АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

К. К. МИХАЙЛОВА

ПУТИ АКТИВИЗАЦИИ ПРОЦЕССА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент И. А. Гибш

Москва — 1962

Программа КПСС, принятая на XXII съезде КПСС, следующим образом определяет цели воспитания и образования в связи с задачей построения коммунистического общества:

«Переход к коммунизму предполагает воспитание и подготовку коммунистически сознательных и высокообразованных людей, способных как к физическому, так и к умственному труду, к активной деятельности в различных областях общественной и государственной жизни, в области науки и культуры».1

Эти цели нашей школой будут достигнуты, если, наряду с вооружением учащихся прочными и глубокими знаниями, она воспитает в них умение творчески мыслить и умение прилагать приобретенные знания для решения практических задач.

Но выработать действенные знания и развить способность к творческому мышлению у учащихся можно лишь только при таких методах обучения, которые основаны на постоянном проявлении ими активной умственной деятельности на всех этапах обучения.

В «Тезисах ЦК КПСС и Совета Министров по вопросу укрепления связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии народного образования» в нашей стране указывается, что «перестройка школьного образования требует изменения не только содержания, но и методов обучения в сторону всемерного развития самостоятельности и инициативы учащихся».

Таким образом, одной из важнейших задач нашей школы является задача активизации всего процесса обучения школьным дисциплинам и усвоения их учащимися; в особенности это требование относится к математике.

Плодотворное изучение математики требует активной мыслительной деятельности учащихся. Если знания по математике будут просто заучены, но не «добыты» в результате затраты достаточных умственных усилий, то учащийся не приобретает необходимого развития и не сумеет на основе таких знаний решать вопросы, требующие самостоятельных размышлений.

1 Программа Коммунистической партии Советского Союза, Изд-во «Правды», М., 1961, стр, 122—123.

На эту особенность математики указывает академик А. Н. Колмогоров: «...математические сведения могут применяться умело и с пользой только в том случае, если они усвоены творчески, так что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно».1

Активизация процесса обучения математике имеет целью содействовать вполне сознательному восприятию учащимися изучаемого материала; она должна предоставить каждому учащемуся возможность проявить самостоятельность в нахождении путей решения теоретических вопросов и задач; для достижения этой цели необходимо в процессе обучения в возможно большей мере раскрывать «лабораторию» математического творчества, т. е. обращать внимание учащихся на то, какие общие и частные соображения руководят каждым, кто стремится творчески найти решение вопроса, и как осуществляется в сознании и на практике выбор методов, приемов и путей выполнения решения.

В существующей педагогической литературе, анализ которой дан в главе I, много внимания уделяется проблеме активизации обучения. В этой литературе обосновывается необходимость активизации различных этапов процесса обучения математике в школе, намечаются общие принципы. Однако пути и способы осуществления активизации в ней достаточного освещения не получили, и многие проблемы активизации обучения математике в школе требуют своего решения.

Такими проблемами, в частности, являются:

I. Формы и методы активизации процесса обучения математике при сообщении новых знаний.

II. Проблема использования на уроках математики общих и частных указаний, содействующих самостоятельному нахождению учащимися путей доказательства теории и решения задач, и установления этих указаний самими учащимися.

III. Проблема нахождения учащимися наиболее естественных и рациональных решений задач и использования для этой цели всего комплекса имеющихся у них знаний по математике.

IV. Проблема составления системы вопросов, активизирующих мышление учащихся на всех этапах работы с ними (при ознакомлении с новым материалом, при закреплении его в классе и дома, при повторении, при учете знаний).

Перечисленные проблемы составляют предмет настоящей диссертации. Раскроем, как в диссертации решается каждая из этих проблем.

1 Колмогоров А. Н., О профессии математика (в помощь поступающим в вузы), Госиздат «Советская наука», М., 1952, стр. 3.

I. Формы и методы активизации процесса обучения математике при сообщении новых знаний.

Изучению каждой новой темы программы должна предшествовать подготовка учащихся к ее активному восприятию — введение в тему (постановка вопроса).

