АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

На правах рукописи

Л. Н. МИЛОВАНОВА

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ СОВЕТСКОГО СОЮЗА И НЕКОТОРЫХ ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель-профессор П. А. БЕЗСОНОВ

МОСКВА- 1958 г.

ВВЕДЕНИЕ

Предстоящая перестройка системы народного образования ставит перед средней школой новые задачи. Основная цель перестройки заключается в качественном изменении характера общего образования, в расширении масштабов и повышении его уровня.

В частности нужно поднять на более высокую ступень преподавание математики в средней школе, изменить его качественно, приблизить к задачам профессионального обучения.

Перестройку преподавания математики следует направить таким образом, чтобы весь курс был пронизан идеей функциональной зависимости, которая дает возможность воспринимать мир величин в их взаимной связи, в их закономерности, развитии и движении. Функциональное мышление содержит основные черты диалектического метода.

Для того, чтобы придать некоторую законченность изучению функциональной зависимости в средней школе, необходимо дополнить курс математики, ввести в него некоторые новые понятия. В первую очередь нужно включить в программу производную, которая дает наиболее простые, полезные и обобщающие методы изучения функции. Кроме производной в программу следует включить интеграл, который имеет большое прикладное значение.

Включение в программу средней школы производной и интеграла позволит изучать явления природы не только в статическом, но и в динамическом состоянии. Энгельс писал, что «лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изобразить математически не только состояния, но и процессы: движение»*).

Введение в программу средней школы производной и интеграла будет способствовать развитию у учащихся диалектико-материалистического мировоззрения, повысит научный уровень школьной математики, устранит искусственный разрыв между элементарной и высшей математикой.

*) Ф. Энгельс. Диалектика природы, 1955 г., стр. 218.

Включение элементов анализа (производной и интеграла) в программу средней школы становится в настоящее время особенно актуальным в связи с задачами профессионального образования. На XIII съезде ВЛКСМ товарищ Н. С. Хрущев отметил, что «Современные условия строительства коммунизма требуют людей высокообразованных, способных решать сложнейшие задачи, смело ориентироваться во всех областях науки и техники».

Для работы на предприятиях промышленности и сельского хозяйства, оснащенных современными сложными машинами, автоматическими устройствами и счетно-решающими установками требуются высококвалифицированные и широко образованные рабочие. Современному рабочему необходимы глубокие технические знания, которые требуют, в частности, основательной математической подготовки.

Перестройка системы народного образования предусматривает возможность повышения квалификации для каждого рабочего путем вечернего и заочного образования без отрыва от производства. Знания элементов анализа, приобретенные в средней школе, будут служить для этого основательным фундаментом. Эти знания помогут работникам промышленности и сельского хозяйства самостоятельно изучать техническую литературу, так как современная техника теснейшим образом связана с идеей функциональной зависимости, с такими понятиями, как скорость, ускорение, работа, теплоемкость, давление и пр., которые определяются при помощи производной или интеграла.

Все эти соображения послужили поводом для выбора темы диссертации.

Следует отметить, что элементы анализа и аналитической геометрии были включены в программы некоторых средних учебных заведений России и многих зарубежных стран в начале XX столетия. Зарубежные страны накопили в этой области большой опыт, который полезно изучить*).

Разумеется, не следует копировать программу или учебники какой-либо определенной страны. Нужно критически проанализировать программы, учебники и методическую литературу нескольких стран, выявить их достоинства и недостатки и использовать то, что приемлемо для советской школы.

*) Опыт средних учебных заведений России освещен в ряде опубликованных диссертаций, поэтому в настоящей работе этот вопрос не рассматривается.

Автор диссертации поставил перед собой задачу сделать определенные выводы и конкретные предложения по преподаванию элементов анализа в средней школе.

С этой целью автором был изучен опыт преподавания элементов анализа в средних учебных заведениях дореволюционной России, изучены современные программы и учебники для старших классов средней школы Германской Демократической Республики, Франции и Англии, проведена экспериментальная работа в математическом кружке 204-й Московской школы.

