МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

В. Н. МОЛОДШИЙ

ОСНОВЫ УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ В XVIII И НАЧАЛЕ XIX ВЕКОВ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук (по истории математики)

МОСКВА, 1963 год

Защита диссертации состоится в МГПИ имени В. И. Ленина « 18 » XI или 16/XII 1963 г.

Автореферат разослан « 15 X 1963 г.

1. До XVI века в математике и ее приложениях основную роль играли положительные целые и дробные числа и алгебраические иррациональности (использовались и некоторые трансцендентные числа). Отрицательные числа были введены в математику в древнем Китае. Ученые средневековой Индии установили «невозможность» извлечения квадратного корня из отрицательного числа и тем самым подошли к понятию комплексного числа. Однако арифметика этих чисел развития не получила.

В XVI, XVII и XVIII в. в. (Западная Европа) разработка алгоритмов алгебры, аналитической геометрии и особенно математического анализа с необходимостью потребовала расширения понятия числа за границы области положительных действительных чисел. В математику были введены (по сути — вновь введены) отрицательные и комплексные числа. Оперативное значение этих чисел все время возрастало; без них символическая алгебра, аналитическая геометрия и математический анализ, а значит и механика, развиваться успешно не могли. В первой половине XIX века задачи механики, физики и геометрии n-мерных пространств потребовали дальнейшего обобщения понятия числа; объектами исследований и орудиями математики становятся кватернионы и гиперкомплексные числа.

Когда в математику вошли положительные и отрицательные числа и числа комплексные, возник вопрос о правилах действий с ними, а несколько позже — об обосновании логической правомерности их арифметик. Чтобы в каждом конкретном случае быть уверенным в правильности результатов, получаемых с помощью отрицательных и комплексных чисел, необходимо было разработать не только формальную структуру арифметик положительных и отрицательных чисел и чисел комплекс-

ных, но и дать последним научное обоснование. Эта проблема естественно потребовала соответственной разработки научных основ арифметики положительных действительных чисел (целых, дробных и иррациональных).

Разработка научных основ учения о числе в это время велась в направлении развития понятия числа, как базы геометрии, аналитической геометрии и математического анализа. Ей способствовали и новые методические идеи XVIII века, идеалом которых, в противоположность догматизму XVI и XVII в. в., было доказательное, ясное и действенное обучение математике.

От конца XVII до середины XIX века взгляды математиков на природу понятия числа и способы обоснования учения о числе претерпели значительные изменения. В диссертации показано, что в этом процессе отчетливо выделяются следующие основные этапы:

В XVI и первой половине XVII в. в. отрицательные и комплексные числа встречались фактически только в алгебре («Геометрия» Декарта была опубликована в 1637 г.). Математики называли их «фиктивными, но полезными символами», а обоснование правил действий с положительными действительными и даже с отрицательными числами осуществляли геометрическими методами древних греков.

Трактовка комплексных чисел, как «фиктивных, но полезных символов», господствует до второй четверти XIX века. Понятие отрицательного числа завоевывает широкое признание, но с трудом. Даже во второй половине XVIII века некоторые выдающиеся математики (Даламбер, Карно) считали понятие отрицательного числа «фиктивным». Сторонники таких взглядов стараются дать им теоретическое обоснование. К середине XVIII века оформляется убеждение, что наиболее общим видом «фиктивных» чисел являются комплексные числа; возможность дальнейшего обобщения понятия числа фактически исключается. Задача обоснования арифметики комплексных (а для некоторых математиков и арифметики положительных и отрицательных) чисел ставится так: почему «фиктивные» числа помогают находить новые научные факты, как вводить эти числа в алгебраическое исчисление?

Сторонники равноправности, или как тогда говорили, — «реальности» понятий об отрицательных и положительных числах усматривают цель обоснования арифметики этих чисел в обнаружении ее логической необходимости; в этой связи находятся их попытки доказать правила знаков для умножения.

В XVIII веке развертывается и систематическая разработка основ арифметики положительных целых, дробных и иррациональных чисел.

До последней четверти XVIII -века учение о числе строится на общем понятии величины, с соотнесенными к нему едиными, общими определениями арифметических действий.

Последняя четверть XVIII и, примерно, три первые десятилетия XIX веков представляют в развитии понятия числа и способов его обоснования переходный период. В это время была разработана геометрическая интерпретация арифметики комплексных чисел (Гаусс, Вессель, Арган и другие). Построение последней трактовалось при этом как обобщение арифметики действительных чисел на базе обобщения определений действий, справедливых для действительных чисел. Выдвигается задача развития арифметики векторов трехмерного пространства (Гаусс, Вессель, Арган и другие). Идея обобщения определений действий находит некоторое применение и при изложении арифметики положительных и отрицательных действительных чисел. Новые идеи, однако, не являются ведущими. Большинство математиков, в том числе Лаплас и Коши, отстаивают взгляды XVIII века. Гаусс понимал и ценил новые идеи. Вместе с тем он выступил в печати в пользу этих идей только в 1831 году.

Геометрическая интерпретация арифметики комплексных чисел получила широкое признание во второй и третьей четвертях XIX века. В это же время завоевывают признание и развиваются новые способы обоснования учения о числе, оформившиеся в процессе разработки геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел, арифметики кватернионов и гиперкомплексных чисел. Проблема обоснования учения о числе начинает трактоваться преимущественно как задача обобщения

понятия числа с максимально возможным сохранением законов исходной области чисел.

Каковы основания и причины, определившие очерченную выше эволюцию взглядов математиков на природу понятия числа и способы обоснования учения о числе? В частности:

1. Какой смысл вкладывали математики XVIII в. в термин «реальная» величина, «мнимая» величина? Почему они считали комплексные, а порой даже и отрицательные числа «мнимыми», «фиктивными», «воображаемыми»? Почему при изложении арифметики положительных и отрицательных чисел они старались доказать правила знаков для умножения?

2. Что вызвало к жизни переходный период, что он дал нового для научной трактовки понятия числа и разработки основ учения о числе?

3. Что побудило передовых математиков второй четверти XIX века отказаться от взглядов математиков XVIII в. и приступить к дальнейшему развитию идей, оформившихся в переходный период?

В советской и иностранной литературе нет работ, посвященных научному анализу этих вопросов в их взаимной связи. От большинства историков математики ускользнули даже те периоды в развитии понятия числа и способов обоснования учения о числе, которые мы описали выше. Причиной, несомненно, является недостаточное, а порой и пренебрежительное отношение к достижениям математиков XVIII в. в решении методологических проблем, которое с давних пор бытует в среде историков математики. Вместе с тем решение этих вопросов имеет существенное значение для разработки научной истории учения о числе в XVIII—XIX в., основная цель которой—выяснение и описание законов и форм развития понятия числа. Такое исследование не бесполезно с философской и методической точек зрения.

Цель диссертации такова:

I. Дать достаточно полное описание развития понятия числа и способов обоснования учения о числе в XVIII и начале XIX в.

II. В этой связи ответить на два поставленных выше вопроса и выделить основное для ответа на третий вопрос.

Диссертация состоит из введения, девяти глав и семи приложений.

Введение.

Гл. I. Ф. Энгельс о естесвознании, математике и метафизике XVII—XVIII и начала XIX веков; гл. II. Взгляды математиков XVIII в. на предмет и способы обоснования математики; гл. III. Вопросы обоснования арифметики целых (натуральных) чисел; гл. IV. Вопросы обоснования арифметики дробных (ломаных) чисел; гл. V. Вопросы обоснования арифметики иррациональных чисел (величин); гл. VI. Вопросы обоснования арифметики положительных и отрицательных величин (чисел); гл. VII. Вопросы обоснования арифметики мнимых величин (комплексных чисел); гл. VIII Постановка задачи развития арифметики кватернионов; разработка ее элементов; гл. IХ. Развитие понятия числа и способов обоснования учения о числе во второй четверти XIX века.

