МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

Е. Л. МОКРУШИН

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ БЕСКОНЕЧНОСТИ В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ V—VIII КЛАССОВ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель член-корреспондент АПН РСФСР проф. И. К. АНДРОНОВ

МОСКВА — 1961

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Член-корреспондент АПН РСФСР, проф. В. М. БРАДИС,

2. Канд. физико-математич. наук, доцент А. К. ОКУНЕВ.

Защита состоится в апреле 1961 г. в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской, ул. Радио, д. 10а.

Автореферат разослан 1961 г.

Ученый секретарь

Диссертационная работа на тему «Развитие понятия бесконечности в курсе математики V—VIII классов общеобразовательной средней школы» имеет основной задачей разработку методики преподавания математики на основе единства и взаимопроникновения конечного и бесконечного в количественных отношениях и пространственные формах, изучаемых в школе.

Названная тема актуальна прежде всего потому, что она является ключом к одному из основных понятий математики, которое все шире и шире внедряется в школьную математику — понятию функции.

В том аспекте, в котором понятие функции рассматривается в школе, оно лишено своей естественной базы — понятия множества и отсутствие этой базы невольно порождает формализм в усвоении учащимися идеи функциональной зависимости между величинами.

В политехнической школе, где должна быть более смелая и решительная связь теории с практикой, необходимо видеть возможность задания функций как на конечных, так и на бесконечных множествах значений аргумента и особенно нужно различать понятия «очень большого числа» от «бесконечного множества» значений величины, что на стихийно взятых примерах не может быть доведено до глубкого осознания учащимися.

Данная работа оформилась на основании следующих методов исследования.

1. На основе изучения трудов классиков естествознания критически рассмотрены взгляды ряда философов и математиков на понятие бесконечности, начиная с классической древности, и выявлено как исторически кристаллизовались математические понятия конечного и бесконечного.

2. Тщательно выяснялось насколько последовательно и полно формируются понятия конечного и бесконечного в учебниках средней школы и насколько содержательно в них раскрываются свойства математических понятий, органически связанные с проявлением бесконечности.

3. Большое значение придавалось опыту работы со студентами (стационара и заочного отделения) педагогического ин-

статута и учителями средних школ по вопросу о развитии понятий конечного и бесконечного множеств в курсах элементарной математики.

4. Опыты по внедрению понятия бесконечности в школьную математику проводились в течение ряда лет по различным вопросам программы. Они ставились и во время педагогической практики студентов с последующим анализом результатов, получаемых в ходе опыта.

5. По затронутому вопросу ставился специальный эксперимент, который осуществлялся самим автором работы в 3-й, 5-й и, частично, в 4-й средних школах г. Бирска и 352-й средней школы г. Москвы и одновременно ставился опыт под его руководством учителями математики в тех же самых школах.

Работа состоит из трех глав.

Глава 1. К вопросу об истории развития понятия о бесконечности. Здесь подробно анализируются объективные источники тех усилий, с которыми великие естествоиспытатели пролагали основную линию в развитии математики через преодоление глубоких противоречий конечного и бесконечного. Общефилософская античная мысль, опирающаяся на законны формальной логики, не поднялась до диалектического объяснения указанных противоречий. По Аристотелю единственная форма существования бесконечности — потенциальная. Он не признает реального значения понятия актуальной бесконечности. Архимед, а за ним и естествоиспытатели XVIII в. — Кеплер, Галилей, Кавальери смело преодолевают авторитет Аристотеля: потенциальная бесконечность уступает ведущее место актуальной бесконечности, на основе которой вырастают могущественные математические методы решения задач естествознания — дифференциальное и интегральное исчисления (И. Ньютон и В. Лейбниц). Однако математическая мысль XVIII в. не дала ответа на вопрос почему математические методы, опирающиеся на противоречивое понятие бесконечности, дают верное решение практических вопросов. Усиленные поиски способов разрешения противоречий конечного и бесконечного и логического обоснования инфинитезимальные методов возвратили подавляющее большинство математиков первой половины XIX в. (Коши, Гаусс, Абель и др.) к аристотелевской идее потенциальной бесконечности, на основе которой во второй половине того же столетия завершается обоснование классического математического анализа. Но вслед за этим Г. Кантор, глубоко исследовавший взаимосвязь конечного и бесконечного, обосновал недостаточность математической концепции потенциальной бесконечности для полного отражения действительности. Он показал, что «потенциальное бесконечное имеет лишь отраженную реальность, указывающую всегда на актуально бесконечное, благодаря которому оно лишь и возможно». Понятие бесконечного множества

