АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР

НАУЧНО ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ПСИХОЛОГИИ

Е. И. МАШБИЦ

ЗАВИСИМОСТЬ УСВОЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ СПОСОБА РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ОТ МЕТОДА ОБУЧЕНИЯ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель Г. С. КОСТЮК — член-корреспондент АПН РСФСР, доктор педагогических наук

Киев — 1965

Защита состоится в Научно-исследовательском институте психологии Академии педагогических наук РСФСР (Москва, К-9, проспект Маркса, 20, корпус «В») февр.-март 1966 г.

Официальные оппоненты:

Н. А. МЕНЧИНСКАЯ — доктор педагогических наук (по психологии).

А. В. БРУШЛИНСКИЙ — кандидат педагогических наук (по психологии).

Автореферат разослан 21 января 1966 г.

Корректор Ж. В. Сперанская.

Подписано к печати 3/I 1966 г. БФ 05105. Форм. бум. 60Х,01,16. Печ. л. 1,5. Учетно-изд. л. 1,4. Зак. 12.

В настоящее время вопрос о повышении эффективности обучения математике приобретает исключительно большое значение. Это объясняется тем, что, во-первых, в современном обществе с каждым годом возрастает роль математики, математические методы проникают в естественные и гуманитарные науки; во-вторых, изучение математики раскрывает большие возможности для умственного развития учащихся. Уровень математической подготовки школьников, как признают специалисты, все еще отстает от требований, которые предъявляет общество. Это придает особую актуальность поискам путей повышения уровня математического образования в средней школе. Одним из них является совершенствование методов обучения математике и прежде всего обучения решению задач.

Исследованию процессов решения задач и обучения их решению посвящено много работ советских психологов (П. Я. Гальперин, Л. Л. Гурова, В. И. Зыкова, Е. Н. Кабанова-Меллер, З. И. Калмыкова, В. А. Крутецкий, Л. Н. Ланда, А. Н. Леонтьев, А. М. Матюшкин, Н. А. Менчинская, Я. А. Пономарев, С. Л. Рубинштейн, А. Н. Соколов, Н. Ф. Талызина, П. А. Шеварев, Г. П. Щедровицкий, И. С. Якиманская и др.). В проведенных исследованиях выявлены трудности в решении задач, обусловленные пробелами в знаниях и недостатками умственной деятельности, раскрыта динамика некоторых мыслительных процессов на разных этапах решения задач, изучены особенности анализа условия задачи, выявлено соотношение осознаваемых и неосознаваемых компонентов мышления при решении разнообразных задач, особенности решения задач способными и малоспособными к математике учащимися. Выяснены некоторые условия, способствующие осознанному решению различных задач, сделаны попытки проанализировать способы решения математических задач и наметить научно обоснованные приемы обучения их решению. Однако еще недостаточно изучены многие вопросы, в том числе и вопрос о зависимости усвоения учащимися способа решения задач от метода обучения. Этот вопрос весьма важен, поскольку процесс усвоения, как известно, во многом зависит от метода обучения. Одна из причин недо-

статочной разработанности данного вопроса заключается в том, что нечетко определено понятие метод обучения. Под методом мы подразумеваем «определенную организацию деятельности учащихся с учебным материалом. Он (метод) определяет, что и как делают учащиеся с этим материалом, какие свойства и отношения в нем раскрывают, какие операции и знания и как именно формируются у них» (Г. С. Костюк).

При таком подходе к методу обучения в нем можно выделить две стороны. Первая из них — содержательная — описывает, какие свойства и отношения учащиеся раскрывают е изучаемом материале, какие операции и знания формируются у них. Вторая сторона — формальная — описывает, как именно формируются у учащихся эти операции и знания.

В проведенных ранее исследованиях сопоставлялись, главным образом, «активные» и «пассивные» методы, изучалась зависимость эффективности обучения от соотношения между активностью учителя и учащихся, т. е. рассматривался лишь один из аспектов формальной стороны метода.

Мы сделали попытку изучить, какое влияние на процесс усвоения способа решения задач оказывает содержательная сторона метода, точнее, следующая ее характеристика: соотношение между задачей (целью) обучения, с одной стороны, и прямым и побочным продуктами обучения, с другой. Данная характеристика содержательной стороны метода весьма существенна, поскольку то, что входит в содержание цели действий учащихся, является ее прямым продуктом (а в условиях обучения прямым его продуктом), иначе запоминается (П. И. Зинченко, А. А. Смирнов) и усваивается (А. Н. Леонтьев, Я. А. Пономарев), чем то, что входит в средства достижения цели, является побочным продуктом действий (побочным продуктом обучения).

В исследовании изучалось, как учащиеся усваивают способ решения в условиях обучения двумя различными методами.

Первый из них реализует следующее положение: для обучения решению задач определенного типа необходимо предложить учащимся решить некоторое количество задач этого типа, варьируя их условия, и помочь в решении задач. При этом предполагается, что учащиеся, решив самостоятельно или с помощью учителя несколько аналогичных в некотором отношении задач, усвоят способ их решения. Здесь содержанием цели действий учащихся и прямым продуктом обучения является само решение отдельных задач, способ решения выступает как побочный (непрямой) продукт обучения, хотя он соответствует задаче (цели) обучения — усвоению способа решения задач.

Наиболее существенная особенность второго метода заключается в том, что содержанием цели действий учащихся и пря-

мым продуктом обучения является способ решения, а само решение отдельных задач выступает в качестве побочного продукта обучения. При этом цели обучения соответствует его прямой продукт.

Приступая к исследованию, мы полагали, что различие между двумя методами имеет принципиальный характер, и то или иное соотношение между прямым и побочным продуктами обучения, с одной стороны, и целью обучения, с другой, оказывает существенное влияние на процесс усвоения способа решения математических задач.

