Министерство просвещения РСФСР

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. И. ЛЕНИНА

На правах рукописи

М. Ф. МАРТЫНОВА

НАЧАЛЬНАЯ АЛГЕБРА В МЛАДШИХ КЛАССАХ ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

Научный руководитель — кандидат педагогических наук, доцент Р. С. Черкасов

Москва — 1966

Защита диссертации состоится в Московском государственном педагогическом институте в ....... 1966 г.

Автореферат разослан........ 1966 г.

В связи с новыми высокими требованиями, предъявляемыми советской школой к уровню подготовки учащихся по основам наук, перед методикой математики поставлена важная задача по обновлению содержания школьного курса математики и совершенствованию методов преподавания.

В последнее время внимание педагогической общественности привлекает проблема перестройки преподавания арифметики в младших классах восьмилетней школы. Курс арифметики I—VI классов занимает сейчас свыше половины времени, отведенного в школе на обучение математике. Именно здесь скрыты большие возможности для обновления программы и введения нового материала.

Традиционный курс школьной арифметики сложился к концу прошлого столетия и не подвергался существенным изменениям до настоящего времени. Основная цель этого курса — научить учащихся правильно производить вычисления с натуральными и дробными числами, сообщить им некоторые сведения о делимости натуральных чисел и научить их решать некоторые «типовые» задачи арифметическими методами.

Одним из возможных и эффективных путей перестройки школьного курса математики является введение в курс арифметики новых понятий, таких, как понятие рационального числа, уравнения, функции, алгебраической операции, множества и т. д. Введение этого материала органически соединяет арифметику и алгебру в единый учебный предмет. Наиболее естественно соединение преподавания арифметики и начальной алгебры, так как первые разделы школьного курса алгебры являются прямым продолжением арифметики.

В своей работе мы ставили и стремились разрешить следующие задачи:

1. Экспериментально проверить возможность и эффективность одновременного преподавания арифметики и начальной алгебры в IV—V классах восьмилетней школы.

2. Определить содержание курса начальной алгебры IV—V классов, наметить соответствующую программу для

каждого класса и дать, исходя из эксперимента, основные методические предложения по изучению новых разделов программы.

Диссертация состоит из введения, шести глав и приложения.

ГЛАВА I содержит краткий обзор изложения основных вопросов начальной алгебры в русской дореволюционной школе. Здесь рассмотрены предложения С. И. Шохор-Троцкого, Ф. И. Егорова, В. А. Евтушевского по введению элементов алгебры в курс арифметики; дан обзор курсов начальной алгебры, построенных на постепенном обобщении арифметики (Страннолюбского А. Н., Евтушевского В. А. и Глазырина А. К.) и некоторых других учебников по алгебре второй половины XIX и начала XX века (Агура А. Д., Билибина Н. Н., Глаголева А. Н., Граве Д. А., Извольского Н. А., Лебединцева К. Ф., Шапошникова Н. А. и др.).

ГЛАВА II дает обзор развития основных вопросов методики обучения начальной алгебре в советской школе.

Основное внимание здесь сосредоточено на содержании, последовательности изложения материала и методических приемах, применяемых при изложении первых разделов алгебры в учебниках Александрова П. С. и Колмогорова А. Н., Гончарова, В. Л., Фаддеева Д. К. и Соминского И.С., и на методической литературе по начальному курсу алгебры.

ГЛАВА III дает краткое описание экспериментов, проводимых в последнее десятилетие в Советском Союзе и за рубежом по перестройке преподавания курсов математики в младших и средних классах школы.

Мы останавливаемся здесь на экспериментах по введению элементов алгебры в начальную школу группы сотрудников института психологии АПН РСФСР (работы Давыдова В. В. и др.), на работах К. И. Нешкова и других сотрудников сектора математики АПН РСФСР.

Здесь же рассматриваются проекты программ Сибирского отделения АН СССР, сектора обучения математике института общего и политехнического образования АПН РСФСР, а также предложения по постепенному введению элементов алгебры в курс арифметики, выдвинутые в статьях Пчелко А. С, Минчинской Н. А. и Моро М. И., Андронова И. К., Виленкина Н. Я., Скрипченко А. В. и других авторов.

