АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

На правах рукописи

З. М. МЕХТИЗАДЕ

Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о делимости чисел и операций с дробями

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Москва—1953

Азербайджанский государственный педагогический институт имени В. И. Ленина

Наше исследование мы посвятили анализу основных трудностей, возникающих у учащихся пятых классов при усвоении раздела о делимости чисел и операций с дробями1. Изучение этого вопроса проводилось в школах Азербайджана.

Широко известен тот факт, что раздел о дробях является наиболее трудным для учащихся разделом при изучении ими арифметики. На это указывают результаты проверочных испытаний и выпускных экзаменов.

О трудностях, возникающих перед учащимися при изучении дробей, нередко пишут и авторы методических руководств.

«Учение о дробях, — говорит Е. С. Березанская, — как известно, представляет большие трудности в школьном преподавании в силу тех необходимых абстракций, которые приходится впервые вводить в курс арифметики. В то же время прочное усвоение курса дробей имеет существенное значение для нашей средней школы. Это — основа математического образования, весь последующий курс опирается на знание учащимися дробей»2.

Арифметика занимает важнейшее место в системе общего политехнического образования учащихся.

Для того, чтобы повысить качество усвоения арифметики, и в частности раздела о дробях (систематическое изучение которого начинается в V классе), необходимо выяснить причины затруднений учащихся при оперировании дробями, изучить характер ошибок, выявить те педагогические условия, при которых учащиеся наиболее успешно овладевают этим разделом арифметики.

Изучение процесса усвоения учащимися дробей представляет большой психологический интерес. Изучение дробей сталкивает учащихся с необходимостью тонко расчленять отдельные понятия и требует от них гибкого переключения от одного способа действия к другому. Такое тонкое расчленение, прежде всего, необходимо по отношению к понятиям «числитель» и «знаменатель». Оперирование ими, например, при сложении или вычитании требует совершенно различных способов дей-

1 Мы ограничили свое изучение областью обыкновенных (простых) дробей.

2 Е. С. Березанская. Методика арифметики для учителей средней школы. Учпедгиз, 1947, стр. 168.

ствия. И если числители можно складывать и вычитать, как целые числа, то по отношению к знаменателям выполняется некоторая новая операция. Требуется также тонкое расчленение понятий «правильная» и «неправильная» дробь. Те правила изменения дробного числа, которые усвоили учащиеся на основе изучения правильной дроби, требуют существенного пересмотра применительно к понятию «неправильная дробь».

Усвоение операций с дробями непосредственно основывается на усвоении раздела о делимости чисел.

Усвоение этого раздела имеет свои характерные особенности, которые должны быть раскрыты в исследовании.

При анализе полученного нами материала мы опирались на разработанное великим русским физиологом И. П. Павловым учение о временных связях. «Временная связь, — говорит Павлов в своей статье «Условный рефлекс», — есть универсальнейшее физиологическое явление в животном мире и в нас самих. А вместе с тем оно же и психологическое — то, что психологи называют ассоциацией...»1.

Анализируя процесс усвоения дробей, выявляя те трудности, с которыми встречаются учащиеся при оперировании дробями, мы пытались раскрыть, какие системы ассоциаций образуются у учащихся при изучении ими этого раздела арифметики, как они взаимодействуют с системами ассоциаций, выработанными ранее (при изучении целых чисел).

В литературе по психологии вопрос об усвоении учащимися операций с дробями не получил до сих пор достаточного освещения. Несмотря на то, что проведен целый ряд исследований по психологии обучения арифметике, вопрос об усвоении дробей изучался крайне мало. В монографии Н. А. Менчинской, в которой сделана попытка обобщить весь имеющийся психологический материал по вопросам обучения арифметике, раздел о дробях наименее разработан2. Автор монографии ограничивается тем, что прослеживает (на основе данных исследования) последовательные ступени абстрагирования при овладении учащимся понятием дроби, а затем намечает основные вопросы, требующие специальных исследований. Н. А. Менчинская при этом указывает, что операции с дробями требуют от учащихся наибольшей гибкости или подвижности образованных у них систем связей, поскольку при изучении дробей вступают в силу новые правила, существенно отличные от тех, которые действуют в области целых чисел.