Метод обучения, как таковой, является некоторой абстракцией и не может быть, по крайней мере в настоящее время, описан формально. Практически всегда реализуется не метод обучения в чистом виде, а некоторый его вариант. Эффективность обучения, проводимого на одном и том же учебном материале, определяется не только методом обучения, но и другими факторами, которые выходят за рамки метода. Утверждать, что метод обучения эффективен, можно в том случае, если различные его варианты обеспечивают эффективное обучение. Поэтому исследовались варианты метода, которые реализуются при индивидуальном и групповом обучении, а также в условиях программированного обучения.

Изучение усвоения учащимися способа решения математических задач в условиях обучения двумя методами, при которых способ решения выступает в одном случае как побочный продукт обучения, а в другом — как прямой его продукт, и составляет основное содержание проведенного нами исследования.

Исследование, результаты которого изложены в диссертации, включало несколько серий экспериментов, в нем принимало участие свыше трехсот испытуемых. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

В введении показана актуальность поставленной проблемы, дан краткий обзор исследований по изучаемой проблеме, проведенных советскими и зарубежными психологами, изложен подход к изучению поставленной проблемы и сформулированы основные задачи исследования.

* * *

В первой главе диссертации излагаются результаты исследования усвоения учащимися способа решения математических задач в условиях, когда он является побочным продуктом обучения. Было выделено две группы вопросов, подлежавших исследованию: а) усвоение учащимися математических операций; б) переход от несамостоятельного решения задач (т. е. с помощью извне) к самостоятельному решению.

Исследование проводилось на материале решения геометрических задач (решения прямоугольных треугольников). Обучение было индивидуальным, опыты проходили с каждым учащимся отдельно, все задания выполнялись ими вслух, рассуждения учащихся подробно протоколировались или фиксировались на магнитофоне; обучение продолжалось до полного усвоения учащимися способа решения задач; обучение проходило под контролем экспериментатора, учащиеся не выполняли никаких домашних заданий.

Приступая к исследованию формирования у учащихся математических операций, мы исходили из того, что каждой операции соответствует некоторое отношение между некоторыми объектами. Это отношение, — а оно составляет суть операции, — может быть представлено, по крайней мере, двумя различными путями, а именно: а) путем сведения операции к совокупности других, уже «освоенных» учащимися, элементарных, операций, последовательное осуществление которых обеспечивает выполнение требуемой операции (в результате сведения некоторой операции к системе элементарных операций мы получаем «логическую» модель этой операции) ; б) путем выделения отношения между объектами, которое составляет суть операции, при этом уровень обобщения этого отношения между объектами можно снижать до тех пор, пока он становится доступным учащимся. Здесь мы имеем дело с «психологической» моделью операции. Такую модель можно представить как ряд моделей, отличающихся уровнем обобщения отношения между объектами.

Моделирование операций было методическим приемом исследования формирования у учащихся математических операций. Если учащийся испытывал затруднения в выполнении операции, ему оказывалась помощь — предъявлялась некоторая модель операции («логическая» или «психологическая»).

В качестве методического приема исследования перехода учащихся от несамостоятельного решения задач к самостоятельному использовались подсказки — побуждающие (стимулирующие) и сообщающие.

Мы считали, что учащийся усвоил способ решения задач в том случае, если он может: а) самостоятельно решать задачи определенного типа, независимо от предметного их содержания, состава условия и формы его выражения; б) применить рациональный способ решения; в) определить, какие данные необходимы и достаточны для решения задач данного типа; г) составить алгоритм решения,

Исследуя деятельность учащихся при решении задач, мы изучали, как они анализируют условие, определяют способ решения и практически пользуются им, как устанавливают данные, необходимые и достаточные для решения задач, как обосновывают решения задач в целом, как составляют алгоритм решения.

Процесс формирования математических операций у большинства испытуемых протекал весьма развернуто. Они испытывали затруднения при усвоении даже относительно простых операций. Не умея выделить существенные признаки понятий об объектах, входящих в структуру операций, учащиеся при их выполнении вначале опирались на зрительно-пространственные схемы (обозначения на чертеже, расположение прямого угла треугольника). Причем эти схемы оказывали большее влияние на выполнение операции, чем имеющиеся у учащихся теоретические знания. При изменении способа обозначения объектов, которые входят в состав операции, иными словами, при изменении формы выражения соответствующих понятий, учащиеся испытывали значительные затруднения. Для того чтобы учащиеся смогли обобщить отношение между объектами, которое составляет суть операции, необходимо было предъявлять разнообразные модели операции, постепенно обобщать отношения между объектами, варьировать форму выражения соответствующих понятий.

В полученных данных отчетливо выявились такие недостатки мыслительной деятельности учащихся, как косность операций, их нединамичность, необратимость. Результаты исследования позволили выделить четыре этапа формирования операций.

На первом этапе учащиеся не различали существенных и несущественных признаков понятий об объектах, которые входят в состав операции, не могли выделить отношения между объектами, составляющие ее суть. При выполнении операций учащиеся опирались на зрительно-пространственные схемы. Изменение этих схем (расположения чертежа, обозначений), а также формы выражения понятий вызывало у учащихся значительные затруднения, нарушало правильное выполнение операций. Даже относительно простые операции были необратимы; каждая из них осознавалась учащимися как независимая от другой.

На втором этапе учащиеся выделяли отношения между объектами, составляющие суть операций, но обобщить эти отношения не могли. Поэтому форма выражения понятий еще оказывала влияние на успешность выполнения операций, осо-

бенно в тех случаях, когда изменение этой формы было связано с более высоким уровнем обобщения отношения или когда изменение формы выражения понятий приводило к значительным изменениям в структуре операции, к выпадению отдельных ее звеньев. Операции были обратимы лишь в пределах определенного уровня обобщения отношения между объектами.

