АКАДЕМИЯ НАУК УЗБЕКСКОЙ ССР

ОБЪЕДИНЕННЫЙ УЧЕНЫЙ СОВЕТ ПО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ НАУКАМ ОТДЕЛЕНИЯ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИХ И МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

На правах рукописи

Г. П. МАТВИЕВСКАЯ

УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В СРЕДНИЕ ВЕКА

(580--История математики)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент — 1968

Работа выполнена в Институте математики АН УзССР им. В. И. Романовского.

Официальные оппоненты:

1) доктор физ.-мат. наук, проф. А. П. Юшкевич,

2) акад. АН УзССР, доктор физ.-мат. наук, проф. В. П. Щеглов,

3) доктор физ.-мат. наук, проф. Б. А. Розенфельд.

Оппонирующая организация — кабинет истории математики и механики при механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан «26» апреля 1968 г.

Защита состоится « в июне......1968 г.

на заседании Объединенного ученого совета по физико-математическим наукам Отделения физико-технических и математических наук АН УзССР.

Ваши отзывы просим направить по адресу: г. Ташкент, 47, ул. Гоголя, 70.

С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке АН УзССР по адресу: г. Ташкент, ул. А. Тукаева, 1.

Ученый секретарь Совета, канд. физ.-мат. наук

(М. С. САЛАХИТДИНОВ).

Средние века до сегодняшнего дня являются наименее изученным периодом истории математики. Причина этого состоит прежде всего в трудной доступности материала: изучение математики средневековья связано с предварительной расшифровкой арабских, персидских, латинских и др. текстов, большей частью рукописных, что требует от исследователя знания этих языков и овладения навыками работы с рукописями. Поэтому далеко не все рукописи, известные по каталогам, сейчас исследованы. Кроме того, многие средневековые математические сочинения, сохранившиеся в различных рукописехранилищах мира, вообще еще не выявлены.

Однако, если исчерпывающая характеристика средневековой математики является делом будущего, отдельные вопросы можно с большей или меньшей полнотой осветить уже сейчас. Предлагаемая диссертация содержит очерк истории учения о числе в эпоху средневековья.

Генезис понятия числа — одного из основных понятий математики — представляет собой долгий и сложный исторический процесс, на разных этапах которого в это понятие вкладывалось различное содержание; соответственно, с течением времени менялся и предмет учения о числе. Поэтому в работе прежде всего выясняется, что понимали средневековые математики под числом и как определяли объем и содержание учения о числе.

При изучении математики средних веков необходимо рассматривать ее развитие, с одной стороны, в странах Востока, а с другой — в Европе. Более того, чтобы нарисовать объективную картину развития какой-либо математической идеи до XVII в., нужно проследить ее судьбу начиная от античности, и провести исследование трудов средневековых восточных и европейских математиков в сравнительном плане. Только такой подход позволит дать должную оценку отдельным фактам и избавит от ошибок, которые неизбежно возникают, если рассматривать эти факты вне исторической перспективы.

Поэтому вторая задача, поставленная в диссертации, тесно связана с вопросом о преемственности научных идей и состоит в установлении взаимной зависимости числовых теорий, развивавшихся в Древней Греции, странах ислама и средневековой Европе.

Следующая задача диссертации касается оценки той роли, которую сыграли ученые средневекового Ближнего и Среднего Востока и, в частности, Средней Азии в истории математики. В начале XIX в. исследователи зачастую ограничивали эту роль сохранением и передачей на Запад достижений греческой и отчасти индийской математики; творческие заслуги восточных ученых были почти полностью сведены на нет. Эта точка зрения постепенно менялась по мере изучения арабских и персидских математических рукописей, начало которому положили Ж. Ж.-Э. Седийо (1777—1832), Л. А. Седийо (1808—1875), Ф. Розен (1805—1837), Ф. Вёпке (1826—1864). Их исследования были продолжены Г. Зутером (1848—1922), Э. Видеманом (1852—1928), К. Шоем (1877—1925), К. Наллино (1872—1938), П. Люкеем (ум. 1949) и др., чьи работы и сегодня полностью сохраняют свое значение.

В настоящее время изучением математики стран Ближнего и Среднего Востока занимается широкий круг исследователей как за рубежом (А. Р. Амир-Моэз, Х. Дильган, Э. Кеннеди и др.), так и в Советском Союзе. Советским ученым — и прежде всего. А. П. Юшкевичу и его школе (Б. А. Розенфельд и др.) — принадлежит в этом отношении особая роль: высказана новая концепция средневековой математики стран Востока как единого целого и дана справедливая оценка математического наследия ученых Средней Азии1, осуществлен перевод и издание большого числа математических сочинений2 исследовано творчество выдающихся представителей пауки Средней Азии и Закавказья3 и т. д.

При изучении рукописей постепенно обнаруживались за-

1 Юшкевич А. П. О математике народов Средней Азии в IX—XV веках. «Историко-математические исследования», вып. IV, М., 1951; История математики в средние века, М., 1961; и др.

2 Работы Б. А. Розенфельда, А. П. Юшкевича и др.

3 Кары-Ниязов Т. Н. «Астрономическая школа Улугбека», М., 1950; Мамедбейли Г. Д. Основатель Марагинской обсерватории Насирэддин Туси, Баку, 1961; Розенфельд Б. А., Юшкевич А. П., Омар Хайям, М., 1965; и др.

мечательные результаты, полученные математиками восточного средневековья. Однако прежде всего стало известно данное ими решение ряда практических задач, и это привело к представлению о сугубо прикладном характере восточной математики. Часто высказывалось мнение, что если в разработке вычислительных методов здесь добились значительных успехов, то в отношении теории был сделан шаг назад сравнительно с греческой наукой, все идейное богатство которой будто бы осталось непонятым восточными учеными.

Работы последних лет (в частности, исследования Б. А. Розенфельда и А. П. Юшкевича о теории параллельных линий на средневековом Востоке, Э. Плуэя — о теории отношений) внесли существенные изменения в эту оценку.

В диссертации на примере учения о числе показано, что средневековые восточные математики не только проявляли интерес к наиболее тонким вопросам теории, но и получили в этом отношении результаты, оказавшие серьезное влияние на труды европейских ученых XIII—XVI вв.

При исследовании числовых теорий, развивавшихся в средневековой Европе, наибольшее внимание уделено творчеству математиков XVI в., труды которых до настоящего времени изучены недостаточно.

В работе затрагивается и ряд других вопросов, представляющих определенный историко-научный интерес. Среди них, например, вопрос о средневековых (арабских и латинских) версиях «Начал» Евклида — сочинения, сыгравшего огромную роль в истории математики.