Из зарубежного опыта мы рассматриваем предложения, разработанные Комиссией по математике при экзаменационной коллегии США (The Commission on Mathematics College

Entrance Examination Board), эксперименты исследовательской школьной математической группы (SMSG), Мэдисонский проект; проекты, выдвинутые комитетом математики университета штата Иллинойс (UICSMP, UIAP) и другие проекты, разработанные в США.

Далее рассматриваются предложения по введению элементов современной математики, изложенные на страницах The Mathematical gazette в 1963 году; эксперименты, проводимые в Лестерширском графстве (Англия), работы по созданию единого курса математики для различных типов школ Англии.

В этой же главе дан краткий обзор экспериментов по перестройке преподавания математики в школах Франции. Это работы Ж. Пиаже, Г. Шоке, К. Бреара.

Несколько подробнее мы останавливаемся на экспериментах Г. Папи (Бельгия).

Здесь же рассмотрены рекомендации международных конференций и симпозиумов по вопросам школьного математического образования.

Все эксперименты, проводимые с младшими школьниками, показывают, что познавательные способности детей (7—11 лет) достаточно велики и недооцениваются в традиционном преподавании.

Однако вопросы содержания курса математики и методики преподавания в младших и средних классах школы еще далеки от разрешения, данные экспериментов и рекомендации по этим вопросам весьма противоречивы.

В ГЛАВЕ IV описывается наш опыт введения начальной алгебры в курс арифметики IV класса. Новый материал вводился постепенно. Алгебраические понятия выступали как непосредственные обобщения и расширения понятий арифметики.

Такое введение начальной алгебры позволяет давать новый материал в привычной для учащихся наглядной форме, иллюстрировать его примерами из знакомых учащимся ситуаций. Постепенное введение алгебраического материала способствует прочности его усвоения.

Стержневым вопросом начальной алгебры в IV классе было обучение решению уравнений первой степени с одним неизвестным и решению задач с помощью уравнений.

Введение алгебраического материала было начато с введения обозначения неизвестного (искомого) числа буквой. Затем мы перешли к буквенному обозначению любого числа из данного числового множества.

Весь материал излагался в связи с выполнением целесообразно подобранных упражнений. В результате этой работы учащиеся пришли к выводу, что:

1. Буквы могут употребляться и для обозначения неизвестных (искомых) чисел и для обозначения известных (данных) величин, конкретное числовое значение которых нас пока не интересует.

2. Введение обозначения неизвестного буквой позволяет решать задачи с помощью уравнений.

3. Буквенное обозначение данных величин позволяет получать общие формулы решения задач. Буквенные формулы используются для краткой записи зависимостей между данными и искомыми в задаче величинами.

Когда учащиеся получили некоторый навык в использовании буквенной символики, была показана буквенная запись законов арифметических действий. Здесь же было введено понятие тождества.

Законы арифметических действий применялись при выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений. В IV классе выполнялись только тождественные преобразования, необходимые для решения рассматриваемых уравнений. Изучение тождественных преобразований шло параллельно с обучением решению уравнений.

Обучение решению уравнений было разбито на несколько последовательных «шагов».

I шаг. Формирование первых представлений об уравнениях как равенствах, содержащих неизвестное. Введение обозначения неизвестного буквой. Искомые числовые значения неизвестного в это время находились простым подбором.

II шаг. Решение простейших уравнений вида: а±х = b, с числовыми коэффициентами. При решении этих уравнений были сформулированы правила для отыскания неизвестного компонента того или иного арифметического действия. Эти правила стали в дальнейшем использоваться при решении уравнений.

III шаг. Решение уравнений вида: а+bх = m, ax±b = m, и т. д. (Все коэффициенты числовые). Эти уравнения отличаются от ранее изученных тем, что при их решении сначала определяется числовое значение про-

изведения, содержащего неизвестное, а далее решается уравнение вида: ах = t.

IV шаг. Решение уравнений вида ах±bх = m. Новое в их решении — использование преобразования ах±bх = (а±b)х.

V шаг. Решение уравнений вида а + (b±х) = m, ах + (bx±c) = m — с числовыми коэффициентами. Здесь использовались правила прибавления суммы и разности к числу.

