АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК СССР

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ОБЩЕГО И ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

На правах рукописи

И. А. МАРНЯНСКИЙ

ПУТИ ПРЕОДОЛЕНИЯ УСТОЙЧИВЫХ ОШИБОК В ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации, представленной на соискание ученой степени кандиадта педагогических наук (по методике преподавания математики)

Москва — 1967

БЛ 03438. Зак. № 2637. Тираж 200. Объем 1 п. л.

Подписано к печати 18. III. 67 г. Николаев, облтипография им. В. И. Ленина.

Быстрое развитие и интенсивное проникновение математики во многие области человеческой деятельности вызвало необходимость в существенном изменении содержания школьного курса математики.

Важным результатом развернувшейся с последние годы работы по созданию школьного курса математики, основанного на идеях современной математики, является проект новой программы по математике для средней школы. Для успешной практической реализации этой программы необходимо решить ряд проблем, одна из которых состоит в разработке рекомендаций по раскрытию функционального содержания курса математики в средней школе.

Советская школа накопила немалый опыт в изучении понятий функции и предела. Благодаря большой работе, проводимой математиками, методистами и учителями нашей страны, усвоение функционального материала учащимися средней школы в последние годы заметно улучшилось. И все же функциональная подготовка школьников остается слабым местом в их математическом образовании. Об этом свидетельствуют исследования, проведенные сотрудниками сектора обучения математике Академии Педагогических наук СССР, результаты выпускных экзаменов в школах и вступительных экзаменов в вузы.

Существенные пробелы в знаниях учащихся средней школы говорят о наличии серьезных недостатков в методике преподавания. Один из путей обнаружения дефектов в постановке изучения функции и предела в школе и вскрытия причин слабого усвоения этих понятий школьниками состоит в исследовании характера ошибок учащихся.

Представленное диссертационное исследование показало, что при изучении функционального материала возникают ошибки, допускаемые значительным числом учащихся и повторяющиеся из года в год, т. е. устойчивые ошибки. Такие ошибки порождаются, главным образом, непониманием большинством учащихся содержания некоторых первичных понятий (величина, множество, зависимость, соответствие, процесс и др.), которые обычно считаются правильно усвоенными школьниками.

Глубокий анализ математических ошибок, допускаемых школьниками, дан в работах В. Г. Прочухаева, П. А. Шеварева, Д. М. Маергойза, Л. П. Доблаева и др. Однако, в таких работах анализируются ошибки учащихся, появляющиеся, преимущественно, в вычислениях, обозначениях, тождественных преобразованиях. Детальных исследований устойчивых ошибок в функциональной подготовке школьников и анализа причин их появления не проводилось.

Проблема представленной диссертации состояла в следующем:

исследовать причины появления устойчивых ошибок при изучении функционального материала в средней школе и разработать рекомендации по преодолению таких ошибок.

Для решения этой проблемы необходимо было решить следующие частные задачи:

1) разработать методику эксперимента по выявлению устойчивых ошибок;

2) вскрыть устойчивые ошибки в функциональной подготовке школьников;

3) выяснить причины появления устойчивых ошибок;

4) разработать рекомендации по преодолению устойчивых ошибок и повышению эффективности изучения функционального материала.

Диссертация состоит из введения, заключения и следующих глав:

Глава I. Устойчивые ошибки, возникающие при изучении функционального материала в средней школе.

Глава II. Причины появления устойчивых ошибок при изучении функции и предела в средней школе.

Глава III. Пути преодоления устойчивых ошибок в функциональной подготовке школьников.

Глава IV. Из опыта изложения элементов математического анализа школьникам.

Устойчивые ошибки и причины их появления

Исследование причин появления устойчивых ошибок учащихся проведено в диссертации на основе многолетних наблюдений и констатирующего эксперимента.

I. Методика начальной стадии эксперимента заключалась в следующем. В контрольные работы учащихся VIII—X классов включались дополнительные вопросы (не более двух). Например:

1) является ли площадь прямоугольника функцией от его периметра?

2) существуют ли периодические функции, отличные от тригонометрических?