1 И. П. Павлов. Двадцатилетний опыт объективного изучения высшей нервной деятельности (поведения) животных, т. III, кн. 2, стр. 325, 1951

2 Вопрос об усвоении учащимися раздела о делимости чисел совершенно не освещается в работах по психологии обучения арифметике.

Именно на этот специфический момент в операциях с дробями мы обращали прежде всего внимание при постановке исследования. Мы старались выяснить далее, на какой чувственной основе осуществляются операции с дробями, как соотносятся наглядные и отвлеченные компоненты мыслительной деятельности при оперировании дробями, какую роль играют термины в процессе овладения разделами арифметики, касающимися делимости чисел и дробей. Полученные данные относительно процесса усвоения раздела о делимости чисел и операций с дробями мы соотносили с методикой преподавания арифметики в изучаемых нами классах и с качеством учебника арифметики для 5-го года обучения, принятого в наших школах.

I. Методика исследования

Цель, поставленная нами в исследовании, непосредственно определила и его методы. Основное место в исследовании занял метод естественного эксперимента в его индивидуальной форме. В качестве вспомогательного метода были привлечены письменные работы.

Преимущество экспериментального метода по сравнению с другими методами, как известно, заключается в том, что, применяя эксперимент, мы активно вызываем те или иные психические процессы и в соответствии с поставленной задачей варьируем условия, в которых эти процессы осуществляются. В естественном эксперименте мы располагаем тем же самым учебным материалом, с которым имеют дело учащиеся в школе, но тщательно при этом продумываем различные вариации этого материала по степени трудности.

Помимо приема «варьирования задач» большое место в методике нашего исследования занял прием деавтоматизации. Он заключается в следующем.

После того как учащийся автоматизированным способом выполнит то или иное задание, ему предлагают временно отказаться от автоматизированного решения и раскрыть совершаемую операцию во всех ее звеньях.

Индивидуальное исследование учащихся проводилось в течение 1951/52 учебного года. Было исследовано 10 учащихся V класса (из двух разных классов, но обучавшихся у одного учителя) школы № 1 гор. Агдама, Агдамского района, Азербайджанской ССР.

Для исследования подбирались учащиеся с различной успеваемостью в области арифметики: 4 отличника, 4 хорошо успевающих и 2 с посредственной оценкой по арифметике. Исследование проводилось на протяжении 3 месяцев — во

второй половине 3-й четверти и в первой половине 4-й четверти, т. е. в тот период, когда пройден был и раздел о делимости, и полный курс обыкновенных дробей. Исследование каждого ученика производилось многократно. Разработке ряда индивидуальных заданий предшествовало проведение письменных работ. На основе общей ориентировки в характере и степени усвоения интересующих нас разделов арифметики можно было точнее предусмотреть содержание экспериментальных заданий.

Письменные работы были проведены в 1949/50 учебном году в пятых классах школы № 1 и № 199, Джапаридзевского района гор. Баку (одна письменная работа в трех классах, другая — в двух классах). Третья и четвертая письменные работы проводились после индивидуального исследования в 1951/52 учебном году в двух пятых классах средней мужской школы № 1 гор. Агдама. Работы в этих классах писали только те учащиеся, которые подвергались индивидуальному исследованию.