Приложения:

1. О роли аксиомы индукции при аксиоматическом обосновании арифметики натуральных чисел; 2. О попытке Д. Бернулли обосновать возможность перехода величин от положительных значений к отрицательным через бесконечность; 3. О переписке Эйлера с Кюном и Элером; 4. И. Кант о природе положительных и отрицательных величин; 5. О попытках математиков XVIII века доказать правила знаков; 6. Об учебнике Н. Муравьева; 7. О возможных расширениях области натуральных чисел относительно операции вычитания.

При отборе материала для диссертации нам пришлось ориентироваться преимущественно на многочисленные и разнообразные первоисточники (оригиналы трудов математиков XVII, XVIII и начала XIX в. в., ар-

хивные и рукописные материалы, материалы научной перелиски, учебные пособия по арифметике, алгебре и геометрии)1. Так, в частности, в процессе работы выяснилось, что в развитии понятия числа и способов обоснования учения о числе ряд основополагающих достижений связан с именем «величайшего математика XVIII века — Леонарда Эйлера. В этой связи были привлечены архивные материалы — переписка Л. Эйлера с Кюном и Элером, а также написанные Эйлером и его учениками учебные пособия.

Ниже, в п. п. II—X, излагаются основные выводы, полученные автором в результате работы над поставленными выше вопросами.

II. В первой главе коротко освещаются условия, содержание и формы развития науки и философии в конце XVII—XVIII в. в. Характеризуется метафизический способ мышления, поскольку в это время влияние метафизики распространялось не только на философию и естествознание, но и на математику. В XVIII и начале XIX в. в. метафизика обостряла и усложняла трудности, с какими встречались математики при разработке научных основ учения о числе и, тем самым тормозила разработку этого учения. Игнорируя влияние метафизики на математику, невозможно понять своеобразие форм, в каких в XVIII и начале XIX в. в. протекало развитие понятия числа и способов обоснования учения о числе.

III. Математики XVIII и начала XIX веков в практике своих исследований и педагогической деятельности руководствовались, как правило, стихийно материалистическим миропониманием. Они трактовали математику как науку, описывающую свойства величин, существующих вне человеческого сознания, и в этой связи считали ее мощным методом изучения законов и явлений природы.

В России в этот период материалистическое понимание предмета и значения математики отстаивали и развивали Л. Эйлер, М. Ломоносов, С. Котельников, Я. Козельский, С. Гурьев и др. Во Франции — Даламбер, Лагранж, Лаплас и др.

1 Все эти источники указаны в Диссертации в подстрочных примечаниях. См. также «Именной указатель» к Диссертации,

В XVIII веке учёные и философы называли величиной (или количеством) все то:

а) что может увеличиваться или уменьшаться, быть больше или меньше;

б) что можно складывать, вычитать, умножать и делить;

в) что подчиняется следующим аксиомам:

г) что при осложнении и умножении подчиняется всем пяти законам счета:

д) При анализе конкретных вопросов обоснования учения о числе описанная общепринятая трактовка понятия величины получала порой, особенно в первой половине XVIII века, — существенное доопределение. Последнее осуществлялось путем присоединения к этому общему понятию величины какого-либо свойства, присущего только положительным действительным числам. Присоединенное свойство молчаливо рассматривалось как «отвечающее природе» любой величины.

Это нередко создавало в математике (особенно в конце XVII и первой половине XVIII в. в.) трудности, приводило к парадоксам. Например, Лейбниц и Арно считали пропорцию +1 :—1= —1 : + 1 «ложной», «терпимо истинной», т. е. в ней нарушено «всеобщее» свойство величин: большее, деленное на меньшее, не может равняться меньшему, деленному па большее.

Величины, отвечающие требованиям (а), (б), (в), (г) и нередко какому-либо доопределению (д), назывались в XVIII веке «реальными», «истинными» или «абсолютными». К их числу относили в первую очередь величины геометрические, изученные в геометрии евклида, а также числа натуральные и дроб-

ные. Это естественно: задолго до XVIII в. математики умели применять геометрию Евклида и арифметику этих чисел в практике счета и измерения, т. е. знали, что в названных понятиях отражаются некоторые стороны действительного мира, благодаря чему с ними и можно работать. Иначе говоря, объективность этих понятий сомнений не вызывала.

В XVIII веке, особенно в первой его половине, понятие «реальной» или «абсолютной» величины трактовалось обычно как предельно широкое, как не допускающее дальнейшего обобщения, т. е. по сути, метафизически абсолютизировалось. Если иногда это понятие расширяли, то новое понятие также абсолютизировалось.

До конца XVIII века математики не знали ни одной интерпретации арифметики комплексных чисел. Свойства комплексных чисел резко отличаются от свойств «абсолютных» («реальных») величин. Поэтому математики называли комплексные числа «мнимыми» величинами и нередко пытались доказать, что их «реальное» истолкование невозможно. В одной из писем к Элеру Л. Эйлер рассказывает как он объясняет учащимся необходимость ⋅расширения понятия числа от натурального до действительного, положительного и отрицательного. Эйлер заканчивает рассказ так: «Все перечисленные здесь виды количества могут быть изображены прямыми или кривыми линиями, по настоящему же воображаемыми количествами для меня являются те, которые не могут быть -представлены даже и линиями и которые вследствие этого являются чистым порождением разума». К их числу относится √—1, ибо, продолжает Эйлер, «квадратный корень отрицательной величины не может быть положительной величиной, ни нулем, ни отрицательной величиной; следовательно, такого рода квадратный корень есть сущность, относящаяся к области чистого воображения; эта сущность не может быть представленной, ни быть существующей» (подчеркнуто мною — В. М.).

Свойства отрицательных чисел также во многом отличаются от свойств «абсолютных» величин. Благодаря этому некоторые математики XVIII века относили к области «мнимых» величин и отрицательные числа.

Таким образом в XVIII веке область всех возможных величин мыслилась состоящей из двух диаметрально противоположных классов величин: «реальных» («абсолютных») и «мнимых». При этом молчаливо предполагалось, что все пять законов счета справедливы как для «реальных», так и для «мнимых» величин.

Объем понятия «реальной» (а значит и мнимой») величины не был твердо установлен. Эйлер считал понятие отрицательного числа объективным и поэтому называл его «реальным». Даламбер и Карно отстаивали противоположную точку зрения и называли понятие отрицательного числа «ложным», «мнимым», «фиктивным».

В XVIII веке математики полагали необходимым давать общие определения понятия числа и арифметических действий, базирующиеся на понятии «абсолютной» величины. В первой половине XVIII века понятие числа определялось обычно по Евклиду: число есть множество единиц. Во второй половине XVIII и начале XIX века господствующее положение завоевывает определение числа, выдвинутое Ньютоном (ранее ат-Туси): число есть отношение одной величины в другой, того же рода, принятой за единицу. Соответственно этому изменяется и трактовка арифметических действий. Например, умножение сначала определяется как повторное сложение, потом как операция отыскания числа, которое относится к одному из сомножителей так, как другой сомножитель относится к единице.

«Доказательства, которые можно употреблять в геометрии— писал Даламбер, — суть двух родов: прямые и непрямые. Первые непосредственно выводятся с помощью понятия того предмета, которому хотим приписать какое-либо свойство». Вторые базируются на истинах, взятых вне рассматриваемого предмета (например, при доказательствах методом от противного). Предпочтение надо отдавать прямым доказательствам.