Постановка вопроса служит кратким введением, вступлением в тему, устанавливает связь с предыдущим материалом, выясняет основную цель темы, задачу, которую предстоит решить. Это введение открывает перед классом перспективу, пробуждает интерес к решению вопроса и нередко намечает общие пути решения.

В каждом случае постановка вопроса может быть построена по-иному. Но всегда она должна преследовать одну и ту же цель — раскрывать перед учащимися существо вопроса, его идею и смысл и направить их мысль на его разрешение.

В начале работы над новым материалом учитель может использовать, особенно в V—VIII классах, эксперимент, различные наблюдения, отдельные примеры и задачи, которые показали бы практическую значимость вновь вводимых понятий, естественность их возникновения, подвели бы к пути решения возникающих проблем. В этих классах важно убедить учащихся в необходимости проведения логических доказательств. В старших классах большое внимание нужно уделить тому, чтобы показать учащимся значение приобретаемых знаний для их будущей деятельности, они должны увидеть, как расширяется круг задач, решаемых ими с использованием новых знаний.

В диссертации приведено 14 примеров вводных уроков по важным темам программы, таким, как «Формулы сокращенного умножения» (VI класс), «Система координат» (VII класс), «Функции и графики» (VIII класс), «Геометрическая прогрессия» (IX класс), «Длина окружности» (IX класс), «Вычисление объемов круглых тел» (X класс), «Графики тригонометрических функций» (IX класс) и др. По некоторым темам дается 2—3 варианта вводных уроков. Эти уроки проводились учителями и студентами-практикантами в школах № 10 и № 11 г. Красноярска.

На этих примерах конкретно раскрываются сформулированные выше требования к подготовке учащихся к активному восприятию нового материала.

Из всех методов (эвристическая беседа, рассказ, лекция и лабораторная работа), которыми располагает учитель для проведения урока при сообщении новых знаний, должен быть выбран тот, который обеспечит наибольшую активность учащихся при изучении данной темы.

В диссертации показывается, что все эти методы при умелом их применении с успехом могут быть использованы для активизации учебного процесса.

Эвристическая беседа является наиболее эффективной формой обучения, обеспечивающей сознательное и прочное усвоение учебного материала учащимися и развивающей у учащихся способность к самостоятельному мышлению.

Эвристическая беседа предполагает вопросы не только со стороны учителя, но и вопросы, идущие от учащихся. Особенно ценно в ходе беседы привести ученика в такое состояние, чтобы он сам формулировал вопросы и ставил их перед учителем и перед своими товарищами по классу. Умение поставить вопрос нередко свидетельствует о более высокой ступени развития, чем умение ответить на готовый вопрос.

В существующей методической литературе освещаются различные стороны эвристической беседы, но в ней мало внимания уделено подготовке учащихся к беседе, без чего ее эффективность может снизиться.

Для того, чтобы беседа достигла цели, т. е. чтобы в результате ее учащиеся обогатились новыми знаниями и развили навыки самостоятельного мышления, необходимо не только составить к ней хорошо продуманную систему вопросов, но всей предыдущей работой в достаточной мере подготовить учащихся к тому, чтобы они сумели дать ответы на эти вопросы.

В диссертации перечисляются формы подготовки к эвристической беседе и дается развернутое описание и анализ 4-х уроков, проведенных в форме эвристической беседы по темам:

1. Многоугольники (VI класс).

2. Корень n-ой степени (VIII класс).

3. Вынесение множителя за знак радикала (VIII класс).

4. Площадь круга (IX класс).

Далее на примере 3-х уроков показывается, как применяется эвристическая беседа на уроках по решению задач.

Для успешного проведения урока в форме эвристической беседы большое значение имеет правильный выбор темы. Материал, выбранный для эвристической беседы, должен являться развитием положений, уже известных учащимся, или аналогичных тем, которые им известны и не потребуют слишком сложных рассуждений и доказательств, так как иначе стройность беседы будет нарушаться из-за значительных отвлечений в поисках ответа на вопрос учителя. В диссертации даются рекомендации относительно выбора материала для эвристической беседы по некоторым разделам школьной программы.

