АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

Научно-исследовательский институт психологии

На правах рукописи

Г. А. МЕДЕЛЯН

Психологический анализ ошибок при решении арифметических задач учащимися V—VI классов (на материале задач на нахождение дроби числа и числа по данной величине его дроби).

Автореферат на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по психологии)

Ош — 1953 год

1. Постановка пробелмы и методы исследования

Советская школа имеет значительные достижения в деле повышения математической грамотности учащихся. Однако эти достижения не должны заслонять собой ещё имеющиеся в ряде школ факты низкой успеваемости по математике Эти факты становятся особенно нетерпимыми сейчас, когда поставлена задача дальнейшего подъёма культурного уровня нашего народа, когда советская школа приступила к осуществлению политехнического обучения.

В педагогической науке проблема достижения высокой успеваемости является еще недостаточно разработанной. Из практики работы школы известно, что одни математические знания усваиваются учащимися легко, усвоение же других связано с большими трудностями.

В курсе арифметики, изучаемом в V—VI классе, большое место занимает нахождение части данного числа (дроби его) и нахождение числа по данной величине его части (или по дроби), а также соответствующие задачи на проценты (нахождение процентов данного числа и нахождение числа по данным его процентам), являющиеся фактически разновидностями указанных выше задач. Часть от числа находится умножением на правильную дробь, а число по части делением на правильную дробь. Изучение умножения и деления на дробь, как указывается в Методическом письме Управления школ Министерства Просвещения РСФСР, „вызывает особенные трудности у учащихся, так как при умножении и делении на дробь расширяется содержание арифметических действий, они приобретают новый смысл“1)

Применение же этих действий к решению указанных выше задач, несомненно, вызывает ещё большие трудности.

Вопрос о путях изучения этого материала неоднократно обсуждался в педагогической печати, но до сих пор среди методистов нет единого мнения по этому вопросу.

Таким образом, данный раздел программы очень важен, усвоение его для учащихся (представляет значительные трудности, еще не найдены более эффективные приемы обучения, с помощью которых могут быть облегчены, а может быть и сняты эти трудности. Психология обучения, изучающая закономерности протекания психических процессов в конкретной учебной деятельности, может оказать здесь значительную помощь. Вот почему данное

1) „О преподавании математики в V—X классах“ Методическое письмо Упр. школ Мин. Просв. РСФСР, Учпедгиз, 1952, сгр. 21.

исследование было построено на материале решения задач на нахождение числа по его части, части от числа и на проценты (представляющие разновидности этих видов задач).

В ряде работ сотрудников лаборатории психологии обучения Института психологии АПН на различном учебном материале выявлено существование некоторых общих закономерностей усвоения.1)

Остановимся на некоторых из этих закономерностей.

Установлено, что процесс познания идёт от недифференцированно-общего усвоении учебного материала к его тончайшей дифференциации, причём сначала происходит дифференциация контрастного материала, и лишь затем всё более близкого, сходного. Для того, чтобы этот процесс протекал нормально, необходим соответствующий подбор \чебного материала, необходимо сопоставление все более и более сходного материала, выделение в нём как общих, так и отличных, дифференцирующих признаков.

Установлено также, что уровень абстрагирования определяется широтою конкретизации Необходимым условием перехода к обобщению в учебном процессе является варьирование исходного наглядного материала. Следует соблюдать постепенность в переходе от конкретного к абстрактному При этом должны быть выражены в слове как его существенные, так и несущественные признаки,

В этих же исследованиях установлено, что несоблюдение требований закономерностей усвоения ведет к образованию ошибочных понятий, к оперированию словами, слабо соотносящимися с реальной действительностью, к трудности перехода от одной системы знаний к другой, к формированию косных, формальных знаний

