МОСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

кафедра методики математики

На правах рукописи

МАРКОВИЧ Э. С.

Методика изучения уравнений высших степеней в связи с задачами общего образования

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук

М0СКВА. 1951 год

Маркович Э. С,

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ В СВЯЗИ С ЗАДАЧАМИ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

Автореферат диссертации

Оценка знаний, которые дает средняя школа, а затем высшее техническое учебное заведение по решению уравнений высших степеней, показывает, что эти знания не обеспечивают в полной мере задач общего образования. Окончившие среднюю школу или индустриальный техникум испытывают во втузе серьезные затруднения уже при изучении курса высшей математики и ряда технических дисциплин в тех случаях, когда возникает необходимость решать уравнения выше второй степени. Часто и инженер бывает лишен возможности разрешать некоторые технические задачи, если они связаны с решением уравнений высших степеней.

К этим фактам автор присоединяет соображения необходимости поднятия общего уровня математического развития учащихся, что может быть достигнуто в некоторой степени за счет сообщения учащимся ряда сведений исторического и теоретического характера относительно решения уравнений. Наконец, вопросы решения уравнений высших степеней дают преподавателям интересный материал для ознакомления учащихся средней школы и индустриальных техникумов с достижениями, которые связаны с именами ряда ученых - математиков и в особенности с именами русских математиков.

Повышение знаний учащихся средней школы по решению уравнений высших степеней может быть достигнуто путем:

1 ) соответственного расширения программы средней школы по алгебре;

2) планомерной организации работы математических кружков с тем, чтобы основные вопросы из области решения уравнений высших степеней были охвачены специальными докладами;

3) издания параллельно с принятыми в средней школе учебниками по алгебре общедоступных учебных пособий (руководств), в которых, между прочим, более широко освещались бы и вопросы решения уравнений высших степеней.

Автор не намечает какого-либо расширения программы по алгебре, исходя из того, что некоторые сведения, необходимые для всех учащихся средней школы, могут быть сообщены им на уроках по алгебре в рамках программы. В диссертации указывается, по каким вопросам и в каком виде следует сообщать учащимся этот материал на уроках.

Кроме того, автор учитывает, что среди учащихся старших классов средней школы обычно намечаются различия в наклонностях,

а поэтому дополнительные сведения по математике, могут интересовать лишь некоторую часть учащихся старших классов. Этой части учащихся и должна быть обеспечена возможность получения интересных и полезных знаний организацией математических кружков и предоставлением для самостоятельной работы соответствующей дополнительной литературы.

Чтобы работа математических кружков по вопросам, относящимся к решению уравнений высших степеней, была в достаточной мере обеспечена, автор дает в своей диссертации полное изложение ряда докладов и содержание некоторых практических занятий в кружках.

В методике преподавания алгебры в средней школе очень важным является осуществление такого направления, которое создавало бы в сознании учащихся правильное представление об этом учебном предмете.

В старой дореволюционной школе курс алгебры представлялся разрозненным по содержанию отдельных частей.

Между тем различные на первый взгляд части этого курса являются на самом деле связанными между собой, при чем учение об уравнениях оказывается тем основным звеном, которое определяет неразрывную связь между составными частями алгебры. Именно такое представление должно развиваться у учащихся нашей средней школы.

Связанное с этим проявление идеи взаимосвязи, взаимозависимости и взаимообусловленности должно быть использовано учителем, задачи которого в общей системе коммунистического воспитания не ограничиваются сообщением формальных знаний, но имеют своей неотъемлемой целью конкретное истолкование этих знаний с позиций диалектического материализма.

Поскольку задачи общего образования не ограничиваются рамками средней школы, а включают в себя и ряд требований к высшим техническим учебным заведениям, автор уделяет в своей диссертации внимание методике изучения приемов численного решения уравнений высших степеней. При этом в отношении тех приемов, которые могут быть использованы для сообщения учащимся средней школы, в диссертации даются развернутые указания для классной и кружковой работы.

Независимо от возможности использования отдельных частей диссертации для нужд средней школы и индустриальных техникумов и для потребностей высшего технического образования автор считает, что содержание всей его работы может представить интерес для студентов учительских институтов.