VI шаг. Решение уравнений вида: (ах±b) + (cx±d) + (kx ±1) = m. (Все коэффициенты числовые).

VII шаг. Решение уравнений вида: а + (bx±c)d = m, (ax±b)k + (cx±d)t = m и. т. д. — с числовыми коэффициентами.

VIII шаг. Решение уравнений вида: а — (bx±c)d = m, (ax±b)k — (cx±d)t = m и т. д. Все коэффициенты в уравнениях по-прежнему числовые.

Указанные случаи в основном исчерпывают те виды уравнений, которые решали в IV классе.

Задачи в IV классе решались как «арифметически», так и алгебраически. Выбор способа решения определялся условием задачи. (Например, все задачи — расчеты решались обычным для этих задач способом). Но не менее 50% от всех задач, решаемых обычно «по вопросам», было решено с помощью уравнений.

Обучение алгебраическому способу решения задач шло одновременно с обучением решению, уравнений.

Уравнения по условию задач составлялись в большинстве случаев одним из двух способов: 1) условие задачи постепенно записывалось «на языке математических символов», 2) использовался прием, который условно можно назвать «методом обратных задач».

Первыми предлагались задачи, условия которых фактически являлись словесной записью уравнения. Например: «Я задумал число, умножил его на 2, к полученному произведению прибавил 2000, от суммы отнял 8 и в результате получил 5000. Какое число я задумал?».

Далее мы перешли к решению разнообразных простых задач, а затем к задачам более сложным.

В задачах, которые решали в IV классе, обычно выделялась сумма (или разность) некоторых величин, и эта сумма (или разность) выражалась через искомую и данные величины.

Уяснению смысла зависимостей между данными и искомыми величинами способствовали краткая запись условия задачи и графическая иллюстрация к условию.

Приведем примеры составления и решения уравнений по условию задач.

1. «Кусок полотна в 104 м надо разрезать на 2 части так, чтобы в первой части было на 16 м меньше, чем во второй. По сколько метров полотна будет в каждой части?».

Прежде всего учащиеся делали краткую запись условия:

I часть:

II часть: на 16 м больше I

По сколько метров полотна в каждой части?

Учащиеся обозначали количество полотна в I части за х. Запись условия принимала такой вид:

I част: X м

II часть: на 16 м больше I Эта запись далее упрощалась до следующей:

I часть: х м

II часть: (х+ 16) м

И наконец получили: х + (х+16) = 104.

Для облегчения рассуждений использовалась графическая иллюстрация. Запись решения задачи в тетрадях была такой:

1) I часть: х м II часть: на 16 м больше I

2) I часть: х м II часть: (х+16) м

X + (х+16) = 104

Решение уравнения:

I часть — 44 м

II часть — (44+16) м = 60 м

Проверка решения задачи:

1) 44 + 60 = 104;

2) 60-44 = 16.

Ответ: 44 м и 60 м

2. «Для библиотеки купили 30 книг по цене 1 руб. 40 коп. за книгу и 60 коп. за книгу. Всего уплачено 26 рублей.

Сколько купили книг по цене 1 руб. 40 коп. и сколько купили книг по цене 60 коп.?».

Обозначив количество книг по цене 1 руб. 40 коп. за книгу через X, учащиеся формулировали задачу так:

«Для библиотеки купили 30 книг. Из них х книг по 1 руб. 40 коп. за книгу, а остальные — по 60 коп. за книгу. Сколько уплачено за все книги? Найти значение х, если за все книги уплачено 26 руб.».

Запись решения была такой:

1) Сколько куплено книг по 60 коп. за книгу?

30 — X (книг)

2) Сколько уплатили за х книг?

140 ⋅ X (коп.)

3) Сколько уплатили за (30 — х) книг?

60- (30 — х) (коп.)

4) Сколько стоит вся покупка?

Далее шло решение уравнения и проверка правильности полученного ответа.

Эта задача могла быть решена и приемом, аналогичным тому, который использован при решении первой задачи.

