МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. Н. К. КРУПСКОЙ

На правах рукописи

И. М. МИНЬКИН

УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПОСТАНОВКИ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ РАБОТ НА МЕСТНОСТИ В ПОЛИТЕХНИЧЕСКОЙ СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ, ПОВЫШАЮЩЕЕ ИНТЕРЕС УЧАЩИХСЯ К ГЕОМЕТРИИ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯМ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Научный руководитель — член-корреспондент АПН РСФСР, заслуженный деятель науки РСФСР, профессор И. К. АНДРОНОВ

МОСКВА— 1965

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

1. Доктор технических наук, профессор А. К. УСПЕНСКИЙ.

2. Доцент П. В. СТРАТИЛАТОВ.

Защита диссертации состоится в Московском областном педагогическом институте им. Н. К. Крупской (Москва, ул. Радио, 10а)

в__196 г.

Автореферат разослан « » 1965 г.

Секретарь Ученого Совета (Холодова И. Л.)

Окончив в 1950 году пединститут с предварительным стажем учительской работы в 3 года диссертант в течение 6 лет вновь работал учителем математики в средней школе. В первые годы учительской работы мы непосредственно наблюдали, что многие учащиеся не проявляют большого интереса к предмету геометрии, не видят ценностей, выраженных в теоремах и, тем более, в доказательстве их. Поэтому стали искать пути усовершенствования преподавания математики и, в особенности, геометрии. Постепенно на опыте убеждались, что умелое внесение приложений геометрии, в особенности в землемерной практике, у многих учащихся вызывает повышенный интерес и главное дает им ответ на вопрос: зачем нужны многие теоремы и их доказательства. На местности учащиеся убеждаются, что многие предложения, которые им казались очевидными в обычной классной обстановке, требуют научных методов, чтобы установить истинность или ложность их. Например, в классной обстановке учащимся кажутся очевидными признаки равенства треугольников при применении соответствующих наглядных пособий или чертежей.

Построение на местности треугольника, равного заданному с относительно большими размерами, убедило многих учащихся, что надо доверять науке геометрии, а не глазомерной оценке. Размеры даже одной и той же фигуры на местности кажутся не постоянными в зависимости от изменения освещения в разных направлениях. Тем более невозможно определить на глаз равенство двух фигур с относительно большими размерами. С помощью измерений равенство фигур можно определить только приближенно, т. е. можно лишь высказать предположение (гипотезу), т. е. всякое измерение содержит погрешность. Строго равенство фигур можно установить только с помощью логических рассуждений (доказательств). Наоборот, справедливость доказанных теорем о равенстве фигур можно проверить на практике с той точностью, какую дают применяемые при этом измерительные инструменты при умелом их использовании. Тем самым с помощью геометрии можно определять недоступные (неприступные) расстояния косвенным путем.

С целью повышения интереса учащихся к изучению геометрии мы решили создать систему преподавания геометрии в связи с усовершенствованием постановки измерительных работ на местности.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Во введении дается обоснование актуальности темы, краткий обзор литературы по теме исследования, указаны задачи и источники исследования.

Измерительным работам в школе посвящена весьма богатая и разнообразная учебная и методическая литература. Один из даровитых математиков, ставший в молодые годы академиком французской академии наук, А. Клеро написал популярное учебное пособие по геометрии, которое построено на землемерной основе (А. Клеро, Элементарная геометрия, с приложением к линейному черчению и межеванию, СПб, 1863).

Однако в большинстве случаев в этой литературе либо не рассмотрены вопросы оценки точности измерений, рационального выбора исходных данных при косвенных измерениях, добавочных измерений, либо им уделено мало внимания. Но грубые результаты косвенных измерений, особенно в старших классах, не способствуют повышению интереса к изучению геометрии. Поэтому необходимо, в связи с прохождением теоретического материала, учить учащихся не только измерять, но и добиваться при этом высокой допустимой точности измерения, оценки его погрешности и рациональной обработки результатов измерений.