Самостоятельное значение имеет исследование X книги «Начал», которая, как оказывается, составляла (наряду с V книгой) теоретическую основу учения о числе в средние века. Хотя ее изучению посвящен ряд работ (Б. Л. Ван дер Варден, А. И. Маркушевич, Д. Д. Мордухай-Болтовской, А. Е. Раик, К. Рейдемейстер, Т. А. Хис, С. Христенсен, Г. Юнге и др.), многие связанные с ней проблемы остаются нерешенными. В диссертации поставлена задача — проследить по средневековым источникам историю X книги «Начал» и определить ее действительную роль в развитии математики.

ИСТОЧНИКИ И БИБЛИОГРАФИЯ

Материалом, на котором построено исследование, послужили прежде всего оригинальные тексты математических со-

чинений на арабском, латинском, немецком, французском и итальянском языках в переводе автора.

В работе использованы следующие арабские трактаты (текст переводов помещен в приложении к диссертации):

1. Трактат Абу-л-Вафы Мухаммада ибн Мухаммада, геометра, об арифметике (рукопись Института востоковедения АН УзССР, № 1750, VIII);

2. Трактат Сабита ибн Корры о нахождении дружественных чисел легким методом (рукопись Парижской Национальной библиотеки № 2457, лл. 170 об.— 180 об.);

3. Доказательство правила двух ошибок с помощью вычисления площадей, принадлежащие Афдал ад-Дину Умару (рукопись Института востоковедения АН УзССР № 3291, лл. 7—8 об.);

4. Трактат Мухаммада ибн Абд-ал-Азиза ал-Хашими о вычислении иррациональных корней (рукопись Парижской Национальной библиотеки № 2457, лл. 76—78);

5. То, что перевел Назиф ибн Юмн ал-Мутатаббиб из существующих на греческом языке добавлений к предложениям десятой книги (там же, лл. 80 об., 161);

6. Комментарий ал-Махани к десятой книге сочинения Евклида (там же, лл. 180 об.— 181 об.);

7. Краткое рассуждение из комментария к десятой книге сочинения Евклида, прибавленного ал-Ахвази и состоящего из восьми разделов (рукопись Парижской Национальной библиотеки № 2467, лл. 207—210 об.);

8. Комментарий Абу Джафара ал-Хазина к десятой книге сочинения Евклида (там же, лл. 201 об. — 207);

9. Трактат Юханны ибн Юсуфа ибн Хариса о рациональных и иррациональных величинах (рукопись Парижской Национальной библиотеки № 2457, лл. 199 об. — 203 об.);

10. Трактат о соизмеримых и несоизмеримых величинах Абу Абд-Аллаха ибн Мухаммада ибн Хамлы, известного как Ибн ал-Багдади (перевод выполнен по изданию: Ar-ra-sailu'l mutafarriqa fi-l-chai'at li-mukaddimin wa mu'asiray il-Biruni, Hyderabad-Deccan, 1948);

11. Комментарий Мухаммада Абд-ал-Баки ал-Багдади к X книге Евклида (латинский текст); перевод выполнен по изданию: Anaritii in decern libros priores commentarii ex interpretatione Gherardi Cremonese in codice Cracoviensi 1569 servata, cd. M. Curtze, Lipsiae, 1899.

12. Ибн ал-Хайсам, Книга комментариев к введениям сочинения Евклида «Начала». Введение к десятой книге (рукопись Оксфордского университета Hunt. 237, лл. 63 об.—71);

13. Насир-ад-Дин атТуси, Изложение Евклида. Десятая книга (перевод выполнен по арабскому тексту, изданному в 1594 г. в Риме под заглавием: Euclidis elementorum geometricorum Libri Tredecim ex traductione doctissimi Nasiridini Tusini).

14. Вычисление вычетов из десятой книги Евклида и общие сведения о вычислении биномиалей (анонимный трактат); рукопись Парижской Национальной библиотеки № 2457, лл. 181 об. — 186;

15. О значении десятой книги (анонимный трактат); там же, лл. 43—47.

В диссертации используются сочинения следующих европейских авторов на латинском, немецком, французском и итальянском языках:

Боэция («De institutione arithmeticae»),

Иордана Неморария («Arithmetica),

Кампано («Euclidis Elementa Geometriae»),

Замберти («Euclidis Megarensis Mathematici clarissimi Elementorum Geometricorum Libri XY»),

Леонардо Пизанского («Liber abaci», «Liber quadratorum»),

Томаса Брадвардина («De proportionibus»),

Николая Орема («Tractatus de proportionibus proportionum»),

Альберта Саксонского («Tractatus proportionum»),

Шюке («Le Triparty en le science de nombres»),

Тартальи («General trattato di numeri et misure»),

Кардано («Practica arithmeticae et mensurandi singularis»),

Андреаса Александра («Initius Algebras ad Ylem geometram magistrum suum»),

Ризе («Die Coss»),

Рудольфа («Die Coss Christoffs Rudolffs mit schöner Exempeln der Koss durch Michael Stifel gebessert und sehr gemehrt»),

Штифеля («Arithmetica integra»),

Шейбеля («Algebrae compendiosa facilisque descriptio»),

Рамуса («Arithmeticae libri duo geometriae septem et viginti»,

«Petri Rami Arithmetices libri duo et Algebrae totidem a Lazaro Schonero emendati et explicati»),

Клавия («Euclidis Elementorum libri XY», «Algebra»),

Мавролико («Arithmeticorum libri duo»),

Бомбелли («L'Algebra»),

Стевина («Traicte des incommensurables grandeurs»).

Большинство указанных сочинений рассмотрено в оригинальных изданиях XV—XVI вв. Наибольший интерес с библиографической точки зрения представляет чрезвычайно редкое издание (1482 г.) «Начал» Евклида в обработке Кампано, обнаруженное среди инкунабул библиотеки Пулковской обсерватории.

Автор ставил своей специальной целью возможно более широкое использование существующей литературы, исходя из того, что полноценное историко-научное исследование невозможно без «предварительного библиографического изучения опубликованных работ и их хронологического и идейного упорядочения»1. Это особенно важно при освещении средневековой математики, где необходимо учитывать каждый известный в настоящее время факт. Поэтому в начале каждого раздела и параграфа диссертации приводится подробный литературный обзор. Список литературы по всем затронутым в работе вопросам (свыше 1200 названий) дан в приложении к диссертации.

Диссертация состоит из двух томов.

Содержание первого тома подразделяется на три части, в которых рассматривается история учения о числе в Древней Греции, на средневековом Ближнем и Среднем Востоке и в Европе до XVII в. Каждая часть начинается общим обзором математики соответствующей эпохи и сведениями о наиболее выдающихся ученых, а затем на основании анализа их сочинений дается характеристика основ учения о числе.

Часть I. ИСТОКИ СРЕДНЕВЕКОВОГО УЧЕНИЯ О ЧИСЛЕ

Первая — вводная — часть диссертации, посвященная предыстории средневекового учения о числе, написана на основании литературных данных. Она состоит из двух глав.

