МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ Уз ССР

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени НИЗАМИ

МИЛОВАНОВ В. Ф.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КРУЖКИ С АЛГЕБРАИЧЕСКИМ УКЛОНОМ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

732-МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ТАШКЕНТ— 1969

Работа выполнена на кафедре элементарной математики и методики преподавания математики Туркменского государственного педагогического института имени В. И. Ленина и на кафедре вычислительной математики Ташкенского государственного университета имени В. И. Ленина.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук, доцент Доморяд А. П.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Романов Н. П.

Кандидат педагогических наук, доцент Афонина С. И.

Ведущее высшее учебное заведение — Ферганский государственный педагогический институт имени Улугбека.

Автореферат разослан . . IX . 1969г.

Защита диссертации состоится X-XI 1969 г. на заседании Объединенного совета по присуждению ученых степеней по педагогическим наукам при Ташкентском государственном педагогическом институте имени Низами.

Просим Вас принять участие в заседании совета или прислать свой отзыв (в 2-х экз., заверенный ученым секретарем совета и скрепленный печатью) по адресу: г. Ташкент — 64, Педагогическая ул., 103.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

И. о. ученого секретаря совета доцент Афонина С. И.

В настоящее время необходимость проведения внеклассных занятий по математике является общепризнанной. Однако, в имеющейся учебно-методической литературе крайне недостаточно освещен вопрос организации и проведения внеклассных занятий по математике применительно к конкретным условиям, которые могут иметь место в той или иной школе (количественный состав учащихся по классам, проявление у них интереса к изучаемым математическим дисциплинам, склонность учащихся, например, к более детальному изучению отдельных вопросов математики и многое другое).

Кроме того, анализ состояния внеклассной работы по математике в средних школах показывает, что за последние годы кружковым занятиям стало уделяться недостаточное внимание. В ряде школ кружковые занятия по математике или совсем не проводятся, или проводятся от случая к случаю и, следовательно, их организация по существу носит формальный характер. Укореняется в какой-то мере тенденция подменить одну форму внеклассных занятий (кружковые занятия) другой формой (факультативными занятиями).

Недостаточно четкое, а порой неправильное понимание целей и задач, которые ставятся перед кружковыми занятиями и факультативами, создало в школах такое положение, когда отдельные учителя математики самоустранились от проведения кружковых занятий.

Как известно, основное значение внеклассной работы по математике заключается прежде всего в том, что школа приобретает здесь особые возможности для углубления работы по идейно-политическому воспитанию, возбуждения и развития подлинного интереса к предмету, расширения научного кругозора учащихся, привития на-

выков и вкуса к самостоятельной работе, уменья работать с математической книгой и т. п. Все это облеченное в форму добровольных занятий вне класса, должно принести школе неоценимую услугу в главном: поднять общий тонус математического образования и идейно-политического воспитания в школе, содействовать прочному и неуклонному повышению математической культуры и успеваемости учащихся. Поэтому выяснение возможных путей, облегчающих организацию и повышающих эффективность проведения внеклассных занятий имеет актуальное значение.

В диссертации поставлены цели:

1) исследовать возможные направления, по которым может осуществляться в конкретных условиях организация кружковых занятий по математике;

2) разработать основные принципы отбора кружкового материала;

3) ориентировать учителей математики в алгебраическом материале, который может быть использован на кружковых занятиях;

4) разработать методику проведения основных форм внеклассных занятий применительно к условиям организации в школе кружков с алгебраическим уклоном.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов, списка использованной литературы и приложения.

Учителям — практикам хорошо известно, что на первых порах изучения в 6 классе алгебры и геометрии, учащиеся с одинаковым вниманием и интересом относятся к этим дисциплинам. Однако, со временем, отношение к указанным дисциплинам начинает заметно изменяться. Повлиять на интерес учащихся могут личные склонности учителя к тому или другому предмету, его объяснения, доступность изложения, умение возбудить любознательность. Кроме того, пробелы в знаниях учащихся, которые создаются из-за пропуска уроков или по каким-либо другим причинам, могут отрицательно сказаться на их интересе к той или другой математической дисциплине.

В силу указанных и многих других причин, у учащихся может появиться интерес к какому-либо определенному предмету. Характерно, что в последующие годы обучения (7—10 классы) этот интерес заметно закрепляется.