Рассказ и лекция учителя также имеют целью содействовать развитию мышления учащихся. Эти методы обучения должны применяться так, чтобы мысль учащихся все время работала, чтобы они следили за разысканием путей доказательств различных положений, делали выводы, обобщения, находили возможные приложения своих знаний. Рассказ и лекция вскрывают причинные связи рассматриваемых явлений; во время изложения учитель по мере надобности ставит вопросы: почему, на основании чего и т. п. И если он знает, что на эти вопросы учащиеся не смогут ответить, то отвечает на них сам, т. е. как бы ведет диалог, прерываемый вопросами, а не ровный повествовательный рассказ. Рассказ и лекция учителя могут подготовить учащихся к плодотворной самостоятельной работе в дальнейшем.

В диссертации отмечается, что может быть темой рассказа и лекции учителя, перечисляются возможные темы для рассказа учителя по арифметике в V и VI классах и даются примеры 6 уроков по арифметике и другим предметам, проведенных в форме рассказа или лекции.

Большое значение в деле активизации учебного процесса имеют лабораторные работы. Они предназначаются для того, чтобы давать учащимся материал для размышлений и построения гипотез о свойствах изучаемых объектов, и содействуют лучшему пониманию и усвоению изучаемых фактов, так как в процессе проведения лабораторных работ участвуют не только мышление, но и чувства учащихся, а рассматриваемые понятия и отдельные теоретические положения представляются в наглядной, легко обозримой форме.

Лабораторные работы должны применяться в ряде случаев в период изучения нового материала. Их надо использовать и для того, чтобы учащиеся приобрели умение применить полученные знания для решения практических задач.

В диссертации выделяются два вида лабораторных работ:

1. Лабораторные работы, имеющие целью проведение эксперимента, посредством которого учащиеся подводятся к новому понятию или положению, убеждаются в справедливости факта, подлежащего доказательству.

2. Лабораторные работы, целью которых является применение знаний учащихся к решению практических задач.

Затем дается перечень лабораторных работ по материалу V класса и приводится описание 15 лабораторных работ по различным темам, например, таким: сравнение дробей по величине (V класс); площадь прямоугольника (V класс); умножение многочленов (VI класс); взаимное положение пря-

мых в пространстве (IX класс); многогранники (X класс) и др. Особенностью этих работ является то, что они могут быть проведены на уроке в классе с использованием простейших инструментов. Эти лабораторные работы проводились в экспериментальных классах.

Проблеме I посвящена II-я глава диссертации.

II. Система указаний и методы ее использования на уроках математики.

Большую роль в деле выработки у учащихся умения самостоятельно находить решение различных вопросов играют обобщения и указания, которые могут быть сделаны относительно используемых методов доказательств, приемов и способов решения примеров и задач.

На важность установления методов и указаний, облегчающих нахождение и доказательство истин, указывали Р. Декарт, Б. Паскаль, Ж. Адамар, Д. Пойа, М. Д. Осинский, а также некоторые отечественные методисты и учителя (И. А. Гибш, Е. Ф. Данилова).

В диссертации устанавливается система указаний, как общих (применяемых при рассмотрении вопросов любого раздела математики), так и частных (пригодных для сравнительно небольшого круга вопросов какой-либо одной из математических дисциплин), которые возникли в результате многолетней работы автора по изучению методов решения задач и в настоящее время систематизированы под влиянием работ указанных авторов.

Система общих указаний содержит 12 указаний, в число которых входят, например, следующие:

Указание III. Приступая к доказательству теоремы, надо расчленить условие и заключение по пунктам и дать полную запись их в математических символах.

Использование этого указания создает необходимую обстановку для обоснованного доказательства теоремы.

Указание V. Во время доказательства бывает полезно так преобразовать условие теоремы, чтобы было легче обнаружить справедливость ее заключения; иначе говоря из данного условия выводится очевидное следствие или условие заменяется другим, ему равносильным, но так, чтобы из этого преобразованного условия можно было легче усмотреть путь доказательства или чтобы из него непосредственно следовало доказательство теоремы.

Указание VI. Во время доказательства бывает полезно заменить заключение теоремы таким, которое легче выводит-

ся из условий данной теоремы и из которого заключение теоремы вытекает как следствие.

