МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

МИХЕЛОВИЧ Ш. Х.

ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ВОПРОСЫ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

(732—Методика преподавания математики)

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук по методике преподавания математики

Москва—1969

Работа выполнена в Даугавпилсском педагогическом институте.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Бухштаб А. А., кандидат педагогических наук, доцент Колягин Ю. М.

Ведущее высшее учебное заведение — Ярославский государственный педагогический институт имени К. Д. Ушинского.

Автореферат разослан « » 1969 г.

Защита диссертации состоится « » 1969 г.

на заседании Совета по присуждению ученых степеней по математике и методике ее преподавания Московского ордена Трудового Красного Знамени государственного педагогического института им. В. И. Ленина (пер. Давыдовский, 4).

Отзывы натравлять по адресу: Москва, Г-435, Малая Пироговская, 1, МГПИ им. В. И. Ленина, научная часть.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Ученый секретарь Совета

В последнее время ведется большая работа по улучшению преподавания арифметики, что является весьма отрадным явлением, поскольку арифметика является основой для успешного овладения математикой. Следует отметить, что внимание к теоретико-числовым вопросам в действующей в школе программе является, на наш взгляд, недостаточным. Об этом приходится сожалеть потому что, как известно, эти вопросы вызывают интерес к математике, связаны с наукой — математикой и находят применение во многих разделах школьного курса математики.

Каковы основные причины недостаточного внимания к теоретико-числовым вопросам в школьном курсе математики?

1) Некоторое время считалось, что теоретико-числовые вопросы, которые раньше получали отражение в таких темах школьного курса, как более строгая теория делимости, неопределенные уравнения, цепные дроби, должны уступить место другим материалам, поскольку упомянутые теоретико-числовые вопросы не имеют особого значения в математическом образовании учащихся.

2) Укоренился взгляд, что теоретико-числовые темы мало доступны для учащихся, слишком абстрактны.

3) Учителя младших классов не владели теоретико-числовыми фактами.

4) Не были разработаны принципы отбора и распределения теоретико-числовых материалов для школьного курса.

В связи с движением за реформу математического образования в последние десятилетия отношение к изучению теоретико-числовых материалов в школьном курсе следует пересмотреть, потому что причины, из за которых теоретико-числовые вопросы были преданы забвению частично потеряли свою состоятельность, а причины, еще существующие, можно устранить.

Во-первых, установлено, что связь теоретико-числовых материалов с математикой в целом весьма значительна.

Во-вторых, выяснилось, что возможности усвоения учащимися математических понятий куда большие, чем это полагали раньше, и что изучение теоретико-числовых понятий вызывает интерес к математике.

В третьих, повысился и повышается уровень знаний преподавателей по теоретико-числовым вопросам, поскольку в педагогических институтах и университетах изучается цикл соответствующих дисциплин, тесно связанный со школьной математикой.

Правда, еще недостаточно разработаны пути органического внедрения теоретико-числовых материалов в школьный курс математики, не выявлен еще оптимальный объем их для школы.

В диссертации, состоящей из введения и четырех глав, делается попытка, определить этот объем и наметить пути — его изучения.

В первой главе собраны некоторые исторические сведения об изучении теоретико-числовых материалов в школьном курсе математики в России в XIX веке и начале XX века.

В начале главы рассматривается теоретико-числовое содержание школьных программ указанного периода. Отмечается, что при изучении теоретико-числовых материалов преобладали формальные устремления.

В конце прошлого века на западе возникло движение за реформу математического образования, оно пустило также глубокие корни в России.

Вопросы реформы математического образования явились предметом широкого обсуждения на 1-м Всероссийском съезде преподавателей математики в январе 1912 г.

В диссертации приводятся предложения участников съезда, касающиеся изучения арифметики и теоретико-числовых вопросов. Подробно анализируется доклад И. И. Чистякова «Элементы теории чисел в средней школе».

И. И. Чистяков указал на то, что теоремы о делимости чисел проходятся в школе формально, не учат учащихся размышлшять. Вместе с тем И. И. Чистяков подчеркнул, что изучение теоретико-числовых материалов вообще то интересует учащихся, доступно их пониманию и развивает их мышление. Он указал на то, что чаще всего интерес к математике возникает в возрасте 11—15 лет и преимущественно при решении задач, касающихся свойств чисел. Чистяков охарактеризовал задачи из журналов с теоретико-числовым содержанием и отметил, что учащиеся не вооружаются общими методами для их решения и могут лишь пользоваться искусственными приемами.