Существующая до сих пор в школах практика организации математических кружков, хотя и основывается на добровольном участии учащихся, но строится, как правило, без учета индивидуальных интересов не только учащихся, но порой и самого учителя.

Исходя из личного опыта работы в школах Туркменской ССР и проведенных за последние годы экспериментальных исследований, мы убедились, что такая практика организации математических кружков в большинства случаев не оправдывает себя: посещаемость учащимися кружковых занятий постепенно снижается и количественный состав членов кружка со временем значительно сокращается.

При организации в школе математических кружков, прежде всего, следует исходить из конкретных условий. Так, например, если количественный состав учащихся по классам будет многочисленным или имеются параллельные классы, то в таких школах уместно создавать математические кружки с разными уклонами (например, кружки с алгебраическим или геометрическим уклонами). В основе организации таких кружков должен лежать общий интерес учащихся к той или иной дисциплине. Это является важным условием сохранения состава членов кружка, постоянного функционирования кружковых занятий.

Диссертация посвящена математическим кружкам с алгебраическим уклоном.

Глава 1. ПРИНЦИПЫ ОТБОРА КРУЖКОВОГО МАТЕРИАЛА

Успешное проведение кружковых занятий во многом зависит от правильного подбора необходимого материала непосредственно самим руководителем кружка. Однако, наблюдения показали, что не каждому учителю математики удается это сделать. В практике проведения кружковых занятий, например, в школах г. Чарджоу Туркменской ССР, наблюдались случаи, когда отдельные учителя математики строили кружковые занятия на однообразном материале: решении только одних олимпиадных задач или задач занимательного характера. Такой односторонний подход к проведению кружковых занятии может привести или к распаду кружка, или создает у школьников ложное впечатление о математическом круж-

ке, как кружке развлекательной математики. Ясно, что узкий взгляд на содержание кружковых занятий не будет отвечать главным задачам — развитию математического кругозора и выработке практических навыков учащихся.

Затруднения в подборе материала часто создаются по следующим причинам:

1) кружковой материал слишком рассредоточен по разнообразным источникам;

2) небольшой тираж издания отдельных брошюр из серии книг «Библиотека математического кружка» не позволяет многим учителям (особенно периферийных школ) пользоваться ими;

3) алгебраические статьи, опубликованные в виде популярных лекций, могут быть в большой степени использованы во время кружковых занятий, но охвачено ими, к сожалению, очень небольшое число вопросов;

4) в имеющихся пособиях по внеклассной работе указываются только темы занятий и очень кратко или почти не раскрывается их содержание.

Уместно будет заметить, что в настоящее время назрела необходимость издания массовым тиражом специального пособия (хрестоматии) для внеклассных занятий, которое включало бы в себя разнообразный материал.

Кружковые занятия могут принести действительно большую пользу осуществляемому в школе процессу обучения математике, если они постоянно проходят под определенным тезисом, широко отвечают стоящим перед ними целям и задачам.

Рекомендованные в главе принципы отбора материала могут представлять практический интерес для руководителя кружка, так как в учебно-методической литературе они не получили систематизированного изложения.

Проведенные эксперименты показали, что в кружковые занятия могут быть включены внепрограммные вопросы как из элементарной так и высшей математики.

При подборе материала целесообразно исходить, например, из следующих рекомендаций:

1) прежде всего, в тематику кружковых занятий желательно включать вопросы, непосредственно примыкающие к программе. Изучение таких вопросов не только расширит круг знаний учащихся, но и будет способство-

вать более глубокому и прочному усвоению программного материала.

2) В тематику занятий могут быть включены вопросы, не примыкающие к программному материалу. Здесь очень важно обратить внимание на то, чтобы такие вопросы, помимо их доступности, представляли собою определенную образовательную и практическую ценность для учащихся.

3) Заслуживают также внимания вопросы пропедевтического характера.

Изучение таких вопросов с учащимися того или иного класса благоприятно скажется на усвоении программного или кружкового материала в последующие годы обучения.

4) При отборе кружкового материала желательно учитывать принцип преемственности — возможность изучения какой-либо темы на протяжении нескольких классов.

5) Отбираемый теоретический материал должен отвечать следующим основным целям:

а) расширение и закрепление ранее и вновь изучаемого теоретического материала; б) раскрытие связей алгебры с другими математическими дисциплинами; в) раскрытие связей между отдельными вопросами алгебры.