Диссертация состоит из введения, трех частей и приложений.

Введение посвящено обоснованию выбора темы и ее актуальности.

В первой части приводится историческая справка о включении элементов анализа в программы средних учебных заведений России и за границей.

Во второй части сделан подробный обзор и анализ современных программ и учебников ГДР, Франции и Англии.

Третья часть представляет собой методическую разработку преподавания производной и интеграла в средней школе.

В приложениях описывается эксперимент в математическом кружке 204-й Московской школы, и приводится примерное распределение часов по отдельным разделам темы.

Часть I. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА О ВВЕДЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ АНАЛИЗА В ПРОГРАММУ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Глава I. О реформе преподавания математики в дореволюционной России

Этот вопрос весьма подробно исследован в целом ряде опубликованных диссертаций. Хотя каждая из них не исчерпывает всего материала, но по совокупности эти диссертации дают полную картину реформы преподавания математики в средних учебных заведениях России. Поэтому этот вопрос в настоящей диссертации освещается очень кратко.

Инициаторы введения реформы преподавания математики в средней школе, крупнейшие ученые и педагоги конца XIX и начала XX века—Остроградский М. В., Чебышев П. Л., Буняковский В. Я., Жуковский Н. Е., Младзеевский Б. К., Шереметьевский В. П., Шохор-Троцкий С. И., Перевощиков Д. В., Попруженко М. Г. и многие другие требовали перестройки курса таким образом, чтобы он группировался вокруг основного понятия — функциональной зависимости. Они

считали необходимым ввести в программы средних учебных заведений элементы математического анализа и аналитической геометрии.

В 1903—1904 гг. эти темы включаются в программу некоторых кадетских корпусов, в 1906—1907 — в программу 7-го класса реальных училищ, а в 1911 —1912 гг.— в программы всех кадетских корпусов и коммерческих училищ.

С декабря 1911 г. по январь 1912 г. в Петербурге был проведен 1-й Всероссийский съезд преподавателей математики, а с декабря 1912 по январь 1913 г.—второй съезд. Делегаты обоих съездов единодушно высказывались за включение элементов анализа в программу всех средних учебных заведений.

Первая империалистическая война 1914 г. помешала дальнейшему развитию движения за реформу преподавания математики в средней школе.

Глава II. Элементы высшей математики в программе советской средней школы

После Великой Октябрьской социалистической революции, в 1918—1921 гг., в Советском Союзе было разработано несколько программ, включающих элементы анализа, однако ни одна из них не была претворена в жизнь. Примерно с 1939 г, в печати начали появляться статьи крупнейших ученых, как например, Колмогорова А. Н., Хинчина А. Я., Маркушевича А. И., Гончарова В. Л. и многих других, в которых авторы высказывались о настоятельной необходимости включения элементов анализа в программу средней школы. Великая Отечественная война, начавшаяся в 1941 г., задержала решение этого вопроса. Начиная с 1947 г. Институтом методов обучения АПН РСФСР было разработано несколько вариантов программ, включающих элементы анализа.

Однако ни в один из этих проектов не включен определенный интеграл, который дает обширный материал для приложений к геометрии, физике и технике.

Нужно надеяться, что со временем этот пробел будет восполнен.

Глава III. О реформе преподавания математики в средних учебных заведениях за границей.

Несколько позднее, чем в России, в начале XX столетия движение за реформу преподавания математики приняло международный характер. Это движение возглавил известный немецкий ученый Ф. Клейн.

В Германии многолетняя борьба Клейна и его сторонников за реформу преподавания математики, за введение в программу средней школы элементов анализа привела к тому, что в 1908 г. была принята и начала действовать так называемая Меранская программа, которая включала в курс средней школы элементы аналитической геометрии, дифференциальное и интегральное исчисления и их приложения.