В XVIII веке к прямым доказательствам относили и проверку математических истин на объектах, удовлетворяющих принятому толкованию «реальных» величин.

При построении учения о числе как базы геометрии, аналитической геометрии и математического анализа

надо опираться на данные теории более общей чем эти дисциплины. В конце XVII и в XVIII в. в. такой теорией — если здесь можно использовать этот термин, — считалось учение о математике как науке о «реальных» и «мнимых» величинах. Последнее, поэтому, необходимо должно было стать, и действительно стало, фундаментом учения о числе, а метод моделирования— основным методом построения (обоснования) этого учения.

IV Понятие натурального числа возникло и получило развитие в связи с совершенствованием техники счета предметов. Понятие о положительных дробных, а затем и иррациональных числах получили развитие тогда, когда возникла необходимость решать задачи, в том числе и теоретические, связанные с измерением непрерывных величин. Соответствующие свойства пересчитываемых и измеряемых объектов подсказывали людям как развивать понятия о целых и дробных числах. Практика счета и измерения в конечном счете помогла людям уяснить и отразить в соответствующих определениях смысл взаимных отношений (>,=,<) и связей (+, — , х, : ) положительных и дробных чисел. Поэтому истинность понятий и логическая правомерность арифметики натуральных и дробных чисел была вне сомнений задолго до XVIII века. (Диссертация, гл. III и IV).

Отрицая равноправность иррациональных чисел с числами целыми и дробными (Диссертация, гл. V, параграфы 1 и 2), математики считали их «реальными», т. е. знали их геометрическое истолкование.

В полном соответствии с процессом развития понятия числа, обоснование арифметики натуральных и дробных чисел с давних пор осуществлялось с помощью моделирования на объектах, подводимых под понятия о натуральных и дробных числах. В древней Греции такими объектами были геометрические величины — отрезки, кратные единичному отрезку. В XVIII и начале XIX веков использовались любые величины, которые подходили под понятие «реальной» величины. Рассмотрение возможных количественных отношений и связей между подобными объектами позволяло раскрыть смысл обычного упорядочения множеств натуральных и дробных чисел и арифметических действий с ними. Арифметика этих

чисел выступала как точное отражение количественных отношений и связей областей реальных объектов, и тем самым, как логически выдержанная научная теория.

В разработке арифметики натуральных чисел математики XVIII и начала XIX веков достигли некоторых существенных результатов. К их числу необходимо отнести следующее (Диссертация, гл. III):

1. В XVIII веке арифметика натуральных чисел полностью освобождается от подчинения геометрии. Она обосновывается сначала как дисциплина, сосуществующая с геометрией, потом — как предшествующая ей.

2. Этот процесс нашел свое выражение в разработке системы арифметики количественных натуральных чисел и отыскании доказательств ее утверждений, в первую очередь правил четырех арифметических действий. Эти обстоятельства способствовали выделению и отчасти выяснению роли всех (пяти) законов счета. В конце XVIII века некоторые математики пытались эти законы обосновать.

3. Поскольку математики XVIII и начала XIX веков связывали основные положения и выводы арифметики натуральных чисел только с их «стандартным» количественным истолкованием, проделанная ими работа дала по логической структуре, содержанию и методом основы современной теории количественных натуральных чисел.

4. Указанные в 2) и 3) пунктах факты сыграли в последующем существенную роль в двух направлениях: они, во-первых, способствовали созданию базы для развития формализованной арифметики натуральных чисел (Пеано) и, во-вторых, помогли установить последовательность материала и способы его обоснования в школьных учебниках арифметики XIX века.

Были получены положительные результаты и при разработке основ арифметики дробных чисел (Диссертация, гл. IV).

1. В XVIII веке арифметика дробных чисел освобождается от устаревших способов ее обоснования, восходящих к «Началам» Евклида.

2. Положительным результатом явилась разработка системы чисто арифметических приемов обоснования арифметики дробных чисел, которые составили основу ее элементарной количественной теории.

3. С методологической точки зрения здесь не менее важным было другое. Создание названной теории удалось осуществить во второй половине XVIII и начале XIX в. в. на базе расширения определения умножения в связи с признанием ньютонова определения понятия числа. Тем самым в учении о дробных числах была показана несостоятельность абсолютизации евклидовой трактовки понятия числа и связанного с ним определения умножения.

В разработке системы и теоретических основ натуральных и дробных чисел значительную роль сыграла «Арифметика» Л. Эйлера. Опубликованная впервые на немецком языке в 1738 г., она вскоре была переведена на русский и французский языки и служила образцом для последующих авторов арифметических руководств.

V. Пытаясь разработать теоретические основы арифметики положительных действительных чисел, математики XVIII и начала XIX веков встретились с серьезными трудностями. До XIX века математики знали хорошо только одно истолкование иррациональных чисел — с помощью несоизмеримых отрезков. Знали они и геометрическую теорию действительных (положительных) чисел, основы которой заложил Эвдокс. Однако геометрическое обоснование арифметики действительных чисел для большинства математиков XVIII века было неприемлемым. В связи с процессом арифметизации математики, они пытались развить чисто арифметическую теорию действительных (вернее — иррациональных) чисел. Такую теорию математики XVIII и даже первой половины XIX века разработать не смогли. Иррациональное число невозможно выразить конечным числом рациональных чисел; в арифметических теориях смысл арифметических действий с действительными числами много сложнее чем с числами натуральными и дробными. Однако математики XVIII века разработали для арифметических теорий действительных чисел необходимую фактическую и отчасти методологическую базу, на которую, впоследствие, опирались Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс. Основным достижением было широкое признание арифметической природы и равноправности понятия иррационального числа с числами целыми и дробными. Иррациональные числа используются как орудия развития и обоснования других математических

дисциплин X (алгебра, анализ, геометрия, тригонометрия, механика, астрономия и физика). Получают широкое признание три трактовки понятия иррационального числа: 1) как корня n-й степени из целого или дробного числа, когда результат извлечения корня не может быть выражен «точно» целым или дробным числом, 2) как предела последовательности рациональных приближений, 3) как отношения величины к другой величине того же рода, принятой за единицу (ат-Туси, Ньютон). Исследуется выполнимость законов счета в области действительных чисел (Кестнер). Ставиться вопрос о трансцендентности числа тс и разрабатываются методы (Эйлер, Ламберт), дальнейшее развитие которых (XIX в.) позволило доказать существование трансцендентных чисел.

VI. Впервые понятие отрицательного числа возникло в начале нашей эры при разработке единого алгоритма решения систем линейных уравнений. Оно возникло без непосредственной помощи своих реальных прообразов, как «недостаток» для вычитания, как промежуточный компонент звеньев единого алгоритма решения систем линейных уравнений. Природа отрицательных чисел и смысл арифметических действий с ними были не ясны и именно это явилось основой трудностей, с какими встретились впоследствие математики при обосновании арифметики положительных и отрицательных чисел (Диссертация, гл. VI, параграф 1).

Свойства отрицательных чисел существенно отличаются от свойств «реальных» величин. Трактуя умножение в обычном арифметическом смысле, невозможно рационально истолковать умножение на отрицательную величину (+Х—=—;—X—=+). Рассматривая нуль только как знак ничто, нельзя раскрыть смысл неравенства — а<0 и т. п1. Именно поэтому математики XVI и начала XVII веков называли отрицательные величины «фиктивными», соглашались сохранить их в качестве «вспомогательных фикций». «Ты видишь, — писал Штифель после разъяснения правил знаков, — что все это с первого взгляда очень похоже на самый пустой вздор и однако же выполненные сообразно с этим алгебраиче-

1 В XVIII веке, в исследованиях, посвященных вопросам обоснования учения о числе, символы +а и — а всегда обозначали положительные и отрицательные величины.