Указание Х. После решения задачи или доказательства теоремы надо оглянуться назад, обратить внимание на метод, который был использован, и попытаться найти другие пути решения данного вопроса — возможно более простые и естественные.

Среди частных указаний, относящихся к алгебре, имеются, например, такие:

Указание 3. При решении неравенств и систем неравенств целесообразно изображать найденные решения на числовой оси, что помогает выбрать окончательное решение.

Указание 4. При решении уравнений, члены которых содержат неизвестную в знаменателе, а также иррациональных и логарифмических, надо сразу находить (или указывать) множество допустимых значений неизвестной, т. е. значений, при которых уравнение имеет смысл. Это значительно упрощает проверку и выбор корней.

Указание 6. При решении «смешанных» задач на арифметическую и геометрическую прогрессии надо одну использовать для обозначений, а другую для составления уравнений.

Указание 7. При выполнении тождественных преобразований и решений уравнений нередко может быть употреблен «способ подстановки», который состоит в том, что некоторое выражение, входящее в данное, обозначают буквой и представляют данное выражение в виде функции от этой буквы.

Смысл и назначение каждого из указаний иллюстрируется достаточно большим числом примеров.

Практика показала, что многие указания могут быть подмечены и выделены самими учащимися и что, по мере повышения развития учащихся, содержание найденных ими указаний значительно расширяется. Обобщением этой практики является сообщаемая в диссертации методика работы с учащимися по выделению ими указаний в связи с изучением геометрии в VI и VIII классах и методика использования установленных указаний.

Второй проблеме посвящена III глава диссертации.

III. Нахождение учащимися наиболее естественных и рациональных решений задач и использование для этой цели имеющихся у них знаний по математике.

Одним из показателей развития учащихся является их умение находить наиболее естественные и наиболее рациональные пути решения каждой задачи. И это умение они должны приобрести при изучении математики.

Естественным можно назвать тот путь решения задачи, который с наибольшей логической последовательностью вытекает из условия задачи, из связей, существующих между искомыми и данными и между данными величинами, и при котором в основном используются математические предложения, изучаемые в данном классе. Нахождению естественного пути решения может значительно содействовать анализ задачи и — при решении текстовых задач — привлечение соответствующей жизненной картины.

Если путь задачи естественен, то каждый шаг не случайно, а закономерно вытекает из условия задачи и предшествующих преобразований и рассуждений.

Рациональным можно назвать тот путь решения задачи, который требует наименьшего числа рассуждений, преобразований и вычислений, выполняется по более экономному плану и быстрее приводит к цели. Этот путь предполагает удачное применение теории, основанное на более глубоком использовании связей, соотношений. Рациональное решение обычно не сразу приходит в голову, оно требует некоторых размышлений, активного исследования существа вопроса.

Для того, чтобы учащиеся овладели умением находить естественные и рациональные пути решения задачи, учитель должен позаботиться о том, чтобы на ряде примеров раскрыть перед ними различные пути решения одной и той же задачи и провести оценку каждого из них.

Как это может быть сделано, в диссертации показывается на примере 7 задач, из которых большая часть имеет несколь, ко повышенную трудность, вызывающую необходимость искать различные пути их решения.

Большим недостатком в работе по математике в средней школе является то, что знаниями, приобретенными, например, на уроках алгебры, учащиеся умеют пользоваться лишь на уроках алгебры, но не умеют применить их не только при решении задач из смежных дисциплин, но даже и на других уроках математики. Этот отрыв одного предмета от другого не дает возможности в полной мере использовать математические знания.

Активно мыслящий учащийся должен уметь облечь рассматриваемый вопрос в математическую форму и применить весь комплекс имеющихся у него знаний для решения этого вопроса. Очень важно, чтобы он умел применять методы каждой из математических дисциплин для решения вопросов из любых разделов школьного курса математики.

В диссертации выделяется тот класс задач, к которым целесообразно применять положения той или иной дисциплины и на ряде примеров (всего их приведено 11), решаемых различными методами, показывается, как следует учителю раскрывать перед учащимися взаимодействие различных разделов школьного курса математики.