Движение за реформу во Франции началось раньше, чем в Германии. Новые программы, в которых были отражены идеи Клейна, начали действовать с 1902 г.

Даже в такой консервативной стране, как Англия, начали серьезно задумываться над реформой преподавания в средней школе. В начале XX века возникает движение, названное «Движением Перри», по имени возглавившего его инженера Джона Перри. В 1901 —1902 гг. особая комиссия под председательством Перри издала ряд статей под названием «Силлабус», в которых приводится перечень знаний, необходимых всякому школьнику. «Силлабус» содержал, в частности, элементы анализа и аналитической геометрии.

Движение за реформу преподавания математики распространилось и на другие страны: США, Италию, Швецию, Австрию, Венгрию и многие другие.

С 1897 г. по 1912 г. состоялось пять международных конгрессов математиков. На 4 Международном конгрессе в Риме в 1908 г. по предложению профессора Нью-Йоркского университета Смита была организована Международная комиссия по преподаванию математики. Эта комиссия, под руководством Клейна, проделала огромную работу, благодаря которой во многих странах в программу средней школы были введены элементы аналитической геометрии и анализа.

Таким образом, многие зарубежные страны накопили полувековой опыт преподавания элементов высшей математики в средней школе. Изучению этого опыта в некоторых странах посвящена вторая часть диссертации.

Часть II. О ПРЕПОДАВАНИИ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНИХ ШКОЛАХ НЕКОТОРЫХ ЗАРУБЕЖНЫХ СТРАН

Глава I. Франция

В этой главе кратко излагается система образования во Франции, приведены выдержки из программы для школ второй ступени и сделан обзор некоторых учебников из серии проф. А. Бенуа.

Во Франции существует всеобщее обязательное обучение для детей в возрасте от 6 до 14 лет. Полный курс среднего образования продолжается 12 лет. Проучившись пять лет в начальной школе, дети могут либо продолжать учиться еще три года в этой школе, либо выдержав экзамены, поступить в школу второй ступени. В шкалах второй ступени, лицеях и коллежах имеется два основных отделения: классическое и «новое» (moderne). На классическом отделении больше внимания уделяется языкам, а на новом — естественным наукам. Начиная с пятого года обучения, в школах второй ступени проводится специализация по трем направлениям: философскому, экспериментальных наук и математическому. Программа школ второй ступени состоит из трех концентров. Первый концентр охватывает первые 4 года обучения, второй концентр — следующие 2 года, третий концентр — последний год обучения.

После 6 лет обучения в школе второй ступени учащиеся сдают первую часть экзамена на степень баккалавра наук, а по окончании 7-го класса — вторую часть экзамена. Обладание степенью баккалавра наук дает право на поступление в высшее учебное заведение.

Учебные планы и программы являются едиными для всех школ. Они издаются Министерством национального образования.

Элементы высшей математики — производная и первообразная*) — изучаются на одиннадцатом и двенадцатом годах обучения на всех отделениях, не исключая и философского. К этому моменту учащиеся успевают ознакомиться с прямоугольной системой координат, понятием вектора, элементарным исследованием линейной, квадратичной и дробно-линейной функций. Кроме того, в связи с элементарным исследованием функции у = ах2 -f- bx + с в десятом классе говорилось о возрастании и убывании, максимуме и минимуме этой функции.

В курс алгебры одиннадцатого года обучения входит: понятие приращения функции, определение возрастающей и убывающей функций, определение касательной к кривой в данной точке, производная, как угловой коэффициент касательной, скорость равномерно-переменного движения. В программу этого класса не входит изучение поведения функции

*) Во французских программах и учебниках не употребляется символ интеграла, и название «интеграл» нигде не фигурирует.

при помощи знака производной. Производная применяется только для построения касательной в отдельных точках графиков квадратичной и дробно-линейной функции.

