АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

Н. А. МЕНЧИНСКАЯ

ПСИХОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук (по психологии)

Москва 1952 год

ВВЕДЕНИЕ

Поворот советской психологии к изучению психических процессов в конкретной деятельности человека обусловил широкую разработку вопросов психологии обучения. Эти исследования направлены были на то, чтобы выявить закономерные особенности усвоения учащихся в определённых конкретных условиях, и вместе с тем они шли навстречу тем насущным вопросам, которые возникали в практике обучения в нашей советской школе.

Автором этой работы проводились, начиная с 1929 года, систематические исследования по вопросам психологии обучения арифметике.

Результаты проведенных исследований излагаются в данной диссертации.

В свете задач, которые стоят перед советской школой в период перехода от социализма к коммунизму, когда речь идёт о том, чтобы поставить качество преподавания на неизмеримо более высокий уровень, неукоснительно возникает необходимость в научном обосновании программ, учебников, методов и приёмов обучения.

Необходимо полностью изгнать из области частных методик научно недоказанные принципы и правила, освободить методику от тех положений, которые удерживаются ещё в ней в силу традиции. Это требование выполнимо только при условии тесного сотрудничества методики с психологией и широкого вовлечения учителей в творческую исследовательскую работу.

Разработка вопросов усвоения означает принципиально новую линию в психологии. Если раньше педагогическая психология представляла собой ни что иное, как приложение психологических данных об отдельных психических функциях (изучаемых вне процесса обучения) к фактам педагогической практики, то теперь исследуются конкретные формы психической деятельности, осуществляемые в самом процессе обучения.

Характерной особенностью психологии обучения арифметике, как составной части педагогической психологии, является то, что она подвергает психологическому анализу конкретные виды учебной деятельности: счёт, решение задач, но не занимается специальной разработкой вопроса об отдельных психических процессах.

Центральная часть экспериментального раздела диссертации поэтому состоит из двух глав — «Психология процессов счёта и вычислительных операций» (VI глава) и «Психология решения задач» (VII глава). Для того, чтобы проследить процесс формирования понятия о числе в его истоках, мы привлекали в качестве сравнительного материала, наблюдения над числовыми операциями детей до школы, посвятив этому вопросу отдельную главу (V).

Изучение вопросов усвоения определенных конкретных дисциплин, в частности, арифметики, развернулось у нас только в 30-х годах и поэтому вопрос этот имеет сравнительно небольшую историю. Тщетно было бы искать в исследованиях по педагогической психологии, изданных в дореволюционное время в России материалов по вопросам психологии обучения арифметике. Тем не менее разработка этих вопросов не начиналась заново. Очень большое значение для постановки исследований в данной области имело изучение психологического материала, содержащегося в работах русских методистов дореволюционного периода. Результаты этого изучения представлены во II главе данной монографии.

После Октябрьской социалистической революции наступил качественно новый этап в разработке вопросов методики арифметики. Впервые были созданы предпосылки для массового участия учителей в творческом исследовании вопросов методики обучения, впервые возникла возможность продвигать дело обучения вперед, расширяя, как указывал В. И. Ленин в 1921 году «местный опыт до размеров всероссийского»1.

5 сентября 1931 года ЦК ВКП (б) в постановлении «О начальной и средней школе» дал прямое указание научно-исследовательским учреждениям, работающим в области педагогики, сосредоточить главным образом работу на изучении и обобщении опыта, накопленного практическими работниками школы.

1 В. И. Ленин, Сочинения, т. XXXII, изд. 4-е, стр. 103.

Методисты вступили в сотрудничество с учителями в процессе научно-практической работы и от задачи простого описания опыта обучения перешли на более высокую ступень, ставя уже задачей — не только описать, но и опытным путем доказать целесообразность применения тех или иных методов я приемов обучения. Естественно, что на этом этапе методисты и учителя почувствовали настоятельную потребность в использовании данных психологии и стали частично включать в сферу своего исследования изучение учащихся в процессе усвоения ими арифметики.

Попытка извлечь и обобщить психологический материал, содержащийся в работах советских методистов и учителей сделан нами в III главе нашей монографии.

Основное внимание во II и III главе было нами уделено тем психологическим вопросам, которые возникали в практике преподавания арифметики и не получали разрешения, настоятельно требуя специальных психологических исследований.

На основную часть этих дискуссионных и неясных вопросов мы пытались получить ответ в экспериментальной части нашей монографии.

Живой душой марксизма В. И. Ленин называл «конкретный анализ конкретной ситуации»1.

Нет сомнения в том, что реализация этого принципа в психологии и, в частности, изучение процессов усвоения детьми определенной конкретной учебной дисциплины обогащало общую психологию. Однако, это была стадия чистого описания в развитии психологической науки и проведенные исследования, освещая фактическую сторону усвоения, размениваясь на множество частных вопросов, были далеки от того, чтобы дать психологическую теорию усвоения.

И только 1950 год был в этом отношени переломным годом для развития психологической науки.

Выход в свет гениальных трудов товарища Сталина по вопросам языкознания и Объединенная сессия АН и АМН, посвященная развитию учения И. П. Павлова, определили новый этап в развитии психологии.

Тот обширный фактический материал, который был собран по вопросам психологии обучения и, в частности.

1 В. И. Ленин, Сочинения, т. 31, изд. 4-е, стр. 143.

по вопросам психологии обучения арифметике, получил совершенно иное освещение и возникла возможность выделить ведущие понятия, сконцентрировать внимание на центральных вопросах и, наконец, вплотную приблизиться к разработке психологической теории усвоения.

Основным стержнем исследований в области психологии обучения арифметике является идея развития, последовательного перехода от низших ступеней к высшим в процессе овладения учебным материалом.

В. И. Ленин писал о развитии познания: «Познание есть вечное, бесконечное приближение мышления к объекту. Отражение природы в мысли человека надо понимать не «мертво», не «абстрактно», не без движения, не без противоречий, а в вечном процессе движения, возникновения противоречий и разрешения их»1.

И хотя знания организованно передаются .учащимся в той определенной конечной форме, в какой они составляют «основы наук», все же и применительно к процессу овладения знаниями учащимися остается в силе положение В. И. Ленина о «приближении мышления к объекту».

Овладение знаниями надо понимать не как «зеркально-мертвый акт», а в процессе движения, разрешения противоречий.

Автор монографии ставит своей задачей раскрыть процессы счета и решения задач с точки зрения того, как они, с одной стороны, усложняются на различных этапах обучения при переходе к новому программному материалу и как, с другой стороны, они упрощаются в результате упражнений на одном и том же материале.

Нас интересует при этом не только последовательная линия развития, но и возможные отклонения от нее, те трудности, с которыми встречаются учащиеся, те конкретные формы, в которых происходит столкновение старого знания (или способа его применения) с новым, нас интересуют те «ростки нового», которые затем приводят к более высокому этапу в овладении знанием. Осуществляя изучение, детей в процессе овладения ими арифметикой, мы стремились реализовать указание, сделанное И. В. Сталиным по вопросу о диалектическом методе:

«Для диалектического метода важно прежде всего не то, что кажется в данный момент прочным, но начинает

1 В. И. Ленин, „Философские тетради", 1947, стр. 168.

уже отмирать, а то что возникает и развивается, если даже выглядит оно в данный момент непрочным, ибо для него неодолимо только то, что возникает и развивается»1.

Для того, чтобы проследить основную линию развития в овладении арифметикой, необходимо было прежде всего, решить вопрос о том, в каких понятиях следует анализировать исследовательский материал, какие явления (вначале элементарные, а затем все более и более сложные) должны подлежать нашему исследованию.

Исходные и центральные понятия, которые положены в основу разработки всей экспериментальной части работы, это — понятия синтеза и анализа.

Энгельс в своей работе «Анти-Дюринг» указывал на неразрывную связь процессов анализа и синтеза в человеческом мышлении.

«...мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в единство»2 писал Энгельс.

И. П. Павлов, разработав учение об аналитико-синтетической деятельности коры головного мозга, показал физиологическую основу мыслительных процессов анализа и синтеза. В высказываниях И. П. Павлова, непосредственно относящихся к вопросу о мышлении, ярко выражена та мысль, что мышление фактически сводится к процессам анализа и синтеза. Как отмечал И. П. Павлов, мышление начинается с ассоциаций—с синтеза, а затем идёт соединение работы синтеза с анализом.

