МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Г П. МИХАЛЬКОВ

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ В ГОНИОМЕТРИИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

КАЗАНЬ, 1963

Официальные оппоненты:

Доктор педагогических наук, профессор Б. В. БОЛГАРСКИЙ;

кандидат физико-математических наук, доцент З. И. БИГЛОВ.

Защита состоится на Ученом Совете Казанского гос. педагогического института в октябре 1963 г.

Автореферат разослан 20/IX 1963 г.

ВВЕДЕНИЕ

Составной частью происходящей перестройки нашей школы, проводимой в соответствии с Законом о школе, является введение новых программ по математике. Своим содержанием новые программы призваны содействовать осуществлению более тесной связи преподавания математики с жизнью и повышению уровня общеобразовательной и политехнической подготовки учащихся.

В программах нашло отражение дальнейшее проникновение идеи функциональной зависимости.

Как известно, и старая программа последних лет отводит немало места изучению функций. Между тем уровень функционально-графических представлений учащихся остается низким. Многочисленные факты указывают на слабое развитие функционального мышления и низкую графическую грамотность наших школьников.

В чем причина такого явления? Представляется целесообразным назвать причины, прямо относящиеся к интересующему нас вопросу.

Это, во-первых, то, что ведущая роль идеи функциональной зависимости все еще слабо реализуется в повседневной практике преподавания, а графический метод не занял своего места при изучении функций и решении разнообразных задач. Во-вторых, часто сам учитель не владеет методикой привития функционального взгляда при рассмотрении различных понятий школьного курса математики. Имеющиеся же методические рекомендации по этим вопросам не всегда достаточны и не всегда обоснованы.

Последнее обвинение прежде всего относится к изучению гониометрии. Самым слабым местом здесь является методика использования графиков. В изучении тригонометрических функций графики играют даже меньшую роль, чем при изучении квадратной или показательной функции. У нас есть основание утверждать, что позднее привлечение графиков является серьезной причиной слабых знаний учащихся по гониометрии.

В задачу данного исследования входит: дать обоснованную и практически проверенную методику использования графиков при изучении тригонометрических функций в связи с новыми требованиями, предъявляемыми к школе.

Основная методическая идея предлагаемой рекомендации заключается в том, чтобы построить изучение гониометрии на возможно раннем введении и широком использовании графиков. А это, в свою очередь, позволяет ввести тригонометрические функций как функции числового аргумента с самого начала знакомства с ними.

При изложении вопроса пришлось в той или иной степени касаться всего содержания и порядка прохождения учебного материала и методики введения основных понятий, относящихся к гониометрии.

По каждому учебному вопросу дано некоторое количество задач, предназначенных для реализации поставленной в диссертации цели Большинство из них составлено автором.

Усиление функциональной идеи в школьном курсе математики ставит вопрос об оснащении некоторых ее разделов новой наглядностью. В работе предлагается несколько наглядных пособий нашей конструкции по разделу гониометрии.

В своих исследованиях мы опирались на ленинскую теорию познания, согласно которой практика является основой чувственного и рационального познания. И это относилось в равной степени как к методике самого исследования, так и к вырабатываемой методике преподавания.

Мы также стремились учесть достижения советской дидактики и психологии, а в необходимых случаях — физиологическое учение И. П. Павлова.

Основным источником материала для диссертации послужили: обобщение многолетнего личного опыта преподавания автора, специально организованный педагогический эксперименте школах № № 8, 5, 39 и 93 г. Уфы на протяжении последних шести лет, а также анализ работы большого числа учителей математики Башкирии.

Автор ознакомился с солидным списком отечественной учебной и научно-методической литературы по тригонометрии, изданной в различное время.

В соответствии с изложенным содержание диссертации составляют, кроме введения, четыре главы и четыре приложения.

ГЛАВА I.

КРАТКИЙ КРИТИЧЕСКИЙ ОБЗОР ОТЕЧЕСТВЕННОЙ УЧЕБНОЙ И МЕТОДИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ВОПРОСУ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ В ГОНИОМЕТРИИ

Свой обзор мы ограничили рассмотрением следующих вопросов:

1) Какое значение придавалось графикам при изучении гониометрии?

2) Какое внимание уделялось технике вычерчивания и преобразованиям графика?