В последнем классе производная изучается в большем объеме, чем в предыдущем. Здесь дается определение производной, как предела отношения

когда х2 стремится к xi и применяется запись:

Далее выводятся формулы для производных постоянной величины, аргумента, суммы функций, произведения и частного; дается понятие второй производной. В математическом классе, сверх того, выводится производная сложной функции.

В последнем классе производная применяется для исследования функций на максимум и минимум и построения графиков функций вида

с числовыми коэффициентами.

В классе экспериментальных наук производная применяется также для вычисления коэффициентов бинома Ньютона.

Помимо производной в программу последнего класса включена первообразная: дается ее определение, и приведена таблица первообразных для следующих функций: а • f(x), а, X, X2, X3, хш, где m — целое положительное число.

Первообразная применяется для вычисления площади криволинейной трапеции, В классе экспериментальных наук, кроме того, дается определение натурального логарифма, как первообразной от функции — .

О методике преподавания математики во французской школе второй ступени можно судить по некоторым замечаниям, имеющимся в программе

Nouveaux horaires et programmes de l'enseignement du second degré (Paris 1955) и рекомендованных в ней учебниках профессора А. Бенуа

Collection A. Benoit. Algèbre, Géométrie et Trigonométrie.

В этой программе неоднократно упоминается о том, что в средней школе следует опираться на интуицию учащихся и не усложнять курс. В предисловии к программе для класса экспериментальных наук говорится, что обучение должно быть кратким, сведенным к существенному, что следует избегать проблем, имеющих теоретический характер, и наоборот, как можно шире использовать численные приложения и графические представления.

Далее в этом предисловии говорится, что лучше допустить некоторые результаты, чем давать неполные и приближенные доказательства.

В частности, ни в программе, ни в упомянутых учебниках не содержится определения предела, причем в программе подчеркнуто, что вопросы, касающиеся теории пределов, не подлежат изучению. Однако это не мешает авторам различных учебников широко пользоваться понятием предела функции, употреблять запись:

и выводить формулы производных различных функций.

Характерным для французских учебников является весьма ограниченное количество определений и теорем, причем определения даются только после подробного разбора целого ряда задач. Некоторые теоремы вообще не доказываются, а только формулируются. Так например, даже в учебнике для математического класса (двенадцатый год обучения) не доказываются, а лишь формулируются теоремы о возрастании и убывании функции, а затем делается следующее замечание: эти теоремы будут интуитивно понятны, если рассматривать кривую, как графическое изображение функции.

Обзор учебников и приведенные замечания свидетельствуют о том, что преподавание математики, и в частности, элементов анализа ведется наглядно — интуитивным методом.

К числу достоинств учебников следует отнести то, что понятие возрастания и убывания, максимума и минимума функции вводятся до понятия производной. В хорошей, доступной пониманию учащихся, форме введено понятие производной, однако ее применение вызывает некоторые возражения. Так, в одиннадцатом классе, производная применяется лишь для построения касательных в отдельных точках графиков квадратичной и дробно-линейной функции, но не используется для исследования функции.

Нам представляется недостаточным приложение первообразной лишь к вычислению площади. В математическом классе, где на математику отводится 9 часов в неделю, можно было бы дать приложения первообразной к вычислению объема тела вращения, работы и пр.

Наиболее существенным недостатком французских учебников является полное отсутствие задач прикладного характера. Все задачи (исключая раздел «Скорость прямолинейного движения») геометрического содержания, в то время как производная и первообразная дают широкую возможность для приложений к физике и технике. Неудачно и то, что понятие предела нигде не определено и даже не поясняется на частных примерах.

На примере французской школы мы видим, что излишнее использование наглядности и интуиции снижает уровень преподавания.

При составлении наших программ, следует обратить внимание на объем и расположение материала во французской программе, на доступность изложения материала в учебниках, обилие задач, поясняющих теорию.

Знакомство с французскими учебниками может принести немалую пользу советским учителям.

Глава 2. Германская Демократическая Республика

В ГДР существует всеобщее обязательное восьмилетнее обучение для детей в возрасте от 6 до 14 лет.