6). Материал для практических занятий должен быть весьма разнообразным.

Задачи и примеры должны отвечать следующим основным целям: а) закрепление изучаемого кружкового материала; б) развитие практических навыков, основанных на знании программного материала; в) раскрытие прикладного характера математики; г) развитие логических навыков; д) развитие исследовательских навыков; е) развитие интереса к математике.

Благодаря разнообразию материала, отбираемого в соответствии с перечисленными основными принципами, можно значительно повысить эффективность кружковых занятий и придать им целенаправленный характер.

Глава 2. СОДЕРЖАНИЕ КРУЖКОВЫХ ЗАНЯТИЙ

Основная цель главы — ориентировать преподавателя математики в алгебраическом материале, который может быть использован во время кружковых занятий.

Материал представлен 20-ю темами и рассматривается поклассно. Широко известные вопросы изложены неподробно, со ссылкой на источник. В то же время, мало известным вопросам дается более полная разработка. Изложение также иллюстрируется соответствующими чертежами, которые, в основном, представлены в приложении к диссертации.

Тема 1. Различные системы счисления (VII, VIII, IX классы)

Понятие о позиционном (поместном) принципе записи чисел. Действия над числами в различных системах, счисления. Обращение периодических дробей в обыкновенные дроби в любой К-ичной системе счисления. Применение различных систем при вычислении десятичных логарифмов чисел.

Тема 2. Приемы сокращенных вычислений (VII, VIII, IX классы)

Сокращенные приемы устного счета. Вспомогательные средства вычислений: палочки Непера, счеты, арифмометр. Сокращенные приемы письменных вычислений.

Тема 3. Приближенные вычисления (VIII классы)

Закрепление элементарных сведений по теории приближеннных вычислений (понятие о значащих, верных и сомнительных цифрах, абсолютная и относительная погрешности, правила округления и оценка погрешности, действия с приближенными числами). Формулы приближенных вычислений. Ознакомление с рациональными приемами приближенного извлечения корней.

Тема 4. Метод неопределенных коэффициентов (VIII, IX классы)

Примеры практического применения метода неопределенных коэффициентов: вывод схемы деления полинома f (х) на линейный двучлен (х—а) и квадратный трехчлен x2 + а х+ b ; разложение дроби на простейшие; извлечение квадратного корня из многочленов.

Тема 5 Графики и графическое решение уравнений (VIII, IX, X классы)

Построение кривых второго порядка, заданных каноническими уравнениями и уравнениями общего вида. Примеры симметричности графиков. Графическая иллюстрация роста некоторых функций. Деформация графика при переходе от функции y=f (х) к функциям: y=f(—х), y = -f(x), y=f(x + a), y=f(ax), y=af(x), y = f(bx+c) и т. д. Построение графиков в полярной системе координат. Задание кривых параметрическими уравнениями. Построение графиков функций, содержащих знаки абсолютных величин. Графическое решение уравнений 2-й, 3-й, и 4-й степеней. Графическое решение систем уравнений второй степени с двумя неизвестными общего вида.

Примечание. Построение графиков и графическое решение уравнений иллюстрируется соответствующими чертежами, помещенными в приложении к диссертации. Отдельные примеры могут представлять интерес для руководителя кружка, так как в литературе они не получили достаточной разработки.

Тема 6. Последовательности чисел (IX, X классы)

Суммирование членов арифметико-геометрической прогрессии. Суммирование степеней натурального ряда чисел. Примеры суммирования других конечных последовательностей. Возвратные последовательности.

Тема 7 Логарифмы (IX, X классы)

Различные способы вычисления логарифмов чисел (с помощью таблицы значений функции

где 1 к 9, S= 1,2,3,4;

с помощью таблиц К-тых степеней натуральных чисел; с помощью непрерывных дробей; графический способ; способы Непера, Бригга). Переход от одной системы логарифмов к другой. Логарифмы Гаусса. Логарифмическая бумага. Решение алгебраических уравнений n-й степени на логарифмической бумаге.