1 Б. В. Гнеденко. О некоторых задачах истории математики, «Историко-математические исследования», вып. XI, М., 1958, стр. 56,

В I главе («Учение о числе и величине в математике Древней Греции») использованы результаты исследований И. Г. Башмаковой, О. Беккера, Б. Л. Ван дер Вардена, И. Н. Веселовского, М. Я. Выгодского, И. Г. Гейберга, Э. Я. Кольмана, Д. Д. Мордухай-Болтовского, О. Нейгебауера, А. Е. Раик, П. Таннери, Т. Л. Хиса, Г. Цейтена и др.

§ 1 этой главы посвящен общей характеристике древнегреческой математики. Приводится также краткий обзор сведений о предпосылках ее развития, складывавшихся в математике Древнего Египта и Вавилона. Показано, что первые факты, касающиеся свойств целого числа, установили вавилонские и египетские вычислители; ими были разработаны методы операций с дробями и способы приближенного извлечения квадратных корней. Уже в это время в математику вошло «наивное» (по словам Н. Бурбаки) понятие действительного числа, которое «можно выразить, сказав, что число рассматривается как определенное благодаря возможности получать его приближенные значения и вводить их в вычисления»1.

В § 2 рассматривается греческая логистика — раздел прикладной математики, занимавшийся разработкой вычислительных приемов. Отмечается, что для логистики был характерен тот же взгляд на рациональное и иррациональное число, что и для древней математики стран Двуречья: не задумываясь над математической сущностью этих объектов, над ними производили арифметические операции.

Однако в Древней Греции, где математика из совокупности прикладных знаний превратилась в систематически построенную дедуктивную науку, чисто практический подход уже не казался удовлетворительным: здесь стремились строго обосновать арифметические действия, поставив, таким образом, вопрос об определении понятия числа.

В § 3 дан обзор первого строгого учения о числе — теоретической арифметики, созданной в школе Пифагора. Под числом пифагорцы понимали собрание единиц. Сама единица, рассматривавшаяся как «начало», «причина» чисел, числом не считалась и предполагалась неделимой. Понятия дроби не существовало. Как эквивалент теории дробей была разработана теория отношений целых чисел, носившая не только математический, но и философский характер.

1 Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. Пер И. Г. Башмаковой под редакцией К- А. Рыбникова, М., 1963, стр, 146.

Теория целочисленных отношений, дававшая ранним пифагоровцам основу для доказательств теорем арифметики, геометрии и музыки, имела своим исходным моментом утверждение о соизмеримости всех геометрических объектов между собой. Поэтому открытие в V в. до н. э. существования несоизмеримых отрезков привело к кризису начал пифагорейской науки.

В § 4 рассматриваются последствия этого кризиса для античной математики. Открытие несоизмеримости привело прежде всего к строгому разграничению понятий дискретного (число) и непрерывного (геометрическая величина). Резкая грань пролегла также между науками о числе (арифметика) и величине (геометрия). Понятие отношения приобрело двоякий смысл в зависимости от того, идет ли речь о числах или величинах: выяснилось, что отношение величин может быть выражено отношением целых чисел только в случае соизмеримости. Поэтому теперь обратились к геометрии как к той основе, на которой попытались унифицировать всю математику и разрешить таким образом возникшие трудности.

Поставленная задача была разрешена, во-первых, созданием геометрической алгебры, которая дала аналог операций, ранее установленных в арифметике, а, во-вторых, разработкой общей теории отношений, применимой как к соизмеримым, так и к несоизмеримым величинам.

В § 5 описаны основные понятия геометрической алгебры греков, а также методы решения различных задач и, в частности, квадратных уравнений. В § 6 рассматривается «антифайретическая» теория отношений и теория отношений Евдокса, которая играла в древнегреческой математике ту же. роль, какую сейчас играет теория действительных чисел.

Учение греков об иррациональных отношениях изложено в X книге «Начал» Евклида — самой большой по объему и наиболее трудной из книг этого сочинения. В ней дана классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей и установлена зависимость между ними. С современной точки зрения она содержит классификацию корней квадратных и биквадратных уравнений с рациональными коэффициентами. В § 6 рассматривается история античной теории иррациональных величин, дано подробное изложение X книги «Начал» и приведен обзор посвященной ей литературы.

§ 7 посвящен учению о числе и величине в греческой математике позднего периода. Кратко излагается содержание со-

чинений Никомаха и Диофанта, являющихся наиболее яркими представителями двух направлений в учении о числе этого времени: теоретико-числового направления пифагорейцев и арифметико-алгебраического, в котором можно видеть развитие традиций древневавилонской математики.

На основании изложенного в I главе материала сделан вывод о том, что античные математики построили и применяли теорию, эквивалентную теории действительных чисел, но, придерживаясь взгляда на число и величину как на существенно различные объекты, понятия действительного числа не ввели. Отношение величин для них не стало обобщением понятия числа. Другими словами, никакой вычислительной функции отношения не выполняли. Поэтому все связанные с иррациональностью вопросы рассматривались в геометрии присущими ей методами; соответствующего арифметического понятия — понятия числовой иррациональности — в математике не существовало. И хотя в эллинистический период истории греческой науки были сделаны шаги в сторону арифметизации теории отношений (что выразилось, например, в появлении понятия «количества отношения»), тем не менее понятие числа не было распространено на отношение. Под наукой о числе по-прежнему понималась пифагорейская теоретическая арифметика.

Во II главе дан краткий обзор развития арифметики и алгебры в Индии и Китае, для которого использованы работы 3. И. Березкиной, Б. Датта, А. Сингха и др.

Наивысшим достижением древней индийской математики, составлявшей, наряду с греческим наследием, фундамент средневековой математики Ближнего и Среднего Востока, является — в области арифметики — десятичная позиционная система счисления с применением нуля. Характерным для математиков Индии был интерес к разработке различных вычислительных приемов. В противоположность грекам они свободно производили арифметические операции над числовыми иррациональностями, не дав, однако, теоретического обоснования этим действиям.

Часть II. УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ НА СРЕДНЕВЕКОВОМ БЛИЖНЕМ И СРЕДНЕМ ВОСТОКЕ

В этой части диссертации освещается широкий круг вопросов, в той или иной мере связанных с учением о числе на Ближнем и Среднем Востоке в средние века.

Материалом при написании основных ее разделов служили арабские рукописи, до настоящего времени неисследованные (см. выше). В целях максимальной полноты изложения к исследованию была привлечена обширная русская и иностранная литература (работы Ф. Вепке, Э. Видемана, Г. Ганкеля, С. Гандца, И. Л. Гейберга, Г. Зутера, Л. Карпинского, П. Люкея, Г. Д. Мамедбейли, М. И. Медового, Э. Плузя, Б. А. Розенфельда, Ю. Рушка, Л. А. Седийо, К. Шоя, А. П. Юшкевича и многих других).