Об этих же двух сторонах деятельности настойчиво говорил И. П. Павлов каждый раз, когда шла речь относительно процессов воспитания и обучения.

«Всякая муштровка, всякое воспитание, привыкание, ориентировка в окружающем мире, среди событий природы, людей сводится или к образованию новых сзязей или к тончайшему анализу»3.

Павловское понятие временной связи открывает широ-

1 И. В. Сталин, „Вопросы ленинизма", Госполитиздат, 1945, стр. 537.

2 Ф. Энгельс, „Анти-Дюринг", Госполитиздат, 1950, стр. 40.

3 И. П. Павлов. „Двадцатилетний опыт объективного изучения высшей нервной деятельности животных". Соч., т. III, кн, I, стр. 333.

кие перспективы в изучении сложнейших явлений человеческой психики в их развитии.

И. П. Павлов предусматривал постановку вопроса о разнообразных усложнениях связей. Так, говоря о строго объективном изучении временной связи, как элементарного психического явления, И. П. Павлов указывает на необходимость изучать «условия его возникновения, его разнообразных усложнений и его исчезновения»1.

В экспериментальной части работы мы пытаемся показать, как последовательно усложняются те связи, которые образуются у школьников в процессе овладения ими арифметикой и какие различные формы приобретает анализ при решении учебных заданий.

Как известно, психология давно оперировала понятиями синтеза и анализа, однако, в них вкладывался совершенно иной смысл. Синтез и анализ трактовались, как интеллектуальные операции наряду с другими, но не как те две центральные ведущие деятельности мышления (точнее, две стороны единой деятельности), к признанию которых нас обязывает учение И. П. Павлова.

Усвоение арифметики по существу, сводится к овладению исторически сложившимися обобщениями, закреплёнными в словах. И. В. Сталин, характеризуя отличительную черту грамматики, указывал на то, что «Грамматика есть результат длительной, абстрагирующей работы человеческого мышления, показатель громадных успехов мышления»2.

Товарищ Сталин сравнивал в этом отношении грамматику с геометрией. Это положение товарища Сталина применимо в большой мере и к арифметике, которая также абстрагируется от кокретных предметов.

Естественно, что, овладевая арифметикой, учащиеся должны пройти через целый ряд ступеней, прежде чем они научатся определять абстрактные количественные соотношения, абстрагируясь от конкретных предметов.

В данной работе рассматриваются последовательные ступени абстрагирования при овладении учащимися арифметикой.

И. П. Павлов говорил об отвлечении и обобщении, как

1 И. П. Павлов. «Двадцатилетний опыт объективного изучения высшей нервной деятельности животных». Соч., т. III, кн. II, стр. 322.

2 И. В. Сталин, „Марксизм и вопросы языкознания", 1950, стр. 24.

новом принципе высшей нервной деятельности, возникающем у человека благодаря слову (системе «вторых сигналов», по Павлову, в отличие от непосредственных раздражителей — «первых сигналов действительности»). И. П. Павлов при этом подчёркивал, что эти «новые обобщённые сигналы» подвергаются в свою очередь, анализированию и синтезированию.

При исследовании процессов отвлечения и обобщения мы пытались раскрыть, какие формы анализа и синтеза они предполагают, что нашло отражение в экспериментальной части нашей работы.

При обучении арифметике вопрос о соотнесении отвлечённых знаний, приобретаемых учащимися, с действительностью, с наглядными образами приобретает большую остроту.

Научные абстракции, как учил нас В. И. Ленин, «отражают природу, глубже, вернее, полнее»1.

Для подлинного овладения учащимися научными абстракциями (выраженными в слове), необходимо, чтобы эти абстракции имели прочную опору в богатом конкретном опыте учащихся, в их «живом созерцании».

Постановка вопроса о соотношении в мыслительной деятельности слова и образа имеет естественно-научную основу в учении И. П. Павлова о взаимодействии первой и второй сигнальных систем.

Подлинное, сознательное овладение арифметическими знаниями предполагает в качестве необходимого условия, тесное взаимодействие двух сигнальных систем и регулирующую роль второй сигнальной системы по отношению к первой.

Подвергая психологическому анализу учебную деятельность детей, мы идем одновременно в двух направлениях: во-первых, выявляем общие особенности усвоения, характерные для учащихся на определенной ступени обучения и, во-вторых — пытаемся раскрыть индивидуальные различия учащихся, проявляющиеся в процессе усвоения ими арифметики. Этот второй вопрос освещается в VIII главе монографии.

Пытаясь реализовать рефлекторный принцип в объяснении психической деятельности мы в то же самое время говорим об «активности» учащихся в процессах усвое-

1 В. И. Ленин, „Философские тетради", 1947, стр. 146.

ния, об их умении вариировать учебный материал, решать видоизмененные задачи и т. п. И одно нисколько не противоречит другому. Еще у И. М. Сеченова мы находим глубокие высказывания, непосредственно относящиеся к решению этого вопроса о «рефлекторном» и «активном» применительно к психической деятельности человека.

И. М. Сеченов — автор «Рефлексов головного мозга» и великий предшественник И. П. Павлова писал:

«Но кто же не знает, что человек, выучившийся мыслить, умеет не только усваивать элементы опыта, но и утилизировать его показания—применять их к делу? Как мыслитель он умеет наблюдать и анализировать факты, сравнивать их между собой и делать выводы, обобщать результаты анализа и сравнения и, наконец, доискиваться причин явлений. Насколько во всех этих случаях человек является деятелем, весь комплекс явлений называют деятельным мышлением»1.

Таким образом «деятелем» является не само мышление, а мыслящий человек и вопрос об активности мысли следует переводить в план активности мыслящего человека.

Проблема активности личности имеет особенно большое значение в условиях нашего социалистического государства. Советская школа призвана воспитывать «инициативных и деятельных участников социалистического строительства». (Из постановления ЦК ВКП (б) от 5 сентября 1931 года «О начальной и средней школе»),

Еще острее стоит эта задача на современном этапе перехода от социализма к коммунизму.

И. В. Сталин, определяя условия перехода к коммунизму (в своем труде «Экономические проблемы социализма в СССР») указывает, что члены общества должны иметь возможность «...получить образование достаточное для того, чтобы стать активными деятелями общественною развития»2.

Психология обучения, представляющая собой один из разделов советской психологии, противостоит, как по своим принципиальным установкам, так и по фактическому материалу, той «психологии арифметики», которая

1 И. М. Сеченов, „Избранные философские и психологические произведения", 1947, стр. 501.

2 И. В. Сталин, „Экономические проблемы социализма в СССР", Госполитиздат, 1952, стр. 68.

разрабатывается в империалистических странах. Работы американских буржуазных психологов служат наиболее яркой иллюстрацией того, как низко деградирует психологическое исследование, когда оно ведется с гнилых методологических позиций, опираясь на отживший идеализм, на прагматизм в его грубейшей реакционной форме, на эклектические теории. «Хваленый» американский психолог Эдуард Торндайк, автор ряда работ по «психологии математики» (которого называли в США «отцом современной психологии обучения»), сбросил маску и в 40-ых годах нашего столетия открыто стал выступать в печати, как отъявленный реакционер, враг всего прогрессивного человечества.

Разоблачению «психологии арифметики» стран империализма посвящена I глава нашей монографии.

В исследовании вопросов психологии обучения мы шли различными путями. Самый простой путь, позволяющий в небольшой отрезок времени раскрыть основные изменения, происходящие в процессе обучения,—это так называемый «путь срезов», при котором изучаются знания, умения и навыки детей на различных ступенях обучения, т. е. обучающихся в разных классах (от первого до пятого включительно, где завершается курс арифметики). Этот путь дает возможность только в какой-то мере проследить развитие психических процессов детей в результате обучения, так как мы судим в этом случае о развитии на основе статических констатирующих опытов, производимых над разными детьми, стоящими на различных ступенях развитая.

С 1936 года после постановления ЦК ВКП (б) «О педологических извращениях в системе Наркомпросов» все усилия исследователей, работающих в области педагогической психологии были направлены на то, чтобы выйти за пределы констатирующих и, по существу, статических опытов и непосредственным предметом исследования сделать те изменения в психике, которые наступают в результате педагогического воздействия. Использование этого исследовательского пути связано с введением так называемого «обучающего эксперимента», при котором психолог становится как бы педагогом, его эксперимент сливается с процессом обучения, и он получает возможность выявить, как в процессе опыта под влиянием опре-

деленного педагогического воздействия изменяются мыслительные процессы учащихся.