В диссертации показана актуальность замечаний Чистякова и в наши дни.

Во второй главе анализируются поиски по улучшению теоретико-числового образования учащихся средней школы в последние десятилетия. (§§ 1—3 относятся к нашей стране, § 4—к зарубежным странам и международному форуму).

Рассматривается программа математики 1945 г., которая в области арифметики в центр внимания учителей поставила цель, вооружить учащихся вычислительными навыками и умением решать задачи.

В практике преподавания теоретико-числовым вопросам не уделялось внимание, как в младших, так и в старших классах, хотя в объяснительной записке .к программе и было указано, что в старших классах (VII—X) на преподавателей алгебры и геометрии лежит обязанность, постоянно поддерживать и совершенствовать арифметические навыки учащихся. Эти указания были слишком общими, чтобы служить руководством к действию.

Наряду с методическими работами, которые против основных установок программы не выступали, мы встречаемся также с критическими замечаниями в адрес программы по арифметике, с требованиями, дать учащимся более цельное представление о свойствах целых чисел, и с конкретными предложениями о работе с учащимися старших классов по теоретико-числовым вопросам. В диссертации приводятся соответствующие материалы.

В диссертации анализируется программа по арифметике 1954 г. и ее реализация. Программа предусматривала разгрузку курса арифметики от трудных задач и открывала возможность более основательного и глубокого изучения ее основ. Однако подчеркивание того, что при составлении задач следует шире пользоваться материалами из техники и сельского хозяйства, привело к тому, что в преподавании арифметики стали слишком большое внимание уделять фабуле задачи в ущерб ее математическому содержанию.

Начиная с 1960 г. программа по арифметике стала еще меньшее внимание уделять вопросам теории делимости. Эта установка получила отражение в учебнике арифметики И. Н. Шевченко.

Новые программы по арифметике 1954 и 1960 годов не внесли существенных изменений в изучение арифметики. Но одновременно как у нас, так и за рубежом, началось движение за более коренную перестройку преподавания математики, в первую очередь — арифметики.

Были выдвинуты предложения: В первых трех классах подготовить учащихся к изучению систематического курса арифметики, который следует начать с IV класса; IV класс отнести к средней школе и преподавание арифметики в этом классе поручить преподавателю со специальным математическим образованием.

Движение за реформу характеризуется в первую очередь стремлением усилить идейную сторону изучения математики. А. И. Маркушевичем была подчеркнута задача математического развития и воспитания учащихся. Он указал также на

то, что логическая структура арифметических и алгебраических вопросов и задач, как правило, является простой и отчетливой, и что поэтому их следует в значительно большей мере, чем это делалось до сих пор, привлекать в целях математического воспитания. При этом можно применять эксперимент, который укрепляет веру учащихся в возможности разобраться в том, что верно и что неверно. В диссертации показано, что эти замечания можно вполне отнести к рассмотрению теоретико-числовых вопросов.

В диссертации приводятся также другие работы, посвященные реформе преподавания арифметики.

В заключение обзора движения за реформу школьного математического образования в нашей стране отмечается, что в новой программе значительное усиление теоретико-числовых элементов предусматривается в факультативном курсе. По мнению диссертанта цементирующая роль теоретико-числовых элементов в основном школьном курсе математики должна быть повышена.

В четвертом параграфе главы II выявляется теоретико-числовой аспект движения за реформу школьной математики в некоторых зарубежных странах и на международном форуме.

В диссертации дается общая характеристика современного движения за реформу математического образования. Самым важным является то, что вопрос о сближении математики, изучаемой в школе, с математикой наукой ставится теперь куда шире, чем раньше. Обращается внимание на то, что усвоение языка, методов и вспомогательных средств математики в общеобразовательном отношении очень важно и для тех, кто в дальнейшем не станет математиком или ее непосредственным потребителем. Приводятся предложения Шоке в Роямонте (Франция) в 1959 г., касающиеся арифметического материала. Они охватывают следующие вопросы: делимость, алгоритм Евклида, простые числа, разложение на множители, понятие системы счисления, диофантовы уравнения ах—bу = 0, ах—bу = с, геометрическая интерпретация на плоской решетке, кольцо целых чисел по модулю n.