Тема 8. Неравенства (IX, X классы)

Средние величины и соотношения между ними. Примеры некоторых замечательных неравенств (например, неравенство Коши-Буняковского, неравенство Чебышева, неравенство Минковского). Решение задач на максимум и минимум. Геометрическая интерпретация неравенств (интерес здесь могут представлять примеры неравенств для вычерчивания математических орнаментов — рисунков с повторяющимися узорами).

Поводом для ознакомления с данной темой могут послужить задачи с ответом, «противоречащим здравому смыслу». Приведем один из таких примеров.

Задача. Пунткты А и В находятся на расстоянии l км друг от друга. Мотоциклист движется из А в В со скоростью V1 км/ час, обратно, из В в А — со скоростью V2 км/ час. Определить среднюю скорость мотоциклиста.

Нередко, проявляя поспешность, учащиеся делают неправильный вывод—искомая скорость выражается средним арифметическим, тогда как в действительности она выражается через среднее гармоническое.

Тема 9. Примеры применения формулы бинома Ньютона (X классы)

Вывод формул тригонометрических функций кратных дуг. Примеры применения формулы бинома Ньютона в случае, например, приближенного извлечения корня и решения некоторых числовых задач.

Тема 10. Комбинаторика (X классы)

Треугольник Паскаля. Комбинаторные тождества и методы их доказательства. Теория соединений с повторениями.

Тема 11. Примеры применения комплексных чисел (X классы)

Рекомендуемая тема может послужить хорошей иллюстрацией существования связей между отдельными

вопросами алгебры. Удобство применения комплексных чисел можно проиллюстрировать на примерах:

а) суммирования биноминальных коэффициентов;

а) суммирование последовательностей, заданных тригонометрическими функциями.

Тема 12. Непрерывные дроби (X классы)

Представление любого положительного рационального числа a/b (а и в — натуральные числа) в виде непрерывной дроби. Подходящие дроби и их основные свойства. Примеры приложения непрерывных дробей (решение в целых числах линейного неопределенного уравнения: ах + ву = с; решение в целых числах уравнения Пелля: x2 — mу2=1 ; приближенное извлечение квадратного корня; вычисление логарифмов чисел).

Тема 13. Дополнительные сведения из теории систем линейных уравнений (X классы)

Понятие об определителях второго и третьего порядков (на примере решения систем двух и трех линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными). Понятие об определителе n-го порядка. Понятие об алгебраических дополнениях AiK и миноре MiK элемента aiК. Теорема:

Разложение определителя по элементам ряда:

Формулы Крамера:

вывод которых основанна свойстве определителей:

Тема 14. Дополнительные сведения из теории уравнений высших степеней (X классы)

Решение уравнений третьей степени общего вида. Решение уравнений четвертой степени общего вида. Теорема Абеля о неразрешимости в радикалах уравнений степени выше четвертой. Способы вычисления рациональных корней (целых и дробных) уравнения n-й степени. Формулы Виета, устанавливающие связь между коэффициентами и корнями уравнения n-й степени.

Тема 15. Элементы теории вероятностей (X классы)

Понятие о вероятности (определения, примеры). Задачи на вычисление вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей. Понятие о законе больших чисел.

Тема 16. Задачи повышенной трудности (VII, VIII, IX, X классы)

Характерной особенностью рекомендуемых здесь задач является то, что в большинстве случаев их решение не основывается на обычных приемах, которыми учащиеся пользуются при закреплении программного материала во время классных занятий. Предлагаемые для упражнений задачи, по существу, носят олимпиадный характер. В теме приводится перечень задач, которые могут быть рекомендованы учащимся того или иного класса. Для подбора задач повышенной трудности приведен список наиболее доступной литературы, изданной за последние годы.

Тема 17. Задачи логического характера (VII, VIII, IX, X классы)

В теме рассмотрены наиболее типичные примеры логических задач; приводится примерное распределение их по классам и показаны приемы их решения.

Интерес может представлять весьма удобный прием решения логических задач, применяемый в нашей практике.

Задача: Три брата, Иван, Дмитрий и Сергей преподают различные дисциплины в университетах Москвы. Ленинграда и Киева.

1) Иван работает не в Москве,

2) Дмитрий не в Ленинграде,

3) Москвич преподает не историю,

4) тот, кто работает в Ленинграде, преподает химию.

5) Дмитрий преподает не биологию.

Какую дисциплину преподает Сергей и в университете какого города?