Исходя из этого, диссертантом были поставлены следующие задачи:

1. Разработать в доступной для учащихся форме методы оценки погрешностей результатов измерений и указать пути повышения точности измерений при подготовке к выполнению практических работ в связи с изучением геометрии.

2. Разработать методику оценки погрешности результатов вычислений величин площадей и объемов фигур, изучаемых в школе.

3. Составить ряд задач, решение которых в процессе прохождения соответствующего материала:

а) будет способствовать повышению интереса учащихся к геометрии, а, следовательно, и более прочному усвоению теории;

б) будет являться хорошей подготовкой к проведению измерительных работ на местности;

в) поможет учащимся рационально выбрать исходные данные при косвенных измерениях, оценить точность измерения и более глубоко усвоить приближенные вычисления;

г) укажет на связь математики с жизнью.

4. Разработать методику проведения измерительных работ в школе с учетом более глубокого усвоения знаний по геометрии и требований современной геодезической практики с использованием как школьных, так и более сложных (начиная с 7 класса) измерительных инструментов.

Поставленные задачи в большей степени решаются диссертантом в связи с изучением математики в 5—8 классах. В 1—4 классах дана лишь пропедевтика приближенных вычислений (округление результатов непосредственных и косвенных измерений) в связи с проведением измерительных работ, так как учащиеся 6 класса без такой пропедевтической подготовки встречают большие трудности при изучении раздела «Приближенные вычисления». В 9—11 классах решение поставленных задач дано с более глубоким обоснованием.

В своем исследовании диссертант опирался на собственный 9-летний опыт преподавания математики в школах Мордовской АССР, 7-летний опыт проведения измерительного практикума в Мордовском госуниверситете (до 1957 г. — пединституте) и руководства педагогической практикой студентов. Кроме того, автор проводил экспериментальную работу:

а) с учащимися 5—10 классов школ №№ 9, 10, 12 г. Саранска, № 352 г. Москвы и №2 села Пушкино Московской области на уроках математики; б) с учащимися 5—10 классов школ №№ 10, 12 г. Саранска на занятиях топографического кружка. Учтен также опыт многих учителей Мордовской АССР по проведению измерительных работ на местности.

В ноябре—декабре месяцах 1962 г. диссертант принимал непосредственное участие в работе бригад геодезистов из Мосгоргеотреста, которые производили различные виды съемки местности и камеральную обработку результатов измерений.

Глава I

Современное состояние постановки измерительных работ в школе

В § 1 данной главы дается анализ постановки основных измерительных работ в школе. Исследования показали, что далеко не все школы ведут полезную работу в этом направлении несмотря на то, что в программу по математике 8-летней школы включены измерительные работы на местности. Есть школы, которые совсем не занимаются проведением измерительных работ на местности; и не потому, что у учащихся этих школ и без того развит интерес к геометрии или име-

ются хорошие задачи прикладного характера, взятые из другой равнозначной области. У учащихся этих школ наблюдается особое пониженное развитие геометрической интуиции и логики.

Учащиеся многих школ: а) не умеют правильно измерять школьными инструментами линейные и угловые величины на местности, на бумаге и на моделях; б) при проведении косвенных измерений нерационально выбирают исходные данные, в результате чего искомый результат получается с большой погрешностью; в) не учитывают точность инструментов, приближенный характер значений величин; г) не знают с какой точностью должен быть получен искомый результат, какие условия необходимо обеспечить в процессе работы, чтобы получить результат измерения с необходимой точностью.

В классах на уроках математики не проводится достаточная подготовка к проведению измерительной работы на местности. Она в лучшем случае сводится лишь к знакомству с измерительными инструментами и со способом решения той или иной практической задачи.

§§ 2 и 3 посвящены выяснению обеспеченности школ измерительными инструментами и подготовленности учителей к проведению измерительных работ в школе.

Исследовано, что во многих школах имеются весьма примитивные самодельные измерительные инструменты, дающие невысокую точность. Измерительные работы с такими инструментами проводятся формально. Искомые результаты получаются с большой погрешностью. Такие работы не дают необходимого педагогического эффекта. Есть школы, в которых имеются более совершенные измерительные инструменты: теодолиты, мензулы с кипрегелями, нивелиры. Но лишь немногие учителя умеют ими пользоваться.