стало прочной основой современной математики, прогресс которого идет через диалектическое преодоление противоречий конечного и бесконечного, единство и взаимопроникновение которых лежит в основе существования количественных отношений и пространственных форм. Конспектируя книгу Гегеля «Наука логики», В. И. Ленин обращает внимание на следующее: «Единство конечного и бесконечного не есть их внешнее сопоставление... причем ни одно не имеет перед другим преимущества бытия в себе и утвердительного наличного бытия... конечность есть лишь выход за себя; поэтому в ней содержится бесконечность, другое «ее самой».1 Процесс познания должен восходить от конечного к бесконечному, «по существу, — говорит Энгельс, — мы можем познавать только бесконечное... всякое действительное, исчерпывающее познание заключается лишь в том, что мы в мыслях поднимаем единичное из единичности в особенность, а из этой последней во всеобщность;.. Но форма всеобщности есть форма внутренней завершенности и тем самым бесконечности».2 Содержание первой главы приводит к выводу: та постановка преподавания школьной математики, при которой взаимосвязь конечного и бесконечного не выступает как коренное свойство количественных отношений и пространственных форм, делает школьную математику далекой от математики — науки и, естественно, необеспечивает сознательного усвоения учащимися как идей и методов математики, так и содержания самих математических понятий. Но насколько глубоко может быть раскрыто содержание школьной математики на основе единства конечного и бесконечного в соответствии с возрастными особенностями учащихся и насколько это будет эффективным в работе школы, очевидно, может решить только эксперимент и сама школьная практика.

Задолго до постановки систематического эксперимента на уроках математики и во внеурочные беседах с учащимися (начиная с V класса) понятие бесконечности применялось при рассмотрении лишь отдельных вопросов программы, но и тогда становилось уже ясным, что оно «ничуть не туманнее и не сложнее большей части понятий... Если оно и оставляет иногда некоторое сомнение в умах, то это зависит исключительно... от позднего его появления в системе образования».3

Стараясь выявить как внедряется понятие бесконечности в школьную математику через учебники и методические разработки, нам удалось установить, что уже в курсе арифметики осторожно, многое но не полностью, внедрено в книгах

1 В. И. Ленин, Философские тетради, 1947, стр. 86.

2 Ф. Энгельс, Диалектика природы, 1950, стр. 185.

3 Ш. Фрейсине, Очерки по философии математики, СПб., 1902, стр. 38.

по арифметике проф. И. К. Андронова; уместно, но недостаточно удачно в учебнике по алгебре А. Н. Барсукова; смело, но в основном в форме упражнений, в методических высказываниях преподавателя Омского педагогического института Р. И. Сикорского1 и др. Беседы с учителями показали, что многие из них недостаточно ясно представляют в какой форме проявляется взаимосвязь конечного и бесконечного в свойствах математических понятий, особенно тех, которые изучаются в V—VII классах.

