и менее важные для теории числовых функций — основной области его исследований. Бугаевым были получены и некоторые новые для того времени результаты.

Интересны общие формулы для разложения числовых функций в числовые ряды определенного вида («Учение о числовых производных», Матем. сб., т. 5—6).

Бугаевым изучены свойства «первичных чисел» (не делящихся на квадраты целых чисел), «вторичных чисел» (не делящихся на кубы целых чисел) и т. д. и выведены ассимптотические формулы для функций, выражающих число «первичных», «вторичных» и т. д. чисел, не превышающих n.

Ученый увлекался выводом многочисленных тождественных соотношений, связывающих различные числовые функции, и часто, стремясь получить все возможные следствия, заслоняет ими основной результат.

Его приемы в большинстве случаев просты и остроумны, но новых общих, сильных методов исследования и плодотворных глубоких идей мы здесь не находим.

Работы Бугаева повлияли на выбор тем исследований ряда молодых ученых.

Н. В. Бугаевым многое сделано в области просвещения (его работа в «Обществе распространения технических знаний», внимание к вопросам школьного образования).

Несомненно заслуга Бугаева и в упрочении положения теории чисел в Московском университете как предмета преподавания. В преподавании им теории чисел, которую он излагал на достаточно высоком научном уровне, проявилась черта, характерная для многих русских педагогов-математиков— стремление не только довести до сведения будущих ученых и преподавателей фактические знания, но и ознакомить их с методами исследований.

В § 4 рассмотрены труды по теории чисел учеников Н. В. Бугаева и других преподавателей университета (П. С. Назимова, Н. В. Берви, П. В. Преображенского, Д. Ф. Егорова).

Наиболее существенным является исследование П. С. Нахимова «Приложение теории эллиптических функций к теории чисел» (1885), где решается, в частности, ряд вопросов, относящихся к теории разбиения чисел, к теории квадратичных форм и др.

Интересны результаты работы Н. В. Берви «Решение некоторых общих вопросов теории числовых интегралов» (1896 г.), также рассмотренной в нашей диссертации. Берви исследует, например, свойства ряда чисел вида cm + 1, где с и m — натуральные числа, и выделяет «числа, аналогичные простым числам натурального ряда», т. е. такие, которые не могут быть представлены, как произведение двух (или более) чисел того же вида. Привлекает внимание следующий результат, полученный Берви с привлечением методов теории функций комплексного переменного: для чисел cт + 1, «аналогичных простым», основное свойство состоит в том, что отношение числа этих чисел, не превосходящих n, к числу простых чисел, не превосходящих n, «стремится к единице при возрастании n до бесконечности». Для более общего случая — чисел вида cm + b— Берви получил, в частности, ассимптотическую формулу для функции, выражающей число чисел этого вида, не превосходящих cn + b и не делящихся ни на один квадрат вида cm + b.

§ 5 посвящен преподаванию теории чисел в Московском университете в конце XIX века.

Наиболее обширная глава II — «Теория чисел в Петербургском универсистете в XIX веке».

§ 1 посвящен преподаванию математики в Петербургском университете в 20-х—30-х годах XIX в. и небольшой § 2 — О. И. Сомову, чья педагогическая деятельность в университете в большой мере способствовала повышению уровня математической подготовки студентов.

В § 3 подробно освещается научно-педагогическая деятельность В. Я. Буняковского.

Автор не согласен с существующим мнением, что после смерти Л. Эйлера до П. Л. Чебышева теорией чисел в России не занимались.

Замечательные теоретико-числовые исследования П. Л. Чебышева и его учеников, естественно, отодвинули на задний план сделанное В. Я. Буняковским, который внес и свой вклад в теорию чисел, и чья научно-педагогическая и общественная деятельность создавала известные предпосылки для возникновения петербургской математической школы.

С 1829 года и на протяжении всей жизни В. Я. Буняковский успешно разрабатывал различные вопросы теории чисел. Его работы способствовали пробуждению интереса к этой области математики; они служили связующим звеном между

трудами Эйлера и последующими исследованиями петербугских математиков.

В нашей работе (гл. II, § 3) мы даем подробный разбор трудов В. Я. Буняковского по теории чисел (периода 1829—1887 гг.), рассеянных в изданиях Петербургской Академии наук и в подавляющем большинстве не переведенных на русский язык.

