НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

На правах рукописи

А. А. МАЗАНИК

ПОСТРОЕНИЯ КАК ОРГАНИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ КУРСА ГЕОМЕТРИИ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук А. И. Фетисов

Москва — 1961

1. Значение и состояние обучения геометрическим построениям в восьмилетней школе

Геометрические построения имеют большое значение в школьном курсе геометрии, особенно в восьмилетней школе, где в настоящее время и к формированию определений, и к доказательству теорем по возможности стремятся подвести учащихся от построений. Конструктивные задачи дают возможность учащимся ощутить реальность изучаемых в курсе геометрии образов и соотношений между ними.

Решение задач на построение развивает логическое мышление учащихся, их пространственные представления и пространственное воображение. У учащихся вырабатываются конструктивные навыки и такие качества, как внимание, настойчивость в достижении намеченной цели, инициатива и изобретательность.

Знания и навыки, приобретенные учащимися в процессе решения задач на построение, применяются в восьмилетней школе при изучении отдельных тем черчения, алгебры, физики и при выполнении практических работ на уроках труда и домоводства.

Целесообразность и необходимость решения задач на построение по планиметрии в восьмилетней школе подчеркивается и в программе по геометрии и во всех учебных и методических пособиях для учителей.

Обзор пособий по геометрическим построениям показывает, что если теория геометрических построений на плоскости разработана достаточно полно, то многие вопросы методики обучения учащихся геометрическим построениям в планиметрии и до сих пор не нашли должного решения. В частности, требуют дальнейшей разработки такие вопросы, как: ознакомление учащихся с общей схемой; методика обучения отысканию решений задач на построение и их исследования; применение расширенного набора инструментов; методика обучения специальным методам решения задач на построение, являющихся составной частью курса геометрии, органически связанной с изучением всего материала.

Совершенствуя и улучшая постановку обучения и воспитания юного поколения, партия на своем XX съезде поставила перед школой новые большие задачи. Законом о перестройке школы введено всеобщее обязательное восьмилетнее обучение. Программа КПСС ставит задачу: в ближайшее десятилетие осуществить общее и политехническое среднее образование для всех детей школьного возраста.

Теперь, когда завершается реорганизация школьной сети, на первый план выдвигается задача перестройки самого процесса обучения. В связи с новыми задачами и условиями, создавшимися в нашей стране, возникла объективная необходимость повышения уровня общего и политехнического образования, что возможно лишь на основе соединения обучения с практикой, с производительным трудом.

Сочетание дальнейшего повышения уровня образования учащихся с подготовкой их к трудовой деятельности проявляется в том, что учащиеся не только овладевают некоторым объемом знаний геометрических фактов, но и учатся практически использовать эти знания. Если в дореволюционной школе идеал изложения геометрии видели в «Началах» Евклида, которым подражал и учебник А. П. Киселева, то в настоящее время математика перестает быть только «гимнастикой для ума».

В учебные планы восьмилетней школы введены уроки общественно полезного труда, домоводства и труда в мастерских. В курс геометрии включены измерительные работы на местности. В курсе алгебры большое место занимают графические работы. Графический метод находит применение и в курсе физики. В результате расширились возможности при изучении геометрии, в том числе и геометрических построений, применять практический опыт учащихся как для разъяснения целесообразности вводимых понятий, так и для раскрытия практического значения геометрических построений.

Для решения задачи связи геометрии с жизнью потребовалось устранить разрыв между школьными методами решения задач на построение и методами, применяемыми на практике Традиционное решение задач на построение «классическими инструментами» (только циркулем и линейкой), полезное в ряде случаев, приводило к созданию у учащихся неправильных представлений о практических применениях геометрических построений, а также и к сужению области решаемых задач.

Введение расширенного инструментария и приближенных методов для решения задач на построение позволяет значитель-

но раньше и шире применять геометрические построения на всех этапах обучения геометрии: при введении понятий, при выполнении чертежей к задачам и теоремам и т. д. Все это требует нового подхода к оценке и изучению геометрических построений в восьмилетней школе.