Поэтому во второй главе работы «Как понятие бесконечности входит в элементарную математику» и была поставлена задача вскрыть всюду, где это целесообразно, проявление бесконечности в количественных отношениях и пространственных формах, изучаемых в курсе арифметики (V—VI кл.), алгебры и геометрии (VI—VIII кл.). Во всех этих дисциплинах раскрываются две формы проявления бесконечности — как бесконечного множества элементов, определяющего логический объем соответствующего понятия, и как бесконечного процесса изменения значений величины или неограниченной продолжаемости последовательности каких-либо математических объектов. В диссертационной работе не только указываются формы взаимосвязи конечного и бесконечного, но и рассматриваются конкретные примеры использования этого явления при решении задач жизненного содержания. Например:

1) Логический объем понятия обыкновенной дроби представляет бесконечное множество натуральных чисел m и п; назначение каждого из чисел m и n для читателя понятно из записи: m/n. Здесь единство понятий конечного и бесконечного проявляется не только в том, что без отдельно взятых дробей не может быть и самого множества дробей, но и в других формах. Так, если мы возьмем определенную дробь, например, 2/5, то по основному свойству дробей она определяет бесконечное множество равных по величине дробей — 2а/5a (а — натуральное число; если а принимает послсдовательно значения 1, 2, 3, 4,..., то имеем бесконечную цепочку равенств:

В той же самой дроби 2/5 заложена бесконечность еще и в такой форме: эту дробь можно представить бесконечным мно-

1 Р. И. Сикорский. Формирование понятий множества и соответствия в курсе арифметики и алгебры средней школы, Ученые записки Омского гос. пед. ии-та им. Л. М. Горького, вып. 5, 1956.

жеством различных видов записи-

Но и это не все. Число 2/5 можно разложить в бесконечный ряд, например:

или:

При вычислении суммы двух дробей с различными знаменателями мы часто и не замечаем, что нам приходится опираться на понятие бесконечного множества. В самом деле, чтобы сложить дроби 2/5 и 1/4 мы приводим их к наименьшему общему знаменателю, иначе говоря, из бесконечного множества общих знаменателей данные дробей — 12, 24, 36, 48,... 12n... (1) мы выбираем один — наименьший, т. е. число 12. Но бывает полезным данные дроби привести к другому общему знаменателю. Любой из них непременно содержится в бесконечной последовательности (1).

В жизненной практике возможность заменять одну форму выражения числа другой имеет важное значение. Так, если число 2/5 выражает вес гири в киллограммах, то записи того же числа в виде 4/10, 1/5 + 1/5 и т. д. соответственно означают, что эту гирю можно заменить четырьмя гирями по 1/10 кг, двумя — по 1/5 кг и т. д. Но число 2/5 может выражать значение и других еще величин — расстояние в километрах, время в часах и т. д. и в каждом из этих случаев могут понадобиться новые формы записи числа, которых существует бесконечное множество. Известно какое значение для приближенных вычислений имеет разложение числа в числовой ряд.

2) Всякий плоский выпуклый многоугольник является элементом бесконечного множества плоских многоугольников. Но в том же множестве многоугольников содержатся: а) бесконечное множество многоугольников, равные данному; б) бесконечное множество классов многоугольников, на которые может быть разложен данный многоугольник. Несмотря на

бесконечное многообразие форм выпуклых плоских многоугольников, сумма внешних углов каждого многоугольника (в данной системе измерения углов) выражается одним и тем же числом, а вместе с тем суммы внутренних углов многоугольников образуют бесконечное числовое множество. Среди этих чисел можно указать как угодно большие, хотя мера любого внутреннего угла многоугольника не превосходит определенного числа; некоторые из внутренних углов выпуклого многоугольника могут быть как угодно малыми, но сумма всех внутренних углов его не может быть меньше определенного числа. Одним из важных свойств физических моделей многоугольников, в котором отражается диалектическое, единство и противоположность конечного и бесконечного является свойство жесткости или нежесткости их форм.

Если физические модели треугольников, как детали технических конструкций, придают последним особую прочность, то шарнирный параллелограмм пантографа уже не обладает жесткостью формы треугольника. С увеличением числа сторон многоугольника его шарнирная модель становится все более «текучей», что с успехом используется в цепных передачах (цепь велосипеда, гусеницы трактора и т. д.). С увеличением числа звеньев цепи и уменьшением их длины и толщины, эластичность цепи приближается к эластичности шнура.

