КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. А. М. ГОРЬКОГО

Б. П. МАТКОВСКИЙ

РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О КОНТИНУУМЕ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛОВ В СТАРШИХ КЛАССАХ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Киев — 1955

Возникновение и развитие понятия вещественного числа

Понятие вещественного числа возникло на основе практической деятельности людей, путем абстракции и обобщения практического опыта.

С точки зрения идеалистической философии, число есть продукт «чистого синтеза, чистое понятие рассудка». Материализм в корне опровергает буржуазные идеалистические теории априорного происхождения вещественного числа из «чистого мышления» или из «первоинтуиции». Возникновение понятия вещественного числа обусловлено взаимодействием арифметики и геометрии, выступающей в процессе измерения1. В процессе измерения требуется найти отношение одной величины к другой, принятой за единицу. Древние греки представляли себе отрезок, состоящим из атомов (атомистическая теория Демокрита), и на отношение отрезков смотрели, как на отношение числа атомов одного отрезка к числу атомов другого. Это отношение выражается дробью — 5 где т и п целые числа. Это представление вступило в противоречие с тем фактом, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной и отношение между ними не может быть выражено ни целым числом, ни дробью. Доказательство несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной находим у Эвклида (III в. до н. э.).

Это открытие, связанное с непрерывностью, произвело огромное впечатление на греческих ученых и побудило их создать теорию отношений отрезков соизмеримых и несоизмеримых (Начала Эвклида. X книга). Однако греки не возвысились до понятия «иррационального числа». Даже значительно позднее в XVII веке иррациональные числа назывались «нелепыми» и «неправильными».

Ньютон определил число, как отношение 2-х величин (какой-нибудь величины к единице величины того же рода)2. Пусть надо найти отношение двух отрезков AB и CD. Откладываем отрезок CD на AB. Допустим, что он отложился р раз и остался остаток MB. Делим CD на 10 равных частей и 0,1 CD откладываем в ос-

1 Академия Наук СССР. Математика, ее содержание, методы и значение. Вводная статья А. Д. Александрова. 1953 г.

2 Ньютон Aritlimetica universalis.

татке.. Пусть 0.1 CD откладывается в MB р раз и еще получается остаток NB. Делим CD на 100 равных частей и измеряем отрезок NB и т. д.

Возможны два случая. В первом случае процесс заканчивается и мы получаем для отношения конечную десятичную дробь, во втором случае процесс бесконечен и мы получаем для отношения бесконечную десятичную дробь.

Определим вещественное число как конечную или бесконечную десятичную дробь.

Однако понятие вещественного числа не есть простое непосредственное отражение опытных фактов. Вещественное число не отражает какую-либо данную конкретную величину, а величину вообще в отвлечении от всякой конкретности, оно отражает общее в реальных частных величинах1.

Сложность понятия вещественного числа делается ясной при рассмотрении общего свойства познания. «Познание есть отражение человеком природы. Но это не простое, не непосредственное, не цельное отражение, а процесс ряда абстракций, формирования, образования понятий законов2.

Понятие вещественного числа отражает общие свойства величин глубже, вернее и полнее. У В. И. Ленина эта мысль в общем виде сформулирована следующим образом: «Мышление, восходя от конкретного к абстрактному не отходит, если оно правильное — от истины, а подходит к ней» и дальше «Все научные абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее. От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике, таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности»3.

Практическая польза рассмотрения вещественных чисел проверяется их применением на практике к задачам химии, техники и физики.

Вещественные числа служат мощным орудием для исследования непрерывных величин и процессов.

В связи со сложностью понятия вещественного числа, математически строгое определение его дано только в 70 годах XIX столетия4. Арифметические теории вещественных чисел, не опирающиеся на геометрию, поданы в главе VI настоящей работы.

1 Математика, ее содержание, методы и значение. Вводная статья А. Д. Александрова. 1953 г.

2 В. И. Ленин. Философские тетради, 1947, стр. 329.