Глава I посвящена общему обзору математики рассматриваемого периода.

В § 1 приведены некоторые сведения о культуре стран Ближнего и Среднего Востока и, в частности, Средней Азии в средние века. Особое внимание уделяется имеющимся сейчас данным о состоянии восточной науки в период, предшествующий арабскому завоеванию.

В § 2 дан прежде всего краткий очерк истории изучения средневековой восточной математики. В этом же параграфе указаны основные библиографические источники (восточные и европейские).

Далее сделан ряд общих замечаний о характере физико-математических наук на Ближнем и Среднем Востоке. Рассматривается вопрос о корнях средневековой математики стран ислама, многократно обсуждавшийся в литературе. Хотя не все авторы едины между собой и по мере получения новых данных возникают новые гипотезы, ясно, что характер математики этого периода определился, с одной стороны, древними традициями восточной математики (арифметико-алгебраическое направление), а с другой—чертами, унаследованными от греческой науки с ее строго логическими теориями и интересом к отвлеченным проблемам.

Сейчас хорошо известно, что математику рассматриваемого периода отличало усиленное внимание к арифметике и алгебре, к разработке вычислительных методов, к измерительной геометрии; в этом направлении ученые стран ислама достигли замечательных результатов, в большой мере определивших дальнейшее развитие науки.

Значительно менее известно, что и в вопросах теории вклад их достаточно велик. Часто встречающаяся недооценка этого вклада объясняется скудостью материала, которым наука располагает в настоящее время. По мере изучения средневековых математических рукописей станет возможным все более объективное освещение данного вопроса. Приме-

ром этого должен послужить материал, изложенный в диссертации.

§ 3 имеет целью сообщить основные сведения о ряде восточных математиков и астрономов IX—XVI вв. с тем, чтобы в ходе дальнейшего изложения избежать повторных библиографических ссылок.

§ 4 посвящен судьбе греческого математического наследия в странах ислама, причем основное внимание уделено арабским переводам «Начал» Евклида и комментариям к этому сочинению. Показано, что труды классиков античной науки были положены в основу математического образования. Почетное место среди них занимали «Начала», в которых, наряду с другими вопросами, содержалось изложение греческого учения о числе и величине.

В § 5 рассматривается принятая у восточных ученых классификация математических наук, которая помогает яснее понять, как определялись отдельные научные дисциплины и какую цель ставило перед собой научное исследование. Из подразделения наук, данного ал-Фараби, Ибн Синой и ал-Ансари выясняется, что понималось в то время под учением о числе.

Математики стран ислама различали в учении о числе, с одной стороны, теоретический, а с другой — практические разделы. Первый включал в себя пифагорейскую теоретическую арифметику (хисаб ан-назари, или ал-арисматики), второй—практическую арифметику (хисаб ал-'амали) и алгебру (хисаб ал-джабр ва-л-мукабала). Уже эта классификация показывает, насколько серьезные изменения, по сравнению с античным периодом, произошли в трактовке основных математических понятий: противопоставление понятия числа понятию величины фактически перестало существовать, вследствие чего исчезло резкое разграничение между предметом учения о числе и предметом учения о величине. Теоретическая пифагорейская арифметика продолжала излагаться как основной раздел учения о числе, но на равных правах с ней сюда были отнесены алгебра (ранее трактовавшаяся геометрически) и вычислительная арифметика (логистика).

Другими словами, числовая иррациональность стала рассматриваться как число. В связи с этим возникает вопрос: отличалась ли точка зрения математиков стран ислама на проблему иррационального числа от точек зрения их предшественников? Ставилась ли здесь проблема логического обоснования действий с числовыми иррациональностями или же гос-

подствовал «наивный» подход вычислителя, не задумывающегося над сущностью производимых операций? Другими словами, был ли достигнут прогресс в развитии понятия числа и, если да, то насколько значительный?

Ответ на эти вопросы должен следовать из проведенного с данной работе анализа арабских сочинений, касающихся названных разделов учения о числе.

Глава II второй части диссертации посвящена теоретической арифметике в сочинениях восточных ученых. После обзора литературы и источников (§ 1) приводятся основные определения теоретической арифметики, данные различными авторами (§ 2), и рассматривается учение об «отдельном количестве», о четных, нечетных, простых и составных числах (§3).

Среди источников следует отметить две рукописи, обнаруженные нами в Институте востоковедения АН УзССР. Одна из них (№ 1750 — VIII) содержит «Трактат об арифметике» (рисала фи-л-арисматики) Абу-л-Вафы ал-Бузджани — небольшое сочинение, упоминавшееся в средневековых восточных энциклопедиях, но до сих пор неизвестные исследователям. Вторая рукопись (№ 5513—1) представляет собой отрывок из «Солнечного трактата по арифметике» (шамсийя ал-хисаб) ан-Найсабури.

В § 4 речь идет о совершенных и дружественных числах. Основное внимание уделено обзору трактата Сабита ибн Корры ал-Харрани1, который сделал значительный шаг вперед в развитии средневековой теоретической арифметики, впервые сформулировав и доказав правило нахождения двух дружественных чисел: если Pj — 2n- у — 1 и Р2 = 2'1 -3—1 являются простыми, то числа 2nP1P2 и 2n(Р1Р2 + P1 + Р2) будут дружественными. Полный перевод трактата дан в приложении к диссертации (т. II, стр. 146—180).

В § 5 рассматриваются определения фигурных чисел, а в § 6 учение о «зависимом количестве», о числовых отношениях и пропорциях. Показано, что здесь средневековые восточные математики следовали Никомаху Геразскому, посвятившему этим вопросам значительную часть своего «Введения в арифметику».

1 В 1852 г. отрывки из этого трактата (введение и формулировка теорем) были переведены Ф. Вёпке; в диссертации дается полный перевод.

§ 7 посвящен другим вопросам, находящимся в связи с задачами теоретической арифметики (например, задач суммирования числовых рядов).

На основании изложенного сделано заключение, что восточная теоретическая арифметика по содержанию и основным понятиям в основном не отличалась от пифагорейского учения о числе. Под числом здесь по-прежнему понималась совокупность единиц. Существенным, однако, является часто встречающееся отождествление числового отношения с дробью; иногда (например, в энциклопедии X в. «Рисала ихван ас-сафа») дробь непосредственно отнесена к числам. Таким образом, расширение понятия числа происходило даже в рамках этого, наиболее скованного традицией раздела учения о числе.

Важнейшую роль в развитии понятия числа сыграли успехи в области вычислительной математики. Обзору известных в настоящее время восточных сочинений по практической арифметике посвящена III глава. Здесь же рассматривается обнаруженный среди рукописей Института востоковедения АН УзССР (№ 3291, лл. 7—8 об.) трактат неизвестного в литературе автора Афдал ад-Дина Умара о «правиле двух ложных положений»; перевод его дан в приложениях (т. II, стр. 181—183).