Если идти обычным путем рассуждений, то удержать в памяти логическое построение задачи довольно трудно. Здесь удобно воспользоваться такой схемой.

Иван

Дмитрий

Сергей

Историк

Химик

Биолог

Москва

1)-(1)

12)—(5)

13)+

3)-(3)

7) -

9) +

Ленинград

16)+

2)-(2)

14)-

5)-

4)+(4)

6)-

Киев

18)—

17)+

15)-

11)+

8)-

10)-

1) В каждой свободной клетке, в зависимости от правильной или противоречивой комбинации, ставятся соответственно знаки « + » или «—»;

2) слева от знаков «+» или «—» будем ставить порядковый номер умозаключения, а справа — номер условия задачи, на основании которого сделано данное умозаключение:

3) умозаключение, выраженное знаками « + » или «—» без индекса справа рассматривается как непосредственно вытекающее из предыдущего (или предыдущих ) умозаключений.

В результате, из схемы легко установим, что Иван работает химиком в Ленинграде, Дмитрий — историком в Киеве и Сергей — биологом в Москве.

В конце темы приводится список литературы для подбора логических задач.

Тема 18. Задачи прикладного характера (VII, VIII, IX, X классы)

Опыт показывает, что в содержание кружковых занятий не следует включать те задачи прикладного характе-

ра, которые насыщены специальной технической терминологией. Решение таких задач отнимает слишком много времени на разъяснение терминологии, вызывает большие затруднения у учащихся и не ведет к повышению качества их математической подготовки.

Подбор задач для упражнений следует производить с учетом проходимого в том или ином классе программного материала. В теме приведены примеры задач по классам. Указана также литература, которая может быть использована учителем для подбора задач прикладного характера.

Тема 19. Задачи занимательного характера (VII, VIII, IX, X классы)

Эффективность кружковых занятий во многом зависит от удачного подбора задач занимательного характера. Прежде всего, заслуживают внимания те задачи, которые непосредственно примыкают к изучаемому кружковому или программному материалу. Такие задачи, помимо возбуждения интереса к изучаемому материалу, могут быть использованы и с целью его закрепления.

В теме приведены примеры занимательных задач по классам и перечислена литература для подбора таких задач.

Тема 20. Задачи исследовательского характера (VII, VIII, IX, X классы)

Данная тема изложена в диссертации довольно подробно, так как вопрос организации элементарной исследовательской работы учащихся недостаточно освещен в учебно-методической литературе.

Выработка у учащихся таких качеств, как любознательность, настойчивость, творческая инициатива, склонность к открытиям и изобретениям, должна стать предметом постоянной заботы учителя математики. В деле совершенствования указанных качеств большую помощь может оказать решение учащимися задач исследовательского характера. С этой целью полезно включать в содержание самостоятельных упражнений «задачи-темы» — небольшие математические проблемы, которые бы дава-

ли повод для самостоятельных поисков, способствовали развитию у учащихся элементарных исследовательских навыков.

Приведенные в теме примеры могут послужить для учителя ориентировочным материалом в подборе задач исследовательского характера.

Приведем один из таких примеров.

Задача. При умножении однозначного числа а на двухзначное число ху возможен упрощенный прием а ⋅ ху = уах, например, 8 ⋅ 86 = 688.

Исследуйте, возможны ли другие аналогичные случаи. Конечно, задача может быть предложена учащимся после того, как они познакомятся с решением в целых числах неопределенных уравнений вида: ах+ ву = с.

Опыт показывает, что задачи исследовательского характера вызывают большой интерес у учащихся. Примечание. Изложение материала второй главы сопровождается методическими указаниями и рекомендациями, экспериментально проверенными во время проводимых автором кружковых и других форм внеклассных занятий с учащимися школ г. Чарджоу, школе юных математиков при Туркменском государственном пединституте им. В. И. Ленина и частично в математических кружках при Ташкентском Госуниверситете им. В. И. Ленина.

Рекомендуя выше перечисленные темы, мы, прежде всего, исходили из того, что они доступны широкой массе учителей при проведении кружковых занятий в любой периферийной школе.

Конечно, по усмотрению руководителя кружка, тематика занятий может быть расширена за счет, например, вопросов теории линейного программирования, теории чисел, теории групп, теории подстановок, теории исключения и т. д.