Такие вопросы, не имевшие прямого отношения к теме проводимой контрольной работы, записывались на отдельном листке и школьникам предлагалось подробно (в письменной форме) ответить на них, обосновав свои ответы. Слабо успевающим по математике ученикам подобные вопросы не предлагались, чтобы не отвлекать их от выполнения обязательной части контрольной работы.

С помощью таких опросов был получен предварительный материал о часто повторяющихся ошибках учащихся. Однако такая методика еще не давала возможности установить причины возникновения отдельных ошибок, так как большинство полученных ответов не содержало подробных объяснений.

В связи с этим впоследствии такие опросы были заменены беседами с малыми и большими группами учащихся. Испытуемым школьникам заранее сообщали тему предстоящей беседы и предлагали подготовиться к ней (не прочность запоминания изученного материала, а правильность понимания учащимися смысла понятий и фактов была главным объектом исследования).

Беседы проводились следующим образом. Каждый ученик отвечал в письменной форме на один вопрос. Полученные ответы затем зачитывались и подвергались обсуждению. При этом ставились дополнительные вопросы, сопоставлялись разные точки зрения, что часто давало возможность вызвать учащихся на непринужденный разговор. Такие опросы с обсуждением различных ответов в значительной степени помогли установить ход мыслей многих учащихся и выявить причины возникновения ошибочных представлений.

Заключительная часть эксперимента, позволявшая решать

вопросы об устойчивости ошибок и причинах их возникновения, была проведена следующим образом. Испытуемому вручалась карточка с одним вопросом и с несколькими готовыми ответами, среди которых ученик должен был выбрать один правильный ответ. Особенность ответов состояла в том, что в них содержалась, определенная мотивировка (обоснование), которая конструировалась на основе ранее полученных экспериментальных данных.

Типичным примером такой карточки (теста) является следующая карточка (справа указаны результаты опроса).

Вопрос: Является ли путь, проходимый автомобилем, функцией от времени его движения, если автомобиль делает остановки в пути (речь идет об одной определенной поездке)?

Ответы

Число учащихся (в процентах), избравших ответ

1. Не является, так как на остановках время меняется, а путь остается неизменным.

25

2. Является, так как в каждый момент времени путь, пройденный автомобилем к этому моменту, вполне определенный.

24

3. Не является, так как во время остановки получилось бы, что путь не зависит от времени, поскольку разным значениям времени соответствовало бы одно и то же значение пути

51

Преимущества методики опроса по таким тестам таковы: а) если, несмотря на наличие правилнього мотивированного ответа, значительное число учащихся выбирает ошибочный ответ, то это свидетельствует об устойчивости ошибки в большей мере, чем появление такой же ошибки в случае обычного (неальтернативного) опроса; б) обеспечивается возможность сравнительно быстрого проведения массового опроса, так как испытуемому не приходится ни конструировать, ни записывать ответ.

II. Основные результаты проведенного эксперимента заключаются в следующем:

1. Большинство учащихся не имеет достаточных представлений о таких первичных понятиях как величина, переменная величина, зависимость, множество (конечное и бесконечное), соответствие.

Ученики склонны к слишком широкому толкованию терминов «величина», «переменная величина» и относят к переменным величинам некоторые понятия, не имеющие числовых характеристик (вражда, настойчивость, аппетит и др.).

Термины «соответствие» и «зависимость» учащиеся истолковывают как синонимы согласованности, обусловленности, причинной связи, переменности.

Большинство школьников полагает, что одноэлементных множеств нет, что в любом бесконечном множестве чисел обязательно имеется наименьшее число, что понятия ограниченного и конечного множества тождественны.

Эксперимент опровергает распространенное мнение о том, будто указанные первичные понятия не нуждаются в специальном изучении.

2. К устойчивым ошибочным представлениям учащихся о понятии функции относятся ошибочное понимание существенных (коренных, необходимых) признаков этого понятия.

Более 30% школьников принимает за существенные признаки функции следующие несущественные (необязательные, варьирующие) признаки: а) изменяемость значений функции с изменением значений аргумента; б) наличие некоторой причинно-следственной связи между переменными величинами, независимо от того, имеется ли однозначное соответствие между множествами значений этих величин или такого соответствия нет; в) наличие формулы или графика в виде сплошной (непрерывной) линии, представляющих функцию; г) наличие в аналитическом выражении, представляющем функцию, знака равенства и одной буквы, служащей обозначением функции. Так, например, более половины учащихся считает, что путь, проходимый автомобилем, нельзя считать функцией времени, если автомобиль делает остановки в пути (см. ранее приведенный пример); 85% школьников утверждает, что среди таких трех выражений

функцию представляет только равенство (2).