3 В. И. Ленин. Философские тетради, стр. 156.

4 Теории Вейерштрасса, Кантора, Дедекинда и др.

Учение об иррациональных числах имеет большое значение для формирования материалистического мировоззрения учащихся. С точки зрения буржуазной философии «число есть продукт чистого синтеза, есть чистое понятие рассудка»1. Математика определяется как наука, создающая a priori свои объекты. По учению Канта «математические понятия не только создаются a priori, но существуют лишь в силу самого их определения. «Математика дает самый блестящий пример чистого разума, удачно расширяющегося самостоятельно без помощи опыта»2. Аксиомы Кант считал априорными синтетическими основоположениями. Опровергая в корне идеалистические концепции, материалистическая философия учит, что для всех математических понятий, в частности для понятия числа «природа дает нам прообразы». При изучении иррациональных чисел, мы наталкиваемся на полный параллелизм между понятиями непрерывности и вещественного числа. Однако ошибочно полагать, что идея непрерывности вытекает из идеи числа, что вещественные числа являются оригиналом, а непрерывность копией. Справедливо как раз обратное. Вещественные числа являются копией физической и геометрической непрерывности. «Все еще распространено представление, будто здесь (в математике) мы имеем дело с чистыми «свободными творениями и продуктами воображения» человеческого духа, которым ничто не соответствует в объективном мире, и тем не менее справедливо как раз обратное. Для всех этих воображаемых величин природа дает нам прообразы»3. В связи с изложенным становится понятным громадное значение правильного материалистического, идейно выдержанного учения об иррациональных числах. Для высшей школы существует прекрасно разработанная литература по теории иррациональных чисел; однако по своей относительной сложности эта литература не может быть объектом изучения в средней школе. С другой стороны, литература, предназначенная для средней школы, не столь обширна и не так детально разработана. В средней школе подается «суррогат» теорий Дедекинда, Кантора и Вейерштрасса. Последняя теория преобладает в методических руководствах и учебниках.

Изложение учения об иррациональном числе в средней школе не соответствует современному уровню понимания иррационального числа и носит устаревший характер. Игнорируется и затушевывается идея соответствия между точками прямой и числами. Идея соответствия завоевала себе право гражданства в определении функции. Функциональная зависимость рассматривается как

1 Кант. Критика чистого разума, 1907, стр. 740.

2 Кант. Критика чистого разума, 1907, стр. 740.

3 Фридрих Энгельс. Анти-Дюринг, 1948, стр. 350.

соответствие между множествами. Задать функцию значит задать закон соответствия. Эта же идея соответствия между двумя множествами: точками ''прямой и числами должна быть основной: в учении об иррациональном числе. Общая задача введения иррациональных чисел заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между указанными множествами.

Уже при рассмотрении темы «Измерение отрезков» надо сообщить учащимся, что задача измерения отрезков заключается в следующем:

1) Поставить каждому отрезку AB в соответствие положительное число, обладающее следующими свойствами:

а) Равным отрезкам соответствует одно и то же число.

б) Сумме двух отрезков AB и ВС соответствует сумма чисел, относящихся к этим отрезкам.

с) Произвольно выбранному отрезку относим число, равное единице.

При этих условиях между отрезками и числами устанавливается соответствие: каждому отрезку соответствует одно число и каждому числу соответствует один отрезок.

Общая цель установления соответствия между точками прямой и числами не должна подмениваться более частными заданиями. Например, задачей извлечения корней из чисел, где выдвигается на первый план требование, чтобы операция извлечения корня из положительного числа была всегда возможна1.

Эта старая система введения иррациональных чисел приводит к созданию отдельных классов иррациональных чисел. Например, множества «неизвлекающихся» корней и из комбинации, составляющие ничтожную часть всех иррациональных чисел.