Решение уравнений сопровождалось иллюстрацией приема решения при помощи различных дидактических пособий (аналогии со взвешиванием, специальных брусков различных размеров, полосок бумаги и т. д.).

Была разработана система подготовительных упражнений для обучения решению задач с помощью уравнений. Прежде всего большое внимание уделялось работе над простой задачей. Использовалось также решение специально подобранных задач с буквенными данными; составление и решение задач.

«обратных» данным; упражнения на составление равенств, выражающих зависимости между данными величинами.

В конце главы приведены тексты основных контрольных работ за IV класс и дан анализ результатов эксперимента.

К концу обучения в IV классе учащиеся без затруднений могли решить с помощью уравнений такие задачи, как например:

1. За стол и 6 стульев уплатил 63 рубля. Стол в три раза дороже одного стула. Сколько стоил стол и сколько стоил один стул?

2. Поезд за 12 часов прошел 980 км. Некоторое время он шел со скоростью 70 км в час, а затем увеличил скорость до 90 км в час. Сколько времени поезд шел со скоростью 70 км в час и сколько времени поезд шел со скоростью 90 км в час?

Легко учащиеся выполняли и такие упражнения:

1. Какое выражение надо вписать вместо точек, чтобы равенство (а + 2b) -3 = 2а + b + .... выполнялось тождественно?

2. При каких значениях а и b выполняется равенство ab + a = 0, где a, b — натуральные числа или нули?

В ГЛАВЕ V изложен опыт изучения начальной алгебры в V классе.

Глава начинается с описания опыта изучения тождественных преобразований алгебраических выражений. Этот материал в V классе изучался в два этапа.

Вначале при выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений применялись непосредственно определения и свойства арифметических действий.

Алгебраическое выражение рассматривалось как запись, показывающая, какие арифметические действия и в каком порядке надо выполнять после подстановки вместо букв некоторых рациональных чисел.

Изучение тождественных преобразований в отдельную тему не выделялось. Упражнения на выполнение тождественных преобразований буквенных выражений предлагались параллельно с изучением остального программного материала.

С начала учебного года мы стали постепенно вводить упражнения на решение несложных задач на доказательство, в которых использовался навык в тождественных преобразованиях.

В конце учебного года было введено определение одночлена и многочлена и даны первоначальные представления о дей-

ствиях над буквенными выражениями. Это второй этап изучения тождественных преобразований. Его задача — обобщение и некоторое расширение знаний учащихся о буквенных выражениях.

Понятие действия над буквенными выражениями мы вводили, исходя из того, что сложить (умножить) два выражения значит записать третье выражение, полученное соединением данных выражений знаком « + » («⋅»).

Учащиеся, выполняя упражнения, уясняли, что числовое значение суммы (произведения) двух данных буквенных выражений равно сумме (произведению) числовых значений этих выражений.

Раскрытие скобок, приведение подобных членов мы относили к тождественному преобразованию буквенного выражения, полученного в результате выполнения действия.

Действия над одночленами и многочленами служили первым примером операций над элементами нечисловых множеств.

В этой же главе описывается опыт изучения уравнений в V классе. Обучение решению уравнений шло на протяжении всего учебного года. Вначале, как и в IV классе, при решении уравнений использовались только законы и свойства арифметических действий.

Изучая умножение и деление дробных чисел, мы обратили внимание учащихся на свойства: 1) ab = 0 ↔ а = 0 или b = 0; 2) у =0 и b^0→а = 0. Эти свойства стали применяться при решении уравнений.

После изучения сложения и вычитания положительных и отрицательных чисел, были сформулированы основные свойства числовых равенств.

Теперь уравнение определялось как равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

Наряду с применением свойств арифметических действий при решении уравнений стали использоваться свойства равенств.

Одновременно с обучением решению уравнений продолжалось обучение решению задач с помощью уравнений, в том числе и задач с дробными данными.

Во втором полугодии учащимся предлагались уже задачи, приводящие к уравнениям с неизвестным в обеих частях. Подготовительные упражнения к решению таких задач были направлены на выработку навыка отыскания среди данных

величин тех, через которые двумя различными способами можно найти одну и ту же величину. Примером этих упражнений может служить такая задача: «Если из одного пункта в другой двигаться со скоростью 35 км в час, то через 4 часа до конечного пункта останется 10 км, если же увеличить скорость на 15 км в час, то на весь путь потребуется 3 часа. Из данного условия двумя различными способами найдите расстояние между пунктами».