3) Алгебраическое выражение —— как функция букв — аргументов а и t, определено на всем множестве комплексных чисел, если исключить случаи совпадения значений a и t. Если же данное алгебраическое выражение рассматривать как решение задачи: «Два рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ в t часов. Первый рабочий может сделать эту работу в а часов. Во сколько часов мог бы выполнить заказ второй рабочий, работая один?», то, допуская возможность измерения величин а и t с точностью до таких долей часа, которые могут быть выражены в минутах, мы получаем конечное множество положительных рациональных значений а и t (причем a>t), на котором определено алгебраическое выражение —. Если известно, что первый рабочий мог выполнить заказ, скажем, за 5 часов, и требуется, чтобы второй рабочий выполнил ту же работу за целое число часов, то в новых условиях в алгебраическом выражении — x можно придать лишь единственное значение — t = 4. Таким образом, при усилении требований, которым должны удовлетворять буквы-аргументы алгебраического выражения, множество допустимых значений для этих букв может сужаться до конечного (в частности, до пустого).

В результате исследования, выполненного во второй главе, возникает новый аспект освещения в школьной математике известных традиционных фактов, которые без подхода со стороны конечного и бесконечного множеств даже лучшими, учениками воспринимаются формально, а средние и слабые ученики по существу не понимают их: они не видят как общее органически соединено с единичным. И здесь, как и в выводах к первой главе, снова встает вопрос об опытной проверке, о проведении специального эксперимента, которые показали бы, насколько смело можно вводить этот аспект в школьную практику, даст ли он ожидаемые результаты повышения развития учащихся, их сознательности, интереса, лучшего запоминания ими нужных фактов и вообще даст ли он больший эффект сравнительно с традиционным изложением школьного курса математики. Эти вопросы и решаются в третьей главе: «Методика формирования понятия бесконечности в курсе математики V—VIII классов общеобразовательной средней школы». Изложенная в этой главе методика внедрения нового подхода к освещению программных вопросов школьной математики сложилась, в основном, до постановки систематического эксперимента. Очевидно, опыт без заранее разработанной методики нельзя считать приемлемым, так как он может не дать ожидаемых результатов и, более того, может осложнить и дезорганизовать учебный процесс.

В методике арифметики рассмотрены следующие вопросы:

1) Формирование представлений учащихся о свойстве бесконечности и неограниченного возрастания последовательности натуральных чисел и ее подпоследовательностей — нечетных числе и чисел, кратных данного натурального числа m. Обоснование свойства бесконечной продолжаемости указанных последовательностей осуществляется на основе закона образования каждого числа той или иной последовательности, следующего за данным ее числом (например, в последовательности чисел, кратных m, никакое число не может быть последним, так как, прибавив к нему число m, мы получим следующее число, кратное m). Аналогично устанавливается возможность указать в названных последовательностях числа, большие любого данного натурального числа. Вводятся в употребление выражения: множество натуральных чисел бесконечно; множества нечетных натуральных чисел, натуральных чисел, кратных m, — бесконечны, но они являются частями множества натуральных чисел. При изучении дробей учащиеся знакомятся с простейшими бесконечными как возрастающими, так и убывающими ограниченными последовательностями дробньих чисел, например,

В работе показано, как с помощью изученных числовых последовательностей учащиеся более содержательно раскрывают вопрос о зависимости результатов действий с изменением компонентов, устанавливают насколько большими или малыми могут быть их значения и дают глубокую функциональную трактовку пропорциональной зависимости двух величин, которые могут пробегать бесконечное множество значений. Множество натуральных чисел представлено как правильная часть множества обыкновенные дробей.