Представляет интерес проследить, как в практике работы школ реализуются требования закономерностей усвоения, какие при этом бывают отклонения от требований и к каким последствиям они приводят. О закономерности легче судить, анализируя ошибки, так как сама закономерность лучше даёт знать о своем существовании при всяких отклонениях от её требований. Поэтому темой нашего исследования взят психологический анализ ошибок при усвоении знаний. Поскольку обучение, по воззрениям И. П. ПАВЛОВА, представляет собой образование сложных систем временных связей, то, изучая ошибку, мы имеем возможность выявить, какие отклонения от требований закономерности приводят к образованию связей, неадэкватно отражающих объективно существующие зависимости [к ошибке], какое влияние оказывают ранее

1) Сборник „Психология усвоения знаний“ (принят в печать) под редакцией Н. А. Менчинской Статья Н. Л. Менчинской, А. И. Липкиной, Е. П. Гопфенгауз, А. H Боголюбова, 3. И. Калмыковой, В. И. Зыковой, Е. И. Кабановой Меллер, Е М. Кудрявцевой; тезисы И. А. Менчинской на психологическом совещании „Взаимодействие слова и образа в процессе обучения“.

выработанные связи на вновь вырабатываемые, как они взаимодействуют друг с другом.

Мы ставим своей задачей на основе психологического анализа ошибок при решении учащимися V-VI класса задач на проценты и дроби выявить особенности проявления ряда закономерностей усвоения в данной конкретной деятельности, выявить условия, ведущие к ошибке, что должно помочь в определении более эффективных путей обучения

В соответствии с целями исследования были избраны и его методы. Прежде всего мы обратились к методу объективного наблюдения. Наблюдение велось на уроках арифметики (при прохождении интересующих нас разделов программы), у разных учителей, в различных школах. Ебо целью было выявить, в какой мере на уроках при изучении данного раздела соблюдаются требования психологических закономерностей, какие требования чаще всего нарушаются и каковы возникающие вследствие этого наиболее характерные ошибки. Наблюдения проводились с 1949 по 1953 год в школах № 2 и № 13 гор. Фрунзе, № 1 гор Ош, № 9 гор. Мытищ; всего посещено 95 уроков 6 учителей.

С целью проверки степени распространения выделенных в процессе наблюдения ошибок мы обратились к анализу контрольных письменных работ учащихся указанных выше школ. Всего было проанализировано свыше 1000 работ.

На основе наблюдения и анализа контрольных письменных работ нами были выявлены те задачи, в решении которых учащиеся чаще всего допускали ошибки В целях более глубокого анализа этих ошибок был проведен индивидуальный констатирующий эксперимент. Мы предлагали для решения задачи на проценты и дроби, аналогичные тем, при решении которых чаще всего возникали ошибки. Перед решением задач мы выявляли, в какой мере учащиеся владеют понятием дроби, умеют выполнять преобразования дробей, с тем, чтобы проследить, в какой зависимости находится решение текстовых задач от уровня понимания дроби. Испытуемыми были 16 учеников пятых и 4 ученика шестых классов Мытищинской школы № 9. По успеваемости они распределялись следующим образом: 4 ученика с оценкой 2, II -с оценкой 3 и 5— с оценкой 4. Собрано 420 решений.

В дополнение к констатирующему эксперименту был проведен обучающий эксперемент Мы обучали группу учащихся нахождению числа по его части и части от числа до прохождения этих разделов в школе Мы пытались создать наиболее благоприятные условия обучения и прослеживали, как в этих условиях протекает процесс решения данного типа задач. Обучение велось индивидуально. С каждым испытуемым решено по 20 задач; получено 320 решений; через обучающий эксперимент проведено 16 человек.