Этот «обучающий» путь имеет несомненные преимущества по сравнению с констатирующим «путем срезов»: во-первых, он дает возможность непосредственно проследить влияние обучения на психическую деятельность учащихся и мы можем, вариируя различным образом педагогическое воздействие, выяснять, как это соответственно отражается на их процессах усвоения, во-вторых, «обучающий» путь, открывает более широкие возможности для изучения индивидуальных различий учащихся в процессе обучения. На основе данных «констатирующего» опыта мы имели дело уже с готовым продуктом (знания, умения, навыки определенного уровня), но как этот продукт сформировался, оставалось совершенно неуловимым и в силу каких особенностей учащихся возникало данное состояние знаний, умений и навыков оставалось нераскрытым. Однако, новый «обучающий путь» (в той форме, в какой он применялся нами), представляя собой несомненный шаг вперед в смысле приближения к преобразующему исследованию, тем не менее, содержал и ряд недочетов.

Самый основной из них заключается в том, что обучение осуществлялось психологом не в обычных условиях школьной работы. В этом случае обучение было чрезвычайно ограничено в своих возможностях, поскольку педагогический процесс не мог быть развернут во всей его жизненной полноте и с достаточной степенью совершенства (в смысле применения наиболее эффективных приемов). Стремление максимально приблизить психологию к решению практических задач, стоящих перед советской школой, побуждало исследователя искать другие пути исследования, идя дальше в разработке форм «обучающего эксперимента». Со всей остротой встал вопрос о необходимости вовлечения учителей в исследовательскую работу. Обучение было соединено с психологическим опытом, но на иных основах и в иной форме: условия обучения варьировались учителем в обычных условиях классной работы, а затем выяснялось, какое влияние оказали на учащихся различные условия обучения, причем выявлялось это двояким путем — с помощью изучения отдельных детей и посредством обычных классных контрольных работ. Назовем этот последний путь исследования путем «психолого-педагогического эксперимента», в

отличие от педагогическою эксперимента, направленного на разрешение только педагогических задач.

В последние годы третий путь исследования занял в работе по психологии обучения арифметике ведущее место. Участие учителей в разработке того или иного вопроса отражалось в их докладах для «Педагогических чтений» (в 1949, 1950 и 1951 гг.).

Наряду с методом эксперимента большое место в исследовании занимал метод наблюдения, который применялся в разных формах: наблюдение учащихся на уроке при введении нового арифметического материала или длительное, систематическое наблюдение за каким-либо одним учащимся — на протяжении 1—2 лет его школьной жизни. Методу наблюдения на уроке всегда предшествовал теоретический анализ программного материала по арифметике.

Вопрос о примененных в исследовании методах и приемах нашел освещение в IV главе монографии, причем автор уделил особое внимание вопросу о путях усовершенствования конкретных методик исследования с тем, чтобы они отвечали требованию строго-объективного метода.

В сборе исследовательского материала и проверке на практике полученных данных приняли непосредственное участие методисты и учителя. Работа концентрировалась в двух научно-практических семинарах: в 132 школе г. Москвы (руководители семинара: методист Советского района М. С. Нахимова и автор) и в семинаре, организованном при Институте Усовершенствования Учителей (под руководством методиста С. В. Пантелеевой и автора).

Активное участие в работе приняли следующие учителя: H. Н. Быкова, Л. А. Киршгольд, Н. И. Кожеурова, А. Б. Козлова, Г. Г. Миткевич, Т. П. Устинова, Л. Б. Шкодина, Р. И. Шурикова (преподаватели 132 школы, оформившие свою работу в докладах для «Педагогических чтений»), Г. С. Бедринская (163 школа), В. В. Жмурова и В. И. Февралева (155 школа), Н. А. Прозорова и Е. И. Розенберг (168 школа).

Кроме того автор опирался в экспериментальной части своей работы на исследования З. И. Калмыковой (аспиранта, а затем научного сотрудника Института психологии).

Пути формирования понятия о числе у детей до школы

Проблема формирования понятия о числе имеет длительную историю и сводится она, в основном, к спору о том, восприятие множества, или счёт лежит в основе понятия о числе. Ярко представлена в истории методических идей тенденция сочетать обе противопоставляющие себя друг другу теории. Среди дореволюционных методистов Беллюстин и Эрн наиболее ярко выражали эту точку зрения. Несколько позднее (в 20-х годах) сделана более конкретная попытка решить этот вопрос методистом К. Ф. Лебединцевым, которая основывается на фактическом материале наблюдений над развитием детей. Лебединцев пытался решать этот вопрос в плане развития. На основе своих наблюдений он пришёл к выводу о том, что на первоначальном этапе формирования понятия о числе выступает восприятие множества, которое используется применительно к численно-небольшим совокупностям, а далее, за пределами этих совокупностей, основную роль, начинает играть счет, который вытесняет затем восприятие множества.

Эта точка зрения, получившая достаточно широкое распространение в работах советских методистов, тем не менее, схематизирует процесс формирования понятия числа у детей. Она не дает возможности преодолеть тот разрыв между процессами восприятия множества и счета, который был характерен для зарубежной детской психологии.

Автор даной монографии не ставил своей задачей всесторонне осветить проблему формирования понятия о числе (фактически этот вопрос выходит за пределы разрабатываемой им темы) и поэтому ограничился узкой фактической базой, используя только материал наблюдений над развитием двух собственных детей: мальчика и девочки (от 1 года до 4-х лет).

Основной вывод, к которому мы пришли на основе систематических наблюдений над развитием детей, состоит в следующем: восприятие множества и счет, на основе которых формируется понятие о числе, по разному соотносятся друг с другом на различных этапах овладения понятием числа.

Счет не просто вытесняет восприятие множества. Как

тот, так и другой процесс развиваются от более элементарных к менее элементарным формам.

Процесс овладения счётом предполагает образование сложной системы связей.

Полному овладению счётом предшествует рид переходных стадий, из которых одна заслуживает особого внимания, поскольку она не была описана до сих пор в психологической литературе.

Эта переходная стадия заключается в следующем: образуются две разобщенных системы связей:

I восприятие количественной группы -> называние определенного числительного, обозначающего результат.

II вопрос «сколько?» -> последовательное называние любых числительных, без обозначения результата.

Что происходит в данном случае?

Воспринимая определенную количественную совокупность (численно небольшую) ребенок реагирует на нее названием определенного числительного (по А. Г. Иванову-Смоленскому, это — связь типа: непосредственный раздражитель слово).

Когда в качестве «сигнала» выступает не только воспринимаемое множество предметов, но и слово «сколько?», т. е. словесный раздражитель, ответная деятельность ребенка существенно изменяется, слово «сколько?» вызывает называние любых числительных, т. е. ответная деятельность осуществляется в генерализированной форме.

Генерализированный характер реакции во втором случае непосредственно связан с тем, что эта ответная деятельность осуществляется в отрыве от восприятия множества, она не соотносится с ним. Таким образом, на этой переходной ступени происходит как бы временное разъединение задач: «задачи восприятия» и «задачи счета».

«Задача восприятия» решается правильно, в то время как новая «задача счета» осуществляется неадэкватным способом. Однако, в этом последнем случае заложены основы перехода на новую ступень, а «задача восприятия» выполнима только на численно-небольших совокупностях и, следовательно, лишена перспективы развития.

Полное овладение счетом возможно только через объединение двух задач, когда осуществляется связь между словом «сколько?» и называнием определенного числительного, обозначающего результат, при чем назы-

вание этого числительного происходит не только через последовательное называние числительных, но и через восприятие множества, т. е. через первую сигнальную систему. Характерно в этом отношении, что вначале ребенок правильно обозначает результат счета только в том случае, если он уже знает на основе непосредственного восприятия, каким числительным должна быть обозначена данная количественная группа. Через известное время обозначение ребенком результата счета изменяет свой характер и начинает практически действовать в новых условиях уже без предварительного соотнесения с тем названием числительного, которое получено на основе непосредственного восприятия множества.

Это обусловлено тем, что произошла перестройка системы связей, лежащей в основе определения количества.

