АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

П. А. МИЛОВИДОВ

ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

АВТОРЕФЕРАТ ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

Научный руководитель, действительный член АПН РСФСР, доктор физико-математических наук, проф. А. И. МАРКУШЕВИЧ

Москва 1954

Руководствуясь директивами XIX съезда КПСС, советская общеобразовательная школа приступила к осуществлению политехнического обучения. В связи с этим у нас в стране ведется интенсивная работа по сопоставлению программ, новых учебников и задачников с целью их приближения к современным задачам советской школы. В частности, это относится и к школьному курсу тригонометрии. Несомненно, что нынешнее изложение школьного курса тригонометрии необходимо будет заменить новым, более отвечающим задачам политехнического обучения.

Автор диссертации ставит своей целью:

а) выявить роль школьного курса тригонометрии в политехническом обучении;

б) вскрыть, учитывая задачи политехнического обучения, отдельные недостатки в преподавании тригонометрии и наметить возможные пути устранения этих недостатков;

в) разработать методику преподавания отдельных тем школьного курса тригонометрии;

г) дать анализ и оценку требованиям, предъявляемым на экзаменах по тригонометрии при поступлении в вузы, так как характер этих требований влияет на постановку преподавания тригонометрии в средней школе.

Основными методами исследования были: изучение литературных источников, относящихся к диссертационной теме, педагогическая работа автора в школе и учительском институте, изучение работ учащихся; посещение уроков учителей, руководство школьными ученическими кружками, изучение школьной документации, участие в работе методических секций и комиссий по обследованию школ.

Диссертация состоит из двух частей.

Часть I

ТРИГОНОМЕТРИЯ КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Часть II

КРИТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ ОТДЕЛЬНЫХ ВОПРОСОВ ШКОЛЬНОГО КУРСА ТРИГОНОМЕТРИИ И МЕРЫ ПО УЛУЧШЕНИЮ этого состояния

Глава I. Предмет тригонометрии и ее место в школьном курсе математики

§ 1. Исторический очерк развития тригонометрии

По истории тригонометрии имеется мало специальной литературы; правда, разрозненные факты, касающиеся развития тригонометрии, можно найти в различных сочинениях по истории математики. Но во многих таких сочинениях допускаются существенные ошибки в определении и оценке так называемой арабской математики вообще (которая фактически является математикой среднеазиатских народов) и, в частности, тригонометрии и ничего не говорится о работах по тригонометрии наших отечественных ученых, тогда как вклад их в дело развития тригонометрии очень велик.

Только в самое последнее время началось создание полноценных трудов по истории отечественной математики.

При ознакомлении учащихся с важнейшими фактами истории тригонометрии ставятся следующие цели: во-первых, дать ясное представление о возникновении и развитии науки, во-вторых, пробудить интерес учащихся к изучаемому отделу математики, объяснить, зачем нужна тригонометрия, какие задачи она решает, что нового вносит тригонометрия в школьный курс математики, в-третьих, содействовать повышению общего культурного уровня учащихся.

В настоящее время учитель не располагает доступной литературой, из которой он мог бы отобрать исторические факты, подлежащие сообщению ученикам. Если он желает дать учащимся правильные и точные сведения, то ему неизбежно приходится обращаться к мало доступным и слишком громоздким источникам, чтобы прочесть нужную страницу или найти несколько нужных строк. Поэтому мы помещаем в первой главе исторический очерк развития тригонометрии, в котором использован ряд новых исторических работ. Очерк

рассчитан на учителя, но не на ученика. Учитель сам отберет те сведения по истории тригонометрии, которые следует сообщить учащимся.

§ 2. Место тригонометрии в школьном курсе математики

Тригонометрия является одним из наиболее молодых отделов элементарной математики, получивших окончательное оформление лишь в XVIII в., хотя отдельные идеи ее относятся к глубокой древности.

Школьный курс тригонометрии имеет целью сообщение сведений о тригонометрических функциях и их приложениях.