II. Психологические особенности решения задач на дроби и проценты

Умение решать задачи рассматриваемой категории в значительной, мере определяются тем, какие понятия дроби и процента предварительно выработаны у учащихся. Усвоение же понятий дроби и процента, как указывалось выше, для многих учащихся связано: с большими трудностями. Эти трудности в отношении дробей заключаются в том, что ученику надо одновременно осмыслить количество долей [числитель], величину их [знаменатель] и осознать их отношение [числителя к знаменателю]. Оперируя дробями, ученику приходится одновременно пользоваться правилами, которые распространяются на целые числа и противоположными им Так, например, при сложении дробей числители складываются, а знаменатели нет; с увеличением числителя [при том же знаменателе] дробь увеличивается, а с увеличением знаменателя [при том же числителе] дробь уменьшается и наоборот; величина дроби не зависит от абсолютной величины числителя и знаменателя. Все это противоречит прошлому опыту ученика, а поэтому и усваивается с трудом. Формирование понятия дроби связано с отвлечением от ряда признаков, которые входили в понятие целого числа как существенные, и с выделением тех зависимостей, которые существуют между числителем и знаменателем [выделение отношений].

Трудности, связанные с усвоением понятия „процент“, выражаются в том, что ученику необходимо осмыслить целое или дробное число со специальным значком [проц]—как дробь со знаменателем 100. При решении задачи на проценты требуется предварительно выполнить дополнительную операцию перевода процентов в десятичные дроби. Кроме того, при формировании понятия „процент“ трудно опереться на жизненный опыт ученика, так как до изучения процентов ученики практически этим понятием не пользуются. Таким образом, усвоение понятий дроби и процента представляет для ученика новую сложную задачу.

Особенно значительные трудности возникают при решении текстовых задач на нахождение части от числа и числа по данной величине его части. Эти задачи, в отличие от задач, решаемых до изучения дробей, обладают некоторыми своими специфическими особенностями Так, если до изучения дробей одно арифметическое действие всегда соответствовало одной арифметической операции [сложить, вычесть, умножить, разделить], то теперь, при решении рассматриваемых задач, одно арифметическое действие выполняется с помощью двух операций [приумножении и делении на дробь].

Кроме того, в начальной школе число по данной одной какой-нибудь части его находится умножением, а часть данного числа находится делением. В V же классе при изучении дробей происходит расширение понятий „умножить“ и „разделить“; теперь часть от числа находится не делением, а умножением, число же по известной его части не умножением, а делением Следовательно, для решения тех же простых задач надо, выполнять действия, обратные, тем, которые выполнялись раньше.

Помимо всего этого для учеников до изучения дробей, умножение было равнозначно увеличению, а деление—уменьшению;1) при умножении же на правильную дробь число не увеличивается, а уменьшается, а при делении не уменьшается, а увеличивается. Всё это противоречит прошлому опыту учащихся2).

Задачи рассматриваемой категории решаются по формулам, которые, как известно, представляют собой сжатое выражение зависимостей, существующих между данными и искомым. Чтобы усвоить формулу решения данных задач, требуется отвлечься от целого ряда несущественных признаков, причём некоторые из этих признаков являются постоянно повторяющимися, что значительно усложняет процесс абстрагирования.

Решение, задач рассматриваемой категории требует в силу указанных выше особенностей более высокого уровня аналитико-синтетической деятельности.

III. Пути изучения задач рассматриваемой категории в школе

Проводя наблюдения за процессом обучения в школе, мы установили, что требования закономерностей усвоения не всегда соблюдаются.

На многих посещённых нами уроках, на. которых объяснялось нахождение части от числа и числа по его части, не применялась наглядность, хотя изучаемый материал позволял использовать, например, графические иллюстрации. Таким образом, в процессе изучения рассматриваемого материала не было соблюдено, одно из требований закономерностей усвоения, заключающееся в том, что для усвоения требуется известное многообразие наглядного опыта. Кроме того, нередко отступали и от требования соб-

1) Хотя в методичекой и психологической литературе имеются указания на то, что не следует и при оперировании целыми числами формулировать понятие об умножении как об увеличении и о делении, как уменьшении (обратив внимание на случаи умножения и деления на единицу, на нуль), в школьной практике эти указания не находят широкого применения.

2) Особенности усвоения данных операций с дробями освещены Н. А. Менчинской в её статье „Почему ребенку трудны дроби“ и в „Очерках психологии обучения арифметике“.