Учение об иррациональном числе должно представлять собой выдержанную логическую систему. В связи с этим математические определения не освобождают от необходимости доказывать действительное существование определяемых объектов. В большей части учебной литературы иррациональным числом называется бесконечная непериодическая десятичная дробь. Однако совершенно не видно из предыдущих и последующих рассуждений, почему бесконечный символ <2о, ai яг as а±... (где ak ['К==0, 1, 2, 3...] — десятичные знаки) есть число. Для того, чтобы утверждать, что бесконечная непериодическая дробь есть число, надо показать, что эти дроби сравнимы и что над ними можно производить арифметические действия. Эти действия подчиняются основным законам арифметики:

а) переместительному,

в) сочетательному,

1 И И. Чистяков. Методика алгебры, 1935, стр. 145.

с) распределительному (закон умножения). Только после этого бесконечную непериодическую дробь можно назвать числом.

Этой предварительной подготовки аппарата бесконечных непериодических дробей нет в стабильном учебнике и в методической литературе.

Излагая теорию Вейерштрасса, академик Д. А. Граве избежал приведенной логической ошибки. Утверждение, что бесконечный символ ао, ai а-2 аз... есть число, оправдывается возможностью сравнения этих символов и определением действий непосредственно над этими символами. Действия сложения и умножения определяются так:

Для того, чтобы сложить два числа рациональных или иррациональных, представленных десятичными дробями, необходимо произвести над их цифрами сложение в обратном направлении.

Под произведением А • В двух чисел и А и В, определяемых двумя бесконечными десятичными дробями, разумеется число, составленное из бесконечно продолжительного ряда сохраняющихся при возрастании значка К цифр произвеедния Bk Bk1.

В этих определениях фигурируют исключительно бесконечные дроби и нет ориентации на двойные последовательности. Предварительную подготовку аппарата бесконечных дробей можно найти в изложении ленинградского методиста профессора И. Я. Дермана в его статье «Иррациональное число» в методическом сборнике, составленном под его редакцией.

В этой статье определение иррационального числа дается после рассмотрения основных определений, относящихся к бесконечным дробям.

Отсутствие идеи соответствия и обоснования определения иррационального числа в стабильном учебнике2 характеризует старую систему изложения и полную ее логическую несостоятельность.

Статьи Шабашова Т. К. и Матышука В. К., помещенные в журнале «Математика в школе» № 3 и 53, внося некоторые изменения, в основном дублируют изложение стабильного учебника и не устраняют его теоретические и логические ошибки.

В методической литературе существует концепция, согласно которой иррациональные числа определяются как пределы сходящихся последовательностей, пределом которых не являются ра-

1 Д. А. Граве. Трактат по алгебраическому анализу, 1935, стр. 29—31.

2 Киселев А П. Алгебра, ч. II.

3 Шабашов Т. К. Понятие об иррациональном числе в курсе VII кл. «Математика в школе», № 3, 1953; Матышук В. К Учение об иррациональном числе в средней школе. «Математика в школе», № 5, 1947.

циональные числа1. Эта теория постулирует, но не доказывает существование иррациональных чисел. «Иррациональное число есть предел последовательности, не имеющей предела». Такое определение звучит как парадокс и содержит порочный круг. В «Методике преподавания математики» Брадис В. М. рекомендует следующее определение иррационального числа: «Иррациональное число есть длина отрезка, несоизмеримого с единицей»2.

Однако это определение также содержит «порочный круг». Иррациональное число определяется как длина отрезка несоизмеримого с единицей, а длина отрезка несоизмеримого с единицей определяется иррациональным числом. В этом изложении все иррациональные числа трактуются как длины отрезков, несоизмеримых с единицей. Закон соответствия признается аксиомой. Ограниченность такого изложения ясна без дальнейших комментарий.

В связи с логической несостоятельностью изложения учения об иррациональных числах в стабильном учебнике в настоящей работе рассматривается метод двойных последовательностей или двойных рядов, рекомендованный Сектором методики математики Научно-исследовательского института методов обучения3 и модификации этого метода — метод вложенных рациональных сегментов.