Первая часть диссертации посвящена алгебраическому решению уравнений высших степеней.

В главе I дается краткий исторический обзор развития алгебраического и численного решения уравнений. Затем выясняется, что алгебраическое решение уравнения состоит не только в отыскании корня многочлена, но и в разложении многочлена

на множители, что понятие функции и графическое ее представление в большой мере способствуют истолкованию результатов алгебраического решения и облегченному выполнению численного решения уравнений Здесь же выясняется на конкретном материале непосредственная связь между отдельными частями курса алгебры.

В главе II разбирается алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степеней. Основное внимание уделяется интересным выводам алгебраических решений, которые даны Н. И. Лобачевским.

По кубическому уравнению выясняется, что примененная Лобачевским для уравнения хъ ~\- ах -\- в = 0 подстановка х' = у — сразу приводит к очень удобной резольвенте, а что особенная структура этой подстановки обеспечивает непосредственное получение трех корней исходного уравнения без необходимости выполнения их отбора.

После этого даются методические указания о том, что ознакомление учащихся средней школы с понятием об алгебраическом решении кубического уравнения следует связать с пунктом программы, касающимся решения уравнений высших степеней в порядке приложения теоремы Безу. Содержанию же этого решения рекомендуется посвятить два доклада на математическом кружке:

1) „Алгебраическое решение кубического уравнения; способ Лобачевского; вопрос о пригодности алгебраического решения для отыскания корней кубического уравнения";

2) „Элементарный вывод условий, определяющих характер корней кубического уравнения".

Оба доклада даются в подробном изложении и в таком виде могут быть непосредственно использованы для кружков (в школах и в индустриальных техникумах).

В первом докладе при выяснении пригодности формулы для вычисления корней кубического уравнения автор показывает на примерах уравнений X* — 7х -\- 6 = О и ж3 + + 24 = О, что часто простые методы численного решения позволяют легко отыскивать корни уравнений, когда формула корня либо вовсе не может быть алгебраически использована, либо используется весьма затруднительным путем. Вместе с тем здесь выясняется, что только при специальной структуре коэффициентов возможно применение формулы для вычисления корней кубического уравнения. Этот материал конкретно показывает, что уже для кубических уравнений становятся актуальными методы численного решения.

Во втором докладе на разработанном автором методе показывается, как можно установить связь между характером корней кубического уравнения Х* -f- рх -[-9 = 0 и значением двучлена рд . 92 27 "Г ~4~ » не пользуясь результатами алгебраического решения.

Это достигается сочетанием наглядных данных о взаимном расположении прямой у = —рх—ч и кубической параболы у = Хь с формулами зависимости между корнями и коэффициентами кубического уравнения.

При рассмотрении алгебраического решения уравнения четвертой степени автор выявляет сходство между способом Феррари и приемом, примененным индусским астрономом Бхаскара (XII век) при решении численного уравнения четвертой степени. Это сходство приводит автора к предположению, что способ Феррари явился обобщением частного приема Бхаскара.

Отмечаются улучшения, внесенные в алгебраическое решение уравнения четвертой степени в России Эйлером и Лобачевским и описываются их способы. В частности; выясняется, что первый способ Лобачевского, являющийся интересным видоизменением способа Эйлера, имеет в своем построении общие черты с выводом, примененным Лобачевским при алгебраическом решении кубического уравнения. В отношении же второго способа Лобачевского подчеркивается законченность полученного результата в виде формулы, легко дающей значения всех четырех корней по значению одного корня резольвенты.

Далее выясняется, что Лобачевский сумел провести до конца исследование характера корней уравнения четвертой степени, пользуясь прямым ходом алгебраического решения и связав значения искомых корней через резольвенту с коэффициентами исходного уравнения. Такой естественный способ исследования никем до Лобачевского осуществлен не был.

В порядке методических указаний ставится вопрос о связи разложения многочленов с алгебраическим решением уравнения четвертой степени по второму способу Лобачевского и рекомендуется ряд типовых примеров на разложение для расширения стабильного сборника задач и примеров по алгебре.