Одним из условий подготовки учащихся к практической деятельности является систематическое изучение основ наук, что требует, в частности, повышения научного уровня школьного курса геометрии. Учащиеся должны уметь видеть, различать и правильно представлять геометрические фигуры и, наряду с этим, уметь конструировать новые комбинации этих фигур в своем воображении. А для познания свойств геометрических фигур, их нужно рассматривать в процессе движения, изменения, преобразования.

Поэтому необходимо уделить должное внимание изучению симметрии, параллельного переноса и подобия, чего нельзя добиться без рассмотрения задач на построение, решаемых методами, основанными на этих преобразованиях. Этим самым, в известной мере, курс геометрии будет отражать основное содержание геометрии как науки: идею преобразования.

При изложении отдельных вопросов задачи на построение позволяют раскрыть учащимся целевое назначение изучаемого материала, что активизирует процесс обучения и возбуждает у них интерес к изучаемому предмету, являющийся стимулом к познавательной деятельности.

Реорганизация школы, исходные положения которой определяет «Закон об укреплении связи школы с жизнью и о дальнейшем развитии системы народного образования в СССР»; новые задачи, поставленные перед школой, определяющие не только содержание, но и методику обучения геометрии, — все это подтверждает, что мы не можем полностью перенести сложившуюся к тому времени методику обучения решению задач на построение по планиметрии в восьмилетнюю школу.

Отсутствие разработанной методики обучения геометрическим построениям, пригодной для восьмилетней школы, привело к тому, что учителя не уделяют им должного внимания. Изучение преподавания геометрии в школах показывает, что многие учителя недооценивают значение обучения геометрическим построениям с расширенным набором инструментов; ограничиваются лишь изложением решений конструктивных задач, помещенных в учебнике геометрии; не умеют рационально включать задачи на построение в процесс изучения геометрии, решают их от случая к случаю, и нередко, в последнюю очередь. В школьной практике господствует рецептурный характер решения этих задач.

О настоятельной необходимости разработки методики обучения геометрическим построениям в восьмилетней школе свидетельствуют выступления учителей и методистов на конференциях и в печати1. Следует еще учитывать, что в настоящее время впервые в истории средней школы изучение геометрических мест точек и геометрических преобразований на плоскости строится концентрически. Эти вопросы рассматриваются как в восьмилетней школе, так и в IX классе трехлетней школы. Часть материала из прежней программы для VI—VIII классов можно перенести в программу IX класса. Но у учащихся восьмилетней школы необходимо создавать такие представления об этих понятиях, которые не препятствовали бы воспринимать соответствующий материал в курсе геометрии IX класса.

Таким образом, анализ значения и состояния обучения геометрическим построениям свидетельствует о настоятельной необходимости разработки методики обучения учащихся геометрическим построениям в восьмилетней школе.

С этой целью и написана настоящая диссертация, состоящая из вводной главы, заключения и следующих глав:

Глава первая. Общая схема решения задач на построение.

Глава вторая. Обучение учащихся специальным методам решения задач на построение.

Глава третья. Некоторые итоги экспериментальной проверки.

В конце работы приложен список литературы, на которую даются ссылки в тексте диссертации.

2. Задачи и структура диссертации

Основная задача данного исследования заключалась в том, чтобы разработать содержание, систему и методику обучения геометрическим построениям в восьмилетней школе, рассматривая их как неотъемлемую часть геометрии, органически связанную с изложением всего материала.

В связи с этим потребовалось решить ряд частных задач. Наиболее важными из них являются следующие:

1. Определить значение общей схемы решения задач на построение (анализ, построение, доказательство и исследование) в математическом развитии учащихся и в соответствии с этим разработать методику ознакомления учащихся с этой схемой

(ГЛ. 1,§ 1)2.

2. Разработать методику обучения учащихся отысканию ре-

1 См., например, «Математика в школе», 1961, № 4.

2 Указываются главы и параграфы, в которых решается поставленная задача.

шений задач на построение (гл. 1, § 2).

