ТБИЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ Д. С. ПУШКИНА

На правах рукописи

М. И. МЕПИСАШВИЛИ

ИЗУЧЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

732 — методика преподавания математики

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

ТБИЛИСИ — 1968

Работа выполнена в Кутаисском государственном педагогическом институте им. Л. Г. Цулукидзе.

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Челидзе В. Г.

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Цитланадзе Е. С.

Кандидат педагогических наук, доцент Таварткиладзе Р. К. Ведущее учебное заведение—Батумский государственный педагогический институт им. Ш Руставели.

Автореферат разослан «6» ---------— 1968 г.

Защита состоится «во» II половине 1968 г.

на заседании Совета Тбилисского государственного педагогического института им. А. С. Пушкина (Тбилиси, проспект И. Чавчавадзе, 32).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке.

Ученый секретарь Совета

Математика играет важную роль во всех сферах деятельности человека. Стремительный рост производительных сил обусловил создание вычислительных машин, а те, в свою очередь, позволили использовать методы прикладной математики при решений важнейших проблем физики, химии, астрономии, техники, экономики и т. д.

Широкие возможности использования математики осуществимы лишь при условии наличия соответствующим образом подготовленных кадров.

В решении ноябрьского (1966 года) Пленума Центрального Комитета КПСС указывалось на необходимость дальнейшего развития этой важной науки.

Советская общеобразовательная школа, наряду с другими целями, должна преследовать цель вооружения учащихся твердыми и глубокими знаниями математики. Достижение же этой цели невозможно без сознательного усвоения учащимися элементарных функций, ибо никакое другое понятие не отражает реальной действительности с такой полнотой, так непосредственно и конкретно, как понятие функции.

Профессор А. И. Хинчин отмечал: «Это понятие, как ни одно другое, воплощает л себе диалектические черты современного математического мышления; именно он приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не искусственно препарированной неподвижностью в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга».

Таким образом, необходимым условием для повышения уровня математического образования учащихся является возможно более полное усвоение понятия функций. Школьная практика показала, что учащиеся недостаточна хорошо разбираются в понятый функциональной зависимости, недостаточно хорошо усваивают предусмотренные государственной программой как элементарные алгебраические, так и элементарные трансцендентные функции и их основные, характерные отличительные признаки. Они (учащиеся) плохо разбираются в том, что эти функции всегда отражают природные явления или выражают закономерности между процессами и что понятие

функции представляет собой оружие, с помощью которого становится возможным изучение означенных закономерностей.

Курс школьной математики предусматривает изучение как алгебраических, так и неалгебраических, т. е. трансцендентных функций. Изучение трансцендентных функций связано с целым рядом трудностей методического характера. Эти трудности, пути и способы их преодоления изложены в методической литературе и ряде журнальных статей.

Мы попытались представить в диссертации анализ имеющейся на сегодняшний день литературы по этому вопросу, но возможности изложить взгляды опытных преподавателей и высказать собственные соображения — результат длительной педагогической деятельности.

С этой целью в течение 15 лет велась следующая работа:

1. Изучение взглядов заслуженных преподавателей республики.

2 Анализ математических программ и учебников.

3. Изучение существующей методической литературы.

4. Выступление с докладами на республиканских научно-педагогических конференциях.

5. Экспериментально-педагогическая работа в средних школах г. Кутаиси и близлежащих районов.

6. Методическая обработка данных вопросов при прохождении педагогической практики студентами физико-математического факультета Кутаисского госпединститута.

Диссертация состоит из введения и четырех глав.

В первой главе («Некоторые вопросы изучения функций») рассмотрены некоторые вопросы методики изучения понятия функций. В труде обосновывается необходимость дать учащимся понятие функции еще в VII классе, в связи с введением системы координат.

Для этого необходимо сначала ознакомить учащихся с функциональной зависимостью между двумя переменными, а затем рассмотреть систему координатных осей как лучшее средство наглядного представления этой зависимости. С этой целью в первую очередь рассматривается целый ряд примеров из повседневной жизни, которые показывают учащимся необходимость одновременного рассмотрения двух переменных величин для изучения их взаимоотношения. Одновременное изучение двух переменных величин увязывает два соответствующих числа, а это значит, что два числа или пара чисел рассматриваются как единое целое.