Материалы индивидуального исследования и результаты письменных работ свидетельствуют, что одна из важнейших причин трудности усвоения раздела о дробях в V классе коренится в том, что в предшествующем году обучения не был создан достаточный конкретный фундамент для формирования понятия дроби, не была обеспечена с помощью средств наглядности необходимая чувственная опора для понятия дроби и операций с дробями. Это заставило автора исследования осуществить психолого-педагогический эксперимент в IV классе, который заключался в том, что автор провел 18 уроков, на которых знакомил учащихся с процессом образования дроби, вводил понятия простейших дробей, широко используя наглядный материал, привлекая метрическую систему мер и весов. Опытное обучение сопровождалось наблюдением над процессом усвоения учебного материала учащимися. После опытного обучения были проведены индивидуальные беседы с отдельными учащимися. Всего было опрошено 3 ученика: 1 отличник, 1 — имеющий по арифметике оценку «хорошо», 1 — с посредственной оценкой. Их ответы сравнивались с ответами учащихся V класса (не проходившими через это опытное обучение).

Итак, исследование продолжалось в течение трех учебных лет: 1949—1950, 1950—1951 и 1951—1952. Все школы, в которых мы вели исследовательскую работу, были массовыми, преподаватели арифметики во всех этих школах имели достаточный опыт.

Таким образом, данная диссертация опирается на материалы, собранные в результате 4-х письменных контрольных ра-

бот, и на 132 протокола, полученные нами в результате индивидуальных экспериментов и бесед.

II. Психологический анализ трудностей в усвоении учащимися раздела о делимости чисел

На пятом году обучения учащиеся узнают о новых свойствах целых чисел. Изучая признаки делимости целых чисел, они усваивают понятия о наибольшем общем делителе и о наименьшем общем кратном и изучают их свойства.

Для первоначальной ориентировки в вопросе о том, какие трудности встречают учащиеся при нахождении наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного, была проведена в середине третьей четверти 1949/50 учебного года письменная работа в трех пятых классах. В ней приняли участие два пятых класса из школы № 1 и один пятый класс из школы № 199 гор. Баку. Учащимся были даны составные числа: 1080, 1200, 1500; требовалось найти наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное их.

Из 95 учащихся 43 не могли правильно выполнить поставленную перед ними задачу. Одни ученики сумели правильно выполнить только первую часть операции, т. е. разложение на множители (именно ту часть, которая является общей для обеих операций). Что же касается действий специфических для обеих операций, то они были ошибочны. Ошибка другой части учеников была иной: вместо наибольшего общего делителя, они нашли наименьшее общее кратное и назвали его «наибольшим общим делителем», а вместо наименьшего общего кратного они нашли наибольший общий делитель и назвали его «наименьшим общим кратным».

Для того, чтобы ответить на вопрос о психологической природе этих ошибок, мы обратились к индивидуальному исследованию учащихся.

В марте 1952 г. учащимся были предложены две группы составных чисел: 224, 168, 280 и 1008, 1260, 882, 1132; требовалось найти наибольший общий делитель этих чисел способом разложения на простые множители1.

Девять учащихся из исследованных нами десяти правильно выполнили первый и третий этап, т. е. разложение на множители и перемножение между собой выделенных на втором этапе множителей.

1 Разложение на множители второй группы чисел представляет большую трудность для учащихся (по сравнению с первой), поскольку 3 числа из 4 являются четырехзначными.

Трое учащихся из девяти сделали ошибки на промежуточном, специфическом для данной операции этапе, т. е. при выделении общих для всех чисел множителей.

Заслуживает внимания тот факт, что при овладении двумя сходными операциями учащиеся раньше всего овладевают ими в тех звеньях, которые являются общими для этих двух операций, и с большим трудом усваивают операции в той их части, где требуется применение различных, отдифференцированных друг от друга способов действия. Таким образом, основная трудность сводится здесь к расчленению, дифференциации двух правил, а затем к расчленению, дифференциации двух способов действия.

Если в одном случае — в общих звеньях двух операций — актуализируются или воспроизводятся одни и те же системы ассоциаций, то в другом случае, т. е. в различных звеньях, требуется перестройка ранее образованной системы ассоциаций.

Именно эта перестройка системы ассоциаций и затрудняет учащихся.