3. Установить возможность и целесообразность применения расширенного набора инструментов (гл. 1, § 3).

4. Разработать методику исследования решений задач на построение (гл. 1, §5).

5. Определить особенности применения общей схемы при решении конструктивных задач специальными методами (гл. 1,§6).

6. Разработать методику обучения учащихся специальным методам решения задач на построение (метод геометрических мест, осевой и центральной симметрии, параллельного переноса и подобия) (гл. 2).

7. Установить практическую возможность применения в восьмилетней школе разработанных в данном исследовании содержания, системы и методики обучения учащихся геометрическим построениям и опытным путем доказать целесообразность и эффективность рекомендаций автора (гл. 3).

3. Основные положения диссертации

При разрешении этих задач сначала выясняется значение рассматриваемых вопросов для курса геометрии и для практики, включающей и другие учебные предметы. Учитывая, что построения должны являться неотъемлемой частью курса геометрии, органически связанной с изучением всего материала, устанавливается, когда и при изучении какого теоретического материала наиболее целесообразно рассматривать соответствующие вопросы. В результате получаем определенные выводы об объеме материала, о количестве нужного учебного времени, о системе и методике изучения отдельных разделов с учащимися.

Исходя из основных дидактических принципов, мы и разрабатывали содержание и методы обучения геометрическим построениям в восьмилетней школе, стремясь в каждом случае избрать такие методы, которые лучше других отвечают данному содержанию.

Общая схема решения задач на построение, состоящая из четырех этапов: анализ, построение, доказательство и исследование, имеет большое значение не только для решения этих задач, но и для решения задач на вычисление с числовыми или параметрическими данными, где мы, по существу, следуем тому же классическому порядку, который установлен для задач на построение1. Поэтому учащиеся должны сознательно и как можно ранее применять эту схему при решении задач.

1 И. А. Гибш. Исследование решений задач с параметрическими данными, М., 1952, стр. 6—8.

Для лучшего усвоения учащимися общей схемы, нужно в процессе решения задач постепенно подвести учащихся к самостоятельному выводу о целесообразности применения каждого этапа схемы.

При изучении первых тем курса геометрии в VI классе учащиеся решают простейшие конструктивные задачи: построение прямых и отрезков, углов, перпендикуляров и т. д., причем выполняемые построения непосредственно следуют из определений или характеризуют назначение чертежных инструментов. При решении задач на построение треугольников учащиеся встречаются с исследованием в более полном объеме, с необходимостью доказательства и, наконец, — с анализом, сопровождаемым выполнением вспомогательного чертежа.

Если начинать знакомить учащихся с общей схемой в конце курса VI класса, то мы не сможем должным образом закрепить ее в процессе решения задач, а в VII—VIII классах большое место занимает решение задач на построение с применением специальных методов, где общая схема нередко значительно видоизменяется (см. гл. первая; § 6).

Поэтому наиболее целесообразно начинать знакомить учащихся с элементами общей схемы решения задач на построение в VI классе при изучении темы «Треугольники». В диссертации дан примерный подбор задач, в процессе решения которых учащиеся подводятся к необходимости и целесообразности каждого этапа схемы, что позволяет к концу изучения темы «Треугольники» ввести и названия для каждого этапа. Это можно сделать при решении задачи: «Построить треугольник по двум сторонам и острому углу против одной из них». Учащиеся, сделав предварительно чертеж произвольного треугольника, легко составят план построения и при соответствующем выборе данных получат два решения, поэтому видят необходимость доказательства, проверки того, какой из полученных треугольников является искомым, а также и необходимость исследования (всегда ли получим два решения?). Здесь естественно выделяются все этапы и очевидна их целесообразность.