Ясно, что для наглядного проявления этой целостности или геометрического выражения этой пары чисел недостаточна числовая ось, поэтому берут две взаимоперпендикулярные оси. На одной откладывают одну величину—значения независимой переменной, а на другой вторую величину, т. е. значения зависимой переменной.

Понятие функции должно быть дано учащимся в научно обоснованном виде, в простой, доступной для них форме. У учащихся не должно создаться впечатление, что алгебраическое выражение или линия представляют собой функциональную зависимость. Точнее, преподаватель должен добиться, чтобы учащийся мог отличить то, что касается понятия функции, от того, что касается того или иного представления функции.

Профессор А. И. Хинчин отмечает: «Подобно тому, как цифра не порождает числа, а напротив, является лишь его внешним выражением, так и формула, выражающая функцию, не порождает ее, а лишь служит аппаратом для ее изображения».

Считаем целесообразным дать учащимся понятие функции в VII классе, с использованием понятия постоянной и переменной величины.

Что касается общего определения функции, изучаемого согласно программе в выпускном классе, то оно должно быть изложено с использованием понятия множества и соответствия.

В главе второй («Изучение тригонометрических функций») подробно излагается методика преподавания тригонометрических функций в школе. Рассматриваются следующие вопросы:

1. Тригонометрические функции острого угла.

2. Различные способы определения тригонометрических функций.

3. Определение тригонометрических функций с помощью степенных рядов.

4. Определение тригонометрических функций с помощью дифференциальных уравнений.

5. Аксиоматическое определение тригонометрических функций.

6. Геометрическое определение тригонометрических функций.

7. Элементы векторного исчисления в школе.

8. Определение тригонометрических функций произвольного аргумента.

9. Изучение тригонометрических функций.

10. Простершие преобразования графиков тригонометрические функций.

11. Изучение гармонических колебаний в курсе математики средней школы.

12. Тригонометрические уравнения.

13. Изучение тригонометрических уравнений.

14. Виды тригонометрических уравнений и способы их решения.

15. Общие способы решении тригонометрических уравнений.

16. Трансцендентность тригонометрических функций.

Изучение трансцендентных функций в средней школе начинается с изучения тригонометрических функций. Эти функции для острого угла рассматриваются в курсе геометрии VIII класса.

Педагогическим опытом установлено, что учащиеся слабо разбираются в сути тригонометрических функций острого угла, они недопонимают, что тут, так же как и в случае алгебраических функций, мы имеем дело с определенной функциональной зависимостью. В данной главе изложены наши взгляды на методы предупреждения указанных недостатков. Соображения эти, основанные на продолжительном педагогическом опыте, заключаются в следующем:

1. Радианная мера угла, т. е. измерение угла с использованием определенного отношения, к этому времени должна быть хорошо усвоена учащимися.

2 На основании ранее изученных функциональных зависимостей учащиеся должны хорошо разбираться в понятии функции.

Как известно, согласно действующей программе, ща способа измерения угла—градусный и радианный—изучаются в отрыве друг от друга. Понятие о градусном измерении угла учащиеся получают в VI классе, сразу же при введении понятия об угле, понятие же о радианном измерении угла изучается в IX классе, в курсе алгебры и элементарных функций.

Такое разрозненное изучение двух мер угла искусственно усложняет вопрос сознательного усвоения понятия меры угла, тогда как имеется возможность ознакомить учащихся с радианным измерением угла в курсе геометрии, в частности, в связи с введением понятии о числе л.

По нашему мнению, такое расположение материала позволит избежать искусственного внесения понятия о радианной мере угла до (или после) ознакомления с тригонометрическими функциями произвольного угла, покажет учащимся, что

й—радианная мера полуокружности и, что главное, поможет быстро разобраться в сущности тригонометрических функций острого угла.