людать постепенность в переходе от конкретного к абстрактному. Выразилось оно в том, что при обучении нахождению числа по части, а также числа по процентам, вывод правила делался не из решения текстовой задачи, а из решения отвлеченных числовых примеров. К тому же до изучения умножения и деления на правильную дробь подчас не повторялись задачи на нахождение части от числа и числа по части, которые решались в четвёртом классе двумя действиями, т. е. не устанавливались связи с прошлым опытом.

На этих же уроках было допущено существенное отступление от требования последовательного перехода от недифференцированно-общего усвоения к дифференцированному. В процессе обучения не делалось сопоставления задач на нахождение части от числа с задачами на нахождение числа по его части; процента от числа и числа по процентам; не сопоставлялись и близкие по своей сущности задачи на проценты и дроби.

Кроме того, от учеников обычно мало требовалось обоснования выполняемых ими при оперировании дробями действий (“почему надо делить на знаменатель, почему умножать на числитель и т. д ), что создавало предпосылки для расхождения между выполнением определенных операций и их обоснованием.1)

IV. Основные категории ошибок при решении задач на дроби и проценты

I. Ошибки как результат слабой дифференциации систем связей

Как указывалось выше, в педагогическом процессе не были в достаточной мере соблюдены требования ряда психологических закономерностей В частности, не был обеспечен правильный подбор учебного материала (от контрастного к сходному), не проводилось регулярно развернутое сопоставление сходного, выделение в нем отличного, необходимые для правильного перехода от недифференцированно-общего усвоения знания к его дифференциации. В результате учащиеся, особенно слабо успевающие по арифметике, задерживались на более низком уровне недифференцированно общего усвоения, в то время, как новый, более сложный материал требовал значительно более тонкой дифференциации. Такие учащиеся в новых, усложненных условиях действовали более элементарными, привычными приемами, обеспечивающими им в прошлом опыте успех в решении; в новых же условиях эти приёмы вели к ошибкам. Эту категорию ошибок мы условно называем

1) О расхождении между выполнением определенных операций и их обоснованием см. в работах П. А. Шеварёва, H А. Менчинской.

ошибками слабой дифференциации. Конкретное выражение этих ошибок может быть различным

Они могут проявиться, например, в перенесении формулы решения примеров и простых задач (на дроби; на. решение более сложных задач. Дана, например, задача.

Найти число, если 1.5 проц. его равны 3 25. Чтобы её решить, необходимо заданную часть числа 13 25) разделить на число процентов, чем определить 1 проц искомого числа, и затем для определения всего числа умножить на *00, те 3 . »00

Решая эту и аналогичные им задачи, целый ряд учащихся либо множил известное число процентов на 100 и делил на известную часть числа; либо делили на 100, а множили на известную часть числа, т. е. 1.5 . 100 ; 1 5 . 3[25 ; при этом в их решениях всегда в числителе было 2 числа, а в знаменателе—одно. Происхождение ошибок этого рода может быть объяснено следующим образом

В школьной практике после объяснения правила нахождения дроби числа и числа по его дроби для выработки соответствующего навыка обычно даётся большое количество числовых примеров, а затем и текстовых задач, решаемых одним действием. В этих задачах и примерах всегда имеется только 2 данных: целое и дробь. Решаются они по следующим формулам: а . н ф ^ а н (нахождение дроби числа) и а : н = а м (нахождение числа по данной величине его дроби). Для обоих формул характерно наличие двух данных в числителе и одного -в знаменателе. Эти формулы, оправдавшие себя при решении более простых примеров и задач, учащиеся пытаются применить в новых более сложных условиях, что и приводит к ошибке. Следует при этом отметить, что, сочетая данные (два в числителе и одно в знаменателе), учащиеся не вникают обычно в реальный смысл совершаемых операций и потому сами нередко не могут обнаружить ошибки.