Один учащийся (из исследованных 10) не решил оба задания на нахождение наибольшего общего делителя. Своеобразие его ошибочного решения состояло в том, что он нашел наименьшие общие кратные и назвал их наибольшими общими делителями. Эта ошибка уже привлекала наше внимание при анализе письменных работ учащихся V класса; она была достаточно распространенной. Каково происхождение этой ошибки? Несомненно, что основную роль в ее возникновении играет термин «наибольший». Учащийся выделяет из всего словесного комплекса одно слово «наибольший», игнорируя тем самым вторую важнейшую часть этого комплекса — слово «делитель». Слово «наибольший» определяет последующие действия ученика и получаемый им результат. Дело в том, что при нахождении наименьшего общего кратного учащимся приходится подыскивать число большее по сравнению с каждым из данных (или, по крайней мере, равное большему из них), а при нахождении наибольшего общего делителя нужно найти число меньшее по сравнению с каждым из данных (или, по крайней мере, равное меньшему из них).

Такому изолированному выделению слов «наибольшее» или «наименьшее» из всего словесного комплекса не мало способствует тот факт, что термины «делитель» (белэн) и кратное (белунэн) на азербайджанском языке имеют общий корень и различаются только суффиксами. Учащиеся со слабо развитой речью не различают специфического значения этих терминов. Отсутствие дифференциации в речи неразрывно связано с отсутствием дифференциации в мышлении.

Выработка умения находить наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное еще не означает возможность правильного его использования в операциях с дробями. Длительные наблюдения над учащимися в процессе изучения ими дробей показывают, что требуется специальное усилие педагога для того, чтобы довести до понимания учащихся факт тождественности операций нахождения наименьшего общего кратного и нахождения наименьшего общего знаменателя.

В современной методической литературе этому моменту уделяет большое внимание В. Г. Чичигин. Он подчеркивает, что «учащиеся долго не могут усвоить ту мысль, что общий наименьший знаменатель нескольких дробей и наименьшее общее кратное знаменателей тех же дробей — одно и то же»1.

За различными терминами должна усматриваться в этом случае, по существу, одна и та же операция.

Задача включения в операции с дробями процессов нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного становится для учащихся еще более сложной, если оба эти процесса должны осуществляться при решении одного и того же примера.

Учащимся были даны (в индивидуальном порядке), следующие три дроби: 276, 248, 176; требовалось привести их к наименьшему общему знаменателю, причем сокращения произвести полным способом, а наибольший общий делитель членов каждой дроби найти посредством разложения на простые множители.

Выслушав подробную инструкцию и познакомившись с условиями примера, учащиеся долго не могли приступить к решению его. Пришлось каждому учащемуся дать дополнительную инструкцию.

Ошибки, сделанные пятью учащимися, указывают на следующее: необходимость производить при решении примера обе операции восстанавливает преодоленную ранее трудность расчленения этих операций.

В ошибках обнаруживается следующий закономерный факт: при смещении процесса на более низкий уровень (в условиях усложненной задачи) нарушение происходит прежде всего в той фазе процесса, которая представляла для учащихся большую трудность и которой они позднее овладевали. Речь идет именно о той фазе, где осуществляются специфические для каждой из двух операций действия по выделению множителей.

1 В. Г. Чичигин. Методика преподавания арифметики. Учпедгиз, 1952, стр. 69.

Полное усвоение новых понятий — наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного предполагает разнообразное применение их в различных по степени сложности заданиях.

III. Психологический анализ трудностей учащихся при усвоении операций с дробями

В психологической и методической литературе неоднократно отмечались основные трудности при усвоении учащимися операций с дробями. Указывалось, в частности, на то, что целый ряд понятий, правил и способов действий, с которыми знакомятся учащиеся при изучении дробей, вступает в известное противоречие с теми понятиями, правилами и способами действия, которые ими были прочно усвоены при изучении целых чисел. Об этом писала Н. А. Менчинская в своей статье «Почему ребенку трудны дроби?», опубликованной в 1933 г. и в «Очерках психологии обучения арифметике»1. Большое внимание этому моменту уделено в методическом руководстве А. С. Пчелко2.

