КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. ГОРЬКОГО

На правах рукописи.

Миневич Ш. Ш.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на тему:

ВНЕДРЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОГО МЫШЛЕНИЯ В КУРС ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ

(Представленная на соискание степени кандидата педагогических наук).

г. Сталино, 1952 г.

Теория множеств является фундаментом всего здания математических наук. Русские и советские ученые Егоров, Лузин, Суслин, Урысон, Александров, Меньшов, Хинчин, Колмогоров, Лаврентьев, Тихонов, Понтрягин, Новиков и другие внесли существенный вклад в развитие теории множеств и смежных с ней дисциплин. В настоящее время московская школа теории множеств занимает ведущее положение в мировой науке.

Почти во всех разделах элементарной математики имеются места, легко и естественно поддающиеся теоретико-множественному освещению. При этом заметного изменения программы и увеличения объема курса эмементарной математики не требуется. Внедрение элементов теоретико-множественного подхода в вопросы элементарной математики будет способствовать устранению разрыва между школьной математикой и современным состоянием математических наук.

Работа состоит из трех глав и двух приложений к главе III. Много вопросов (в частности, вся глава III) предлагаются для внеклассной работы в школе. Приложения I и II являются развитием идей главы III и предназначаются главным образом для учителей.

Нет надобности в специальном разъяснении понятия множества в школьном курсе математики: описательное раскрытие содержания этого понятия ничего не прибавит к тому, что уже известно ученикам, а выяснение его объема надо давать на протяжении всего обучения.

Термин «множество» и близкие ему по смыслу „совокупность", „класс", „система" и другие должны употребляться в школьной математике везде. Учитель должен говорить о множестве натуральных, простых, рациональных и т. д. чисел; о множестве значений аргумента функции

y=lg X, y = arcsinx и т. п.; о множестве значений каждой из этих функций; о множестве точек пересечения двух фигур и т. п. Пустое множество может получаться, например, при решении несовместной системы уравнений.

Термины „элемент множества" не обязательно давать сразу с термином „множество", но только тогда, когда термин „множество" уже достаточно вошел в употребление

Уже в пятом классе надо говорить ученикам о бесконечности таких множеств, как множества натуральных чисел, простых чисел и т. п. и в дальнейшем обучении надо подчеркивать бесконечный характер множеств рациональных, действительных, комплексных и т. д. чисел, корней уравнения Sinx = a (|al<l) и т. п. Нужно чтобы ученики в ответ на вопрос: „Сколько элементов содержит данное множество» вместо неопределенного „сколько угодно" отвечали бы точно: „бесконечное множество".

Уже в курсе арифметики рекомендуется применять термин „подмножество". При этом незачем приводить его определение: смысл его точно определится, если на первых порах говорить о „подмножестве или части» данного множества. При каждом новом расширении области чисел учителю надо отметить, что прежний запас чисел является подмножеством расширенного. В геометрии надо подчеркнуть, что множество прямоугольников составляет часть множества всех параллелограммов, которые образуют подмножество множества трапеций, и т. д.

Постепенно, когда термины „множество", „элемент" множества", „подмножество" будут уже в достаточно длитольном употреблении, можно ввести и обозначения „принадлежности" g и „включения" <.

Равенство множеств может быть пояснено на таких примерах:

1) А—множество натуральных чисел, кратных 6; В— множество натуральных чисел, кратных 2 и 3 одновременно. Тогда А=В.

2) А—множество прямоугольников с равными сторонами; В—множество ромбов с прямыми углами; С—множество квадратов. Тогда А=В=С.

Равенство множеств приходится устанавливать во всех тех случаях, когда одно и то же множество определено различными способоми. Любая теорема на „геометрическое место точек" (перпендикуляр через середину отрезка, биссектрисса угла и т. п.) утверждает о равенстве двух точечных множеств А и В, А = В, определенных различным образом. Чтобы, логическая сторона доказательства таких теорем стала ученикам вполне ясной, полезно оформить это доказательство в виде установления справедлисти двух включений: А<В и ß<A.

Эквивалентность уравнений или неравенств также есть утверждение о равенстве множеств—множества А решений одного уравнения (неравенства) или системы уравнений (неравенств) с множеством В решений другого уравнения (неравенства) или другой системы уравнений (неравенств). Вообще, доказательство всякого предложения, утверждающего справедливость некоторой теоремы и ей обратной, сводится к установлению равенства двух множеств А и В. Ученикам не всегда ясна логическая необходимость доказательства обратной тес ремы, когда прямая уже доказана. Одним из действенных способов уяснить ученикам необходимость такого доказательства и является формулировка предложения в виде утверждения справедливости двух включений.