К устойчивым ошибкам относится ошибочное построение графиков простейших функций, в том числе графика квадратного трехчлена. А график несложной разрывной функции могут построить правильно лишь немногие учащиеся. Значительные трудности вызывают у большинства школьников упражнения на установление обратных связей. Например, отыскание формулы некоторой функции, если известна ее область

определения, или установление формулы, представляющей функцию, если последняя задана своим графиком. Редко встречаются школьники, умеющие воспользоваться своими знаниями свойств отдельных функций для решения уравнений и неравенств.

Результаты эксперимента позволяют также сделать вывод о том, что об общем понятии функции ученики X—XI классов имеют не намного более четкое представление, чем восьмиклассники.

3. Наиболее распространенными устойчивыми ошибочными представлениями, возникающими при изучении понятия предела, оказались следующие:

а) переменная величина никогда не достигает предела (т. е. не принимает значения, равного пределу), или противоположное: стремящаяся к пределу переменная обязательно достигает предела (т. е. принимает значение, равное пределу) ;

б) к пределу может стремиться только монотонная переменная;

в) изменение или удаление из сходящейся последовательности бесконечного множества ее членов обязательно влечет за собой изменение ее предела;

г) каждая ограниченная переменная имеет предел;

д) отношение переменных, стремящихся к нулю или бесконечности, не имеет предела.

Так, например, около 40% школьников полагает, что последовательность

не имеет предела, так как она колеблющаяся; 54% опрошен ных учеников утверждали, что переменная величина sinx стремится к 1, когда х стремится к бесконечности, потому что синус не бывает большим единицы.

К задачам, которые не в состоянии решить подавляющее большинство школьников, относятся:

1) доказать, что некоторая последовательность (например, 1,0, 1, 0, ...) не имеет предела;

2) установить, опираясь на определение предела, что данное число не является пределом данной последовательности (например, доказать, что 3 не является пределом последовательности

III. Вторая глава диссертации, посвященная установлению причин появления устойчивых ошибок, начинается с рассмотрения содержания основных функциональных понятий с точки зрения идей современной математики.

На базе теоретико-множественной концепции раскрыто содержание понятий переменной, множества, вектора (конечного набора), соответствия, функции, отношения порядка, числовой последовательности, предела переменной (упорядоченного множества), предела функции.

Показано как некоторые словесные наслоения, встречающиеся в учебной и методической литературе, лишают содержание функции и предела той однозначности, которая необходима для правильного усвоения этих понятий. Решающую роль в стимулировании искаженных представлений о функции и пределе играет подмена простых математических понятий множества, переменной, соответствия расплывчатыми (приблизительными) понятиями переменной величины, зависимости, процесса, или же одновременное использование тех и других понятий, при раскрытии содержания функции и предела.

Предпринятый в диссертации психолого-педагогический анализ причин устойчивых ошибок осуществляется путем выяснения некоторых особенностей мышления школьников и недостатков методики изучения функционального материала.

В работе обращено внимание на следующие особенности (свойства, черты) мышления школьников:

а) стремление к обобщению и склонность к стереотипии; б) преобладание конкретного мышления и трудности перехода от абстрактного к конкретному; в) существенное влияние ранее сформировавшихся представлений и житейского (бытового) толкования некоторых терминов на усвоение новых понятий; г) наличие сильного тормозящего действия, оказываемого на слабо успевающих по математике школьников их неподготовленностью к изучению новых понятий.

Эти особенности мышления стимулируют возникновение ошибочных представлений, главным образом, в тех случаях, когда, благодаря несовершенству методики, возможная ошибка получает определенное подкрепление. Так, например, ошибка учащихся, касающаяся обязательного представления функции сплошным графиком, вызвана склонностью к стереотипии. Подкреплением служит здесь то, что почти все рассматриваемые в школе функции, имеют сплошные графики. Аналогичным образом возникает ошибочное представление

о том, будто к пределу может стремиться только монотонная переменная.