Теперь осуществляется связь между словом «сколько» и называнием определенного числительного только через последовательное называние числительных.

Мы здесь имеем дело с образованием новой связи: называние последнего в ряду числительного -> обозначение результата. Эта связь носит обобщенный характер, поскольку она одинаковым образом актуализируется при пересчете любой количественной совокупности. Именно этим обобщенная связь отличается от частной, конкретной связи, которая образуется между определенными частными фактами или обозначающими их словами (ярким примером последних могут служить связи, на которых основано усвоение последовательного ряда числительных (1 -2-» 3 и т. д.)1.

Психология процессов счета и вычислительных операций.

Психологический анализ счета и вычислительных операций предполагает, прежде всего, раскрытие тех ана-

1 Данный принцип группировки связей выдвинут П. А. Шеваревым в его работе .К вопросу о природе алгебраических навыков", опубликованной в 1941 г. Расчленение связей на частные и обобщенные вполне оправдано и с необходимостью вытекает из обобщенной природы слова. Ошибочным является, однако, в работе П. А. Шеварева противопоставление обобщенной или правилосообразной связи — ассоциациям, неудачна также терминология, используемая автором.

литико-синтетических процессов, которые лежат в их основе, раскрытие их последовательного усложнения.

Первая форма анализа заключается в «дроблении» количественной совокупности реальных предметов, в расчленении ее на единицы. Это «дробление» осуществляется с помощью речи, т. е. благодаря усвоению детьми числового ряда. Используя знание числового ряда, дети объединяют затем предметы на основе общего количественного результата, выраженного в последнем — названном в ряду числительном. С этим уровнем анализа многие дети приходят в школу. Анализ на этом этапе касается только совокупности предметов, но самое представление о числе носит доаналитический характер, число — еще не разложимо.

Характерным для данного этапа является использование способа пересчета по единице, когда прибавляя один или несколько предметов к группе только что сосчитанных предметов, ребенок начинает счет опять с начала числового ряда, опять с единицы, как если бы он имел дело с новой количественной совокупностью.

На самом первоначальном этапе осознание учащимся задачи носит генерализированный характер, т. е. для учащегося существует счетная задача «вообще», без всякой специализации.

Учащийся применяет один и тот же способ действия (пересчитывание по единице) в ответ на различные задачи («Сосчитай предметы», «прибавь одно количество предметов к другому количеству»).

Наблюдения показывают, что при современной системе обучения арифметике в 1 классе учащиеся, как правило, довольно долго задерживаются на первоначальном этапе пересчета предметов, а отдельные учащиеся в течение целого года сводят всю «арифметику» к элементарному пересчету.

Исследование этих учащихся показало, что их обычно затрудняет обратный счет и что они не умеют считать с любого пункта числового ряда. В этом случае те ассоциации, на которых основано знание числового ряда, отличаются косностью. Первым членом ассоциации оказывается не одно смежное числительное (например «3» — для 4-х), а весь ряд предшествующих числительных («1, 2, 3, 4»). Для этих учащихся характерно также, что они используют пересчет по единице даже при предъявлении числовых фигур, хотя в этом случае определение количе-

ства может быть легко осуществлено путем непосредственного восприятия.

Процесс пересчета по единице представляет собой воспроизведение в одном и том же порядке определенной цепи связей, каждое звено которой неизменным образом связано с последующим звеном.

Для использования пересчета по единице, как способа вычисления, характерно то, что из трех звеньев, составляющих процесс пересчета неизменно сохраняются два звена: цепь частных ассоциаций между словами — числительными и обобщенная связь между называнием последнего числительного и обозначением этим же словом общего количественного результата.

Эти два звена осуществляются в плане словесной деятельности. Что же касается третьего звена — соотнесения единицы числового ряда с предметом, то это звено при выполнении числовых операций постепенно выпадает (под влиянием педагога, который стремится через некоторое время устранить наглядные пособия). Все эти данные, повидимому свидетельствуют о том, что при задержке детей на этапе пересчета мы имеем дело с выработкой связей со второй сигнальной системы при недостаточном их соотнесении с первой сигнальной системой.

Существуют эффективные педагогические средства, с помощью которых можно предохранить детей от явления навязчивого использования, в качестве способа вычисления, пересчета. Даже в практике работы старшей группы детского сада можно наблюдать переход детей от пересчета по единице к счету группами.

Исследованные нами дети детского сада не прибегали к пересчету по единице при определении количества кружочков в числовых фигурах, используя непосредственное восприятие группового образа («4 и 4 будет 8»), при выполнении сложения количественных совокупностей, они группировали предметы таким образом, чтобы удобно было произвести счет группами, дети, наконец, умели считать с любого пункта числового ряда.

Какими путями достигалось развитие умения считать группами? Решающее значение имела работа по анализу состава числа основанная на конкретных групповых образах. Каждый шаг в упражнениях по анализу состава числа осуществлялся в плане деятельности как первой, так и второй сигнальных систем: предъявляемая количественная совокупность и воспринималась и называлась,

также воспринимались и назывались различные составные части количественной совокупности. Таким образом, переход к новой ступени счета — к счету группами потребовал, прежде всего, выработки новых связей в первой сигнальной системе и передачи их во вторую сигнальную систему.

При выполнении операции разложения числа вступает в силу принципиально — новый, имеющий огромное значение факт— создается впервые возможность для получения одного и того же числа различными путями.

Если связи, лежащие в основе процесса пересчета можно назвать «единичными» связями, поскольку в этом случае в ответ на сигнал может быть осуществлено только одно действие, то связи, лежащие в основе разложения числа, следует отнести к группе «множественных» связей. В последнем случае в ответ на один и тот же раздражитель возникает ряд ответных действий (и притом одинаково правильных). Множественные связи являются как бы «пучком связей», имеющих один начальный член. Если при выполнении операции пересчета дети просто воспроизводили образовавшиеся у них связи по одному, неизменному шаблону, то при разложении числа они могут воспроизводить связи в различной последовательности.

Знание состава чисел является необходимой предпосылкой для вариирования способов действия при выполнении вычислительных операций, а следовательно, для перехода от неподвижного способа пересчета по единице к разнообразному, вариативному счету группами.

Переход к счету группами, который наблюдался нами в детском саду в условиях специально организованного и эффективного обучения (применительно к узкому кругу чисел и арифметических действий), осуществляется в полной мере в школе на протяжении первого года обучения.

Рациональная организация обучения и мастерство педагога выявляются на первом году обучения, прежде всего, в том, удается ли достаточно быстро перевести учащихся от пересчитывания по единице к счету группами, и осуществляется ли это по отношению ко всем учащимся класса.

Умение считать группами является необходимым условием перехода от конкретного к отвлеченному вычислению. Еще до школы дети достигают известной ступени абстрагирования, поскольку они, овладев счетом, отвлека-

ют количественную сторону действительного мира от всех прочих его сторон. Однако, сумев абстрагироваться от ряда свойств предметов, дети еще не могут отвлечься от самих предметов и вполне закономерно, что известный период обучения в 1 классе они выполняют числовые операции только на предметах.

Понятие о числе с необходимостью включает в себя отношение чисел и возможность замещения одного числа другими. Использование в качестве основного вычислительного приема, счета по единице фактически делает невозможным подлинное овладение понятием числа.

При том уровне знаний, которым обладает начинающий первоклассник, оперирование единицей допускает только две возможности — восхождение или нисхождение по числовому ряду. Для того, чтобы на данной ступени обучения дети могли бы овладеть числом, в его отношении к другим числам, необходимо «оторвать» детей от простой единицы и научить их усматривать единство во множестве единиц. Ребенок может научиться мыслить отношения между числами только в том случае, если вначале он их наблюдает.

Последнее легко достигается при помощи числовых фигур, в которых единицы даны в ясной группировке.

И на этом этапе обучения арифметике выявляется та же общая закономерность: переход к более высокому этапу в овладении числовыми операциями, осуществляемому системой вторых сигналов — словесной системой, с необходимостью требует, прежде всею, образования соответствующих связей в первой сигнальной системе. Только через отражение первосигнальных связей во второй сигнальной системе становится возможным осуществление нового, более высокого этапа.

Полученные нами материалы позволяют установить ясный критерий для различения представления и понятия о числе. Представление о количественной совокупности основывается на единичных связях, понятие числа основывается на множественных связях, оно предполагает многообразные замещения одною числа другим.