Глава заканчивается подробным докладом для математического кружка „Об алгебраическом решении уравнения четвертой степени". Содержание этого доклада восходит к способу Бхаскара и дает историческое развитие ряда применявшихся способов, кончая вторым способом Лобачевского.

В главе III рассматриваются специальные классы алгебраических уравнений 3, 4 и 5 й степеней, сводимых к уравнениям низших степеней. Автор показывает, что решение уравнений третьей и четвертой степеней путем разложения левой части на множители, затруднительное для этих уравнений в общем виде, становится легко выполнимым при наличии некоторых соотношений между Корнями. Оказывается, что соотношениям между корнями соответствуют определенные зависимости между коэффициентами уравнения, что и приводит к облегченному решению уравнения. Рассмотрение ряда элементарных соотношений между корнями приводит к выделению специальных классов алгебраических уравнений 3, 4 и 5-й степеней. Облегченное алгебраическое решение

уравнений этих классов (с учетом невозможности алгебраического решения для общего уравнения 5-й степени) имеет и практический, и теоретический интерес, как это показывается в диссертациии.

Автор рекомендует проводить на математических кружках упражнения по решению уравнений специальных классов. В виде материала для таких упражнений даются таблицы ряда специальных соотношений между коэффициентами уравнений 3, 4 и 5-й степеней и несколько выполненных примеров. Кроме того, здесь развивается связь между алгебраическим решением уравнений и разложением многочлена на множители.

В главе IV рассматривается вопрос об алгебраическом решении уравнений любых степеней. Излагается история этого вопроса и приводятся результаты работ Эйлера, который первым пришел к мысли о невозможности найти общее решение для алгебраических уравнений, начиная с пятой степени. Это видно из цитируемого автором абзаца из „Универсальной арифметики" Эйлера: „Далее 4-й степени решение алгебраических уравнений не простирается, и все старания разрешать подобным образом уравнения 5-й и высших степеней или привести их, по крайней мере, в ураввнения низших степеней были тщетны, так что невозможно никоим образом дать генеральное правило для отыскания корней уравнений высших степеней."

Здесь же дается идея доказательства теоремы о неразрешимости в радикалах алгебраического уравнения выше четвертой степени в общем виде и отмечается роль академика М. В. Остроградского в усовершенствовании этого доказательства. Кроме того, здесь даются указания об элементарном ознакомлении учащихся с понятием группы на простых примерах.

Вторая часть диссертации посвящена численному решению уравнений высших степеней.

В главе V излагаются общие соображения о выборе метода для вычисления корней уравнений. Здесь в первую очередь выделяется способ Лобачевского, являющийся наилучшим среди всех методов численного решения по своей универсальности и элементарному характеру обоснования и осуществления. Далее, отмечается полезность графического решения уравнений, которое позволяет легко определять характер корней и первые приближенные значения действительных корней. Указывается также целесообразность использования бесконечных рядов для решения некоторых неполных уравнений. Вместе с тем выясняется, что для отыскания корней уравнения часто бывает выгодным применение комбинированной системы численного решения, заключающейся в том, что в первую очередь определяются все рациональные корни (имеются в виду не только действительные, но и те комплексные Корни, у которых и действительная часть, и коэффициент мнимой части — рациональные числа). В результате этого степень уравнения снижается, и затем уже последовательно выполняются:

1) выяснение характера корней уравнения, 2) отделение действительных корней, 3) уточнение значений действительных корней и 4) вычисление значений комплексных корней. Если после отыскания всех рациональных корней имеется возможность использовать какой-нибудь прием графического решения, то это заменяет первые две операции комбинированной системы.

В целом эта глава намечает методику численного решения уравнений высших степеней.

В главе VI рассматривается отыскание всех рациональных корней уравнения. В первую очередь рекомендуется выполнять отыскание рационально-действительных корней, при чем здесь автор использует улучшение А. Я. Литвиненко („Математическое просвещение" № 4, 1935 г.) при отборе пригодных множителей свободного члена уравнения. Это улучшение резко сокращает количество проб.