К концу обучения в V классе учащиеся могли решить алгебраически любую «типовую» задачу. Например, учащиеся успешно справлялись с задачами:

1) ~^~кг масла на 1 РУб. дешевле 1 кг сыра. 1 кг масла на 80 коп. дороже 1 кг сыра. Сколько стоит 1 кг сыра и 1 кг масла?

2) 14 автомашин грузоподъемностью в 5 т и 3 т вывезли некоторый груз. Каждая пятитонная машина сделала по 4 рейса, а каждая трехтонная машина сделала по 5 рейсов. Все трехтонные машины вывезли на 70 тонн груза больше, чем все пятитонные. Сколько было автомашин той и другой грузоподъемностью и какой груз вывезли?

В V классе было введено понятие отрицательного числа. Необходимость введения отрицательных чисел обосновывалась рассмотрением задачи, в которой определялось изменение величин. Решение этой задачи сводилось к решению уравнения а + х = b.

Решение уравнений а + х = b и х + а = b иллюстрировалось на числовой прямой. Выяснялось, что «новым» числам, удовлетворяющим уравнению а + х = b при a>b (a, b — заданные числа), на числовой прямой соответствуют точки, лежащие левее нулевой точки. «Новые» числа характеризуют уменьшение числа.

Затем вводились термины «отрицательные» и «положительные» числа.

Сложение положительных и отрицательных чисел вначале иллюстрировалось передвижением от одной точки к другой на числовой прямой. После анализа ряда примеров на вычисление сумм различных рациональных чисел вводились обычные правила сложения.

Правила вычисления произведения постулировались.

Вычитание и деление определялись как действия, обратные сложению и умножению.

Текстовые задачи, показывающие целесообразность выбора правил действий, предлагались в качестве упражнений уже после того, как учащиеся получили некоторый навык вычислений с положительными и отрицательными числами.

Отрицательные числа в V классе были введены после изучения действий с обыкновенными дробями.

Первоначально мы пытались ввести отрицательные числа в IV классе, но наблюдения за работой учащихся в ходе эксперимента привели к изменению в намеченном расположении материала. В основном это было связано с тем, что полученные учащимися в IV классе сведения об отрицательных числах мало использовались в этом классе в дальнейшей работе.

Эксперимент по введению отрицательных чисел в V классе показывает, что предлагаемая система изложения этого материала достаточно эффективна и вполне доступна учащимся. Отрицательные числа учащиеся применяют при решении уравнений.

Глава заканчивается анализом результатов основных контрольных работ, выполненных учащимися V классов.

ГЛАВА VI является заключительной. В начале главы дан анализ программ по курсу алгебры (для двух первых лет обучения) в советской и некоторых зарубежных школах. Затем показывается, что действующая в настоящее время программа по арифметике для IV—V классов восьмилетней школы, позволяет включать материал по начальной алгебре без сокращения арифметического материала. Это достигается более рациональным распределением материала по классам и использованием алгебраического метода решения задач. Глава заканчивается проектом программ по арифметике и начальной алгебре, разработанным в результате проведенного эксперимента. Проект программы включает:

IV класс

1. Четыре действия над многозначными числами. Простейшие уравнения (80 час).

Устная и письменная нумерация натуральных чисел (включая класс миллиардов). Изображение натуральных чисел на числовой прямой. Число нуль.

Сложение и вычитание натуральных чисел: техника вычисления; свойства действий (на примерах); простые задачи, решаемые этими действиями. Уравнения а±х = b и х±а = b с целыми положительными коэффициентами. Составление уравнений по условиям простых задач.

Умножение и деление многозначных чисел: техника вычисления; свойства действий (на примерах), простые задачи, решаемые этими действиями. Решение уравнений вида ах = b, — = b, — = b — с целыми положительными коэффициентами.

Порядок действий, скобки. Решение задач на все действия. Числовая формула решения задачи. Понятие числового выражения и его значения. Буквенное выражение. Вычисление числовых значений буквенных выражений.