ские действия приводят к изобретениям поистине удивительным. Но чтобы не пропустить ничего из того, что относится к целостной системе арифметики, по мере своих сил я должен, как мне кажется, сказать в этой части о фиктивных числах ниже чем ничего (т. е. меньших нуля — В. М.). Итак, подобно тому как мы представляем себе различные корни чисел из чисел, не имеющих таких корней, и это представление оказывается в высшей степени полезным в применении к математическим делам, так же не без пользы представляем себе число ниже 0, т. е. ниже чем ничто» (Подчеркнуто мною—В. М.)

Существенные шаги к более правильному пониманию природы положительных и отрицательных величин были сделаны в XVII веке в связи с их использованием в аналитической геометрии, математическом анализе и механике.

От Декарта начинается поворот в сторону признания объективности понятия отрицательной величины, начинается систематическая разработка арифметики положительных и отрицательных величин.

Декарт, Валлис и др. сделали многое для научного обоснования понятия отрицательного числа. Однако они не дали соотношениям (+в) (—а) =—ав; (—в) (—а) = +ав соответствующего истолкования, не преодолели «парадоксы», связанные с понятием отрицательной величины, хотя во многом и создали для этого необходимую базу. Не смогли это сделать и другие математики XVII в. Все эти проблемы перешли к математике XVIII века.

В XVIII веке большинство математиков считало понятие отрицательной величины (числа) столь же объективным, как объективно и понятие «абсолютной» величины. Меньшая часть математиков, напротив, отвергала объективность понятия отрицательной величины (числа), отстаивала объективность только понятия «абсолютной» величины. К числу первых принадлежали Ньютон, Эйлер, Клеро и Лаплас, вторых — Даламбер и Карно.

Вопрос о прироре отрицательных величин (чисел) и способов обоснования действий с положительными и отрицательными числами занимал Эйлера ряд лет. Он уделял ему внимание в переписке с Кюном и Элером, в научных публикациях и учебных руководствах,

Кюн (1735 г.) считал понятие отрицательной величины «мнимым», представление положительных и отрицательных величин противоположно направленными отрезками— «неудачным», правило знаков (—х—=+) — «непонятным».

В отзыве на эти соображения Кюна и в письмах в Элеру, Эйлер критиковал взгляды Кюна. Эйлер писал:

1. «Отрицательные количества являются действительными и всегда можно указать то, что они обозначают». Если исключить из математики понятие отрицательного числа, то это приведет к серьезным трудностям. В большом числе вопросов надо уметь характеризовать не только размеры, но и положение фигур; это можно сделать только с помощью положительных и отрицательных чисел. Без отрицательных чисел углы x, 90° < х < 180°, не будут иметь косинусов, с чем, конечно, математики согласиться не смогут.

2. Оперирование с положительными и отрицательными числами по известным правилам законно, т. е. никогда и нигде не приводило к противоречиям, всегда помогало получать правильные результаты. Если же, подчеркнул Эйлер, основываясь на принципах «мы приходим всегда к правильному и никогда к ошибочному результату, то нельзя привести большего в пользу правильности самих принципов». Если же не принять, что (—а) x (—а) = + a2, то в2 — 2 ав + a2 не будет квадратом разности в — а, не всякое квадратное уравнение будет иметь два корня и т. п.

3. Если говорят, что понятие отрицательного числа «ложно», т. е. оно не может быть ответом на задачу о числе людей, то на это надо ответить так: дробные и иррациональные числа так же не могут быть ответом на эту задачу; но разве мы скажем, что они «ложны!» Различные виды чисел «... обладают таким свойством, что чаще не все они могут быть применимы в задачах, когда речь идет о какой-нибудь величине, но в отношении задач то один, то другой вид будет как бы мнимым».

4. «Я не вижу, — писал Эйлер, — что может быть приведено в исключение пропорции +1 : —1——1 : +1, разве только то, что слова и фразы, которыми мы обычно пользуемся в пропорциях с положительными членами, не могут быть применены к этой пропорции.

Но ведь не слова образуют пропорцию, а математические понятия, которые могут быть расширены».

Эйлер, таким образом, доказывал объективность понятия отрицательной величины указанием на его геометрические прообразы, а также ссылкой на правильность результатов, получаемых с помощью арифметики положительных и отрицательных величин. Именно в этой связи он отверг попытки Кюна объявить понятие отрицательной величины «ложным», т. е. ему не присущи некоторые видовые свойства положительных величин.

Первые три утверждения Эйлера были достоянием большинства математиков XVIII века. Напротив, изумительное по силе и прозорливости высказывание Эйлера о природе пропорции +1 :—1=—1 :+1 в XVIII веке особой роли не сыграло.

В XVIII веке большинство математиков считало необходимым обосновывать арифметику положительных и отрицательных величин, а не чисел, рассматривая ее как главу алгебры1. Исключение составляли Ньютон и Эйлер, которые говорили о положительных и отрицательных числах. Идея расширения числовой области, в связи с задачей о выполнимости обратного действия, математикам была в общем чужда вплоть до конца XVIII века. Напротив, сторонники объективности понятия отрицательной величины чаще всего склонны были считать, что вычитание всегда возможно и приводит к понятию отрицательной величины. «Для меня — писал Эйлер Элеру, — отрицательное число есть не что иное, как то, что должно полагать оставшимся, если большее число вычитается из меньшего».

До последней четверти XVIII века подавляющее большинство сторонников объективности понятия отрицательной величины пытались построить (обосновать) арифметику положительных и отрицательных величин на фундаменте, всеобщего учения об «абсолютных» величинах (с «всеобщими» определениями арифметических действий). Последнее охватывает только положительные скалярные величины, поэтому попытки та-

1 Алгебра, в свою очередь, обосновывалась как учение о величинах вообще. См. Диссертация, гл. II, параграф 6.

ких построений увенчаться успехом не могли. На базе этого учения не представлялось возможным:

1) Дать понятию отрицательной величины достаточное научное истолкование;

2) выявить смысл неравенства — а < 0;

3) обосновать правило знаков для умножения на отрицательную величину.

Положительный результат, по сути дела, получался в одном пункте: опираясь на понятия об имуществе и долге и оперируя «всееобщим» определением умножения, удавалось проинтерпретировать правила сложения и вычитания положительных и отрицательных величин и правило умножения на положительное целое число (Диссертация, гл. VI, параграф 3).

Для обоснования алгоритмов алгебры, аналитической геометрии и математического анализа преодоление указанной третьей трудности имело решающее значение. Правила знаков обсуждаются в научных трактатах, им уделяют внимание авторы учебников алгебры. Сторонники объективности понятия отрицательной величины стараются эти правила доказать.

Математики XVIII века трактовали обычно положительные и отрицательные величины, как величины одного рода (величины «абсолютные»), рассматриваемые, однако, как противоположности. При этом предполагалось, что основные свойства «абсолютных» величин — в том числе, конечно, все пять законов счета, — сохраняют силу и в области положительных и отрицательных величин. Отсюда следовало, что правила знаков для умножения выражают возможные связи между положительными и отрицательными величинами с необходимостью и однозначностью, какие присущи правилам арифметических действий в арифметике натуральных чисел. Последние доказываются; значит возможно доказать и первые (Диссертация, гл. VI, параграф 3, п. 3).