После отыскания рационально-действительных корней предлагается отыскивать рационально-комплексные корни. Включением такой операции в общую систему существующих методов численного решения уравнений достигается: а) исключение вопроса об отыскании рационально-комплексных корней из наиболее трудной стадии численного решения уравнений — вычисления всех комплексных корней уравнения, б) получение точных значений рационально-комплексных корней вместо приближенных значений, что играет важную роль при решении технических задач, связанных с изучением колебательных процессов и в) понижение степени уравнения, для которого отыскиваются значения корней.

Сущность разработанного автором способа отыскания рационально-комплексных корней состоит в следующем: если уравнение приведено к виду

хп -\- ах ж"-1 I .... ! ап_1 х -f аи = О

с целыми коэффициентами, то его рационально-комплексные корни отыскиваются среди тех комплексных чисел, нормы которых являются делителями свободного члена уравнения. Для этого проверяется делимость левой части уравнения на квадратные трехчлены, свободные члены которых совпадают с этими нормами.

Непригодными оказываются те трехчлены, при которых хоть один коэффициент частного не является целым числом. Пригодным признается тот трехчлен, который дает в частном все целые коэффициенты. Для определения коэффициентов частного дается простая схема. Применение этой схемы в случае пригодности испытуемого трехчлена сразу приводит к уравнению с соответственно сниженной степенью.

В применении к условиям средней школы диссертация предусматривает двоякое использование материала этой главы: 1) на обычных занятиях рекомендуется проводить только отыскание рационально-действительных корней уравнения в порядке приложения теоремы о делимости целого многочлена на двучлен х — а,

если а является корнем этого многочлена; при этом даются подробные указания о целесообразном приеме подбора и понижения степени уравнения, предложенном Н. И. Лобачевским; 2) на кружковых занятиях рекомендуется разобрать систему отыскания всех рациональных корней (в том числе и рационально комплексных) в том виде, как это предлагается в диссертации.

Автор отмечает педагогическое значение способа отыскания рационально-комплексных корней, оправдывающего целесообразность изучения в средней школе операций с комплексными числами.

В главе VII рассматривается графическое решение уравнений. После краткой исторической справки о развитии приемов графического решения в первую очередь подробно рассматривается единый метод графического решения уравнений по абсциссам точек пересечения парабол (2 го, 3-го и др. порядков) с кривой второго порядка.

В применении к уравнениям третьей и четвертой степени этот метод связывается с исследованием возможных случаев взаимного расположения параболы у = X2 с окружностью. В параметрах исходного уравнения выводятся условия, позволяющие без чертежа легко выяснять, в ряде случаев, имеет ли предложенное уравнение четвертой степени действительные корни.

В частности, в порядке развития задачи об условиях существования точек пересечения окружности с параболой автор подвергает специальному исследованию вопрос о числе нормалей, которые можно провести из любой точки плоскости к параболе у — Ж2. Здесь удается установить, что это зависит от расположения точки относительно эволюты параболы. Приведенный к аналитической форме результат показывает, что уравнение четвертой степени ж4 + ах2 -f- ex -j- с = О может иметь четыре действительных корня только в том случае, когда 8а3 -f- 27в2 <^ 0.

Полученный здесь автором в результате решения геометрической задачи двучлен оказывается тождественным с двучленом, к которому пришел Лобачевский в „Алгебре" в результате алгебраического преобразования условий, определяющих характер корней уравнения четвертой степени.

Далее рассматривается графическое решение уравнений пятой и шестой степеней. Исследование некоторых случаев взаимного расположения гиперболы, эллипса, параболы (вида у2 = 2рх)или их вырождающихся геометрических образов (пара прямых, точка, мнимое место) с кубической параболой, симметричной относительно начала координат, дает возможность установить в коэффициентах уравнения шестой степени некоторые достаточные условия существования или отсутствия действительных корней. Наличие таких условий представляет интерес для уравнений шестой степени, поскольку для них алгебраическое решение в общем виде существовать не может, а эти условия освобождают от необходимости

обращаться к чертежу, когда выяснено отсутствие действительных корней.

Для трехчленных уравнений хл -j~ Vх ~\~ q ~ 0 рассматривается единый метод отыскания корней по абсциссам точек пересечения параболы п-го порядка с прямой, что является развитием применяемого в школе приема графического решения квадратного уравнения.