Преобразование ах±bх = х-(а±b). Решение уравнений вида ax±bx = m и задач, приводящих к уравнениям этого вида.

Задачи на вычисление среднего арифметического. Введение буквенной записи правила нахождения среднего арифметического двух и трех чисел.

Периметр прямоугольника и треугольника. Буквенные формулы для вычисления периметров.

Вычисления по формулам.

Решение несложных задач с буквенными данными и решение задач с помощью уравнений (простейшие уравнения и уравнения вида ах±b = m, ax±bx = m — с числовыми коэффициентами). Задачи решаемые методом отношений.

2. Действия над составными именованными числами (12 час.).

Повторение мер длины и веса. Простое и составное именованное число. Раздробление и превращение именованных чисел. Действия с составными именованными числами.

Измерение площадей. Меры площади. Формулы для вычисления площади прямоугольника и квадрата. Практические работы по измерению площадей.

3. Натуральные числа. Простейшие тождественные преобразования буквенных выражений (60 час.).

Понятие множества (на примерах). Множество натуральных чисел.

Действия с натуральными числами, и их свойства. Буквенная запись законов арифметических действий. Применение этих законов к несложным преобразованиям буквенных выражений.

Зависимость между результатами и компонентами действий. Изменение результатов действий с изменением компонентов.

Деление с остатком. Делимость суммы и разности. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10, 25 (на примерах). Делители натурального числа. Числа простые и составные. Понятие степени с натуральными показателями.

Чтение и запись буквенных формул. Решение примеров и задач на все действия с натуральными числами.

Сравнение чисел. Числовые равенства и неравенства. Равенство, содержащее неизвестную величину — уравнение.

Решение задач, приводящих к уравнениям вида: ax±bx = m, (ах±n) ± (bх±р) = m, (ax±n)k ± (bx±p) ⋅ t = m и т. д. (задачи решаются во время прохождения всей темы).

Задачи на нахождение части от числа и числа по его части (решаются двумя действиями).

4. Вычисление объемов (10 час.). Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда.

Кубические меры.

5. Обыкновенные дроби (30 час).

Понятие дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Исключение целого числа из неправильной дроби и обращение целого числа в неправильную дробь.

Изображение дробных чисел на числовой прямой. Приведение дробей к общему знаменателю (простые случаи).

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми или кратными знаменателями.

Умножение дроби на натуральное число. Деление натурального числа на натуральное в случае дробного частного.

6. Повторение (6 час.).

V класс

1. Понятие множества. Множество положительных чисел (72 час).

а) Понятие множества: примеры конечных и бесконечных множеств; примеры объединения и пересечения двух множеств; пустое множество — 2 часа.

б) Множество натуральных чисел — 16 час. Действия над натуральными числами и их свойства (повторение). Делители и кратные натурального числа. Разложение натуральных чисел на простые множители. Нахождение НОК двух и нескольких чисел.

Употребление символа вместо слов «следует», «если . . . ,..то» и символа для замены слов «тогда и только тогда»,

«необходимо и достаточно». Простейшие задачи на доказательство.

в) Обыкновенные дроби — 54 часа. Понятие дроби. Преобразования обыкновенных дробей.

Сравнение дробей. Основное свойство дроби.

Сложение и вычитание обыкновенных дробей. Свойства этих действий.

Умножение и деление обыкновенных дробей. Свойства этих действий.

Решение уравнений и задач на составление уравнений с дробными коэффициентами, содержащих неизвестное в одной части, на основе свойств арифметических действий (на протяжении всей темы).

2. Положительные и отрицательные числа (12 час).

Решение уравнений вида х + а = b при а < b. Иллюстрация на числовой прямой. Расширение имеющегося числового множества добавлением чисел, удовлетворяющих уравнениям x+a = b при а > b (a, b — любые натуральные или дробные числа).

Множество рациональных чисел. Изображение рациональных чисел на числовой прямой. Реальное истолкование положительных и отрицательных чисел.

Упорядоченность множества рациональных чисел. Противоположные числа.

Операции сложения и вычитания на множестве рациональных чисел. Алгебраическая сумма и ее свойства.