На третьем этапе формирования операций отношения между объектами были обобщены, учащиеся правильно выполняли операции при любой форме выражения соответствующих понятий. Операции были обратимы, и каждое их направление осознавалось испытуемыми как часть операторной структуры. Но сама структура мыслилась узко — как два направления (прямое и обратное) определенной операции. Установить связь между различными операциями, которые образуют более широкую операторную структуру, учащиеся еще не могут.

Для четвертого этапа характерно было не только обобщение отношений между объектами, но и установление учащимися связи между различными операциями. Благодаря этому формировалась операторная структура как система операций, причем усваивалась обратимость не только отдельной операции внутри операторной структуры, но и системы операций.

Поскольку каждый из последующих этапов формирования операций в сравнении с предыдущими является более высоким по степени обобщения отношений между объектами, он может рассматриваться как определенный уровень их сформированности. Эти уровни раскрывают общую картину процесса формирования операций в условиях обучения данным методом, но наличие каждого из них не являлось обязательным. Реальный процесс формирования операций во многом зависел от индивидуальных особенностей мыслительной деятельности учащихся.

Формирование математических операций протекало более успешно, когда они выступали вначале не как средство достижения цели (решение некоторой задачи), а как содержание цели действия. Вместе с тем, выделение отдельной операции как самостоятельного действия является только предпосылкой полноценного овладения учащимися определенной операцией и, как показали материалы исследования, само по себе еще не обеспечивает его. Существенное требование к педагогическому руководству деятельностью учащихся состоит в том, чтобы последовательно и целенаправленно формировать требуемые операции. Необходимо прежде всего научить учащихся выделять и обобщать отношения между объектами, со-

ставляющие суть операций. Такому обобщению способствовало моделирование этих отношений в виде «логических» и «психологических» моделей.

В условиях обучения, при котором способ решения является его побочным продуктом, процесс перехода от несамостоятельного решения задач к самостоятельному у большинства испытуемых протекал весьма развернуто, при решении задач учащиеся испытывали значительные затруднения. Эти затруднения, свидетельствующие о недостатках мыслительной деятельности учащихся, отчетливо выявились при анализе условия, поисках способа решения, установлении тех данных, которые необходимы и достаточны для решения, при обосновании выбора способа решения задачи и т. д.

Материалы исследования показали, что большинство учащихся не умело анализировать условие задачи, многие из них ограничивались поверхностным анализом условия. Испытуемые не всегда отделяли данные от искомых, анализировали не все понятия об объектах, которые входят в состав условия, а лишь некоторые, выделяя при этом только отдельные их признаки и свойства.

Недостатки в анализе условия объясняются тем, что учащиеся не осознавали необходимости всестороннего анализа и не владели средствами такого анализа. Эти недостатки в анализе условия приводили к тому, что поиски способа решения происходили путем «случайных проб и ошибок», учащиеся не соотносили предлагаемую им задачу с аналогичной, решавшейся непосредственно перед данной, пытались применить один и тот же способ для решения задач, отличающихся по своей математической структуре. На поиски способа решения отрицательное влияние оказывала также форма выражения данных и искомых в тех случаях, когда данные подчеркивали одни признаки объекта, а искомые — другие признаки, т. е. форма выражения их была «конфликтной». При этом, как обнаружилось, учащиеся исходили, главным образом, из данных задачи, а поскольку у учащихся образовались косные, нединамичные связи между понятиями об объектах и операциями, то при наличии некоторых объектов в условии задачи учащиеся выполняли эти «задолбленные» операции, даже в тех случаях, когда этого не требовалось для решения.

Отрицательное влияние «конфликтной» формы выражения данных и искомых на поиски способа решения зависело от числа объектов, которые входят в состав условия: уменьшение их количества приводило к сужению проблемной ситуации, благодаря чему учащиеся начинали глубже анализировать данные, соотносить их с искомыми.

При обучении, прямым продуктом которого являлось само решение задачи, учащимся потребовалась значительная по-

мощь. Даже решив под руководством экспериментатора задачи, охватывающие основные случаи решения прямоугольных треугольников, учащиеся, тем не менее, не усвоили способа решения и не смогли самостоятельно определить те данные, которые необходимы и достаточны для их решения. Среднее число задач, после решения которых учащиеся смогли составить алгоритм, оказалось равным 13, для отдельных испытуемых (их было 27) число задач колебалось в пределах от 1 до 22. При этом многие алгоритмы, составленные учащимися, имели серьезные недочеты.

Материалы исследования показывают, что обучение, при котором способ решения задач выступает как его непрямой побочный) продукт, имеет существенные недостатки. Учащиеся усваивают, главным образом, содержательные отношения между объектами, которые входят в состав условия, не соотносят усваиваемое содержание с мыслительными действиями, обеспечивающими его усвоение. Имеется некоторое несоответствие между той целью, которую ставит учитель перед учащимися (овладеть способом решения задач), и той целью, которую ставят перед собой учащиеся (решить определенную задачу). При таком обучении значительную роль играет элемент стихийности. Здесь переход от решения отдельной задачи к усвоению способа решения является, по сути, неуправляемым: осознание и усвоение способа решения фактически перекладываются на самих учащихся.

Мы предполагали, что отмеченные выше недостатки можно устранить, если перестроить процесс обучения таким образом, чтобы способ решения задач стал содержанием цели действий учащихся, прямым продуктом обучения. На основе этого предположения была сделана попытка разработать один из возможных методов такого обучения.

* * *

Вторая глава посвящена описанию этого метода и исследованию его эффективности в условиях индивидуального и группового обучения. В ней показано, как учащиеся усваивают способ решения математических задач, выступающий в качестве прямого продукта обучения.