Для устранения недостатков в работе рекомендуется:

1) Улучшить постановку изучения сведений по геодезии на физико-математических факультетах пединститутов и университетов, готовящих учителей. Хорошие рекомендации по этому вопросу имеются в диссертации В. Г. Кайрис «Работы на местности в курсе математики средней школы», Калинин, 1953, стр. 244—246. Разработанную Кайрис программу по курсу топографии диссертант считает целесообразным дополнить без увеличения количества часов изучением элементарных сведений по теории погрешностей измерений с изложением классификации погрешностей, методов учета их и оптимальных условий измерений. Изложение этих сведений необходимо связать с теорией приближенных вычислений.

2) Снабдить школы необходимыми измерительными инструментами.

3) Издать пособия по измерительным работам на местности в таком количестве, чтобы каждый учитель математики свободно мог приобрести необходимые из них.

4) Организовать в каждом районе изучение учителями передового опыта проведения измерительных работ на местности и подготовки к ним при изучении теоретического материала.

5) Проводить занятия по измерительному практикуму с учителями, находящимися на курсах усовершенствования учителей.

Глава II

Цели введения измерительных работ в политехническую среднюю школу и пути повышения точности измерений при проведении их

Вторая глава является теоретической, дающая ответ на научно-педагогические вопросы, связанные с тем, чтобы приблизить школьные измерительные работы к современной их постановке в практике землемера. Здесь описываются такие приемы косвенных измерений, при которых искомый результат получается с наивысшей точностью при использовании данных инструментов. Например, теоретически задачу об определении высоты предмета, к основанию которого подойти нельзя, можно решить при произвольном выборе базиса, лишь бы базис и основание предмета принадлежали одной вертикальной плоскости. Практически точность косвенного измерения высоты предмета данными инструментами будет неодинакова при различных базисах. Во второй главе указаны такие исходные данные при решении этой задачи, при которых искомый результат получается с максимальной точностью. Указано также какие необходимо внести изменения в метод решения этой задачи при использовании более точных измерительных инструментов. Подобные по форме задачи часто приходится решать в промышленном и сельскохозяйетвеном производстве.

Кроме того, в этой главе дается обоснование необходимости повышения культуры измерений с педагогической точки зрения. Школа не предполагает готовить землемера, а имеет задачу общего образования, привития культуры, связанной с развитием пространственной научной фантазии и воображения. Школа развивает у учащихся: а) умение видеть в природе объекты геометрической мысли; б) умение под руководством учителя открывать свойства геометрических образов; в) умение их логически формулировать в ясных понятиях,

последовательных суждениях и достоверных умозаключениях, а также г) умение прилагать свои знания в жизни.

Цели введения измерительных работ в политехническую среднюю школу раскрываются в §§ 1, 2 данной главы.

§§ 3 и 4 посвящены методам оценки точности измерений линий на местности, отрезков прямых на бумаге и углов, расположенных в горизонтальной и вертикальной плоскостях, различными инструментами. Приведены соответствующие примеры из школьной практики по измерению линейных и угловых величин. Указаны такие масштабы по осям координат, при которых достигается наибольшая точность графического решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными на ограниченной части листа бумаги. Пусть, например, требуется решить графически систему

и пусть единица масштаба по оси Oy равна z единицам масштаба по оси Ох.

Доказано, что при z = прямые, построенные по уравнениям системы, пересекаются под наибольшим острым углом. Тем самым достигается наибольшая точность графического решения и график получается более компактным.

В § 5 рассмотрен вопрос о соответствии точностей измерения угла и противолежащей ему стороны треугольника. Пусть линейные и угловые инструменты выбраны так, что радианная мера погрешности измерения угла равна относительной погрешности измерения отрезков линий. Доказано, что при определении значения одной стороны (с) треугольника по приближенным значениям а и b двух других его сторон и углу между ними у, относительная погрешность стороны с, выраженная через A1 и известные величины, при условии a ~ b, будет равна радианной мере A, лишь в том случае, если у ~ 50°. Рассмотрен также случай когда а ≠b.