3) Где применялись графики?

Обзору подверглась основная учебная и методическая литература по тригонометрии.

По мере того, как идея функции отвоевывала свое место в школьном курсе математики, росло и использование графиков. Правда, графический метод в тригонометрии получил применение несколько позднее, чем в алгебре. Объяснить это можно тем, что первоначально роль графиков в обучении сводилась главным образом к наглядной иллюстрации изменения функции, а в тригонометрии этой цели со времен Л. Эйлера успешно служил единичный круг.

Дореволюционная средняя школа с ее формалистическим характером преподавания положила лишь начале реализации идеи функции и ее графического изображения в курсе тригонометрии. Построение графика, как правило, завершало изучение функции, и поэтому

график не представлял серьезной дидактической ценности при исследовании функциональной зивисимости. Графические упражнения в задачниках совсем отсутствовали.

Вопрос дальнейшего внедрения графического метода в школьный курс математики получил обоснование на I и II Всероссийских сьездах преподавателей математики. Однако только после Великой Октябрьской революции представилась наибольшая возможность организации преподавания математики на самых передовых научно-методических идеях. Уже первые учебники по тригонометрии, выпущенные в советское время, реализовали идею функции полнее, чем самые лучшие дореволюционные пособия.

Утверждение учебника Н. Рыбкина в качестве стабильного по тригонометрии при отсутствии методических пособий, обобщающих передовой опыт и методику обучения, задержало повышение идейно-научного уровня преподавания предмета в школе.

С выпуском новых учебников, учебных и методических пособий, имевшем место в последние 10—15 лет, положение с построением и содержанием курса тригонометрии существенно изменилось. Вопросы функционально-графического характера вошли не только в курсы учебников, но и в задачники. Наиболее полное применение графического метода мы находим в пособии И. К. Андронова и А. К. Окунева, Основной курс тригонометрии, Учпедгиз, 1960.

Вместе с тем и в новых методических пособиях остался нерешенным ряд вопросов методики использования графиков. И это особенно чувствуется теперь, в период перестройки преподавания математики.

ГЛАВА 2.

ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ, ПРИСТУПАЮЩИХ К ИЗУЧЕНИЮ ГОНИОМЕТРИИ

Чтобы лучше знать результаты предыдущего преподавания и учесть их при построении методики последующего обучения, а также видеть, чего можно добиться при этом, свои исследования мы начинали с проведения трех письменных работ по графикам: первая— в 8 классе, вторая и третья в — 9-м.

В рамках эксперимента предстояло объективно оценить качество знаний и степень развития мышления б области функционально-графических представлений учащихся, с которыми мы начинали работу.

Общий вывод, к которому мы приходили неоднократно после проведения проверочных работ, был таким: в курсе алгебры 6—8 классов учащиеся не получают сколько-нибудь прочных и осознанных знаний и навыков по графическому представлению изучаемых функций, в целом крайне низким остается и уровень развития их функционального мышления.

Выяснив причины такого положения, мы пришли к ряду определенных выводов, касающихся содержания и методики обучения графическому методу.

I. Для всестороннего освещения связи между аналитическим заданием и графическим изображением функции в задачниках нужна серия по крайней мере таких видов задач:

1) По уравнению построить график функции. Сделать количественную оценку допущенной неточности для некоторых значений х. (Начиная с 7 класса).

2) По данному графику найти формулу функции. Ответ проверить. (Начиная с 7 класса).

3) Исследовать и прочитать график (Начиная с 6 класса).

4) На заданном промежутке заменить график одной функции графиком другой. Найти ошибку, допускаемую при этом для некоторых значений х. (В 9—11 классах).

Занимаемое место и удельный вес задач отдельных видов будут, разумеется, различными. Одно несомненно: все они необходимы для воспитания математического мышления.

Начиная с повторения линейной функции в 8 классе, при исследовании графика надо ставить вопрос о «скорости» изменения функции, а при составлении таблиц целесообразно включать графу «приращение функции». Это будет хорошей пропедевтикой к введению понятия производной, а характер изменения величины приращения функции явится экспериментальным основанием для уяснения причины направления выпуклости кривой.