Помимо упоминания еще некоторых имеющихся в литературе приемов автор предлагает прием графического решения уравнения пятой степени ах5 -f- вхА -f ет3 ± х1 - \грх -{- ч = 0 путем отыскания абсцисс точек пересечения кривой у — ах'" -j- вхх -\- сх* с простейшей параболой у = + X1 — рх — </. Этот же прием применим и для уравнения шестой степени.

Материал этой главы может быть использован в высших технических учебных заведениях при решении некоторых задач, но кроме того он может составить содержание интересных занятий математических кружков в индустриальных техникумах и тех же втузах.

В школьной практике применение графических приемов ограничивается простейшими примерами решения трехчленных уравнений в виде наглядного материала к вводимому понятию о функции. Эти примеры могут служить в школе исходными для ознакомления с простейшими методами приближенного вычисления корней уравнения.

В главе VIII, посвященной выяснению характера корней уравнения, устанавливается, что к этой стадии комбинированной системы следует обращаться, когда уже известно, что уравнение не имеет рациональных (действительных и комплексных) корней. При этом рекомендуется по возможности пользоваться графическими приемами.

Далее выясняется, что для уравнений выше четвертой степени не существует прямых признаков для определения характера корней. Исторический обзор показывает, что при установлении достаточных признаков для суждения о характере корней часто исходили из случайных данных, а поэтому роль достаточных признаков приписывалась признакам, только необходимым. В частности, математики западной Европы долгое время пользовались правилом Ньютона (принятым без доказательства) для подсчета числа комплексных и действительных корней уравнения. Лобачевский в своей „Алгебре" дал строгое доказательство этого правила, которое оказалось лишь необходимым условием для того, чтобы все корни уравнения были действительными. При этом результат Лобачевского приведен к соотношениям между коэффициентами уравнения, чего не было в правиле Ньютона.

Отсутствие необходимой строгости в работах ряда математиков при исследовании характера корней уравнений было впервые отмечено Эйлером.

Вопрос о числе действительных корней уравнения точно разрешается методом Штурма, но его применение связано со сложными вычислениями. Поэтому приходится по возможности ограничиваться использованием ряда косвенных признаков, касающихся характера корней уравнения.

В этой же главе ставится вопрос о выявлении кратных корней в уравнениях высших степеней. Автор показывает, как можно легко отыскивать кратные корни без обращения к громоздким вычислениям дискриминанта или к разновидностям последовательного деления для уравнений 3, 4 и 5-й степеней.

В конце главы VIII дается исследование характера корней трехчленных уравнений Ха-\-рх-\-п =0 для любых натуральных значений п путем использования единого метода графического решения таких уравнений. В частности, автор выделяет элементарное исследование этого вопроса для трехчленного уравнения четвертой степени, исходя из возможности изложения этого случая в виде отдельного доклада на математических кружках в школах.

В главе IX коротко разбирается задача определения границ действительных корней с использованием наиболее удобного для этой цели в общем случае способа Ньютона и в частном случае — для уравнений со строго положительными коэффициентами—облегченного приема, рекомендованного А. Г. Курошем в „Курсе высшей алгебры".

Далее, подробно рассматриваются простейшие приемы отделения действительных корней.

Для уравнений, имеющих только действительные корни, автор применяет одну из теорем, приведенных в работе П. Л. Чебышева „О функциях, наименее уклоняющихся от нуля". Теорема позволяет для каждого произвольного числа найти интервал, содержащий по меньшей мере один действительный корень заданного уравнения. Истинное же число корней в таком интервале и границы для каждого из них автор устанавливает в результате исследования поведения производной от левой части уравнения и выяснения числа перемен знака для значений левой части уравнения на всем интервале.

Использование в средней школе материала этой главы должно строиться только на элементарных приемах графического решения уравнений и последовательной подстановки в левую часть уравнения ряда целых чисел. В диссертации указывается содержание школьных кружковых занятий по этому вопросу. Более широкое применение рекомендованных приемов отделения корней возможно в кружках индустриальных техникумов и во втузах.