Задачей нашего исследования было проследить, как отражаются приобретенные учащимися знания и навыки в области целых чисел на оперировании дробями, какие ассоциации оказываются наиболее прочно выработанными, в каких формах проявляется сложное взаимодействие ранее выработанных и вновь образуемых ассоциаций.

Прежде всего мы выяснили, как учащиеся овладели основным свойством дроби, как ими используются различные способы при увеличении или уменьшении величины дроби. При этом вопросы были поставлены и в неопределенной и в определенной форме. В первом случае не упоминалось о том, как надо поступать при увеличении или уменьшении дроби, во втором случае испытуемому ставилось определенное требование: увеличить или уменьшить предложенные дроби в определенное число раз, для чего изменить или числитель, или знаменатель.

Школьникам, участвовавшим в исследовании, было предложено (в индивидуальном порядке) увеличить в 4 раза следующие дроби: 3, 7, 5.

1 Статья Н. А. Менчинской была опубликована в журнале «За политехническую школу», 1933, № 4. Второе издание «Очерков психологии обучения арифметике» вышло в 1950 г.

2 А. С. Пчелко. Методика преподавания арифметики в начальной школе. Учпедгиз, 1949.

Поскольку вопрос был поставлен в неопределенной форме, учащиеся могли выбрать одно из двух решений: или увеличить числитель, или уменьшить знаменатель.

Семь учащихся из десяти избрали первый способ решения — увеличили числитель в 4 раза. Они уклонились от второго способа решения, требующего уменьшения знаменателя в 4 раза. Предпочтение первого способа не случайно. В этом случае словесной формулировке задания («увеличить») соответствует (с точки зрения учеников) выполняемое действие умножения, тогда как во втором способе словесной формулировке задания («увеличить») выполняемое действие деления (с их точки зрения) не соответствует1.

Трое учащихся не сумели правильно применить ни один из способов решения. Они воспроизвели ассоциации, ранее упрочившиеся при изучении целых чисел. Для них дробь фактически представляла собой два целых числа. Эти ученики увеличили и числитель и знаменатель в 4 раза, тем самым они не увеличили данные дроби, а изменили только их вид.

Второй вопрос был поставлен перед учащимися в определенной форме. Были даны следующие три дроби: 5, 4 9, и предлагалось увеличить их в 3 раза путем изменения знаменателей. В данном случае учащиеся уже не могли выбирать какое-либо из двух решений, а должны были воспользоваться вторым, более трудным способом увеличения дроби.

Так и поступили 3 учащихся из десяти. Семеро учащихся не сумели правильно применить второй способ, несмотря на то, что в инструкции прямо предлагалось увеличить данные дроби путем изменения знаменателей. Различные полученные от учащихся ошибочные ответы свидетельствуют о том, что одно и то же задание, выраженное в словесной форме, по разному воздействует на учащихся в зависимости от того фонда ассоциаций, которым они владеют.

В случае правильного решения «сигнальную» функцию выполняет все задание в целом. В случаях ошибочного решения учащийся реагирует на отдельные, наиболее привычные элементы этой инструкции, причем важнейший элемент задания оказывается незамеченным, а именно, что в задании речь идет об увеличении «дроби».

1 Формирование понятия об умножении, как об увеличении, и о делении, как об уменьшении, не является правомерным и при изучении целых чисел. В методической и психологической литературе имеются указания на это. Однако в практику школьного обучения эти указания широко не проникают.

Отрицательное воздействие ассоциаций, выработанных при изучении целых чисел, сильно дает себя знать при нахождении дроби данного числа и неизвестного числа по данной величине дроби.

Десяти ученикам V класса было предложено три задания на нахождение дроби данного числа. При решении задачи: «80 кг сахара распределили между несколькими людьми, причем каждый из них получил 2/8 части всего сахара. Сколько килограммов получил каждый человек?» — шесть учащихся из десяти правильно применили правило нахождения части данного числа — 80 умножили на 2/8. Остальные ученики ошибочно воспроизвели привычную ассоциацию, ранее выработанную при изучении целых чисел. Вместо того, чтобы умножить 80 на 2/8, они разделили 80 на 2/8 (как это делается при нахождении одной части целого числа).