II. В стабильном задачнике по алгебре П. А. Ларичева в курсе 7 класса упражнения с графиками встречаются в 68 задачах. Во всех задачах выражена одна идея: построение точек и графиков по точкам.

Обилие однообразных задач прочно оставляет в сознании ученика извращенное представление о «построении графика по точкам».

Роль построения отдельных точек при вычерчивании графика будет правильно усвоена, если, начиная с графической пропедевтики (7 класс), будет проведена идея преобразования графика: вначале —на прямой, потом — на гиперболе и параболе. Это тем более целесообразно сделать, что с параллельным переносом и симметрией семиклассники к этому времени ознакомятся в курсе геометрии.

В систему начальных упражнений надо внести больше логического материала за счет сокращения эксперимента (построения по точкам). В «Приложении 1» к диссертации содержится система начальных задач на графики, которую мы реализовали в 1959/60 учебном году, работая с 7 классом.

Предлагаемая система графических упражнений свободна от многих недостатков задачника. Ее положительное вляние на последующее усвоение знаний обнаружено нами при изучении гониометрии.

III. При обучении построению графиков учащиеся не получают ответа на такие вопросы: сколько, в каком порядке и на каких числовых промежутках надо брать значения х для таблицы, чтобы лучше видеть поведение функции? Какую роль играют свойства кривой в ее построении? Из каких соображений выбирается масштаб?

В целях привития рациональных навыков техники построения графика, внесения математической культуры в эту работу учителю можно рекомендовать придерживаться ряда требований.

При составлении таблиц мы их ограничили бы следующими.

1) Выбирать наименьший числовой промежуток аргумента, с помощью которого можно построить весь график, исходя из свойств кривой.

2) В выбранном промежутке надо взять столько значений аргумента, сколько обеспечивают уверенный переход от одной точки графика к другой. Число этих точек должно зависеть как от самой функции, так и назначения графика. Кроме того, число точек будет зависеть от выбранного масштаба.

3) В таблицу обязательно включить значения х, принадлежащие концам промежутка, точкам пересечения с осями, точкам экстремальных значений функции и другим характерным точкам.

4) Значения х располагаются в порядке возрастания.

5) Если таблица составляется с эвристической целью для изучения еще незнакомой учащимся функции, то, разумеется, эти рекомендации не будут соблюдаться полностью (кроме пункта 4). В этом случае придется взять значения х из всей области определения функции; в таблицу войдут и значения равномерно возрастающего аргумента (для характеристики «скорости» изменения функции путем нахождения приращения).

В составленной таблице надо учить учащихся усматривать свойства функции.

Сформулированные требования нельзя предъявить к ученику в форме: «Делай так!». Они указывают лишь тенденцию, в которой должно вестись обучение, чтобы у ученика появилась потребность (а она воспитывается) к математически грамотному оформлению работы.

С учетом высказанных выше предложений велся эксперимент и построена методическая рекомендация по использованию графиков в гониометрии.

ГЛАВА 3.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ГОНИОМЕТРИИ.

В своем опыте мы связали изучение тригонометрических функций с их графическим изображением. У нас график не завершает изучение функции, а является вспомогательным средством такового, выступая в этой роли с первых уроков знакомства с функцией.

Возможность раннего привлечения графика обусловлена геометрическим определением функций, позволяю-

щим интерпретацию их на круге сопроводить графиком в прямоугольной системе координат. В пользу такого порядка приводятся следующие соображения:

1) График по наглядности выше тригонометрического круга. Усмотреть свойства функции и запечатлеть их в памяти с помошыо графика легче, чем на круге.

2) Раннее использование графика облегчает рассмотрение функций на числовом аргументе с самого начала их изучения. Вместо аргумента-дуги (угла) учащийся пользуется здесь привычным образом числовой оси. Это обстоятельство надо учитывать, если иметь в виду и психологическую готовность ученика к восприятию числового аргумента в тригонометрических функциях.

3) Если круг подчеркивает специфичность определения тригонометрических функций, то график, наоборот, выступает в качестве общего метода изображения соответствия между значениями перемененных и в этой роли помогает приобщить в сознании ученика тригонометрические функции к остальным, изучаемым в школе.