Глава 3. ФОРМЫ ВНЕКЛАССНЫХ ЗАНЯТИЙ

Добиться массового привлечения учащихся к участию во внеклассной работе можно только путем использования всего многообразия ее форм.

Основные формы внеклассных занятий изложены в главе в соответствии с данными экспериментальной проверки, проведенной в школах г. Чарджоу и тщательного анализа учебно-методической литературы.

Глава состоит из трех разделов.

1. Внеклассные занятия периодического характера

В этом разделе, состоящем из двух параграфов, изложена методика проведения кружковых занятий.

В первом параграфе подробно рассматриваются такие формы сообщения знаний, как беседы и лекции руководителя кружка. Разработана по классам тематика лекций и указан список наиболее доступной литературы.

Второй параграф посвящен докладам учащихся. Значительное место здесь отведено исследованию основных вопросов: какое значение и какую роль играют самостоятельные выступления учащихся в практике проведения кружковых занятий, какой материал следует включать в доклады и как должна осуществляться подготовка к ним, какие требования должны быть предъявлены к самостоятельным выступлениям учащихся.

Разработана по классам также тематика докладов и указан список литературы, в которой рекомендуемые темы изложены в наиболее доступной для учащихся форме.

II. Самостоятельная работа учащихся

Прежде всего заметим, что нецелесообразно добиваться максимальной эффективности от кружка только за счет увеличения числа и продолжительности кружковых занятий. Перегрузка может отрицательно сказаться на учебном процессе в целом и на участии учащихся в других мероприятиях, проводимых в школе. Успешное решение стоящих перед кружком задач во многом зависит от правильной и хорошо продуманной организации самостоятельной работы учащихся.

Во втором разделе, состоящем из шести параграфов, изложена методика организации и проведения основных форм самостоятельной работы учащихся.

Первый параграф посвящен организации самостоятельного изучения учащимися теоретического материала. Здесь показана важная роль коллективного изучения учащимися рекомендуемых вопросов.

Второй параграф посвящен самостоятельным упражнениям учащихся. Самостоятельное решение задач на дому может получить широкое распространение в кружках с алгебраическим уклоном.

Как показали наблюдения, некоторые учителя математики при подборе материала для самостоятельных упражнений отдают предпочтение либо задачам занимательного характера, либо задачам повышенной трудности — олимпиадного характера. Ясно, что такой взгляд на содержание самостоятельных упражнений не будет способствовать всестороннему развитию учащихся. На самостоятельные упражнения следует смотреть как на одно из средств повышения математической культуры школьников и, следовательно, их содержание должно как можно шире отражать все многообразие существующих видов задач (см., например, темы 16—20 второй главы).

Для учителя интерес могут представлять также приведенные в параграфе методические указания относительно тех требований, которые следует предъявлять к заданиям для самостоятельных упражнений.

Третий параграф посвящен организации самостоятельных поисков учащихся. Вопросу организации элементарной исследовательской работы в средних школах в настоящее время уделяется пока еще мало внимания. Недооценка этого важного вида самостоятельной работы в какой-то мере объясняется тем, что этот вопрос не получил должного освещения в печатных изданиях.

В свою очередь, элементарная исследовательская работа может положительно сказаться на развитии у учащихся познавательных интересов, творческой инициативы, приучает к активной и плодотворной мыслительной деятельности.

Из личного опыта организации самостоятельных поисков учащихся мы убедились, что руководителю кружка в первую очередь следует позаботиться о подборе материала, который может быть рекомендован в качестве заданий. Насколько это необходимо, можно судить, хотя бы по такому примеру. В течение нескольких лет мы проводили семинарские занятия с учителями математики школ г. Чарджоу. На одном из таких занятий был рассмотрен вопрос организации и проведения элементарной исследовательской работы среди учащихся. Присутствующие на семинаре учителя проявили большой интерес и приняли активное участие в обсуждении этого вопроса. Однако, как выяснилось, слабую постановку элементарной исследовательской работы в средних школах можно объяснить, прежде всего, отсутствием у отдельных учи-

телей ясного представления о содержании заданий для учащихся.