2) Рассмотрено где и как встречается конечное множество в процессе операций над натуральными числами, при установлении делителей данного натурального числа и общих делителей данных натуральных чисел, единственность их НОД, а с другой стороны — бесконечное множество при установлении множества чисел, кратных данного натурального числа, общих кратных данных натуральных чисел, в разложении чисел на множители (натуральные и дробные) и слагаемые, при выражении дроби отношением натуральных чисел, а также при обращении обыкновенной дроби в десятичный ряд.

3) Особое внимание обращено на подбор упражнений, оживляющих мышление учащихся, заставляющих ученика анализировать взаимосвязь между соответствующими математическими понятиями, применять имеющиеся представления о конечных и бесконечные множествах. Например:

а) Как, пользуясь празнаком делимости чисел на 3, составить наименьшие двузначное, трехзначное, четырехзначное и т. д. числа, кратные 3? Написать последовательность чисел, кратных 3, начиная с наименьшего пятизначного числа, кратного 3.

б) Найти наименьшее натуральное значение числителя дроби x/5, при котором можно было бы выполнить действие x/5 - 1/3. Сравнить множество натуральных значении х, при которые указанное действие выполняется с множеством натуральных значений х, при которых действие не может быть выполнено.

в) Сколько существует прямоугольников, имеющих площадь, равную 18 см2, если длина и ширина прямоугольника, измеряемые в сантиметрах, могут быть выражены: 1) только целыми числами? 2) и целыми и дробными числами?

В работе изложены приемы, позволяющие в доступной для учащихся форме выполнять обоснование свойства бесконечности множества точек отрезка прямой и дуги окружности, множества прямых плоскости, проходящих через каждую точку, множества конгруентных и неконгруентных отрезков, углов, треугольников и других геометрических фигур плоскости.

При этом от учащихся систематически требуется указывать физические модели соответствующих геометрических фигур, применяемых в различные областях жизненной практики. Все это способствует формированию полноте представления учащихся о множестве фигур, охватываемых тем или иным понятием и делает для них ясным, что высказываемые в теоремах свойства фигуры присущи не только той, которая строится при доказательстве теоремы, но и бесконечному множеству одноименных с ней фигур. Внимание учащихся часто обращается на то как изменяется конечное множество элементов геометрической фигуры (например, диагоналей углов многоугольника) с изменением ее формы (например, с увеличением числа сторон многоугольника и т. п.). Детально анализируется вопрос о развитии теоретико-множественного мышления учащихся при подготовке их к восприятию понятия геометрического места точек, при этом рассматриваются разнообразные условия, в силу которых из бесконечного множества точек плоскости выделяются бесконечные или конечные (вплоть до пустых) его части. В соответствии с расширением понятия о числе дается обоснование свойства бесконечности множества рациональных и иррациональных точек числового луча.

Как и в арифметике, здесь предлагаются упражнения, развивающие представления учащихся о конечные и бесконечных множествах и их взаимосвязи. Например.

1. Ученику было дано задание построить из проволоки модели двух разносторонних, но равных треугольников. Он выполнил задание, имея в своем распоряжении только проволоку, кусачки и паяльник. 1) Как ученик строил модели равных треугольников? 2) Сколько он мог построить указанным способом моделей равных треугольников? (VI класс).

2. Сосчитайте пары углов с соответственно параллельными сторонами, которые вы наблюдается на столярном угольнике. Как объяснить, что существует бесконечное множество пар геометрических углов с соответственно параллельными сторонами? (VI класс).

3. Образована последовательность равносторонних треугольников так, что сторонами каждого следующего треугольника, начиная со второго, служат средние линии предшествующего ему треугольника.

1) Напишите последовательность длин сторон треугольников, если сторона первого треугольника равна единице длины. 2) Может ли быть последовательность моделей (изображений) указанных треугольников быть бесконечной? Почему? 3) Покажите, что при математическом решении задачи получится бесконечная последовательность треугольников. (VII класс).