Ошибки, как результат слабой дифференциации очень часто появляются при переходе от решения числовых примеров и простых задач к решению составных текстовых задач. Для решения числовых примеров и простых задач рассматриваемой категории необходимо вычленять из условия и соотносить между собой только 2 данных (целое и дробь). Приступая затем к решению

составных задач, ученики обычно пытаются и их решать так же, как числовые примеры, т. е. одним действием и допускают ошибки Такие ошибки были обнаружены при наблюдении за самостоятельным решением учащимися задач в классе, а также при анализе контрольных работ

Привычное вычленение строго определенных комплексов задачи [заданное целое и дробь] приводит также к тому, что искажается и сам процесс восприятия её В наших наблюдениях и экспериментах учащиеся после первого чтения воспроизводили условие адэкватное не предъявленной задаче, а той, в решении которой они имели опыт В отдельных случаях не помогали и указания экспериментатора на то, что в воспроизведении допущена ошибка. Испытуемый и после второго чтения условия воспроизводил его в соответствии со своим опытом, т. е. трансформировал новую задачу в привычную.

Ошибки восприятия, заключающиеся в уподоблении воспринимаемой задачи привычной, были установлены и в ряде других исследований на более элементарном арифметическом материале [исследования Н. А. Менчинской и И. М. Соловьёва].

На новом уровне усвоения, при работе над более сложным материалом, как показали наши исследования, эти ошибки возникают вновь.

Недифференцированно-общее восприятие условия проявляется подчас в выборе нерационального пути решения. Так, например, задачу: Найти 15 числа, 35 которого равны 27 - рациональнее всего решить одним действием, 27 : 3 = 9. Многие учащиеся не выделяют специфики этой задачи [даны 3,5, надо найти 1|5], они выделяют лишь общее с решаемыми ими ранее задачами [найти часть числа], и на основе такого недифференцированного восприятия условия задачи избирают привычный им способ действия [27 : 3|5 = 45; 4&. 1|5=^9]. Аналогичные ошибки отмечены и при решении задач на проценты

В описанных выше случаях учащиеся неправомерно переносили закономерности с ранее усвоенного ими материала на новый. В других случаях этот перенос осуществлялся в обратном направлении—с нового на старое.

Так, например, ученик, усвоив правила нахождения части “о г числа и числа по его части, переносил эти правила и на те случаи, где они неприменимы. В задаче сказано, что 72J составляет 1 1]4 часть числа. Для определения, сколько приходится на Г часть, многие из наших испытуемых умножали 720 на 1|4 [вместо деления], заявляя при этом, что они находят часть от числа. Если же известно было, что 180 приходится на 1 часть, и требовалось узнать число, равное 3 таким частям, то некоторые испытуемые делили 180 на 3 [вместо умножения], заявляя, что они находят

число по известной его части. Такие ошибки допускались при решении составных текстовых задач,

В каждой из рассматриваемых простых задач общим с задачами на нахождение части от числа и числа по части является то, что в них дано целое и часть. Наличие этих данных и отсутствие достаточного разграничения понятий и создало условия для актуализации связей, неадэкватных предъявленной задаче. Этому же способствовало то обстоятельство, что задачи на нахождение части от числа и числа по части были последними в опыте учащихся.1)

В процессе решения задач иногда создается такая ситуация, когда одновременно актуализируются обе системы связей; выработанная ранее и вновь вырабатываемая Так, одна из наших испытуемых при решении задачи, в которой надо было находить 3^8 части от 8 рублей, заявляла, что надо 8 разделить на 3:8 действием умножения При этом она правильно записывала и производила умножение 8 на 38. Такие же рассуждения она проводила и при решении двух других задач, в одной из которых надо было найти 1IJ20 от 440, а в другой 1/20 от 32 >. Причём на вопрос экспериментатора, каким действием находится часть от числа, испытуемая отвечала правильно Подобные же ошибки зафиксированы ещё у трёх испытуемых.1)

Природа этой категории ошибок та же, что и рассмотренных выше, т. е они являются результатом слабой дифференциации знаний На начальном этапе усвоения знаний [в данном случае при нахождении части от числа и числа по части] для ученика уменьшение числа в несколько раз еще равнозначно делению, а увеличение—умножению, но в то же время он в какой-то мере усвоил, что часть от числа находится умножением, а число по части делением. Создается такая ситуация, при которой предыдущий опыт ученика незаметно для него самого вклинивается в процесс его решения, и это механическое соединение нового со старым проявляется в рассуждениях, подобных приводимым выше.