§ 6 посвящен выяснению вопросов о рациональном выборе исходных данных при косвенных измерениях, о роли добавочных измерений и об оценке погрешности искомого результата.

В этом параграфе дается элементарный вывод формул определения погрешностей искомых результатов при косвенном измерении недоступного расстояния, если в треугольнике измерены величины: а) сторона и два прилежащих к ней угла, б) сторона и три угла. Доказано, что измерение третьего угла повышает точность определения искомой стороны по сравнению со случаем (а) приблизительно на 60%; в) сторона и два угла, один из которых лежит против искомой (недоступной) стороны, а другой — против измеренной стороны (бази-

са); г) сторона и два угла, прилежащих к искомой стороне; д) две стороны и угол между ними.

Дается также вывод формул погрешностей искомых результатов при определении высоты предмета, к основанию которого нельзя (можно) подойти, и в других случаях. Дан элементарный геометрический вывод формул относительных погрешностей тригонометрических функций. Указаны оптимальные условия, при которых искомая величина определяется с наименьшей возможной погрешностью. Приведены примеры из школьной практики.

В § 7 даны упрощенные формулы для оценки погрешности искомых результатов при вычислении площадей фигур и объемов тел по данным, полученным путем непосредственного измерения. По предложенным формулам величину погрешности искомого результата можно вычислить устно или полуписьменно.

В конце главы сделаны следующие выводы:

1) Для того, чтобы научить учащихся применять абстрактные геометрические знания на практике, необходимо повысить культуру измерений при проведении практических работ и тем самым внести дополнительный интерес к изучению теории. С этой целью необходимо учить учащихся выбирать оптимальные условия при косвенных измерениях и производить оценку погрешности искомого результата. Все это способствует более глубокому усвоению теории.

2) В 5—7 классах величину погрешности искомого результата следует оценивать по правилам подсчета цифр, учитывая величину относительной погрешности результата линейного измерения при соответствии точностей линейных и угловых измерений. Учащихся 7-го класса, кроме того, желательно познакомить с оценкой погрешности по способу границ.

Учащихся 8—11 классов необходимо постепенно учить оценивать погрешность искомого результата по величине относительных погрешностей исходных данных и их функций, что будет способствовать углублению знаний по приближенным вычислениям и повышению точности измерений путем выбора оптимальных условий. В более ответственных случаях целесообразно учить учащихся оценивать погрешность по способу границ.

3) Чтобы улучшить качество проведения лабораторных работ и измерительных работ на местности, учителю необходимо познакомиться с оценкой точности путем вычисления среднеквадратической погрешности искомого результата. С помощью вычисления среднеквадратических погрешностей точнее определяются оптимальные условия косвенных измерений. При оптимальных условиях формулы, по которым вычисляются погрешности, имеют простой вид, а потому ими

удобно пользоваться для устного или полуписьменного вычисления погрешности искомого результата.

4) На занятиях математического кружка учащихся 8—11 классов желательно познакомить со среднеквадратическими погрешностями, во-первых, для того, чтобы научить их выбирать оптимальные условия при косвенных измерениях и оценивать погрешность искомого результата, во-вторых, чтобы показать практическую ценность тригонометрических тождественных преобразований и тем самым повысить интерес к изучению абстрактной математики и, в третьих, чтобы углубить знания о функциональной зависимости величин.

Глава III

Методика проведения измерительных работ в школе с учетом возрастных особенностей учащихся и требований современной геодезической теории и практики

В 3-й, самой большой, главе дается система и методические рекомендации, как проводить измерительные работы по классам, начиная с изучения пропедевтической геометрии и кончая систематическим курсом геометрии (главным образом в 5—8 классах).

Здесь также дается описание эксперимента, проведенного в указанных выше школах, и приведены результаты экспериментального исследования.

В конце работы имеются: а) приложение, в котором дается отчет одного звена учащихся 8—6 класса средней школы № 352 г. Москвы о проделанной измерительной работе на местности; б) список литературы, использованный в данной диссертации.