Определение тригонометрических функций произвольного угла в средней школе носит геометрический характер- Дается критический анализ геометрических определений, данных в методических пособиях и стабильных учебниках, и сделай вывод, что наиболее целесообразным является определение тригонометрических функций с использованием понятия вектора.

Кроме того, в этой главе рассматриваются различные способы аналитического определения тригонометрических функций:

1. С использованием степенного ряда.

2. С помощью линейных дифференциальных уравнений.

3. Аксиоматическим способом.

Если в курсе средней школы все функции, кроме тригонометрических, определяются аналитически, заинтересованным математикой учащимся в виде внеклассной работы можно дать и аналитическое определение тригонометрических функций.

В работе дана методическая разработка определения тригонометрических функций в виде сумм степенных рядов С этой целью на примере известной учащимся бесконечно убывающей геометрической прогрессии вводим понятие о числовом ряде и его сумме. Рассматриваются необходимые и достаточные условия сходимости числового ряда, дается определение степенного ряда—одного из важнейших классов функциональных рядов. Рассматриваются степенные ряды:

Элементарно доказывается, что эти ряды являются сходящимися на всей оси и их суммы соответственно именуют функциями синус и косинус. Затем изучаются свойства этих функций, соответствующие свойствам геометрически определенных функций.

Во втором случае тригонометрические функции sinx и cosx определяются как некоторая линейно независимая система решений линейного дифференциального уравнения

при соответствующих заданным начальным условиям.

Показано, что между определениями тригонометрических функции с помощью степенных рядов и с помощью дифференциальных уравнений можно установить связь.

Практика показала, что учащиеся недостаточно хорошо разбираются в построении графиков тригонометрических функции и в их элементарных преобразованиях.

Поэтому мы сочли целесообразным детально разработать простейшие преобразования графиков тригонометрических функций в связи с аналогичными преобразованиями графиков и алгебраических функций. В частности, получение из графика функции y = sinx графика функции y = sinx±k объясняется аналогично получению из графика у —ах графика- у = ах±b и из графика у = ах2 графика у = ах2±b.

До составления графиков функций y = sin(x + b) и y=sin(x—b) целесообразно напомнить учащимся получение графиков функций у = а(х±к) и у = а(х±к)2 из графиков функций у=ах и у = ах2. Изучение графиков функции y = asinx и у = sinax—аналогично.

При изучении этих преобразований необходимо заострить внимание учащихся на том обстоятельстве, что увеличение или уменьшение функции или аргумента на несколько единиц вызовет необходимость переноса графика вдоль осей координат, но увеличение или уменьшение функции или аргумента в несколько раз изменяет форму графика, происходит деформация — растяжение или сжатие.

Графические изменения. вызванные увеличением или уменьшением в несколько раз аргумента, увязываются с изменением периода функции. С этой целью в первую очередь учащимся нужно показать аналитически, что увеличение аргумента тригонометрической функции в несколько раз равносильно уменьшению ее периода.

Знания элементарных преобразований тригонометрических функций дают возможность наиболее полно изучить гармонические колебания

Ввиду большого практического значения гармонических колебательных движений и возможности выражения законов этого движения с помощью тригонометрической функции, гармонические колебания должны изучаться в курсе математики средней школы.

До объяснения этого вопроса внимание учащихся должно быть заострено на том факте, что ни одно другое понятие не отражает реальной действительности так полно и непосредст-

венно, как понятие функциональной зависимости. Так, например, хорошо известная учащимся линейная функция у = ах представляет собой уравнение равномерного движения s = vt; y=ax + b — формула для вычисления скорости равномерно-ускоренного движения vt = v0 + at; у = ах2 путь безначальной скорости равномерно-ускоренного движения

После проведения соответствующей подготовительной работы учащимся легко понять уравнение гармонических колебательных движений.