В диссертации характеризуется движение за реформу математического образования в США, в Англии и Швейцарии.

В диссертации рассматривается обзор вице президента Международной комиссии по математическому образованию С. Страшевича, с которым он от имени комиссии выступил на Международном математическом конгрессе в Стокгольме (1962).

Обзор касается докладов по вопросу об отношении между арифметикой и алгеброй в преподавании математики детям

возраста до 15 лет, представленных комиссиями 11-ти стран.

В нем указывается, что операции над классами вычетов по модулю n являются поучительной темой и могут явиться шагом в формировании общих понятий алгебры. Отмечается, что во многих случаях успехи превысили ожидания.

В диссертации представлен вывод, что разумное использование концепций современной математики дает возможность, построить школьный курс математики более экономным образом.

В третьей главе разработаны принципы отбора, распределения и изучения теоретико-числовых вопросов в школьном курсе математики.

В параграфе 1-м обсудается оптимальное теоретико-числовое содержание математики средней школы.

Говоря об изучении теоретико-числовых вопросов в школьном курсе, диссертант не имеет в виду особого расширения программного материала. Отстаивается мнение, что в рамках программного материала можно заниматься полезными теоретико-числовыми вопросами и что это должно способствовать более глубокому и прочному усвоению программы.

Необходимый резерв времени обеспечивается, как общими установками намечаемой реформы в младших классах, так и тем, что традиционные примеры можно во многих случаях заменить примерами и упражнениями теоретико-числового характера.

Приводится примерный перечень вопросов, которые могут стать объектом рассмотрения в школьном курсе.

Это — деление с остатком, различные системы счисления, НОД, НОК, различные категории чисел (простые, составные и др.), разложение на простые множители, сравнения, неопределенные уравнения, важнейшие теоремы теории делимости (Ферма, Эйлера), некоторые теоретико-числовые функции, цепные дроби, элементы степенных вычетов, периодические дроби, некоторые знаменитые проблемы теории чисел и успехи в их решении.

Обосновывается значение изучения указанных теоретико-числовых материалов. Они обладают значительной степенью общности, получают применение в процессе учебы и вызывают интерес.

Желательно чтобы теоретико-числовые материалы пронизывали школьный курс математики. При изучении теоретико-числовых материалов небольшими порциями и неоднократном возвращении к ним можно избежать накопления сложного материала на отдельных участках учебы и добиться легкого и глубокого его усвоения.

Анализируются опыт и рекомендации по изучению теоретико-числовых материалов в различных странах и их обоснование.

Во втором параграфе анализируется значение теоретико-числовых материалов в формировании математических понятий и во внутри математических применениях, в особенности их роль в углублении понятия функциональной зависимости и развитии теоретико-множественных представлений.

Подробно рассматриваются некоторые функции, которые встречаются в теории чисел.

Функциональное мышление углубляется также переходом к изучению теоретико-числовых фактов в областях, отличных от области натуральных чисел N.

Анализируется значение работы над теоретико-числовыми материалами для развития теоретико-множественных представлений учащихся. В теории чисел учащиеся встречаются с разными множествами чисел—конечными и бесконечными. Это — вполне обозримые множества, из которых по одному или другому признаку выделяются подмножества. Часто встречаемся с перераспределением элементов одного множества в элементы других множеств, со сложением и пересечением множеств.

Приводится ряд традиционных случаев переплетения теоретико-числовых материалов и школьной алгебры, а также менее традиционных, — например, представление комплексных чисел при помощи классов вычетов множества многочленов М(х) с действительными коэфициентами по модулю x2+1 и др.

В третьем параграфе анализируется роль изучения теоретико-числовых вопросов для развития вычислительной культуры, логического мышления и интереса к математике.

Занятия с теоретико-числовыми материалами содействуют более основательному усвоению деления с остатком, закрепляется понимание зависимости между отдельными компонентами. Очень полезны в вычислениях понятие сравнимости по данному модулю и равносильные соотношения. Обращение со сравнениями содействуют выработке навыков в устных вычислениях.