Влиянием житейского значения термина объясняется ошибочное отожествление понятия соответствия с понятием согласованности, множества — с понятием «много».

Особенно велико влияние ранее сформировавшихся представлений на усвоение нового понятия. Так, например, имея некоторые интуитивные представления о свойствах конечных множеств, учащиеся безоговорочно переносят многие из этих свойств на бесконечные множества. Недостаток методики заключается здесь в том, что в школе, как правило, не пытаются предупредить такой перенос, познакомив учащихся с простейшими свойствами бесконечных множеств. Нечеткость представлений о множестве значений переменной величины и непонимание того, что бесконечное множество может содержать, но может и не содержать наибольшего (или наименьшего) числа, стимулирует возникновение ошибочных представлений о «достижении» или «недостижении» переменной величиной своего предела. А это ведет к ошибкам в вопросе о существовании предела отношения двух переменных, стремящихся к нулю или к бесконечности.

Аналогично, неосмысленность понятий множества и соответствия и подмена идеи однозначного соответствия ориентировочными (приблизительными) представлениями о зависимом изменении двух переменных величин, часто стимулируют выбор учащимися такого пути построения графика функции, который ведет к ошибкам: ученик пытается сразу, взглянув на формулу, выяснить, как изменяется функция, не интересуясь ни ее областью определения, ни характером соответствия между значениями аргумента и функции.

Таким образом, основным источником ошибок является ряд недостатков методики, не учитывающей особенностей мышления школьников. При этом образование устойчивых ошибок происходит, главным образом, по такой схеме: отсутствие достаточных представлений о первичных (опорных, начальных) понятиях — ошибочные или нечеткие представления о содержании понятий функции и предела — ошибки в решениях частных задач.

Исследование причин появления устойчивых ошибок позволило выделить следующие главные недостатки методики изучения функционального материала в средней школе:

1. Отсутствует целеустремленная функциональная пропедевтика. Традиционная пропедевтика заключается только в

подготовке учащихся к восприятию функции как зависимой переменной величины. Никакой серьезной работы по формированию в сознании школьников первичных математических понятий множества (конечного и бесконечного), соответствия, переменной (как общего обозначения для чисел множества) по существу не проводится. Полностью отсутствует работа по формированию простейших представлений о понятии предела.

Этот недостаток не компенсируется ни вычислениями значений алгебраических выражений, ни построением графиков уравнений, которые широко практикуются в пропедевтике.

2. Определения функции и предела переменной величины, изучаемые в школе, не отличаются ни краткостью, ни четкостью. Они перегружены такими терминами как «переменная величина», «зависимость», «процесс», «момент процесса».

Такие определения не способствуют выработке у школьника совершенно четкого понимания смысла понятий функции и предела. Главное в понятии функции — однозначное соответствие между двумя множествами — оттесняется на задний план и утопает в ненужных словесных наслоениях. Попытки многих учителей и методистов добиться раскрытия смысла понятия процесса изменения величины, иллюстрируя его примерами реальных процессов, встречающихся в окружающей действительности, часто отрицательно сказываются на понимании предела: школьники не видят в таких примерах бесконечного процесса изменения переменной величины.

3. При систематическом изучении функционального материала недостаточно учитываются особенности мышления школьников. В школьных учебниках мало задач, упражнений, иллюстративных примеров, в которых варьировались бы несущественные признаки основных понятий, что способствовало бы лучшему усвоению существенных признаков и осознанию типических несущественных признаков.

Редко встречаются в школьных учебниках задачи на установление обратных связей, а также упражнения, решение которых требует существенного использования основных определений. Функциональная точка зрения весьма слабо внедряется при решении уравнений и неравенств, и в геометрии.

Пути преодоления устойчивых ошибок

Проведенное исследование причин возникновения устойчивых ошибок позволяет наметить пути их преодоления. Основная задача заключается в том, чтобы путем измене-

ния методики изучения функционального материала устранить источники возникновения устойчивых ошибок. Однако, в связи с тем, что для перестройки системы изучения функции и предела потребуется несколько лет, необходимо уже сейчас принять меры по устранению известных устойчивых ошибок. Этой цели может служить использование системы вопросов и упражнений, разработанной с учетом обнаруженных ошибок.