В теории чисел В. Я. Буняковским получены многочисленные результаты о простых числах, числовых функциях, степенных и показательных сравнениях, первообразных корнях. Среди них есть более и менее важные, но большинство их представляет значительный интерес. Привлекают внимание, например, его глубокие исследования о первообразных корнях, символе Лежандра, доказательство закона взаимности. Можно отметить также полученные им (широко известные теперь) формулы для решения неопределенных уравнений 1 степени с двумя неизвестными.

Основательно изучив труды Эйлера по теории чисел, Буняковский развил многие из рассмотренных там вопросов, разрабатывая наряду с известными методами и новые своеобразные приемы (решение двучленных сравнений, применение методов интегрирования для получения числовых соотношений и т. д.).

В работах Буняковского и Эйлера можно отметить целый ряд общих моментов, причем это общее касается не только тем исследований и полученных результатов, но и методов (например, использование бесконечных рядов для вывода теоретико-числовых соотношений и др.).

Интересно, что на некоторых более поздних работах Буняковского сказались и результаты Чебышева, приведенные в «Теории сравнений» (например, определение первообразных корней простых чисел по их виду и др.).

Напечатанные на французском языке (ряд работ был помещен и в иностранных журналах), работы Буняковского становились известными за рубежом, многие результаты были оценены французскими математиками. Это тоже поднимало престиж русской науки (теории чисел).

Труды В. Я. Буняковского в области теории чисел занимают свое, пусть более скромное, место в единой цепи исследований, идущей от Эйлера к Чебышевской школе теории чисел.

§ 4 — «П. А. Чебышев. Его вклад в теорию чисел». Здесь рассмотрены результаты всех теоретико-числовых трудов ученого (в книге Б. Н. Делоне проанализированы лишь два важнейших мемуара — «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины» и «О простых числах»).

В диссертации выясняются основные направления последующих исследований математиков в этой области.

В § 5 рассмотрена педагогическая деятельность П. Л. Чебышева (привлечены архивные материалы, воспоминания современников и т. п.). Подробно анализируется «Теория сравнений» П. Л. Чебышева — сочинение, которое имело большое значение для преподавания теории чисел не только в Петербургском, но и во всех университетах России; сопоставляется содержание «Теории сравнений» с программами преподавания. Отмечается и то новое в научном отношении, что содержалось в этой книге.

§ 6 посвящен исследованиям в области теории чисел учеников П. Л. Чебышева, преподавателей Петербургского университета. Касаясь вкратце того, что было уже освещено в историко-математической литературе (основные работы А. Н. Коркина, Е. И. Золотарева, А. А. Маркова, Г. Ф. Вороного), мы добавляем некоторые менее известные детали, даем библиографические указания, а главное останавливаемся на работах по теории чисел И. И. Иванова, Ю. В. Сохоцкого, Д. Ф. Селиванова, В. А. Маркова, мало или почти не освещенных в литературе. А между тем каждая из них внесла свою лепту в развитие теории чисел в России.

Работы И. И. Иванова — докторская диссертация «О некоторых вопросах, находящихся в связи со счетом простых чисел» (СПб., 1901) и статьи о простых числах явились откликом на результаты П. Л. Чебышева в теории простых чисел. Ряд работ И. И. Иванова относится также к теории степенных вычетов.

Очень важны и работы ученого, относящиеся к теории алгебраических чисел — «Целые комплексные числа» (1891) и «К теории целых комплексных чисел» (1893), где Иванов показал эквивалентность теорий Е. И. Золотарева и Р. Дедекинда. И. И. Иванов первым начал разработку идей Золотарева в теории алгебраических чисел. Его труды сыграли важную роль в привлечении внимания к идеям Золотарева.

Глубокие идеи и методы Золотарева не сразу нашли полное понимание; тем больше заслуга И. И. Иванова, а также Ю. В. Сохоцкого (см. его исследование «Начала общего наибольшего делителя в применении к теории делимости алгебраических чисел», 1893), начавших разработку идей Е. И. Золотарева и подчеркнувших их огромное научное значение.