Умножение и деление любого рационального числа на натуральное.

Решение уравнений вида а+х = b и х + а = b — с любыми рациональными коэффициентами. Решение неравенств вида а±х S b.

Решение задач. Элементы исследования при решении задач.

3. Отношение равенства между элементами числового множества. Решение уравнений на основе свойств равенств (10 час).

Числовые равенства. Свойства числовых равенств. Буквенное равенство. Уравнение. Корень (решение) уравнения. Тождества.

Решение уравнений на основе свойств равенств. Решение уравнений первой степени с одним неизвестным, содержащих неизвестное в обеих частях,

4. Множество рациональных чисел (продолжение) — (98 час.).

а) Сложение и вычитание рациональных чисел. Законы сложения. (Повторение). Умножение рациональных чисел. Законы умножения.

Деление рациональных чисел. Упражнения на все действия с рациональными числами — 10 часов.

б) Десятичные дроби — 66 часов.

Выражение любого рационального числа конечной или бесконечной десятичной дробью. Приближенное значение десятичной дроби.

Действия с десятичными дробями. Проценты. Нахождение процента от числа и числа по его проценту.

в) Совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями — 22 часа.

Решение задач на все действия с рациональными числами. Решение задач на составление уравнений с любыми рациональными коэффициентами. (На протяжении изучения всей темы).

5. Одночлены и многочлены (12 час). Понятие рационального алгебраического выражения. Определение одночлена и многочлена.

Действия над многочленами: сложение, вычитание и умножение многочлена на одночлен и одночлена на многочлен. Вынесение общего множителя на скобку.

6. Повторение (6 час.).

Приложение к диссертации содержит материал по начальной алгебре для учащихся IV—V классов.

* * *

Экспериментальная проверка, предлагаемого материала, проводилась в средней школе № 56, Киевского района г. Москвы; в Вочно-Бурлинской средней школе, Крутихинского района Алтайского края; а также частично в средней школе № 6 г. Бийска, Алтайского края и Бродковской средней школе поселка Павловск, Алтайского края.

В эксперименте по IV классам было занято около 120 учащихся, а по V классам — около 170 учащихся.

В средней школе № 56 г. Москвы большая часть уроков проводилась автором работы и часть уроков — преподавателем математики этой школы Выгловской В. М.

В школах Алтайского края все уроки проводились преподавателями математики и учителями начальных классов, работающими в экспериментальных классах.

Эксперимент начат в 1962—1963 учебном году и проводился в течение 3,5 лет. За учащимися экспериментальных классов мы продолжали наблюдения и при обучении их в VI и VII классах. Наблюдения показывают, что раннее введение алгебры способствует лучшему усвоению учащимися математики и физики при дальнейшем обучении.

Проведенный эксперимент подтверждает, что предлагаемый материал по начальной алгебре вполне доступен учащимся IV—V классов.

Введение в курс арифметики первоначальных алгебраических понятий повышает теоретический уровень преподавания арифметики, позволяет отказаться от «арифметического.» решения «типовых» задач и перейти к решению задач алгебраическим методом, дает возможность некоторого расширения содержания курса математики восьмилетней школы. Такие изменения ведут к повышению интереса учащихся к предмету, способствуют развитию их математических способностей, позволяют добиться значительно лучших результатов в преподавании предмета.

Основное содержание данной работы изложено в статьях:

1. Мартынова М. Ф. «Об алгебраическом методе решения задач в V классе», «Математика в школе», № 3, 1963 г.

2. Мартынова М. Ф. «Положительные и отрицательные числа в некоторых зарубежных учебниках (Англия, США)», «Математика в школе», № 5, 1964 г.

3. Мартынова М. Ф. «Из опыта изучения уравнений в курсе арифметики IV—V классов», «Математика в школе», № 3, 1965 г.

4. Мартынова М. Ф. «Опыт изучения положительных и отрицательных чисел с учащимися V классов», «Математика в школе», № 2, 1966 г.

Зак. 1437. A 78232 от 3/IX 1966 г. Объем 1,25 печ. л. Тир. 150 Типография № 4 Управления по печати исполкома Моссовета