Общие цели преподавания математики в средней школе определяют и цели преподавания тригонометрии.

Однако тригонометрия, как школьный предмет, имеет и свои особые задачи. Задачи преподавания тригонометрии в средней школе в основном сводятся к следующему.

1. Достичь столь основательного овладения учащимися курсом тригонометрии, чтобы они не испытывали затруднений, встречаясь с ней в различных дисциплинах, изучаемых как в средней школе, так и в вузе.

2. Выявить, что изучение тригонометрии необходимо для решения многих задач математики и смежных с нею дисциплин.

3. Вооружить учащихся определенным запасом знаний, нужных для будущей практической деятельности.

Тригонометрические функции вместе с показательной и логарифмической функциями образуют самый важный в математике и в ее приложениях класс элементарных трансцендентных функций.

Раздел тригонометрии, посвященный решению треугольников, практически нужен всем оканчивающим средние школы учащимся, которым предстоит иметь дело с механикой в техникумах, во втузах или непосредственно на практике.

Знание основных фактов тригонометрии необходимо техникам и рабочим многих специальностей.

До сего времени в вопросе о содержании школьного курса тригонометрии наблюдаются две крайние точки зрения. Первая ограничивает задачи школьного курса тригонометрии проблемой решения треугольников, а вторая все дело сводит к формальному изучению тригонометрических и обратных им функций, не заботясь об их практических приложениях.

Первая отражает взгляды, которые господствовали тогда, когда на тригонометрию смотрели только как на теорию реше-

ния треугольников; вторая же есть результат убеждения, будто бы в курсе тригонометрии основное значение имеет теория тригонометрических функций, а решение треугольников составляет как бы «прикладную» его часть.

В диссертации показывается, что, в действительности, именно серьезное прикладное значение тригонометрических функций весьма велико: без знания тригонометрических функций нельзя изучать никакую область приложений математики. Ни о каком противоположении «прикладных» теорем, относящихся к решению треугольников, и «чистой» теории тригонометрических функций не может быть и речи.

Учащиеся средней школы должны в курсе тригонометрии серьезно и всесторонне изучить тригонометрические функции и графики этих функций. Они должны познакомиться и с простейшими физическими приложениями тригонометрических функций, хотя бы с приложением к исследованию простого гармонического колебания. Сложение гармонических колебаний может быть продемонстрировано на графиках; как показывает практика, этот вопрос с интересом воспринимается учащимися.

В свою очередь, для того, чтобы решение треугольников стало интересным и расширяло кругозор учащихся, необходимо связать его с приложениями к конкретным задачам; в особенности интересны технические приложения, хотя бы простейшие.

Школьный курс тригонометрии должен развиваться по двум линиям, а именно — по функциональной и вычислительной линии (вычисление элементов геометрических фигур). Первая, выражающаяся в исследовании тригонометрических функций, составляет основное идейное содержание курса. Вторая линия дает вычислительные навыки, необходимые для науки и практики.

Существует точка зрения, согласно которой тригонометрию не следует изучать в школе как самостоятельный предмет.

Некоторые зарубежные и наши методисты полагают, что школьный курс тригонометрии не имеет ясно очерченной основной идеи, а потому не может быть сколько-нибудь самостоятельным. Одни из них стоят за полное слияние тригонометрии с геометрией, другие предлагают распределить учебный материал этого предмета между алгеброй и геометрией. Отдельные методисты предлагают выделить из алгебры и геометрии ряд вопросов, относящихся к математическому анализу, с целью объединения их и учения о тригонометриче-

ских функциях в самостоятельный школьный курс математического анализа.

Мы высказываем убеждение, что при переходе школы к политехническому обучению тригонометрия должна оставаться школьной дисциплиной, которой может быть придана самостоятельность как по содержанию, так и по целям ее преподавания.

В то же время в диссертации раскрываются многообразные связи тригонометрии с другими учебными предметами. С введением политехнического обучения задача выявления связей, существующих между различными предметами, входящими в курс математики средней школы, выступает как одна из важных методических задач.