В § 7 рассматривается постановка преподавания теории чисел в Петербургском университете в последней четверти XIX века.

Глава III посвящена Казанскому университету.

В § 1 —«Казанский университет в первое десятилетие его существования» — отмечено положительное влияние Г. И. Карташевского и И. М. Хр. Бартельса, учителя Н. И. Лобачевского, на уровень математической подготовки студентов и

роль Бартельса во включении теории чисел в круг университетских дисциплин.

Большое место отведено (§ 2) роли Н. И. Лобачевского в развитии математики в Казанском университете, преподаванию им теории чисел; ряд архивных материалов, привлеченных в диссертации, освещает эту сторону деятельности Н. И. Лобачевского (§ 2), а также годы его учения в университете (§ 1).

Подробно рассмотрены разделы сочинения ученого «Алгебра или вычисление конечных» (1834), посвященные теоретико-числовым вопросам.

При изучении текста «Алгебры» нам удалось разобраться в серьезной опечатке (см. стр. 389 в изд. 1834 г.), которую при издании Полного собрания сочинений Н. И. Лобачевского в 1946—51 гг. (см. т. 4, предисловие Н. Г. Чеботарева) расшифровать не удалось.

В § 3 (гл. III) освещено развитие преподавания теории чисел в Казанском университете в 30-е — 90-е годы XIX в.

Большое место отведено здесь научно-педагогической деятельности А. В. Васильева, который во многом способствовал упрочению теории чисел как предмета преподавания в Казанском университете.

Далее (§ 4) рассмотрены работы по теории чисел преподавателей университета.

В их числе известный интерес представляют статьи П. С. Порецкого и сообщения, сделанные им на заседаниях секции физико-математических наук Казанского общества естествоиспытателей. Основной материал этих работ опубликован затем в виде отдельной книги «К учению о простых числах» (Казань, 1888).

В начале XX века на кафедре математики Казанского университета выделилось аналитическое направление исследований с ответвлением в область теории чисел; в известной мере здесь сказалось влияние Н. И. Лобачевского, А. В. Васильева, П. С. Назимова и некоторых других преподавателей университета, занимавшихся вопросами алгебры и теории чисел и всемерно содействовавших улучшению постановки преподавания этих предметов.

Глава IV посвящена университетам Харьковскому (§ 1), Киевскому (§ 2) и Новороссийскому (§ 3) и небольшая глава V — Дерптскому (Юрьевскому) университету.

Открытие Харьковского и Киевского университетов сыграло важную роль в развитии научной и культурной жизни Украины. Постепенно здесь складываются предпосылки для создания сильных научных математических коллективов, в полной мере развернувших творческую деятельность после Великой Октябрьской революции.

В Харьковском университете, многим обязанном деятельности Т. Ф. Осиповского, традиции которого сохранялись его учениками, научные исследования в XIX веке велись преимущественно в области математического анализа, геометрии, алгебры. Теория чисел была представлена здесь в основном как предмет преподавания.

В Новороссийском университете в XIX веке (как и в других университетах Украины) теория чисел как наука не получила существенного развития. В «Записках», издаваемых физико-математической секцией Новороссийского общества естествоиспытателей, в журнале «Вестник опытной физики и элементарной математики» мы находим небольшое количество статей, посвященных арифметическим вопросам. К началу XX в. интерес к вопросам теории чисел несколько увеличивается, усиливается также интерес к вопросам обоснования математики.

В Киевском университете наиболее значительный период в развитии алгебры и теории чисел начинается с XX в., когда развертывает свою деятельность алгебраическая школа Граве, но предпосылки для развития ее создавались всем коллективом математиков университета во 2-й половине XIX века.

В Дерптском университете, как в ряде других, более серьезное внимание теории чисел уделялось во второй половине века. По учебному плану она была включена в число «главных областей наук».

Работы по теории чисел (о диофантовых уравнениях) имеются у И Вейрауха (1875 г.), Ф. Миндинга (по теории цепных дробей); теории комплексных и гиперкомплексных чисел посвящен ряд работ Ф. Молина и П. Кадика.

В заключении диссертации подчеркивается та роль, которую играли университеты в научной и культурной жизни России. Несмотря на препятствия, чинимые царским правительством, прогрессивные ученые, проявляя высокую творческую активность, сумели сделать университеты подлинными научными центрами страны.