Имеется основная восьмилетняя школа Grundschule. По окончании Grundschule дети могут продолжать обучение в 9—10 классах неполной средней школы Mittelschule, которая готовит учащихся в профшколы и учительские институты, либо в 9—12 классах полной средней школы Oberschule. Окончание Oberschule дает право на поступление в высшее учебное заведение. В Oberschule имеется три отделения: «А» — отделение новых языков, «В» — естественно-математическое и «С» — отделение древних языков.

Учебные планы и программы являются обязательными для всех школ.

В связи с тем, что в настоящее время разрабатываются новые учебные планы, в 1956 г. были изданы переходные планы. В диссертации приводится краткое содержание переходного учебного плана для естественно-математического отделения «В» Oberschule (в отделениях «А» и «С» изучается, в основном тот же материал, но на него отводится меньшее чис-

ло часов;, и обзор учебника для 11 класса: Lehrbuch der Mathematik für die Oberschule (Berlin 1955), составленного коллективом авторов под редакцией F. Holtman.

Программы немецкой средней школы несколько перегружены материалом, касающимся элементом высшей математики. В программе и учебниках содержится следующее: 1. Введение в анализ (понятие функции, область ее определения, классификация функций, предел числовой последовательности, понятие о пределе функции). 2. Производная и ее приложения к исследованию функции — к построению графиков, к скорости и ускорению. 3. Дифференциал функции.

4. Определенный и неопределенный интеграл, их свойства. Приложения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, координат центра тяжести, момента инерции, давления и работы.

5. Аналитическая геометрия на плоскости: прямая, кривые второго порядка, полярные координаты.

Некоторые разделы, как например, понятие предела переменной величины и предела функции изложены в краткой, доступной пониманию учащихся форме. Нельзя не одобрить то, что теоремы о пределах сформулированы, но не доказаны, а их справедливость показана на частных примерах. Хорошо изложена производная. Отметим, что, как в немецких, так и в учебниках других стран тангенс угла наклона прямой к оси ОХ называется, на первых порах, не угловым коэффициентом, а «наклоном» прямой. Такое название, раскрывает сущность этого понятия, и поэтому кажется нам вполне уместным. Неудачно, с нашей точки зрения, исследование функции на экстремум при помощи второй производной и на точки перегиба с помощью третьей производной, так как в этих случаях исследование сводится к механическому определению знаков производных. Метод исследования функции на экстремум с помощью первой производной является более наглядным, и поэтому в средней школе ему следует отдать предпочтение.

Вряд ли можно считать удачным параллельное изложение в учебнике производной и интеграла. Такой метод может лишь усложнить изучение элементов анализа в средней школе.

При внимательном изучении программ и учебников обнаруживается, что они перегружены излишними деталями, так например, слишком много места отводится дифференциалу функции, свойствам определенного интеграла, технике интегрирования.

Нам представляется, что аналитическая геометрия должна предшествовать анализу, а не завершать его, как это имеет место в немецких программах и учебниках.

Материал в таком объеме и такой лаконичной форме скорее уместен для высшего технического учебного заведения, а не для средней школы.

При составлении наших программ следует учесть перечисленные недостатки. Представляется полезным ознакомить наших учителей с принятым в немецких учебниках изложением понятия предела и производной. В немецких задачниках много интересных задач прикладного характера, которые можно использовать для нашей школы.

Глава 3. Англия

В Англии существует всеобщее обязательное обучение для детей в возрасте от 5 до 15 лет. Первые два года дети обучаются в школах для малышей. Эти школы напоминают, до некоторой степени, наши детские сады. Следующие четыре года обучение производится в начальной школе. На последнем году обучения в начальной школе происходит отбор детей, в зависимости от их способностей, в школы второй ступени.