Аналогичные ошибки допускались и при нахождении неизвестного числа по данной величине его части. Отдельные учащиеся в этом случае вместо того, чтобы разделить число, соответствующее части неизвестного целого, на дробь, показывающую, какую часть целого составляет данное число-, перемножали их, или применяли действие деления, но делимым брали первое (по порядку) число, т. е. дробь, показывающую какую часть целого составляет данное число. Эта ошибка — не случайна, она опять-таки свидетельствует о силе выработанных при изучении целых чисел ассоциаций. В задачах на деление целых чисел делимое чаще всего стоит первым по порядку.

Изучение ошибок учащихся как в процессе индивидуального опыта, так и в письменных работах показало, что нет достаточной связи между нахождением дроби от данного числа и умножением на дробь, а также между нахождением неизвестного числа по его дроби и делением на дробь. Нередки случаи, когда ученики при нахождении дроби от данного числа ошибочно применяет деление вместо умножения и наоборот.

Эти ошибки свидетельствуют о том, что учащиеся не осознают нахождение части от числа и умножение как одну и ту же операцию; они, в равной мере, не осознают как одну и ту же операцию нахождение числа по части и деление. Различные термины скрывают от них тождество содержания обозначаемых этими терминами понятий.

Данные нашего исследования выявили, что в разделе арифметики, относящемся к дробям, можно ясно обнаружить два типа операций. Для выполнения одних (например, увеличения или уменьшения дроби в несколько раз) необходимо полное соотнесение слова с представлением и восприятием, для вы-

полнения других (например, деления целого числа на дробь или дроби на дробь) это условие не является обязательным. Обнаружено также, что одни учащиеся успешно выполняли операции обоих типов, в то время как другие ученики могли справиться только с выполнением операций второго типа. Для последних было характерно то, что они правильно выражали в словах выполняемые ими операции, но не могли сформулировать, почему они действуют так, а не иначе, т. е. обосновать свои действия.

Факт возможного расхождения между «теоретическим» и «действенным» планом решения в учебной работе школьника неоднократно отмечался в психологической литературе.

П. А. Шеварев в своей статье «Процессы мышления в учебной работе школьника», опубликованной в 1946 г.,1 указал на то, что педагогически единое задание может распадаться для учащихся на две психологически разных задачи — задачу выполнения определенных операций и задачу их обоснования. П. А. Шеварев показал, что это расхождение имеет место в различных видах учебной работы школьника.

Н. А. Менчинская в своих исследованиях обнаружила изменение соотношения между выполнением и обоснованием при решении арифметических задач, которое осуществляется в ходе обучения2. По мере овладения учебным материалом учащиеся приобретают умение обосновывать свои действия, происходит сближение двух задач — задачи выполнения и задачи обоснования.

Как показало наше исследование, на V году обучения, при переходе к новому, трудному для учащихся материалу — к разделу о дробях, вновь появляется преодоленная ранее (на арифметическом материале) особенность мыслительной деятельности учащихся, заключающаяся в расхождении между выполнением операций и обоснованием их. Это расхождение при оперировании дробями приобретает, как показали наши данные, очень резкие и крайне нежелательные формы.

Как показали данные исследования учащихся IV классов (проходивших опытное обучение), умение обосновать свой ответ непосредственно связано с наличием у школьников наглядных представлений о дробях, с ясным пониманием их конкретного происхождения.

Наличие достаточной чувственной основы при формировании понятия дроби оказывает положительное влияние на усвоение соответствующих терминов и определений из раздела

1 П. А. Шеварев. Процессы мышления учебной работе школьника. Журнал «Сов. педагогика», 1946, № 3.