Для того чтобы способ решения задач стал прямым продуктом обучения, необходимо было: а) описать структуру способа решения задач определенного типа, т. е. выделить все компоненты способа решения в их взаимосвязи, и б) построить обучение таким образом, чтобы содержанием цели действий учащихся была именно структура способа решения задач, а не само решение отдельных задач.

Под структурой способа решения задач некоторого типа понималась совокупность объектов, оперирование которыми

приводит к решению задач данного типа, операций, производимых над этими объектами, и объектов, выступающих в качестве результатов таких операций (иначе говоря, в качестве «функций» тех объектов, над которыми произведены операции).

Различались содержательные (специфические для каждой науки) и логические операции над рассматриваемыми объектами. В данном случае содержательными являлись арифметические, алгебраические, геометрические и тригонометрические операции, а логическими — операции, которые входят в исчисление предикатов. Понятие «функция объекта» использовалось для описания системы преобразований (замещений) объектов.

Число принципиально возможных «функций» каждого объекта практически бесконечно, но если задать некоторые ограничения (например, определенный тип математических задач), то можно указать число «функций» каждого объекта. Из этого числа функций можно отобрать некоторые, необходимые для решения задач определенного типа или отдельной задачи, «критические функции».

Описав «критические функции» объектов, которые входят в условия задач данного типа в качестве исходных данных, промежуточных данных и искомых, а также математические и логические операции, с помощью которых реализуются эти функции, мы тем самым установили компоненты структуры способа решения задач в их взаимосвязи.

Исходным при разработке метода обучения было следующее предположение: если сформировать у учащихся все компоненты структуры способа решения задач в их взаимосвязи, т. е. если учащиеся усвоят и осознают отношения (математические и логические) между объектами, характерные для задач определенного типа, то они овладеют способом решения задач данного типа.

Для осуществления обучения, в соответствии с высказанным предположением, необходимо было решить следующие вопросы: а) как формировать у учащихся выделенные выше компоненты структуры способа решения и б) как обеспечить, чтобы учащиеся смогли устанавливать взаимосвязи между этими компонентами.

При решении первого вопроса учитывалось, что в структуру способа решения входят различные компоненты, формировать которые у учащихся следует по-разному.

Формирование математических операций осуществлялось на «логических» и «психологических» моделях. При формировании логических операций выделялась система существенных признаков данных операций и отрабатывалась на примерах содержательных операций, уже сформированных

у учащихся. Формирование у учащихся «функций» объектов осуществлялось на специально составленных задачах, моделирующих структуру способа решения (задачах-моделях). Наиболее существенная особенность задач-моделей заключается в том, что они дают возможность учащимся установить и осознать «функции» объектов в единстве с математическими и логическими операциями. Такое осознание достигается благодаря тому, что требование установить определенные отношения между объектами является требованием самой задачи-модели. Система таких моделей должна была помочь учащимся установить взаимосвязи между компонентами структуры решения. Таким образом, был получен ответ и на второй поставленный выше вопрос: как обеспечить, чтобы учащиеся смогли устанавливать взаимосвязи между компонентами структуры способа решения.

Как и в предыдущем исследовании (см. гл. I), изучались вопросы, относящиеся к: а) усвоению математических и логических операций, б) переходу от несамостоятельного решения задач к самостоятельному.

Основное внимание, вполне естественно, было уделено изучению второй группы вопросов. Исследуя деятельность учащихся при усвоении ими способа решения задач, мы стремились выяснить, во-первых, как учащиеся решают задачи-модели и, во-вторых, как происходит переход от решения моделей к решению обычных задач. Была сделана попытка изучить, как учащиеся анализируют условия задач-моделей и обычных задач, находят способ решения и практически им пользуются, как в процессе обучения на задачах-моделях они усваивают «функции» объектов и осознают математические и логические операции, которые реализуют эти «функции», как усваивают структуру способа решения, устанавливают те данные, которые необходимы и достаточны для решения, обосновывают решение задач.

О том, усвоен ли учащимся способ решения задач, мы судили по выполнению контрольных заданий. Они включали решение пяти задач (из них три были аналогичны тем, которые даются обычно в учебниках, две — содержали избыточные данные, форма выражения условий этих двух задач была «конфликтной»), а также составление алгоритма решения. Исследование включало индивидуальный эксперимент и экспериментальное обучение в классе.

Благодаря использованию «логических» и «психологических» моделей как приема обучения процесс формирования у учащихся математических операций протекал более успешно, чем в предыдущем эксперименте. Учащиеся быстрее усваивали и обобщали отношения между объектами, состав-

ляющие суть операций, не испытывали необходимости опираться при выполнении операций на зрительно-пространственные схемы. Здесь сразу же были обратимыми не только простейшие операции, но и более сложные, например, такие, как операция перехода от одной тригонометрической функции острого угла к другой функции этого же угла или дополнительного ему.

Усвоив и обобщив отношения между объектами, которые входят в структуру операций, учащиеся не испытывали затруднений при изменении формы выражения понятий об объектах. Даже в тех случаях, когда эти изменения приводили к значительным изменениям в структуре выполняемой операции — к выпадению отдельных ее звеньев, которые выступали в качестве опоры, — учащиеся выполняли операцию успешно. Когда же изменение способа обозначения объектов было связано с более высоким уровнем обобщения отношения, форма выражения иногда оказывала отрицательное влияние на выполнение операции, однако для его преодоления учащимся понадобилась меньшая помощь, чем в условиях ранее проведенного эксперимента.

Большинство учащихся миновало первый этап (уровень) формирования операций, а многие и второй, т. е. тот путь, который в предыдущем исследовании был доступным только для наиболее сильных учащихся, оказался посильным почти для всех испытуемых.