4. Постройте квадрат и отрезок, соизмеримый с диагональю квадрата. Сколько существует отрезков, соизмеримых

с диагональю квадрата? Найдутся ли среди них соизмеримые со стороной данного квадрата? (VIII класс).

5. Какую фигуру построить проще: гомотетичную данному отрезку прямой или гомотетичную дуге произвольной кривой линии? Дайте объяснение. (VIII класс).

На основе представлений о бесконечных числовых множествах, которые формируются при изучении арифметики, учащиеся сравнительно легко усваивают ту важную идею, что всякая буква, входящая в алгебраическое выражение, несет в себе возможное бесконечное множество значений, взятых из самой широкой (известной учищимся) числовой области. В работе последовательно, начиная с введения алгебраических выражений, рассматривается методика формирования осознанных навыков учащихся в определении множества допустимых значений букв, входящих в алгебраическое выражение, как данного в готовом виде, так и полученного при решении какой-либо задачи. При этом выполняется сопоставление множеств допустимых значений букв-аргументов, когда одно и то же алгебраическое выражение получается при решении различных задач, что способствует содержательному усвоению структуры числовых множеств и дает учащимся понять в чем состоит сила алгебраического аппарата. Развитие идеи об области определения функции совершается и в теории уравнений (тождеств) и теории неравенств, где взаимные переходы конечного и бесконечного наблюдаются особенно отчетливо. Так, допусимыми значениями для а и b в алгебраических выражениях (а + b)2 и a2 + 2ab + b2, рассматриваемых в 6-м классе, является множество рациональных чисел и любые рациональные значения а и b удовлетворяют равенству (а + b)2 = a2+2ab + b2; на том же множестве рациональных чисел определено и алгебраическое выражение — (a2 + b2), но равенству (а + b)2 = — (a2 + b2) удовлетворяет лишь единственная пара рациональных чисел: а = b = 0. Равенству же (а + b)2 = — 1 не удовлетворяют никакие рациональные значения а и b. Все это оправдывает постановку и исследование вопроса о множестве решений уравнений (и неравенств). Большое внимание уделяется решению уравнений, заданных в пара, метрической форме, а также методике решений уравнений и неравенств, содержащих неизвестно под знаком абсолютной величины числа. Систематическое воспитание теоретико-множественного мышления в V—VII классах создает реальную базу для рассмотрения таких вопросов в VIII классе, как

1) взаимно однозначное соответствие между бесконечными числовыми множествами и его правильной частью, что позволяет ввести определение бесконечного и конечного множеств;

2) обоснование свойства бесконечности множества иррациональных чисел в целом и множества иррациональных чисел, содержащихся между двумя любыми числами, а также озна-

комление учащихся с простыми частными способами установления взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и правильными частями множества иррациональных чисел. Это способствует формированию полного представления учащихся о структуре множества действительных чисел; 3) определение функции на основе понятия множества и истолкование переменной величины как процесса смены значений величины в уже заданном множестве ее значений.

В работе изложены упражнения по алгебре, составленные с целью развития теоретико-множественного мышления учащихся. В качестве примера укажем на следующие упражнения.

1. Определить множество допустимых значений для t в алгебраическом выражении 2t, если: 1) 2t выражает целое число секунд в промежутке времени в одну минуту; 2) 2t выражает течение времени в одну минуту; 3) значения какой величины может выражать 2t — не сказано. (VI класс).

2. Определить множество допустимых значений для х в выражении: (VI класс).

3. Пользуясь общей формулой решения уравнения подобрать такие значения k, l и n, при которых данное уравнение: 1) не имеет решений; 2) имеет единственное решение; 3) имеет бесконечное множество решений (VII класс).

4.Укажите одно из иррациональных чисел, которое при сложении с иррациональным часлом 3,212112111... дает рациональное число (VIII класс).

5. В множестве равнобедренных прямоугольных треугольников, длины гипотенуз которых измеряются числами вида а√2 (а — рациональное число), длины катетов измеряются рациональными числами. Доказать (VIII класс).