Существует три типа школ второй ступени: грамматическая (grammar school) с семилетним сроком обучения; техническая средняя школа (technical school) с пятилетним сроком обучения и «современная» (modern school)—четырехлетняя. Кроме того имеются закрытые, частные школы («public» schools), в которых обучаются дети состоятельных родителей.

Во всех школах математика является обязательным предметом для детей в возрасте до 16 лет.

Право на поступление в высшее учебное заведение дает окончание либо грамматической школы, в которую попадает примерно 15% детей, либо частной школы.

В грамматической школе со второго года обучения проводится специализация. Учащиеся, проявившие способности к тому или иному предмету, занимаются по особому плану. На математику первые четыре года отводится примерно пять часов в неделю. Те, кто намерен в дальнейшем избрать математику специальным предметом, занимаются ею в старших классах по 12—14 часов в неделю.

Два раза в год в грамматической школе проводятся так называемые «внутренние» экзамены, т. е. экзамены, которые принимают учителя данной школы. Желающие получить аттестат зрелости должны, кроме «внутренних», сдать еще и «внешние» экзамены, которые принимает специальная университетская комиссия. Таких комиссий в Англии восемь.

В шестнадцатилетнем возрасте (т. е. после пяти лет обучения в школе второй ступени) учащиеся могут сдать экзамены на так называемом «обычном уровне» (ordinary level), а по окончании грамматической школы — на «повышенном уровне» (advanced level).

Для получения аттестата зрелости, который дает право на поступление в Университет, нужно сдать не менее пяти экзаменов, например, три на «обычном уровне» и два на «повышенном уровне». Выбор предметов, которые должны сдать учащиеся на том или ином уровне, определяется требованиями Университета, в который они намерены поступить. Так, например, на все без исключения факультеты Лондонского университета экзамен по математике нужно сдать на повышенном уровне.

В Англии не существует единых программ и учебников. Каждая Университетская комиссия ежегодно выпускает свои справочники с подробным перечнем вопросов, которые входят в программу экзаменов обычного и повышенного уровня.

В диссертации сделан обзор программы по математике, содержащейся в справочнике, изданном Университетами следующих городов: Манчестер, Ливерпуль, Лидс, Шефильд и Бирмингем на 1958 г., приведены образцы экзаменационных заданий, которые давались той же комиссией в 1956 г., и сделан обзор разделов, относящихся к элементам анализа наиболее распространенного в Англии учебника. Н. Е. Parr. School Mathematics (London 1952).

Программы английской средней школы, особенно «повышенного уровня», содержат весьма обширный перечень вопросов, относящихся к элементам анализа: понятие функции; производная; приложения производной к исследованию возрастания и убывания, к отысканию максимума и минимума функции, к скорости и ускорению прямолинейного движения; неопределенный и определенный интеграл, его приложения к вычислению площади криволинейной трапеции; элементы аналитической геометрии на плоскости и в пространстве; некоторые типы дифференциальных уравнений первого и второго порядка и систем уравнений. Кроме того, в программе имеются элементы теории вероятностей и статистики и элементы теории сравнений.

Английские учебники обладают некоторыми достоинствами: в них много внимания уделяется графическим представлениям, приведены интересные задачи, которые можно использовать для наших задачников. С методической точки зрения учебники не представляют особого интереса, так как изложе-

нне материала в них носит отрывочный, несистематический и поверхностный характер.

В программу английской средней школы не включено понятие предела, а в учебниках процесс предельного перехода заменяется длинными, неоправдывающими себя рассуждениями. Вообще, изучению теории уделяется очень мало внимания, а, как известно, изучение теории способствует формированию и развитию логического мышления учащихся.

По признанию многих английских педагогов средние школы Англии дают очень низкий уровень знаний.

В настоящее время в Англии ведется упорная борьба за реформу средней школы.

В примечании ко второй части диссертации поясняется, почему автор не остановился на преподавании элементов анализа в средней школе США.

В силу децентрализованной системы образования в США не существует единых программ и учебных планов и, следовательно, единых требований к знаниям учащихся.