„Мы вначале с большим трудом, —пишет И. П. Павлов, -различаем сходные предметы и постоянно смешиваем их. Точно так же при изучении какой-нибудь новой науки мы сначала путаем понятия Это и есть субъективное выражение объективного факта различия раздражений, закона иррадиации“.2) Можно с полным правом предположить, что образование недифференциро-

1) Исследуя интеллектуальную деятельность учащихся при решении арифметических задач, H А Менчинская установила, что способ решения, которым пользуется ученик в близком ко времени опыте, имеет тенденцию всплывать при решении последующих задач. Таким образом, данные H. А Менчинской, усгановленные на материале решения задач учащимися начальной школы, вполне подтвердились и в наших экспериментах на решении задач учащимися 5-х классов.

2) И. П. ПАВЛОВ, Лекции по физиологии, изд. АН СССР, 1952 г, стр. 451.

ванно-общих систем связей, воспроизведение которых приводит к перенесению закономерностей, установленных для одной области знаний, на другую, не подчиняющуюся этим закономерностям, является, с физиологической точки зрения, результатом действия закона иррадиации нервных процессов.

Благодаря тому, что в условиях обучения недостаточное внимание было уделено процессам дифференциации, формируемые у учащихся системы связей приобретают известную косность —изменяются условия, а ответы на них остаются прежними. Такие стереотипные ответы на изменившиеся условия И. П. Павлов назвал „шаблонным мышлением“. Отмечая большую роль динамического стереотипа для приспособления животного к постоянным условиям жизни, он в то же время подчеркивал, что при некоторых условиях этот установившийся шаблон „...может делать нервную деятельность несоответствующей действительности“ Одновременно с этим И П. Павлов отмечал, что выработанный стереотип может измениться, если изменяются воздействия, и что тогда вся система реакций может придти в соответствие с новыми условиями.

В обучающем эксперименте мы пытались создать оптимальные условия для создания более гибких систем связей, формирующихся на основе более тонкой дифференциации. Большое внимание было обращено на подбор задач [от контрастных к более близким], на сравнение решаемых задач и их вариантов—выделение в них общего и особенного, отличного. В контрольной группе решались те же задачи, но в несколько ином порядке и без такого систематического сопоставления В результате в экспериментальной группе на 160 решений текстовых задач было допущено 40 ошибок, в то время как в контрольной группе на тоже количество решений было сделано в 2 раза больше ошибок. Следовательно, приём сопоставления при правильном варьировании материала ведет к преодолению данных ошибок.

2. Ошибки как результат отсутствия связей между звеньями единой системы

При проведении индивидуальных экспериментов с учащимися 5 классов была обнаружена характерная ошибка, заключающаяся в том, что учащиеся [слабо успевающие по арифметике] при решении задачи отказывались разделить одно целое число на другое, если получался, остаток [например 45:18), в то же время эти же учащиеся правильно исключали целое число из неправильной дроби, производя фактически то же самое деление 45J18—2 12). Положение не менялось, если сначала предлагалось исключить целое из дроби, а потом, разделите целое на целое.

В обоих случаях должно быть произведено одно и то же действие-деление. Однако деление как дробление на равные доли и деление при исключении целого числа из неправильной дроби осознаются учащимися как разные, обособленные друг от друга операции. Причины данной категории ошибок лежат в том, что в педагогическом процессе не было уделено должного внимания созданию связей между звеньями единой системы знаний.