В свою очередь, опыт показывает, что в условиях любой школы широкое распространение могут получить так называемые «задачи-темы» — небольшие математические проблемы, носящие исследовательский характер: поиски интересных соотношений между числами; поиски «изящных» решений; придумывание своих задач; коллекционирование (включая и поиски новых) числовых курьезов, математических фокусов и загадок; поиски интересных тождеств (например, для «незаконных» сокращений, для получения интересных числовых равенств); поиски уравнений для построения интересных графиков; обобщающие задачи, содержащие элементы исследования и т. д. Перечисленная в параграфе литература может также в какой-то мере ориентировать учителя в подборе тем для самостоятельных поисков.

Четвертый параграф посвящен организации самостоятельного чтения учащимися математической литературы. Здесь анализируются основные причины, затрудняющие (особенно в периферийных школах) организацию самостоятельного чтения математической литературы и показаны возможные пути их устранения. Значительное место в параграфе отведено вопросам: какая литература может быть рекомендована учащимся, какие мероприятия могут привлечь их внимание к математической книге; приводится также перечень полезных указаний, которые помогут школьнику продуктивно читать книги по математике.

Пятый параграф посвящен изготовлению наглядных пособий учащимися. Приводится примерный перечень тех наглядных пособий, которые могут быть изготовлены членами кружка с алгебраическим уклоном. Работа здесь может вестись по трем направлениям:

1) изготовление наглядных пособий по вопросам, изучаемым во время кружковых занятий;

2) изготовление наглядных пособий для «Уголка математических игр»;

3) изготовление наглядных пособий по отдельным вопросам программы из всех разделов математики.

Указана также литература, которая может быть использована учителем при организации изготовления наглядных пособий.

Шестой параграф посвящен составлению тематических альбомов. Обучение математике не может ограничиваться только одними образовательными целями—привитием учащимся необходимых знаний и навыков. Задача учителя математики — внести посильный вклад в комплекс мероприятий, проводимых школой по эстетическому воспитанию учащихся.

Составление тематических альбомов будет иметь большое образовательное и воспитательное значение.

В содержание альбомов можно включить материал, отражающий, например: 1) результаты соревнований учащихся; 2) коллективное творчество учащихся по какой-либо теме; 3) можно также составить альбомы типа справочника по различным разделам математики.

В параграфе изложен опыт организации автором составления тематических альбомов по математике в школах № 2 и № 12 города Чарджоу. Приводится описание содержания рекомендуемых тематических альбомов, а также указан список литературы, которая может быть использована для сбора соответствующего материала.

Примечание: Помещенный з альбомах материал, можно впоследствии успешно использовать для проведения математических вечеров, для заметок в математическую стенгазету, для выступления учащихся с докладами в кружке.

III. Внеклассные занятия эпизодического характера

Раздел включает в себя четыре параграфа.

В первом параграфе изложен опыт организации автором выпуска математических стенгазет в школах № 2 и № 12 г. Чарджоу. Основное внимание здесь уделено вопросам содержания математических стенгазет и организации сбора материала.

Исследования показали, что наиболее оправданной оказалась такая практика организации выпуска математических стенгазет. Включаемый в газету материал лучше всего разбить на несколько основных разделов (содержание разделов подробно описано в параграфе). Сбор материала по каждому разделу поручить группам учащихся, в количестве 5—6 человек. Эти группы по заданию учителя подбирают из рекомендуемой литературы (список которой по каждому разделу приводится в параграфе) необходимый материал, обрабатывают его в

виде заметок и затем передают членам редколлегии, ответственным за тот или иной раздел газеты. Собранный таким образом материал может быть использован при выпуске даже нескольких номеров газет. В газету можно также поместить материал из математических альбомов или изложенные в краткой форме доклады учащихся. Такая организация сбора материала не перегружает отдельных учащихся и создает нормальные условия для регулярного выпуска стенгазет.

Второй параграф посвящен организации соревнований учащихся. Здесь подробно рассматриваются основные виды соревнований по математике: математические турниры, математические эстафеты, математические викторины, математические олимпиады. Изложена методика проведения каждого вида соревнований; раскрывается их роль и значение в школьной практике. На конкретных примерах иллюстрируется примерное содержание контрольных заданий, которые можно рекомендовать учащимся, участвующим в том или ином виде соревнований. Приводится также список литературы для подбора соответствующего материала.