В Х-ом классе при изучении формулы бинома Ньютона полезно решить задачу о количестве верх подмножеств множества, состоящего из п элементов.

Операция пересечения множеств находит свое конкретное истолковение в курсе элементарной математики, как пересечение (в широком смысле) двух геометрических фигур. Если фигуры не имеют общей части, то их пересечение пусто. Если две фигуры касаются (две окружности, окружность и прямая, плоскость и сфера и т. п.), то их пересечение может состоять из одной точки. С действием пересечения множеств мы имеем дело также при решении системы уравнений или неравенств: множество решений системы есть пересечение множеств решений уравнений

(неравенств), входящих в систему. Такое истолкование решения системы уравнений или неравенств должно помочь ученикам пониманию смысла решения системы—отыскать решения, удовлетворяющие всем уравнениям (неравенствам) одновременно. При решении неравенств полезно ввести понятия сегмента [а, Ь], интервала (а, Ь) и т. п.

Операция соединения множеств находит свое применение при решении уравнения f(x)=o, левая часть которого разлагается на множители. Обе операции—пересечение и соединение множеств—одновременно применимы при решении квадратного неравенства.

В работе приведено много примеров уравнений и неравенств, в процессе решения которых используются операции пересечения и соединения множеств.

Глава III „Грани числовых множеств и их применение в элементарной математике" содержит материал, предлагаемый для кружковых занятий в старших классах. Выяснив понятия ограниченного и неограниченного сверху числового множества, вводят затем понятие точной верхней границы или верхней грани Sup А множества А. Надо отметить специальный случай недостижимой верхней грани. Уже ученикам VIII-го класса можно сказать, что всякое действительное число, заданное бесконечной десятичной дробью, есть верхняя грань множества чисел, изображаемых конечными отрезками этой дроби. Такое указание даст психологическую уверенность ученикам, что иррациональное число есть определенный числовой объект, а не нечто неопределеннее, колеблющееся. Кроме того, чтобы Определение действительного числа, как бесконечной десятичной дроби не было формальным, учителю нужно тему „Иррациональные числа" провести так, чтобы указанное определение соответствовало частному случаю определения при ПОМОЩИ системы совместных приближений с как угодно малой амплитудой, строгая теория которой разработана проф. Ремезом Е. Я.

Понятие верхней грани может также с успехом применяться во многих вопросах, которые в школе излагают-

ся на основе теории пределов. Для этой цели необходимы следующие теоремы из теории граней".

Теорема 1. Если А={х} есть ограниченное сверху множество чисел X, am — определенное положительное число, то Sup{mx} = m.Sup{x}, где {mx} есть множество, полученное из чисел х множества {х} умножением каждого на т.

Теорема 2. Если А = {х} есть ограниченное сверху множество чисел, a m—определенное число, тс Sup{m-fx}~ = m f Sup{x).

Теорема 3. Пусть А={х.у} есть числовое множество, состоящее из произведений положительных чисел х и у. Если эти произведения х.у таковы, что с увеличением одного из множителей увеличивается одновременно и другой, то Sup{x.y} = Sup{x}.Sup{y}.

Длину окружности можно определить как верхнюю грань множества периметров правильных вписанных многоугольников, число сторон которых неограниченно удваивается. Аналогичное определение можно дать для площади круга. На основе теорем 1 и 3 легко доказывается постоянство отношения длины окружности к своему диаметру (число к) и формула S=irr2 для площади S круга радиуса г. На основе этих же теорем 1—3 выводятся формулы для объема пирамиды, объемов и поверхностей круглых тел, причем все эти величины определяются как верхние грани соответствующих числовых множеств.

Сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительным знаменателем q также можно определить как верхнюю грань множества частичных сумм этой прогрессии. Если же знаменатель q прогрессии отрицателен, то сумму членов прогрессии надо рассматривать как разность сумм двух прогрессий с положительными знаменателями.

Автором были проведены в апреле 1951 года 5 внеклассных уроков по академическому часу каждый с 10 учениками IX и Х-го классов школы № 22 города Сталино. Темы этих уроков: „Конечные и бесконечные множества",

„Ограниченные и неограниченные сверху числовые множества", „Верхняя грань числового множества", „Определение длины окружности и первая теорема о гранях", „Число те". Уроки были проведены в форме бесед с опросами учеников и решением примеров у доски. Материал был усвоен вполне удовлетворительно. Такой же примерно характер носили внеклассные занятия, проведенные учителями Поповым (школа № 2 гор. Сталино) и Дрибаном (школа № 137 гор. Сталино) в сентябре-октябре 1951 года. Каждый из них успел за 4 занятия изложить „теорию граней" и ее применения к вычислению длины окружности и площади круга. Но строгого доказательства теоремы 3 о верхней грани произведения не было дано, а были только приведены убедительные мотивы в ее справедливости. Протоколы этих занятий приложены к работе. Опыт показал, что как само понятие верхней грани, так и его применения в геометрии усваиваются учениками легко.