Аппарат сравнений является наиболее удобным для решения многих задач теории делимости, в том числе — решения неопределенных уравнений 1-ой степени с двумя неизвестными в целых числах.

Большое значение для развития вычислительной культуры имеет знакомство с теоремами Эйлера и Ферма. Для вычисления приближенного значения действительного числа важны цепные дроби. Цепные дроби приобретают также большое значение при вычислениях на электронных вычислительных машинах.

Занятия с теоретико-числовыми вопросами имеют важное значение для развития логического мышления учащихся.

При рассмотрении теоретико-числовых фактов встречаемся с разнообразными видами рассуждений. Часто отдельные наблюдения, отдельные примеры хорошо помогают в установлении некоторого положения в общем виде. Теория чисел помогает научиться индукции — научиться строить догадки. С другой стороны, мы встречаемся со многими примерами, которые показывают ограниченность простой индукции. Часто применяется принцип математической индукции в различных своих эквивалентных формах. Довольно часто приходится заниматься разграничением понятий необходимости и достаточности. На теоретико-числовом материале можно дать примеры чистых теорем существования.

В заключение переграфа анализируется значение интереса при изучении математики, а также то явление, что занятия теоретико-числовыми материалами значительно способствуют развитию интереса.

В четвертом параграфе развиваются методические принципы относительно ознакомления учащихся с теоретико-числовыми материалами как в основном курсе, так и на факультативных занятиях. Эти принципы раскрываются в IV главе.

В качестве основных общих принципов выдвигаются следующие: изучение материала должно заинтересовать учащихся, работа над ним должна быть посильной и протекать в условиях благоприятной атмосферы.

Диссертант выступает за постепенное ознакомление учащихся с теоретико-числовыми материалами, начиная с открытия теоретико-числовых фактов, а затем уже предлагает переходить к их обоснованию, применяя при этом сначала конкретные числа. Такой подход хорошо вскрывает внутренний механизм доказательства, дает возможность проследить его в деталях. Это создает также большую уверенность в справедливости выясняемого свойства, делает это свойство явным и значительно облегчает усвоение материала.

В диссертации рассматривается роль учителя (его подготовленность к обучению элементам теории чисел), а также наличия учебных пособий. Обращается внимание на то, что учителя, окончившие лишь учительские институты, или педагогические училища, подготовлены недостаточно. Это относится также к выпускникам факультетов начальной школы.

Анализируется постановка проблемы подготовки преподавателей математики на международных форумах и в некоторых зарубежных странах, в частности в США и в ГДР. Рассматриваются соответствующие учебные пособия.

Далее в этом параграфе подробно анализируются возможные способы изложения в школе теорий делимости и сравнений, тесно связанных между собой. При этом освещаются некоторые работы зарубежных авторов.

Обосновывается точка зрения, согласно которой основную теорему арифметики следует поначалу принять без доказательства. Однако этим нельзя ограничиться. К теории делимости следует вернуться и изложить ее достаточно четко, пользуясь алгоритмом Евклида. Последний имеет самостоятельное значение, как алгоритм вообще, с которым учащиеся впервые в достаточно развернутой форме знакомятся.

Приводятся примеры изложения теории делимости некоторыми французскими авторами, которые выступают за первоначальное рассмотрение понятия НОК и его свойств и последующее изучение понятия НОД и его свойств. Дается критический анализ такого подхода.

Рассматриваются изложения теории делимости, сразу же включающие аппарат сравнений и использующие его преимущества.

Критически обозреваются изложения, в которых теорема о единственности разложения на простые множители доказывается до введения понятий НОД и НОК.

В диссертации рассматриваются образцы изложения теории сравнений, как в переплетении с теорией делимости, так и отдельно. Анализируется тот факт, что аппарат сравнений не пользовался до сих пор особым признанием. Комментируются решения некоторых задач математических олимпиад, в том числе и международных, которые свидетельствуют о том, что даже для наиболее подготовленной части учащихся до недавнего времени упускалась из виду возможность их ознакомления с аппаратом сравнений, с теоретой Ферма.

Рассматриваются различные подходы к определению понятия сравнимости. Диссертант отдает предпочтение определению сравнимости, в котором указывается, что два целых числа а и в называются сравнимыми по модулю m, если они при делении на m дают одинаковые остатки, и аргументирует свою точку зрения. Аргументируется также первоначальное определение сложения и умножения классов вычетов и последующее рассмотрение этих операций для сравнений.