При усвоении простейших логических операций: конъюнкции и дизъюнкции — операций, соответствующих союзам «и», «или», — учащиеся не испытывали затруднений. Они без труда устанавливали отношения типов «и» и «или» между объектами (соответствующие конъюнктивным и дизъюнктивным отношениям между высказываниями об этих объектах), записывали эти отношения в символической форме, осуществляли их перевод из символической формы в словесную. Испытуемые правильно распознавали операции конъюнкции и дизъюнкции, абстрагируясь от содержания высказываний.

Усвоив существенные признаки операций импликации и эквивалентности, учащиеся могли самостоятельно устанавливать тип логического отношения в тех случаях, когда одновременно выполнялись следующие условия: а) членами операции были простые высказывания и б) тип отношения реализовался с помощью одной содержательной операции. Когда членами операции были сложные высказывания, требовалось развернуть учащимся систему содержательных отношений между высказываниями. Когда же реализация логической операции требовала выполнения последователь-

ности содержательных операций, учащиеся, соотнося логическую операцию с этой последовательностью, вначале фиксировали все логические отношения между ее звеньями. Иначе говоря, прежде чем установить тип отношения между высказываниями А и В, учащиеся устанавливали тип отношения между теми высказываниями, которые при реализации этого отношения выступают в качестве промежуточных звеньев.

Индивидуальные различия, наблюдавшиеся при формировании логических операций, как и математических, были незначительны.

Построив обучение так, что способ решения задач стал его прямым продуктом, мы перестроили деятельность учащихся. Она была направлена, главным образом, на установление «функций» объектов, входящих в состав условия задачи, и операций, с помощью которых реализуются эти «функции». Содержанием цели действий учащихся являлась структура способа решения, что привело к изменениям в процессе усвоения способа решения. Они заключались не только в том, что при решении задач-моделей учащимся понадобилась меньшая помощь, чем при решении обычных задач. Главное состояло в том, что учащиеся не ограничивались, как в ранее проведенном эксперименте, поверхностным анализом условия, здесь не имели места поиски способа решения путем «случайных проб и ошибок». Учащиеся проводили тщательный анализ объектов, входящих в состав условия; соотнося данные и искомые, устанавливали те «функции» объектов, которые необходимы для решения задачи. При решении задач-моделей они осознавали необходимость всестороннего анализа. Усвоив, наряду с математическими операциями, логические, учащиеся научились соотносить содержательные отношения между объектами с логическими отношениями.

Установив «критические функции» объектов, учащиеся успешно справлялись с задачами-моделями, находили различные пути их решения, самостоятельно определяли те данные, которые необходимы и достаточны для решения прямоугольных треугольников.

Результаты выполнения контрольных заданий показывают, что, обучаясь на задачах-моделях, учащиеся овладели способом решения. Они успешно справились с решением задач данного типа, смогли составить алгоритм решения. При выполнении контрольных заданий, как и при решении задач-моделей, учащиеся всесторонне анализировали объекты, которые входят в состав условия, устанавливали их «критические функции», а также математические и логические

операции, е помощью которых они реализуются. Научившись устанавливать «критические функции» объектов, учащиеся не испытывали затруднений при решении задач с «конфликтной» формой выражения условия, сразу же находили рациональный способ их решения. При этом поиск решения был свернутым, он органически вплетался в процесс анализа условия. Собственно говоря, поиск, как таковой, во многих случаях отсутствовал, он сливался с анализом объектов, которые входят в состав условия.

По мере усвоения способа решения учащиеся переставали испытывать необходимость в фиксировании математических и логических отношений между объектами с помощью специальной таблицы, которую они составляли при решении задач-моделей и которая выступала в качестве своеобразной опоры в поисках способа решения.

Таким образом, при обучении вторым методом, когда цели обучения соответствовал его прямой продукт, учащиеся не испытывали затруднений, с которыми сталкивались учащиеся при обучении первым методом, когда цели обучения соответствовал его побочный продукт. Следовательно, выявленные при обучении первым методом затруднения при анализе условия задач, поиске способа решения, установлении необходимых и достаточных для решения задач данных не являются неизбежными.

Учащиеся при обучении вторым методом успешно овладели способом решения. То, что при первом методе обучения оказалось доступным только для сильных учащихся, при обучении вторым методом было посильным для всех. Большая эффективность обучения обусловлена тем, что: а) были определены компоненты структуры способа решения задач в их взаимосвязи; б) содержанием цели действий учащихся и прямым продуктом обучения был способ решения; в) использование задач-моделей побуждало учащихся к осознанию необходимости всестороннего анализа условия задачи и его осуществлению; г) учащиеся, усваивая математические операции в единстве с логическими, овладели средствами анализа условия задачи; д) система задач-моделей обеспечила усвоение структуры способа решения задач.

Высокие результаты были получены и при групповом обучении. Учащиеся экспериментальных классов, обучаясь на задачах-моделях, усвоили способ решения и успешно справились со всеми контрольными заданиями, в то время как для подавляющего большинства учащихся контрольных классов оказалось непосильным решение задач с «конфликтной» формой выражения условия (четвертая и пятая задачи) и составление алгоритма.

Группа

Количество учащихся

Решили правильно

Решили рациональным способом

Решили нерациональным способом

Решили неправильно (допустили ошибки)

4-я задача

5-я задача

4-я задача

5-я задача

4-я задача

5-я задача

4-я задача

5-я задача

Учащиеся экспериментальных классов

120

119

118

111

113

8

5

1

2

Учащиеся контрольных классов

119

112

107

12

12

100

95

7

12

Из 121 испытуемого экспериментальных классов 98 составили алгоритм, не имеющий недочетов, и только 7 не смогли составить алгоритм; из 123 испытуемых контрольных классов только 9 учащихся составили алгоритм, не имеющий недочетов, а 67 не смогли составить алгоритм.