В § 1 данной главы изложен вопрос о развитии измерительных работ в I—IV классах в основном на самодельных инструментах, так как задачей начальной школы в деле проведения измерительных работ является познакомить учащихся с качественной и грубо приближенной количественной сторонами этих работ.

В связи с проведением измерительных работ, разработана пропедевтическая подготовка к изучению приближенных чисел. В 1—2 классах следует знакомить учащихся с округлением числа, погрешность которого по знаку известна, а начиная с 3 класса — находить абсолютную величину погрешности. Округлять, конечно, следует на основе здравого смысла, но в соответствии с теорией округления. Приведены примеры из практики школьной жизни (главным образом, при вычислении площадей фигур и объемов тел по результатам непосредственных измерений).

§ 2 посвящен развитию измерительных работ в V—VI классах на комбинировании самодельных и изготовленных в Главучтехпроме инструментах с учетом погрешностей результатов измерений по правилам Крылова—Брадиса.

Составлены задачи, решение которых в связи с изучением теоретического материала поможет учащимся определить оптимальные условия при выполнении косвенных измерений и оценить погрешность искомого результата. Кроме того, решения составленных задач способствуют углублению знаний учащихся по приближенным вычислениям. Описаны практические работы на местности, выполненные учащимися.

С целью поддержания постоянного интереса к изучению геометрии и ее приложениям учащихся VII—VIII классов необходимо знакомить с техническими инструментами, которыми в массовой практике пользуются современный землемер и инженер. Раскрытию содержания этого вопроса, главным образом, с помощью решения составленных диссертантом задач, в связи с изучением теоретического материала, посвящен § 3 данной главы. Начиная с 7-го класса, рекомендуется использовать более совершенные измерительные инструменты (нивелир, мензула с кипрегелем, теодолит и др.) при проведении измерительных работ на местности. Даны описания практических работ на местности, выполненных учащимися с использованием нивелира, мензулы с кипрегелем и теодолита, одной экскурсии в землеустроительный отдел и практической работы по вычислению площадей фигур на плане с помощью палетки и полярного планиметра.

В § 4 дается обоснование целесообразности ознакомления учащихся IX—XI классов с вышим классом измерительных работ и новинками в этой области. Путем решения составленных диссертантом задач дается более глубокое, но доступное для учащихся, теоретическое обоснование определению оптимальных условий при косвенных измерениях и оценке погрешности искомых результатов.

Дано краткое и элементарное решение задачи по определению влияния негоризонтальности лимба на точность измерения угла. Дано также элементарное решение задачи по определению погрешности направления на данную точку в зависимости от коллимационной погрешности трубы инструмента и от величины наклона трубы к горизонту. Приведено описание одной практической работы на местности, выполненной учащимися 10 класса с использованием теодолита и мерной ленты и описан ход подготовки к проведению этой работы.

По теме диссертации были сделаны доклады среди учителей математики Мордовской АССР и Московской области. Сделаны также научные сообщения участникам IV и V научных конференций математических кафедр Поволжья в г. Са-

ратове в июне 1963 г. и в г. Казани в июне 1964 г. и участникам научной конференции профессорско-преподавательского состава Мордовского госуниверситета на секции математических наук в апреле 1964 г. Все доклады были одобрены.

Основное содержание диссертации опубликовано диссертантом в следующих статьях:

1. Об оценке точности измерений при выполнении некоторых измерительных работ в школе. Мордовский госуниверситет. Ученые записки № 41. Саранск, 1964.

2. Подготовка учащихся к проведению измерений на местности и оценке погрешностей измерений. Мордовский госуниверситет. Ученые записки № 41. Саранск, 1964.

Частично также в статье:

3. Приближенные вычисления на уроках математики в 9 классе средней школы (Из опыта). Сборник статей «В помощь учителю математики». Мордовский госуниверситет. Министерство просвещения МА ССР. Саранск, 1960.

A —27375 Подп. к печ. 25.2.65. Объем 0,75 печ. л. Тираж 200 экз.

Типография ВАХЗ Зак. 317