Общая задача введения иррациональных чисел основывается на идее соответствия между двумя множествами: множеством точек прямой и множеством чисел. Действительное число определяется системой двух монотонных последовательностей или рядов его рациональных приближений с недостатком и избытком. Законность такого определения вытекает из того, что 1) последовательности упомянутого типа могут быть приведены в определенные соотношения друг с другом и рациональными числами, 2) с ними можно оперировать, как с рациональными числами. Не вдаваясь в подробности, относящиеся к этой теории, изложенной мною в главе «Практика изучения иррациональных чисел в средней школе при помощи двойных последовательностей», дадим определение сложения и умножения.

Суммой двух чисел а. и $ называется третье число у, которое определяется двумя последовательностями, составленными из сумм приближенных значений данных чисел, вычесленных с одинаковой точностью с недостатком и с избытком.

Произведением двух чисел а и р называется третье число f, которое определяется двумя последовательностями, составленными

1 И. И. Чистяков. Методика алгебры, 1935 г., стр. 146.

2 В. М. Брадис. Методика преподавания математики в средней школе, стр. 243—244.

3 Научно-исследовательский институт методов обучения Академии педагогических наук РСФСР, «О преподавании математики в V—X классах», Москва.

из произведений приближенных значений данных чисел, вычисленных с одинаковой точностью и недостатком и с избытком.

Определение действий вполне согласовано с определением действительного числа. Из двух систем последовательностей, определяющих числа а и ß, составляется система 2-х последовательностей, определяющих результат действий над ними.

При установлении соответствия между множеством точек прямой и множеством действительных чисел вводится аксиома Кантора, которая столь же необходима для установления взаимно однозначного соответствия, как аксиома Архимеда для измерения отрезков и потому должна быть сообщена учащимся.

Теория вложенных рациональных сегментов является модификацией теории двойных последовательностей, допускающей широкое применение графического метода.

Иррациональное число определяется системой стягивающихся вложенных рациональных сегментов, которым не соответствует никакое рациональное число1. Изложение этой теории (применительно к средней школе) подано мною в главе «Изучение иррациональных чисел в средней школе при помощи вложенных сегментов». Экспериментальная проверка усвоения учащимися учения об иррациональных числах, поданных вышеуказанными методами, была проведена в средних школах гор. Черкассы (6-й, 1-й, 3-й и 4-й школах) с 1950 по 1954 г. Проверка дала положительные результаты2.

В главе I рассмотрены различные способы построения континуума. Теория Дедекинда3 считается первой, логически строгой теорией построения континуума. Исходный пункт теории Дедекинда— деление чисел на 2 класса, придающий теории характер логической системы. Она интересна в том отношении, что примыкает к идеям знаменитого геометра Эвклида и обладает тем преимуществом, что относит каждому иррациональному числу единственное сечение. Однако для первоначального преподавания теория Дедекинда является абстрактной и слишком громоздкой в применении к вычислительной практике: она не алгорифмична. Кроме того, иррациональные числа редко фигурируют в форме сечений даже в анализе. Теория Кантора4 определяет действительные чис-

1 Обстоятельное изложение теории иррациональных чисел на базе. Канторовой системы вложенных сегментов можно найти в книге С. И. Новоселова «Алгебра и элементарные функции», 1950, стр. 97—121.

2 Форма работы: уроки (запись уроков помещена в главе «Опыт преподавания иррациональных чисел в средней школе»), контрольные работы, лекции.

3 Р. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923, Э. Ландау. Основы анализа, 1947.

4 С. О. Шатуновский. Введение в анализ. Лекции. Одесса. 1912. И. В. Арнольд; Теоретическая арифметика, 1939.

ла при посредстве фундаментальных последовательностей аи а3,... ап ... и связана с приближенными вычислениями. Действительно, последовательности получаются, как результат приближенных вычислений с возрастающей степенью точности. Теория Кантора относит каждому числу бесчисленное множество фундаментальных последовательностей. Например, число 3 определяется последовательностями:

и т. д.