Проведенное исследование подтвердило предположение о том, что, если учащиеся усваивают и осознают отношения между объектами, характерные для задач определенного типа, то они овладевают способом решения задач данного типа. Результаты экспериментального обучения — как индивидуального, так и группового — показали, что, когда цели обучения соответствует его прямой продукт, учащиеся успешно научаются решать задачи.

Изменение соотношения между целью обучения, с одной стороны, и прямым и побочным продуктами обучения, с другой стороны, как и предполагалось, привело к значительным изменениям в усвоении способа решения. При этом были устранены недостатки, неизбежные в условиях обучения, когда способ решения выступает как его побочный продукт. Существенно изменилась деятельность учащихся при решении задач. Осознав необходимость всестороннего анализа условия и владея средствами такого анализа, они приступали к поискам способа решения только после глубокого анализа условия задачи, при этом поиск решения органически вплетался в процесс анализа и по мере усвоения способа решения все больше свертывался.

Когда способ решения задач выступает как содержание цели действий, учащиеся, овладев «критическими функциями» объектов, которые входят в структуру способа решения, со-

держательными и логическими операциями в их единстве, осознают выполняемые операции, усваивают и осознают структуру способа решения. Они овладевают обобщенными приемами решения, при поисках решения опираются на теоретический анализ отношений между объектами, входящими в состав условия. Учащиеся успешно усваивают способ решения, процесс его усвоения становится более управляемым, переход от несамостоятельного решения задач к самостоятельному не столь длителен, как при первом методе обучения. Учащиеся усваивают способ решения после решения 3—4 задач-моделей, проделав путь, который в условиях обучения первым методом доступен лишь наиболее подготовленным учащимся.

Оба исследованных варианта предложенного метода обеспечили высокие показатели обучения. Но для того чтобы с достоверностью утверждать, что метод обучения эффективен, желательна, на наш взгляд, дополнительная проверка эффективности данного метода — в условиях программированного обучения. Здесь процесс обучения неоднократно воспроизводится в стандартизированных условиях, и те факторы его эффективности, которые выходят за пределы метода, остаются неизменными во всех случаях использования одной и той же обучающей программы.

* * *

Результаты исследования эффективности обучения решению задач вторым методом в условиях программированного обучения излагаются в третьей главе.

Программированное обучение, будучи одним из путей повышения эффективности обучения, может выступать и как средство его исследования. Оно является особым средством исследования, поскольку: 1) позволяет многократно воспроизводить процесс обучения в стандартизированных условиях и учитывать многие факторы, которые обычно не поддаются контролю; 2) эффективность программированного обучения определяется взаимодействием различных факторов, при этом некоторые из них являются специфическими, свойственными только такому обучению. К факторам эффективности программированного обучения мы относим содержание обучения, его метод, приемы программирования (они характеризуются схемой программы, размером шага, типом ответа, мерой помощи и т. д.), а также ограничения, накладываемые тем или иным обучающим устройством на управление познавательной деятельностью учащихся.

Результаты исследования, проводимого на материале некоторой обучающей программы, не могут дать достаточ-

ных доказательств того, что эффективным является метод, реализованный в ней, поскольку, во-первых, метод обучения в программе всегда выступает слитно с другими факторами эффективности обучения (а они еще недостаточно изучены); во-вторых, как уже отмечалось, утверждать, что метод является эффективным, можно в том случае, если различные его варианты обеспечивают эффективное обучение.

Цели исследования формулировались следующим образом: 1) выяснить, можно ли запрограммировать и практически реализовать с помощью программированных текстов метод обучения решению математических задач, при котором способ решения выступает как прямой продукт обучения; 2) установить эффективность двух вариантов обучающей программы, отличающихся типом ответа.

Основным средством исследования поставленных нами задач являлась обучающая программа, и методика исследования включала прежде всего характеристику самой программы. Выделялись следующие ее три характеристики: метод обучения, который реализуется в обучающей программе, приемы программирования, с помощью которых метод реализуется в программе, а также ограничения в организации деятельности учащихся, накладываемые обучающим устройством.

Метод обучения изложен выше, опишем приемы программирования. Программа была разветвленной, основная ее ветвь включала 175 пунктов. Схема программы была неоднородной: в одних случаях учащихся, допустивших ошибку, возращали к пункту, где была допущена ошибка, в других — они должны были повторно проработать несколько пунктов программы, а иногда — выполнить систему дополнительных упражнений. Программа позволяла обеспечить предъявление учащимся различного числа упражнений, а также повторений, оказание различной помощи.

При определении количественной характеристики размера шага мы исходили из того, что размер i-го шага Фi есть непрерывная функция двух переменных: монотонно убывающая функция вероятности Piусв1) и монотонно возрастающая функция среднего времени Т1ср, затраченного на прохождение i-го пункта. Мы стремились построить пункты основной ветви программы так, чтобы Piусв>0,8, а Tiср<3 мин.

1) Pi уcв — вероятность того, что учащийся даст правильный ответ на вопрос пункта в результате его усвоения. Ее можно вывести из формулы: Pi = Piусв + (1—Piусв) * Piугад, где Рiугад — вероятность того, что учащийся даст правильный ответ в результате угадывания,

Мера помощи определялась по количеству пунктов, которое учащийся, допустивший ошибку, должен проработать дополнительно. В составленной нами программе среднее значение этой величины было относительно высоким — 2,7.

Ограничения, обусловленные особенностями использованных обучающих устройств (в данном случае — программированных текстов), заключались в том, что в составленной обучающей программе: использовалась только одна форма предъявления материала — зрительная (текст, чертеж); функцию сличения ответа с возможными выполнял обучающийся; выбор очередного задания определялся ответом на один пункт программы, предыдущая история обучения практически не учитывалась; число возможных ответов было ограничено; помощь, оказываемая учащемуся, была стандартизирована.