В работе рассматривается несколько задач практического характера, решение которых приведет к составлению уравнения гармонических колебаний. Кроме того, показано, как передать учащимся математическое и физическое содержание параметров, находящихся в функциональной зависимости у = Asin(wx+φ), и как построить график. С суммой колебаний одинаковой частоты учащихся знакомим как аналитически, так и графически. Затем в работе рассмотрены различные способы решения тригонометрических уравнений, высказаны мнения методического характера о том, что при решении тригонометрических уравнений учащиеся должны воспользоваться определением тригонометрических функций и их основными свойствами. После рассмотрения соответствующих примеров должно быть изучено графическое решение простейших тригонометрических уравнений.

Мы не согласны с мнениями, изложенными в некоторых методических статьях, о том, что графическое решение уравнений пригодно лишь в том случае, когда точное решение уравнения известным алгебраическим способом невозможно. По нашему мнению, необходимо графически решить в первую очередь те уравнения, которые уже решены учащимися аналитическим путем. После этого ученики убедятся в правильности ответов, полученных в результате графического решения, и воочию увидят, что уравнение—равенство двух функций, а решить уравнение—значит найти те значения аргумента, для которых .данные две функции равны.

Мы сочли целесообразным рассмотреть в диссертации те типы тригонометрических уравнений, которые требуют большей методической разработки, а именно: 1. Решение тригонометрических уравнений методом разложения на множители.

2. Решение тригонометрических уравнений методом сравнения. 3. Нахождение несобственных корней уравнения.

В работе даются определения алгебраической и трансцендентной функции; подчеркивается мысль о том, что в связи с изучением трансцендентных функций учащиеся должны быть ознакомлены с понятием трансцендентного числа.

Трансцендентность тригонометрических функций может быть элементарно доказана с помощью периодичности этих функций. Доказательство же трансцендентности тригонометрических функций считаем целесообразным изучить в процессе кружковой работы.

Глава третья («Изучение показательных и логарифмических функций) посвящена методике изучения показательных и логарифмических функций в средней школе Подробно рассматриваются следующие вопросы: 1. Изучение прямых и обратных функций. 2. Показательная функция и ее основные свойства.

3. Применение показательной функции 4. Изучение логарифмической функции и ее применение. 5. Трансцендентность показательной и логарифмической функций.

Согласно действующей программе» понятие об обратной функции изучается лишь в курсе выпускного класса. Для того, чтобы учащиеся глубоко и сознательно разобрались в понятии обратной функции, необходимо ознакомить их с нею не в 10-м классе, а при нервом удобном случае, а именно, при изучении функций

Учащимся нужно показать, что графики прямой и обратной функций представляют симметричные линии по отношению к биссектрисе первого и третьего координатных углов.

На наш взгляд, после изучения тригонометрических функций необходимо ознакомить учащихся с обратными тригонометрическими функциями, хотя программой это не предусматривается. В труде подробно рассмотрена методика изучения обратных тригонометрических функций.

Изучение показательных функций программа предусматривает в Х-м классе. Считаем целесообразным изучение показательной функции начать в VIII—классе, сопоставляя арифметическую и геометрическую прогрессию, так как это предусмотрено проектом новой программы.

Ясно, что полноценное изучение показательных функций станет возможным при условии определения функции для всех значений аргумента А для этого учащиеся должны иметь определенное представление о степени с иррациональным показателем. По программе изучение этого вопроса предусматрива-

ется перед ознакомлением о показательными и с логарифмическими функциями. В такой же последовательности эти вопросы даны и в школьных учебниках. По нашему мнению, целесообразнее ознакомить учащихся с этим вопросом в связи с изучением степени с рациональным показателем, т. е. к этому времени им уже известны элементы теории пределов ;

В методической литературе последних лет изучение показательных функций предусматривается в связи с рассмотрением задач на радиоактивный распад, размножение живых организмов и т. д. В дальнейшем же определяется показательная функция и изучаются ее свойства Недостатком такого введения показательной функции является то, что учащиеся получают формулу в готовом виде. Курс физики средней школы не позволяет дать учащимся задачу, которая приводит к изучению показательной функции. Поэтому считаем целесообразным ознакомить учащихся с показательной функцией при решении несложных задач из области физики. Рассмотрим, например» такую задачу: «На дне цилиндрической посуды имеется узкая трубка, из которой вытекает вода. Установим связь Между уровнем воды и временем ее вытекания, выразим это графически и аналитически». Задачу можно проиллюстрировать следующим образом. Возьмем цилиндрическую трубку длиной 105 см и диаметром 3,5 см, в конце трубки установим кран, на трубку наклеим миллиметровую бумагу, откроем кран и секундомером будем вести наблюдение за изменением уровня воды каждые 0,5 минут.