Среди наиболее важных достижений восточных математиков в этой области следует считать внедрение десятичной позиционной системы счисления с применением нуля, а также усовершенствование шестидесятиричной системы счисления и открытие десятичных дробей1. Разработанные в этот период вычислительные методы позволили с большой степенью точности находить рациональные приближения значений иррациональных корней (квадратных, кубических и т. д.). Слово вычислителей, убежденных в числовой природе иррациональности, звучало теперь в математике не менее веско, чем слово теоретиков, заставляя последних искать компромиссного решения вопросов обоснования математических понятий.

1 До последнего времени считалось, что десятичные дроби впервые ввел ал-Каши. Однако недавно в Стамбуле обнаружена рукопись, из которой видно, что их применял мало известный исследователям математик X в. ал-Уклидиси, живший в Дамаске (см. A. S. Saidan, The earliest extant Arabic arithmetic, «Isis», vol. 57, 4, 1966, 475—490). В названной статье указано также, что десятичные дроби встречаются в еще неизученном трактате XI в., автором которого является Абу Мансур Абд-ал-Кахир ибн Тахир ал-Багдади.

Глава IV посвящена развитию алгебры на Ближнем и Среднем Востоке. Помимо имеющихся в литературе данных по этому вопросу, использован до сих пор неизвестный трактат ученого X в. Абд-ал-Азиза ал-Хашими «О вычислении иррациональных корней»; перевод его дан в приложении (т. II, стр. 184—195).

Алгебра в странах Ближнего и Среднего Востока впервые выделилась в самостоятельную науку и, будучи избавлена от сковывающей геометрической формы, в которую она была облечена в античности, получила широкую область применения для своих методов. Здесь особенно ярко наблюдалось развитие арифметико-алгебраических тенденций, характерных для древневосточной науки и проявившихся также в греческой математике позднего периода.

В алгебраическом исчислении в качестве чисел особого вида фигурировали степени неизвестной («простое число», 'адад; «корень», джизр; «квадрат», мал; и т. д.). Поскольку решение уравнения могло оказаться дробным или иррациональным (отрицательное и нулевое не рассматривалось), то дроби и иррациональные корни фигурировали в вычислениях на равных правах с целыми числами. В сочинениях по алгебре разделу об уравнениях обычно предпосылалось изложение правил действий над иррациональными выражениями (сначала 2-й, а затем 3-й степени и выше). Позднее иррациональности стали встречаться не только как решения, но и как коэффициенты уравнений. Численные алгебраические методы были применены и в геометрии: вычисление длин и площадей часто заменяло построение с помощью циркуля и линейки.

В своих сочинениях ученые стран ислама, таким образом, осуществили арифметизации» алгебры. Однако, с другой стороны, они всегда стремились обосновать алгебраические действия с помощью геометрии — в духе греческой математики. Примерами этого могут служить переведенное нами сочинение ал-Хашими, а также сравнительно мало известные трактаты Сабита ибн Корры («Рассуждение об исследовании вопросов алгебры с помощью геометрического доказательства») и ал-Караджи («Чудесное об арифметике»).

Следует отметить, что затушевывание различий между понятиями числа и величины привело к тому, что в геометрических рассуждениях в это время встречается недопустимое с античной точки зрения отступление от принципа однородности и

очень часто смешивается геометрическая и арифметическая терминология (например, «умножение линий»).

Однако было бы неверным заключить, что восточные математики ограничивались такого рода рассуждениями и уклонялись от более глубокого анализа понятия иррациональности. Это выясняется при рассмотрении того раздела учения о числе, который, согласно классификации ал-Фараби, составляет специальный («упоминающийся не в каждом сочинении») раздел «искусства алгебры и алмукабалы» и касается «тех вещей, основу которых для рациональных и иррациональных величин дал Евклид в своей десятой книге».

Глава V посвящена арабским комментариям к X книге «Начал», в которой восточные математики находили теоретическое обоснование арифметических операций над квадратичными иррациональностями.

До настоящего времени эти сочинения фактически неизвестны исследователям. Можно указать лишь на один трактат такого рода, подвергшийся основательному изучению (Вёпке, 1855; Зутер, 1922; Юнге и Томсон, 1930), который однако не является сочинением восточного автора; имеется в виду комментарий Паппа, сохранившийся только в арабском переводе ад-Димишки (X в.). Некоторое представление об арабских комментариях к X книге было составлено по средневековому латинскому переводу трактатов ан-Найризи и Абд-ал-Баки ал-Багдади, изданному в 1899 г. М. Курце и исследованному Г. Зутером (1907). Однако, как нам удалось показать, это представление далеко не отражало действительного положения дела.

В этой главе дан подробный анализ упоминавшихся выше арабских трактатов ал-Махани (IX в.), Назифа ибн Юмна (X в.), ал-Ахвази (X в.), ал-Хазина (X в.), Юханны ибн Юсуфа (X в.), Ибн ал-Хайсама (X—XI вв.), Ибн ал-Багдади (X—XI вв.), Насир ад-Дина ат-Туси (XIII в.) и двух анонимных трактатов X—XI вв. Перевод их дан в приложении к диссертации.

Теории квадратичных и биквадратичных иррациональностей Евклида восточные математики придавали, как оказывается, огромное значение и последовательно перевели ее на арифметический язык; в этой форме она вошла в трактаты по алгебре как собрание правил действий над числовыми иррациональностями и правил решения соответствующих квадратных уравнений. Словесное выражение зависимости между

иррациональностями, которые Евклид рассматривал с геометрической точки зрения, было равносильно формуле:

В рассмотренных трактатах видно, что их авторы ясно понимали связь между данной в X книге классификацией квадратичных иррациональностей и системами уравнений 2-й степени. Правила нахождения биномиалей и вычетов формулируются как правила нахождения решений соответствующих уравнений.

Однако из рассмотренных комментариев выясняется также, что их авторов глубоко волновал вопрос о правомерности такого перехода от геометрического учения Евклида на арифметические позиции «вычислителей». Этот переход они и пытались обосновать, стремясь примирить обе точки зрения.

Исходной предпосылкой, как и у греков, является здесь противопоставление понятий числа и величины. При рассмотрении величин за основу по-прежнему берется теория отношений и идея соизмеримости и несоизмеримости. В то же время, однако, выдвигается ряд принципиально новых положений.

Под величиной зачастую понимается не геометрический объект, а иррациональный корень из числа. Обоснование такой трактовки находится в четко выраженном измерительном подходе к понятию величины и отношения. Так, ал-Хазин и вслед за ним ат-Туси дают следующее определение: «Непрерывность величин имеет место, если одна из них находится в отношении к другой, или одна из них измеряет другую». Для измерения однородных величин выбирается одна из них, принимаемая за единичную. Если она содержится целое число раз в другой величине или если последняя является «долей» ( — ) или «долями» (— ) от единичной, то ей соответствует число; величина «выражается» через единичную, «произносится», а потому называется «выразимой» или «произносимой» (мунтак). Ал-Махани пишет, что «рациональная будет тогда, когда мы говорим — десять, двенадцать, три с половиной, шесть и одна треть и т. д., потому что величина ее произносится или выражается количественно».