Доказать правила знаков для умножения методом моделирования (при сохранении «всеобщего», т. е. арифметического определения умножения) невозможно. Значит доказательство надо искать на иных путях, опираясь не на явное определение отрицательной величины, а на те или иные «общие» свойства всех видов «абсолютных» величин.

Научные трактаты и учебные руководства XVIII века сохранили для нас много примеров таких «доказательств». Это были преимущественно «доказательства», основанные на предположении универсальной выполнимости законов счета (в первую очередь закона дистрибутивности). Предлагались и иные доказательства, опирающиеся на другие свойства «абсолютных» величин [Л. Эйлер, Гамалея, Саундерсон, Саури и др. (Диссертация, гл. VI, п. 5)].

Все такие «доказательства» широкого признания не получили. Они противоречили традиционной манере математиков доказывать свойства величин, опираясь на явное определение их сущности и на явное истолкование сложения и умножения.

Можно показать, что подобные «доказательства» правил знаков для умножения не могут не опираться на законы счета, особенно на закон дистрибутивности. Поэтому присущие им недостатки неустранимы. (Диссертация, Приложения №№ 5 и 7).

Сопутствующие подобным «доказательствам» правил знаков неудачи, критика противников объективности понятия отрицательной величины, к концу XVIII века подорвали уверенность в правильности посылок и методов рассматриваемой концепции.

Концепция Даламбера и Карно — наиболее видных противников объективности понятия отрицательной величины — состояла из двух частей. В первой они критиковали своих противников за их попытки построить арифметику положительных и отрицательных величин на понятии «абсолютной» величины. Используя слабые места таких построений — расплывчатость определения отрицательной величины, шаткость «доказательств» правил знаков, «парадоксальность» свойств отрицательных величин, — Даламбер и Карно по существу разбили основы концепции сторонников объективности понятия отрицательной величины. В критической части своего учения Даламбер и Карно по сути доказали невозможность примирить узкое, метафизически абсолютизируемое понимание природы величин и арифметических операций над ними с признанием объективности понятия отрицательной величины.

Критика Даламбера и Карно показала, что для научно-выдержанного обоснования арифметики поло-

жительных и отрицательных величин необходимо отказаться от абсолютизации понятия «абсолютной» величины, обобщить это понятие так, чтобы оно охватывало, как равноправные, положительные и отрицательные величины, расширить определения сложения и умножения и на этой основе построить их арифметику. Но этот путь, столь естественный с современной точки зрения, для Даламбера и Карно оказался неприемлемым. Они заключили, что понятие отрицательного числа «ложно», «фиктивно» и утверждали, что область исследований математики совпадает с областью «абсолютных» величин.

Даламбер и Карно утверждали, что во всех алгебраических преобразованиях можно оперировать с + а и —а по обычным правилам, так как —а в любом алгебраическом выражении обозначает «абсолютную», но вычитаемую величину. Карно подчеркивал, что все эти правила можно обосновать лишь в тех случаях, когда в рассматриваемых разностях уменьшаемое не меньше вычитаемого. Если в выкладках встречаются разности, в которых уменьшаемое меньше вычитаемого, то право оперировать с ними по обычным правилам надо оправдывать в каждом конкретном случае правильностью получаемых результатов. Пытаясь ограничить область исследований математики только областью «абсолютных» величин, Карно был вынужден заключить, что не математика гарантирует истинность получаемых с ее помощью результатов, а напротив, истинность результатов должна служить оправданием математики. Спрашивается, что после этого остается от действенного значения математики, как метода познания действительного мира? Как ею могут пользоваться механики, физики и техники?

Итак, ни сторонники объективности понятия отрицательной величины, ни ее противники, не дали арифметике положительных и отрицательных величин достаточного обоснования. Коренной причиной этого факта было то, что они абсолютизировали понятие «абсолютной» величины и обычное, арифметическое определение умножения.

Однако «отрицательные» итоги усилий обеих групп математиков не пропали даром. Они помогли некоторым русским (Муравьев, Осиповский) и французским

(Ривар, Лемуан, Кондильяк) математикам второй половины XVIII века подойти к осознанию важных методологических принципов, которые впоследствие стали составной частью современных форм обоснования арифметики положительных и отрицательных чисел.

Учитывая коренную причину неудач обеих групп математиков, названные математики обобщают обычное определение умножения и в этой связи пытаются обосновать арифметику положительных и отрицательных величин. «Умножение — писал Муравьев, — не что иное есть, как только сложение одной данной величины с ничем, или вычитание ее из ничего столько раз, сколько другая данная величина в себе единиц имеет». Аналогично определяли умножение Осиповский, Лемуан и др. Такие определения помогли их авторам истолковать все случаи правила знаков для умножения.

Лемуан указал, что принятое им расширенное определение умножения целесообразно еще и потому, что при нем в области положительных и отрицательных величин сохраняются основные законы действий в первую очередь закон дистрибутивности. Такого рода идеи впоследствии защищал Э. Безу.

Конечно, указанное расширенное определение умножения не является достаточно совершенным. Его «скелетом» является обычное определение умножения, благодаря чему оно верно лишь для целых чисел. В нем, без надлежащего обоснования, принимается то, что казалось более чем парадоксальным: возможность вычитания величины из ничего (нуля). Однако у Муравьева, Лемуана, Безу и др. намечается основное для современных способов обоснования учения о числе — идея расширения определения действий с целью охватить возможные соотношения и связи чисел в расширенной области чисел, с сохранением главных законов действий. Эта идея нашла последователей среди некоторых передовых ученых и преподавателей первой четверти XIX века. В России к их числу принадлежал Н. И. Лобачевский, во Франции — Лефебюр де Фурси.

В 1799 г. и 1806 г. Вессель и Арган опубликовали мемуары, в которых изложили разработанное ими геометрическое истолкование арифметики комплексных

чисел. Попутно они дали в этих мемуарах и геометрическое истолкование арифметики положительных и отрицательных чисел. Вессель и Арган не только подтвердили, но по сути дела и развили передовые идеи Муравьева, Лемуана и некоторых других математиков XVIII века.

Суммируя сказанное, можно утверждать: Большинство математиков XVIII и начала XIX в. в. признавали и отстаивали объективность понятия отрицательной величины (числа). Наиболее последовательными в этом вопросе были Л. Эйлер и его ученики.

В XVIII веке в трактовке вопросов обоснования арифметики положительных и отрицательных величин господствующее положение занимали две концепции, основой которых являлось понятие «абсолютной» величины, с «всеобщим» определением умножения. С середины XVIII века собственное развитие этих -концепций стало выявлять их научную несостоятельность. В связи с этим некоторые математики второй половины XVIII и начала XIX в. в. наметили основы метода, с помощью которого математики XIX века могли начать строить и действительно построили логически выдержанную арифметику положительных и отрицательных чисел.

Однако в последней четверти XVIII века и в первой четверти XIX века передовые идеи Весселя, Лобачевского, Лемуана, Муравьева, и других широкого распространения не получили.

VII. До эпохи Возрождения математики встречались с комплексными числами только как с результатами решения некоторых квадратных уравнений. Поскольку при этом рассматривались только задачи, решение которых, если оно существует, выражается в действительных числах, то математики считали комплексные числа «ложными», «фиктивными», а соответствующие квадратные уравнения не имеющими решений.

В XVI веке понятие комплексного числа оказалось необходимым для алгоритма решения всех возможных кубических уравнений. (Формула Тарталья — Кардано, неприводимый случай). Это побудило математиков отказаться от полного игнорирования комплексных чисел, отчасти признать их и приступить, так сказать,

к эмпирическому изучению их свойств. Решая различные задачи с помощью комплексных чисел, математики старались выяснить как надо с ними оперировать, чтобы получать правильные результаты. Начало таким исследованиям положили Кардано (1545 г.) и Бомбелли (1572 г.). Последний указал признак равенства комплексных чисел и правила их сложения и умножения.