§ 3. Различные определения тригонометрических функций

В основу курса тригонометрии кладется понятие о тригонометрических функциях; поэтому определению этого понятия следует придать большое значение. От способа определения тригонометрических функций в значительной мере зависит успех преподавания тригонометрии в школе.

В диссертации приведено несколько способов аналитического определения тригонометрических функций. Знакомство учителя с аналитическим определением тригонометрических функций может помочь ему внести ряд улучшений в преподавание тригонометрии.

В школе невозможно дать определение тригонометрических функций с помощью дифференциальных уравнений или бесконечных рядов. Также не подходят для первого знакомства с этими функциями другие разновидности аналитического определения тригонометрических функций, где средства высшей математики привлекаются в меньшей мере.

Единственно приемлемым для школы остается геометрическое определение тригонометрических функций. Это определение тригонометрических функций, обладающее простотой, наглядностью и конструктивностью, должно быть признано единственно возможным для школьной практики с точки зре-. ния педагогических требований.

Как известно, существует несколько различных геометрических способов определения тригонометрических функций.

В связи с этим возникает вопрос: каким способом наиболее целесообразно определить тригонометрические функции в школе.

В диссертации приводятся различные геометрические определения тригонометрических функций и выясняются методические достоинства и недостатки каждого из них.

Автор пришел к убеждению, что при систематическом изучении тригонометрии в школе целесообразно определить тригонометрические функции как значения проекций радиуса—вектора на оси, используя тригонометрический круг и введя оси тангенса и котангенса.

В пользу этого способа определения тригонометрических функций могут быть приведены следующие доводы:

1. Искусственные тригонометрические линии заменяются направленными отрезками (векторами, расположенными на оси).

2. Вместо особых условий о знаках тригонометрических функций появляются принятые в науке соглашения относительно положительного и отрицательного направлений.

3. Понятие о векторе широко используется в технике, физике, механике, астрономии.

4. Такой способ определения тригонометрических функций ведет к значительному упрощению доказательств ряда теорем курса тригонометрии.

Глава II. Анализ программ, учебников, сборников задач и методических руководств по тригонометрии

§ 1. Программы по тригонометрии в советской средней школе

Для критического подхода к анализу программ по тригонометрии целесообразно было изучить основные программы, которые применялись в дореволюционной и советской средней школе. В диссертации эти программы приведены и проанализированы.

Осуществление политехнического обучения потребует пересмотра школьных программ по тригонометрии. В связи с этим в диссертации высказаны некоторые соображения, которые, по нашему убеждению, должны быть учтены при составлении новой программы.

Мы исходим из того, что школьный курс тригонометрии делится на два концентра.

В первом концентре изучаются понятия о тригонометрических функциях (синус, косинус, тангенс и котангенс) острого угла и применение этих функций к решению различных вопросов геометрии и физики. Первый концентр курса тригонометрии сливается с курсом геометрии и, в частности, с отделом этого курса, посвященным вопросу о подобии фигур.

Во втором концентре курса тригонометрии, на основе понятий о тригонометрических функциях острого угла, устанавливается общее понятие о тригонометрических. функциях и изучаются свойства этих функций. Второй концентр курса, посвященный свойствам тригонометрических функций, тесно связан с курсом алгебры, в котором рассматриваются простейшие алгебраические функции, а также показательная и логарифмическая функции. Решение треугольников найдет себе место в этом концентре как одно из приложений учения о три* гонометрических функциях.

В ныне действующую программу целесообразно внести следующие изменения.

1. Начать изучение тригонометрии в девятом классе не с определения тригонометрических функций для углов от 0° до 360°, а с обобщения понятия об угле, в связи с чем, естественно, ставится вопрос о радианном измерении углов и о тригонометрических функциях любых углов. При таком построении программы мы будем иметь возможность только два раза определять тригонометрические функции угла: тригонометрические функции острого угла и тригонометрические функции любых углов.

2. Ввести в программу новые темы:

а) Тригонометрические функции числового аргумента.