2 Н, А, Менчинская. Интеллектуальная деятельность при решении арифметических задач. Изв, АПН РСФСР, вып. 3, 1946.

дробей. Однако возможны и такие случаи, когда термины и определения усвоены, а подлинного знания нет.

Овладение дробями (требующее более высокого уровня абстрагирования, чем овладение целыми числами) может быть достигнуто только на базе восприятий и представлений, при условии непосредственного оперирования предметами реальной действительности Там, где эта база создана, приобретается умение оперировать дробями, там, где ее нет или она недостаточна, создается пустая видимость знания, открывается широкий простор для ошибок. Словесные знания, которыми оперирует в этом случае учащийся, в значительной мере оторваны от действительности. В основе этих знаний лежат, повидимому, связи второй сигнальной системы, которые, однако, в этих случаях слабо соотносятся со связями первой сигнальной системы.

Согласно марксистско-ленинской теории познания, отвлеченные понятия заимствуются из действительного мира, они отражают реальные соотношения вещей.

В. И. Ленин нас учит: «...Число и протяжение, несмотря на их отвлеченность, вытекают из природы реального, потому, что реальность есть множественность и протяжение и потому что отношение между вещами суть реальные отношения, вытекающие из природы вещей...»1.

Несмотря на то, что ученики к пятому году обучения прошли уже весь курс арифметики целых чисел и у них сформировалось отвлеченное понятие о целом числе, при переходе к дробям они вновь нуждаются в том, чтобы на своем собственном опыте выявить чувственное происхождение новых для них математических понятий.

Мышление учащихся, которое стало абстрактным (при оперировании арифметикой целых чисел), вновь становится конкретным при переходе к арифметике дробей.

Было бы неправильно считать, что конкретное мышление исключает участие слова. Как мы пытались показать в нашей работе, на всех этапах овладения дробями мыслительная деятельность учащихся выражается в слове. Но само слово изменяется: сначала оно неразрывно связано с восприятием и наглядным представлением, затем оно приобретает более обобщающий и отвлеченный характер. В словах раньше начинают описываться выполняемые действия, и только затем дается их словесное обоснование. «Реальность мысли проявляется в языке»2, — учит нас И. В. Сталин.

1 В. И. Ленин. Философские тетради. Госполитиздат, 1947, стр. 348;

2 И. В. Сталин. Марксизм и вопросы языкознания. Госполитиздат, 1951, стр. 39.

IV. Причины трудности усвоения учащимися раздела о делимости чисел и операций с дробями и пути их преодоления

Те трудности в усвоении арифметики, которые мы обнаружили у учащихся на пятом году обучения, носят закономерный характер. Они возникают в силу определенных закономерных особенностей мышления учащихся, обнаруживаемых при усвоении нового, более трудного учебного материала. Закономерны, прежде всего, три особенности мыслительной деятельности в ходе усвоения:

1. При овладении учащимися более сложным и более абстрактным материалом, их мышление снова нуждается в чувственной опоре, т. е. в опоре на восприятия и представления.

2. В процессе усвоения учебного материала совершается переход от менее точного знания к более точному, причем слово играет в этом процессе уточнения, расчленения знаний решающую роль.

3. При образовании в ходе обучения систем ассоциаций происходит взаимодействие ранее приобретенных ассоциаций с более новыми. Одни системы ассоциаций оказывают положительное влияние на образование новых, другие задерживают образование новых систем.

Учет этих закономерных особенностей мышления при организации педагогического процесса дает возможность предупредить возникновение трудностей усвоения или быстро преодолеть их, если они уже возникли.

Те ошибки, которые мы наблюдали при изучении учащимися делимости чисел и дробей, целиком определяются недостатками в методике преподавания, не учитывающей закономерные особенности мышления учащихся в ходе усвоения.

Основным источником недостатков в методике преподавания является то, что она разрабатывается на основе устаревшего учебника арифметики А. П. Киселева1, до сих пор используемого в наших школах.