Начальное понятие о дроби даётся как о числе, получившемся при делении единицы на несколько равных долей „Одна доля или собрание нескольких одинаковых долей единицы называется дробью“ (А. П Киселев). Вслед за этим дается истолкование дроби как результата измерения величин, а также результата деления одного целого числа на другое. Но последним двум источникам получения дробей, как показывают наши наблюдения, в практике работы школы уделяется меньше внимания, так как они не входят в определение дроби. Кроме того, в стабильном задачнике Е.С. Березанской нет соответствующих упражнении, направленных на закрепление знаний о получении дроби в результате измерения и деления одного целого числа на другое.

Наблюдения за процессом обучения арифметике в школе (в которой проводились эксперименты) и анализ решенных учащимися примеров и задач показывают, что за период изучения раздела „Обыкновенные дроби“ (до деления дробей) в каждом из 3-х пятых классов было решено только по 3 задачи и ни одного примера, в которых надо было делить такие целые числа, которые в частном дают правильную дробь или смешанное число. Таких задач и примеров крайне мало и в стабильном задачнике.

При таких условиях у учащихся и вырабатывается ограниченное представление о дроби как о „собрании нескольких одинаковых долей единицы“ и не осмысливается дробь, как одна доля нескольких целых единиц, полученная при делении одного целого числа на другое. Такое ограниченное понятие дроби повлияло на практическое использование его при делении целых чисел.

Данные экспериментов свидетельствуют о том, что перед испытуемым при задании „разделить“ и при задании „исключить“ возникали совершенно различные психологические задачи. Словесный сигнал „разделить“ и зрительное восприятие выражения а : в (где „a“ и „в“ — целые конкретные числа и а> в.) служили сигналом к актуализации системы связей, выработанных ещё в начальной школе. Первым звеном этой системы связей является восприятие условия задачи, включающее соотнесение данных с искомым, вторым—ответное действие, представляющее собой сложную систему связей, лежащих в основе техники вычислительных операций. Если при этом целое частное не получалось, то одни из учащихся прекращали решение и заявляли, что эти числа раз-

делить нельзя, другие же —искали обходные пути, которые привели бы к получению целого частного.

Задание „исключить целое число“ и зрительное восприятие выражения а (где а > в) в силу частого повторения в ближайшей по времени практике учащегося стало сигналом, приводящим в действие следующую систему связей : 1 ) запись деления в строчку-^ 2) деление числителя на знаменатель-^ 3) запись в частном целого-> 4) запись остатка числителем~> 5) запись делителя знаменателем.

Эти две системы связей на каком-то этапе обучения действуют автономно. Поэтому при требовании „разделить“ приходит в действие одна система связей, при требовании же „исключить“ целое -число—^другая.

Пути преодоления ошибок данной категории заключаются в выработке связей, объединяющих различные звенья одного и того же раздела знания в единую систему. В данном конкретном случае необходимо показать, что и деление с остатком, и исключение целого из неправильной дроби есть стороны одного и того же действия [деления], дают в результате дробь —и закрепить эта на решении достаточного количества примеров и задач.

3. Ошибки последействия

Если в течение достаточно длительного времени учащиеся решали однотипные задачи, то метод их решения они переносят на предложенные им затем новые задачи, имеющие хотя бы внешние элементы сходства с решаемыми ими ранее1),

В индивидуальном эксперименте мы предлагали испытуемым решать целый ряд задач например, на нахождение части от числа. Предложенную затем задачу, где следовало определить число по его части, многие учащиеся пытались решать также, как и предыдущие. Если сначала решался ряд задач на определение числа по его части, то задачу на определение части числа решали, как задачу на определение числа по его части Если и те и другие задачи разделены более длительным промежутком времени, они решаются правильно

Причины этой группы ошибок заключаются в том, что под влиянием однообразных раздражителей, значительно снижается уровень анализа задачи, а это ведёт к неправильному понимание самого условия задачи и, следовательно, к ошибочному решению. С физиологической точки зрения эти ошибки есть результат последействия раздражения. По этой причине они не появляются, если решение сходных задач разделено некоторым промежутком времени.