Если же величина не может быть выражена с помощью единицы, т. е. несоизмерима с ней, то она является «непроизносимой» или «глухой» (асамм) и «выражается» только с

помощью корней. Особо отмечается (ал-Хазин, ат-Туси, Юханна ибн Юсуф), что, если рассматривать совокупность иррациональных величин, то среди них одни могут выражаться через другие (например,у 45 = 5), однако они остаются иррациональными, потому что не выражаются через единицу.

После введения такого соответствия между величиной и числом, выражающим меру в случае соизмеримости, и между величиной и корнем в случае несоизмеримости вопрос об обосновании новой концепции величины (и числа) считается исчерпанным.

Наиболее последователен Ибн ал-Багдади, который излагает своеобразное «исчисление отрезков, площадей и объемов». Оно основано на понятии «умножения» величин и на противоречащем геометрической алгебре утверждении, что произведение двух однородных величин есть величина, однородная с ними (например, произведение двух отрезков а и b следует изображать не прямоугольником, а таким отрезком с, что где е — единичный отрезок). К одному роду с данной величиной должен принадлежать и квадратный корень из нее, существующий, по мнению Ибн ал-Багдади, для любой величины. Так, под корнем из отрезка он понимает построенный циркулем и линейкой отрезок — среднее геометрическое между данным рациональным и единичным отрезком. В случае плоских фигур под корнем понималась фигура (того же вида, что и данная), площадь которой является средним геометрическим между площадями данной и единичной фигур. Таким образом, оказывалось возможным повторное извлечение квадратного корня из величин.

Нетрудно заметить, что в основе рассуждений Ибн ал-Багдади лежат идеи, которые в XVI в. развил Р. Бомбелли и на которых впоследствии Декарт построил свою аналитическую геометрию. Однако восточный математик рассматривает лишь корни с показателем 21, нужные ему при изложении X книги Евклида.

Определив корень квадратный из числа как среднее геометрическое между этим числом и единицей Ибн ал-Багдади утверждает, что между указанными геометрическими и арифметическими объектами существует взаимооднозначное соответствие. Другими словами, рациональные отрезки «изображаются» числами, а иррациональные — корнями из чисел. Выражая ту же мысль, ал-Фараби ранее писал, что «опреде-

ленные рациональные числа соответствуют рациональным величинам, а определенные иррациональные числа — иррациональным величинам».

Отсюда вытекает, что теоремы, доказанные для геометрических величин, верны и для их арифметических образов; и обратно, действия с числовыми квадратичными иррациональностями можно обосновать, опираясь на строгую теорию Евклида.

Сложнее обстояло дело с обоснованием арифметических действий над кубическими иррациональностями, которым восточные математики занимались не столь систематически. Однако и здесь был достигнут определенный прогресс, о чем свидетельствует рассмотренный в диссертации трактат ал-Махами. Этот ученый, который, как известно, пытался решить уравнение 3-й степени, в своем комментарии к X книге «Начал» распространил классификацию Евклида на кубические иррациональности.

Из множества иррациональных величин он выделил «плоские» и «телесные» величины. К «плоским» он отнес квадратные корни, корни 4-ой степени, а также «то, что получается из сложения их между собой, или из их сложения с рациональной, или из вычитания их между собой». «Телесными» ал-Махани называет «корни кубические, или корни кубические из квадратных корней, или корни кубические из кубических корней, или то, что получается путем их сложения или вычитания». «Телесные» иррациональности, как и «плоские», подразделяются на простые («отдельные») и составные. Возможно, ал-Махани пытался каким-то образом обобщить на них предложения X книги «Начал». К сожалению, этот чрезвычайно интересный трактат известен лишь в отрывке.

В главе VI рассматривается (на основании литературных данных) теория отношений в математике Ближнего и Среднего Востока. Эта античная теория, в полном ее объеме воспринятая из греческой науки и составлявшая основу всех теоретических исследований, была, однако, на Востоке подвергнута критике. Возражения вызывали прежде всего евдоксовы определения отношения и равенства двух отношений, не удовлетворявшие восточных математиков с вычислительной точки зрения. Поэтому была возрождена и последовательно изложена «антифайретическая» теория, которая позволяла строить рациональные приближения иррациональных отношений с любой точностью.

Наиболее существенным моментом явилась попытка строгого обоснования теории составных отношений, которая привела к теоретическому распространению понятия числа на отношения величин. Определение этого расширенного понятия числа дали Омар Хайям, а затем Насир ад-Дин ат-Туси.

Обобщая данные, приведенные во второй части диссертации, можно заключить: труды математиков Ближнего и Среднего Востока сыграли важную роль в процессе формирования понятия действительного числа. На заложенной ими основе начинались исследования европейских ученых, в сочинениях которых мы находим яркий пример преемственности научных идей.

Часть III. УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ В СРЕДНЕВЕКОВОЙ ЕВРОПЕ

Третья часть диссертации посвящена истории учения о числе в Европе до XVII в. и состоит из семи глав: в главах I—VI рассматривается развитие теоретической и практической арифметики, алгебры, теории иррациональных величин и теории отношений до XV в. включительно, в главе VII — учение о числе в XVI в.

Глава I содержит общие сведения о математике в Европе X—XV вв. Как известно, математика европейского средневековья базировалась на двух различных основах: на скудных познаниях, сохранившихся от греко-римской науки, и на сведениях, полученных в XII в. из арабской литературы. Благодаря второму источнику Европа познакомилась с трудами античных математиков в арабском переводе и с оригинальными сочинениями восточных авторов.

В § 1 главы I сделан краткий обзор истории математики в Европе и приведены некоторые данные о творчестве первых переводчиков арабских математических сочинений: Аделарда из Бата, Герардо Кремонского, Роберта из Честера, Германа из Каринтии. В § 2 сообщаются сведения о европейских математиках XIII—XV вв. и их трудах по арифметике и алгебре. § 3 этой главы посвящен обзору ранних латинских переводов «Начал» Евклида с арабского и греческого языков (переводы Боэция, Аделарда из Бата, Герардо Кремонского, Германа из Каринтии, Кампано, Замберти).

Глава II посвящена теоретической арифметике, которая составляла основную часть античного математического наследия, полученного Европой непосредственно из греко-рим-

ских источников. Этот раздел учения о числе, таким образом, существовал в период раннего средневековья параллельно и независимо в математике стран ислама и в Европе.