В третьем параграфе излагается методика организации и проведения математических экскурсий. Методические указания разработаны на основании проведенных экспериментов, обобщения опыта работы учителей математики школ г. Чарджоу и анализа изданной литературы. Приведен также перечень возможных тем, по которым могут быть проведены экскурсии и указана рекомендуемая литература.

Четвертый параграф посвящен проведению математических вечеров. Здесь, прежде всего, изложены организационные вопросы, которые играют важную роль в деле подготовки и проведения математических вечеров. Возможный репертуар иллюстрирован примерами программ двух вечеров, проведенных автором совместно с учителями школ № 2 и № 4 г. Чарджоу. Указан также список литературы, которая может быть использована для проведения математических вечеров.

Примечание. В главе не получили специального освещения такие формы внеклассных занятий, как, например: 1) написание математических сочинений (рефератов) на определенные темы; 2) математические диспуты; 3) ведение круговых тетрадей по решению всех задач, имеющихся в задачниках и другие.

Хотя перечисленные формы и не были включены в план проводимых в школе экспериментов, однако можно с уверенностью сказать, что они также могут быть широко использованы в практике организации внеклассных занятий.

Из личного опыта мы убедились, что как бы ни был инертен ученик, как бы ни сложилось его отношение к математике, всегда можно привлечь его к участию, хотя бы в одной из форм внеклассных занятий, которая придется ему по душе, заинтересует и увлечет его.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

1. Математичаские кружки — одна из основных форм внеклассной работы по математике.

2. Хорошо поставленная кружковая работа заметно повышает уровень математической культуры большинства школьников и не может быть заменена проведением только одних факультативных занятий, охватывающих сравнительно небольшое число учащихся.

3. Проведенные эксперименты подтвердили, что математические кружки могут быть весьма разнообразными как по составу кружковцев, так и по специфическим целям, которые кружок перед собой ставит.

4. В конкретно сложившихся условиях возможны следующие кружки по математике:

а) кружки с алгебраическим уклоном;

б) кружки с геометрическим уклоном;

в) кружки со «смешанной» программой;

г) кружки по изучению какой-либо узкой темы.

5. Целесообразность организации математических кружков с определенными уклонами параллельно факультативным занятиям получила признание в экспериментируемых школах.

6. В основе организации кружков с тем или иным уклоном должен лежать общий интерес учащихся к изучаемым математическим дисциплинам. «Уклон» в работе кружка может быть связан также и с личными вкусами руководителя.

7. Разработанные в диссертации принципы отбора кружкового материала могут представлять практический интерес для руководителя кружка. Исходя из этих принципов, можно значительно повысить эффективность кружковых занятий.

8. Рекомендуемая во II главе тематика для кружков с алгебраическим уклоном может быть использована также и в других кружках. Эти темы доступны широкой массе учителей, работающих в условиях любой периферийной школы.

9. Методика организации и проведения различных форм внеклассных занятий, изложенная в третьей главе, как видно из проведенных экспериментов, оказалась практически оправданной. Реализацию многих из этих форм удается сравнительно легко обеспечить путем подбора так называемых «выигрышных» тем (т. е. когда одна и также может послужить одноврененно материалом для доклада в кружке, «номером» на вечере, страничкой в альбоме, заметкой в стенгазете).

10. Как правило, внеклассные занятия оказывают большое влияние на весь процесс обучения математике в школе. Продумывая тот или иной вопрос, учитель окажется подготовленным и к более оживленному изложению программного материала.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ РАБОТАХ АВТОРА:

1. Основные формы внеклассных занятий по математике в средней школе (брошюра), Издательство «Туркменистан», Ашхабад, 1967, 3,25 п. л.

2. Математические кружки в старших классах средней школы (тезисы доклада). Материалы VI научно-теоретической конференции ТГПИ им. В. И. Ленина, Чарджоу, 1966, апрель м-ц, 0,2 п. л.

3. Основные принципы отбора кружкового материала по математике (тезисы доклада), Материалы VII научно-теоретической конференции ТГПИ им. В. И. Ленина, Чарджоу, 1967, апрель м-ц, 0, 12 п. л.

Ташкентский государственный педагогический институт им. Низами

Сдано в набор 8/VII-1969 г. Подписано к печати 15/VI1—1969 г. Объем 1,5 п. л. Заказ № 5982. Тираж 200. ИП 00529.

г. Чарджоу, кустовая типография.