В главе X рассматривается последняя стадия комбинированной системы вычисления корней уравнения — уточнение их значений. Здесь выясняется, что отечественные работы по этому вопросу дают возможность применять исключительно эффективный способ уточнения корней. Этот способ, являющийся обобщением

общепринятого метода Ньютона, был предложен у нас в 1929 году Н. П. Неметти (выпуск X „Трудов Московского института инженеров транспорта") и в 1934 году Д. В. Агеевым (выпуск 4—5 „Научно-технического сборника" Электротехнического института связи в Ленинграде). Но совпадающие самостоятельные результаты Неметти и Агеева были предвосхищены в студенческой работе нашего великого математика П. Л. Чебышева „Вычисление корней уравнения", которая подготовляется к напечатанию в V томе собрания ею сочинений. Знаменательно то, что юному Чебышеву удалось в этой работе элементарным путем выполнить обращение ряда Тейлора, и это привело его к результату, который является обобщением всех частных способов приближенного вычисления корней с какой угодно точностью по известным первым приближениям. Основные результаты Чебышева сообщаются в диссертации. В частности, отмечается, что однократное использование ряда Чебышева для уточнения приближенного значения корня уравнения х* — 2х — 5^0 а = 2 дает результат ах = = 2,094551, верный до шестого знака.

Для характеристики способа, предложенного в студенческой работе П. Л. Чебышева, выясняются преимущества этого способа в сравнении со способом, предложенным Э. Уиттекером в 1918 году.

Для средней школы (в порядке докладов на математических кружках) в диссертации предусматривается изучение элементарных приемов уточнения приближенных значений корней. Для этих докладов автор дает элементарное изложение способа Ньютона (используется прием, помещенный в „Универсальной арифметике" Эйлера) и способа прямой пропорциональности или прямолинейного интерполирования. Это изложение сопровождается примерами вычисления корней квадратного1) и кубического уравнения, а для способа прямой пропорциональности дается еще подробное графическое истолкование.

Глава XI посвящена рассмотрению способа Лобачевского для вычисления всех корней алгебраического уравнения. Здесь прежде всего указывается, что при наличии затруднений в выяснении характера корней уравнений становится целесообразным применение методов непосредственного вычисления корней уравнения.

Первые такие методы, связанные с использованием бесконечных рядов, стали появляться в XVIII веке, но их удобное применение было ограничено лишь возможностью отыскания одного корня или решения неполных уравнений.

Новый метод универсального характера был опубликован в 1834 году в России Н. И. Лобачевским, который, по словам Н. Г. Чеботарева, „предложил новый и до сего времени наилуч-

1) Применение приближенного решения квадратного уравнения служит для выработки соответствующих навыков на знакомом материале.

ший способ вычисления корней, теперь несправедливо носящий название способа Греффе".

В диссертации воспроизводится основная идея этого способа и затем подробно излагается его содержание как материал для отыскания действительных корней. Это изложение дается как доклад на математическом кружке в средней школе и в индустриальном техникуме.

Далее автор указывает особенности отыскания комплексных корней и исследует те возможности, которые дает способ Лобачевского для отыскания кратных корней и комплексных корней одинакового модуля.

Возможность получить законченные результаты вычисления корней во всех случаях служит подтверждением универсального характера способа Лобачевского.

В главе ХП рассматривается вычисление корней уравнения с помощью бесконечных рядов. Первый метод академика Даниила Бернулли (172й г. „Комментарии Петербургской Академии", т. III) дается в диссертации в том виде, как он описан Эйлером в „Универсальной арифметике". Кроме того, показывается на примерах уравнений пятой степени, удобство этого метода для отыскания наибольшего по абсолютной величине действительного корня уравнения.

Вычисление с помощью рядов всех корней уравнения может дать выгодные результаты при решении трехчленных уравнений. Разработка такого метода выполнена в СССР проф. Михальским. Но в том виде, как дано краткое описание этого метода (без вывода) в „дополнениях" проф. Куренского к Высшей алгебре П. Л. Чебышева (1935 г.), применение его оказывается удобным лишь для уравнений вида хт -j- вх -\- с = 0 при m целом и положительном и для уравнений X к --|- ьхЛ -f- с = О если только к делится нацело на /.