Теоретическая арифметика являлась предметом наиболее ранних сочинений европейских математиков (в диссертации рассматриваются трактаты Кассиодора и Боэция). Оказывается, однако, что если первоначальные познания не выходили за рамки арифметики Никомаха, то с XIII в. благодаря восточному влиянию круг рассматривавшихся вопросов расширился — главным образом, за счет неопределенного анализа. Это влияние ясно сказывается в трудах Леонардо Пизанского и Иордана Неморария.

Как и на Востоке, теоретическая арифметика в Европе вплоть до XVI в. считалась основным разделом учения о числе, о чем свидетельствуют сочинения Томаса Брадвардина, Луки Пачоли, Николая Шюке, а также анонимная немецко-латинская рукопись XV в. (опубликованная М. Курце).

Глава III посвящена европейским сочинениям по практической арифметике (до XVI в.). В § 1 речь идет о введении индо-арабской нумерации и проникновении в Европу вычислительных приемов, разработанных в странах ислама. § 2 содержит краткий обзор первых европейских трактатов по «алгорисму». В § 3—5 рассматриваются сочинения Леонардо Пизанского и Иордана Неморария, посвященные практической арифметике, а также средневековый трактат «Algorithmus demonstratus», вызвавший в свое время большой интерес историков математики.

В § 6 дан обзор сочинений по практической арифметике XIV—XV вв.

Глава IV содержит сведения о развитии алгебры, которая, в противоположность арифметике (ars minor — малое искусство), носила название «большого искусства» (ars magna). Отмечается, что вплоть до XVI столетия образцом изложения этой науки служил алгебраический трактат ал-Хорезми, переведенный на латинский язык в середине ХП в. Однако уже в XIV в. итальянские алгебраисты сделали попытку численно решить уравнение 3-ей степени и тем самым наметили выход за пределы, установленные ал-Хорезми. К концу XV в. алгебраические методы прочно вошли в европейскую математику, причем были созданы некоторые элементы буквенного исчисления. В диссертации рассматриваются сочинения Леонардо Пизанского, Иордана Неморария, Луки Пачоли, Шюке и др.

Преемственность математических идей наглядно выступает в трактовке теории иррациональных величин в Европе до XVI в.; этому вопросу посвящены V и VI главы рассматриваемого раздела диссертации.

Понятие иррациональной величины начинает фигурировать в европейской математике в XII в. в связи с переводом на латинский язык арабских комментариев к «Началам» Евклида. Из восточных сочинений был усвоен не только термин «глухое число» (numerus surdus), буквальный перевод арабского «'адад асамм»), обозначающий иррациональную величину, но и двойственный подход к изложению теории и обоснованию основных понятий: теория иррациональных величин по-прежнему трактовалась либо с арифметической точки зрения (в специальных разделах алгебры), либо с геометрической (в комментариях к V и X книгам «Начал»).

Глава V посвящена средневековым европейским интерпретациям X книги «Начал» Евклида, в которой, как и раньше на Востоке, видели наиболее трудный раздел математики, дающий обоснование операциям с числовыми иррациональностями.

В § 1 рассматривается X книга латинской версии «Начал», принадлежащей Кампано (XIII в.), в сравнении с арабской версией Насир ад-Дина ат-Туси (по римскому изданию 1594 г.) и с первым европейским переводом с греческого оригинала, выполненным Замберти в конце XV в. (по изданию 1537 г.). Показано, что Кампано строго следовал восточной традиции, тогда как Замберти стремился освободить греческий текст от всего привнесенного извне.

Подробно сравниваются последовательность предложений в указанных версиях X книги, латинская терминология Кампано и Замберти, а также доказательства отдельных предложений.

Существенное различие состоит в том, что Кампано по восточному образцу систематически разъясняет предложения с помощью числовых иррациональностей, в то время как Замберти старается этого избежать. Однако наиболее важным является ряд добавлений, сделанных Кампано, и прежде всего его рассуждение о прямолинейных и роговидных углах.

В § 2 рассматривается X книга «Начал» в алгебраических сочинениях. Дан подробный обзор соответствующего раздела «Liber abaci» Леонардо Пизанского, представляющего собой первое в европейской математике последовательное изложение теории квадратичных иррациональностей на языке ариф-

метики. Уже в этом сочинении Леонардо расширяет круг рассматриваемых вопросов за счет трехчленных квадратичных иррациональностей. Однако наиболее значительный шаг он сделал в сочинении «Floß» (впервые опубликованном в 1862 г. Б. Бонкампаньи и исследованном Ф. Вёпке), показав, что кубическое уравнение х3 + 2х2 + 10х = 20 не может быть разрешено в иррациональностях X книги.

Далее рассматривается упомянутая выше мюнхенская рукопись XV в. (опубл. М. Курце), которая свидетельствует об основательном знакомстве математиков XV в. с X книгой «Начал».

На основании изложенного в V главе материала сделан вывод, что X книга играла в средневековой европейской математике важную роль. Поскольку она стала известна по арабским версиям «Начал», сразу была воспринята и ее арифметическая интерпретация. Стоя на такой основе, ученые Европы смелее, чем их предшественники, шли по пути арифметизации античной теории величин. Более того, когда позднее, в XVI в., появились переводы «Начал» с греческого оригинала, понимание X книги в геометрической трактовке вызывало затруднения, о чем свидетельствуют многочисленные высказывания математиков того времени.

Глава VI содержит обзор теории отношений в европейской математике до XVI в. Рассматриваются сочинения Иордана Неморария, Томаса Брадвардина, Николая Орема, Альберта Саксонского.

Античная теория отношений играла в европейской математике не меньшую роль, чем в восточной, причем сфера ее приложения значительно расширилась за счет естественных наук.

Первые сведения в теории отношений были получены из греческих источников (Боэций); более основательное знакомство произошло благодаря переводам арабских сочинений, излагающих эту теорию (трактаты ан-Найризи и Ахмада ибн Юсуфа ал-Мисри в переводе Герардо Кремонского).

Однако в Европе теория отношений претерпела существенные изменения как по сравнению с античным, так и с восточным ее вариантом. В частности, не было воспринято обычное на Востоке «антифайретическое» определение равенства отношений, а определение Евдокса также давалось в несколько измененном виде. Характерным стало определение равенства целочисленных отношений с помощью «знаменований» — некоторых целых или дробных чисел, выражающих

эти отношения. Важное значение придавалось теории составных отношений. Составное числовое отношение стало определяться как произведение «знаменований» исходных отношений.

Такой подход значительно облегчил дальнейшую арифметизациию теории отношений и выработку понятия действительного числа. Результаты же, полученные в этом направлении Омаром Хайямом и Насир ад-Дином ат-Туси, очевидно, оставались неизвестными европейским математикам XIV—XV вв.