На основе разработанной методики систематического внедрения понятия бесконечности в школьный курс математики проводилась следующая работа.

1. На занятиях по математике со студентами в педагогическом институте широко применялись понятия конечного и бесконечного множеств к освещению содержания вопросов элементарной математики. При этом отмечалось оживление мышления студентов, их активность на зачетах и экзаменах, более инициативный и смелый подход к решению задач.

2. Под руководством автора данной работы проводился опыт учителями В. К. Ожиговой и Е. А. Медведевой (5-я СШ г. Бирска), X. Х. Терегуловым (3-я СШ г. Бирска), С. М. Ти-

мониной, Э. М. Париманчук и А. Б. Долбир (352-я СШ г. Москвы). Результаты опыта фиксировались протоколами, часть которых, а также соответствующие отзывьи об опыте прилагаются к диссертационной работе. В этих отзывах отмечается, что «Систематическое развитие представлений учащихся о проявлении бесконечности в количественных отношениях возможно осуществлять (при осторожном и продуманном подходе со стороны учителя) с самого начала курса арифметики V класса. На основе представлений о бесконечности, которые формируются в период изучения арифметики, учащиеся не испытывают резкого перелома в мышлении с переходом к изучению алгебры и геометрии... Систематическое применение идеи бесконечности в школьной математике эффективно способствует развитию логического мышления и пространственного воображения учащихся, глубокому раскрытию содержания и объема математических понятий и широты их приложений в жизненной практике» (352-я СШ гор. Москвы). «Учащиеся V класса без больших усилий устанавливают под руководством учителя свойство бесконечности множества натуральных чисел и его подмножеств (четных, нечетных чисел и т. п.), бесконечность дробных чисел в конечном интервале, бесконечный процесс возрастания и убывания величин. В курсе алгебры VI—VII классов... понятие бесконечности играет существенную роль в выявлении природы алгебры» (5-я СШ г. Бирска). «Опыт показывает, что формирование понятий о бесконечно большой и бесконечно малой величинах следует начинать с V класса средней школы. Только в этом случае учитель может успеть заложить прочный фундамент для теории пределов, которую, при обычной постановке преподавания, ученики усваивают формально. Как мы убедились, такое раннее развитие представлений о бесконечности не только педагогически возможно, но и способствует глубокому усвоению учащимися структуры числовых систем, сущности алгебраической символики и идеи функции» (3-я СШ г. Бирска).

3. При проведении педагогической практики под нашим руководством студенты расширяли свои опытные уроки тем, что по разработанной нами методике вводили новый аспект в преподавание школьной математики. Такие уроки неизменно показывали оживление мышления учащихся, укрепление их внутренней дисциплинированности, улучшение понимания учениками содержания изучаемых вопросов и запоминаемости фактов.

4. Автор работы сам принимал личное участие в эксперименте в указанных выше школах, давая уроки для учащихся, а также и открытые уроки для учителей математики.

Следует отметить, что эффект эксперимента как в школах города Бирска, так и московской школе оказался одинаковым.

Конечно, наш опыт не выдвигается в качестве безусловного доказательства того положения, что единство и взаимопроникновение конечного и бесконечного должно быть положено в основу раскрытия содержания школьной математики именно в том плане, который освещен в диссертационной работе.

В этом отношении решающее слово будет принадлежать массовому опыту.

Однако как значение понятия бесконечности в математике, так и результаты нашего эксперимента мы считаем достаточной основой для утверждения, что этот эксперимент был прогрессивным.

Поэтому в дальнейшем свой положительный опыт мы будем переносить в ближайшие и отдаленные от нас школы, с тем, чтобы передовая методическая мысль завоевала массовую школу и подняла бы в ней математическую культуру.

A 88282 Подп. к печ. 3/1V1961 г. Объем 1 печ. л. Тираж 200 экз.

Типолитография № В-15 Зак. 325