В прикладных вопросах тригонометрические функции выступают не только как функции угла.

б) Элементы гармонического анализа.

Нужно дать учащимся представление о применениях тригонометрических функций к изучению некоторых периодических процессов. Это свяжет курс тригонометрии с физикой и большим числом технических приложений.

в) Применение тригонометрии к выполнению различных изменений на местности.

3. Тригонометрические уравнения как самостоятельный раздел программы упразднить.

4. Предложить выполнять решение треугольников с помощью различных таблиц и с использованием логарифмической линейки.

5. Пункт программы «Решение задач с применением тригонометрии» заменить более точным: «Решение геометрических, физических и технических задач с использованием тригонометрии».

6. Тему программы: «Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение» заменить следующей: «Пре-

образование суммы и разности тригонометрических функций в произведение и обратное преобразование» и этим подчеркнуть необходимость двоякого использования этих формул.

7. Число часов, отводимых на изучение обратных тригонометрических функций, уменьшить.

§ 2. Школьные учебники тригонометрии

В диссертации дан краткий анализ достоинств и недостатков наиболее распространенных учебников тригонометрии в научно-педагогическом отношении.

§ 3. Сборник задач по тригонометрии

Анализ сборников задач по тригонометрии показал, что в них мало еще содержится упражнений, связанных с аналитическим и графическим исследованием тригонометрических функций. Явно недостаточно в них задач с прикладным содержанием и, в частности, задач, взятых из общих вопросов техники; отсутствуют геометрические задачи на построение, решаемые с помощью тригонометрии; игнорируется графический метод решения тригонометрических уравнений и составление уравнений по условиям задач; мало задач с параметрическими данными.

Вышеуказанные задачи имеют большое значение при политехническом обучении в школе. Они вскрывают многообразные связи тригонометрии с другими науками и практикой.

Последний параграф второй главы посвящен анализу существующих методических руководств по тригонометрии.

Глава III. Роль тригонометрии в политехническом обучении

Обязательным условием успешного решения задач политехнического обучения является систематическое и прочное усвоение учащимися основ наук, изучаемых в школе, в тесной связи с практикой.

Политехническое обучение не может и не должно заменить профессионального обучения, но оно облегчает и ускоряет овладение профессиональными знаниями и навыками. Оно помогает быстрее и успешнее овладеть высокой техникой, передовыми методами работы.

Общеобразовательная школа не ставит и не может ставить перед собой задачи подготовки специалистов, но она должна всемерно помогать молодежи по окончании школы быстро овладеть профессией, включиться в общественно-

производительный труд. Политехническое обучение в школе является одним из средств решения этой задачи.

При решении проблемы политехнического обучения в преподавании математики мы должны прежде всего показать, как применяются математические знания в различных областях практической деятельности людей. Нельзя забывать, что применению знаний надо учить. Умение применять знания не вытекает автоматически из понимания и запоминания теории математической науки.

В диссертации рассмотрены требования, которые могут быть предъявлены к школьному курсу тригонометрии в связи с политехническим обучением.

1. Повысить качество усвоения теоретического материала и сделать основным содержанием тригонометрии как учебного предмета учение о тригонометрических функциях, рассматривая это учение как развитие общего учения о функциях, излагаемого в школьном курсе математики.

2. В преподавании тригонометрии особенно важное значение имеет построение его на идее функции и широкое использование графиков. Тригонометрия содержит богатый материал, изучение которого требует построения графиков функций.

В промышленности, в технике и других отраслях народного хозяйства широко используется графический метод решения различных практических задач. Научить учащихся свободно строить графики — одна из задач преподавателей математики. Графический способ выгодно применять, когда является достаточной точность с двумя-тремя значащими цифрами. Этот способ позволяет ускорить вычисление во много раз.

3. Постепенно приучать учащихся к решению задач, требующему одновременно применения алгебры, геометрии и тригонометрии.