В XVII веке значение комплексных чисел в алгебре возрастает; они становятся орудием решения задач и в аналитической геометрии (Декарт, 1637 г.).

В XVI и XVII веках понятие комплексного числа не имело прообразов ни в алгебре, ни в аналитической геометрии. В этой связи естественно возникали вопросы: допускают ли комплексные числа геометрическое или какое-либо другое истолкование? Необходимы ли комплексные числа для математики?

Декарт считал, что в природе нет ни одной величины, которая, как он писал, «соответствовала бы этим воображаемым корням» (т. е. комплексным числам — В. М.). «Могут спросить, — писал Жирар, — к чему эти невозможные решения? Я считаю: для трех вещей — для справедливости общего правила, так как других решений нет и ради пользы».

В конце XVII века только один ученый — английский математик Валлис, — взял на себя смелость утверждать, что понятие комплексного числа допускает как геометрическое, так и алгебраическое истолкование.

Взгляды Декарта и Жирара на природу и пользу комплексных чисел завоевали господствующее положение и получили законченное выражение и обоснование в работах математиков первых трех четвертей XVIII века. Взгляды Валлиса широкого признания не получили. К ним вернулись лишь в конце XVIII века.

К началу XVIII века формальная структура многих возможных отношений и связей комплексных чисел была еще не ясна. Что надо понимать под символами

Не есть ли это мнимости новой природы, т. е. сводятся ли они или не сводятся к числам вида A+B√—1? Как с та-

кими символами оперировать? На эти вопросы математики начала XVIII века ответить не могли.

Математики понимали, что упорядочить множество комплексных чисел «невозможно». Но что здесь «невозможность» означает, чем она обусловлена, никто не знал.

В XVIII веке комплексные числа играют не только все более заметную роль в алгебре и аналитической геометрии, но и проникают в практику исследований в области математического анализа и его приложений. Риман указывал, что «почти каждый шаг, который здесь был сделан, не только придавал более простой, более законченный вид результатам, полученным без помощи комплексных величин, но и указывал пути к новым открытиям: примером тому служит история исследований, посвященных алгебраическим, круговым или показательным, эллиптическим и абелевым функциям». Вместе с тем разработка методов решения задач математического анализа начинает играть решающую роль при выяснении логической структуры и построении алгоритмов арифметики комплексных чисел.

В диссертации рассматривается роль разработки алгоритмов интегрирования рациональных функций в развитии теории логарифмирования в комплексной области. Рассматривается также, что дали арифметике комплексных чисел теория определенных интегралов, интегрирование линейных дифференциальных уравнений, теория чисел, картография и гидродинамика. Подчеркивается, что в последней четверти XVIII в. формальная структура арифметики комплексных чисел была разработана полностью. Главные результаты здесь получил Л. Эйлер (природа логарифмов комплексных чисел, формула exi = cosx + isinx).

На примерах из работ Эйлера, Даламбера, Лапласа и др. далее выясняется, что все эти математики, являясь противниками объективности понятия комплексного числа, не смогли обосновать логическую правомерность арифметики комплексных чисел, равно как и не обосновали право на включение этих чисел в алгебраическое исчисление. Лаплас подчеркивал: все заключения, получаемые с помощью «мнимых» величин (комплексных чисел) — только наведения на истину, но не сама

истина. Они становятся настоящими истинами после их подтверждения методами, связанными с применением только действительных чисел. Здесь, как и в случае арифметики положительных и отрицательных величин, учение об «абсолютных» и «мнимых» величинах не смогло быть прочным фундаментом арифметики комплексных чисел (Диссертация, гл. VII, параграф 3). Освобождение результатов математических доказательств от комплексных чисел достигалось обычно путем сложных выкладок и приводило к крайне громоздким выражениям. И здесь получались осложнения, характерные для концепции противников объективности понятия отрицательной величины.

До последней четверти XVIII века в механике, физике и астрономии решались проблемы, которые при переводе их на язык исчислений и алгоритмов математики требовали для характеристики исходных данных и конечных результатов только действительных чисел. При решении задач комплексные числа чаще всего появлялись лишь в качестве промежуточных элементов выкладок; как результат, комплексное число свидетельствовало о невозможности решения задачи. Именно поэтому в XVIII и даже в первой четверти XIX века взгляды Эйлера, Даламбера, Лапласа и впоследствии Коши на природу, значение и способы включения комплексных чисел в исчислении пользовались почти всеобщим признанием. Во второй половине XVIII века, особенно в последней четверти, практика (работы Эйлера и др. по картографии и гидродинамике) выдвинула ряд новых задач, при решении которых исходные данные и конечные результаты необходимо выражались комплексными числами. Трактовать комплексные числа, как символы, лишенные объективного содержания, по сути дела стало невозможным. Кроме того здесь особенно отчетливо выявилась беспомощность господствующей концепции в вопросах обоснования логической правомерности арифметики комплексных чисел и, наоборот, пригодность для этой цели научно-обоснованной интерпретации арифметики комплексных чисел. Разработка такой интерпретации становится в конце XVIII и в первой четверти XIX века узловой проблемой обоснования арифме-

тики комплексных чисел, а вместе с нею и арифметики положительных и отрицательных чисел.

Первым ученым, пытавшимся найти геометрическое и алгебраическое истолкование понятия комплексного числа был Валлис. Цели он не достиг, однако понял и подчеркнул, что комплексные числа не могут быть представлены отрезками обычной числовой прямой, но допускают истолкование с помощью отрезков, расположенных в плоскости выше или ниже этой прямой.

Еще менее эффективной была аналогичная попытка Кюна. Она представляет интерес только в связи с анализом взглядов Эйлера на природу отрицательных и комплексных чисел, которые он изложил в переписке с Элером и Кюном (Диссертация, гл. VII, параграф 4).

В конце первой половины XVIII в. Эйлер также пытался выяснить геометрическую природу комплексных чисел. Полученные Эйлером результаты повидимому не удовлетворяли его самого и заметку он не опубликовал.

В работах по гидродинамике (1755) Эйлер переходит от точек плоскости (х, у) к комплексным числам x + yi (и наоборот) и тем самым осуществляет основную идею геометрического представления комплексных чисел. Однако геометрический смысл арифметических действий с комплексными числами Эйлер не раскрывает.

К концу XVIII века создались условия, благоприятствующие разработке геометрического истолкования арифметики комплексных чисел. К этому времени понятия вектора — не по названию, а по своему существу —стало для математиков привычным. Привычным стало и разложение вектора на компоненты. Математики пользовались различными геометрическими преобразованиями, в том числе и преобразованиями подобия. Был и опыт соответствующего построения различных арифметик. Со второй половины XVIII века математики переходят к расширенному определению числа по Ньютону, сознательно начинают обобщать определение умножения (дроби, положительные и отрицательные числа). К концу XVIII века, повторяем, арифметика комплексных чисел была формально развита полностью.

Задача о геометрическом истолковании арифметики комплексных чисел была впервые правильно

поставлена и решена Гаспаром Весселем (1799 г.). Вскоре с аналогичными работами выступили Арган (1806) и Франсе (1813), а вслед за ними Мурей (1826) и Уоррен (1829). IB начале XIX в. Гаусс владел всем необходимым для разработки геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел, однако в печати не выступил. (Диссертация, гл. VII, параграф 4).