Овладение понятием осуществляется в результате более высоких форм анализа. Теперь ребенок подвергает «дроблению» не только количественную совокупность предметов, но и само число, он разлагает число на его составные элементы.

В ходе обучения анализ становится все более и более

тонким, учащиеся начинают дифференцировать примеры на одно и то же действие и в зависимости от своеобразия стоящих в примере чисел они употребляют различные, специфические вычислительные приемы. Таким образом, вместе с возможностью широкого варьирования вычислительных приемов ученик овладевает определенными правилами этого вариирования, у него образуются обобщенные связи, которые актуализируются в соответствии с определенными правилами.

Возникает важный вопрос — как соотносятся друг с другом дифференциация задачи, с одной стороны и дифференциация способа действия, с другой. Далеко не всегда эти два процесса совершаются параллельно, в одно и то же время. Возможны такие случаи, когда новая задача выполняется некоторое время старым вычислительным способом и происходит постепенно перестройка способа и как бы «подтягивание» его к новой задаче. Возможны и такие случаи, когда новый способ является необходимой предпосылкой для постановки перед учащимися целого ряда новых задач.

Решающее значение в усвоении нового учебного материала имеет самостоятельное вычленение и формулировка учащимися признаков или свойств новой задачи и новою вычислительного приема.

В том случае если учитель ограничивается тем, что сам указывает и формулирует новое арифметическое положение, возникает опасность быстрого образования у детей обобщенных связей, действующих согласно некоторому общему правилу, в то время как само правило полностью детьми утрачено.

Нами проведен ряд исследований процесса обобщения учащихся, как младших (1), так и старших классов (V), осуществляемого на арифметическом материале,

Исследования показали, что успех обобщения зависит от полноты анализа единичных фактов, от умения выделить из множества частных признаков существенные признаки и отвлечься тем самым от несущественных, случайных.

Важнейшим условием правильного обобщения учащихся является рациональный подбор учебных задач, при котором вариируются несущественные признаки предъявляемого материала и сохраняются постоянными только те признаки, которые должны быть положены в основу обобщения.

2. Проведенные психологические исследования ставят вопрос о необходимости существенной перестройки системы первоначального обучения счету и вычислительным операциям в младших классах начальной школы.

Большое прогрессивное значение имела в свое время критика нашими отечественными методистами монографического метода изучения чисел и замена его методом изучения действий. Однако, вместе с критикой монографического метода в значительной мере были выброшены рациональные его элементы.

Вопрос об изучении состава чисел и об использовании для этой цели групповых образов числа (в виде числовых фигур) не находит в современных методических руководствах и практике обучения достаточного отражения.

В целях повышения качества обучения арифметике в 1 классе необходимо с первых же дней прихода детей в школу заботиться учителю не столько о том, чтобы укреплять связи между числительными от 1 до 10-ти, сколько о том, чтобы делать эти связи достаточно гибкими, т. е. воспроизводимыми в различных условиях: не только в прямом, но и в обратном направлении, не только от 1, но и от любою пункта числового ряда. При последовательном знакомстве детей с числами, помимо тех двух операций, которые приняты в нашей школьной практике (образования числа, когда к изученному числу прибавляется единица и разложения числа), следует ввести еще третью, условно мною названную «соединение числа». Этим термином обозначается непосредственное восприятие изучаемого числа изображенною в виде числовой фигуры. Упражнения в разложении и «соединении» чисел должны служить основным средством к переводу учащихся от пересчета по единице к счету группами.

Укреплять процесс отвлечения необходимо различными путями: прямо разъясняя детям, что результат числовой операции не зависит от наименований и специально работая над перестройкой самих вычислительных приемов. Главная педагогическая задача должна заключаться не в том, чтобы снимать наглядность, а в том, чтобы с помощью наглядности перестроить вычислительные приемы, что непосредственно приведет к естественному «отмиранию» этой наглядности.

3. В результате упражнений процесс устного счета претерпевает существенные изменения. Многие опосред-

ствованные связи утрачивают промежуточное звено, тем самым теряя опосредствованный характер и превращаясь в прямые частные связи, когда восприятие условия непосредственно вызывает произнесение или написание результата действия. Наиболее быстро такое преобразование связей осуществляется при изучении таблицы умножения. Связи, лежащие в основе табличного умножения (и им подобные) мы называем «вторичными» связями в отличие от той группы частных связей, в которых ответ непосредственно сочетается с условием с самого начала (таковы, например, связи, лежащие в основе усвоения числового ряда).

В результате упражнения цепные обобщенные связи могут превращаться в частные связи, состоящие из одного звена.

Результатом упражнений может являться и то, что само действие как бы включается в процесс восприятия условия примера, на ходу его перестраивая. Если раньше пример распадался для учащегося на несколько частичных задач, то теперь — в итоге упражнений происходит объединение ряда частичных задач (факт, ранее установленный на материале двигательных навыков Е. В. Гурьяновым).

Письменное вычисление основано на связях того же вида, что и устный счет. Изменяется только сравнительная роль различного вида связей при выполнении письменного вычисления. Центральное место в этом случае занимают системы правилосообразных связей. И сама система при решении какого-либо одного примера чрезвычайно разрастается.

Увеличение скорости вычислительного процесса в ходе упражнений происходит за счет полного выключения рассуждения вслух при выполнении операции и за счет изменения в процессах восприятия условия.

Устный счет и письменное счисление имеют целый ряд качественных различий.

Основное различие, определяющее все остальные, заключается в разном соотношении фактора вариирования и постоянства. При решении устных примеров перед учащимися нередко возникает возможность выбора того или иного вычислительного приема или способа группировки числовых данных.

В письменном вычислении эта возможность выбора почти полностью исключена. Также весьма ограничена

возможность разнообразить вычислительные приемы. Наибольшее разнообразие в письменном вычислении допускает только частный момент отыскания цифры частного. В процессе устного вычисления большую роль играют опосредствованные связи, включающие в качестве одного из звеньев разложение чисел, т. е. операцию предполагающую целый ряд вариаций. В процессе письменного вычисления не приходится иметь дела с такими опосредствованными связями.

По мере упражнения в устном счете происходит существенная перестройка связей, в то время как связи, выработанные в процессе письменного вычисления, не изменяют своей качественной характеристики.

Констатируя эти различия, следует признать, однако, совершенно неправомерным то противопоставление устного счета письменному счислению, которое неоднократно производилось дореволюционными методистами (Гольденбергом и др.) и сохранилось у некоторых советских методистов.

В последние годы наблюдается совершенно правильная тенденция «освободить» письменное вычисление от излишней «скованности» и трафаретности (А. С. Пчелко) — и в то же самое время трактовать устный счет как автоматизированную операцию. (В. Л. Гончаров).

Излишнее подчеркивание того, что устный счет основан на «свободном соображении» привело к явной недооценке роли упражнений в устном счете. Между тем любой этап устного счета, даже тот, который кажется наиболее «творческим», а именно, этап анализа числовых данных и выбора наиболее рациональных путей вычисления требует выработки специальных умений, основанных на связях, образованных в результате планомерной системы упражнений.

Психология решения арифметических задач

1. Изучение решения арифметических задач учащимися раскрывает нам процессы анализа и синтеза в их более сложных формах. Уже решение простой задачи (в одно действие) требует от учащихся 1 класса более высокой формы анализа по сравнению с тем, какая осуществлялась ими при решении примеров, усложняются также и связи, образующиеся в процессе решения.

Решая пример, ученику было достаточно вычленить из условия задачи один элемент — знак действия, для того,

чтобы произвести выбор арифметического действия. (Назовем этот вид анализа «элементным»). При решении задачи от ученика требуется вычленить не один элемент, а целую их совокупность — как условие задачи, так и ее вопрос, т. е. в этом случае ученик должен выполнить не «элементный», а «комплексный» анализ. При решении примера знак действия соединяется с определенным арифметическим действием простейшей единичной связью («+» -> «прибавить» и т.п.), в то время как при решении задачи чрезвычайно многообразна возможность соединения одного и того же арифметического действия с тем комплексом словесных выражений, какой дан в тексте задачи. Таким образом, выбор действия при решении задачи требует актуализации не единичных, а множественных связей.