Если в Англии требования к знаниям учащихся определяются, до некоторой степени, программами экзаменов на аттестат зрелости, то в США не имеется и этого, так как ни выпускных экзаменов в средних школах, ни вступительных экзаменов в высших учебных заведениях не существует. Проводятся лишь испытания «умственных способностей» абитуриентов.

Такая система образования оказывает пагубное влияние на уровень знаний оканчивающих американскую среднюю школу. Этого не скрывает и Управление Просвещения США, о чем писалось в наших газетах.

Средняя школа в США носит классовый характер (как, впрочем, и во всех капиталистических странах), хотя классовый характер завуалирован внешне демократическими формами. Так, например, подростки оставляются в школе до 16—18 лет. Однако это имеет целью задержать их в школе, для того, чтобы они не пополняли число безработных, которое неуклонно растет с каждым годом.

За последнее время учебной работе отводится все меньшая и меньшая роль. В связи с этим стал уменьшаться удельный вес таких предметов, как математика, физика, химия, иностранные языки, и наоборот, включаются предметы, которые могут понадобиться учащимся в трудовой жизни, как домоводство, машинопись, управление автомобилем и т. д.

Элементы высшей математики изучаются лишь в некоторых школах, рассчитанных на подготовку учащихся в высшие

технические учебные заведения. Изложение этого раздела носит формальный характер и поэтому не представляет для нас интереса.

Таким образом, преподавание математики и, в частности, элементов анализа в американской школе может быть рассмотрено, как отрицательный пример. Автор счел возможным ограничиться одним отрицательным примером — примером английской школы, в которой преподавание математики поставлено намного выше, чем в американской школе.

Из всего вышеизложенного следует, что выявление достоинств и недостатков преподавания элементов анализа в зарубежных странах может оказаться полезным при составлении наших программ, учебников и задачников.

Наибольшего внимания заслуживает объем, расположение и доступность изложения материала во французских учебниках.

В немецком учебнике заслуживают внимания главы, относящиеся к теории пределов и к производной.

Из английских учебников и задачников полезно использовать задачи прикладного характера.

Часть III. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ЧАСТНОЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Тщательно изучив учебную и методическую литературу, вышедшую в досоветский и советский период в России, и современные программы и учебники ГДР, Франции и Англии, а также основываясь на шестнадцатилетнем опыте работы в высших учебных заведениях, автор диссертации предлагает методическую разработку темы «Функции и их исследование. Производная. Интеграл».

При написании этой разработки автор руководствовался следующими соображениями:

Элементы анализа в программе средней школы должны представлять собой органическую часть курса математики, завершающую изучение свойств функции.

На этом этапе обучения следует, по возможности, освободить учащихся от строгих определений и доказательств. С этой целью автор не вводит понятия бесконечно малой величины; не доказывает, а лишь формулирует теоремы о пределах;не поясняет такие выражения, как «стремится к а», «неограниченно приближается к а», «как угодно мало отличается от е» и т. д. Признаки возрастания и убывания функции, а также условия существования экстремума устанавли-

ваются из геометрических соображений, которые достаточно хорошо иллюстрируют эти свойства функции.

Изложение этого раздела курса должно всемерно развивать интуицию учащихся, что будет способствовать пониманию ими сути дела, и не приведет к формальному заучиванию отдельных теорем и определений.

Элементы высшей математики следует излагать в средней школе так, чтобы для учащихся, которые будут изучать анализ в высшей школе, материал не повторялся, а развивался.

В предлагаемой разработке содержатся некоторые дополнительные вопросы, которые отсутствуют в программе:

1. Понятие о непрерывности функции, которое автор считает необходимым сообщить учащимся хотя бы в элементарной форме.

2. Выведена формула бинома Ньютона, которая служит одной из иллюстраций применения производной.

3. Определенный интеграл. Эта тема особенно важна, так как дает обширный материал для приложений к геометрии, физике и технике.