IV-я глава содержит материал, относящийся к этой (третьей) проблеме.

IV. Система вопросов, активизирующих мышление учащихся.

В процессе учебной работы учитель постоянно обращается к учащимся с вопросами, имеющими целью выявление уровня их знаний и понимания ими существа изучаемых понятий и теорий. Кроме того, учитель должен ставить перед учащимися и такие вопросы, которые побуждали бы их к самостоятельным размышлениям, активизировали бы их мышление.

Очень важно, чтобы учитель располагал определенной системой вопросов по всему материалу и для каждого этапа его изучения. Такая система вырабатывается им постепенно, в процессе накопления все большего опыта.

Существенную помощь в выработке такой системы вопросов должны оказать учебники, учебные пособия и сборники задач; они же помогут и учащимся в их самостоятельной работе.

В настоящей диссертации основное внимание уделяется вопросам, имеющим целью побудить учащихся к самостоятельным размышлениям.

Прежде всего оказалось необходимым выяснить, как обстоит дело с постановкой вопросов указанного вида в учебниках, сборниках задач и учебных пособиях. С этой целью в диссертации выполнен анализ всех учебников и сборников задач для средней школы и большой части пособий для учителей.

Установлено, что в учебниках, сборниках задач и учебных пособиях, вышедших в последние годы, все большее место начинают занимать вопросы на углубление теоретического материала; но в ряде учебников и учебных пособий таких вопросов либо совсем нет, либо они не приведены в систему, не распределены по этапам учебной работы.

При разработке системы вопросов надо иметь в виду следующее:

1. Вопросы по теоретическому материалу следует сочетать с упражнениями (примеры и задачи), относящимися к соответствующему разделу, так как от учащихся требуется не только

глубокое понимание теории, но и умение применить ее к решению задач.

2. Вопросы учителя должны удовлетворять следующим требованиям:

1) не допускать различных толкований, т. е. быть ясными и точными;

2) быть, по возможности, краткими;

3) пробуждать мыслительную деятельность учащихся (не носить подсказывающего характера и не содержать требования односложного ответа: «да», «нет»);

4) направлять мысль на обоснованный ответ.

3. Вопросы по видам работы могут быть разделены на такие группы:

1) вопросы, которые могут быть заданы учащимся в период подготовки к сообщению и сообщения новых знаний;

2) вопросы, на которые учащиеся должны ответить при за. креплении материала в классе и дома;

3) вопросы, которые учитель ставит при опросе учащихся (фронтальном и индивидуальном) и при повторении;

4) вопросы, которые могут быть включены в контрольные работы;

5) вопросы повышенной трудности.

Чем же можно руководствоваться при отнесении вопроса к той или иной группе?

Вопросы первой группы имеют целью направлять учащихся на установление новых понятий, связей между известными и новыми понятиями, новых правил, путей доказательства новых положений. Вопросы первой группы могут появляться не только в период изучения нового материала, но и до. этого на ряде предыдущих уроков, на которых начинается подготовка к формированию соответствующих понятий.

Вопросы второй группы предназначены для выяснения того, насколько сознательно и правильно учащимися понят материал. Эти вопросы могут содержать требования применить выведенные предложения и правила, доказать новые положения и правила, доказать новые положения, аналогичные доказанным.

Вопросы третьей группы содействуют более глубокому осмысливанию материала, так как требуют: выяснения смысла и значения отдельных сторон определений, отдельных условий правил и теорем; составления формулировок теорем, обратной и противоположной данной, и доказательства их справедливости; обобщения нескольких фактов и, наоборот, выделения из общего правила частных случаев.

Вопросы четвертой группы по своему характеру и содержанию могут быть вопросами второй и третьей групп, но лишь такими из них, которые относятся по преимуществу к основным зависимостям данной темы.

Вопросы пятой группы должны появляться на всех этапах обучения, особенно при повторении. Некоторые из них могут быть вынесены учителем на внеклассную работу. Вопросы повышенной трудности отличаются тем, что при ответе на них учащемуся необходимо вскрывать более глубокие связи между различными понятиями.