А. Такая система вопросов и упражнений предложена в диссертации. Необходимость в этих вопросах и упражнениях вызвана не только сложностью понятий математического анализа, но и отсутствием в школьном курсе математики понятий, близких к понятиям функции и предела (например, многозначная функция, точные грани множества, односторонние пределы т. п.), которые могли бы служить материалом для сравнений, что во многом содействовало бы правильному пониманию содержания понятий функций и предела.

Отвечая на предлагаемые вопросы и выполняя упражнения (всего собрано в работе 130 вопросов и упражнений), ученик сможет освободиться от многих ошибочных представлений или неясностей, осмыслить некоторые обратные связи, обнаружить возможные связи между понятиями, относящимися к разным темам.

Например, решая вопрос о том, можно ли площадь прямоугольника рассматривать как функцию от его периметра, учащийся должен будет уяснить себе смысл однозначного соответствия как существенного признака функции. С необходимостью обнаружить обратную связь учащийся столкнется, выполняя упражнение: указать пример функции, областью определения которой является множество всех действительных чисел, кроме чисел —2 и 3. Отвечая на вопрос: верно ли утверждение: «Для функции, имеющей максимум или минимум, не существует функции, обратной по отношению к данной»,— учащийся должен будет подумать над связью между понятиями из трех разных тем (обратная функция, экстремум, непрерывность).

Б. Предложенная система специальных вопросов и упражнений рассматривается в диссертации лишь как временное средство борьбы с ошибками.

Более радикальный путь преодоления ошибочных представлений учащихся, разработанный в диссертации, предусматривает внесение существенных изменений в методику изучения функционального материала. При этом указанной системе вопросов и упражнений (она потребует определенной

переработки) отводится вспомогательная роль в общей системе средств преодоления ошибок. Разработанная совокупность рекомендаций основана на таких принципах:

а) изучение функционального материала с привлечением основных понятий современной математики в форме, доступной учащимся средней школы, должно способствовать четкому пониманию всего материала;

б) успешное усвоение функционального материала всеми школьниками можно обеспечить лишь путем постепенного и последовательного раскрытия содержания основных понятий;

в) определения основных понятий должны обеспечивать однозначное восприятие содержания этих понятий; они должны быть, по возможности, краткими и свободными от терминов, допускающих различные толкования;

г) если строгое определение понятия математического анализа оказывается слишком трудным для понимания учащимися, но содержание этого понятия безошибочно усваивается школьниками без определения (с помощью примеров, пояснительных описаний и применений), то лучше отказаться от такого определения, чем вводить нечеткое определение в школьный курс;

д) формирование в сознании учащихся основных понятий анализа продолжается (после их определения) путем широкого применения этих понятий, в частности, благодаря существенному использованию их определений.

Проведенный в диссертации анализ причин устойчивых ошибок, результаты проводимых в последние годы исследований методистов и психологов, позволили внести и обосновать следующие основные рекомендации:

1. Функциональная пропедевтика должна начинаться как можно раньше, по возможности, еще в начальной школе. Эта пропедевтика должна быть сосредоточена на формировании понятий множества (конечного и бесконечного), соответствия, переменной и последовательности. При изучении этих первичных понятий следует пользоваться примерами, пояснительными описаниями, но не определениями.

2. Понятиям функции и предела должна быть дана современная трактовка. Функцию следует определить как соответствие, в силу которого каждому числу одного множества отвечает одно определенное число другого множества. Для ослабления трудностей усвоения понятия предела целесообразно изучению предела функции предпослать рассмотрение по-

нятия бесконечно малой последовательности. Этим понятиям должны быть также даны четкие определения.

3. Система специальных вопросов и упраженений, как средство предупреждения возможных ошибочных представлений, должна дополнять традиционную систему задач и примеров, используемую при изучении функционального материала.

4. В целях наиболее полного раскрытия содержания основных понятий необходимо расширить их применения при изучении уравнений, неравенств, а также усилить использование определений при обосновании отдельных предложений, касающихся функций и пределов.

* * *

Для решения задач, поставленных в диссеретации, была проведена (в 1958—1965 гг.) значительная экспериментальная работа.