На первоначальном этапе решения простых задач у детей закономерно возникает явление снижения уровня анализа и синтеза, т. е. комплексный анализ у них заменяется элементным, а вместо множественных воспроизводятся единичные связи. Это проявляется, например, в том, что выбор действия сложения неизменно соединяется с выражением «прибавилось», изолированным от всего контекста задачи и т. п.

Это явление непосредственно обусловливается предшествующей практикой решения примеров. Этим же, в значительной мере, вызываются трудности, которые испытывают учащиеся 1 класса при постановке вопроса.

В практике решения примеров у детей оказались прочно связанными три звена: конкретные числа -> арифметическое действие -> числовой результат. Эта же система связей продолжает известный период действовать при решении задач и проявляется это, прежде всего, в том, что учащиеся, на первых порах, вместо вопроса задачи называют уже полученный ими числовой результат.

Наряду с большой силой сопротивления старых связей по отношению к связям вновь образующимся, мы обнаруживаем у детей 1 класса явление нестойкости связей, быстрой их «податливости» по отношению к новым. Последнее имеет место в том случае, если в течение известного периода времени учитель занимался выработкой этих новых связей.

Отсюда вытекает ряд конкретных педагогических задач, которые и раскрываются в нашей монографии.

Вопрос о путях дифференциации процессов решения

примеров и задач, о характере использования на этом этапе наглядных пособий получает специальное освещение. Подвергается психологическому анализу процесс составления учащимися задач на первоначальном этапе обучения. На основе проведенных исследований ставится вопрос о существенных изменениях в системе использования различных форм составления учащимися задач.

При переходе учащихся во II класс большую актуальность приобретает вопрос о влиянии друг на друга систем, связей, приобретенных при решении задач и отличающихся друг от друга какими-либо тонкими деталями. Решение задач двух видов: «с делением на части» и «с делением по содержанию» требует от учащихся очень тонкой дифференциации в использовании наименований.

Задачи «с делением на части» изучаются в 1 классе, задачи «с делением по содержанию» вводятся впервые на втором году обучения. Уже на первом уроке введения задач нового вида выработанные ранее связи «оказывают сопротивление» образованию новых связей. Учащиеся неоднократно воспроизводят усвоенную ранее систему наименований, несмотря на новое условие задачи и вопреки ему. Актуализация связей, неадэкватных данной: задаче, происходит именно в тех звеньях решения, которые противоречат прежнему опыту учащихся — или при указании именованного делителя, или при постановке вопроса и наименовании частного.

Изучение процесса решения задач этих двух видов на протяжении года и у одних и тех же учащихся показало, что такое «соперничество» между двумя системами связей сохраняется у целого ряда учащихся в течение длительного периода времени и принимает при этом различные формы.

От организации педагогического процесса зависит успех преодоления отрицательного воздействия одной системы связей на другую.

Наблюдения за практикой обучения и проведенные исследования показывают, что усвоение обобщенной формулировки, характеризующей той или иной вид задач, оказывает существенное влияние на процесс овладения решением простых задач.

2. При переходе к решению составных задач учащимся приходится выполнять ряд новых операций, а вместе с ними и значительно усложняется аналитико-синтетическая мыслительная деятельность.

Соотнесение числовых данных при решении простой, задачи крайне упрощалось тем, что в условии были налицо только два числовых данных. При решении составной задачи возникает необходимость выбора двух числовых данных из нескольких для соотнесения их друг с другом с тем, чтобы в дальнейшем получить новое данное, не указанное в условии.

Сложность процесса решения задачи в два действия состоит для учащихся также и в том, что теперь имеет место «разведение» вопроса задачи и наличных числовых данных, т. е. по отношению к наличным числовым данным ещё не поставлен вопрос, а имеющийся в тексте вопрос направлен по отношению к той паре данных, одно из которых ещё неизвестно. Резко усиливается, следовательно, значение анализа состава каждого данною, т. е. того словесного текста, в котором раскрывается смысл числового данного. Значительно затрудняется вычленение нужных данных в том случае, если несколько данных имеют одни и те же наименования.

Выбор действия при решении составной задачи заметно осложняется, поскольку ему должен предшествовать анализ, относящийся не только к соответствующей паре числовых данных и к вопросу (что имело место при решении простых задач), но и к другим числовым данным.

Учащийся в этом случае должен вычленять не только данные, относящиеся к первому действию, но и те элементы условия, которые определяют последующее действие.

Этот вид анализа, который сводится к вычленению элементов условия, определяющих не только данное, но и последующее действие, мы условно называем «антиципирующим» или «предвосхищающим» анализом.

Изучение многочисленных контрольных работ и индивидуальное исследование учащихся показали, что именно эта форма анализа очень затрудняет учащихся. Не только во II-ом, но и в III-ем классе встречаются случаи, когда учащийся соотносит числовые данные друг с другом только потому, что они расположены в условии в непосредственном соседстве. Очень большое значение при соотнесении данных имеет привычность синтеза, т. е. частое использование данного синтеза в предшествующем опыте. Этот фактор сохраняет свое значение и для учащихся старших классов начальной и средней школы и даже для взрослых.

В практике обучения существует основное средство, с

помощью которого учитель пытается предохранить детей от необоснованного синтеза, это — выработка у них умения ставить вопрос до того, как учащиеся приступили к практическому решению. Ученик 1 класса, как правило, сначала решает, а затем ставит вопрос. И только постепенно под влиянием систематических требований учителя процесс решения задачи перестраивается: изменяется и усиливается функция того вопроса, который формулируется учащимся.

Среди ошибок, обнаруженных при решении задач во II классе, большое место занимают ошибки в формулировке вопроса, в то время, как соответствующее действие выполнено правильно. В этих случаях вопрос, сформулированный учащимся, оторван от практического решения, не только не определяет его, но зачастую и сам им не определяется. Такой вопрос не несет какой либо реальной функции в процессе решения задачи.

На материале контрольных работ учащихся II класса уже можно обнаружить симптоматичный факт, свидетельствующий о том, что сформулированный вопрос начинает играть реальную роль в процессе решения: ошибочно сформулированный вопрос оказывается причиной, порождающей ошибки при записи наименований в ходе решения.

В письменных работах учащихся старших классов резко уменьшается количество случаев, когда при правильном действии формулируется ошибочный вопрос. Больше того, в III классе наблюдаются такие случаи, когда правильно ставятся вопросы при ошибочном ходе действия. Эти факты говорят о том, что функция вопроса и действия в процессе решения существенно изменилась. Если раньше ведущую роль играло практическое действие, а вопрос или точно отражал его (в лучшем случае), или отражал только в общих чертах, или резко ему не соответствовал, то теперь ведущую роль приобретает постановка вопроса, именно это начинает становиться основным предметом мыслительной деятельности ученика, а практическое решение может оттесняться на задний план; отсюда и более легкая возможность появления ошибок в этом звене.

При решении «задач—проблем», когда соотношение между данными и искомым не сразу становится очевидным после прочтения условия задачи, особую роль приобретает антиципирующий анализ. И если учащийся при-

обрел навык постановки вопросов, предваряющих решение и отражающих данный конкретный синтез, но при этом у него отсутствует антиципирующий анализ, то в этом случае успешного решения он достичь не сможет.

Исследование процесса решения «задач — проблем» учащимися V класса обнаружило немало таких случаев, когда ученик вычленяет из данной задачи знакомые частичные задачи и решает каждую из них в отдельности (сначала формулируя соответствующий вопрос) и полностью игнорирует условие задачи в целом, во взаимоотношении его частей. Осуществляется целая цепь синтетических операций, из которых каждая является неоправданной и вступает в противоречие с последующими частями условия.

Этот тип решения принципиально отличается от «поискового» пути решения, который мы наблюдали у учащихся старших классов и у взрослых.

Исследования позволяют установить две основных разновидности этого «поискового» пути решения.

Первая форма (менее совершенная) состоит в следующем: производится ряд синтетических операций, но каждая из них выполняется на основе анализа не условия задачи в целом, а отдельных частей этого условия.

Учащийся выполняет первый синтез, подвергает анализу полученный результат, отвергает правомерность полученного результата на основе анализа другой части условия и т. д.

Синтез числовых данных выступает в данном случае, как средство анализа, как его вспомогательный приём.

Способы решения воспроизводятся учащимися на основе предшествующего опыта решения задач, но это воспроизведение выполняется только с той целью, чтобы найти ключ к решению данной задачи.