В диссертации отстаивается точка зрения, что решение сравнений следует рассматривать до изучения неопределенных уравнений. Во-первых, можно ставить содержательные задачи, которые сводятся к решению сравнений с неизвестным, а во-вторых, неопределенные уравнения 1-й степени с двумя неизвестными можно успешно решать именно с помощью сравнений.

Анализируется вопрос о методах решения сравнений 1-й степени. Высказывается мнение, что после первоначального ознакомления с методом подбора следует перейти к методу преобразования коэффициентов, который охарактеризован диссертантом в его учебном пособии по теории чисел.

В заключение параграфа рассматриваются возможности применения теоретико-числовых материалов IV главы в рамках обязательной программы, а также в системе факультативных и внеклассных занятий.

В четвертой главе разработана примерная теоретико-числовая канва для средней школы, которая излагается в 24-х параграфах.

Изложение ведется в таком стиле, чтобы процесс работы с учащимися возможно было бы базировать на проблемных ситуациях. С одной стороны, теоретико-числовые материалы позволяют без значительных усилий создавать такие проблемные ситуации (показать это стремился диссертант), с другой стороны, проблемные ситуации наилучшим образом содействуют развитию мыслительной деятельности учащихся.

Исходя из опыта и убеждения, что рассматриваемые теоретико-числовые материалы могут быть использованы в общеобразовательной школе, и начиная с младших классов, изложение ведется так, чтобы оно было максимально доступным и могло бы привлечь интерес учащихся. С этой целью широко используется конкретно-числовая наглядность, соответствующая применению геометрического чертежа, уделяется внимание тому, чтобы приводимые доказательства не только вынуждали учащихся согласиться с доказуемым фактом, но и психологически убедили учащихся в его верности.

Все вопросы сопровождаются примерами и упражнениями.

В §§ 1—6 рассматриваются основные вопросы теории делимости.

В теме о делении с остатком основное внимание уделено тому, чтобы учащийся понял, что при делении целых чисел на натуральное число неполное частное берется всегда таким образом, чтобы остаток не был отрицательным.

После введения понятий простого и составного числа рассматривается разложение составных чисел на простые множители. При этом основной закон арифметики дается сначала без доказательства. Обращается внимание на то, чтобы у учащихся создалось убеждение в том, что если N представлено в канонической форме N=pa1pa2 . . . pак, то только произведения рi могут быть его мультипликативными элементами.

Устанавливается, как выделить наименьший простой делитель, как найти каноническое разложение.

Выясняется, сколько имеется простых чисел, как найти простые числа от 1 до N методом решета Эратосфена.

Ведутся наблюдения за закономерностью следования простых чисел в натуральном ряду. Устанавливается существование простых чисел близнецов, а, с другой стороны, — сколь угодно больших промежутков между простыми числами.

Обсуждается возможность предсказания простого числа, следующего за р, а также решения более скромного вопроса—указания промежутка, в котором обязательно встретится новое простое число. Приводятся соответствующие результаты Чебышева и современные их улучшения.

Рассматривается вопрос о том, как часто простое число встречается в среднем. И здесь приводится соответствующий результат Чебышева о том, что число простых чисел на каждую сотню убывает и становится ничтожно малым.

Обсуждается представление натуральных чисел в виде суммы простых чисел и приводятся предположение Гольдбаха, а также результаты Л. Г. Шнирельмана и И. М. Виноградова.

Основной закон арифметики используется для установления общего признака делимости а на в, если даны канонические разложения этих чисел. Исследуется, как найти все делители числа n и каково их количество t(n). Находится НОД двух и нескольких чисел, если даны их канонические разложения, устанавливаются его свойства.

Изучается НОК и его свойства, а также совокупность общих кратных.

Далее рассматривается алгоритм Евклида и нахождение НОД при его помощи. Ныясняются свойства НОД. Дается доказательство единственности разложения на простые множители.

Вводится понятие целой части рациональных чисел, тесно связанное с действием деления с остатком. Доказывается свойство, что

Решается задача о нахождении показателя а, с которым простое число р входит в произведение n!, рассматриваются соответствующие упражнения.