4) С помощью графика удается просто и убедительно иллюстрировать общность таких свойств функций, как четность (нечетность) и формулы приведения; отчетливо усваиваются формулы общего вида интервалов знакопостоянства, промежутков монотонности, дуг, имеющих данное значение функции, и др.

5) Наша методика исключает ничем не обоснованную повторяемость в изучении функции: вначале свойства функции называются в связи с аргументом-углом (дугой), а потом — в связи с числовым аргументом, хотя г. обоих случаях приходится пользоваться кругом.

6) В нашей методике круг — не столько наглядный образ, сколько аппарат для изучения функции. Основную роль наглядного образа мы передаем графику.

В основу графического представления функции в ее простейшем виде положено точечное построение графика, осуществляемое путем геометрических операций, сопровождаемых таблицей. Но так строятся только синусоида и тангенсоида. После же того, как простейший график известен, графическое изображение функции в более сложных случаях производится: в одних случаях— геометрическим преобразованием уже известного гра-

фика, в других, где это возможно и целесообразно, — посредством действий над ординатами. Роль таблицы в этих случаях — больше техническая.

Раннее введение графиков существенно отражается на порядке прохождения учебного материала. В частности: функции изучаются последовательно; формулы приведения, тригонометрические тождества и теоремы сложения проходятся после усвоения основных свойств функций.

Последовательное изучение функций позволяет:

а) сосредоточив внимание ученика на синусе, преодолеть специфику тригонометрических функций с тем, чтобы б) последующие функции изучить при максимальной самостоятельности и инициативе ученика.

При таком порядке прохождения материала графика ми приходится заниматься фактически на протяжении всего курса гониометрии.

В двенадцати параграфах этой главы излагается основное содержание диссертации. Остановимся на некоторых параграфах.

В § 1 вводится понятие числовой окружности. Уяснению этого понятия и свойства — каждой точке окружности соответствует бесконечное множество чисел вида а = b + 2πn—мы придаем важное значение для подготовки учащихся к усвоению свойства периодичности тригонометрических функций и многозначности обратно-тригонометрических величин.

Независимость радианной меры а от радиуса (§ 2) вытекает из формулы а = π/180φ, где φ — градусная мера дуги.

Определению тригонометрических функций посвящен § 3. Здесь доказывается теорема: Отношения y/R и x/R не зависят от длины радиуса R, но являются функциями аргумента а соответствующего точке М, движущейся по окружности (где у и х — координаты точки M, а = AM/R.

Из определения функций вытекает правило их задания: данному числу а надо найти точку на окружности, соответствующую числу а радиан (радиус окружности

произволен), измерить координаты этой точки и составить необходимые отношения.

Таким образом, отвлеченное число в качестве аргумента тригонометрических функций выступает раньше, чем именованное, и лишь потом указывается, что по правилу задания тригонометрических функций могут быть связаны различные по природе величины.

Надо отметить, что при практической проверке были использованы как координатный, так и векторный способы введения тригонометрических функций. Не найдя преимуществ у последнего, мы остановились на координатной интерпретации, как более подходящей к графическому «языку».

В § 4 дано построение синусоиды геометрическим способом, но при сопровождении таблицы, содержащей и графу «приращений sin х ». Для уяснения способа применяется подвижная модель. Синусоида непосредственно строится на сегменте [0; π/2], в дальнейшем для построения точек графика используется симметрия точек окружности и симметрия самой кривой.

Построенная синусоида используется для выявления свойств функции с последующим их обоснованием.

При изучении свойств синуса (§ 5) используется модель «четности (нечетности)» и модель для иллюстрации свойства периодичности (с подвижной синусоидой).

Здесь же дано графическое решение уравнения sin x = m.

Простейшие преобразования синусоиды рассмотрены в § 6. В формулах y = a sinx, у = sin (х + с) и у = sin вх аргументу и параметрам дана физическая интерпретация.

Ознакомление со свойствами косинуса начинается с построения графика y=cosx путем смещения синусоиды на π/2 по оси х влево (§ 7).

Тангенсоида строится также геометрическим способом. Тот факт, что тангенс изменяется «ускоренно» на промежутке [0, π/2), объясняет направление вогнутости графика вверх.

Переход к изучению котангенса начинается с построения графика на основе равенства

Графическая иллюстрация широко используется при изучении алгебраических соотношений между тригонометрическими величинами одного и того же значения аргумента и формул приведения. В последнем случае применяется подвижная модель.