Третья часть состоит из шести глав: Глава 1. Функция.

Глава 2. Элементарное исследование функции. Глава 3. Понятие о пределе функции. Глава 4. Производная.

Глава 5. Приложения производной к исследованию функции.

Глава 6. Определенный интеграл.

Изложение каждой главы начинается с рассмотрения известных учащимся вопросов геометрии и физики.

Основное внимание уделяется геометрическим представлениям и различным приложениям.

Теорема «Отношение --------стремится к единице, если х стремится к нулю» введена до понятия предела. Она включена во вторую главу, в раздел «Тригонометрические функции». Это сделано по следующим соображениям: во-первых, чтобы постепенно подвести учащихся к трудному понятию предела функции. Во-вторых, чтобы дать материал для повторения радианной меры угла, которую, как показывает опыт, учащиеся очень плохо усваивают. В-третьих, на основе этой теоремы можно показать, что если sïnx заменить радианной мерой X, то допущенная погрешность не превышает четверти куба радианной меры. Таким образом, эта теорема дает материал для приближенных вычислений с оценкой погрешности, чему в школе не уделяется должного внимания.

Автор считает, что тему «Определенный интеграл» необходимо начинать с рассмотрения интегральной суммы. Такой подход приводит к конструктивному (а не формальному) определению интеграла и позволяет непосредственно использовать его для приложений.

В диссертации рассмотрены приложения определенного интеграла к вычислению площади криволинейной трапеции, объема тела вращения, работы переменной силы и давления жидкости на вертикальную стенку.

ВЫВОДЫ

I. Включение элементов анализа в программу средней школы весьма желательно по следующим причинам:

Необходимо поднять научный уровень школьной математики, по возможности приблизить ее преподавание к современному научному уровню, устранить искусственный разрыв между элементарной и высшей математикой.

Элементы анализа позволят проще и полнее изложить некоторые разделы геометрии и физики, увеличат прикладные возможности математики, свяжут ее с техникой. Введение этой темы в программу средней школы будет способствовать расширению общенаучного и технического кругозора оканчивающих среднюю школу.

II. Опыт дореволюционной России, многих зарубежных стран и проделанная экспериментальная работа подтверждают, что элементы анализа вполне доступны пониманию учащихся средней школы.

III. Элементы анализа в программе средней школы должны представлять собой органическую часть курса математики, завершающую изучение свойств функции.

В основу изложения этой темы должен быть положен принцип наглядности. Не следует стремиться к излишней строгости изложения, так как это может идти в ущерб пониманию учащимися существа вопроса и приведет к формальному заучиванию ими отдельных теорем и определений, Как показывает опыт школы ГДР, при излишней строгости изложения элементов анализа, школьный курс математики приближается к втузовскому. Однако чрезмерное использование наглядности и интуиции снижает уровень преподавания, что видно из опыта французской школы.

IV. В интересах наилучшей постановки преподавания элементов анализа в средней школе, следует поддержать одну из

рекомендаций XIX Международной конференции по народному образованию*), в которой говорится, что правительства и просвещенческие организации должны всеми средствами содействовать международному обмену идеями, работами и исследованиями в области математического образования, чтобы молодежь всего мира могла возможно быстрее пользоваться достижениями учителей всех стран.

Основные положения диссертации опубликованы под следующими названиями:

1) Функции и их исследование. Издательство АПН РСФСР, 1958.

2) Элементы высшей математики в курсе средней школы Германской Демократической Республики и Франции. Сборник «Математическое просвещение», № 3, 1958.

3) Программа и обзор учебников алгебры французской средней школы. Журнал «Математика в школе» № 1, 1958.

4) О преподавании алгебры в английской средней школе. Журнал «Математика в школе», № 4, 1958.

*) Конференция состоялась в Женеве в июле 1956 г.

Л 47525 10/Х 1958 г. заказ 661 тираж 150

Типография МИХМ, ул. К. Маркса, д. 21/4