Итак, до конца XV столетия в Европе господствовал старый восточный подход к понятию числа: обоснования его искали по-прежнему в «Началах» Евклида и исходили при этом из противопоставления понятий числа и величины. Число обычно, как и раньше, определялось как совокупность единиц. Переломным периодом в истории учения о числе явился XVI в.

Обзору ряда сочинений математиков этого времени посвящена VII глава третьей части диссертации.

Здесь рассматривается учение о числе в трудах итальянских ученых Тартальи и Кардано (§1), немецких коссистов — Андреаса Александра, Генриха Грамматеуса, Адама Ризе, Христофа Рудольфа, Михаэля Штифеля и Иоганна Шейбеля (§ 2), французских математиков Рамуса, Шонера, Пелетье, Бутео и Госселена (§ 3), английского математика Роберта Рекорда (§ 4), Клавия, Мавролико, Бомбелли — ученых, работавших в Италии, на рубеже XVI и XVII вв. (§ 5), и, наконец, Симона Стевина (§ 6).

Важнейшее значение для изменения сложившихся воззрений на понятие числа имело численное решение кубического уравнения, что осталось недоступным античным и восточным математикам. Этим открытием в вычислительную математику были широко введены кубические иррациональности, причем еще более укрепился взгляд на иррациональный корень как на число. Поэтому уже с начала XVI в. делались попытки построить единое обобщенное учение о числе, охватывающее арифметику рациональных и иррациональных чисел.

Так, Кардано, упоминающий в своей классификации иррациональные числа наряду с целыми, дробными и алгебраическими (степени неизвестной в уравнении), называет их арабским термином «глухие числа» и определяет их как «числа, относительно которых нельзя сказать, что они собой представляют»; подробно он рассматривает только квадра-

тичные и биквадратичные иррациональности на основе X книги «Начал», повторяя по существу рассуждения, знакомые нам по арабским комментариям к этой книге. Теорию отношений он трактует также со старых позиций.

Тех же установок придерживались и немецкие коссиста XVI в., хотя взгляд на числовые иррациональности как на числа у них оформился еще более четко. Так, Андреас Александр, говоря о сущности евклидовых биномиалей и вычетов, утверждает, что они являются «абсолютными иррациональными числами», находящимися, однако, в потенции, и для того, чтобы они «проявились» их следует рассматривать в уравнении.

Наиболее характерны высказывания Мих. Штифеля, автора одного из самых завершенных изложений обобщенного учения о числе. Подразделив все числа на «истинные» и «ложные», он отнес к последним иррациональные числа, которые назвал также «подобием чисел». По мнению Штифеля, хотя «ложные числа» числами не являются, применение их оправдано ввиду большой пользы с вычислительной точки зрения. Штифелю принадлежит также новая классификация иррациональностей, охватывающая корни произвольных степеней.

В конце XVI в. уже были заложены все необходимые основы для создания понятия действительного числа. К этому времени относится систематическое построение теории «знаменователей» рациональных отношений (Клавий), вследствие чего целочисленное отношение стало определенно рассматриваться, как число. Чрезвычайно важный шаг сделал Рафаэль Бомбелли, давший геометрическое определение ноля действительных чисел; эта идея, ранее высказанная Ибн ал-Багдади, нашла впоследствии завершение у Декарта. Существеную роль сыграло также окончательное оформление теории уравнений первых четырех степеней (Бомбелли, Виет).

В XVI в. было выработано и понятие отрицательного числа, с которым сталкивались уже давно при решении уравнений, но не давали его определения. Отрицательные числа рассматривались Андреасом Александром; Штифель, Клавий и Пелетье говорят о них как о «придуманных» числах, которые меньше нуля и которые столь же удобны в практических вычислениях, как иррациональные,

Одновременно вошел в обиход взгляд на нуль, как на действительную величину, равноправную с рациональными и иррациональными числами (Тарталья, Кардано, Штифель).

Важнейшее значение имело введение понятия мнимого числа, связанное с решением кубического уравнения в неприводимом случае (Кардано, Бомбелли).

Однако наиболее важный шаг в истории учения о числе сделал в конце XVI в. Симон Стевин, развивавший как и Бомбелли, мысль о глубокой аналогии, которая существует между геометрическими и арифметическими объектами. Он утверждал, впервые нарушив античную традицию определения числа, что «число есть то, чем определяется любая величина», и включил таким образом в понятие числа иррациональное число наряду с целым и дробным. По мнению Стевина, «нет никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, невыразимых или глухих чисел», а любой корень есть число. Под числом Стевин понимал также отрицательное число и единицу, но, как и до него, 0 числом не считал. В мнимых числах пользы он не видел и в понятие числа не включал.

Таким образом создавались предпосылки возникновения понятия действительного числа, что было осуществлено в XVII столетии.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Второй том диссертации содержит приложения, состоящие из трех разделов:

I. Библиография;

II. Арабско-русский математический словарь;

III. Текст переводов арабских и латинских сочинений.

Список литературы насчитывает 1209 названий. (Библиография, касающаяся творчества математиков Средней Азии, снабженная аннотациями, была опубликована в книге автора «К истории математики Средней Азии»).

В словаре приводятся некоторые арабские математические термины, встречающиеся в рассмотренных средневековых сочинениях.

Переводы, ввиду их значительного объема, иногда даны не полностью; в этих случаях сделано соответствующее указание. Текст большинства переводов принят к печати в III (VI) выпуске сборника «Физико-математические науки в странах Востока» (М., изд. «Наука»),

Содержание диссертации, помимо упомянутой книги «К истории математики Средней Азии» (Ташкент, 1962, 8 печ. л.), изложено в брошюре «Бируни и естественные науки» (Ташкент, 1963; на узбекском языке, 4 печ. л.), монографии «Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке (Ташкент, 1967, 21 печ. л.) и в следующих статьях:

«О математических рукописях из собрания Института востоковедения АН УзССР» («Известия АН УзССР», серия физ.-мат. наук, 1965, № 3, стр. 72—74);

«О математических работах школы Улугбека», совместно с С. Х. Сираждиновым (в сб. «Из истории эпохи Улугбека», Ташкент, 1965, стр. 173—199);

«К истории учения о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке» («Историко-математические исследования», вып. XVII, М., 1966, стр. 273—280);

«История X книги «Начал» Евклида в средние века» (Тезисы Международного конгресса математиков в Москве, Симпозиум: Математика в странах Востока в средние века, в ее взаимосвязи с математикой европейских стран, М., 1966, стр. 8—9).

По материалам диссертации были сделаны сообщения на заседаниях семинаров по истории математики, конференциих и на Международном Конгрессе математиков в Москве.

Академия наук Узбекской ССР

Сдано в набор 17/IV—1968 г. Подписано к печати 24/IV—1968 г.

Р-03794 Объем 1,75 п. л. Заказ № 959 Тираж 200

Типография № 6 Государственного комитета Совета Министров УзССР по печати, г. Ташкент, ул. Т. Шевченко, 52.