Курсу геометрии в школе предшествует пятилетний курс арифметики, поэтому при обучении отысканию решений задач на построение мы, на первых порах, стремимся показать учащимся, что приемы, применяемые для отыскания решения конструктивных задач, аналогичны приемам, которые применялись ими при отыскании решений арифметических задач. Действительно, в обоих случаях мы применяем аналитико-синтетический метод. Как и для задач на построение, чтобы найти решение арифметической задачи ученик должен внимательно

изучить условие задачи, представив себе конкретно все те величины, которые фигурируют в условии, а иногда использовать и наглядность в той или иной форме. При изучении условия некоторой задачи видно, что ее можно решить определенным способом, изученным ранее. Уже при решении задач средней трудности ученик часто вынужден вводить некоторые вспомогательные величины, которые не фигурируют в условии. Эта аналогия позволяет нам использовать навыки, приобретенные учащимися при решении арифметических задач, наряду с навыками, приобретенными ими при решении основных и других простых задач на построение.

Экспериментальная проверка показала, что и для задач на построение наиболее приемлема комбинированная система расположения задач, принятая в арифметике. Вначале решаем простейшие задачи, расположенные в строгом соответствии с изучаемым теоретическим материалом, постепенно усложняя их путем сочетания и вариации этих простейших задач. При первичном ознакомлении учащихся с новым видом задач подбираются однотипные задачи, решаемые подряд, чтобы учащиеся могли уяснить способ решения, варьируя при этом содержание задач, например, изменяя данные или искомые фигуры. Затем вновь в связи с изучаемым теоретическим материалом решаем задачи, представляющие собой различные вариации и сочетания ранее встречающихся видов.

В диссертации указаны типы задач, подобранных в определенной последовательности, наиболее подходящих в соответствующем месте курса, при этом учитывалась установленная нами экспериментально закономерность, что учащиеся при отыскании решения задачи в первую очередь используют изучаемый теоретический материал и навыки, приобретенные ими при решении задач, предшествующих данной.

Способ решения задачи зависит от набора инструментов, допустимых при выполнении построений. Выбор инструментов определяется назначением геометрических построений. Используя при построениях, кроме циркуля и линейки, угольник, масштабную линейку, транспортир в качестве малки и для измерения углов, мы имеем возможность уже при изучении первых тем геометрии применять идею конструктивизма, а также сближаем школьные методы решения конструктивных задач с методами, применяемыми на практике. Приближенные методы решения задач на построение тоже позволяют расширить круг решаемых задач.

Применяются и построения «без инструментов» — сгибанием и складыванием листа бумаги.

Оценка рациональности решения и выбор инструментов в соответствии с требованием «простоты» построения (геометрография) в восьмилетней школе неприемлемы. Сложность решения задачи для учащихся определяется не только построением, но существенно наличие и других этапов, как анализ, доказательство и исследование.

При исследовании необходимости доказательства и его взаимосвязи с анализом и построением показано, что задачи на построение позволяют воспитывать у учащихся потребность в дедуктивных доказательствах.

Содержание задач, иллюстрирующих основные положения диссертации, соответствует программе восьмилетней школы. Исключение представляет лишь раздел «Исследование» (гл. 1; § 5). Это один из наиболее трудных для учителей и учащихся и менее всего методически разработанный этап решения задач на построение. Поэтому в данной работе уделено несколько больше внимания, по сравнению с другими этапами, теории и методике проведения исследования.

Экспериментальная проверка показала, что наиболее приемлемым способом проведения исследования является предложенное Д. И. Перепелкиным исследование по самому построению. Последовательно рассматриваем все простейшие построения, к которым свелось решение данной задачи, и для каждого из них указываем, возможно ли построение соответствующих образов, когда и сколько. Затем обобщаем все случаи и делаем общий вывод о зависимости числа решений от исходных данных.

Но для задач средней и повышенной трудности такое исследование часто оказывается недоступным для учащихся. Поэтому в восьмилетней школе рекомендуется для каждого простейшего построения указывать лишь наибольшее число соответствующих геометрических фигур, получаемых при этом построении. Затем создается конфигурация данных, для которой получается это наибольшее возможное число решений. Применяя движение, устанавливаем возможность и меньшего числа решений.

Для исследования отдельных задач нами созданы подвижные модели, имеющие большое значение, особенно для учащихся VI—VII классов.