В диссертации приводятся примеры вопросов по каждому из этих видов из некоторых разделов математики. Наиболее полной в диссертации представлена система вопросов по арифметике для V-го класса, так как в учебной литературе хуже всего обстоит дело с вопросами по арифметике.

Рассмотренной проблеме посвящена V-я глава диссертации.

В основу диссертации был положен опыт работы учителей математики школы № 10 гор. Красноярска (А. М. Ермолаевой, К. К. Тогошевской, В. М. Почунской, А. А. Владимирова). В течение 1960/61 и 1961/62 учебных годов в классах выше перечисленных учителей школы № 10, а также в классах заслуженной учительницы школы-интерната № 1 гор. Красноярска Е. К. Шалаевой и в классах учительницы базовой (пединститута) школы № 11 гор. Красноярска Г. С. Эдельман — был организован специальный эксперимент.

К проведению эксперимента были привлечены и студенты V-го курса Красноярского пединститута, принявшие в нем участие в период их стажерской практики, которая проходила в школах районов Красноярского края.

В классах, избранных для эксперимента, работа проводилась по всем темам школьной программы с использованием основных положений, возникших в процессе исследования. Студенты-практиканты обращали внимание на какой-либо один прием и проверяли его эффективность непосредственно на работе с тем классом, в котором проходила их стажерская практика.

Во время проведения эксперимента учащиеся выполняли следующие специально разработанные виды учебных заданий;

1. Проводили самостоятельно доказательства теорем, «открывали» новые правила, выводили новые формулы, устанавливали свойства новых понятий, формулировали их определения (см. главу II).

2. Выполняли простейшие лабораторные работы (см. § 4 главы II).

3. Изготовляли модели (см. § 4 главы II).

4. Участвовали в установлении и выделении общих и частных указаний при доказательстве теорем и решении задач и применяли их при самостоятельной работе (см. §2 и § 3 главы III).

5. Решая задачи различными способами, устанавливали, какие из них являются наиболее естественными и наиболее рациональными (см. § 2 главы II и главу IV).

6. Отвечали на специально подобранные вопросы по теоретическому материалу во время устных занятий и при выполнении контрольных работ (см. § 2 главы V).

7. Делали много графических упражнений как с целью изучения свойств отдельных функций, так и для решения и исследования уравнений (см. § 4 главы II).

Часто вся работа по построению графиков или часть ее выполнялась учащимися дома в качестве подготовки к уроку.

При работе над диссертацией автором был использован опыт, приобретенный им как руководителем в течение 3-х лет (1946—1949) педагогической практикой студентов Новосибирского педагогического института и в течение 6-ти лет (1954—1960) педагогической практикой студентов Красноярского пединститута, а также длительный опыт его работы в качестве учителя математики V—X классов.

Пути активизации обучения математике, предлагаемые в диссертации, оказались эффективными при применении их в обычных школьных условиях.

В результате работы по активизации процесса обучения большинство учащихся экспериментальных классов стало проявлять больше интереса к математике, серьезнее относиться к учебной работе. Знания этих учащихся оказались более глубокими, чем знания учащихся других классов. Все это подтверждается сопоставлением результатов контрольных работ и устных ответов (соответствующий материал приведен в заключительной части диссертации).

Это дает основание считать изложенные приемы по активизации обучения математике полезными для применения в массовой школе.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Система указаний при решении задач на доказательство, сборник «Из опыта преподавания некоторых разделов эле-

ментарной и высшей математики», Красноярское книжное издательство, 1961.

2. Подготовка учащихся к активному восприятию нового учебного материала, сборник «Вопросы активизации обучения математике в школе» (В помощь учителю), Красноярское книжное издательство, 1962.

3. Эвристическая беседа на уроках математики, сборник «Вопросы активизации обучения математике в школе» (В помощь учителю), Красноярское книжное издательство, 1962.

4. Самостоятельная работа учащихся над выделением общих и частных указаний, сборник «Вопросы активизации обучения математике в школе» (В помощь учителю), Красноярское книжное издательство, 1962.

5. Требования к учебникам, «Математика в школе», 1960 г., № 3.

A 55703 21/V 1962 г. Тип. Госкомитета по судостроению, зак. 896