АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

М. С. МАЦКИН

„МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ УЧЕНИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНАХ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ"

Автореферат диссертации, представленной на соискание ученой степени кандидата педагогических наук (по методике математики)

Москва 1949

1. Учение о геометрических величинах—вопросы измерения длин, площадей и объемов — представляет собой существенную часть школьного курса геометрии. Постановка преподавания этих вопросов является актуальной методической проблемой, ждущей своего разрешения. Наша работа, посвященная изучению указанной проблемы имеет своей целью способствовать улучшению качества преподавания вопросов измерения геометрических величин в средней школе.

2. Как известно, школьное изложение учения о геометрических величинах страдает рядом серьезных недостатков. В своей работе мы указали основные из этих недостатков, которые мы сейчас вкратце перечислим:

а) Все изложение вопросов измерения величин страдает отсутствием общей идеи и отличается крайним разнообразием методов и приемов. Это, с одной стороны, в значительной мере затрудняет усвоение этих вопросов учащимися и, с другой стороны, ведет к отсутствию у учащихся ясной и цельной картины об установлении измерения величин и методах, применяемых в этой области.

б) Вызывают возражения как с психологической, так и с логической точки зрения специально вводимые определения для отдельных геометрических величин, например, для длины окружности, площади круга, объема цилиндра, конуса, шара и т. п.

С одной стороны, эти навязываемые учащимся определения являются в их глазах не мотивированными и мало обоснованными и наводят на мысль о произвольности математических определений вообще. (Например, определение длины окружности как предела последовательности периметров некоторых многоугольников мало связано с интуитивным представлением о длине линий как о длине того отрезка, который получается по «выпрямлении» ее). С другой стороны, указанные выше

определения страдают тем логическим недостатком, что не дают возможности делать какие-либо заключения относительно длин, площадей и объемов частей рассматриваемых объектов. (Например, из определения площади круга не ясно, что понимать под площадью сектора и сегмента или из определения объема конуса не ясно, что понимать что под объемом усеченного конуса.)

в) Измерение длин отрезков в школе недостаточно увязано с ведением иррациональных чисел без чего, во-первых, учащиеся не имеют ясного и отчетливого представления о действительных числах, во-вторых, теория измерения длин отрезков строится на недостаточно прочном фундаменте (само изучение теории дейсвительного числа в школе страдается многими недостатками, о которых мы говорим в соответствующем месте работы).

г) Определение площади плоской фигуры как величины части плоскости, занимаемой этой фигурой, и объема тела, как величины части пространства, занимаемого этим телом, приводимые в общепринятом в настоящее время учебнике А. П. Киселева, бессодержательны и бесполезны. Они не только не являются действительными определениями, из которых можно сделать какие-то заключения, но представляют собой плохие описания, так как они поясняют более простые и распространенные понятия «площади» и «объема» менее знакомым для учащихся понятием «величина».

3. Чтобы избежать указанные недостатки, мы в значительной степени отходим в нашей работе от традиционного пути построения преподавания вопросов измерения геометрических величин в средней школе. Мы стараемся в возможно большей мере использовать достижения математической науки, приблизить школьное преподавание к научному изложению, не снижая в то же время его доступности для учащихся.

Мы считаем крайне важным опираться на имеющиеся у учащихся интуитивные представления о длине, площади и объеме, пополняя, уточняя и развивая эти представления с помощью примеров, описаний и рассуждений.

Большое значение в этом отношении мы придаем использованию моделей, к которым рекомендуем прибегать во многих случаях, особенно при изучении измере-

ния объемов тел. Как известно, наглядность в преподавании значительно увеличивает доступность учебного материала и улучшает усвоение его учащимися. Многие теоремы, которые, на первый ызгляд, кажутся довольно трудными, при применении моделей становятся чрезвычайно простыми и ясными.

4. Все изложение вопросов измерения геометрических величин мы строим на основе одной общей идеи — использовании общих определений измерения длин, площадей и объемов, аналогичных для всех случаев.

Все необходимые свойства измерения, а также способы измерения длин, площадей и объемов, рассматриваемых в средней школе линий, фигур и тел, мы получаем на основе этих определений.

На протяжении всего изучения вопроса мы пользуемся одинаковыми методами. Мы исходим из свойств измерения и используем общепринятые способы сравнения геометрических объектов, равносоставленность многоугольников и многогранников, а также теорему о двух сходящихся к одному пределу последовательностях, о которой речь еще будет ниже. При этом мы избегаем специальных определений для длины окружности и круговой дуги, площади круга, кругового сектора и сегмента и объема цилиндра, конуса, шара и их частей. Способы измерения как длины дуги окружности, так и площадей частей круга и объемов частей различных тел, логически вытекают из введенных определений измерения длин, площадей и объемов.

5. В своей работе мы остановились на изучении следующих вопросов:

1) Длина прямолинейного отрезка.

2) Длина окружности и круговой дуги.

3) Площадь плоской фигуры.

4) Объем тела.

Изучение площади поверхности тел, рассматриваемых в средней школе, может быть также построено на основе проводимой нами идеи и с применением тех же используемых нами методов.