Существенно отличается от этого пути решения наиболее совершенный путь, наблюдаемый нами у взрослых людей или у старших учащихся, обладающих умением решать задачи.

В этом случае не производится никаких числовых операций до тех пор, пока не осуществлён исчерпывающий анализ словесного материала задачи и не расчленены содержащиеся в задаче понятия и выраженные в ней закономерности.

Изучение этого процесса решения задач, когда как

бы впервые «устанавливаются» новые связи, показывает, что и в этом случае имеет место в конечном счёте (в результате тонкого расчленения содержащихся в условии задачи понятий) актуализация или воспроизведение образованных в предшествующем опыте связей.

Глубоко был прав И. М. Сеченов, который в своей работе «Элементы мысли» писал: «Через голову человека в, течение всей его жизни не проходит ни единой мысли, которая не создалась бы из элементов, зарегистрированных в памяти. Даже так называемые новые мысли, лежащие в основе научных открытий, не составляют исключения из этого правила»1.

3. Процесс решения типовых задач представляет самостоятельный психологический интерес, поскольку в этом случае центр тяжести перемещается при решении, задачи с процесса выбора данных и выбора действия на процесс узнавания типа задачи. Для того, чтобы правильно узнать тот или иной тиц, нужно вычленить существенные признаки условия задачи, отвлекаясь, тем самым от его несущественных признаков. Правильное подведение под тип предполагает формирование понятия о типе задачи.

Нами был изучен процесс овладения решением типовых задач учащимися IV класса. Исследование показало, что понятие о типе формируется только на основе решения ряда задач, представляющих собой различные вариации исходной типовой задачи. Большое значение приобретает вариация даже таких несущественных признаков, как расположение числовых данных в условии. Существенную роль играет вариация формулировки условия. Решая задачи одинаковые по математической структуре, но данные в различной словесной форме, учащиеся овладевают содержательными, существенными особенностями задачи данного типа.

Формирование понятая о типе, однако, не завершается в итоге решения задач одного и того же типа (даже если он представлен в различных вариациях).

Необходимым условием полного овладения понятием о типе задачи является правильное решение задач других типов, содержащих в своем условии некоторые сходные элементы с задачами изучаемого типа. Так учащиеся

1 И. М. Сеченов, Избранные философские и психологические произведения", 1947, стр. 441 — 442.

на практике убеждаются в том, что применение определенного типового приема вызывается не одним изолированным элементом условия, а структурой задачи в ее целом, во взаимоотношении ее частей.

Процесс овладения решением типовой задачи предполагает выработку системы связей, отражающих существенные стороны условия задачи. Связи эти носят обобщенный характер, поскольку они могут быть воспроизведены при решении любой конкретной задачи, условие которой выражает тот же тип взаимоотношения между данными и искомым.

Как показали исследования, большую роль в процессе овладения типом задачи играет закрепление в слове своеобразия типовой задачи, т. е. усвоение названия типа.

Освоение хода решения типовой задачи осуществляется не сразу. Вначале могут наблюдаться ошибки, обусловленные недостаточной дифференциацией содержательной стороны задачи. Это проявляется в различных формах. В процессе синтезирования привлекаются числовые данные, обладающие нужными наименованиями, однако, среди них может оказаться не то конкретное числовое данное, какое необходимо.

Подобный недостаток дифференциации может проявляться и при формулировке вопроса.

В ходе решения новой типовой задачи нередко наблюдается неправильное включение в том или ином звене решения привычного синтеза, особенно там, где новое синтезирование представляет для учащихся известную трудность.

В единичных случаях, у тех учащихся, которые слабо ориентируются в решении задач может наблюдаться совершенно иной процесс овладения решением типовой задачи. У них осуществляется выработка связей между чисто внешними и несущественными признаками условия и определенным арифметическим действием (например, «последнее число, стоящее в условии и меньшее число из первой пары чисел -> надо умножать») Такой путь усвоения, естественно требует большого количества повторений. Эти связи (мы называем их «формальными» в противоположность «содержательным» связям) вырабатываются крайне медленно и с трудом поддаются перестройке. Повидимому, в основе образования формальных связей лежит факт слабого соотнесения связей второй

сигнальной системы с первой сигнальной системой. В противоположность этому содержательные связи основываются на тесном взаимодействии двух сигнальных систем. В этом случае связи, образующиеся между словами, отражают реальные впечатления, «первые сигналы действительности».

Типовая задача при известных условиях может решаться ошибочно даже в том случае, если ученику хорошо известен типовой прием и весь ход ее решения.

Как обнаружилось в нашем исследовании, повторное решение задачи одного и того же типа (если оно продолжается после того, как задача вполне освоена) закономерно обусловливает восстановление в ходе решения тех ошибок, которые имели место в процессе обучения решению задач данного типа. В этих случаях учащийся осознает, что задача — того же самого типа, многократно им решенная и наскучившая ему, у него происходит резкое снижение активности его мыслительной деятельности, в силу чего условие задачи осознается менее отчетливо, менее дифференцированно.

Прямое объяснение этого факта мы находим у И. П. Павлова. На одной из «Сред» И. П. Павлов говорил. «Разве наши ориентировочные рефлексы не имеют значения и влияния? Они угасают благодаря торможению.

Понятно, когда речь идет о бессмысленных словах, раз вы ими не интересуетесь, то вы тормозите и связать не можете. Ясно, что нужно интерес иметь, нужно Иметь известный тонус, деятельное состояние коры, чтобы эта ассоциация произошла. Торможение от однообразия не может привести к ассоциации»1.

Снижение активности мыслительной деятельности, отрицательно отражающееся на решении типовой задачи, может происходить и тогда, когда в знакомую типовую задачу вводится новое дополнительное условие. В этих случаях задача распадается для учащихся на две различных задачи — привычную и новую. Новая задача напряженно осознается и правильно решается, в то время как резко ослабляется сознательный контроль при решении знакомой типовой задачи, что и обусловливает появление ошибок.

Большое влияние может оказывать предшествующая практика в решении задач, когда навязчиво воспроизво-

1 Павловские среды, т. III, 1949, стр. 48.

дится тот таловой прием, который неоднократно применялся в предшествующем опыте, хотя он неадэкватен данной задаче. Предшествующая практика решения определяет не только воспроизведение определенных способов действия, но и непосредственно влияет на опознавание и анализ предъявленной задачи. Мы специально создавали экспериментальным путем такую ситуацию, при которой одна и та же задача осознавалась различно, в зависимости от того, какие задачи решались непосредственно перед решением данной задачи. Учащийся в процессе нашего опыта вычленял в одной и той же задаче то одни, то другие ее признаки и при этом сам не замечал, что он имеет дело с одной и той же задачей.

Так средоточие мыслительной активности по» отношению к одним сторонам задачи вызывало ослабление мыслительной активности по отношению к другим ее сторонам. Повидимому, объяснение этого факта нужно искать в индукционных отношениях коры головного мозга.

4. Исходя из проведенных психологических исследований, необходимо подчеркнуть, что в практике обучения решению задач еще далеко не использованы все возможности эффективного обучения и что те методы и приемы обучения решению задач, которые применяются в школе, в большой мере идут мимо развития у школьников высших форм синтеза и анализа.

Это положение имеет место, однако, наряду с большим количеством частных достижений в методике обучения решению задач, а также наряду с тем, что отдельные учителя применяют очень эффективные методы обучения решению задач.

В методической литературе хорошо разработан вопрос о методах разъяснения или разбора задачи учителем, о тех приемах, которые могут быть использованы для того, чтобы облегчить понимание задачи учащимися. Вместе с тем очень слабо разработан вопрос о том, как обучать учащихся технике мышления при самостоятельном решении задач. А именно этот последний вопрос должен занять центральное место в методике обучения решению задач.

Существуют два качественно различных пути образования связей, лежащих в основе решения арифметических задач.

Один путь состоит в том, что учащийся усматривает в

условии задачи те соотношения между данными и искомыми, на которые ему указывает учитель и образует затем соответствующие системы связей на основе подражания конкретному образцу рассуждений и действий учителя.

Другой, принципиально иной путь заключается в том, что учащийся должен сам найти, установить содержащиеся в условии задачи соотношения, актуализируя и, соответственно, перестраивая уже выработанные у него системы связей.