1) Этот факт, установленный Н. А. Менчинской на другом материале, полностью подтверждается и при решении задач изучаемой нами категории.

Следует учитывать возможность появления „ошибок последействия“ и для их предупреждения и на уроках и в учебниках подбирать более разнообразные примеры и задачи, избегать монотонности в их построении.

4. Ошибки, как результат резкого снижения уровня анализа при затруднении в решении.

Если при решении однообразных задач наблюдается снижение уровня анализа под влиянием этого однообразия, то аналогичное явление появляется под влиянием возникших в процессе решения больших трудностей.

Снижение уровня анализа выражается в том, что ученики применяют явно нерациональные и неверные приёмы решения, неправильно выполняют те арифметические действия, которые раньше ими выполнялись правильно. Так, наши испытуемые при решении трудных для них задач неправильно выполняли действия с обыкновенными дробями, хотя эти действия были ими уже хорошо усвоены, делали ошибки в действиях с целыми числами.

Всего в индивидуальных экспериментах было обнаружено 45 ошибок [из общего количества решений 420], которые можно отнести к категории ошибок, появляющихся в результате снижения уровня анализа.

Кроме того, подобные ошибки наблюдались и при решении задач в обычной классной обстановке, в особенности при решении задач у доски, когда ко всем прочим обстоятельствам прибавлялось чувство смущения и неуверенности в своих силах. При таких условиях ученик часто становится неспособным решить облегченный вариант предложенной задачи, вспомогательную задачу, не понимает наводящие вопросы и т. д. Наступает такой момент, когда все эти мероприятия, направленные на помощь ученику, не достигают своей цели; ученик или отказывается решать задачу или решает её так, как будто бы он до этого никогда подобных задач не решал.

Данные, полученные в эксперименте, свидетельствуют о том, что снижение уровня анализа идёт в определенной последовательности. В первую очередь нарушаются те связи, выработка которых в свое время была сопряжена с переделкой стереотипа [нахождение части от числа и числа по части]. После этого наступает нарушение и в тех связях, которые были уже достаточно закрепленными [сложение и вычитание обыкновенных дробей]. Попутно с этим нарушаются и те связи, которые были выработаны еще в начальной школе.

В психологии обучения установлено, что при повышенной концентрации умственных усилий в решении относительно новой задачи при известных условиях наступает ослабление остроты осознавания при осуществлении привычных операций в этой же задаче.

При затруднении в решении текстовой задачи ученик обычно усиливает поисковые операции, выражающиеся в испробовании различных способов решения. Мыслительная активность его при этом направлена, главным образом, на установление зависимостей между данными и искомыми, на анализ задачи, так как это является главным в решении, и поэтому сами вычислительные операции осуществляются без достаточного самоконтроля, а это ведёт к тому, что закреплённые, достаточного дифференцированные связи не актуализируются, следствием чего являются ошибки. Если такое же арифметическое действие дается ученику для выполнения вне ситуации текстовой задачи, то в таком случае на него направляется вся умственная активность ученика, а это ведет к актуализации нужных в данном случае связей, к правильному решению

В основе этого явления, несомненно, лежит физиологический закон отрицательной индукции

Данные, полученные в эксперименте на материале решения арифметических задач, вполне совпадают с выводами других исследований проведенных в лаборатории психологии обучения, и тем самым ещё раз подтверждают, что эта закономерность усвоения имеет широкое распространение.

В педагогическом процессе важно учитывать природу данной категории ошибок, понимать, что источник ошибки коренится не в самых привычных операциях, а в тех трудностях, которые возникали при решении новой задачи В подборе материала к уроку педагогу важно учитывать степень подготовленности учащихся с тем, чтобы предложенные им задачи не являлись для них сверхтрудными.

Изучение ошибок учащихся, возникающих в процессе усвоения ими учебного материала по арифметике и путей их предупреждения и преодоления, проведенное в данном исследовании, будет способствовать, как мы надеемся, разработке более рациональных приёмов обучения.