Теория Кантора носит ярко выраженный аналитический характер. Для первоначального преподавания теория Кантора является абстрактной. Определение континуума при помощи фундаментальных последовательностей не может удовлетворять требованиям средней школы, а тесное соприкосновение теории с понятием предела может привести к смешению этих понятий. Сам Кантор поясняет, что понятие иррационального числа есть понятие первичное, а понятие предела вторичное: «Число а не определяется, как предел членов фундаментальной последовательности, потому что это было бы логической ошибкой; совсем наоборот после наших предыдущих обозначений с логической ясностью можно сделать заключение, что lim ап существует и равняется числу а».

Теории Мере и Гейне примыкают к теории Кантора и содержат общее стремление освободить изложение от порочного круга: определения иррационального числа, как предела, а предела, как иррационального числа.

Общая теория Вейерштрасса

Вейерштрасс рассматривал совокупность бесконечного ряда положительных рациональных чисел, составленную из главной единицы и разных частей единицы. Это множество Вейерштрасс называл агрегатом. Агрегат считается заданным, если известно, какие элементы входят в него и сколько раз входит каждый элемент. Теорию Кантора можно рассматривать как следствие теории Вейерштрасса.

Действительно, бесконечная десятичная дробь представляет собой сходящийся агрегат:

С другой стороны последовательность

является фундаментальной последовательностью. Общая теория Вейерштрасса не может быть объектом изучения в средней школе.

Видоизменением теории Кантора является теория двойных последовательностей1, определяющая иррациональное число при помощи 2-х монотонных последовательностей. В методическом письме «Преподавание математики в 5—10 классах» Управления школ Министерства просвещения РСФСР рекомендуется метод двойных последовательностей: «каждое иррациональное число определяется системой двух монотонных последовательностей, на рубеже между которыми не существует никакого рационального числа».

Обобщением теории двойных последовательностей является теория двусторонних совместных приближений, которая базируется на практике приближенных вычислений и имеет существенные дидактические преимущества. Основания этой теории изложены в работе проф. Е. Я. Ремеза2.

В принятом в средней школе изложении теории Вейерштрасса за агрегат принята бесконечная десятичная дробь. Такой способ изложения введен в начале 90-х годов прошлого столетия талантливым математиком В. А. Марковым и, по мнению академика Д. А. Граве, является наиболее естественным.

В книге М. В. Пирожкова3 теория иррациональных чисел излагается в той форме, как ее излагал в 5 гимназии в бывшем Петербурге В. А. Марков (умер в 1897 г.). В основу этого способа положено определение иррациональных чисел непериодическими десятичными дробями. Книга М. В. Пирожкова содержит систематическое изложение теории иррациональных чисел. Определение действий сопровождается доказательствами существования определяемых чисел. С этой целью доказана теорема о непрерывности системы действительных положительных чисел: «Если 2 группы положительных рациональных чисел обладают 2-мя свойствами:

1) Каждое из чисел первой группы не более, чем каждое , из чисел 2-й группы.

2) Каково бы ни было вещественное положительное число s

1 К. Фербер. Арифметика, 1925. И. А. Гибш. Элементарная математика, 1937.

2 Е. Я. Ремез. «Системы приближений и основы теории иррациональных чисел». Научные записки Киевского государственного педагогического института, 1939.

3 М. В. Пирожков. «Арифметика иррациональных чисел», СПб, 1898.

всегда найдется в первой и второй группах такие два числа

(в) (s) (г) (s)

р и 9 , что q — р < z\ то существует;одно и только одно действительное положительное число, которое не меньше, чем каждое из чисел 1-й группы, и не больше, чем каждое из чисел второй группы».

Изложение теории иррациональных чисел в книге Пирожкова несколько сложно и превышает силы учеников 8—10 кл. средних школ.

Весьма распространен способ изложения операций над действительными числами, приведенный в учебнике алгебры Д. А. Граве и рекомендуемый проф. И. Я. Депманом1.