В начале XIX века в университетах научная работа по математике ведется еще мало. Усилия математиков направлены на создание отечественных учебных руководств, что играло немаловажную роль в постановке преподавания математики. Специальных трудов по теории чисел в этот период также немного, во всех университетах можно отметить лишь единичные работы, относящиеся к 20—40 годам (Н. И. Лобачевский, А. Н. Тихомандрицкий и др.).

Небольшое количество работ по теории чисел в этот период объясняется отчасти тем, что молодая наука еще не получила широкого признания, а ее результаты, сформулированные в трудах Гаусса, Лагранжа, Лежандра, не получили широкого распространения. Труды Эйлера по теории чисел

были на некоторое время почти забыты. Традиции Эйлера в области теории чисел были поддержаны лишь В. Я. Буняковским, чьи теоретико-числовые работы, как мы отмечали, регулярно появляются с 30-х гг. XIX в. в изданиях Петербургской Академии наук.

Со второй половины XIX столетия развитие науки шло широким фронтом. С деятельностью университетов связаны имена огромного количества ученых, создавших большие ценности во всех областях знания (в математике, физике, химии, физиологии, истории, филологии и др.).

В XIX в. огромные достижения отмечаются в русской математике, которая в мировой науке занимает одно из первых мест (а в отдельных областях — теория чисел, теория вероятностей— первые места).

Среди русских ученых рассматриваемого периода подавляющее большинство — университетские деятели.

В теории чисел первостепенное значение имеют результаты, полученные Чебышевым и его учениками.

Развитие теории чисел со 2-й половины XIX века происходило прежде всего в направлении, проложенном П. Л. Чебышевым.

По всей стране (как и за рубежом) работы Чебышева о простых числах нашли широкий отклик и среди университетских преподавателей — И. И. Иванов (см. гл. II, § 6 реферируемой диссертации), Н. В. Бугаев, Н. В. Берви, П. В. Преображенский (гл. I), П. С. Порецкий (гл. III) и др., и среди преподавателей других учебных заведений, и просто любителей математики.

Далее, замечательные исследования А. Н. Коркина и Е. И. Золотарева положили начало ряду важных работ по теории квадратичных форм — А. А. Маркова, В. А. Маркова, Г. Ф. Вороного; далее идут работы Б. Н. Делоне, Б. А. Венкова, Ю. В. Линника и др.

Глубокие исследования Е. И. Золотарева, создавшего теорию идеальных чисел в общих алгебраических полях, заложили основу для развития теории алгебраических чисел в нашей стране.

В этом направлении работали у нас — И. И. Иванов, Ю. В. Сохоцкий, А. А. Марков, Г. Ф. Вороной, Д. А. Граве и многие другие.

Исследования Г. Ф. Вороного, талантливого представителя Петербургской школы, принадлежали к различным областям теории чисел; он явился (вместе с Г. Минковским) создателем геометрии чисел; его работы 1907—1908 годов относятся к теории квадратичных форм; он вел исследования и в области аналитической теории чисел (1903 г.).

Все это создало базу для последующего творчества русских математиков в теории чисел. Русские ученые со 2-й поло-

вины XIX столетия занимают в теории чисел первое место. За это время появился целый ряд значительных работ, отличающихся глубиной и своеобразием.

Таким образом, характерной чертой русской теории чисел со 2-й половины XIX века как раз и является создание большого количества крупных исследований, открывающих и разрабатывающих часто совершенно новые направления в теории чисел, использующих новые глубокие и остроумные методы.

В советское время количество таких важных и глубоких работ по теории чисел возросло: Л. Г. Шнирельман, И. М. Виноградов, Н. Г. Чудаков, Б. А. Венков, Б. Н. Делоне, Н. Г. Чеботарев, Р. О. Кузьмин, А. О. Гельфонд, А. Я. Хинчин, Ю. В. Линник, И. Р. Шафаревич — трудно перечислить имена всех тех математиков, которые дали в теории чисел весьма существенные результаты. Область исследований все более расширяется, результаты их находят новые приложения.