Об эффективности обучающей программы мы судили по следующим показателям: качество усвоения способа решения задач (учитывалось, правильно ли и насколько рационально учащиеся решали контрольные задания); время, необходимое для прохождения программы, количество ошибок, допущенных при прохождении программы; изменения, сдвиги в мыслительной деятельности учащихся в процессе обучения. Учитывалось также отношение испытуемых к программированному обучению: принималось во внимание желание работать с программой и их оценочные суждения.

Основному эксперименту предшествовал предварительный. Он показал, что обучение решению задач предложенным методом может быть запрограммировано и реализовано с помощью программированных текстов, что составленная программа пригодна для учащихся с разными способностями и неодинаковой подготовкой.

В основном эксперименте использовались два варианта обучающей программы, отличающиеся типом ответа. Первый из них предусматривал конструируемые ответы, второй — выборочные.

Результаты исследования показали, что все учащиеся, обучаясь по первому варианту программы, усвоили способ решения задач. Они правильно решили контрольные задачи (только один учащийся при решении одной задачи допустил ошибку), успешно составили алгоритм решения (недочеты имели место только в двух алгоритмах).

Программа оказалась эффективной и с точки зрения времени, затраченного учащимися на обучение. Даже слабо подготовленные учащиеся усвоили материал за время, меньшее, чем предусмотрено учебными планами, несмотря на то, что программа предусматривала ознакомление учащихся с логическими операциями, которые в школе не изу-

чаются (среднее время прохождения программы — 291 мин., минимальное — 369 мин., максимальное — 610 мин.).

Значительные индивидуальные различия во времени прохождения программы, как выяснилось, были обусловлены двумя причинами: а) учащиеся тратили на прохождение одного пункта программы неодинаковое время, б) допустив различное число ошибок, учащиеся вынуждены были проработать различное число пунктов программы.

Об изменениях в мыслительной деятельности мы судили по распределению ошибок в рамках программы в целом и отдельных ее участков, которые могут рассматриваться как единое целое, а также по сдвигам в решении мыслительных задач (контрольных заданий).

Анализ результатов эксперимента показал, что у испытуемых отчетливо выражены следующие тенденции: во-первых, основное число ошибок падает на начальные пункты отрезков программы и, во-вторых, общее число ошибок, допущенных в последних участках программы, меньшее, чем в первых. Если же при анализе распределения ошибок учитывать усложнение заданий, то окажется, что по мере прохождения программы учащиеся успешно с ними справлялись и при выполнении более сложных заданий допускали меньшее число ошибок.

Что же касается тех сдвигов в мыслительной деятельности, которые произошли в результате обучения, то они весьма отчетливо выступили при решении контрольных задач. Имеется в виду не только высокая результативность в их решении, но и изменения в анализе условия задачи, установлении тех данных, которые необходимы для решения задач, в поисках рационального способа решения и проверке его результата и т. д.

Поскольку в процессе обучения ё мыслительной деятельности учащихся произошли некоторые сдвиги, которые нашли свое выражение в более эффективном усвоении учебного материала и в самостоятельном решении мыслительных задач, мы можем утверждать, что обучающая программа обеспечила развивающее обучение.

Отношение учащихся к обучению по составленной программе было положительным. Они охотно принимали участие в эксперименте, просили продолжать занятия, высказывали пожелания, чтобы в школе занятия проходили таким же способом.

Сопоставление показателей испытуемых, обучающихся по составленной нами программе, и тех, кого обучали в условиях непрограммированного обучения, показывает, что программированное обучение было более эффективным, чем непрограммированное (в классе) с точки зрения качеству

усвоения и времени обучения. Однако наилучшие показатели были обнаружены у учащихся, которых индивидуально обучал учитель (экспериментатор) вторым из исследуемых методов.

В приведенной ниже таблице сопоставлены показатели испытуемых, обучавшихся по различным вариантам этого метода, реализуемым соответственно в условиях индивидуального обучения, осуществляемого учителем, группового обучения (в классе), осуществляемого учителем, и программированного обучения.

Форма обучения

Количество испытуемых

Количество правильных решений контрольных заданий (в %)

Время обучения (в %)

1-я задача

2-я задача

3-я задача

4-я задача

5-я задача

Составление алгоритма

1. Индивидуальное обучение, осуществляемое учителем

36

100

100

100

100

100

97

100

2. Групповое обучение, осуществляемое учителем в классе

121

98,3

95

96,7

92,5

94,2

94,2

1491

3. Программированное обучение (индивидуальное обучение по обучающей программе)

40

100

100

92,5

97,5

97,5

95

124,9

Таким образом, благодаря большей гибкости управления деятельностью учащихся индивидуальное обучение, осуществляемое учителем, обеспечивает большие преимущества, чем программированное обучение, по крайней мере, в тех случаях, когда приемы программирования не оптимальны и особенности обучающих устройств накладывают существенные ограничения на управление познавательной деятельностью учащихся.

1 Данные приблизительные.

Сопоставление показателей испытуемых двух групп, которых обучали по двум вариантам программы, отличающимся типом ответа, дало возможность выяснить влияние на процесс обучения различных типов ответа. Оказалось, что с контрольными заданиями обе группы испытуемых справились успешно. Показатели испытуемых обеих групп при решении контрольных задач практически были одинаковыми, 99% правильных решений в первой группе и 96% — во второй, с составлением алгоритмов несколько лучше справились испытуемые первой группы. Можно сделать следующий вывод: если метод обучения, реализованный в обучающей программе, эффективен, то учащиеся обнаруживают высокие показатели, свидетельствующие об усвоении способа решения задач, независимо от типа ответа.