Так как для задач положения и метрических задач правила подсчета числа решений различны, на конкретных примерах показано, как устанавливать число решений и для тех случаев, когда решение задачи одного вида сводится к решению задачи другого вида. Рассмотрено и исследование неопределенных задач.

Знания учащихся постепенно расширяются, поэтому объем исследования и форма записи результатов изменяются. В VI классе при решении задач, в которых требуется ответить на вопрос, при любом ли выборе данных задача имеет решение, и задач, в которых учащиеся встречаются с существованием нескольких решений, исследование проводится опытным путем по построению, показывая учащимся, что при различных положениях и различных размерах данных получаем различное число решений.

В старших классах учащиеся знакомятся с задачами, при исследовании которых необходимо выделять отдельные характерные конфигурации данных, или проводить отдельное решение для некоторых данных из-за неприменимости общего решения или значительно упрощающих его. Результаты, по возможности, выражаем в виде неравенств или равенств, связывающих между собой исходные данные.

И при разработке методики обучения учащихся специальным методам решения задач на построение (геометрических мест, симметрии, подобия и т. д.) мы также стремились на основе изучения конкретной деятельности учителей и учения учащихся установить объективно существующие закономерности, которые существенно влияют на методику обучения.

Так как эти методы решения конструктивных задач есть один из видов применения на практике соответствующих геометрических понятий, составляющих основу каждого из методов (геометрическое место точек, осевая и центральная симметрия, параллельный перенос, вращение, подобие), то приходим к выводу, что в восьмилетней школе необходимо:

1) Объем материала и количество нужного учебного времени устанавливать, учитывая значение каждого метода в курсе геометрии, что определяется значением соответствующего геометрического понятия.

2) Учитывать, когда и после какого материала рассматривается данное понятие в курсе геометрии.

3) Задачи подбирать так, чтобы они наилучшим образом раскрывали и сущность метода и содержание применяемого понятия.

Понятие «геометрическое место точек» является одним из основных понятий геометрии. Поэтому необходимо, чтобы учащиеся в совершенстве владели и методом геометрических мест, имели прочные навыки в применении его при решении задач. Впервые учащиеся с этим методом встречаются во втором полугодии VI класса, имея еще малый запас знаний по геометрии. Вводить сразу метод во всей его общности преждевременно. Поэтому в тесной связи с изучаемым материалом,

не упоминая даже о каком-то методе, решаем задачи элементарными рассуждениями, подготавливающими учащихся к пониманию метода, изучение которого относится к VII классу.

Учащиеся постепенно знакомятся с решением задач, требующих для отыскания точки построения одного, а затем и двух геометрических мест.

При такой подготовительной работе, продолжающейся почти целый год, у учащихся вырабатываются прочные навыки в применении этого метода.

Сам термин «метод геометрических мест» вводим при решении задачи на построение окружности, проходящей через три точки. К этому времени учащиеся уже решали немало задач методом геометрических мест, да и материал в учебнике изложен так, что отчетливо выделяются все этапы применения этого метода. Построения хорошо известны для учащихся и все их внимание направляется на усвоение сущности метода геометрических мест.

Очевидно, что овладение учащимися методом геометрических мест существенно зависит от изучения самого понятия геометрического места точек. Наш опыт работы в школе показывает, что наиболее приемлемым для шестиклассников является такое определение: «Геометрическим местом точек, обладающих некоторым свойством, называется множество всех точек, обладающих этим свойством, и только таких точек».

Понятие геометрического места точек вводим при рассмотрении свойства перпендикуляра, проведенного к данному отрезку через его середину, что позволяет до конца учебного года закрепить это понятие при решении задач. Как показывает опыт, в VI классе целесообразно вводить это понятие через решение неопределенной задачи: «Найти точку, равноудаленную от двух данных точек». Учащиеся видят, что таких точек сколько угодно, но все они располагаются на оси симметрии данных точек. Доказательство соответствующих теорем можно сопровождать построением и непосредственным измерением. Аналогичным образом с применением осевой симметрии вводится и геометрическое место точек, равноудаленных от сторон острого угла.