Обширность затронутой темы вынудила нас ограничиться XIX столетием; в диссертации мы коснулись вопросов развития теории чисел в XX веке в незначительной степени, в связи с упоминанием о возникших в XIX веке предпосылках для дальнейшего развития этой науки.

Наряду с основополагающими теоретико-числовыми исследованиями во 2-й половине XIX столетия в предлагаемой диссертации отмечен целый ряд менее заметных работ по теории чисел, сыгравших свою роль в развитии науки.

Русские университеты воспитали плеяду выдающихся ученых, дали стране целый ряд талантливых педагогов-математиков (в том числе и специалистов по теории чисел), развернувших свою деятельность в высших и средних учебных заведениях России.

Во второй половине столетия при университетах возникают математические общества, издававшие свои труды; в этот период закладываются основы целых математических школ.

К концу века укрепляются научные связи между математическими коллективами. Этому способствовали съезды русских естествоиспытателей (с 1868 года по 1901 г. состоялось одиннадцать съездов), в которых активное участие принимали математики университетов.

Преподавание теории чисел в целом успешно развивалось в течение XIX века, иногда (в отдельных университетах) отставая от развития науки, но в целом следуя по пути дальнейшего усовершенствования.

Если в начале века теория чисел почти во всех университетах России входила как составная часть в курс алгебры, то

к концу XIX столетия, как правило, наряду с элементарным курсом теории чисел читался специальный курс, включающий новые научные достижения.

До XIX века анализ, алгебра, теория чисел шли вместе в науке, а тем более в преподавании.

В самом начале века в физико-математических отделениях еще читался общий курс чистой математики (существовала и единая кафедра чистой математики). Кроме того, в первые годы читался и подготовительный курс элементарной математики.

Но скоро элементарные разделы отошли к гимназическим курсам, а из курса высшей математики выделяются дифференциальное и интегральное исчисления, высшая алгебра, аналитическая геометрия и другие курсы.

Отдельные части теории чисел (главным образом «неопределенная аналитика») излагались в курсе алгебры, причем преподавание теории чисел не выходило за рамки элементарного курса и часто носило подсобный характер. Вспомним, что в 18 веке такова же была участь алгебры в отношении математического анализа.

В первые годы XIX столетия (как и в XVIII в.) содержание алгебраического курса в университетах определялось «Универсальной арифметикой» Л. Эйлера, бывшей не только учебником, но и научным трудом (ч. II), содержавшим важные результаты по алгебре и по теории чисел (см. гл. 1, § 1 диссертации).

В Московском университете, например, в 1806/7 гг. В. А. Загорский читал «всеобщую арифметику», руководствуясь сочинением Эйлера. Наряду с этим в первые годы при чтении «чистой математики» преподаватели руководствовались «Курсом математики» Э. Безу, в которой были включены вопросы о фигурных числах, о решении неопределенных уравнений 1-й степени в целых числах (раздел 3-й «Алгебра»). Подобное соединение алгебры с теорией чисел, наблюдавшееся со времен Эйлера, нашло отражение во многих учебных руководствах того периода. («Курс чистой математики» Франкера, «Ручная математическая энциклопедия» Д. М. Перевощикова и др.).

В 1837—40 гг. в преподавании высшей алгебры использовались и «Лекции алгебраического и трансцендентного анализа» М. В. Остроградского, содержащие уже более существенные сведения по теории чисел (теория сравнений, степенные вычеты, первообразные корни, индексы).

Подобным же образом обстояло дело почти во всех русских университетах.

Некоторое исключение составляет Казанский университет, где впервые в России уже в начале столетия был прочитан

самостоятельный курс теории чисел (Бартельсом, затем Н. И. Лобачевским).

Отставание в преподавании теории чисел в этот период объясняется прежде всего недостаточной дифференциацией науки вообще.

Начавшая формироваться молодая отрасль математики в 1-й половине века еще не получила широкого распространения. Кроме того, до появления «Теории сравнений» П. Л. Чебышева не был очерчен и систематизирован круг вопросов, которые составляли основу теории чисел, как учебного предмета, не имелось соответствующей методической основы, не было и специальных учебных руководств. «Арифметические исследования» Гаусса были сложны, не могли быть изучены всеми студентами без предварительной математической подготовки; не существовало русского перевода этого сочинения. Книга Лежандра по теории чисел, также не переведенная на русский язык, была хоть и более доступна по изложению, но лишена строгой систематичности в расположении материала.