В §§ 7—9 рассматриваются сравнения и классы вычетов по данному модулю и изучаются их простейшие свойства. Понятие сравнения вводится исходя из понятия равноостаточности. Выясняется, какой вид имеют числа, сравнимые с в по модулю m.

В качестве иллюстраций используются коробочки с наклейками остатков, катящаяся на числовой прямой окружность и координатная система. В последней рассматривается функция остатков у = rm(х). Выясняются свойства этой функции.

Предшествующие рассмотрения позволяют перейти к понятию классов вычетов. Обсуждается сложение и умножение вычетов (выводы сравниваются с «часовой арифметикой»), а затем и сложение и умножение классов вычетов. Свойства действий сравниваются со свойствами действий сложения и умножения целых чисел.

Рассматриваются простейшие свойства сравнений. Они применяются, между прочим, для определения дня недели по данной дате и вычисления остатков при делении на 3, 9 и 11.

В § 10 (некоторые замечательные простые и составные числа) определяется сумма делителей данного числа (предварительно выясняется, что an-1 + ... +1 =an—1/a—1). Вводится понятие совершенных чисел и приводится результат Евклида, что числа вида n = 2k-1(2к — 1), где к > 1 и 2k — 1 = р, являются совершенными. Даются сведения о числах Мерсенна, дружественных числах, многоугольных числах. Упоминается результат Лагранжа, как частный случай утверждения Варинга, а также это последнее утверждение и успехи в его доказательстве.

В §§ 11—14 рассматриваются малая теорема Ферма, системы вычетов, а также функции Эйлера и теорема Эйлера. В доказательстве малой теоремы Ферма используется свойство: если несравнимые по модулю m числа а и в умножить на число d, взаимно простое с га, то произведения ad и вd будут несравнимы по модулю га. При этом, как и в других случаях, доказательство ведется сначала при помощи конкретных чисел, что делает его убедительным. Далее вводятся понятия полной и приведенной системы вычетов по модулю га, рассматриваются их признаки, а также свойство сравнений а = в (mod m) → (a, m) = (в, m); определяется функция Эйлера. Доказываются теоремы о вычетах линейной формы и о мультипликативности функции Эйлера. Выводится формула для вычисления функции Эйлера, а также свойство Σφ(d) = m.

Далее доказывается теорема Эйлера и рассматривается ее применение.

В §§ 13—18, посвященных плоской целочисленной решетке, рассматриваются различные задачи по подсчету целых точек, используя [x], решение сравнения 1-й степени и расположения прямой и окружности на клетчатой бумаге. Доказывается возможность и единственность решения сравнения 1-й степени. Устанавливается, что по простому модулю р множество классов Z/m образует поле. Для решения применяется метод подбора, метод преобразования коэффициентов, а также теорема Эйлера.

При изучении расположения прямой относительно целочисленной плоской решетки обсуждаются между прочим такие вопросы: можно ли добиться того, чтобы прямая пpoxoдила лишь через 2 целые точки; как узнать, не лежат ли между целыми точками А (x1, y1) и В (x2, y2) другие целые точки; определить расстояние между двумя соседними целыми точками прямой AB; можно ли провести прямую через единственную целую точку, единственную рациональную точку; мо-

жет ли прямая так избрать свой путь, чтобы вообще не проходить через целые точки, как такие прямые построить? Все эти вопросы исследуются сначала, исходя из наглядных представлений, затем — из рассмотрения уравнения ах + bу = с. Для решения этого уравнения применяется сравнение. При рассмотрении расположения окружности относительно плоской решетки рациональных точек обсуждаются вопросы: существуют ли такие точки, что окружности с центрами в этих точках не могут внутри себя включать любое количество целых точек; существуют ли точки, что окружности с центрами в них при соответствующем радиусе содержат любое количество внутренних целых точек? Выясняется, что количество N целых решений неравенства x2 + y2⩽n приблизительно равно πn и что

Рассматривается окружность x2 + y2 = 1 и исследуется вопрос о том, через какие рациональные точки эта окружность проходит. Это дает возможность найти целые решения уравнения x2 + y2 = z2. В заключение приводится великая теорема Ферма и дается ее геометрическая интерпретация.