В VII классе после повторения материала о геометрических построениях, уже известных учащимся, предлагаем решить задачу в такой формулировке: «Найти геометрическое место точек, удаленных на данное расстояние от данной прямой». Учащиеся должны вначале построить несколько точек, обладающих требуемым свойством, подметить закономерность в их расположении, а затем только доказывать, что предполагаемая геометрическая фигура является искомым геометриче-

ским местом точек. Эта задача позволяет еще раз разобрать с учащимися необходимость доказательства двух взаимно обратных теорем, ибо учащиеся обычно указывают лишь на одну прямую линию, параллельную данной и расположенную по одну от нее сторону на заданном расстоянии.

Чтобы учащиеся сознательно и глубоко усвоили понятие «геометрическое место точек», в процессе обучения надо показать, что геометрическим местом точек может быть прямая, окружность, несколько прямых или окружностей или их частей, часть плоскости и т. п.

Симметрия относительно прямой, одно из фундаментальных понятий геометрии, вводится в VI классе перед изучением свойств равнобедренного треугольника, т. е. во второй четверти. В это время учащиеся имеют еще очень малый запас геометрических знаний и слабые навыки в решении конструктивных задач, поэтому понятие осевой симметрии вводится не конструктивным путем, а указанием на примеры симметричных фигур, предметов, с которыми они встречались неоднократно, а также примеры применения симметрии при выполнении работ на уроках.

Но чтобы учащиеся не восприняли симметрию только как свойство неподвижной фигуры, а как один из способов преобразования геометрических фигур, решаем задачи на построение. В VII—VIII классах в тесной связи с изучаемым теоретическим материалом решаем более сложные задачи, требующие применения метода осевой симметрии, иногда в сочетании с другими методами.

Понятие центральной симметрии рассматривается после изучения осевой симметрии и вводится аналогично последней. Закрепление введенного понятия проводится посредством построения точки (отрезка, треугольника), симметричной данной точке (отрезку, треугольнику) относительно данного центра О. Для лучшего усвоения равенства любых центрально-симметричных фигур, учащиеся выполняют построение фигуры, симметричной произвольно выбранной ими прямолинейной фигуре по отношению к любому центру. Решают задачи на построение, требующие применения центральной симметрии.

Понятие параллельного переноса, основанное на свойствах параллелограмма, не имеет столь большого значения в курсе геометрии восьмилетней школы, как симметрия или геометрические места точек. Семиклассники встречались с некоторыми примерами параллельного перемещения в быту, на работе в мастерских, но эффективного применения параллельный перенос как геометрическое преобразование в их практике не находил. Следовательно, понятие параллельного переноса нужно вво-

дить посредством решения таких задач на построение, которые вскрывали бы его сущность и показывали бы необходимость введения этого понятия.

Экспериментально-опытная проверка показала, что лучше всего начинать с решения задачи: «Два равнобедренных треугольника, основания которых находятся на одной и той же прямой, пересечь прямой, параллельной основаниям, так, чтобы отрезки этой прямой внутри треугольников были между собой равны». Все попытки учащихся решить ее известными им способами оказываются безрезультатными. Чтобы сделать применение параллельного переноса при решении этой задачи более наглядным, перемещение одного из данных треугольников иллюстрируем с помощью наглядного пособия. Самостоятельно учащиеся решают такую же задачу, лишь заменив один из треугольников окружностью. Применение введенного понятия хорошо разъяснить и при решении задач на построение трапеций, где можно еще раз подчеркнуть необходимость применения нового метода. Закрепив метод параллельного переноса при решении других задач на построение трапеций, решаем задачу, требующую переноса окружности, чтобы учащиеся познакомились с параллельным переносом простейшей криволинейной фигуры.

Здесь же имеем возможность установить аналогию в применении методов осевой и центральной симметрии и параллельного переноса к решению задач на построение.

Преобразование вращения вокруг точки не нашло применения в теоретическом курсе геометрии, поэтому не следует рассматривать в восьмилетней школе метод вращения, разве лишь на занятиях математического кружка.