С другой стороны, университетские преподаватели несли большую учебную нагрузку, не все могли выделить время на чтение теории чисел. Многое зависело и от научных интересов преподавателей.

Еще до середины XIX века у отдельных математиков сохранялся взгляд на теорию чисел как на «науку бесполезную», изучение которой есть «дело роскоши» (стр. 17). Даже в 1859 г. Н. Е. Зернов не соглашался отнести теорию чисел к предметам обязательного преподавания в университете (стр. 11). Впоследствии В. Я. Буняковский, Ф. А. Слудский, Н. В. Бугаев выступали в защиту теории чисел, как важной части математики, подчеркивая возможности ее практического применения, ее влияние на другие области математики. Последнюю мысль подчеркивал и А. В. Васильев.

Эти воззрения подтвердились и подтверждаются в наши дни, когда выясняется плодотворная связь теории чисел с прикладными задачами математической статистики, теории вероятностей, вычислительной математики и др.

Но и в начале дека, создавая учебные руководства по алгебре, элементарной математике, авторы (Т. Ф. Осиповский, Д. М. Перевощиков и др.), включали в свои сочинения теоретико-числовые вопросы (разделы, посвященные неопределенной аналитике, вопросам делимости и т. п.).

Более того, отдельные преподаватели уже в начале XIX века (И. М. Бартельс, Н. И. Лобачевский—в Казани) и позднее в 30-х—40-х годах (М. И. Мельников — в Казани, А. Н. Тихомандрицкий — в Киеве, К. Ф. Зенф —в Дерпте) делают попытки ввести теорию чисел в круг университетских дисциплин.

Во второй половине XIX века русские университеты, ставшие крупными научными центрами страны, достигли значительных успехов и в преподавании. Математические кафедры обогащаются квалифицированными научно-педагогическими кадрами, в соответствии с развитием науки вводятся новые математические курсы. В последней четверти века получают распространение специальные курсы по различным областям математики, включаюшие новейшие научные достижения. Продолжается работа по созданию различных учебных руководств, что является важным моментом в истории математического образования в стране.

Если в 1-ю половину XIX века учебников, посвященных специально теории чисел, не было (лишь в алгебраических сочинениях долгое время отмечалось сосуществование алгебры и теории чисел), то к концу столетия университеты располагали уже целым рядом руководств по теории чисел.

Первый и важный шаг в этом направлении сделал П. Л. Чебышев, создавший замечательную по своей ясности «Теорию сравнений» (1849), обладающую высокими научно-педагогическими достоинствами, которая долгое время являлась единственным русским учебником по теории чисел.

Позже появились печатные и литографированные руководства— Сохоцкого, Васильева, Бугаева, Лахтина, Иванова, Граве.

Успешное развитие науки, издание математической литературы, учебная деятельность университетских преподавателей способствовали дальнейшему повышению уровня математической подготовки студентов.

Сопоставив постановку преподавания математики в русских университетах с данными А. В. Васильева, посетившего многие университеты Германии в 70-х—80-х годах и тщательно изучившего постановку преподавания математики (и теории чисел, в частности) в лучших из них — Берлинском и Лейпцигском, а также с отзывами некоторых других молодых ученых (Ист. Архив М. О., ф. 418, 1877, д. 476), слушавших в тот же период лекции крупнейших ученых Германии и Франции, можно сказать, что русские университеты к этому времени стали на уровень лучших европейских университетов.

Университетский устав 1884 г. лишь официально утвердил в ряду математических дисциплин теорию чисел, которая заняла это место по существу уже с 50-х—60-х годов XIX века (а в ряде университетов и раньше).

С введением теории чисел в систему математического образования в университетах появляются и студенческие (кандидатские) сочинения по теории чисел.

Теория чисел входила и в программу магистерских экзаменов, что подтверждается найденными нами в архивах протоколами испытаний на степень магистра чистой математики,

инструкциями для занятий кандидатам, оставленным при университете для подготовки к профессорскому званию.