Что дала геометрическая интерпретация арифметики комплексных чисел для дальнейшего развития понятия числа и для разработки новых способов, обоснования учения о числе?

I. Открытие геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел показало, что эта арифметика также истинна, как истинна и арифметика действительных чисел.

II. Отсюда следовало, что арифметика комплексных чисел логически правомерна; получаемые с ее помощью результаты — не наведения на истину, а настоящие истины.

III. Ближайшим следствием открытия геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел было преодоление парадоксов, связанных с понятием комплексного числа. Так, например, вызывающее сомнение соотношение √—а √—в = —√ab , а > 0, b> 0 явилось выражением перехода от векторов √—а и √—в к вектору — √ab, который, по определению, является их произведением.

IV. Полезность комплексных чисел (на которую ссылались для оправдания их существования, но объяснить не могли) оказались следствием объективности понятий об этих числах и операций над ними. Операции сложения и умножения комплексных чисел отображают совокупность всех возможных движений на плоскости (со сжатием или растяжением). Из этого и вытекает целесообразность применения вычислений с комплексными числами в метрической геометрии и, в конечном счете, в математике в целом.

V. В геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел комплексные числа по их содержанию и содержанию действий над ними выступили

естественным обобщением понятия действительного числа.

В этой связи стало ясным, что вопрос о возможности решить ту или иную арифметическую задачу имеет не абсолютный, а относительный смысл и сводится к вопросу о соответственном расширении понятия числа.

VI. Открытие геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел создало предпосылки к преодолению разделения понятия числа на «реальные» и «воображаемые».

VII. Становилось также ясным, что геометрическое истолкование арифметики комплексных чисел является образцом построения арифметики любых величин, способных к непрерывным изменениям (векторов в n-мерных пространствах, n > 2). Иначе говоря, стало ясным, что понятие комплексного числа допускает дальнейшее обобщение.

VIII. Наконец, в геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел наметились контуры общих научных принципов обоснования понятия числа, развитых в XIX веке.

Смысл этих общих принципов можно кратко выразить так: откажитесь от традиционного, узкого понимания предмета арифметики, рассматривайте ее как науку о величинах какого угодно рода. После этого соответственно природе рассматриваемых величин отразите в определениях и законах их основные отношения и связи, а все остальное сделайте результатом дедукций. При переходе от целых к рациональным и от них к следующим видам чисел, т. е. при обосновании арифметик, где каждая является обобщением предшествующей, руководствуйтесь принципом расширения определений действий.

Эти принципы не во всем идентичны приемам обоснования учения о числе, разработанным со второй четверти XIX века. В них еще не выступает отчетливо мысль, что арифметика любых чисел — общая, формальная наука, законы которой осуществляются в различных областях объектов, благодаря чему ее интерпретации можно конструировать. Эти принципы не содержат также указания на необходимость проверки выполнимости законов счета.

Открытие геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел «во многих отношениях означало решающий прогресс в истории математики» — так говорят французские математики, выступающие под псевдонимом Н. Бурбаки. Мнение, быть может, несколько преувеличенное, но одно неоспоримо: разработка геометрической интерпретации арифметики комплексных чисел явилась поворотным пунктом в развитии понятия числа и научных способов обоснования учения о числе.

VIII. Конец XVIII и первые три десятилетия XIX века внесли в сокровищницу учения о числе некоторые существенные элементы арифметики кватернионов. Этим математика обязана преимущественно Эйлеру, Гауссу, Весселю и Аргану.

Решая задачу Ферма о представлении целого числа в виде суммы квадратов четырех целых чисел, Эйлер показал, что в области вещественных чисел справедливо тождество, которое можно записать в кватернионной форме так: [ab]2=[a]2[b]2.

Гаусс, Вессель, Арган, Муррей и др. строили арифметику комплексных чисел, как арифметику векторов, расположенных на плоскости. Естественно, что в этой связи каждый из них поставил вопрос о развитии еще более общей арифметики — арифметики векторов, расположенных в пространстве.

Попытка Аргана решить эту задачу оказалась неудачной; он полагал, что ii можно рассматривать, как новую (вторую) мнимую единицу.

Вессель поставил задачу развития арифметики векторов пространства совершенно точно, как он ее формулировал в отношении векторов на плоскости. Однако и он задачу не решил, т. е. представлял векторы в пространстве числами вида a-l-j-b-Yj-l-c-e (где m)2=---г2 = —1 и, повидимому, пытался дать определение умножения для чисел нового вида так, чтобы при этом сохранил силу закон коммутативности (что невозможно).

Первое высказывание о существовании мнимых чисел новой природы, по основным свойствам отличных от обычных комплексных чисел, содержится в докторской диссертации Гаусса (1799), посвященной доказатель-

ству основной теоремы алгебры. Опираясь на это высказывание Гаусс утверждал, что разработанное Эйлером доказательство основной теоремы алгебры не является строгим. Как складывать и умножать числа навой природы — этот вопрос Гаусс обошел, отметив лишь его сложность.

Впоследствие Гаусс неоднократно возвращался к вопросу о правилах действий с числами новой природы. В 20-х годах XIX века он получил фундаментальный результат — установил правило перемножения кватернионов. Гаусс отметил, что умножение кватернионов не подчиняется закону коммутативности.

Результаты своих исследований Гаусс не опубликовал; они были обнаружены в заметках Гаусса, после его смерти.

Правильная постановка задачи развития арифметики кватернионов, как арифметики векторов просранства и разработка ее элементов — таков итог исследований названных математиков переходного периода. Впоследствие на него опирались Гамильтон, Грассман и другие исследователи.

IХ. К началу четвертого десятилетия XIX века геометрическая интерпретация арифметики комплексных чисел была разработана полностью. Однако она широкого признания не получила. Не получили развития и связанные с нею новые способы обоснования учения о числе. Коши трактовал понятие комплексного числа в духе математиков XVIII века. Гаусс признавал новые идеи, но в печати их не поддерживал.

Широкое признание объективности понятия комплексного числа и логической правомерности арифметики комплексных чисел, равно как и дальнейшее развитие новых способов обоснования учения о числе, относятся ко второй половине XIX века. Этим математика обязана преимущественно Гауссу, Гамильтону, Грассману и Коши.

Разрабатывая арифметику целых комплексных чисел как орудие теории чисел (теория биквадратичных вычетов), Гаусс установил формальный характер учения о числе. В этой связи он писал: «Математик всегда мыслит отвлечением от свойств предметов и от содержания их отношений: его дело — только перечисле-

ние предметов и сравнение их отношений». Выяснению формального характера учения о числе содействовали работы Гамильтона и Коши, посвященные иным (не геометрическим) интерпретациям арифметики комплексных чисел.

Факт формального содержания учения о числе получил достаточно широкое признание к середине XIX века. В свете этого факта геометрическая интерпретация арифметики комплексных чисел (как и другие интерпретации) доказывала научную состоятельность, а значит и логическую правомерность последней. В этой связи в пятидесятых и шестидесятых годах XIX в. во Франции, Англии, Италии и Германии выходит в свет большое число научных и популярных работ, посвященных арифметике комплексных чисел и ее геометрическому истолкованию.

В пятидесятых годах XIX века Гамильтон и Грассман разработали арифметику высших комплексных чисел (кватернионы и гиперкомплексные числа). Впервые в истории объектом исследований математиков стали области чисел, в которых умножение не подчиняется закону коммутативности. Новые числа играли при этом действенную роль — были орудием исследований в теории поля и геометрии n-мерных пространств и дали основание к развитию векторного исчисления.