Подобие фигур обычно иллюстрируется многочисленными примерами подобных фигур, встречающихся в быту, в науке и технике. Используется имеющийся у учащихся опыт применения подобия при изготовлении фигур в школьных мастерских по чертежам, выполненным в масштабе, при выполнении чертежей деталей, при выполнении планов и карт на уроках географии и т. п. Этих примеров вполне достаточно, чтобы показать необходимость изучения этого понятия в школе, а поэтому незачем для той же цели давать еще и задачи на построение.

При разработке метода подобия учтена целесообразность классификации решаемых задач по способу задания размеров искомой фигуры: 1) Задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием некоторого отрезка. 2) Задачи, в которых размеры искомой фигуры определяются заданием суммы или разности некоторых ее отрезков. 3) Задачи, в кото-

рых размеры искомой фигуры определяются положением ее относительно данных фигур. Такая классификация удобна, главным образом, потому, что для каждой из этих трех групп задач подобные преобразования проводятся по разному, различные способы выбора центра подобия.

Задачи на решение методом подобия подбираем следующим образом: вначале решаем задачи на построение треугольников данной формы, линейные размеры которых определяются заданием высоты, медианы или биссектрисы, радиусов вписанной или описанной окружности. После этого решаем задачи на построение треугольников, зная сумму или разность некоторых его отрезков. Решив несколько аналогичных задач на построение параллелограммов и трапеций, переходим к решению задач на построение фигур, размеры которых определяются положением искомой фигуры относительно данных фигур.

Ознакомление учащихся со всеми этими типами задач не растягиваем на длительный период, а проводим в течение 4—5 уроков, следующих друг за другом, чтобы у учащихся создалось цельное представление о методе подобия.

При решении геометрических задач на вычисление учащиеся часто применяют аппарат алгебры. Следует познакомить учащихся восьмилетней школы и с применением алгебры для решения задач на построение, что облегчает решение отдельных задач и вскрывает взаимосвязи между алгеброй и геометрией.

Возможность ознакомления учащихся с алгебраическим методом решения задач на построение обеспечивается следующим:

По сравнению с задачами на вычисление требуется лишь умение строить формулы, выражающие неизвестные величины через известные. Но при изучении теоретического курса учащиеся выполняли построение формул вида: x = ma+nb;

натуральные числа.

Для успешного применения этих методов при отыскании решения задачи необходимо, чтобы учащиеся знали характерные признаки задач, решаемых тем или иным методом. Например, методом подобия решаются задачи, условия которых можно разделить на две части, одна из которых определяет форму фигуры с точностью до подобия, а вторая — размеры фигуры. Метод геометрических мест применяется тогда, когда одна часть условия определяет одну геометрическую фигуру,

а вторая — другую фигуру, в пересечении которых получаем искомую точку, и т. п.

В результате, несколько видоизменяется проведение анализа таких задач. Учащиеся при изучении условия задачи стремятся найти признаки того или иного метода. Построение вспомогательного чертежа уже не является необходимым, а в отдельных случаях может привести к более сложному решению.

Видоизменяется применение и других этапов общей схемы. Построение часто объединяется с анализом и выполняется по частям. Доказательство не проводят, так как правильность решения задачи обеспечивается построением или анализом.

При применении этих методов построение искомой фигуры сводится в большинстве случаев к построению вспомогательной фигуры. Условия, необходимые и достаточные для построения вспомогательной фигуры, не являются таковыми для исходной фигуры. Поэтому нужно проводить дополнительное исследование для выяснения особенностей перехода от вспомогательной фигуры к искомой и наоборот. В диссертации (см. гл. первая; § 6) рассмотрены наиболее важные особенности применения общей схемы при решении задач на построение специальными методами.

Вопросы методики обучения учащихся геометрическим построениям разрешены в данной работе для восьмилетней школы, но основные положения, по нашему мнению, применимы и при изучении соответствующего материала в трехлетней школе.