Подготовка магистрантов по теории чисел была основательной. Так, в своем отчете А. Ливенцов (Московский университет), посланный в 70-х годах в заграничную командировку и слушавший лекции крупнейших математиков в Берлинском и Парижском университете, в том числе курсы по теории чисел — Кронекера, Куммера и Лиувилля, высоко оценивает лекции этих ученых, но вместе с тем отмечает, что по содержанию они не представляют для него нового.

К концу столетия преподавание теории чисел (включая основные, специальные курсы и семинары) поднялось еще на более высокий уровень. Этот подъем в большей или меньшей мере захватил все русские университеты.

Подытоживая путь развития преподавания теории чисел в университетах России во 2-й половине XIX века, мы отмечаем общие черты, присущие всем русским университетам и обусловленные как общими направлениями, наметившимися в русской науке и в преподавании, так и рамками уставов; но есть и известные различия, вызванные традициями, сложившимися в каждом отдельном университете, и научными интересами преподавателей.

Теория чисел, которая ранее считалась многими маловажной частью математики, игравшей вспомогательную роль, со 2-й половины века занимает все более прочное место в системе математических наук. В этом отношении большое значение имели работы математиков Петербургской школы теории чисел во главе с П. Л. Чебышевым, а также деятельность целого ряда ученых и педагогов, считавших теорию чисел необходимой частью высшего математического образования.

Элементарный курс теории чисел становится подготовительным для изучения специальных вопросов теории чисел. Согласно уставу элементарный курс теории чисел входил в число «обязательных» для изучения предметов, специальный курс являлся «дополнительным», но в большинстве университетов чтение дополнительного курса теории чисел поручалось серьезным, знающим преподавателям, специалистам в этой области, которые включали в свои лекции наиболее важные разделы теории чисел, последние достижения в этой области.

В большинстве университетов вводятся семинарские занятия по теории чисел. Студенты выполняли и письменные работы. Процент теоретико-числовых тем в общем реестре специальных курсов к концу столетия возрастает. («Теория сравнений», «Теория непрерывных дробей», «Теория квадратичных форм», «Алгебраическая теория форм», «Общая теория комплексных чисел», «Кватернионы» и проч.).

Университетские библиотеки обогащаются новой литературой по теории чисел.

В программу занятий магистратов университета в последней четверги века также обязательно входила и теория чисел. Список изучаемых молодыми учеными работ по теории чисел велик: от сочинений Л. Эйлера до работ Дирихле, Римана, Гамильтона.

Многие русские ученые-математики, преподаватели и профессора университетов, — были не только в курсе мировой науки и не только вносили большой и ценный вклад в ее развитие, но и их педагогическая работа могла служить образцом самоотверженного труда. Тщательная отработка программы, выделение и переподнесение самых важных и новых научных сведений, забота о самостоятельной творческой работе студенчества и повседневное воспитание талантливой молодежи— все это было характерно для прогрессивной профессуры отечественных университетов.

* * *

XIX век явился, как мы видим, большим и важным участком пути, который прошла в своем развитии теория чисел. Обретя новые методы и направления исследований, она заняла достойное место среди других областей математики.

На основе больших достижений русской и мировой науки в этой области стал возможен большой прогресс и в развитии теории чисел как учебного предмета в системе университетского образования в России.

Успехи, достигнутые деятелями университетов в научных исследованиях, а также в преподавании, подготовили почву для новых достижений в этой области в начале XX в. и особенно после Великой Октябрьской социалистической революции, открывшей народным талантам широкую дорогу в науку.

В конце диссертации приведен список литературы на русском и иностранных языках (свыше 500 названий).

По материалам диссертации опубликованы статьи автора:

Н. Н. Морозова. Теория чисел в Московском университете в XIX веке. Уч. записки Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской, том XCVIII, 1960.

Н. Н. Морозова. Теория чисел в Казанском университете в XIX веке. Уч. Записки Московского областного педагогического института им. Н. К. Крупской, том CXXIII, 1963.

Н. Н. Морозова. Из истории преподавания математики в Дерптском университете. Уч. записки Московского обл. пединститута им. Н. К. Крупской, том CXXIII, 1963.

A107381 Подп. к печ. 15V.1968 Объем 1 печ. л. Тираж 150 экз.

Типография ВКАХЗ Зак. 633