Первая группа испытуемых (с конструируемым ответом) затратила на обучение меньше времени, чем вторая (с выборочным ответом). Этот факт представляет особый интерес, ибо по данным зарубежных психологов, при выборочных ответах время обучения меньше, чем при конструируемых (или, по крайней мере, такое же, но не больше).

В результате анализа материалов исследования выявлено, что, действительно, на прохождение одного пункта программы испытуемые второй группы тратили меньше времени, чем первой. Но в целом они затратили больше времени, поскольку допустили большее число ошибок, и им понадобилось проработать большее число пунктов программы.

С точки зрения таких показателей обучения, как время обучения и число допущенных ошибок, выборочные ответы были менее эффективными, чем конструируемые. Оказалось, что отрицательное влияние выборочных ответов на указанные выше показатели тем сильнее, чем ниже уровень подготовки учащихся.

Можно было предположить, что в мыслительной деятельности испытуемых двух групп имеются некоторые различия, обусловленные тем, предъявляются ли учащимся возможные ответы. Это предположение подтвердили данные о распределении ошибок в рамках программы в целом и отдельных ее участков. У испытуемых первой группы основное число ошибок было допущено в начальных пунктах отрезков программы. У испытуемых второй группы ошибки, как правило, распределялись более равномерно по всему отрезку программы. Такая картина распределения ошибок свидетельствует о том, что процесс усвоения и обобщения изучаемого менее эффективен. Здесь на получение ответа значительное влияние оказывали такие факторы, как узнавание правильного ответа, его угадывание и т. д.

Материалы исследования позволили уточнить предположение Д. Эванса, Л. Хомма и Р. Глейзера о том, что влияние типа ответа на время обучения и качество усвоения тем меньше, чем выше вероятность правильного ответа. По нашим данным, это имеет место только в том случае, когда высокая вероятность правильного ответа получена за счет адекватной заданиям структуры мыслительной деятельности, сформированной на достаточно высоком уровне.

Полученные данные показали, что неправы те психологи (Е. Грин, А. Ламсдейн и др.), которые полагают, будто предъявление учащимся большого числа возможных ответов устраняет отрицательные последствия выборочного ответа. Наличие даже максимального числа ответов, когда они охватывают Все уместные в данной ситуации ответы, само по себе не устраняет отрицательного влияния выборочных ответов, не гарантирует того, что учащиеся не будут стремиться угадать правильный ответ.

Выборочные ответы, как выявлено в исследовании, не оказывают отрицательного влияния на мыслительную деятельность в том случае, если одновременно выполняются следующие условия: 1) число возможных ответов ограничено самим заданием, 2) выборочные ответы охватывают все уместные ответы, 3) эти ответы известны учащимся как потенциально возможные до прохождения соответствующего пункта программы. Обнаружилось также, что наличие альтернатив не оказывает отрицательного влияния на мыслительную деятельность учащихся и в том случае, когда для учащихся значимым является не только ответ, но и способ его получения, т. е. система действий, которая обеспечивает правильное выполнение задания.

Составленная нами обучающая программа: а) обеспечивает усвоение способа решения задач, б) требует меньше времени на обучение, чем в обычных условиях непрограммированного обучения, в) развивает мыслительную деятельность учащихся в процессе обучения, г) может быть использована для обучения различных по математической подготовке и способностям учащихся.

Высокие показатели обучения обусловлены, главным образом, тем, что в обучающей программе был реализован эффективный метод обучения.

Конструируемые ответы обеспечивают в целом более эффективное обучение, чем выборочные, однако в ряде случаев последние оказываются столь же эффективными, как и первые.

Результаты исследования, изложенного в диссертации, показывают преимущества метода обучения, при котором спо-

соб решения выступает в качестве его прямого продукта. Тот факт, что предложенный метод обеспечил успешное овладение способом решения задач при индивидуальном и групповом обучении, а также в условиях программированного обучения, убедительно свидетельствует об эффективности данного метода.

В заключении дается обобщенная характеристика результатов проведенного исследования и намечаются вопросы, требующие дальнейшего изучения.

По диссертации опубликованы следующие работы:

1. Формирование обобщенных операций как путь подготовки учащихся к самостоятельному решению геометрических задач. Новые исследования в педагогических науках, вып. 1. 1963.

2. О формировании обобщенного способа решения задач с помощью моделей. Тезисы докладов на II съезде Общества психологов, вып. 2. Детская и педагогическая психология, АПН РСФСР, М., 1963.

3. Основні напрямки програмованого навчання за рубежем, «Радянська школа», 1963, № 9, 10, 11; 1964, № 4 (совместно с В. М. Бондаровской).

4. Про формування в учнів умінь самостійно розв'язувати задачі. Сб. «Питання психології навчання», Изд-во «Радянська школа», 1964.

5. Деякі засоби керівництва мисленням учнів при навчанні їх розв'язувати математичні задачі. Сб. «Психологія», «Радянська школа», 1965.

6. Зарубежные концепции программированного обучения. К., 1964 (совместно с В. М. Бондаровской).

7. Програмоване навчання учнів розв'язуванню математичних задач (на моделях структури розв'язання), сб. «Психологія навчання і виховання», Изд-во «Радянська школа», 1964.

8. Теоретичний аналіз деяких прийомів програмування навчання. Там же (совместно с Г. А. Баллом и A. М. Довгялло).

9. Программирование обучения решению математических задач. Материалы семинара «Вопросы программированного обучения и обучающих машин», Изд-во «Наукова думка», 1965.

10. Дослідження порівняльної ефективності конструйованих і вибіркових відповідей, ж. «Радянська школа», 1965, № 5.

11. Теоретический анализ обучающих программ. Сообщения № 1,2. Новые исследования в педагогических науках, вып. 4, 5, 1965 (совместно с Г. А. Баллом и А. М. Довгялло).