Как известно, некоторые природные явления выражаются с помощью показательной функции. Для иллюстрации этот учащимся нужно привести соответствующие примеры: о зависимости температуры тела от времени его охлаждения, о радиоактивном распаде, об определении количества топлива, необходимого для придания ракете скорости при космических полетах и др.

Нужно показать учащимся, что показательная функция при отражении физических явлений встречается не только в своем простейшем виде, но и в комбинации с другими алгебраическими выражениями. Считаем целесообразным изучить получение графика функции y=k a cx+m + D.

В методической литературе высказаны различные взгляды о введении логарифмической функции. Мы согласны С тем мнением, что сначала учащихся следует ознакомить с понятием логарифма, а затем рассмотреть логарифмическую функцию как функцию, обратную показательной функции.

Полезно ознакомить учащихся со свойствами логарифмической функции наглядно, с использованием графиков показательной и логарифмической функций.

При изучении монотонности этих функций нужно заострить внимание учащихся на характеристике скорости роста функции в связи с ростом аргумента. Все это будет способствовать подготовке учащихся к изучению элементов дифференциального исчисления.

При изучении показательных и логарифмических функций особое внимание должно быть уделено их характерным признакам, которые выражаются следующими формулами:

т. е. в первом случае сумме аргументов соответствует произведение значений функции, умножению аргумента на к—возведение функции в степень к; во втором же случае произведению аргументов соответствует сумма соответствующих значений функции, возведению в степень к аргумента умножение значения функции на число к.

Доказывается, что эти свойства не характерны для других функций. После основательного изучения логарифмической функции и ее свойств целесообразно ознакомить учащихся с задачами практического содержания, решение которых требует применения логарифмической функции; например, на вычисление максимальной скорости ракеты, на зависимость между высотой и атмосферным давлением (барометрическая формула) и т. д.

Глава четвертая («Исследование трансцендентных функций»), как следует из заглавия, посвящена исследованию трансцендентных функций элементарными методами.

В этой главе, в основном, рассмотрена методика изучения понятий, необходимых для исследования функций. В частности, рассматривается область определения функции и область значений функций, убывание и возрастание функций, минимум и максимум и т. д.; все это показано наглядно на конкретных примерах.

В работе определенное внимание уделено также вопросу последовательности изучения свойств функций. Приведены данные о различных методических соображениях и сделано заключение, что исследование функции должно проводиться но-

следовательно, путем постепенного перехода от одного свойства к другому. Приведены соответствующие примеры.

В труде рассмотрен ряд примеров на исследование трансцендентных функций элементарными методами. Например, у = и т. д., а также на решение трансцендентных уравнений графическими методами, например» 2x+х —6 = 0, 2х2 — logx = 0, cosx—х + 3=0 и т. д. Дан анализ двух способов графического решения уравнений:

1. Построим график функции y = f(x). Абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ох являются корнями управления f (х) =0.

2. Данное уравнение представим в виде равенства двух функций: f(x)=cp(x). Построим графики функций f(x) и φ(х) и найдем абциссы их точек пересечения.

Думаем, что наиболее понятным и удобным является второй способ.

В конце диссертации даны результаты педагогических экспериментов, в течение 15 лет проводимых в школах гор. Кутаиси и его близлежащих районов.

ВЫВОДЫ

Основательное изучение учащимися понятия функции вообще, а в частности, изучение ими трансцендентных функций, требует, по нашему мнению, предусмотрения следующих вопросов:

1. Для лучшего усвоения функциональной зависимости вначале нужно дать учащимся понятие о функции, а потом уже ознакомить их с координатной системой и составлением простейших графиков.