Такие задачи необходимы, прежде всего, для того, чтобы учащийся умел разработать тот или иной вопрос или сложную задачу наиболее рациональным путем. Совсем нет нужды решать какую-либо задачу при помощи, скажем, одной только алгебры, если решение такой задачи можно осуществить более легким и рациональным путем с помощью алгебры и тригонометрии. Наоборот, необходимо обучать учащихся так, чтобы они старались применять для решения той или иной математической задачи все имеющиеся в их запасе средства математики и выбирали из этих средств

наиболее целесообразные. Необходимо приучать учащихся подходить к решению жизненных задач со всеми математическими средствами, которыми они владеют, а не только со средствами, не выходящими за пределы одной какой-либо дисциплины.

4. По возможности предлагать такие задачи, в которых сам учащийся обязан выяснить, какие числовые данные необходимы для решения поставленной задачи, и получить эти данные путем собственных измерений или наведения надлежащих справок. С такими задачами более всего приходится встречаться инженерно-техническим работникам на практике.

5. Приучать учащихся к решению тех задач с прикладным содержанием, которые требуют, главным образом, применения тригонометрии.

Содержание прикладных задач в курсе тригонометрии черпается, главным образом, из смежных предметов (физики, астрономии), а также и из техники, топографии (геодезии), навигации, артиллерии и т. п.

Существует много задач с прикладным содержанием, решаемых с помощью тригонометрии. Некоторые задачи допускают интересное исследование. Таковы, например, задачи на трение, задачи, связанные с ременными передачами, с кривошипным механизмом и т. д. Но следует учесть и те трудности, которые возникают при решении указанных задач. Решение многих таких задач требует специальной подготовки и знаний, далеко выходящих за пределы возможностей средней школы. Поэтому приходится делать соответствующий отбор задач.

Однако, занимаясь задачами с прикладным содержанием, мы никак не должны забывать о тренировочных задачах. Стремление сделать преподавание в каждой его части связанным с приложениями приведет к тому, что нарушится систематичность курса, потеряется суть дела, подробности заслонят общие методы решения задач.

Задачи с общетехническим содержанием имеют ценность только в том случае, если учащиеся знакомы или легко могут, ознакомиться с употребляемыми в задаче техническими понятиями и терминами. Почти каждая из таких задач требует краткого пояснения ее технического смысла, так как учащиеся, приступая к решению, должны ясно представить себе самую суть вопроса, сознательно подходить к ней.

Специфичность содержания и его трудности не должны отвлекать значительной доли внимания учащихся.

При решении практических задач и технических вопросов и при изучении различных механизмов, как правило, приходится одновременно опираться на знания из различных областей науки. В школе эти знания обычно даются в отрыве друг от друга. Однако имеется возможность устранить этот разрыв между родственными учебными дисциплинами. Это можно сделать путем: а) согласования школьных программ; б) включения в сборники задач по арифметике, алгебре, геометрии и тригонометрии задач, относящихся к смежным учебным дисциплинам. В частности, в задачники по тригонометрии необходимо включить ряд физических задач, решаемых с применением тригонометрии.

Хорошее знание преподавателем математики программного материала смежных дисциплин и тесная связь в работе с преподавателями этих дисциплин дадут ему возможность использовать обширный материал для решения задач, на которых учащиеся будут развивать свои способности, применяя знания в новой обстановке, к новому материалу.

6. Обратить внимание на развитие у учащихся умений читать и выполнять чертежи, пользоваться математическими таблицами, выполнять вычисления с помощью логарифмической линейки. Формула, чертеж, таблица, график, приближенный расчет — вот на что должно быть направлено внимание учащихся.

При решении треугольников, помимо таблиц значений тригонометрических функций острых углов и их логарифмов, полезно использовать всюду, где это нужно, таблицы квадратов чисел и квадратных корней из чисел.