Процесс легализации арифметики комплексных чисел и дальнейшего обобщения понятия числа был неразрывно связан с разработкой методологических идей первостепенной важности, идей, в основном восходящих к последней четверти XVIII и первой четверти XIX веков.

В первой половине XIX века комплексные и гиперкомплексные числа стали обозначением векторов в n — мерных пространствах. (n = 2.3...). Отношения и связи комплексных и гиперкомплексных чисел отображали отношения и связи векторов в соответственных пространствах. Объявлять комплексные и гиперкомплексные числа «фиктивными», «воображаемыми», как это делали математики XVI—XVIII веков, стало невозможным.

Арифметика комплексных и арифметика гиперкомплексных чисел показали, далее, что переход к новой, более широкой области чисел, связан с необходимостью обобщать определения действий исходной области чисел.

Арифметика комплексных чисел и, особенно, арифметика гиперкомплексных чисел показали также, что в расширенной области чисел, как правило, не выполняются некоторые основные законы исходной области чисел. И чем дальше идет обобщение понятия числа, тем больше основных законов теряют силу. При переходе к комплексным числам от чисел действительных пришлось ради общности структуры алгебры отказатся от связывания их знаками >, <. Задачи математической физики и геометрии n-мерных пространств заставили Гамильтона и Грассмана отказаться еще и от коммутативности умножения кватернионов и гиперкомплексных чисел. Грассман обосновал также возможность построения иных арифметик гиперкомплексных чисел, для чисел которых не будет справедлив какой-либо другой закон, скажем закон ассоциативности умножения.

Законы счета, исторически самые стойкие и поэтому составляющие в XVI—XVII веках основу «неизменной» сущности «абсолютной» величины, оказались законами с ограниченной областью действия. Отсюда следовало, что при построении арифметики любого вида чисел нельзя исходить из предположения выполнимости всех законов счета в области этих числе, что основанные на этом предположении доказательства правил знаков и т. п. не являются логически состоятельными.

Итак, к середине XIX века трактовка математики, как науки только от «абсолютных» величинах, разделение чисел на «реальные» и «воображаемые», требование строить учение о числе на определении «абсолютной» величины и на обычных определениях арифметических действий, необоснованное подведение новых чисел под законы чисел известных оказались окончательно дискредитированными.

Открытия Гаусса, Гамильтона, Грассмана и Коши создали широчайшие возможности для развития учения о числе по самым разнообразным направлениям. Они, вместе с тем, показали также, что для обоснования арифметики какого угодно вида чисел достаточно:

1. Перечислить ее основные понятия и определения и задать посылки в чистом, формализованном виде (условия сравнения по величине, определения арифметических действий и, быть может, аксиомы). Эти посылки в

совокупности дадут определение чисел рассматриваемого вида.

2. Подтвердить объективность понятий об изучаемых числах. Для этого надо показать, что характеризующие их основные посылки осуществляются на объектах какой угодно природы (хотя бы и математических, ранее изученных). Конструирование содержательных интерпретаций арифметик различных видов чисел существенно необходимо.

3. Выяснить, какие законы счета выполняются в обосновываемой области чисел.

Все остальное содержание арифметики рассматриваемого вида чисел должно быть логическим следствием ее посылок и выполнимых в ней законов счета. Перенесение свойств одной области чисел в другую допустимо только в той их части, которая является следствием общих посылок той и другой областей.

Учитывая требования алгебры, математического анализа и геометрии, открывшиеся возможности развития понятия числа оказалось целесообразным использовать преимущественно в направлении, максимально сохраняющем основные свойства и законы исходной области чисел (принцип перманентности формальных законов Пикока-Ганкеля). Последнее обстоятельство подчеркивало целесообразность наметившейся еще в XVIII веке тенденции обобщать понятие числа в связи с расширением определений действий.

В первой половине XIX века обоснование арифметики комплексных и гиперкомплексных чисел с помощью нового метода удалось свести к вопросу о логической правомерности арифметики действительных чисел. Обоснование арифметики целых чисел (в принципе и чисел рациональных) было сведено к вопросу о логической правомерности арифметики натуральных чисел. Но обосновать соответственно новым идеям арифметики натуральных и действительных чисел не удалось. Эти проблемы перешли к математике второй половины XIX века.

Итак, во второй четверти XIX века Гаусс и Гамильтон установили формальный характер учения о числе. Гамильтон и Грассман показали, что пять законов счета являются законами ограниченного действия. Именно эти факты сыграли решающую роль в признании и существенном развитии лучших достижений математиков

XVIII и первой четверти XIX веков в построении учения о числе и создали последнему широкие возможности дальнейшего обобщения.

Х. Некоторые приложения имеют целью теоретическое обоснование части основных утверждений, выдвинутых в диссертации. В этой связи наиболее существенны приложения № 1 и № 7.

№ 1 — О роли аксиомы индукции при аксиоматическом обосновании арифметики натуральных чисел;

№ 7 — О возможных расширениях области натуральных чисел относительно операции вычитания.

В первом приложении доказывается, что в арифметике натуральных чисел, основанной на системе аксиом Пеано, «почти все» утверждения не могут быть доказаны без аксиомы индукции. К их числу относятся законы счета, теоремы о неравенствах и делимости чисел и т. п. Этот результат позволяет более отчетливо выявить недостаточность теоретического уровня доказательств многих теорем арифметики натуральных чисел, общепринятых в XVIII и начале XIX веков.

В седьмом (и частично в пятом) приложении доказывается, что:

1) Если расширять область натуральных чисел до минимальной области чисел, в которой операция «вычитания будет всегда выполнимой, и при этом не налагать требование выполнимости всех пяти законов счета, то такое расширение может быть осуществлено различными способами.

2) Во множестве этих расширений существуют такие, для элементов которых некоторые законы счета или все пять законов счета не всегда выполнимы. Известно, вместе с тем, что во множестве этих расширений существует (с точностью до изоморфизма) только одно расширение, для элементов которого выполнимы все пять законов счета. Поскольку существуют различные минимальные расширения области натуральных чисел относительно вычитания, постольку нельзя говорить — как по сути это говорили математики XVIII века, — о логической необходимости перехода от натуральных чисел к числам целым. Можно говорить лишь о целесообразности выбора какого-либо из таких расширений (с соответствующими определениями сложения и умножения) и здесь, с точки зрения

задач алгебры и математического анализа, все преимущества на стороне обычной арифметики целых чисел.

XI. Результаты диссертации в основном изложены в следующих работах:

1. В. Н. Молодший, Основы учения о числе в XVIII веке, Учпедгиз, 1953 г.; второе издание (переработанное и дополненное), под названием «Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века», Учпедгиз 1963 г.

2. В. Н. Молодший, Очерки по вопросам обоснования математики, Учпедгиз, 1958 г.

3. В. Н. Молодший, Об истолковании роли аксиомы индукции в системе аксиом арифметики натуральных чисел. Жур. «Математика в школе», 1954 г., № 3.

4. В. Н. Молодший, О некоторых вопросах, связанных с обоснованием арифметики целых чисел. Ученые записки МГПИ им. В. П. Потемкина, т. LXXI, вып. 1, М., 1958 г.

5. В. Н. Молодший, Понятие комплексного числа в его развитии Жур. «Математика в школе», 1947, № 1.

6. В. Н. Молодший, Учение о натуральных числах в XVIII веке, Историко-математические исследования, М.,—Л., 1950 г., вып. III.

7. В. Н. Молодший, Учение о числе в XVIII и первой половине XIX веков, Жур. «Математика в школе», 1952, № 5.

A 62711 от 5/х-63 г. Зак. 2202 Тир. 250

2-я тип. Медгиза. Москва, Солянка, 14