Автор восстановил отсутствующие в описании Куренского выводы и разработал обобщение этого метода для уравнения вида X* 4- вх1 -f- с = О и при нарушении делимости к на /. Далее излагается метод отыскания всех корней уравнения путем применения формулы Маклорена.

Из материала этой главы элементарное применение (в кружках) может иметь лишь отыскание наибольшего по абсолютной величине действительного корня уравнения по способу Бернулли. В остальной части использование этого материала рассчитано на студентов втузов, хорошо владеющих операциями с рядами.

Глава XlII касается только тех уравнений, которые не имеют действительных корней. Решение таких уравнений не может выполняться с помощью комбинированной системы, а требует применения непосредственных приемов вычисления корней. На практике с такими уравнениями приходится встречаться в технических вопросах, связанных с колебательными процессами. Помимо возможности применения к таким уравнениям универсального спосо-

ба Лобачевского в диссертации рекомендуются в виде дополнительных приемов: а) для трехчленных уравнений — обобщенный метод Михальского использования бесконечных рядов; б) для четырехчленных уравнений (в условиях сходимости) —разложение в ряд Маклорена; в) отыскание отдельно действительной части и отдельно мнимой части корней с помощью разложения левой части уравнения по формуле Тейлора для комплексной переменной.

Во всех случаях при решении таких уравнений рекомедуется, в первую очередь, найти рационально-комплексные корни н при наличии их соответственно снизить степень уравнения.

Методические указания по этой главе сопровождаются развернутым решением нескольких уравнений с отысканием всех их комплексных корней.

Третья часть диссертации состоит из двух глав, в которых дается содержание программ и критическая оценка содержания учебной литературы и руководств отдельно для средней школы и отдельно для высших учебных заведений.

В главе XIV после обозрения программ нашей дореволюционной и советской школы в отношении объема требований по решению уравнений высших степеней дается критическая оценка отечественной литературы по этим же вопросам.

В ряде учебных руководств, издававшихся помимо учебников, вопросы решения уравнений высших степеней рассматривались значительно шире, чем это требовалось программой.

Самым ранним из рассмотренных руководств является „Универсальная арифметика" Эйлера. Здесь целая часть отведена вопросу „Об алгебраических уравнениях и их решении", при чем подробно разобраны кубические уравнения и уравнения четвертой степени и два способа приближенного решения уравнений (способ Ньютона и способ Бернулли для отыскания наибольшего по абсолютной величине действительного корня уравнения). Всем выводам у Эйлера предшествуют числовые примеры, которые подготовляют читателя к облегченному восприятию самых выводов. В целом диссертация оценивает содержание соответствующей части „Универсальной арифметики" как весьма доступное введение в практику и теорию решения уравнений высших степеней Автор отмечает ценность ряда приемов Эйлера и по сие время. Примером такого приема может служить, в частности, элементарное Эйлерово объяснение способа Ньютона для последовательных приближений к истинному значению корня (оно используется в диссертации как материал для кружковых занятий).

Следующее руководство, рассмотренное в диссертации, это — рукопись „Алгебра Н. И. Лобачевского". В ней помимо решения квадратных уравнений дается уже известный из главы II вывод алгебраического решения кубического уравнения, рассматриваются еще общие вопросы численного решения уравнений высших степеней и, в частности, метод подбора рациональных корней и способ Ньютона. В операцию подбора рациональных корней Лобачевский

вносит ряд улучшений, сокращающих количество проб. Следует отметить, что из помещенного в „Рукописи" материала по решению уравнений вывод способа Ньютона не отвечает по своему содержанию возможности использования в средней школе, весь же остальной материал изложен вполне доступно.

Циркуляром министра народного просвещения от 15 декабря 1845 года преподавание математики в гимназиях было ограничено, но все же руководства по алгебре продолжали достаточно широко разбирать вопросы решения уравнений высших степеней. Из таких руководств можно отметить, например, курс алгебры С. Маркова (1864 г,), в котором дается алгебраическое решение кубического уравнения с резкой критикой формулы Кардано и подробно разбираются правила численного решения уравнений высших степеней, причем содержание этих правил заметно превышает возможности средней школы. К тому же времени (1866 г.) относится „Начальная алгебра" А. Давыдова, в которой рассматриваются уравнения, приводимые к квадратным делением левой части на X—а и кроме того подробно излагается алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степеней.