Значение логарифмической линейки заключается в том, что при вычислениях она дает большую рационализацию времени (до 90%). Для любого инженера, техника и многих рабочих практические навыки в обращении с нею совершенно необходимы. В нашей стране логарифмической линейкой пользуются широкие массы трудящихся. Тригонометрия предоставляет учащимся большую возможность для выработки практических навыков в обращении с логарифмической линейкой. Так, при решении треугольников вычисления значительно сокращаются, если использовать логарифмическую линейку. Признавая необходимость изучения логарифмической линейки в школе, мы в это изучение вкладываем следующее содержание: а) учащихся следует научить исполь-

зовать линейку в качестве таблицы квадратов и квадратных корней, таблицы натуральных значений синуса и тангенса угла, таблицы мантисс логарифмов; это одна группа умений; б) другая группа умений — научить производить на линейке действия и находить числовые значения алгебраических и тригонометрических выражений.

Дальнейшее изложение главы посвящено конкретным вопросам методики преподавания тригонометрии в средней школе, которые, по нашему мнению, заслуживают особенного внимания с точки зрения политехнического обучения; к ним отнесены: построение графиков тригонометрических функций, применение тригонометрии к изучению гармонических колебаний, приближенное решение уравнений, использование различных таблиц в процессе преподавания тригонометрии и т. д.

Среди задач и упражнений, помещенных в данной главе, значительное место отводится задачам с общетехническим содержанием. Здесь же приведены образцы физических задач, решаемых с применением тригонометрии.

ЧАСТЬ II

О состоянии знаний учащихся по тригонометрии высказываются две противоположные точки зрения. Так, консультант Министерства просвещения РСФСР П. А. Ларичев, пользуясь официальными данными, пишет следующее: «...небольшой курс этой дисциплины проходится в школе в течение двух лет, а потому учащиеся имеют достаточно твердые знания по основным его разделам («Математика в школе», 1950 г., № 2, стр. 34). Или «Небольшой курс тригонометрии усваивается учащимися успешно, о чем говорит и высокая успеваемость по тригонометрии — в среднем 98—99%» («Народное образование», 1952 г., № 7, стр. 58).

Между тем высшие учебные заведения (на основании результатов вступительных экзаменов) отмечают плохую подготовку поступающих по тригонометрии.

В результате наблюдений и исследования педагогического процесса в ряде школ мы пришли к следующему выводу.

Во-первых, с отменой устных экзаменов по тригонометрии во многих школах снизился уровень требований по тригонометрии вообще и, в частности, по тем разделам курса, которые не связаны с решением стереометрических задач. Учителя за последние два года стали значительно меньше интересоваться вопросами преподавания тригонометрии. Это подтвер-

ждается хотя бы и тем, что в планах районных методических секций отсутствуют или почти отсутствуют вопросы, связанные с преподаванием тригонометрии.

Во-вторых, несомненно и то, что в ряде случаев приемные комиссии вузов предлагали поступающим вопросы и задачи по тригонометрии, далеко выходящие за пределы школьных программ.

В настоящее время стал более или менее ясным характер требований по математике на вступительных экзаменах в достаточно большом числе вузов.

Упражнения по тригонометрии, имевшие место на вступительных экзаменах в вузы, своим содержанием, в основном, охватывают круг следующих вопросов: преобразование тригонометрических выражений, тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции.

Во второй части диссертации автор рассматривает, с одной стороны, современное состояние преподавания указанных вопросов в школе, с другой — анализирует требования по тригонометрии, предъявляемые на экзаменах при поступлении в вузы, так как характер их влияет на постановку преподавания тригонометрии в средней школе. Здесь же разработана методика решения некоторых задач, предлагавшихся поступавшим в вузы, именно тех из них, которые преподаватель школы может предложить учащимся.

Глава I. Тригонометрические уравнения

Содержание этой главы таково:

§ 1. Определение понятия «Тригонометрическое уравнение».

§ 2. Решение тригонометрических уравнений.

§ 3. Место и значение тригонометрических уравнений в школьном курсе тригонометрии.

§ 4. Критическое рассмотрение методики преподавания тригонометрических уравнений в средней школе.