2. Из различных ныне известных определений понятия функции считаем целесообразным дать учащимся определение, в основе которого лежит понятие множества и соответствия.

3. Из трансцендентных функций в средней школе изучаются показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, но изучаются таким образом, что для учащихся остается неизвестным как существование трансцендентных чисел, так и трансцендентность самих этих функций. С целью исправления этого недостатка, по нашему мнению, необходимо разъяснить учащимся понятия трансцендентного числа и трансцендентных функций, дать им представление о числах л и е как о трансцендентных числах, а доказательство трансцендентности вышеперечисленных функций предусмотреть для кружковых занятий.

4. Изучение трансцендентных функций начинается с тригонометрических функций. Ознакомление с ними (для острого угла) с самого начала должно быть направлено таким образом, чтобы ученик увидел необходимость создания новой функции. Для этого, по нашему мнению, до изучения тригонометрических функций следует ознакомить учащихся с радианной мерой угла. Это возможно именно в курсе геометрии VII класса, в связи с введением числа л.

5. Что касается тригонометрических функций произвольного угла, то они должны быть определены так, чтобы являлись естественными продолжениями и обобщениями соответствующих понятий для острого угла. С этой целью необходимо введение понятия вектора

6. Так как в курсе средней школы все функции, кроме тригонометрических, определяются аналитически, считаем целесообразным ознакомить учащихся, проявляющих повышенный интерес к математике, в виде внеклассной работы, с аналитическими определениями тригонометрических функции с помощью степенных рядов. Тут же должны быть рассмотрены свойства тригонометрических функций и основные зависимости между ними.

7. В средней школе до изучения прямой и обратной функций изучаются показательная функция и обратная ей—логарифмическая. По нашему мнению, целесообразней до изучения этих функций ознакомить учащихся с понятиями прямой и обратной функций.

8. Трансцендентные функции имеют широкое применение при изучении явлений природы. Поэтому на уроках математики необходимо заострить внимание на теоретическом и практическом значении этих функций. Показательная функция должна быть изучена не только аналитическим путем, но и на примере тех задач из области физики, закономерность которых выражается при помощи показательных функций.

9. Трансцендентные функции при решении разных физических задач встречаются не только в простейшем виде, но и но взаимоотношениях с другими функциями. Для изучения функций, представленных в таком виде, необходимо ознакомить учащихся с простейшими преобразованиями графика элементарных трансцендентных функций (перенос, растяжение—сжатие ).

10. Для основательного изучения учащимися идеи функциональной зависимости требуются твердые навыки исследования как алгебраических, так и трансцендентных функций.

Считаем методически полезным ознакомить учащихся с определениями, необходимыми для исследований функций в связи с изучением соответствующих вопросов. Вместе с тем необходимо соблюдать такую последовательность в исследовании функций, которая обеспечит уяснение учащимся наличия связи между свойствами функций.

Отдельные части диссертационной работы докладывались:

1. На II, III и IV республиканских Научно-Методических конференциях математиков высших учебных заведений Грузинской ССР.

2 На VIII-й научно-педагогической конференции в Тбилиси.

3. На семинарах преподавателей при кафедре математики Кутаисского государственного педагогического института имени Ал. Цулукидзе.

Основной материал диссертации изложен в следующих, опубликованных на грузинском языке работах автора:

1. Простейшие преобразования графиков тригонометрических функций. Журн «Скола да цховреба» («Школа и жизнь»), 1965, № 6.

2. Об изучении гармонических колебаний в курсе математики средней школы. Журн. «Физика—математика в школе», 1966, № 1.

3. Некоторые вопросы изучения трансцендентных функций в средней школе. Труды Кутаисского государственного педагогического института, том 29

4. Изучение исследования функций в школьном курсе математики. Журнал «Физика—математика в школе», 1967, № 2

5. Некоторые вопросы изучения функций и графиков в средней школе (Тезисы II научно-методической республиканской конференции, Тбилиси, 1964 г.)