Основными недостатками школьного изложения теории Вейерштрасса являются:

1) Отсутствие соответствия (разрыв) в определениях действий с основным определением иррационального числа (Алгебра Киселева),

2) Отсутствие доказательства существования определяемых объектов (Алгебра Киселева).

Естественным обобщением определения иррациональных чисел бесконечными десятичными непериодическими дробями является: теория двойных последовательностей и ее модификация, теория вложенных рациональных стягивающихся сегментов и определение континуума, как множества всевозможных вложенных рациональных стягивающихся сегментов. Общие абстрактные концепции Дедекинда заменены в теории стягивающихся сегментов конкретными построениями вложенных стягивающихся отрезков, что дает возможность широко применять графический метод при рассмотрении основных свойств континуума упорядоченности и инвариантности. Тесная связь теории вложенных рациональных сегментов с теорией Дедекинда почти очевидна: из всякой последовательности вложенных сегментов Ji, Jt> j% ••• Уп... получаем сечение, если отнесем к нижнему классу А все рациональные числа, которые меньше, чем левый конец хотя бы одного сегмента, а к верхнему классу В все остальные числа. Пусть последовательность сегментов определяет число \. Число £ производит сечение в области рациональных чисел.

В главе 12 дано краткое изложение теорий Дедекинда, Кантора, двойных последовательностей, двусторонних совместных приближений. Общая теория Вейерштрасса. Теория Вейерштрасса в школьном изложении (форма изложения В. Д. Маркова и Д. А. Граве).

1 И. Я. Депман. Иррациональное число. Сборник статей под редакцией проф. Депмана.

2 Часть I.

В главе IV1 рассмотрено преподавание элементов теории пределов в IX классе средней школы.

Контрольная работа, данная в 10 кл. 3-х средних школ гор. Черкассы (1950 г.), содержала три вопроса, относящиеся к теории пределов:

1) Что называется числовой последовательностью.

2) Что такое предел числовой последовательности,

3) Вычислить выражение т/^б j/^ß + у/ q Ip • . .

На 1-й вопрос большинство учеников ответило так: «числовой последовательностью называется ряд чисел, написанных по определенному закону». Не нашлось ученика, который определил бы последовательность, как множество, занумерованное при помощи всех чисел натурального ряда, или еще лучше, как функцию, определенную на натуральном ряде чисел.

Наибольшее число ошибок относится ко второму вопросу. Анализ ошибок показывает, что ученики считают:

1) что приближения переменной х к числу а достаточно для того, чтобы а было пределом переменной,

2) что переменная не может принимать значений, равных пределу.

3) Часть учеников путает определение предела с теоремой Вейерштрасса о монотонной ограниченной последовательности. Из общего числа 58 писавших учеников, 10 учеников назвали пределом последовательности «Постоянное число а, к которому стремится переменная величина, так что разность между ними может стать (!) бесконечно малой величиной». 18 учеников назвали пределом последовательности «постоянное число, к которому приближается переменная, никогда ее не достигая». 15 учеников путают определение предела с теоремой Вейерштрасса, и только 15 учеников дали правильный ответ.

3-й вопрос предложен с целью убедиться, умеют ли ученики: 1) написать последовательность, 2) применить теорему о монотонной возрастающей ограниченной последовательности, 3) применить основные теоремы о пределах: предел суммы и произведения (степени).

Задача оказалась непосильной для учеников 10 кл. Решение, приведенное учениками, чисто формальное и необоснованное.

Предыдущее рассмотрение приводит к выводу: 1 ) ученики недостаточно знакомы с понятием последовательности, 2) очень малознакомы с понятием предела и способами приближения после-

1 Часть II.

довательности к пределу. 3) Не умеют применить на практике основные теоремы о пределах.

В главе VII излагаются три основных способа построения теоремы пределов в средней школе. При первом способе изложения понятие предела определяется при помощи понятия бесконечно малой величины. При втором способе — понятие бесконечно малой величины определяется при помощи понятия предела.

Третий способ заключается в полном изъятии понятия о бесконечно малой величине при изложении теории пределов. Третий способ изложения рекомендуется С. Новоселовым в статье «Понятие предела в курсе IX кл.»1.