Констатирующий эксперимент, методика и результаты которого изложены выше, проводился в 1958—1964 гг. в 14 школах Ровенской области (УССР), им было охвачено свыше 500 учащихся VIII—XI классов.

Изложение элементов математического анализа проводилось в 1959—1960 г. в математическом кружке десятиклассников школы № 5 города Ровно, в 1960—1964 гг.— в юношеской математической школе при Ровенском педагогическом институте, в 1964—1965 г. — в IX классе школы № 12 и во II классе школы № 15.

Цель проведенного обучающего эксперимента заключалась в исследовании возможностей практической реализации разработанных методических рекомендаций и их эффективности.

Обучающий эксперимент подтвердил необходимость длительной и целенаправленной функциональной пропедевтики для обеспечения успешного усвоения функционального материала всеми школьниками. Эксперимент позволил убедиться в возможности ознакомления учащихся II класса (в связи с изучением таблиц умножения и деления) с понятиями множества, соответствия, переменной. К подобным выводам пришли также работники сектора обучения математике Академии Педагогических наук СССР, проводившие эксперимент в более широких масштабах. Эксперимент подтвердил целесообразность использования четких определений функции и предела и системы специальных вопросов и упражнений, а

также обоснования отдельных предложений как важных средств преодоления устойчивых ошибок. Эксперимент также подтвердил целесообразность использования ряда частных методических приемов, изложенных в четвертой главе диссертации (подведение слушателей к изучению общего обозначения функций, касательной к кривой и др.).

Проведенное по теме диссертации исслодование позволяет сделать следующие выводы.

1. Первичные (опорные) математические понятия: множество (конечное и бесконечное), соответствие, переменная — нуждаются в специальном изучении.

2. Систематическому изучению понятий функции и предела должна предшествовать длительная и целеустремленная пропедевтика. Эта пропедевтика должна быть сосредоточена на формировании в сознании школьников первичных математических понятий. Овладение языком этих понятий является посильной задачей для всех учащихся младших классов средней школы.

3. Разработанная в диссертации функиональная пропедевтика дает возможность изучать понятия функции и предела на основе четких определений, близких к принятым в современной математике.

4. Для обеспечения глубокого понимания содержания основных понятий необходимо пополнить школьные учебники и задачники специальными вопросами и упражнениями, предупреждающими возможные ошибки. Следует усилить функциональное начало в разных разделах школьного курса, в частности при изучении уравнений и неравенств.

5. Внедрение в практику преподавания предложенных мер по преодоелнию устойчивых ошибок и повышению эффективности изучения функционального материала будет способствовать усвоению школьниками элементов дифференциального и интегралнього исчисления.

6. Изучение устойчивых ошибок должно быть продолжено, предложенные средства преодоления устойчивых ошибок подлежат массовой экспериментальной проверке. Важной проблемой является полное исследование возможностей изучения теоретико-множественных понятий в младших классах средней школы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы автора: 1. Об усвоении учащимися средней школы понятий функции и предела. Доклады и сообщения Ровенского пединститута, Ровно, 1962, (на укр. яз.), стр. 134—135.

По теме диссертации опубликованы следующие работы автора:

1. Об усвоении учащимися средней школы понятий функции и предела. Доклады и сообщения Ровенского пединститута, 1962, (на укр. яз.), стр. 134—135.

2. Некоторые применения производной, «Математика в школе», № 1, М., 1963, стр. 69—70.

3. Психолого-педагогическая характеристика усвоения школьниками понятия функции. Доклады и сообщения Ровенского пединститута, Ровно, 1963, (на укр. яз.), стр. 90—92.

4. О верном и спорном в новом пособии по методике математики, «Радянська школа», № 4, Киев, 1964, (на укр. яз), стр. 109—111.

5. Некоторые особенности альтернативного выбора школьниками правильных ответов, «Радянська школа», № 7, Киев, 1964, (на укр. яз.), стр. 102—106.

6. Элементы математического анализа в школьном курсе математики, Просвещение, М., 1964, (9 печатных листов).

7. Психологическая характеристика усвоения учащимися средней школы понятия функции, Новые исследования в педагогических науках, вып. IV, АПН РСФСР, Просвещение, М., 1965, стр. 94—99.