§ 10 — гармонические колебания. Закон гармонических колебаний получен двумя способами: 1) как отклонение от центра проекции на оси координат равномерно движущейся по окружности точки и 2) как изменение проекции на ось вектора амплитуды.

Вслед за выводом формулы y=asin (вх+с) дана методика построения графика гармоники.

А в § 11 в связи с теоремой сложения рассмотрены вопросы суммирования гармоник. Материал представлен задачами физического содержания.

Специальный параграф (§12) отведен изготовлению и применению синусографа конструкции автора. Будучи простым по устройству, прибор служит не только наглядным пособием при изучении гармонических колебаний, но и инструментом для изготовления шаблонов и таблиц графиков. С его помощью вычерчиваются графики вида у= Ax+B+asin(bx+с), а также кривые обратных тригонометрических функций.

Прибор будет полезным пособием также на уроках физики и машиноведения.

Разработанная методика использования графиков в гониометрии позволяет:

1) все содержание раздела рассматривать с функциональной точки зрения;

2) вводить тригонометрические функции как функции числового аргумента с самого начала их изучения;

3) использовать для изучения свойств функций наглядные пособия типа подвижных моделей;

4) построить последовательное изучение функций;

5) широко применить практические работы;

6) вести преподавание функций в тесной связи с применением их в физике.

ГЛАВА 4.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТА.

В главе последовательно рассказано о ходе эксперимента; дано обоснование методической системе в целом и отдельным ее приемам; представлены фактические материалы, подтверждающие эффективность методической рекомендации.

При контрольной проверке оказалось, что учебный материал по всему разделу в экспериментальных классах был усвоен заметно лучше, чем в обычных, где наша методика не применялась. Эту разницу мы объясняем тем, что:

а) предлагаемая методика обеспечила большую доступность и прочность усвоения материала каждым учеником;

б) изучение функций со своевременным и широким привлечением графиков у нас сопровождалось повышенным интересом учащихся к предмету;

в) выполнение значительного числа практических работ на уроке и дома способствовало осмысленному усвоению знаний;

г) наше построение курса гониометрии обусловило большую самостоятельность учащихся в овладении материалом.

А все это вместе сказалось на повышении уровня математического развития учащихся, особенно на их функциональном мышлении.

Преимущество разработанной системы изложения гониометрии перед сложившейся видно и в том, что в рамках отведенного программой времени успешно пройдена такая тема, как «Гармонические колебания» (8—10 уроков).

Автор полагает, что результаты данного исследования окажут существенную помощь делу совершенствования методики изложения вопросов функционально-

графического характера и составлению учебных пособий для школы. Подтверждением рациональности предлагаемой методики использования графиков при изучении тригонометрических функций является широкое распространение ее среди учителей математики г. Уфы и Башкирии.

На протяжении всего времени исследования его результаты автор стремился использовать для улучшения постановки преподавания математики в школе. Главным образом по материалам II главы за это время были опубликованы три статьи в республиканской газете «Советская Башкирия»: «О преподавании математики» от 26/XI-59 г., № 227, «Почему учащиеся отстают по математике» от 30 XI-60 г., № 283, «Единственный метод — творческий» от 5/1—63 г. № 4.

Результаты исследования докладывались на научно-теоретической конференции Башгосуниверситета (1958 и 1963); на XVII научно-методической конференции работников математических кафедр педвузов Уральской зоны (1959); на IV научной конференции математических кафедр педагогических институтов Поволжья (1963) ; на республиканских и центральных «Педчтениях» 1962/63 учебного года (по материалам Приложения I).

Основное содержание диссертации опубликовано:

1) В брошюре «Использование графиков при изучении гониометрии», Учпедгиз, 1962.

2) В брошюре «К методике функционально-графических упражнений в восьмилетней школе», Уфа, 1963.

3) В статье «Методика использования графиков в гониометрии», Вопросы преподавания математики в средней школе (сборник статей), Учпедгиз, 1960.

4) В статье «К вопросу о графической пропедевтике», журнал «Учитель Башкирии», 1963, № 8.

5) В брошюре «Методика использования графиков в гониометрии», Уфа, 1959.