Построение полной теории пределов в средней школе, без привлечения понятия бесконечно малой, является излишне трудным для учеников средней школы. 3-й способ изложения теории пределов может иметь применение в математических кружках средних школ. Методы доказательства теорем и строгие оценки, присущие этому способу, полезны для дальнейшего изучения математики в педвузах.

Основным недостатком 1-го способа изложения является зависимость определения предела от определения бесконечно малой величины. Понятие предела делается производным, идея предела затушевывается и отодвигается на 2-й план. Доминирующим понятием является бесконечно малая величина, с которой и начинается обучение. С другой стороны 1-й способ дает возможность оперировать равенствами при доказательстве основных теорем теории, пределов.

Последовательное применение 2-го приема изложения ведет к сравнительному усложнению в доказательствах основных теорем. Естественным является такое построение теории пределов, при котором устранялись бы недостатки первого приема изложения и сохранялись его преимущества. Этому требованию можно удовлетворить при следующем способе изложения:2

План изучения теории пределов в средней школе

1. Понятие последовательности, общий член последовательности.

2. Графическое изображение последовательностей.

3. Возрастающие и убывающие последовательности.

4. Предел последовательности.

5. Понятие о бесконечно малых величинах.

6. Основные теоремы о пределах.

7. Нахождение пределов последовательностей.

1 С. Новоселов. Понятие предела в курсе IX кл. «Математика в школе», № 4, 1948.

2 См. методическое письмо Министерства народного просвещения РСФСР.

Принцип Вейерштрасса.

Темы 1, 2, 3 дают, обоснование понятия последовательности. Необходимо привить учащимся функциональную точку зрения на последовательности: последовательность можно рассматривать как функцию, определенную на натуральном ряде чисел.

Тема IV — понятие предела последовательности.

В стабильном учебнике геометрии Киселва находим просторанное определение предела последовательности. Недостатками этого определения являются:

1 ) Ошибочность самой формулировки.

2) Отсутствие знака абсолютной величины.

3) Отсутствие общепринятой краткой математической записи в форме 2-х неравенств.

I ап — А I < s при п > N1

Отсутствие краткой формулировки определения предела и соответствующей краткой математической записи .приводит к тому, что у учащихся через некоторый промежуток времени понятие предела ассоциируется с смутным представлением о переменной величине, которая «приближается к постоянной величине, никогда ее не достигая».

Контрольные работы, данные в 10-х классах средних школ, разобранные выше, вполне подтверждают это заключение.

В теме V рассматриваются бесконечно малые величины, как частный случай переменных,, имеющих пределы.

В теме VI доказываются основные теоремы теории пределов.

В теме VII обосновывается принцип Вейерштрасса при помощи метода вложенных рациональных сегментов.

Глава III содержит рассмотрение определений предела з учебной и методической литературе. Подробно рассмотрены спорные вопросы, касающиеся применения в определении предела термина «процесс изменения», а также элемента времени, «начиная с некоторого момента». Указаны недостатки формулировок определения последовательности и предела в стабильных учебниках алгебры и геометрии Киселева. Последовательность в этом учебнике определяется, как последовательность (1) чисел, написанных по определенному закону2. В геометрии Киселева приведено пространное, но крайне неудачное определение предела числовой последовательности.

В главе II изложена теория пределов на базе изучения последовательностей. Широко применяется графический метод.

1 См. методическое письмо Управления школ Министерства просвещения РСФСР.

2 Киселев. Геометрия, 1939, стр. 137,

В главе V рассмотрены бесконечно большие и бесконечно малые величины и приведен краткий очерк истории инфинитезимальных процессов.

Глава 11 содержит общую теорию пределов на базе упорядоченной переменной.

Приложение: Записи уроков математики. Конспекты уроков учителей средних школ и анализ их.

1 Часть II.

БФ 17359 29.Х.55

Тип. КГПИ, Франко, 44. Зак. 652—100