(Роль учителя при осуществлении второго пути обучения является не меньшей, а большей и, соответственно, возрастают требования к его методической подготовленности).

Как показывают данные исследований, оказываются особенно прочными именно те связи, которые образовались в итоге установления самими учащимися отношений, содержащихся в условии задачи, и, наоборот, большую нестойкость обнаруживают связи, которые образовались только на основе того, что учащиеся воспроизводили связи, подражая образцу. Особенно остро стоит вопрос об использовании второго пути обучения по отношению к типовым задачам, поскольку именно в этом случае процесс решения может легко свестись к воспроизведению некоторого шаблона действий.

Из практики обучения можно почерпнуть ряд эффективных приемов обучения детей решению типовых задач путем более или менее самостоятельного установления соотношений, содержащихся в условии задачи.

Система обучения детей рациональным приемам установления связей при решении задач включает в себя следующие моменты: умение читать задачу, умение выполнить рациональную запись условия, при которой подчеркиваются основные соотношения величин, расчленение задачи на «проблемную» и на ту, которая решается сразу с помощью привычного синтеза (если в задаче представлены обе эти части).

На всех ступенях обучения должна быть предусмотрена система упражнений, ориентирующая учащихся при решении задач на всесторонний анализ условия (комплексный и антиципирующий).

Для правильного установления соотношений, содержащихся в условии задачи необходимо, чтобы учащийся очень ясно и наглядно представлял бы себе ту ситуацию,

какая описывается в задаче. Его надо научить пользоваться конкретизацией условия задачи.

В школьной практике также должен найти место (особенно в старших классах начальной школы и в средней школе) прием абстрагирования, когда опускается сюжетная сторона задачи и, тем самым, обнажаются математические соотношения.

Обучение детей анализу данных предполагает, прежде всего, правильное уяснение ими общежитейских и математических терминов, что находит достаточное отражение в методических работах. Однако, в этих работах не уделяется внимания вопросу о количественном составе данного. Следует различать данные двоякого рода: простого и сложного состава. Данное простого состава имеет дело с какой либо одной величиной (например, «15 яблок»). Данное сложного состава предполагает закономерную связь одной величины с другой, или с целым рядом других (например «яблоко и груша вместе стоят 1 р. 20 к.»).

Необходимо обеспечить в задачах постепенное нарастание количественного состава данных и ввести ряд упражнений на анализ и оперирование «составными» данными.

Для успешного самостоятельного решения задач учащиеся должны овладеть умением анализировать зависимости между данными и искомым. Приемы преобразования одной задачи в другие, которыми обогатилась наша школьная практика за последние годы, несомненно способствуют выработке умения у детей анализировать зависимости между данными и искомым. Однако, наряду с этим следовало бы использовать приемы, прямо направленные на раскрытие зависимости. Допустимо» в отдельных случаях временное и произвольное изменение учащимся одного из данных. Эффективен прием постановки вопроса «почему», специально направленный на анализ зависимости.

В настоящее время в школьной практике очень большое место занимает обучение детей формулировке вопросов, предваряющих практическое решение. Спрашивается, оправдано ли такое внимание к этому приему и какова его психолого педагогическая ценность? Нет сомнения в том, что требование учителя ставить вопрос перед решением заставляет учащихся глубже анализировать словесный материал задачи. Как показано в исследова-

нии, значение дифференцирующей функции вопроса особенно ярко выявляется при решении таких задач, где одно данное используется два раза и где оба раза должно быть выполнено одно и то же действие. Точная формулировка вопросов предохраняет от ошибки, которая заключается в том, что не. вычленяется промежуточное действие и вместо двух действий выполняется одно. Однако, нельзя сводить всю работу по обучению решению задач к тому, чтобы приучать детей формулировать вопросы (как это иногда имеет место в практике нашей школы). Правильная формулировка вопроса — это результат, а не средство эффективного обучения. Умение ставить вопросы должно непосредственно вытекать из правильного, всестороннего анализа условия задачи.

Обучение приемам анализа условия задачи должно занять основное место в работе учителя и несколько оттеснить на задний план ту практику решения задач с вопросами, которая иногда приобретает трафаретные формы.

В радикальном пересмотре нуждается господствующий в современной методике метод «анализа» задач (способ рассуждения от вопроса к данным). Этот метод к нам перенесен из опыта дореволюционной методики и до последнего времени он занимает одно из самых почетных мест в арсенале методов обучения решению задач. Однако, из среды учителей раздается немало голосов против этой формы «традиционного анализа». Данные проведенных психологических исследований (серию исследований по этому вопросу провела З. И. Калмыкова) со всей остротой ставят вопрос о том, что эта форма «анализа» не только не является целесообразной, но и приносит вред, мешает развитию умения решать арифметические задачи, является данью традиции, которую необходимо преодолеть.

Этот метод «так называемого» анализа фактически делает невозможным осуществление подлинного, реального анализа задачи, приводящего к ее решению.

Применение метода «аналитического» разбора уместно и полезно только в отношении того ограниченного круга задач, решение которых строится на знании совершенно определенных соотношений между величинами (например, «путь — скорость — время» и т. п.).

Для того, чтобы ниспровергнуть метод, который жи-

вет в школе уже многие десятилетия, необходима организация научно-практических исследований в широком масштабе при самом активном участии учителей.

Индивидуальные различия учащихся в процессе обучения арифметике.

Раскрывая вопрос об индивидуальных различиях детей в процессе обучения арифметике, мы не пошли по пути описания этих различий во всем их многообразии, а поставили своей задачей выявить те свойства мыслительной работы, которые могут быть положены в основу различения учащихся и которые оказывают определяющее влияние на успеваемость в области арифметики.

Исследование одних и тех же учащихся на протяжении 1—2 лет школьного обучения дало возможность выявить следующие свойства их мыслительной деятельности: быстроту усвоения учебного материала, гибкость мыслительных процессов (что обнаруживается в умении перестраивать свою работу в соответствии с изменением условий), характер связи между образными и отвлеченными элементами мышления.

Выделение двух последних свойств имеет непосредственную опору в учении И. П. Павлова о типах нервной системы. Свойство инертности или лабильности основанное на подвижности нервной системы, И. П. Павлов установил не только по отношению к животным, но и к человеку и во втором случае он его толковал не только как свойство нервной ткани, но и как психологическое качество личности. Говоря о различиях между людьми, И. П. Павлов указывал «один теряется при смене условий, а другой в новых условиях действует соответственно тому, что требует от нею соответствующая обстановка»1. Огромное значение при изучении индивидуальных различий у детей имеет положение И. П. Павлова относительно того, что одни люди думают, «не конкретно», связь между первой и второй сигнальной системой у них «довольно рыхлая», в то время как другие имеют тенденцию «за словом видеть реальное впечатление».

Излагая вопрос об индивидуальных различиях, мы остановили свое внимание на тех учащихся, которые являются носителями противоположных качеств и показа-

1 И. П. Павлов, Павловские среды, т. II, 1949, стр. 382—383.

ли, в каких формах обнаруживаются индивидуальные особенности мыслительной деятельности на различных ступенях обучения (от 1 до V класс) и как по разному они сочетаются у различных учеников одного и того же класса.

Проведенные исследования дают возможность внести существенные коррективы в методику дополнительных занятий с неуспевающими по арифметике учащимися. Методика дополнительных занятий с учащимися обычно рассчитана на то, чтобы давать учащимся большое количество упражнений с тем материалом, какой ими плохо усвоен. Однако, этого далеко недостаточно, решающее значение приобретает качество упражнений, их система, рассчитанная не только на то, чтобы закрепить неустойчивые знания и умения, а также и на то, чтобы изменить индивидуальные особенности учеников в процессе усвоения арифметики и при выполнении ими арифметических операций, т. е. выработать у них стремление видеть за словом, выражающим отвлеченное понятие, реальный, конкретный факт, повысить гибкость их мышления, воспитать в них привычку вариировать способы действия при соответствующем изменении условий.

* * *

В данной монографии сделана попытка дать систематическое изложение одного из разделов психологии—психологии обучения арифметике.

Автор при этом руководился стремлением помочь делу поднятия качества преподавания арифметики в нашей советской школе на более высокий уровень.

л 135908 12/XI 1952 г. Объем 2,5 п. л. Зак. 642. Тир. 100 Типография изд-ва АПН РСФСР, Москва, Лобковский пер., 5/16.