6. Работа состоит из 6 глав. В первых двух главах дается методологическое обоснование понятия величины и аксиоматическое построение теории измерения величин.

Здесь мы с диалектико-материалистической точки

зрения освещаем вопрос о происхождении математических понятий вообще и понятия величины в частности, а также, уточнив значение, роль и сущность аксиоматического метода в математике, даем аксиоматическое определение как вообще величин, так и измеримых величин, в число которых входят и геометрические величины.

Мы даем также общее определение измерения величин, которое затем используем, соответственно приспособив его, для введения в школьном курсе определения измерения длин, площадей и объемов. Мы доказываем, что для тех величин, которые были нами названы «измеримыми» (т. е., которые удовлетворяют введенной нами системе аксиом), можно установить измерение и притом единственным образом, если заранее выбрана единица измерения (т. е. величина, которой отнесено число 1).

Разумеется, мы не считаем возможным вводить в школе аксиоматическое определение величин, но проведенное нами исследование дает нам ясное понимание того, что значит ввести измерение для какой-либо системы величин и какими свойствами должны обладать длины линий, площади фигур и объемы тел, чтобы для них возможно было установить измерение.

Вторая часть работы —третья, четвертая, пятая и шестая главы — посвящена собственно методике преподавания учения о геометрических величинах в школе. Это — основная часть работы, по отношению к которой первая часть является вспомогательной.

7. В главе третьей рассматривается измерение длин прямолинейных отрезков. Мы считаем, что прежде, чем непосредственно заняться измерением длин отрезков, необходимо в большей мере, чем это делается в настоящее время, познакомить учащихся со свойствами самих отрезков, ввести умножение отрезка на рациональное число и рассмотреть свойства действий над отрезками, а также ознакомить учащихся со свойством непрерывности прямой, сформулированным в виде аксиом Архимеда и Кантора. Это важно для математического развития учащихся и, кроме того, окажет большую помощь при дальнейшем изучении вопроса.

Изложение вопроса измерения длин отрезков мы не можем начинать с определения измерения. Прежде всего, такое определение предполагает знакомство со всем

аппаратом действительных чисел, а сами действительные числа не могут быть введены в школе с достаточной ясностью и полнотой до прохождения измерения длин отрезков. Помимо этого, начинать с общего определения не было бы в этом случае психологически оправдано, так как такое определение ничего не говорило бы интуиции учащихся и казалось бы им навязанным.

Мы опираемся на имеющиеся у учащихся интуитивные представления о длине отрезка, вынесенные из повседневного опыта и из начальной школы.

Затем мы, используя знакомство учащихся с числовой осью и доказав существование на числовой оси точек, которым не соответствуют никакие рациональные числа, подводим школьников к пониманию необходимости введения новых чисел. (Доказательство существования несоизмеримых отрезков, в отличие от ранее проводившихся доказательств этого факта, мы основываем на введенном умножении отрезка на рациональное число). Дале мы вводим иррациональные числа, как бесконечные непериодические десятичные дроби и устанавливаем сравнение действительных чисел и действия над ними, все время не теряя связи с измерением отрезков.

Лишь в конце раздела, когда учащиеся достаточно ясно представляют суть дела, мы, подытоживая все говорившееся по поводу измерения длин отрезков, вводим следующее определение:

Мы скажем, что установлено измерение длин отрезков, если при выбранной единице длины, длина каждого отрезка выражается вполне определенным действительным положительным числом, так что: 1) длины равных отрезков выражаются равными числами, 2) длина отрезка, представляющего собою сумму отрезков, выражается числом, равным сумме чисел, выражающих длины составляющих его слагаемых.

8. Четвертая глава посвящена измерению длины окружности и круговой дуги. Так как здесь существенным является применение предела числовой последовательности, то в начале этой главы мы помещаем параграф о числовых последовательностях и их пределах. Кроме обычных теорем о пределах числовых последовательностей, мы в этом параграфе приводим следующую теорему, чрезвычайно важную для изложения всех тех во-

просов измерения длин, площадей и объемов, которые связаны с применением предельного перехода. Теорема. Если даны две последовательности чисел:

1) а19 а2,..., ап

2) Ьъ 62,..., Ъп

такие, что: 1) первая из них возрастает, а вторая убывает, 2) каждый член первой последовательности меньше любого члена второй, 3) разность между соответствующими членами этих последовательностей с возрастанием номера этих членов стремится к нулю, то а) существует единственное число, большее всех членов первой последовательности и меньшее всех членов второй последовательности и в это число является пределом каждой из этих последовательностей.

Доказтельство этой теоремы мы проводим, пользуясь рассмотренным в предыдущей главе изображением чисел на числовой оси и аксиомой Кантора для отрезков.

Когда мы переходим к измерению длины окружности, мы прежде всего, распространяем введенное определение измерения длин отрезков на длины плоских линий, пользуясь понятием «выпрямления» линии (определение линии мы неуточняем, а опираемся на имеющиеся у учащихся представления). Теорему об измерении длины окружности мы основываем на аксиме о том, что длина круговой дуги больше длины стягивающей ее хорды и меньше длины описанной около нее ломаной, имеющей с ней общие концы, на свойствах измерения длин линий и приведенной выше теореме о пределе двух числовых последовательностей. Теорема об измерении длины круговой дуги логически вытекает из теоремы об измерении длины окружности и второго свойства измерения длин линий.