В четвертом параграфе рассмотрены характерные недостатки в знаниях учащихся по разделу «Тригонометрические уравнения» и предложены меры по улучшению преподавания этого раздела тригонометрии.

В результате проведенного исследования автор пришел к следующим выводам о мерах улучшения преподавания тригонометрических уравнений в школе.

1. Тригонометрические уравнения необходимо решать с учащимися на протяжении всего курса тригонометрии. В настоя-

щее время школьная программа составлена так, что тригонометрические уравнения выделены в специальную тему. Они изучаются в десятом классе в конце курса тригонометрии. Такой порядок изучения тригонометрических уравнений необходимо признать неудачным. Решение отдельных видов тригонометрических уравнений должно выполняться параллельно и в связи с изучением формул гониометрии, служа для него полезным средством и вместе с тем имея самостоятельное значение.

2. При изучении тригонометрических уравнений учащиеся, в первую очередь, должны приобрести умение сводить решение данного тригонометрического уравнения к решению соответствующего алгебраического уравнения.

3. Надо уделить внимание задаче нахождения общего выражения для значений аргумента, соответствующих заданному значению тригонометрических функций. Часто учащийся приводит внешний вид общей формулы для корней того или другого простейшего уравнения, но не может объяснить полученную формулу или допускает ошибки.

4. При ознакомлении учащихся со способами решения тригонометрических уравнений следует отказаться от привлечения искусственных и громоздких примеров, а рассматривать с учащимися больше таких тригонометрических уравнений, решение которых легко может быть сведено к нескольким основным типам.

5. Надо решать с учащимися в достаточном числе примеры, в которых без выражения аргумента в радианах обойтись нельзя. Это необходимо делать в целях предупреждения ошибок, связанных с пользованием радианной мерой углов.

6. Необходимо научить учащихся отличать случаи, в которых проверка найденных корней уравнения составляет органическую часть всего хода решений уравнений, от случаев, в которых эта операция может и не выполняться. Нередко наблюдается такое отрицательное явление, когда преподаватели учат школьников только решать уравнения и очень мало требуют от них подробного объяснения применяемых при решении правил, не обращают внимания учащихся на то, что основой правил для решения уравнений являются предложения, относящиеся к их эквивалентности.

7. Учитель обязан познакомить учеников с составлением тригонометрических уравнений по условиям задач; при отсутствии или недостаточности этого вида работы учащиеся плохо уясняют себе практическую необходимость тригонометрических

уравнений, не умеют составлять их, а также весьма слабо разбираются в исследовании полученных ответов с точки зрения их соответствия условиям задачи.

8. Надо познакомить учащихся с графическим методом решения тригонометрических уравнений. Графическое решение помогает учащимся ясно представить себе ряд положений (бесконечное множество корней, отсутствие корней и т. д.), которые выявляются при решении уравнения аналитическим способом и вовсе не являются очевидными учащимся, еще недостаточно основательно разбирающимся в вопросе о решении тригонометрических уравнений. Этот метод в ряде случаев является единственно целесообразным методом решения уравнений. Поэтому он имеет широкое применение в технических расчетах.

Глава II. Обратные тригонометрические функции

Содержание этой главы:

§ 1. Место, занимаемое обратными тригонометрическими функциями в школьных программах.

§ 2. Два взгляда на вопрос об изложении обратных функций вообще и обратных тригонометрических функций, в частности.

§ 3. Ошибки учебной литературы в изложении раздела «Обратные тригонометрические функции».

§ 4. О состоянии преподавания обратных тригонометрических функций в средней школе.

В этой главе нами обосновываются следующие положения:

1. В школьном курсе тригонометрии должны быть оставлены самые элементарные сведения об обратных тригонометрических функциях.

2. Обратные тригонометрические функции рассматриваются как функции многозначные. К понятию обратной тригонометрической функции автор подходит из необходимости решения задачи — найти угол или дугу по заданному значению тригонометрической функции. При рассмотрении поставленной задачи обнаруживается многозначность решения ее.