В последующих руководствах намечается переход к частным приемам решения уравнений высших степеней путем разложения левой части на множители, путем введения вспомогательных неизвестных, путем проведения удобных для данного примера преобразований и т. д., но все же, наряду с Этим, выпускались и серьезные по тому времени руководства, как „Начала Алгебры" Граве (1915 г.) и „Учебник алгебры" Шапошникова (1890, 1904).

Ознакомление с рядом руководств по алгебре дореволюционного издания показывает, что их можно разделить на две группы в отношении характера изложения вопросов решения уравнений высших степеней.

Руководства первой группы, давая систематическое изложение алгебраического решения уравнений 3 и 4-й степеней, содержали тдьже обобщающие указания для частных приемов решения уравнений.

В руководствах второй группы давались лишь частные (вернее искусственные) приемы решения уравнений высших степеней зачастую без какого-либо обобщающего направления. В этом отношении в диссертации особо отмечается „Собрание задач" Пржевальского, в котором чуть ли не каждый пример из уравнений высших степеней требовал применения нового искусственного приема.

Правда, обилие руководств и задачников по алгебре в дореволюционное время давало возможность учащимся средней школы знакомиться с решением уравнений высших степеней, но это знакомство далеко не отвечало требованиям правильно построенной методики. Здесь зачастую имело место накопление чисто случайных приемов и навыков без строгой направленности к повышению полезных знаний.

Автор считает, что одно только обилие имевшейся в то время литературы не являлось достаточным условием для полезного развития учащихся по различным интересующим их отраслям математики. Здесь важно, чтобы издание литературы не носило случайного характера, как это было в дореволюционное время, когда выпуск в свет различных пособий регулировался не методическими соображениями, а интересами частных издателей.

В условиях нашей действительности вопрос об издании литературы, в частности, для нужд средней школы разрешается планомерно и в соответствии с требованиями общей методики постановки среднего образования.

Постепенно выходит в свет ряд полезных пособий, в которых различные методические вопросы школьного курса математики освещаются с точки зрения современных научных знаний. Систематическую помощь работе учителя оказывает журнал „Математика в школе".

Автор считает, что в условиях такой постановки дела с изданием учебно-вспомогательной литературы может быть обеспечен выпуск в свет и пособий для повышения знаний учащихся средней школы и индустриальных техникумов в области решения уравнений высших степеней. Эти пособия могут служить, с одной стороны, для самостоятельной работы учащихся, а с другой стороны, для развития работы математических кружков.

В главе XV дается содержание программ по высшей математике для ряда втузов в части, относящейся к решению уравнений высших степеней. Отмечается разнообразие вопросов, включавшихся в различные программы.

В учебной литературе по общему курсу высшей математики соответствующие вопросы освещены не всегда в достаточной степени.

Обычно даются приемы по отдельным операциям численного решения без изложения общей системы.

В частности, в учебной литературе по общему курсу высшей математики до последнего времени не дается содержания способа Лобачевского, который с 1949 года уже включен в программы втузов.

Кроме того, отмечается недостаток в пособиях, в которых изложение методов численного решения уравнений высших степеней соответствовало бы требованиям общего образования и ознакомления учащейся молодежи с заслугами наших отечественных ученых-математиков в этой области.

В заключении автор отмечает, что материал диссертации позволяет значительно расширить знания учащихся школ, техникумов и студентов втузов по решению уравнений высших степеней и дает возможность преподавателям математики ввести в преподавание алгебры большую связь между отдельными ее частями. Кроме того, сообщение ряда интересных данных из содержания работы позволит повысить общий уровень математической подготовки учащихся и их осведомленность о достижениях русских ученых-математиков. Последняя сторона имеет большое значение для воспитания учащихся в духе советского патриотизма.

л 86588 от 16/VI 1951 г. Объем 1 п. л. За*. 692. Тир. 100

Тип. ВЗИФ. Москва, Б. Черкасский, д. 8/6