При изучении учащимися способов нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного от них требуется, как мы показали, тонкое расчленение двух процессов выделения множителей. Это уже само по себе представляет известную трудность. Вместо того, чтобы облегчить ее, автор учебника перегружает этот раздел большим количеством абстрактно сформулированных положений.

При построении педагогического процесса необходимо освободить учеников от усвоения излишних общих положений и об-

1 А. П. Киселев. Арифметика. Учебник для 5 и б классов семилетней и средней школы. Проработка проф. А. Я. Хинчина. Учпедгиз, 1951.

ратить основное внимание на формирование у них расчлененных понятий наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного и закрепление расчлененных способов их нахождения. Следует при этом иметь в виду, что у учащихся может возникнуть противоречие между терминами «наибольший общий делитель» и «наименьшее общее кратное» и знаниями о процессе выполнения этих операций (как это мы показали во II главе работы), отсюда необходимо конкретно разъяснить (на примерах) соответствие термина самой сущности выполняемой операции.

Для учащихся азербайджанских школ следовало бы произвести определенные терминологические изменения. Термин «эн кичик ортаг болунэн» (наименьшее общее делимое) было бы целесообразно изменить следующим образом: слово «болунэн» (делимое) заменить словом «мисл» (кратное) и употреблять данный термин в следующем виде — «эн кичик ортаг мисл». Такое сочетание слов вполне соответствует русскому термину — «наименьшее общее кратное». Использование слова «мисл» имеет преимущество в том отношении, что оно не имеет звукового сходства со словом «болэн» (делитель), входящим в определение наибольшего общего делителя. Расчленение терминов будет способствовать и расчленению понятий.

Основная причина трудностей в усвоении дробей коренится в недооценке роли наглядности при изучении дробей, в недостаточной конкретизации этого раздела арифметики. В учебнике дан только один чертеж, который никак не может отвечать требованиям наглядного усвоения дробей на первоначальном этапе.

Вводя в учебник соответствующие рисунки и чертежи, необходимо обратить особое внимание на конкретное раскрытие функции знаменателя дроби, на показ того, что между величиной дроби и знаменателем имеется обратная пропорциональная зависимость.

Только достаточно богатая конкретизация понятия дроби и операций с дробными числами может привести к формированию абстрактного понятия и сделать возможным выполнение отвлеченных операций с дробями (при полном снятии наглядности).

Лишь при этих условиях возможна выработка систем ассоциаций, действующих в соответствии с новой задачей. При правильном использовании наглядности можно будет предохранить учащихся от того явления, которое встречается еще очень часто и состоит в том, что выделяются в условии задачи только те элементы, которые вызывают цепь привичных ассоциаций, образованных при изучении целых чисел.

Наряду с расчленением и конкретизацией должны идти при изучении дробей процессы объединения и абстрагирования. В частности, необходимо большее внимание уделить объединению операций нахождения части данного числа и умножения на дробь, а также нахождения числа по части и деления на дробь. Опять-таки здесь выступает во всем значении работа над терминами и, в частности, над выработкой у учащихся понимания того, что одни и те же явления могут быть выражены различными словами.

Необходимо, наконец, значительно усилить требования к учащимся в отношении обоснования ими выполняемых операций с дробными числами, увеличить количество задач не с прямой, а с косвенной постановкой вопроса.

Задача осуществления всеобщего обязательного семилетнего образования в нашей стране, поставленная XIX съездом партии, ко многому обязывает работников просвещения. «Борьба за проведение в жизнь всеобщего семилетнего обучения неразрывно связана с задачей повышения качества учебно-воспитательной работы в каждой школе», — говорится в передовой газеты «Правда» от 15 октября 1953 г.

Мы надеемся, что наша работа, посвященная психологическому анализу трудностей в усвоении учащимися арифметики в пятом классе и путей их преодоления, поможет, хотя бы в скромной доле, решению этой неотложной задачи.

Л 191038 2/Х1-53 г. Филиал тип. «Коммуна Труда». 1126—100 Объем 1 л