4. Опытная проверка положений диссертации

Рекомендуемая методика обучения учащихся геометрическим построениям является итогом многолетней экспериментальной работы. Начиная с 1948—1949 уч. года, автор проводил эксперимент, в ходе которого формировалась гипотеза, создавались и проверялись основные положения методики. К проверке доступности и возможности осуществления в школе выдвигаемых автором основных положений в рамках действующей программы и целесообразности системы упражнений привлекались учителя математики ряда школ гор. Могилева и Могилевской области. Так как при этом ставилась задача опытным путем доказать эффективность тех или иных приемов обучения и системы задач, условия обучения варьировались, а затем выяснялось, какое влияние на учащихся оказали различные условия обучения, причем выяснялось это как посредством анализа обычных классных самостоятельных и контрольных работ, так и на основе наблюдений за работой

учащихся. В диссертации дается описание лишь наиболее интересных педагогических экспериментов.

Обсуждение с широким кругом учителей получаемых результатов давало возможность правильно оценивать не только всю систему работы, но и варианты изучения отдельных небольших вопросов (анализ, исследование, отдельные методы и т. п.)

После проверки вариантов обучения учащихся решению задач на построение подводились итоги работы, и этот обобщенный опыт выносился на более широкое обсуждение либо в форме докладов на «Педагогических чтениях», либо через печать.

Большую пользу принесли обсуждения отдельных положений автора на заседаниях кафедры математики и на научных конференциях Могилевского пединститута, а также обсуждения работы в целом в 1959 году на заседании семинара по геометрии при Белорусском государственном университете и в мае месяце 1961 года на заседании сектора обучения математике Института общего и политехнического обучения Академии педагогических наук РСФСР.

Проводимая в последние три года опытная проверка предлагаемой в диссертации методики обучения геометрическим построениям в VI—VIII классах подтвердила пользу, целесообразность и доступность учащимся разработанной системы обучения геометрическим построениям при изучении курса геометрии.

5. Общие выводы

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1) Методика обучения учащихся восьмилетней школы геометрическим построениям как составной части курса геометрии, органически связанной с изучением всего материала, приемлема и практически оправдала себя.

2) Изложенная в диссертации методика ознакомления учащихся с общей схемой, методика обучения анализу, исследованию, специальным методам решения задач на построение вполне эффективны.

3) Предлагаемая система обучения учащихся геометрическим построениям в восьмилетней школе доступна для понимания учащихся, содействует глубокому и прочному усвоению курса геометрии, содействует развитию у учащихся логического мышления, пространственных представлений и пространственного воображения, обеспечивает подготовку учащихся к применению полученных знаний в практике.

4) Обучение учащихся по системе, разработанной в диссертации, обеспечивает подготовку учащихся к пониманию геометрического материала, изучаемого в трехлетней школе, и отдельных тем школьного курса черчения и алгебры.

5) Применение расширенного инструментария в начальный период обучения геометрии позволяет не только сблизить школьные методы решения конструктивных задач с методами, применяемыми на практике, но и делает возможным более широко применить конструктивный метод при изучении теоретического курса геометрии.

* * *

Материалы диссертации опубликованы в следующих работах автора:

1. Решение задач на построение методом геометрических мест в VI и VII классах, Уч. записки Могилевского пединститута, вып. 1, Учпедгиз, Минск, 1954.

2. Некоторые замечания по книге А. А. Стражевского «Задачи на геометрические места точек в курсе геометрии средней школы», журнал «Математика в школе», 1956, № 3.

3. Обучение решению задач на построение по общей схеме. Сборник «В помощь учителю», вып. 8, Могилевский областной ИУУ, 1959.

4. Решение задач на построение методом параллельного переноса в VII классе, Уч. записки Могилевского пединститута, вып. 5, Учпедгиз, Минск, 1959.

5. Исследование при решении задач на построение. Уч. записки Могилевского пединститута, вып. 5, Учпедгиз, Минск, 1959.

6. Обучение учащихся решению задач на построение по планиметрии, Учпедгиз, Минск, 1960.

л 141756 21/XII 1961 г. Тип. Госкомитета по судостроению, зак. 2463