9. При переходе к изучению измерения площадей плоских фигур, изложенному в главе пятой, мы развиваем имеющиеся у учащихся представления о площадях и их свойствах и затем сразу же даем общее определение измерения площадей плоских фигур. Здесь такое введение общего определения не кажется неоправданным, так как это определение приводится по аналогии со

знакомым уже учащимся определением измерения длин линий. Кроме свойств измерения, сформулированных в самом определении [1) площади равных фигур измеряются равными числами, 2) число, измеряющее площадь фигуры разбитой на несколько частей, равно сумме чисел, измеряющих площади этих частей, мы выводим еще два непосредственно вытекающих из них свойства: 3) площади равносоставленных фигур измеряются равными числами, 4) число, измеряющее площадь части фигуры, меньше числа, измеряющего площадь всей фигуры.

На основании свойств измерения мы находим способы измерения площадей различных видов фигур. При измерении площадей многоугольников мы широко пользуемся равносоставленностью. Между прочим, здесь нам удалось дать в доступной для учащихся форме доказательство теоремы о транзитивном свойстве равносоставленности многоугольников.

Основываясь на свойствах измерения, мы доказываем теорему о площади прямоугольника, в основании которого лежит единичный отрезок, а затем, пользуясь равносоставленностью и вторым и третьим свойствами измерения, находим способы измерения площадей различных видов многоугольников, встречающихся в школьном курсе геометрии.

При нахождении способа измерения площади круга и его частей мы также исходим из свойств измерение и пользуемся приведенной выше теоремой от пределе двух числовых последовательностей. Мы доказываем, что число, измеряющее площадь круга, является общим пределом последовательностей чисел, измеряющих площади правильных вписанных и площади правильных описанных многоугольников при неограниченном удвоении числа их сторон.

После усвоения учащимися измерения площадей мы считаем целесообразным разобрать с ними вопрос о возможности и единственности измерения, при условии если класс достаточно подготовлен.

10. В последней шестой главе излагается измерение объемов тел. Определение измерения объемов тел дается аналогичное определению измерения площадей плоских фигур, и все изложение строится аналогично изучению измерения площадей плоских фигур.

Прежде всего, мы доказываем теорему об измерении объема прямоугольного параллелепипеда, в основании которого лежит единичный квадрат. Затем, используя свойство равносоставленности, находим способы измерения объемов прямых и наклонных призм.

Для измерения объема треугольной пирамиды уже существенно необходимо использовать предельный переход. Здесь мы, так же как и раньше в подобных случаях, используем приведенную нами теорему о пределе двух числовых последовательностей и свойства измерения объемов тел, Мы строим лежащие внутри треугольной пирамиды и охватывающие ее ступенчатые тела и доказываем, что число, измеряющее объем пирамиды, является общим пределом последовательностей чисел, измеряющих объемы внутренних ступенчатых тел и объемы охватывающих ступенчатых тел, при безграничном удвоении числа частей, на которое мы делим высоту пирамиды, строя эти ступенчатые тела.

Теоремы об объеме цилиндра и конуса принципиально ничем не отличаются от теоремы о площади круга. Мы строим в этих случаях последовательности правильных призм (или правильных пирамид), основания которых представляют собой правильные вписанные в основание цилиндра (или конуса) и описанные около него многоугольники с безгранично удваивающимся числом сторон.

Чтобы найти число, измеряющее объем, мы разбиваем шар на два полушара. Для измерения объема полушара мы строим лежащие внутри него и охватывающие его цилиндрические ступенчатые тела. Числа, измеряющие объемы этих тел при безграничном удвоении числа частей, на которые мы делим высоту полушара (радиус, перпендикулярный к основанию полушара) при построении этих тел, стремятся к числу, измеряющему объем полушара. Здесь мы применяем все тот же метод доказательства, основывающийся на свойствах измерения объемов и теореме о пределе двух числовых последовательностей.

Число, измеряюще объем сегмента находим тем же способом, что и число, измеряющее объем полушара, а для нахождения способов измерения объемов других частей шара используем 2-е свойство измерения объемов.

11. Все изложение вопросов измерения геометрических величин в той форме, как это предлагается делать в диссертационной работе, мы, к сожалению, не имели возможности систематически провести. Однако многие фрагменты предлагаемого изложения давались как на уроках, так и на кружковых занятиях с учащимися 8 — 10 классов.

Эти отдельные занятия, как и сочувственный отклик многих учителей, с которыми мы беседовали о наших идеях во время посещения уроков и работы на курсах усовершенствования учителей, убедили нас в правильности выбранного нами пути изложения рассматриваемых вопросов в школе.

Л 153347 Подп. к печ. 26/VII 1949 г. Размер 60 X 92V, Зак 740 _Тир. 100

Типография Изд-ва АПН. Москва, Лобковский пер., 5/16