В §§ 19—22 приводятся материалы о цепных дробях. Сначала обсуждается задача об округлении рациональных чисел и вводятся цепные дроби. Рассматривается алгоритм разложения рационального числа в цепную дробь и вычисление подходящих дробей. Исследуется расположение подходящих дробей относительно исходного рационального числа. Выясняется, что подходящие дроби являются лучшими приближениями, чем десятичные дроби с такими же знаменателями. Цепные дроби применяются к решению различных арифметических вопросов: 1) к сокращению дробей; 2) к представлению целого числа с в виде линейной комбинации целых чисел а и в; 3) к решению неопределенных уравнений 1-ой степени с двумя неизвестными.

Понятие целой части распространяется на любое действительное число, изучаются графики у = [х] и у = {х}. Рассматривается также разложение в цепную дробь иррационального числа и приближенное его вычисление при помощи подходящих дробей.

В § 23, посвященном вопросам распределения простых чисел в натуральном ряду и других последовательностях, рассматривается сначала график у = π(х), затем дается обзор исследований Лежандра, Гаусса и Чебышева по этому вопросу. Упоминаются результаты в доказательстве асимптотического закона распределения простых чисел.

Обсуждается вопрос о нахождении больших простых чисел. Доказывается теорема Гольдбаха, что никакая рациональна функция от X с целыми коэффициентами не может

для всякого натурального значения х принимать значение простого числа.

Упоминается результат Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях.

В последнем параграфе выясняется, сколько получается цифр в периоде при десятичном представлении рационального числа a/b, где (в, 10) = 1. В этой связи вводится понятие показателя по данному модулю и рассматриваются некоторые его свойства. В заключение рассматривается задача обращения в смешанную периодическую дробь дроби когда (в, 10)≠1.

Основные выводы по диссертации заключаются в следующем.

В рамках школьной программы математики важно заниматься полезными теоретико-числовыми вопросами. Они должны войти в «курс математики средней школы через те многочисленные связи, которые существуют между математикой и ее составной частью — теорией чисел.

Необходимые условия обеспечиваются как общими установками реформы (более раннее изучение отрацательных чисел и уравнений, отказ от сложных типовых задач и громоздких вычислительных примеров), так и тем, что традиционные примеры можно во многих случаях заменить упражнениями теоретико-числового характера.

Возвращаясь к таким задачам систематически и последовательно развивая при этом некоторые теоретико-числовые понятия, можно обеспечить создание достаточно устойчивой теоретико-числовой канвы в курсе математики средней школы и содействовать хорошему ее усвоению. Изучение основных теоретико-числовых понятий в общем курсе школьной математики находит затем свое продолжение на факультативных занятиях.

Главную роль в решении этих вопросов должны сыграть учитель и надлежащие учебные пособия.

От учителя требуется, чтобы он не только знал теоретико-числовые факты, но и доступные подходы к ним с учетом их связей с другими материалами круса математики.

В диссертации разработана примерная теоретико-числовая канва для курса средней школы.

Положения диссертации базируются на долголетнем опыте работы автора в школе и институте, на работе по подготов-

ке двух изданий учебного пособия по теории чисел, на проведенных занятиях с учащимися в школьном кружке при Даугавпилсском педагогическом институте, а также с учителями на курсах усовершенствования учителей Латвийской республики, на уроках, данных в 6-ой восьмилетней школе г. Даугавпилса, на руководстве курсовыми работами студентов по теоретико-числовой тематике в школьном плане и на изучении советской и зарубежной литературы.

Основное содержание диссертации опубликовано:

1) в книге автора «Теория чисел», издание первое, Изд-во «Высшая школа», М., 1962, издание второе, переработанное и дополненное, Изд-во «Высшая школа», М., 1967;

2) в статье автора «О путях усиления связи теоретико-числовой подготовки учителя математики с потребностями школы», опубликованной в сборнике «Материалы межвузовской научной конференции математических кафедр педагогических институтов центральной зоны РСФСР», Тула, 1968;

3) в статье автора «Теоретико-числовые вопросы в школьном курсе математики», опубликованной в сборнике «Материалы к XXVI конференции математических кафедр педагогических институтов Урала», Киров, 1968.

A 73437 1 печ. 1. Зак. 2347—69 г.

Типография ВАГШ