3. Все многочисленные формулы (за небольшим исключением), устанавливаемые для «главных значений» обратных тригонометрических функций, являются мертвым грузом в школьном преподавании. Такие формулы не должны иметь места в школьной практике. При решении примеров, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нет надобности помнить специальные формулы,— необходимо руковод-

ствоваться конкретными данными, относящимися к рассматриваемому случаю.

Глава III. Анализ и оценка требований по тригонометрии, предъявляемых на приемных экзаменах в высшей школе*

В результате анализа задач и вопросов, которые имели место на вступительных экзаменах в вузы, автор пришел к следующим выводам:

1. В числе задач по тригонометрии, которые предлагались на вступительных экзаменах в вузы, имеются такие, где, с одной стороны, предусмотрены интересы вузов, с другой — учтены школьные программы и возможности учащихся.

2. Примеры отдельных уравнений, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы, указывают учителям и учащимся средних школ на необходимость быть ориентированными в вопросах эквивалентности уравнений в тригонометрии.

3. Задачи, связанные с тождественными преобразованиями, заставляют учащихся вооружиться твердыми навыками в области тождественных преобразований тригонометрических выражений.

4. Есть задачи, где употребляются формулы тригонометрии в том виде, в каком они наиболее часто встречаются в теоретических курсах, читаемых в высшей школе.

5. На вступительных экзаменах предлагались такие упражнения, которые не могли служить мерилом уровня математического развития поступающих.

6. Многие задачи по тригонометрии, предлагавшиеся на вступительных экзаменах в вузы, не соответствовали школьным программам. Сказанное прежде всего относится к таким вопросам, как обратные тригонометрические функции и тригонометрические уравнения. В требованиях по разделу «Обратные тригонометрические функции» чувство меры потеряно, искусственные преобразования превратились в самоцель.

7. Вопросы, предлагаемые на вступительных экзаменах, относятся по преимуществу к разделам «Тригонометрические уравнения» и «Обратные тригонометрические функции», которые, по мнению экзаминаторов, представляют собою наиболее удобный материал для установления качества знаний поступающих. Между тем курс тригонометрии, изучаемый в девятом

* При анализе мы пользовались только официально опубликованными материалами.

классе, достаточно богат содержанием для того, чтобы из него можно было с успехом черпать экзаменационные вопросы.

8. Только отдельные задачи и вопросы по тригонометрии, которые предлагались на вступительных экзаменах в вузы, могут решаться в школе на уроках математики. Часть из этих задач может быть в той или иной мере использована на занятиях математического кружка. Остальные же задачи нельзя рекомендовать учащимся в качестве упражнений, так как решения таких задач требуют знания теоретических вопросов, не включенных в действующую школьную программу.

Итак, в результате исследования автором сделано следующее:

1. Установлены, на основании исторического анализа значение, роль и место тригонометрии в школьном курсе математики.

2. Теоретически обоснована роль тригонометрии в политехническом обучении.

а) Указаны примерные пути отбора практического материала и использования его в классном преподавании.

б) Подобран комплект задач с политехническим содержанием (100). Дана конкретная методика решения этих задач, не нарушающая системы изложения самой тригонометрии.

3. Указаны средства улучшения методики изложения отдельных глав школьного курса тригонометрии («Тригонометрические уравнения» и «Обратные тригонометрические функции»).

4. Разработаны общие требования к курсу тригонометрии средней школы в свете критического анализа тех требований, которые предъявляются к школе со стороны высших учебных заведений.

Мы надеемся, что настоящая работа в некоторой мере будет способствовать разрешению вопросов, связанных с совершенствованием методики преподавания тригонометрии, пересмотром программ, составлением нового стабильного учебника и задачника по тригонометрии, и тем самым послужит делу дальнейшего улучшения работы школы.

А 04098. Сдано в набор 22/VI 1954 г. Подписано к печати 17/VI 1954 г. Объем Н/4 печ. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1504.

Типография Минавтотрансшосдор РСФСР.