В приложении 1 дается дополнительный материал по теории граней и ее применениям. Вводится понятие нижней грани Jnf А множества А. Доказывается теорема существования верхней и нижней грани ограниченного сверху (снизу) числового множества. Дается определение конфинальных числовых множеств, не имеющих максимальных элементов, как такие, у которых верхние грани совпадают. Приводится затем доказательство признака конфинальности: для того, чтобы два множества А={х} и В={х} были конфинальны, необходимо и достаточно, чтобы для всякого хСА существовал превосходящий его элемент уСВ, у>х, и наоборот. Длина окружности определяется как верхняя грань множества периметров вписанных выпуклых многоугольников (без добавления о том, что эти многоугольники правильны и число их сторон неограниченно удваивается). Основываясь на признаке конфинальности, доказывается, что длина окружности равна верхней грани периметров {рд } любого множества {Q} выпуклых многоугольников, вписанных в окружность и обладающих тем свойством, что каково бы ни было О>0, существует много-

угольник Qi€{Q}, наибольшая сторона которого <е. Из этой теоремы сразу получаются следствия:

1. Длина окружности есть верхняя грань множества периметров правильных вписанных многоугольников. 2. Длина окружности есть верхняя грань множества периметров правильных вписанных многоугольников, получаемых, исходя из одного какого-нибудь к—угольника процессом удвоения (или любого m-кратного увеличения) числа сторон. Доказывается также, что длина окружности есть нижняя грань множества периметров описанных многоугольников. Аналогичные теоремы доказаны для площади круга.

В приложении II дается построение теории действительных: чисел на основе понятия верхней грани. Устанавливается сначала факт существования множеств рациональных чисел, ограниченных сверху, но не обладающих верхней гранью. Конфинальными множествами (из рациональных чисел) называются здесь такие ограниченные сверху и не имеющие максимальных элементов множества А=(х} и В={у}, которые обладают свойством, что для любого х€А существует такой убВ, что у^>х и наоборот. Свойство конфинальности разбивает все ограниченные сверху и не обладающие максимальными элементали множества рациональных чисел на классы конфинальных множеств. Имеет место теорема: Если множество А имеет своей верхней гранью (рациональное) число а, то и все конфинальные с ним множества, и только они, имеют это же число а своей верхней гранью. Каждому классу конфинальных между собой множеств ставится в соответствие некоторый объект—действительное число. Получаем множество D действительных чисел. Если множество класса M имеет верхней гранью рациональное число а, то отождествляем действительное число, соответствующее классу М, с рациональным числом а. Э^о включение множества R рациональных чисел в множество D действительных чисел находит свое оправдание также в даньнейшем.

Если действительные числа ос=А и ß=B не равны )А и В—множества из классов чисел, соответствующих действительным числам а и ß), то полагаем a<ß, если су-

ществует число у€В, являющееся верхней границей множества А. Легко обнаруживается непрерывность множества D действительных чисел: всякое ограниченное сверху множество действительных чисел обладает верхней гранью (рациональной или иррациональной). Сумма действительных чисел а=А и ß=B определяется как верхняя грань множества {x-f у}, где х и у пробегают независимо друг от друга множества А и В Аналогичным образом определяется произведение положительных действительных чисел. Всякое действительное число а разлагается в бесконечную десятичную дробь,

а=т, otj а2 а3 . . . . ап . . . ,

т. е. может быть задано множеством рациональных чисел

А={т; т, с^; т, аха2; . . ; , т, а^о... ап . . . }

причем Sup А=а. Эта теория действительных чисел идейно близка к теории проф. Е. Я. Ремеза: в то время, как в изложенной теории мы по существу определяем действительное число через его рациональные приближения с недостатком, проф. Ремез Е. Я. в своей теории определяет действительное число через его двусторонние приближения,—с недостатком и избытком.

Несомненно, что теория проф. Ремеза, вследствие ее практической направленности и простоты построения (в этом можно убедиться, сравнив, например, систематическое построение теории иррациональных чисел по Вейерштрассу и по теории проф. Ремеза), заслуживает того, чтобы ее основные идеи были использованы уже в школе. При систематическом же изложении теории действительных чисел в высшей школе нужно отдать предпочтение теории проф. Ремеза перед другими.

г. Сталино, тип, ДИН. зак. Xs 490—100